现代信号处理作业
现代信号处理大作业王成志1
《现代信号处理》大作业姓名：王成志学号：1140349078一. L D 迭代算法的matlab 实现1.1 Levinson-Durbin 算法介绍功率谱估计大致可以分为经典谱估计和现代功率谱估计，经典谱估计方法存在着以下三点缺陷：（1）数据加窗或自相关加窗，都隐含着假定在窗外未观测到的数据或自相关系数为零，该假设不切实际。
（2）要性能好往往需要较长的数据，但实际数据长度有限（3）窗函数容易造成谱的模糊。
采用AR 模型的现代谱估计方法可以克服这些不足。
其中LD 递推算法可以在计算机上方便实现。
LD 递推算法具体计算步骤如下：（1） Yule-Walker 方程的矩阵形式(1)所示：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-----001)0()2()1()()1()1()0()1()()2()1()0(2,1,σk k k xx xx xx xx x xx xx xx xx xx xx xx a a r k r k r k r k r r r r k r r r r 系数矩阵xx Hxx R R =,为Hermitian 矩阵，对角线上元素相同，即为Topliez 矩阵。
（2） P-1阶Yule-Walker 方程为：21111(0)(1)(1),1(1)(0)(2)0,1(1)(2)(0)0x x x p p x x x p x x x R R R p a R R R p a p R p R p R σ-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 其中，2211{()}p p E e l σ--=为误差功率。
写成联立方程：2111,0,0()0,1,,1p pp k xk m a R m k m p σ---=⎧=-=⎨=-⎩∑ 取共轭得：21**11,0,0()0,1,,1p pp kxk m aR m k m p σ---=⎧=-=⎨=-⎩∑变量替换，并利用*()()x x R l R l =得：21*11,10,1()0,0,,2p pp p kx k m p aR m k m p σ-----=⎧=--=⎨=-⎩∑ 表示成矩阵：*1*1210(0)(1)(1),10(1)(0)(2),2(1)(2)(0)1x x x p x x x p p x x x R R R p a p R R R p a p R p R p R σ-----⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 求解得：*.1,1,,0,,p k p k p p p k a a K a k p ---=+=22*1p p p p K σσ-=+∆ 2210p p p K σ-=∆+,p p p K a =222*22111[][1]p p p p p p p K K K σσσσ---=+-=-（3） 当k=1时，即一阶递推为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01)0()1()1()0(211,1σa R R R R x x x x求解可得：)1()0()0()1( ,11,1211,10,1x x x x R a R R R a a +=-==σ（4） 对于2≥p 时，递推为:10,≡p a , *,1,1,k p p p k p k p aK a a ---+=, ]1[2212p p p K -=-σσ 21,-∆-==p pp p p a K σ∑-=--+=∆11,1)()(p k x kp x p k p R ap R矩阵R x 已知，可得到各阶AR 模型系数为：)0())1(1( ,)0()1()1(2111xx xx xx r a r r a -=-=ρ11111)()()()(--=--∑-+-=∆-=k k l xx k xx k kk l k r l a k r k a ρρ1,,2,1)()()()(*11-=-+=--k i i k a k a i a i a k k k k12))(1(--=k k k k a ρρ1.2实验结果(1) 输入p=3，rr = [70,60,50,40] 时，求得AR 模型估计参数为:a =1.0000 -0.8571 0 0 1.0000 -0.5275 -0.3846 0 1.0000 -0.7572 -0.6996 0.5972 各阶求得的方差为：sigma = 18.5714 15.8242 10.18013阶时，a 3 (1)= -0.7572 a 3 (2)= -0.6996 a 3 (3)= -0.5972(2) 输入p=5，rr = [30,45,26,33,47,43]时，AR 模型估计参数为：a =1.0000 -1.5000 0 0 0 0 1.0000 0.2800 -1.1867 0 0 0 1.0000 0.8227 -1.3147 -0.4573 0 0 1.0000 1.9708 1.9858 -2.5226 -2.5105 0 1.0000 1.0869 1.0977 -1.8235 -1.8166 0.3521 各阶求得的方差为： sigma =37.5000 15.3067 12.1054 64.1881 56.23165阶时， a 5 (1)= 1.0869 a 5(2)= 1.0977 a 5(3)= -1.8235 a 5(4)= -1.8166 a 5(5)= 0.3521二． 一维平稳信号由两个高斯信号叠加而成12241122()()[exp(())exp(())]22z t t t j t t t j t αααωωπ=--++--+，其中12,t t >12ωω>，分别求出()z t 的WV 分布及其模糊函数，画出二者的波形图，指出并分析其信号项和交叉项。
西南交大现代信号处理作业
现代信号处理作业1.(5″)证明下面定理：任何一个无偏估计子方差的下界叫作Cramer-Rao 下界 定理：令1(,,)N x x x =为一样本向量，(|)f x θ是x 的条件密度，若ˆθ是θ的一个无偏估计子，且(|)/f x θθ∂∂存在，则221ˆˆvar()()[ln (|)]E E f x θθθθθ=-≥∂∂式中ˆln (|)()()f x K θθθθθ∂=-∂。
其中()K θ是θ的某个不包含x 的正函数。
2.(10″)Wiener 滤波是信号处理中最常用和基础的波形估计工具之一，对其在自己研究领域的应用情况进行一个简单综述。
3.(5″)二阶滑动平均过程由2()()1(1)2(2),{()~(0,)}x n w n b w n b w n w n N σ=+-+-定义，式中2(0,)N σ表示正态分布，其均值为零、方差为2σ。
求x(n)的功率谱。
4.(20″)信号的函数表达式为：()sin(2100)sin(2300)()sin(2200)()()x t t t A t t dn t n t πππ=++++，其中，A(t)为一随时间变化的随机过程，dn(t)为经过390-410Hz 带通滤波器后的高斯白噪声，n(t)为高斯白噪声，采样频率为1kHz ，采样时间为2.048s 。
(1) 利用现代信号处理知识进行信号的谱估计； (2) 利用现代信号处理知识进行信号的频率提取； (3) 分别利用Wiener 滤波和Kalman 滤波进行去噪； (4) 利用Wigner-Ville 分布分析信号的时频特征。
5.(10″)附件中表sheet1 为某地2008年4月28日凌晨12点至2008年5月4日凌晨12点的电力系统负荷数据，采样时间间隔为1小时，利用ARMA 方法预测该地5月5日的电力系统负荷，并给出预测误差（5月5日的实际负荷数据如表sheet2）。
1、定理：令1(,,)N x x x =为一样本向量，(|)f x θ是x 的条件密度，若参数估计ˆθ是真实参数θ的一个无偏估计子，且(|)/f x θθ∂∂、22(|)/f x θθ∂∂存在，则ˆθ的均方误差所能达到的下界（称为Cramer-Rao 下界）等于Fisher 信息的导数，即：221ˆˆvar()()[ln (|)]E E f x θθθθθ=-≥∂∂ （1-1）不等式中等号成立的充分必要条件是：ˆln (|)()()f x K θθθθθ∂=-∂ （1-2） 其中()K θ是θ的某个正函数，与样本1(,,)N x x x =无关。
现代信号处理作业
现代信号处理作业现代信号处理课程作业1.做⼀个⽹络检索,简述现代信号处理技术的主要特征和技术特点,并阐述信号处理在实际⼯程中的应⽤情况代信号处理技术的主要特征和技术特点:1)精度⾼:在模拟系统的电路中,元器件精度要达到10-3以上已经不容易了,⽽数字系统17位字长可以达到10-5的精度,这是很平常的?例如,基于离散傅⾥叶变换的数字式频谱分析仪,其幅值精度和频率分辨率均远远⾼于模拟频谱分析仪?2) 灵活性强:数字信号处理采⽤了专⽤或通⽤的数字系统,其性能取决于运算程序和乘法器的各系数,这些均存储在数字系统中,只要改变运算程序或系数,即可改变系统的特性参数,⽐改变模拟系统⽅便得多?3) 可以实现模拟系统很难达到的指标或特性:例如:有限长单位脉冲响应数字滤波器可以实现严格的线性相位;在数字信号处理中可以将信号存储起来,⽤延迟的⽅法实现⾮因果系统,从⽽提⾼了系统的性能指标;数据压缩⽅法可以⼤⼤地减少信息传输中的信道容量?4)可以实现多维信号处理:利⽤庞⼤的存储单元,可以存储⼆维的图像信号或多维的阵列信号,实现⼆维或多维的滤波及谱分析等?信号处理在实际⼯程中的应⽤情况:数字信号处理是利⽤计算机或专⽤计算机或专⽤处理设备,以数据形式对信号进⾏采集,变换,滤波,估值,增强,压缩,识别等处理,以得到符合⼈们需要的信号形式?数字信号处理是以众多科学为理论基础的,他所涉及的范围及其⼴泛?DSP 技术应⽤到我们的⽣活的每⼀个⾓落,从军⽤到民⽤,从航空航天到⽣产⽣活,都越来越多地使⽤DSP. DSP技术在航空⽅⾯,主要⽤于雷达和声纳信号处理;在通信⽅⾯,主要⽤于移动电话,IP电话,ADSL和HFC的信号传输;在控制⽅⾯,主要⽤于电机控制,光驱和硬盘驱动器;在测试/测量⽅⾯,主要⽤于虚拟仪器,⾃动测试系统,医疗诊断等;在电⼦娱乐⽅⾯,主要⽤于⾼清晰度电视,机顶盒,家庭影院,DVD 等应⽤;还有数字相机,⽹络相机等等都应⽤了SP技术?同时,SOC芯⽚系统,⽆线应⽤,嵌⼊式DSP都是未来DSP的发展⽅向和趋势?可以说,没有DSP就没有对互联⽹的访问,也不会有多媒体,也没有⽆线通信?因此DSP仍将是整个半导体⼯业的技术驱动⼒?现在,DSP应⽤领域不断拓宽,其涵盖⾯包括宽带Internet接⼊业务,下⼀代⽆线通信系统的发展,数字消费电⼦市场,汽车电⼦市场的发展等诸多多⽅⾯?现代数字信号处理器是执⾏⾼速数字信号系统的IC电路,它恰好适合多媒体信息化社会需求,迅速发展壮⼤?如今,世界电⼦器件市场上,各种各样的DSP器件已相当丰富?⼤⼤⼩⼩封装形式的DSP器件,已⼴泛⽤于各种产品的⽣产领域,⽽且DSP的应⽤领域仍在不断的扩⼤,发展速度异常?2?简述信号的频率分析技术及其应⽤,阐述实现精细频率分析的实现⽅法?考虑到数字信号分析中,虽然提⾼信号的采样频率可以改善信号分析的频率分辨率,但是提⾼信号的采样频率通常需要付出额外的硬件代价,往往受制于可实现性与成本问题⽽难以实现?因此,就需要使⽤频谱细化技术在尽可能低的采样频率下提⾼数字信号分析的频率分辨率的措施?频谱细化的基本思路是对信号频谱中的某⼀频段进⾏局部放⼤,也即在某⼀频率附近局部增加谱线密度,实现选带频段分析?频谱细化技术在⽣产实践和科学研究中获得了⽇益⼴泛的应⽤?例如,齿轮箱的故障诊断要求准确分辨齿轮各阶啮合振动的主频和边频等,其频谱图上的频率间隔很细,但频率分布⼜较宽,为了识别谱图的细微结构,就必须对信号进⾏细化分析;直升机?坦克?巡航导弹的声⾳具有显著的⾮平稳性,为了得到准确的时延量,信号的取样不能太长,⽽FFT计算的频谱存在栅栏效应?因此必须采⽤有效的⽅法对频谱进⾏细化,这样才能保证⾜够的相关计算精度;在⽆线电通信信号和其他的实际⼯程信号的分析中,为了获取更⾼的测量精度和实时检测能⼒,需要对信号频谱进⾏细化分析,以提供有⽤信息?因此对频谱细化技术的研究受到普遍重视,也是当前信号处理技术研究中的⼀个⼗分活跃的课题?常见的经典⽅法有:复调制细化法?Chirp-Z变换?FFT+FT细化法?DFT补零法等很多⽅法?复调制细化法:⼜称为选带频率细化选带频谱分析,是20世纪70年代发展起来的?其传统的分析步骤为:移频(复调制)低通滤波器重抽样--FFT及谱分析频率成分调整,因其物理概念⾮常明确,所以⼀直沿⽤⾄今?FFT+FT细化法:该⽅法的原理本质是将连续傅⾥叶变换经过将积分化成求和?时域离散化和时域截断为有限长三个步骤变换得到时间离散?频率连续的特殊傅⾥叶变换形式?FFT+FT连续细化分析傅⾥叶变换法先⽤FFT做全景谱,再对指定的⼀个频率区间进⾏细化计算:先确定频率分辨率,再确定计算频率序列,最后⽤FT连续谱分析⽅法进⾏实部和虚部计算,合成幅值谱和相位谱? Chirp-Z变换:最早提出于1969年,CZT是⼀种在Z平⾯上沿着螺旋线轨道计算有限时宽的Z变换⽅法?基本原理是在折叠频率范围内任意选择起始频率和频率分辨率在这有限带宽⾥对样本信号进⾏Z变换这与频谱校正⽅法中的FFT + FT 连续细化分析傅⾥叶变换法的基本原理是⼀样的?3、通过⽹络检索,对弱信号检测技术进⾏调研,分析⼀下现代弱信号检测的⽅法微弱信号检测(WeakSignalDetection)是⼀门新兴的技术学科,应⽤范围遍及光?电?磁?声?热?⽣物?⼒学?地质?环保?医学?激光?材料等领域?其仪器已成为现代科学研究中不可缺少的设备?微弱信号检测技术是采⽤电⼦学?信息论?计算机及物理学的⽅法,分析噪声产⽣的原因和规律,研究被测信号的特点与相关性,检测被噪声淹没的微弱有⽤信号?微弱信号检测的⽬的是从强噪声中提取有⽤信号,或⽤⼀些新技术和新⽅法来提⾼检测系统输出信号的信躁⽐?信号处理系统的信躁⽐改善等于输⼊(⽩)躁声带宽与系统的躁声等效带宽之⽐?因此,减少系统的躁声等效宽度便可以提⾼系统的输出信躁⽐?对于信躁⽐⼩于1的被躁声淹没的信号,只要信号处理系统的躁声等效带宽做得很⼩,就可以将信号(或信号携带的信息)从躁声中提取出来,这就是通常的微弱信号检测的指导思想之⼀?现代弱信号检测的⽅法和原理窄带滤波法: 使⽤窄带滤波器,滤掉宽带躁声只让窄带宽信号通过(仅有极少量窄带躁声通过)?窄带滤波法能减少躁声对有⽤信号的影响?滤除掉通频带以外躁声,提⾼信号的信躁⽐?但是,由于⼀般滤波器的中⼼频率不稳定,不能满⾜更⾼的滤除躁声的要求?双路消躁声法:由于信号与躁声性能完全不同,信号⼀般为⼀些变化规律已知的量,⽽躁声是⼀些随机量满⾜统计规律?当随机性的躁声从两路到达加法器时,极性正好相反,经过加法器相加后把躁声消掉?只有少数强躁声才通过阀值电路⽽产⽣本底计数,根据统计规律?本底计数时间较长时为恒定值?故可以先测出它,然后从总计数中把它减得到信号计数?这种⽅法只能检测到微弱的正弦信号是否存在,⽽不能复现信号波形?同步累积法:利⽤信号的重复性,躁声的随机性,对信号进⾏重复累积(⼏次),使SNIR提⾼,但需耗费时间?锁定接收法(频域分析法) :锁定检测法是利⽤互相关原理,使输⼊待测的周期信号与频率相同的参考相关器中实现互相关,从⽽将深埋在躁声中的周期信号携带的信息检测出来?相关检测法: 相关检测技术是应⽤信号周期性和噪声随机性的特点,通过⾃相关或互相关运算,达到去除躁声检测出信号的⼀种技术?由于信号和躁声是相互独⽴的过程,根据相关函数和互相关函数的定义,信号只与信号本⾝相关与躁声不相关??取样积分法:取样积分(或信号平均)法是将待测的重复信号逐点多次取样并进⾏同步积累,从⽽达到从噪声中恢复信号波形的⽅法?取样积分也采⽤同步相关检测的原理和⽅法,实现从噪声中提取信号,但它的参考信号只在窗⼝持续期间与被测信相关,每周相关时间很短,此外它的相移也是在很慢的变化?取样积分由单点取样积分与多点取样积分两种?4.利⽤MATLAB产⽣出⼀个线性调频信号(chirp信号),采样频率=8000Hz,持续时间1s,起始频率=500Hz,终⽌频率=1300Hz,给出其时域波形图,请利⽤短时FFT分析函数对数据进⾏时间-频率分析,观测频率随时间的变化情况分析结果:00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-1-0.50.51时间t/s幅度线性调频信号Time F r e q u e n c y 线性调频信号的STFT 频谱图50010001500200025003000350015. 研究⼀下利⽤⾃相关实现含噪声的正弦信号检测⽅法,并利⽤MATLAB 进⾏验证:答:相关函数的应⽤很⼴,例如,噪声中信号的检测?信号中隐含周期性信号的检测,信号相关性的检测等?设信号)(n f 由正弦信号) (n x 加均值为零的⽩噪声)(n s 所组成,即)()()(n s n x n f +=;那么)(n f 的⾃相关为∑∞=++++=0)]()()][()([1)(n m n s m n x n s n x N m R=)()()()(m R m R m R m R ss sx xs xx +++其中)(m R xs 和)(m R sx 分别是正弦信号)(n x 和⽩噪声)(n s 的互相关?⽩噪声是随机的,和信号)(n x 应⽆相关性,所以)(m R xs 和)(m R sx 应趋近于零?⽩噪声)(n s 的⾃相关函数)(m R ss 主要在n=0处有值,当0||>n 时,衰减很快?由于)(n x 是周期函数,那么)(m R xx 将呈周期变化,从⽽揭⽰出隐含在)(m R xx 中的周期性?由于)(n x 总为有限长,所以这些峰值将是逐渐衰减的,且)(m R xx 的最⼤延迟应⼩于数据长度?01002003004005006007008009001000-4-224含噪声时域正弦信号01002003004005006007008009001000-0.500.5⾃相关检测出的正弦信号6. 简述⼩波滤波的原理,并利⽤MATLAB 中的⼩波⼯具进⾏⼀个⼩波滤波练习,给出计算结果,并进⾏分析答 :信号去噪是信号处理领域的⼀个经典问题,传统的去噪⽅法主要是线性滤波和⾮线性滤波,例如中值滤波和Wiener 滤波等?⼩波变换具有下列良好特性:①低熵性②多分辨率特性③去相关性④选基灵活性?⼩波在信号去噪领域已经取得越来越⼴泛的应⽤?阈值去噪的⽅法是⼀种较好的⼩波去噪法?阈值去噪⽅法的思想就是对⼩波分解后的个层系数中模⼤于和⼩于某阈值的系数进⾏处理,然后对处理完的⼩波系数再进⾏反变换,重构出经过去噪的信号?01002003004005006007008009001000-11原始信号01002003004005006007008009001000-22含噪信号01002003004005006007008009001000-202去噪后的信号。
现代信号处理仿真作业一(318谐波恢复)
现代信号处理仿真作业一(3.18谐波恢复)班级：自研42 姓名：李琳琳 学号：2004211068一． 谐波恢复的基本理论和方法：1． Pisarenko 谐波分解理论谐波过程可用差分方程描述，首先利用Pisarenko 谐波分解理论推导谐波过程所对应的差分方程。
对单个正弦波()sin(2)x n fn πθ=+利用三角函数恒等式，有：()2cos(2)(1)(2)0x n f x n x n π--+-=对上式作z 变换，得： 12[12cos(2)]()0f z z X z π---+=得到特征多项式：1212cos(2)0f z z π---+=。
由此可见，正弦波的频率可以由相应特征方程的一对共轭根来决定：|arctan[Im()/Re()]|/2i i i f z z π=将单个正弦波推广到多个正弦波的情形，得：如果p 个实的正弦波信号没有重复频率的话，则这p 个频率应该由特征多项式1(21)212110p p p a z a z z -----++++= (1)的根决定。
由此可得到p 个实正弦波所组成的谐波过程可以用以下的差分方程进行描述：21()()0pi i x n a xn i =+-=∑这是一个无激励的AR 过程。
2. 谐波恢复的ARMA 建模法在无激励的AR 模型差分方程21()()0pi i x n a x n i =+-=∑两边同乘()x n k -，并取数学期望，则有：21()()0,px i x i R k a R k i k =+-=∀∑ (2)正弦波过程一般是在加性白噪声中被观测的，设加性白噪声为()w n ，即观测过程为： 1()()()sin(2)()pi i i i y n x n w n A f n w n πθ==+=++∑，其中()w n 为0均值的高斯白噪声。
由于谐波过程和加性白噪声统计独立，所以有：2()()()()()y x w x w R k R k R k R k k σδ=+=+ (3)将(3)式代入(2)式得： 21()()0,2py i y i R k a R k i k p =+-=>∑..................... . (4)这就是加性白噪声中观测到的p 个正弦信号所组成的谐波信号的ARMA 过程的所服从的法方程。
现代信号处理练习及答案(共6套试卷)
XX 大学信息工程专业 现代信号处理习题第一部分1.计算下面系统的冲激响应。
解：,)(1)0(,0)h(0(t),3h(t)(t)h 4)(321≥+=='==+'+''--++t eK e K t h h t h ttδ带入初值得 )h(0+,021=+=K K )0(+'h =1321=--K K 解之得 5.0,5.021-==K K所以 )(5.0-5.0)(32t e K e t h t t ε）（--=2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其全响应。
3.求下列函数的卷积积分。
解：4.求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。
解：5.求下列差分方程所描述的离散系统的全响应。
解：6.各序列的图形如下所示，求下列卷积和。
解：第二部分1.计算下面系统的冲激响应。
解：,)(1)0(,0)h(0(t),3h(t)(t)h 4)(321≥+=='==+'+''--++t eK e K t h h t h ttδ带入初值得 )h(0+,021=+=K K )0(+'h =1321=--K K 解之得 5.0,5.021-==K K所以 )(5.0-5.0)(32t e K e t h t t ε）（--=2已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求其全响应。
3.求下列函数的卷积积分。
解：4.求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。
解：5.求下列差分方程所描述的离散系统的全响应。
解：6.各序列的图形如下所示，求下列卷积和。
解：第三部分1.求下面系统的冲激响应。
解：2.已知系统的微分方程和初始状态如下，试求其完全响应。
解：3.求下列函数的卷积积分。
解：4.求下列差分方程所描述的离散系统的单位序列响应。
解：5.求下列差分方程所描述的离散系统的全响应。
解：6.各序列如下图所示，求其卷积。
解：。
现代信号处理大型作业题目+答案
研究生“现代信号处理”课程大型作业（以下四个题目任选三题做）1. 请用多层感知器（MLP ）神经网络误差反向传播（BP ）算法实现异或问题（输入为[00;01;10;11]X T =，要求可以判别输出为0或1），并画出学习曲线。
其中，非线性函数采用S 型Logistic 函数。
2. 试用奇阶互补法设计两带滤波器组(高、低通互补)，进而实现四带滤波器组；并画出其频响。
滤波器设计参数为：F p ＝1.7KHz , F r ＝2.3KHz , F s ＝8KHz , A rmin ≥70dB 。
3. 根据《现代数字信号处理》（姚天任等，华中理工大学出版社，2001）第四章附录提供的数据(pp.352-353)，试用如下方法估计其功率谱，并画出不同参数情况下的功率谱曲线： 1） Levinson 算法 2） Burg 算法 3） ARMA 模型法 4） MUSIC 算法4. 图1为均衡带限信号所引起失真的横向或格型自适应均衡器(其中横向FIR 系统长M =11), 系统输入是取值为±1的随机序列)(n x ，其均值为零；参考信号)7()(-=n x n d ；信道具有脉冲响应：12(2)[1cos()]1,2,3()20 n n h n Wπ-⎧+=⎪=⎨⎪⎩其它式中W 用来控制信道的幅度失真(W = 2～4, 如取W = 2.9,3.1,3.3,3.5等)，且信道受到均值为零、方差001.02=v σ(相当于信噪比为30dB)的高斯白噪声)(n v 的干扰。
试比较基于下列几种算法的自适应均衡器在不同信道失真、不同噪声干扰下的收敛情况(对应于每一种情况,在同一坐标下画出其学习曲线): 1） 横向/格-梯型结构LMS 算法 2） 横向/格-梯型结构RLS 算法 并分析其结果。
图1 横向或格-梯型自适应均衡器参考文献[1] 姚天任, 孙洪. 现代数字信号处理[M]. 武汉: 华中理工大学出版社, 2001[2] 杨绿溪. 现代数字信号处理[M]. 北京: 科学出版社, 2007[3] S. K. Mitra. 孙洪等译. 数字信号处理——基于计算机的方法(第三版)[M]. 北京: 电子工业出版社, 2006[4] S.Haykin, 郑宝玉等译. 自适应滤波器原理(第四版)[M].北京: 电子工业出版社, 2003[5] J. G. Proakis, C. M. Rader, F. Y. Ling, etc. Algorithms for Statistical Signal Processing [M].Beijing: Tsinghua University Press, 2003一、请用多层感知器（MLP）神经网络误差反向传播（BP）算法实现异或问题（输入为[00;01;10;11]，要求可以判别输出为0或1），并画出学习曲线。
现代数字信号处理习题
现代数字信号处理习题1.设()u n 是离散时间平稳随机过程，证明其功率谱()w 0S ≥。
证明：将()u n 通过冲激响应为()h n 的LTI 离散时间系统，设其频率响应()w H 为()001,w -w w 0,w -w wH w=?> 输出随机过程()y n 的功率谱为()()()2y S w H w S w =输出随机过程()y n 的平均功率为()()()002011r 022w wy y w w S w dw S w dw πππ+?-?==??当频率宽度w 0→时，上式可表⽰为()()()01r 00y S w w π=?≥由于频率0w 是任意的，所以有()w 0S ≥3、已知：状态⽅程 )()1,()1()1,()(1n n n n x n n F n x ν-Γ+--=观测⽅程)()()()(2n n x n C n z ν+= )()]()([111n Q n n E H =νν )()]()([222n Q n n E H=νν滤波初值 )]0([)|0(0x E x =ξ})]]0([)0()]][0([)0({[)0(H x E x x E x E P --=请简述在此已知条件下卡尔曼滤波算法的递推步骤。
解：步骤1 状态⼀步预测，即1*11)|1(?)1,()|(N n n C n x n n F n x ∈--=--∧ξξ步骤2 由观测信号z(n)计算新息过程，即1*11)|(?)()()|(?)()(M n n C n x n C n z n zn z n ∈-=-=--ξξα步骤3 ⼀步预测误差⾃相关矩阵1,()1()1,()1,(∈-Γ--Γ+---=-步骤4 新息过程⾃相关矩阵MM H C n Q n C n n P n C n A *2)()()1,()()(∈+-= 步骤5 卡尔曼增益MN H C n A n C n n P n K *1)()()1,()(∈-=- 或)()()()(12n Q n C n P n K H-= 步骤6 状态估计1*1)()()|(?)|(?N n n C n n K n x n x∈+=-αξξ步骤7 状态估计⾃相关矩阵 NN C n n P n C n K I n P *)1,()]()([)(∈--= 或)()()()]()()[1,()]()([)(2n K n Q n K n C n K I n n P n C n K I n P HH +---= 步骤8 重复步骤1-7，进⾏递推滤波计算 4、经典谱估计⽅法：直接法：⼜称为周期图法，它把随机序列x(n)的N 个观测数据视为⼀能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅⾥叶变换，得到X(k), 然后再取其幅值的平⽅，并除以N ，作为序列x(n)的真实功率普估计⾃相关法：1949年，Tukey 根据Wiener —Khintchine 定理提出了对有限长数据进⾏谱估计的⾃相关法，即利⽤有限长数据估计⾃相关函数，再对该⾃相关函数球傅⽴叶变换，从⽽得到谱的估计。
现代信号处理作业
现代信号处理作业1.总结学过的滤波器设计方法，用matlab仿真例子分析不同设计方法的滤波器的性能及适应场合。
答复:1.1模拟低通滤波器的设计方法1.1.1butterworth滤波器设计步骤：⑴.确定阶次n① 已知ωc、ωS和as，求出butterworthdf的阶数n1由：a??10lgh(j?)??10lg2nsas1?(?s/?c)a/10lg(10s?1)求出n：n?2lg(?s/?c)②已知ωc、ωs和ω=ωp(3db)的衰减ap求butterworthdf阶数nPlg(10p?1)n?2lg(?/?)pca/102得到n：③已知ωp、ωs和ω=ωp的衰减ap和as求butterworthdf阶数n1a？？10lgh（j？）？？10lg由Pap1提供？（？P/？C）2n然后：（？P/？C）2n？10ap/102？1，（？s/？c）2n？10as/10？一求出n:lg[(10ap/10?1)(10as/10?1)]n?2lg(?p/?s)⑵.用阶次n确定ha(s)根据公式：|哈（j？）|2s=ha（s）ha（？s）？=J1，分母？0，2n1？（s/j？c）12k？1j[？]22nsk？（？1）12n（j？c）？？ce，k？左半平面上1,2,2nha（s）ha（？s）的极点就是ha（s）的极点，所以hs(s)?n?c?(s?s)kk?1nsk??ce12k?1j[?]?22n，k?1,2,,n1.1.2切比雪夫低通滤波器设计步骤：⑴.确定技术指标?p?p?s?s正常化：？Pp/？P1.ss/？P⑵. 计算过滤器阶数n和？：ch?1(k1?1)100.1??1?1n?其中k1??10.1?ch?s10?1sp0.1?2?1p??10⑶.求出归一化系统函数其中极点由下式求出：圆周率？？嘘？sin[ha（p）-（2k？1）-（2k？1）]？jch？cos[]2n1？？2n？1.（p？p）ii？1便士？s/？pnha（s）？Ha（P）或Ha（P）可以通过直接从N和s中查找表来获得?s?⑷.去归一化：ha(s)?h（ap）=hap?2.数字低通滤波器的设计步骤：（1）确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率、阻带截止频率、阻带最小衰减系数？s（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。
现代信号处理大作业
现代信号处理大型作业一．试用奇阶互补法设计两带滤波器组(高、低通互补)，进而实现四带滤波器组；并画出其频响。
滤波器设计参数为：F p ＝1.7KHz , F r ＝2.3KHz , F s ＝8KHz , A rmin ≥70dB 。
（一）、分析与通常的滤波器相比，互补滤波器具有优良的结构特性和结构特性，具有较低的噪声能量和系数敏感性，其定义如下：一组滤波器H 12(),(),.......()Z H Z H Z n 如果满足下式：He Kjw k n(),==∑110<w<2π 则称这组滤波器为幅度互补滤波器;如果满足下式：He kjw k n()=∑=121, 0<w<2π则称这组滤波器为功率互补滤波器，同时互补滤波器还应该满足：Hz A z kk n()()=∑=1其中A(z)为全通函数，适当的选择全通函数，可以使两带函数具有所需要的低通和高通特性。
（二）、设计步骤(1) 对Fp 、Fr 进行预畸);();(''FsFrtg FsFptg r p ∏=Ω∏=Ω(2) 计算'''*r p c ΩΩ=Ω，判断'c Ω是否等于1，即该互补滤波器是否为互补镜像滤波器(3) 计算相关系数⎪⎩⎪⎨⎧-==+++=+-=-=ΩΩ=--=偶数)N 为(;21奇数)N 为 (;;lg /)16/1lg(;150152;1121;1;;])110)(110[(1213090500''02'''211－min1.0min1.0i i u q k N q q q q q k k q k k k k rp Ar Ap;)2cos()1(21))12(sin()1(21)1(21'2∑∑∞=∞=+-++-=Ωm mm m m m m i u Nm q u Nm q q ππ;42⎥⎦⎤⎢⎣⎡=N N;221N N N -⎥⎦⎤⎢⎣⎡=;)/1)(1(2'2'k k v i i i Ω-Ω-=12'1212,1;12N i v i i i =Ω+=--α 22'22,1;12N i v iii =Ω+=β (4) 互补镜像滤波器的数字实现;22i ii A αα+-=;22iii B ββ+-=1221,1;1)(N i ZA Z A Z H i i i =++=∏--22212,1;1)(N i ZB Z B Z Z H i i i =++=∏--- )];()([21)(21Z H Z H Z H L +=（三）、程序与结果 1． 二带滤波器组 （1） 源程序： clear; clf;Fp=1700;Fr=2300;Fs=8000; Wp=tan(pi*Fp/Fs); Wr=tan(pi*Fr/Fs); Wc=sqrt(Wp*Wr); k=Wp/Wr;k1=sqrt(sqrt(1-k^2)); q0=0.5*(1-k1)/(1+k1);q=q0+2*q0^5+15*q0^9+150*q0^13; N=11;N2=fix(N/4); M=fix(N/2); N1=M-N2; for jj=1:M a=0;for m=0:5a=a+(-1)^m*q^(m*(m+1))*sin((2*m+1)*pi*jj/N);%N is odd, u=j end ab=0;for m=1:5b=b+(-1)^m*q^(m^2)*cos(2*m*pi*jj/N); end bW(jj)=2*q^0.25*a/(1+2*b);V(jj)=sqrt((1-k*W(jj)^2)*(1-W(jj)^2/k)); endfor i=1:N1alpha(i)=2*V(2*i-1)/(1+W(2*i-1)^2); endfor i=1:N2beta(i)=2*V(2*i)/(1+W(2*i)^2); endfor i=1:N1a(i)=(1-alpha(i)*Wc+Wc^2)/(1+alpha(i)*Wc+Wc^2); endfor i=1:N2b(i)=(1-beta(i)*Wc+Wc^2)/(1+beta(i)*Wc+Wc^2); endw=0:0.0001:0.5;LP=zeros(size(w));HP=zeros(size(w));for n=1:length(w)z=exp(j*w(n)*2*pi);H1=1;for i=1:N1H1=H1*(a(i)+z^(-2))/(1+a(i)*z^(-2)) ;endH2=1/z;for i=1:N2H2=H2*(b(i)+z^(-2))/(1+b(i)*z^(-2));endLP(n)=abs((H1+H2)/2);HP(n)=abs((H1-H2)/2);endplot(w,LP,'b',w,HP,'r');hold on;xlabel('digital frequency');ylabel('amptitude');（2）运行结果：见图1图1 二带数字滤波器组2．四带滤波器组（1）源程序：clf;Fp=1700;Fr=2300;Fs=8000;Wp=tan(pi*Fp/Fs);Wr=tan(pi*Fr/Fs);Wc=sqrt(Wp*Wr);k=Wp/Wr;k1=sqrt(sqrt(1-k^2));q0=0.5*(1-k1)/(1+k1);q=q0+2*q0^5+15*q0^9+150*q0^13;N=11;N2=fix(N/4);M=fix(N/2);N1=M-N2;for jj=1:Ma=0;for m=0:5a=a+(-1)^m*q^(m*(m+1))*sin((2*m+1)*pi*jj/N); % N is odd, u=jendb=0;for m=1:5b=b+(-1)^m*q^(m^2)*cos(2*m*pi*jj/N);endW(jj)=2*q^0.25*a/(1+2*b);V(jj)=sqrt((1-k*W(jj)^2)*(1-W(jj)^2/k));Endfor i=1:N1alpha(i)=2*V(2*i-1)/(1+W(2*i-1)^2);endfor i=1:N2beta(i)=2*V(2*i)/(1+W(2*i)^2);endfor i=1:N1a(i)=(1-alpha(i)*Wc+Wc^2)/(1+alpha(i)*Wc+Wc^2);endfor i=1:N2b(i)=(1-beta(i)*Wc+Wc^2)/(1+beta(i)*Wc+Wc^2);endw=0:0.0001:0.5;LLP=zeros(size(w));LHP=zeros(size(w));HLP=zeros(size(w));HHP=zeros(size(w));for n=1:length(w)z=exp(j*w(n)*2*pi);H1=1;for i=1:N1H1=H1*(a(i)+z^(-2))/(1+a(i)*z^(-2)) ;endH21=1;for i=1:N1H21=H21*(a(i)+z^(-4))/(1+a(i)*z^(-4)) ;H2=1/z;for i=1:N2H2=H2*(b(i)+z^(-2))/(1+b(i)*z^(-2));endH22=1/(z^2);for i=1:N2H22=H22*(b(i)+z^(-4))/(1+b(i)*z^(-4));endLP=((H1+H2)/2);HP=((H1-H2)/2);LLP(n)=abs((H21+H22)/2*LP);LHP(n)=abs((H21-H22)/2*LP);HHP(n)=abs((H21+H22)/2*HP);HLP(n)=abs((H21-H22)/2*HP);endplot(w,LLP,'b',w,LHP,'r',w,HLP,'k',w,HHP,'m')hold onxlabel('digital frequency');ylabel('amptitude');（2）运行结果：见图2图2 四带数字滤波器组二、根据《现代数字信号处理》第四章提供的数据，试用如下方法估计其功率谱，并画出不同参数情况下的功率谱曲线：1）Levison算法2）Burg算法3） ARMA 模型法 4） MUSIC 算法 1 Levinson 算法Levinson 算法用于求解Yule-Walker 方程，是一种按阶次进行递推的算法，即首先以AR （0）和AR （1）模型参数作为初始条件，计算AR （2）模型参数；然后根据这些参数计算AR （3）参数，等等，一直到计算出AR （p ）模型参数为止，需要的运算量数量级为2p ，其中p 为AR 模型的阶数。
现代信号处理例题及matlab代码实现
《现代信号处理》期末考核作业1 MATLAB仿真均值为0，方差为1的白噪声信号，信号长度N=1024，并用周期图法分别求500、1000和1500次实现的平均功率谱密度，画图。
程序代码如下：clear;clear all;N=1024;%数据长度Nfft=1024;%FFT所采用的数据长度n=0:N-1;wn=randn(1,N);%产生随机白噪声subplot(2,2,1);%绘出白噪声序列plot(n,wn);title('白噪声');%500次实现的平均功率谱密度s=zeros(1,N);for i=1:500wn=randn(1,N);%产生随机白噪声Pxx=10*log10(abs(fft(wn,Nfft).^2)/N);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转换为dbs=s+Pxx;ends=s/500;f=(0:length(Pxx)-1)/length(Pxx);%绘出频率序列subplot(222);plot(f,s);xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('500次实现的平均功率谱密度');grid on;%1000次实现的平均功率谱密度s=zeros(1,N);for i=1:1000wn=randn(1,N);%产生随机白噪声Pxx=10*log10(abs(fft(wn,Nfft).^2)/N);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转换为dbs=s+Pxx;ends=s/1000;f=(0:length(Pxx)-1)/length(Pxx);%绘出频率序列subplot(223);plot(f,s);xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('1000次实现的平均功率谱密度');grid on;%500次实现的平均功率谱密度s=zeros(1,N);for i=1:1500wn=randn(1,N);%产生随机白噪声Pxx=10*log10(abs(fft(wn,Nfft).^2)/N);%Fourier振幅谱平方的平均值，并转换为dbs=s+Pxx;ends=s/1500;f=(0:length(Pxx)-1)/length(Pxx);%绘出频率序列subplot(224);plot(f,s);xlabel('频率/Hz');ylabel('功率谱/dB');title('1500次实现的平均功率谱密度');grid on;实验结果图如下：2仿真如下随机过程：sin(n+)sin(n+)23n n x V ππ=++φφ其中：V n 是均值为0，方差为1的Gaussian 白噪声过程，Φ为随机相位，在[0，2π]间服从均匀分布。
现代信号处理期末作业
现代信号处理期末作业
1.假设一物体围绕一圆周运动，角加速度是高斯白噪声，观测噪声也是零均值
的白噪声，通过编程实现使用卡尔曼滤波器实现运动物体的跟踪
设计思路：卡尔曼滤波是采用递推的算法实现的，其基本思想是先不考虑输入信号ωk和观测噪声vk的影响，得到状态变量和输出信号(观测数据)的估计值，再用输出信号的估计误差加权后校正状态变量的估计值，使状态变量估计误差的均方值最小。
这个题目设计时，就先给出题目中给出的高斯白噪声的产生，然后通过状态方程运用，从而计算输出，然后进行校正。
此图为卡尔曼滤波器输出值与观测值显示，从图中可以看到输出值与观测值基本一致。
跟踪的实现，通过一个循环，通过for循环，不断画出卡尔曼滤波器输出值和观测值，从而实现跟踪。
图中圆周上两个点会随着时间不断变化，实现跟踪。
2.设计一个自适应滤波器，进行未知系统识别。
设计思路：先假定一未知滤波器，然后可以得到未知滤波器的输出，然后通过将参数带入自适应滤波器，通过自适应滤波器，然后将未知系统和自适应输出的时域冲击响应进行对比，然后对扶贫响应进行对比，从而识别未知系统
3.设计一个自适应滤波器，对x(n)进行分离。
只需要产生一个信号并加入噪声，通过自适应滤波器，输出信号即为预测信号。
北京邮电大学-现代信号处理-作业
２01２１1120３班ﻩﻩＡa ｒon Ｈwa ｎg ﻩﻩ学号:201２14０６１91．2 设()5cos(0.25),0,1,,15,x n n n π==为有限长序列。
(1）计算１６点DFT ，并画出幅度谱序列。
解：程序代码如下n ＝0:１5;x ＝5*cos （0.25*p ｉ＊ｎ）； figur ｅ(1); ｓｔem(ｎ,ｘ)；x ｌａbel （'ｎ＇）;ylabe ｌ（＇x(ｎ）＇)； X=fft （x)； X=ab ｓ(X ）; f ｉｇｕre （2)； ｓte ｍ(n,X);ｘlabel （'k');y ｌa ｂe ｌ(＇Ｘ(Ｋ）'）;所得图像如下 ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩ(2）在给序列后面补１６个零后,计算3２点DFT,并画出DF Ｔ幅度谱序列。
解:程序代码如下ｎ=0:31; n1=0:15;x1=５*c ｏｓ(0．25*ｐi*n1)； x ＝[x1 ze ｒos(1,16)］; f ｉgu ｒｅ(1);ｓt ｅm(n ，x);xlabel(＇n');y ｌa ｂe ｌ('x(n ）')； X ＝ff ｔ(ｘ); X=abs(X);fi ｇｕre （2);ｓt ｅｍ(ｎ,X);s ｔem(ｎ,Ｘｋ）;xlabel('ｋ＇)；ｙlabe ｌ(＇X(ｋ)＇);所得图像如下:ﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ（3）把DFT 的点数扩大为6４，然后重复(2) 解:程序代码如下n ＝０：6３； n1=０:15;x1=５*ｃos （0.２5*pi*ｎ１）; x=[x １ zer ｏs(１，４8)]； ｆi ｇｕr ｅ(１);ｓte ｍ（n ，x ）；xl ａbel （'n ＇）;yl ａbe ｌ（'ｘ(n)'); X ＝ff ｔ(x); X=ａｂｓ（X)；fi ｇu ｒe （2）；st ｅm （n,X ）;s ｔｅm （n,X);ｘla ｂe ｌ（'k');y ｌａb ｅl('X （ｋ)＇); 所得图像如下:ﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩﻩﻩﻩ(4）依据D ＴFT 与ＤFT 之间的关系,解释补零操作对DFT 的影响。
现代信号处理,信号短时傅里叶变换分析作业
现代信号处理第一次作业令 x(n)=5e^[j(0.15n^2)]+ 6e^[j(300n-0.15n^2)]，w(n)为高斯窗函数。
试用matlab软件，取不同长度的窗函数，分别求x(n)离散短时傅里叶变换，并进行信号重构。
试讨论窗函数长度对时频分辨率、重构精度的影响。
解：Matlab代码见附件。
1.当取高斯窗函数的长度为7时短时傅里叶变换的时频图如下：可以看出，时间分辨率比较高，但频率分辨率比较低。
在此窗函数作用下，重构图像与原始图像的差图如下：可以看出，两幅图最大差值接近4*10-15。
2.将高斯窗函数的长度设为255时所得时频图如下：可以看出在窗函数长度比较大的时候，时间分辨率比较低，但频率分辨率比较高。
此时，进行信号重构，重构后的图像与原始图像的差图如下：此时两者的最大差值接近2.5*10-14，显然比窗函数为7时的要大。
所以，STFT的时间分辨率由窗函数的宽度决定，STFT的频率分辨率由窗函数的频谱宽度决定。
时间分辨率与频率分辨率的乘积为一个常量。
窗函数宽度越长，时间分辨率越低，频率分辨率越高，信号重构精度越差。
代码：N=256.75;n=1:0.25:N;m=length(n);%产生线性调频信号x=5*exp(j*0.15*n.*n)+6*exp(j*(300*n-0.15*n.*n));figure(1);plot(n,x);figure(1);plot(n,x);figure(2);plot(n,x);xlabel('时间n');ylabel('幅值A');% 产生高斯窗函数w = window(@gausswin,7);% 计算短时傅里叶变换y=x';tfrstft(y,1:m,m,w);[tfr,t,f]=tfrstft(y,1:m,m,w);% 进行短时傅里叶反变换g=tfristft(tfr,1:m,w);% 画出重构信号与原始信号的差图figure(3);plot(n,abs(g-y));xlabel('时间n');ylabel('差值');。
现代信号处理作业
现代信号处理作业2014年6月Cramer-Rao 不等式的证明定义：设),,,(21n x x x θθ=为参数θ的估计子，参数θ的估计子θ 的偏差定义为该估计子误差的期望值，即θθθθθ-=-=}{}{)(E E b def则估计子θ 称为无偏估计子。
若变差)(θ b 等于零或者θθ=}{ E ，即估计子的期望值等于真实参数，则成估计子θ 的渐进无偏估计子。
无偏性反映了参数估计量的取值在真值θ周围摆动程度。
一个参数往往具有不止一个无偏估计子，因此引入了估计量的有效性这一概念来判断偏估计的优劣，以方差大小来衡量无偏估计子的有效性。
假定参数θ存在无偏估计子1θ 和2θ ，若1θ 具有比2θ 更大的方差，即)var()var(21θθ >，则2θ 对于1θ 相对有效。
对于任意参数θ，我们自然希望得到其更为有效的无偏估计子，即要求方差值尽量小。
究竟无偏估计量的方差能够小到什么程度，是否有下界？如果有，是否有估计子能达到这一下届？这就是本次要讨论的Cramer-Rao 下界。
定义：参数θ的估计子θ 的均方误差)(2θ M 定义为该估计子与真实参数的误差平方的期望值，即)()var(}){()(222θθθθθ b E M +=-=定理：（Cramer-Rao 不等式）令),,,(21n x x x x =为样本向量。
若参数估计θ是真实参数θ的无偏估计，并且θθ∂∂)|(x f 和22)|(θθ∂∂x f 存在，则θ 的均方误差所能达到的下界成为Cramer-Rao 下界等于Fisher 信息的倒数，即)(1}){()(22θθθθJ E M ≥-= 不等式中等号成立的充分必要条件是))(()|(ln θθθθθ-=∂∂ K x f 。
其中)(θK 是θ的某个正函数，并与样本n x x x ,,,21 无关。
定义：品质函数的的方差成为Fisher 信息，用)(θJ 表示，定义为)}|(ln {})]|(ln {[)(222θθθθθx f E x f E J ∂∂-=∂∂=证明Cramer-Rao 不等式：由假设条件可得θθ=}{ E ，则可得0)|()(}{=-=-⎰∞∞-dx x f E θθθθθ（1） 对式（1）两边求偏导，得0)|()(}{=-∂∂=-∂∂⎰∞∞-dx x f E θθθθθθθ 即可得 0)|()()|(=∂∂-+-⎰⎰∞∞-∞∞-dx x f dx x f θθθθθ（2） 另，由复合函数求导法可得)|()|(ln )|(θθθθθx f x f x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=∂∂ （3） 又有 ⎰∞∞-=1)|(dx x f θ （4）将式（3）和式（4）代入到式（2），得1))(|()|(ln =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰∞∞-dx x f x f θθθθθ 可改写为 []1)|()()|()|(ln =-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰∞∞-dx x f x f x f θθθθθθ （5） 由Cauchy-Schwartz 不等式，可得1)()|()|()|(ln 2≥-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰∞∞-∞∞-dx x f dx x f x f θθθθθθ 则 ⎰⎰∞∞-∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂≥-dx x f x f dx x f )|()|(ln 1)()|(2θθθθθθ （6） 由Cauchy-Schwartz 不等式等号成立的条件可知：当且仅当)|())(()|()|(ln θθθθθθθx f K x f x f -=∂∂ ，不等式可取等号。
北京邮电大学-现代信号处理-作业
2012111203班AaronHwang 学号：20121406191.2 设 x(n) =5cos(0.25二n), n =0,1^|,15,为有限长序列。
(1) 计算16点DFT并画出幅度谱序列解：程序代码如下n=0:15;x=5*cos(0.25*pi* n);figure(1);stem( n, x);xlabel(' n');ylabel('x( n)');X=fft(x);X=abs(X);figure(2);stem( n,X); xlabel('k');ylabel('X(K)');所得图像如下(2) 在给序列后面补16个零后，计算32点DFT并画出DFT畐度谱序列解：程序代码如下n=0:31;n1=0:15;x1=5*cos(0.25*pi* n1);x=[x1 zeros(1,16)];figure(1);stem( n,x);xlabel(' n');ylabel('x (n)');X=fft(x);X=abs(X);figure (2) ;stem( n,X);stem( n,Xk);xlabel('k');ylabel('X(k)');所得图像如下：(4)依据DTFT 与 DFT 之间的关系，解释补零操作对 DFT 的影响。
解：通过补零操作和DFT 点数的增加可以更加准确的得出原信号的 DFS 图像。
1.5 ( 1)设H 1(z) = 1 - r o e -1扯z ，为单零点系统的传递函数，求其幅度响应HMe^)的解析式。
令r 。
=0.95「0 =0.25二，画出幅度响应的草图。
解：由已知H i (z) = 1 - r °e，可知响应为|H i (e j)|=、1 r 。
22r °cos( s •)(3)把DFT 的点数扩大为64,然后重复(2) 解：程序代码如下 n=0:63; n1=0:15; x1=5*cos(0.25*pi* n1) x=[x1 zeros(1,48)]; figure(1);stem( n,x);xlabel(' n');ylabel('x (n)'); X=fft(x); X=abs(X);figure (2) ;stem( n,X);stem( n, X);xlabel('k');ylabel('X(k)');所得图像如下：程序代码如下r0=0.95;w0=0.25*pi;w=li nspace(0,2*pi,100);H=1-rO*exp(-j*wO)*exp(-j*w);plot(w,abs(H));title('H (jw)');所得图像如下：(2)设H2(Z)= --------- ［竹为单极点系统的传递函数，求其幅度响应H2(e尬)的解析1 -r0e式。
现代信号处理大作业
1. Levinson-Durbin 算法1.1 Levinson-Durbin 算法P 阶AR 模型的差分方程为：1x()()()pi i n a x n i w n =+-=∑，其中()w n 是均值为0的白噪声。
AR 过程的线性预测方法为：先求得观测数据的自相关函数，然后利用Yule-Walker 方程递推求得模型参数，再根据公式求得功率谱的估计。
LD 递推算法是一种采用AR 模型的现代谱估计方法。
LD 递推算法具体计算步骤如下：（1） Yule-Walker 方程的矩阵形式如下所示：2,1,1(0)(1)(2)()(1)(0)(1)(1)0()(1)(2)(0)0xx xx xx xx k xx xx xx x k k xx xx xx xx r r r r k a r r r r k a r k r k r k r σ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦系数矩阵Hxx xx R R =为Hermitian 矩阵，其中k=1,2……p, (i=1…k)表示k 阶时的预测系数，通过归纳递推求解出p 阶的预测系数。
（2） 当p=1时，即一阶递推为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01)0()1()1()0(211,1σa R R R R x x x x求解可得：1,01,1211,1(1)1, (0)(0)(1)x x x x R a a R R a R σ==-=+（3） 当2≥p 时，递推公式如下：10,≡p a , *,1,1,kp p p k p k p a K a a ---+=, ]1[2212p p p K -=-σσ 21,-∆-==p pp p p a K σ, ∑-=--+=∆11,1)()(p k x kp x p k p R ap R矩阵x R 已知，可得到各阶AR 模型系数为：)0())1(1( ,)0()1()1(2111xx xx xx r a r r a -=-=ρ11111)()()()(--=--∑-+-=∆-=k k l xx k xx k kk l k r l a k r k a ρρ1,,2,1)()()()(*11-=-+=--k i i k a k a i a i a k k k k12))(1(--=k k k k a ρρ1.2 MATLAB 算法实现function [a_p var_p] = Levinson_Durbin(x,p) N = length(x); for ii=1:NRxx(ii) = x(1:N-ii+1)*(x(ii:N))'/N; end a(1)=1;a(2)=-Rxx(2)/Rxx(1);for k=1:p-1 % Levinson-Durbin algorithm var(k+1) = Rxx(0+1)+a(1+1:k+1)*Rxx(1+1:k+1)';reflect_coefficient(k+1+1) = -a(0+1:k+1)*(fliplr(Rxx(2:k+1+1)))'/var(k+1); var(k+1+1) = (1-(reflect_coefficient(k+1+1))^2)*var(k+1); a_temp(1) = 1; for kk=1:ka_temp(kk+1) = a(kk+1)+reflect_coefficient(k+1+1)*a(k+1-kk+1); enda_temp(k+1+1) = reflect_coefficient(k+1+1); a = a_temp; enda_p = a; % prediction coeffecients var_p = var(p+1); % prediction error power1.3 仿真结果（1） 当=2p 时，仿真结果如下：图1 p=2时仿真结果图预测系数：222[(0),(1),(2)]a a a =[1,-0.5236,0.5094]； 误差功率：0.9790（2） 当=10p 时，仿真结果如下：图2 p=10时仿真结果图预测系数：101010[(0),(1),(2),]a a a = [1,-0.4956,0.5058,-0.0057,0.0373,-0.0161,0.0276,0.0285,-0.0221,0.0212,-0.0179] 误差功率：0.9963（3） 当=50p 时，仿真结果如下：图3 p=50时仿真结果图预测系数：50505050[(0),(1),(2),,(50)]a a a a =[1,-0.4958,0.5031,…,0.0078,0.0191]误差功率：0.96761.4 结果分析从p=2的仿真结果可以看出估计得到的功率谱与原始功率谱基本吻合，且曲线平滑没有毛刺；p=10时，采用LD 算法进行估计后，得到的功率谱产生振荡；p=50时，得到的功率谱产生较大的振荡。
西南交大现代信号处理期末作业
ˆ 和B ˆ 的估计方差的Cramer-Rao下 于 2 ，而A和B是两个待估计的未知参数。求估计子 A
界。 3. 信号的函数表达式为：x(t ) sin(2100t ) 1.5*sin(2 300t ) A(t )sin(2 200t ) dn(t ) n(t ) ， 其中，A(t)为一随时间变化的随机过程，dn(t)为经过390-410Hz带通滤波器后的高斯白 噪声，n(t)为高斯白噪声，采样频率为1kHz，采样时间为2.048s。分别利用Wiener滤波 和Kalman滤波进行去噪。 4. 信号的函数表达式: x(t ) sin(2100t ) 1.5*sin(2 300t ) A(t )sin(2 200t ) dn(t ) n(t ) ， 其 中，A(t)为一随时间变化的随机过程，dn(t)为经过390-410Hz带通滤波器后的高斯白噪 声，n(t)为高斯白噪声，采样频率为1kHz，采样时间为2.048s。分别利用经典功率谱和 现代功率谱进行去频率的估计。 5. 附件中表sheet1为某地2008年4月28日凌晨12点至2008年5月4日凌晨12点的电力系统负 荷数据，采样时间间隔为1小时，利用ARMA方法预测该地5月5日的电力系统负荷，并给
而B是一个具有零均值和单位方差的标准高斯随机变量，即其分布函数为
f B (b)
1 exp(b 2 / 2), b 2
2 （1） 求x(t)的均值 x (t ) 、方差 x (t ) 、自相关函数 Rx ( ) 和自协方差函数 Cx ( ) 。
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（2） 若 与B为相互统计独立的随机变量，求x(t)和y(t)的互相关函数 Rxy ( ) 与互协方差函 数 Cxy ( ) 。 2. 一观测过程由 x(n) A Bn (n) 描述，其中 (n) 为高斯白噪声，均值为零，方差等
现代信号处理及其应用作业
成绩：现代信号处理及其应用题目:现代信号处理在智能交通系统中的应用学号:121044408姓名:何俊霖2015年6月10日现代信号处理在智能交通系统中的应用摘要:如今科技高速发展，信息处理技术也日新月异，信息处理技术的发展将会影响人们的生活。
本文主要论述了现代信号中的图像信号处理技术在智能交通管理系统中应用的热点和关键问题。
针对智能交通管理系统的多个应用实例,如城市交通智能监控、电子警察系统及流量监测和交通诱导系统等,本文给出了应用视频技术的解决方案,并与传统的交通管理方式作了对比。
关键字:图像信号处理；交通管理系统；视频监控引言在世界经济飞速发展的今天,交通在国民经济中占据着越来越来重要的地位，交通的现代化程度成为衡量一国一城现代化水平的重要标志。
然而,交通的现代化却带来了许多问题:道路的拥挤、事故的增加交通环境的恶化等等。
这就需要有强有力的交通管理手段,而旧有的依靠人为管理的管理系统由于效率低、成本高,显然己不适应交通现状。
第一代交通自动管理系统采用无线遥感、红外、雷达等方式来获取环境信息,并传达给指挥人员,由指挥人员对交通实施管理,采用这种方式比纯人工方式有了巨大进步,减轻了交警的负担, 缓解了交警警力人员不足的问题。
但是采用这种方式也有其缺点,指挥人员接收到的只是信号、数据,对现场状况无法有更深入的了解,决策的正确性更多地依赖于经验,因此还不能说是真正的自动化、智能化。
得益于人工智能技术和硬件技术的飞速发展, 图像和视频技术已经广泛应用于新一代，智能交通系统( IST )中。
人工智能技术使系统的判定更可靠、算法更优化。
硬件技术的发展使我们可以获得更加高质量的图像,并为我们系统的实时性提供了保证。
据统计,正常人从外界获取的信息中75%以上是通过眼睛获得的,而司机则达到了90%以上。
第一代交通自动管理系统是利用微波、遥感等方式获取信息的, 大约相当于利用人的听觉、触觉来代替人的视觉,效果形同盲人摸象。
现代信号处理作业
if (fpe(m)-fpe(m+1))<1e-6 %用FPE准则定阶
break
end
m=m+1;
end
end
disp(['根据模型求出的自相关序列为：',num2str(R)])
disp(['题目给出的AR模型参数为：',num2str(a1)])
R1 = [R(3),R(2),R(1);R(4),R(3),R(2);R(5),R(4),R(3)];
r = [-R(4);-R(5);-R(6)];
A=linsolve(R1,r);%估计模型参数。
A
% 2)估计ARMA模型中的MA参数。
AA=[1,A(1),A(2),A(3)];
v =filter(AA,1,x);
结果与分析：
根据模型求出的自相关序列为：4.9377 4.3287 4.1964 3.8654 3.6481 3.4027 3.1919 2.986 2.797
题目给出的AR模型参数为：-0.58333 -0.375 0.041667
估计出的AR模型参数为：-0.56844 -0.36884 0.039549
（3）由于已经估计出ARMA模型的所有参数，根据ARMA模型与功率谱等价的关系可以算出功率谱，并用plot函数画出图形。
在这里，噪声方差为一，各阶参数都已经估计出，进而画出图形。
结果与分析：
A =
-0.2630
-0.1870
0.0537
B =
0.4696
0.0317
由结果可知，求解结果与已知系数相近，但存在一定误差，当观测的数据个数不断增大时，结果误差会不断减小，一直到不再用明显变化。
清华大学研究生 现代信号处理大作业__1up
现代信号处理 大作业-1大作业-1描述：求下列假设的最佳判决方式，并求解每种错误的概率。
（提示，可以假设K 非常大，并利用中心极限定理将大量同分布随机变量之和近似为高斯。
）200211222:[](0,):[](0,)=1:[](0,)H r k N H r k N k K H r k N σσσ::L : ，，解：根据题意2022210011(|)exp [](2)2KK k p r H r k πσσ=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑ 2122211111(|)exp [](2)2K K k p r H r k πσσ=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑2222212211(|)exp [](2)2K K k p r H r k πσσ=⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑ 假设判决为0H ，则应满足以下条件：00110011(|)()(|)()(|)()(|)()p r H p H p r H p H p r H p H p r H p H ≥⎧⎨≥⎩假设先验概率为0121()=()=()=3p H p H p H ，并假设0120σσσ≥≥>，代入上式得：212210012222100211exp []2211exp []22K K k KK k r k r k σσσσσσσσ==⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪≥-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪≥-⎢⎥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩∑∑ 进一步化简可得到：2101220122012202(ln ln )[]1122(ln ln )[]1122K k Kk K r k K r k σσσσσσσσ==-⎧≥⎪-⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎪⎩∑∑即 21020122220102(ln ln )(ln ln )[]max ,11112222Kk K K r k σσσσσσσσ=⎛⎫ ⎪-- ⎪≥ ⎪-- ⎪⎝⎭∑。
根据上述同样的思路，可以得到判决为1H ，需要满足：21021122221201(ln ln )(ln ln )[]11112222K k K K r k σσσσσσσσ=--≤≤--∑判决为2H ，需要满足：22021122220212(ln ln )(ln ln )[]min ,11112222Kk K K r k σσσσσσσσ=⎛⎫⎪-- ⎪≥ ⎪-- ⎪⎝⎭∑ 下面为了易于表述，记211[]()Kk r k f r K==∑。
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1.总结学过的滤波器设计方法，用matlab 仿真例子分析不同设计方法的滤波器的性能及适应场合。
答：1.1模拟低通滤波器的设计方法 1.1.1 Butterworth 滤波器设计步骤： ⑴.确定阶次N① 已知Ωc 、Ωs 和As 求Butterworth DF 阶数N② 已知Ωc 、Ωs 和Ω=Ωp()的衰减Ap 求Butterworth DF 阶数N③ 已知Ωp 、Ωs 和Ω=Ωp 的衰减Ap和As 求Butterworth DF 阶数N3dB p Ω≠-/10/1022(/)101,(/)101p s A A N N p c s c ΩΩ=-ΩΩ=-则：⑵.用阶次N 确定 根据公式：在左半平面的极点即为的极点，因而1.1.2 切比雪夫低通滤波器设计步骤： ⑴.确定技术指标归一化： ⑵.根据技术指标求出滤波器阶数N 及：⑶.求出归一化系统函数 其中极点由下式求出：()a H s 1,2,2N()()a a H s H s -()a H s 2,,N p Ωp αs Ωs α/1p p p λ=ΩΩ=/s s p λ=ΩΩε0.12101δε=-p δα=或者由和S 直接查表得2.数字低通滤波器的设计步骤：（1） 确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率pω、通带最大衰减系数pα、阻带截止频率ω、阻带最小衰减系数s α。
（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。
巴特沃斯：切比雪夫：N ()a H p /ss p λ=ΩΩ0.12101δε=-p δα=（3）把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数)(S H 映射成数字滤波器的系统函数)(z H 。
实现系统传递函数s 域至z 域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。
（3.1）脉冲响应不变法。
按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数()s H a 转换成数字低通滤波器的系统函数H(z)。
设模拟滤波器的传输函数为()s H a ，相应的单位冲激响应是()t h a ，()s H a =LT[()t h a ]，LT[.]代表拉氏变换，对()t h a 进行等间隔采样，采样间隔为T ，得到()nT h a ，将h(n)= ()nT h a 作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的Z 变换。
因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于()t h a 。
设模拟滤波器()s H a 只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将()s H a 用部分分式表示：()∑=-=Ni iia s s A s H 1，式中i s 为()s H a 的单阶极点。
将()s H a 逆拉氏变换得到()t h a ：())(1t u e A t h t s Ni i a i ∑== ，式中u(t)是单位阶跃函数。
对()t h a 进行等间隔采样，采样间隔为T,得到：())()(1nT u e A nT h n h nT s Ni i a i ∑===对上式进行Z 变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：()∑=--=Ni T s iz eA z H i 111 ， 经过一系列变换得到：)(1)(s kae z jk s HTz H sT Ω-=∑=（3.2）双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到±π/T 之间，再用sTe z =转换到z 平面上。
设Ha （s ），s=j Ω，经过非线性频率压缩后用Ha （s1），1s =j Ω1表示，这里用正切变换实现频率压缩：()T T 15.0tan 2Ω=Ω式中T 仍是采样间隔，当Ω1从-π/T 经过0变化到π/T 时，Ω则由-∞经过0变化到+∞，实现了s 平面上整个虚轴完全压缩到1s 平面上虚轴的±π/T 之间的转换。
这样便有()t s Ts z z T T th T s 111125.021--+-=Ω= 再通过sTe z = 转换到z 平面上，得到：11112--+-=z z T ss T s Tz -+=22令ωj e z j s =Ω=, ，有ωωj j e e T j --+-=Ω112 ω21tan 2T =Ω 两种方法比较：脉冲响应不变法的优点：1）模拟频率到数字频率的转换时线性的；2）数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。
缺点：会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器 双线性变换法优点：克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠 缺点：时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。
3.数字高通滤波器的设计步骤：① 数字高通滤波器的技术指标为：通带截止频率ωp 阻带截止频率ωs 通带衰减频率αP 阻带衰减频率 αs2/p p sw f F π=2/s s sw f F π=② 预畸变处理，将数字高通指标转换为模拟低通指标2cot()2s s w T Ω=2cot()2p p w T Ω=④ 确定阶数N 由1010lg((101)(101))2lg()ats p N δ--=ΩΩ （可由模拟低通滤波器设计方法可得） ④ 归一化及去归一化 查表令s=s/Ω 归一化模拟低通圆型系统函数G (P )=P 2+√2P +1⑤ 低通向高通转化 令s1=1/s 由频率变换公式 H a (s )=G (ρ)|p=x P ΩPℎS即可得⑥ 滤波器数字化 令1-1-z -1z 12s +=T 利用双线性变换化 H (z )=H a (s )|s=1−Z −11+Z −1带入数据可得数字高通H(z)数字高通不能采用脉冲响应不变法原因是：脉冲响应不变法有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。
而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。
4.数字带通滤波器的设计： 步骤：()a H s（1）确定性能指标: 在设计带通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标:通带截止频率wc1,wc2、阻带截止频率wr1，wr2、阻带最小衰减αs通带最大衰减αp(2) 对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变Ω=2T∗tan(w2)得到带通模拟滤波器H(s)的边界频率主要是通带截止频率ωp1,ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。
对双线性变换法一般T=2s通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2) 、wc2=(2/T)*tan(wp2/2)阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2)阻带最小衰减αs通带最大衰减αp(3)低通到带通频率变换λ=((Ω2)−(Ω02)B∗Ω)将模拟带通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。
B=wc2-wc1normwr1=(((wr1^2)-(w0^2))/(B*wr1))normwr2=(((wr2^2)-(w0^2))/(B*wr2))normwc1=(((wc1^2)-(w0^2))/(B*wc1))normwc2=(((wc2^2)-(w0^2))/(B*wc2)) 模拟低通滤波器指标： normwc ，normwr ，αp ，αs(4)设计模拟低通原型滤波器。
查表得到归一化低通传输函数G(p)：G (P )=1P 2+√2P +1用模拟低通滤波器设计方法（由巴特沃斯设计步骤或切比雪夫设计步骤）得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)(5)模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。
)(202)()(l u s s p a p G s H Ω-ΩΩ+==(6)利用双线性变换法将模拟带通滤波器Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)由1-1-z -1z 12s +=T 11112202)(--+-=Ω-ΩΩ+=z z s l u s s p 得到 H (z )=H a(s )|s=1−Z −11+Z −1也可以用脉冲响应不变法：)(1)(s kae z jk s HTz H sT Ω-=∑=两种方法比较比较：脉冲响应不变法数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应，因此时域特性逼近好。
但会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器 双线性变换法可以克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠但时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。
5.数字带阻滤波器的设计： 步骤：（1） 确定性能指标:通带截止频率wc1,wc2、阻带截止频率wr1，wr2、阻带最小衰减αs 通带最大衰减αp(2) 对带通数字滤波器H(z)的数字边界频率预畸变Ω=2T ∗tan (w 2) 主要是通带截止频率ωp1,ωp2;阻带截止频率ωs1，ωs2的转换。
对双线性变换法一般T=2s通带截止频率wc1=(2/T)*tan(wp1/2) 、wc2=(2/T)*tan(wp2/2) 阻带截止频率wr1=(2/T)*tan(ws1/2)、wr2=(2/T)*tan(ws2/2) 阻带最小衰减αs 通带最大衰减αp （由模拟低通滤波器设计方法可得） 模拟低通滤波器确定模拟带阻滤波器由模拟低通到模拟带阻的变换 这一模拟低通到带阻的变换关系为s =Ω02P P 2+Ω02 式中s 为模拟低通原型拉普拉斯变量(s=σ+jΩ)，p 为模拟带阻的拉普拉斯变 量(p =σ +jΩ )，Ω0是模拟带阻滤波器的几何中心频率。
令p =jΩ可得S =j Ω02ΩΩ02−Ω2 故p 平面的虚轴与s 平面的虚轴相对应，代入s=jΩ，消去j ，可得()a H sΩ=n 02ΩΩ02−Ω2低通的阻带映像到带阻的阻带ΩC =Ω02Ω1Ω02−Ω12 −ΩC =Ω02Ω2Ω02−Ω22化简得到：Ω0=Ω1Ω2̅̅̅̅̅̅̅=Ω2−Ω1=Ω1Ω3ΩC在H LP (s )中的变换关系，可得到带阻滤波器系统函数H BR p =H LP s |S=Ω02p (p 2+Ω02)⁄ 由模拟带阻到数字带阻的变换 仍利用双线性变换P =C 1+z−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅1−z −1 模拟低通原型滤波器的s 平面变换成数字带阻滤波器的z 平面的表达式 可得 S =D 1(1−Z −1)1−E1Z −1+Z −2从模拟低通系统函数H LP (s )，转换数字带阻系统函数 HBR p =HLP s|S=D 1(1−Z −1)1−E 1Z −1+Z −2数字带阻滤波器不能用脉冲响应不变法：原因是脉冲响应不变法有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通。
而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中。