三个数的均值不等式

例5 已知x, y, z R ,求证x y z3 27xyz.
证明
因为 x y 3
z
3
xyz
0,
所以 x y
27
z 3
xyz,即x
y
z 3
27 x yz .
例6 如图1.1 5 , 把一块
x
长是a的正方形铁片的各
角切 去 大小相同的小 正
方形,再将它的边沿虚线
a
折 转 作成一个无盖方底
这个不等式可以表述为: 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
事实上, 基本不等式可以推广到一般的情形:
对 于n个 正 数a1 , a2 , , an ,它 们 的 算 术 平 均 不 小 于 它 们 的 几 何 平 均,即
a1
a2
an n
n
a1a2 an ,
当 且 仅 当a1 a2 an时, 等 号 成 立.
,
那么
a
b 3
c
3
abc
,当且仅当
a b c时,等号成立.
如 何 证 明 这 个 猜 想 呢? 仍 然 类 比 基 本 不 等 式 的 推 出 过 程, 我 们 先 证 明:
已知a,b, c R,那么a3 b3 c3 3abc, 当且仅当a b c时,等号成立.
1x y3 x3 3x2 y 3xy2 y3 ;
a b c a2 b2 c2 ab bc ca
1 2
a
b
c
a b2 b c2 c a2
0.
所以 a3 b3 c3 3ab,当且仅当a b c时, 等号成立.
对上述结果作简单的恒等变形, 就可以得到
定 理3
如果a,b, c
R
,
那
么a
b 3
c
3
abc,
当且仅当a b c时,等号成立.
3 三个正数的算术
几何平均不等式
思考 基本不等式给出了两个正数 的
算 数 平 均 与 几 何 平 均 的关 系, 这 个 不 等
式能否推广呢? 例如,对于 3 个正数,会
有怎样的不等式成立?
类比 基 本 不等式的形式,我 们猜想, 对于 3 个正数 a,b, c,可能有: 如果 a, b,
c R
3 x3 y3 x y x2 xy y2 .
证明 因为a3 b3 c3 3abc
a b3 3a2b 3ab2 c3 3abc a b3 c3 3a2b 3ab2 3abc
a b c a b2 a bc c2 3aba b c
a b c a2 2ab b2 ac bc c2 3ab
解答
跟踪训练 1 求函数 y＝(1－3x)2·x0＜x＜13的最大值.
解
y
＝
(1
－
3x)2·x
＝
1 6
·(1
－
3x)·(1
－
3x)·6x≤
1 6
1－3x＋1－3x＋6x
Baidu Nhomakorabea
3
3
＝
841，
当且仅当 1－3x＝1－3x＝6x，即 x＝19时，ymax＝841.
解答
类型二 用平均不等式证明不等式 例 2 已知 a，b，c∈R＋.求证：a3＋b3＋c3＋a1bc≥2 3. 证明 ∵a3＋b3＋c3＋a1bc≥3abc＋a1bc≥2 3， 当且仅当 a＝b＝c，且 abc＝ 33时等号成立. ∴a3＋b3＋c3＋a1bc≥2 3.
证明
引申探究 若本例条件不变，求证：b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c≥3.
b＋c－a c＋a－b a＋b－c
证明
a＋b＋c
＝ba＋bc＋ac＋ac＋ba＋bc－3
3
≥3
ba·bc·ac＋3 3
ac·ab·bc－3＝6－3＝3，
当且仅当a＝b＝c时取等号.
证明
作业：小黄
当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，
即 x＝43∈1，32时，ymax＝217.
解答
(2)求函数 y＝x＋x－412(x＞1)的最小值. 解 ∵x＞1，∴x－1＞0，y＝x＋x－412 ＝12(x－1)＋12(x－1)＋x－412＋1 ≥3 3 12x－1·12x－1·x－4 12＋1＝4， 当且仅当12(x－1)＝12(x－1)＝x－412， 即x＝3时等号成立.即ymin＝4.
.
a
即当切去的小正方形边
长是原来正方形边长的
1 6
时
,
盒
子的
容
积最大.
图1.1 5
类型一 用平均不等式求最值
例 1 (1)求函数 y＝(x－1)2(3－2x)1＜x＜32的最大值； 解 ∵1＜x＜32，∴3－2x＞0，x－1＞0.
又y＝(x－1)2(3－2x)
＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤x－1＋x－31＋3－2x3＝133＝217，
的盒子,问切 去的正方形 边长 是多少时,才能使盒
图1.1 5
子的容积最大?
解 设切去的正方形边长为x,无盖方底盒子
的容积为V ,则
V
a 2x2 x
1 4
a
2xa
2x
4
x
1 4
a
2x
a
3
2x
4x3
2a3 27
,
当且仅当a 2x 4x,即
当
x
a 6
时,不等式取等
x
号,此时V
取最大值
2a3 27