一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ B ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定a 4)2(2--=∆ 解： 04>-∴a 实数根。
原方程有两个不相等的∴a 44-= 044>-∴a0<a 0>∆即2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ C ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）321x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴2332121==+x x x x ， 623232=⨯-=3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即：：为根的一元二次方程为和以32--∴5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x •等于（D ）（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－11212222121=-=-x x x x ，解： 的两根12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系(含解析)
中考数学专项练习一元二次方程系数与根的关系（含解析）一、单选题1.若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A.-2B.2C.3D.12.一元二次方程x2+3x﹣a=0的一个根为﹣1，则另一个根为（）A.﹣2B.2C.4D.﹣33.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，则m+n-mn的值是（）A.-7B.-3C.7D.34.若关于x一元二次方程x2﹣x﹣m+2=0的两根x1 ，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，则m的值为（）A.3B.-3C.2D.-25.下列方程中：①x2-2x-1=0，②2x2-7x+2=0，③x2-x+1=0两根互为倒数有（）A.0个B.1个C.2个D.3个6.设x1 ，x2是一元二次方程-2x-3=0的两根，则=（）A.6B.8C.1D.127.一元二次方程x2＋x－2＝0的两根之积是()A.－1B.－2C.1D.28.方程x2+2x-4=0的两根为x1 ，x2 ，则x1+x2的值为（）A.2B.－2C.D.－9.若矩形的长和宽是方程x2﹣7x+12=0的两根，则矩形的对角线之和为（）A.5B.7C.8D.1010.假如a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣4=0的两个根，那么a3b﹣2a2b 的值为（）A.-8B.8C.-16D.1611.假如是一元二次方程的两个实数根，那么的值是（）A.B.C.D.二、填空题12.设x1、x2是方程x2-4x+3=0的两根，则x1+x2=________.13.定义新运算“*”，规则：a*b= ，如1*2=2，* ．若x2+x﹣1=0的两根为x1 ，x2 ，则x1*x2=________．14.若x1、x2是方程2x2﹣3x﹣4=0的两个根，则x1•x2+x1+x2的值为________．15.若a、b是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则的值是_____ ___．16.写出一个以2和3为两根且二项系数为1的一元二次方程，你写的是________．17.若方程x2﹣3x+1=0的两根分别为x1和x2 ，则代数式x1+x2﹣x 1x2=________．18.若一个一元二次方程的两个根分别是1、3，请写出一个符合题意的一元二次方程________．三、运算题19.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.20.已知一元二次方程x2﹣6x+4=0的两根分别是a，b，求（1）a2+b2（2）a2﹣b2的值．四、解答题21.已知关于x的方程x2+x+a﹣1=0有一个根是1，求a的值及方程的另一个根．22.阅读材料：设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1 ，x2 ，则两根与方程系数之间有如下关系：x1+x2=﹣，x1•x2=．请依照该材料解题：已知x1 ，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，求+和x12x2+x1x22的值．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】根与系数的关系【解析】【分析】∵一元二次方程的两根分别是、，∴==3．故选C．2.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x﹣a=0的两个根，则x1+x2=﹣3，又﹣x2=﹣1，解得：x1=﹣2．即方程的另一个根是﹣2．故选：A．【分析】依照一元二次方程根与系数的关系x1+x2=﹣求另一个根即可．3.【答案】D【考点】根与系数的关系【解析】【分析】利用根与系数的关系求出m+n与mn的值，代入所求式子中运算即可求出值．【解答】∵x2-5x+2=0的两个解分别为m，n，∴m+n=5，mn=2，则m+n-mn=5-2=3．故选D【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练把握根与系数的关系是解本题的关键．4.【答案】A【考点】根与系数的关系【解析】【解答】解：依照题意得x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，∵（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣1，∴x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，∴﹣m+2﹣1+1=﹣1，∴m=3．故选A．【分析】依照根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2=﹣m+2，再变形等式（x 1﹣1）（x2﹣1）=﹣1得到x1x2﹣（x1+x2）+1=﹣1，则有﹣m+2﹣1+1=﹣1，然后解此一元一次方程即可．5.【答案】B【考点】一元二次方程的根与系数的关系【解析】【解答】两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，即，则a=c，∴只有②是正确的，③没有实数根．故答案为：B【分析】由两根互为倒数则说明两根之积为1且△≥0，可得出答案。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ） A ．x2+3x﹣2=0B．x2﹣3x+2=0C．x2﹣2x+3=0D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（ ） A ．﹣4B．﹣1C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（ ） A ．﹣10B．10C．﹣6D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣17．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣18．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（ ） A ．﹣2或3B．3C．﹣2D．﹣3或2i mA ．2B ．1C ．﹣1D ．0 10．（2014•黄冈样卷）设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ） A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A．﹣6B ．6C ．3D．﹣3 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13 13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1 14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x ﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A．﹣1B ．9C ．23D ．27 15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）A ．a=1B ．a=1或a=﹣2C ．a=2D ．a=1或a=216．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）A ．B ．C ．D ． 18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）A 9B ．±3C ．3D 5ei n re 19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12 21．（2011•鄂州模拟）已知p 2﹣p ﹣1=0，1﹣q ﹣q 2=0，且pq ≠1，则的值为（ ）A ．1B ．2C ．D ．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC 的一边a 为4，另两边b 、c 分别满足b 2﹣5b+6=0，c 2﹣5c+6=0，则△ABC 的周长为（ ） A ．9B ．10C ．9或10D ．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x+k 2=0的两根互为倒数，则k= _________ ．24．（2014•呼和浩特）已知m ，n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，则m 2﹣mn+3m+n= _________ ．25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 _________ ． 26．（2014•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）=0，则k 的值是 _________ ． 三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两实数根．（1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值；（2）已知等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长． 28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为x 1=1，x 2=2，则这个方程是（ ） A ．x 2+3x ﹣2=0B ．x 2﹣3x+2=0C ．x 2﹣2x+3=0D ．x 2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x 1=1，x 2=2则两根的和是3，积是2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C 、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选：B ．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负． 2．（2014•昆明）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ） A．﹣4B ．﹣1C ．1D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x 1•x 2=1．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．3．（2014•玉林）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ） A ．m=0时成立B ．m=2时成立C ．m=0或2时成立D ．不存在分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，∴x 1+x 2=m ，x 1x 2=m ﹣2．假设存在实数m 使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x 2﹣mx+m ﹣2=0即为x 2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A ．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x 1，x 2是方程x 2+px+q=0的两根时，那么x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．4．（2014•南昌）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10B ．9C ．7D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3）=10．故选：A ．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．（2014•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ） A．﹣10B ．10C ．﹣6D．﹣1分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=． 6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（ ） A ．﹣1或5B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，则x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选：D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（ ） A ．α+β=﹣1B．αβ=﹣1C．α2+β2=3D．+=﹣1考点：根与系数的关系．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β）2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选：D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．8．（2014•威海）方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ） A．﹣2或3B ．3C ．﹣2D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，再根据x 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2﹣（m+6）+m 2=0有两个相等的实数根得出b 2﹣4ac=0，求得m 的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x 1+x 2=m+6，x 1x 2=m 2，x 1+x 2=x 1x 2，∴m+6=m 2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x 2﹣（m+6）x+m 2=0有两个相等的实数根，∴△=b 2﹣4ac=（m+6）2﹣4m 2=﹣3m 2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选：C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2﹣4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x 的一元二次方程x 2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（ ）A 2B ．1C ．D 0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ） A ．2012B．2013C．2014D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ） A ．﹣6B．6C．3D．﹣3e t 分析：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0和3x 2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x 1x 2=﹣3，由一元二次方程3x 2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x 1x 2=2∴﹣3×2=﹣6故选A ．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式． 12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ） A ．19B ．18C ．15D ．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+（k 2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k 的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即（k ﹣2）2﹣4（k 2+3k+5）≥0所以 3k 2+16k+16≤0，所以 （3k+4）（k+4）≤0解得﹣4≤k ≤﹣．又由x 1+x 2=k ﹣2，x 1•x 2=k 2+3k+5，得x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=（k ﹣2）2﹣2（k 2+3k+5）=﹣k 2﹣10k ﹣6=19﹣（k+5）2，当k=﹣4时，x 12+x 22取最大值18．故选：B ．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△≥0先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） A ．a=﹣3，b=1B ．a=3，b=1C ．a=﹣，b=﹣1D ．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ） A ．﹣1B．9C．23D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；故选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（ ） A ．a=1B．a=1或a=﹣2C．a=2D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得t i me an dAl l t h i ng sa ﹣1=0，解得：a=1；②当x 1=x 2时，△=4﹣4（a ﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．故选：D ．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a 的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ） A ．4B ．3C ．﹣4D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，直接利用x 1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=﹣=4．故选A ．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键． 17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ） A ．B ．C ．D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ） A 9B ．±3C ．3D5i e dl l t h i ng si nt he i rb a re go od fo s ．．考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C ．点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：若方程两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ） A ．3B ．﹣3C ．13D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，然后将其代入x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x 1x 2=a ，x 1+x 2=﹣4，∴x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=x 1x 2﹣2（x 1+x 2）﹣5=a ﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；故选B ．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ） A．﹣4B ．6C ．8D ．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x 1+2）（x 2+2）=x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2（x 1+x 2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x 1、x 2是方程x 2﹣3x ﹣2=0的两个实数根．thingsintheirbeingareg∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2）+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（ ） A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（ ） A．9B．10C．9或10D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．Array分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m 、n 是方程x 2+2x ﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m 2+2m ﹣5=0∴m 2=5﹣2mm 2﹣mn+3m+n=（5﹣2m ）﹣（﹣5）+3m+n =10+m+n =10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键． 25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b 2﹣4ac ≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根，则△=b 2﹣4ac=4m 2﹣4（m 2+3m ﹣2）=8﹣12m ≥0，∴m ≤，∵x 1（x 2+x 1）+x 22=（x 2+x 1）2﹣x 1x 2=（﹣2m ）2﹣（m 2+3m ﹣2）=3m 2﹣3m+2=3（m 2﹣m+﹣）+2=3（m ﹣）2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是 ﹣2或﹣ ．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（2014•日照二模）已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80．求实数a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，由（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80变形得到3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，于是有3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a 的值．解答：解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）x+2a 2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥0所以a ≥5或a ≤1．…（3分）∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x 1x 2=﹣80，∴3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，∴3（3a ﹣1）2﹣16（2a 2﹣1）=﹣80，整理得，5a 2+18a ﹣99=0，∴（5a+33）（a ﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1•x 2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+k 2+2k=0有两个实数根x 1，x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k 使得x 1•x 2﹣x 12﹣x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo r考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k 的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，通过解该不等式即可求得k 的取值范围；（2）假设存在实数k 使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k 的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k 2+2k ）≥0，∴4k 2+4k+1﹣4k 2﹣8k ≥0∴1﹣4k ≥0，∴k ≤．∴当k ≤时，原方程有两个实数根． （2）假设存在实数k 使得≥0成立．∵x 1，x 2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k 2+2k ）﹣（2k+1）2≥0，整理得：﹣（k ﹣1）2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k ≤，∴不存在实数k 使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（2001•苏州）已知关于x 的一元二次方程，（1）求证：不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x 1、x 2是方程的两个根，且x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=5，求k 的值．n ga re go od fo rs 考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x 的一元二次方程，∴△=（﹣2k ）2﹣4×（k 2﹣2）=2k 2+8，∵2k 2+8＞0恒成立，∴不论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵x 1、x 2是方程的两个根，∴x 1+x 2=2k ，x 1•x 2=k 2﹣2，∴x 12﹣2kx 1+2x 1x 2=x 12﹣（x 1+x 2）x 1+2x 1x 2=x 1x 2=k 2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
一元二次方程根与系数地关系习题精选(含问题详解)
.一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题）23．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？222222+=﹣1222222212．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（），，22222217．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（）B C D18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）19．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那221．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（）D22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= _________ ．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= _________ ．25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________ ．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是_________ ．27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．30．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）是及两根之积2﹣= 3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？使=0则2222，．2﹣．也考查了一元二次方程的根的判别式．2+=﹣1 +得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进===1﹣= 22﹣．2、时，要注意等式中的22=2212．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是．13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是，，﹣=222α+β=﹣，αβ=﹣．222﹣﹣17．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（）B C Dm+n=，﹣，再变形+得到m+n=，﹣+==．﹣= 18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（），，再变形得，+22===3﹣．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那221．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（）变形为与得：是方程=p+变形为22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= ﹣1 ．，进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= 8 ．=25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．，﹣）﹣；时，有最小值＜成立；∴最小值为故答案为：26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是﹣2或﹣．﹣．或﹣．或﹣三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．﹣，时，△=（﹣））（+6×的值为﹣﹣．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．使得积的形式．k≤使得≥0，k≤使得≥030．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．，﹣4×（==k=±。
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一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足 x 1+x 2=x 1x 2，贝U m 的值是（ C . - 2D . - 3 或 22元二次方程 x + （ k+3） x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（ C . - 1 D .2 2（2014?黄冈样卷）设 a , b 是方程x +x - 2015=0的两个实数根，则 a +2a+b 的值为（ 2012B . 2013C . 2014D .11. （2014?江西模拟）一元二次方程 x 2- 2x - 3=0与3x 2- 11x+6=0的所有根的乘积等于（）A . -6B . 6C . 3D .-3 12 . （2014?峨眉山市二模） 已知X 1、X 2是方程X 2 - (k - 2) x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的取大值疋( )A .19 B . 18 C . 15 D . 1313 . （2014?陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程 x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3, x 1x 2=1，贝U a 、b 的值分别 是（ ）参考学习（2014?威海）方程X 2- (m +6) -2或3B .3 （2014?长沙模拟）若关于 X的 2 B .1 1. A .选择题(共(2014?宜宾) 2 .x +3x - 2=022小题）若关于x 的一元二次方程的两个根为 B . x 2- 3x+2=0 X 1=1, X 2=2，则这个方程是( )C . x 2- 2x+3=0D . X 2+3X +2=02. A (2014?昆明) -4已知 X 1,X 2是一元二次方程 x 2- 4X+仁0的两个实数根，则 X 1?x 2等于（ B . - 1 C . 1 3. (2014 ?玉林) X 1, x 2是关于x 的一元二次方程 x 2- mx+m - 2=0的两个实数根,是否存在实数m 使・X 1=0成立？则正确的结论是（ A . m=0时成立 m=2时成立C . m=0或2时成立D .不存在4. A (2014?南昌) 10a,x 2 - 2x - 3=0的两个实数根，则 a 2+ 3的值为（ 9C . 75. A .(2014 ?贵港) -10 若关于x 的一元二次方程 x 2+bx+c=0的两个实数根分别为 x 仁-2, B . 10 C . -6 x 2=4，则b+c 的值是（D . - 16. A(2014?烟台)-1或5关于 x 的方程x 2- ax+2a=0的两根的平方和是 5，贝V a 的值是（B . 1C . 57. A .2（2014?攀枝花）若方程 x +x -仁0的两实根为 a + 3 - 1 3,那么下列说法不正确的是（C . a 2+ 3=3) D .二 "a=-110. A . )20158.A .9. A .15.（2013?桂林）已知关于x 的一元二次方程 x 2+2x+a -仁0有两根为x 1和x 2,且x 12 -X 1x 2=0,则a 的值是（ ） A . a=1 B . a=1 或 a= - 2C . a=2D . a=1 或 a=216.（2013?天河区二模）已知一元二次方程 x 2- 4x+3=0两根为X 1、x 2,则x 1+x 2=（ ）A . 4B . 3C . - 4D . - 317 . （2013?青神县一模）已知 m 和n 是方程2x 2- 5x - 3=0的两根，则一 一一的值等于（） m n A .空B . 5C . _3D . _主53318 . （2012?莱芜）已知 m 、n 是方程x 2+2 . ：x+仁0的两根，则代数式 JnA 口％nn 的值为（ ）A . 9B .均C . 3D . 519 . （2012?天门）如果关于 x 的一元二次方程 x 2+4x+a=0的两个不相等实数根 X 1, X 2满足X 1X 2 -2x 1 - 2x 2- 5=0, 那么a 的值为（ ）A . 3B .-3C .13 D . -1320. （2011?锦江区模拟）若方程 x 2- 3x - 2=0的两实根为X 1、 X 2，则(X 1+2) (X 2+2) 的值为（)A . -4B . 6C . 8D . 1221. （2011?鄂州模拟）已知 2 P - p - 1=0， 1 -q -q 2=0，且pq 为，则竺乜的值为（ Q )A . 1B.2 C . 1D .Vs ■ 12222. （2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边 a 为4，另两边b 、 c 分别满足b 2- 5b+6=0， c 2 -5c+6=0， 则厶ABC 的周 长为（ ）A . 9B .10C . 9或10D . 8或9或10二.填空题（共4小题）23 . （2014?莱芜）若关于x 的方程x 2+ （k - 2） x+k 2=0的两根互为倒数，则 k= ______________ .2 224 . （2014?呼和浩特）已知 m , n 是方程x +2x - 5=0的两个实数根，则 m - mn+3m+n= _______________ 25 . （2014?广州）若关于 x 的方程x +2mx+m +3m - 2=0有两个实数根 x 1、x 2，则x 1 （x 2+x 1） +x 2的最小值为 —26 . （2014?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x + （2k+1 ） x+k - 2=0的两根为X 1和乂2，且（X 1 - 2） （X 1 - X 2）=0， 则k 的值是 _________ .A . a= — 3, b=1B . a=3, b=1C - a 」，b=- 16D ，p, b =114. (2013?湖北)已知 A . - 1a, B 是一兀二次方程B . 9x 2- 5x - 2=0的两个实数根，则C . 23a 2+ a + B 的值为(D . 27三.解答题（共4小题）2 227. (2014?泸州)已知x i, x2是关于x的一元二次方程x - 2 (m+1) x+m +5=0的两实数根.(1)若(x i - 1) (X2 - 1) =28，求m 的值；(2)已知等腰△ ABC的一边长为7,若X1, x2恰好是△ ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.3x1 28. (2014?日照二模)已知X1, x2是关于x的一元二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2-仁0的两个实数根，其满足( -X2) (x1 -3x2) = - 80.求实数a的所有可能值.2 一 229. (2013?孝感)已知关于x的一元二次方程x -( 2k+1) x+k +2k=0有两个实数根x1, x2.(1)求实数k的取值范围；(2)是否存在实数k使得X1?x2- X12-X22茅成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.30. (2001 ?苏州)已知关于x的一元二次方程/ - 2kx+-k2 - 2=02(1)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)设X1、x2是方程的两个根，且x12- 2kx1+2x1x2=5，求k的值.一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一 •选择题（共22小题） 1.（2014?宜宾）若关于x 的一元二次方程的两个根为 x l =1, x 2=2，则这个方程是（）2229A . X 2+3X - 2=0B . x 2 - 3x+2=0C . x 2- 2x+3=0D . x 2+3x+2=0考点： 根与系数的关系.分析： 解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3 ,两实数根的积是1 ><2=2 .解题时检验两根之和 —是否a 为3及两根之积一是否为2即可.a解答：解：两个根为 X 1=1 , X 2=2则两根的和是 3,积是2 . A 、 两根之和等于-3,两根之积等于-2,所以此选项不正确； B 、 两根之和等于 3，两根之积等于 2，所以此选项正确； C 、 两根之和等于 2，两根之积等于 3，所以此选项不正确；D 、 两根之和等于-3,两根之积等于 2，所以此选项不正确， 故选：B .点评： 验算时要注意方程中各项系数的正负.2. （2014?昆明）已知x i , X2是一元二次方程 X 2- 4X +仁0的两个实数根，则 X I ?X2等于（ ）A . - 4B . - 1C . 1D . 4考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题.分析： 直接根据根与系数的关系求解.解答： 解：根据韦达定理得 X 1?x 2=1 . 故选：C . 点评：本题考查了 兀二次方程 a^+bx+c=0 （ aMD ）的根与系数的关系：右方程两个为X 1 ,X 2,则X1+X2=,X 1?X 2- .a 33. （2014?玉林）x 1, X2是关于X 的一元二次方程 立？则正确的结论是（ ）A . m=0时成立B . m=2时成立根与系数的关系.先由一兀二次方程根与系数的关系得出， X 1+x 2=m , X 1x 2=m - 2 .假设存在实数 m 使.+ ~ =0成立，则巧七X 2- mx+m - 2=0的两个实数根，是否存在实数m —丄 =0成 X1巾C . m=0或2时成立D .不存在考点：m=0,再用判别式进行检验即可.解：T X1, X2是关于X的一元二次方程x2- mx+m - 2=0的两个实数根, 解答:/• x1+x2=m , x1x2=m - 2 .2假设存在实数m使亠+亠=0成立，则_2=0,/• =0,D_ 2••• m=0.当m=0 时，方程x2- mx+m - 2=0 即为x2- 2=0,此时△ =8 > 0,•m=0符合题意.故选：A.点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x i, x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x i+x2=- p, x i x2=q .4. （2014?南昌）若a, B是方程x2- 2x - 3=0的两个实数根，则a2+『的值为（）A . 10B . 9 C. 7 D . 5考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系求得a+3=2 , a =- 3,则将所求的代数式变形为（a+ 3）2-2 a 3将其整体代入即可求值.解答：解：•/ a, 3是方程x2- 2x - 3=0的两个实数根，•a+ 3=2 , a = - 3,•a2+ 32= （ a+ 3）2- 2 a =22- 2X（—3）=10.故选：A.点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.25.（2014?贵港）若关于x的一元二次方程x +bx+c=0的两个实数根分别为x仁-2, x2=4，则b+c的值是（）A . - 10 B . 10 C. - 6 D . - 1考点：根与系数的关系.分析：根据根与系数的关系得到- 2+4= - b,- 2“=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可.解答：解：•关于x的兀二次方程x +bx+c=0的两个头数根分别为x仁-2, x2=4, •根据根与系数的关系，可得- 2+4= - b, - 2 >4=c,解得b= - 2, c= - 8• b+c= - 10.故选：A.点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：X1+X2= '■, X1X2「.3 326. （2014?烟台）关于x的方程x2- ax+2a=0的两根的平方和是5，贝V a的值是（）A .- 1 或5B . 1C . 5D . - 1考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题.分析：设方程的两根为X1 , x2，根据根与系数的关系得到X1+X2=a, X1?X2=2a，由于X12+X22=5，变形得到（X1+X2）2- 2x1?x2=5，则a2- 4a- 5=0 ,然后解方程，满足△为的a的值为所求.解答：解：设方程的两根为X1, x2,则x1+x2=a, x1?x2=2a, 2 2「•X1 +X2 =5 ,2•(X1+X2) - 2X1?x2=5,•a2- 4a- 5=0,•a1=5 , a2= - 1,2■/ △ =a — 8a^0, --a= — 1. 故选：D .点评： 本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a 旳）的根与系数的关系：若方程的两根为x i , x 2,则x i +x 2=,aX 1?X 2==也考查了一元二次方程的根的判别式.327. （ 2014?攀枝花）若方程 x +x -仁0的两实根为 a 3,那么下列说法不正确的是（ ）A . a + 3= - 1B . a3= - 1C . a + 3=3D . 1 1 =莎丁- 1计算题.先根据根与系数的关系得到 a + 3= - 1, a = - 1 ,再利用完全平方公式变形 a 2+ 3?得到（a + 3） 2 - 2 a 3禾U 用通分变形_+_得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判ap] | CL p断.故选：D .本题考查了一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ aMD ）的根与系数的关系：若方程两个为x 1,x 2,则x 1+x 2=-- ,x 1?x 2左.& （2014?威海）方程x 2-（ m+6） x+m 2=0有两个相等的实数根，且满足 x 1+x 2=x 1x 2，贝U m 的值是（）A . - 2 或 3B . 3C . - 2D . - 3 或 2考点：根与系数的关系；根的判别式. 专题：判别式法.分析： 根据根与系数的关系有：x 1+x 2=m+6, x 1x 2=m 2,再根据X 1+x 2=x 1x 2得到m 的方程，解方程即可，进一步由方程x 2-（ m+6） +m 2=0有两个相等的实数根得出 b 2- 4ac=0,求得m 的值，由相同的解解决问题.2解答： 解： T X 1+x 2=m+6 , X 1x 2=m , X 1+x 2=x 1x 2,2/• m+6=m ,解得m=3或m= - 2,•••方程x 2-（ m+6） x+m 2=0有两个相等的实数根，2 2 2 2△ =b - 4ac= （ m+6） - 4m =- 3m +12m+36=0 解得m=6或m= - 2 /• m= - 2. 故选：C .点评：本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c=0 （a M 0, a , b , c 为常数）根的判别式 △ =b 2- 4ac .当厶> 0,方程有两个不相等的实数根；当 △ =0，方程有两个相等的实数根；当△< 0，方程没有实数根.同时考查了一元二次、2b亡方程ax +bx+c=0 （aM ））的根与系数的关系：若方程的两根为x 1, x 2,则x 1+x 2=-—, x 1?x2—.a a 99 （2014?长沙模拟）若关于 x 的一元二次方程x 2+ （ k+3） x+2=0的一个根是-2，则另一个根是（）考点： 专根与系数的关系.解答: 解：根据题意得 a + 3= - 1, 所以a 2+ + a ^= ( a + 3) 2- 2aa = - 1 .=(-1) 2-2X(- 1) =3 ;11 ■-— 1 -1= 31 1 d & -1点评:考点： 根与系数的关系.分析： 根据一元二次方程的根与系数的关系 x 1?X 2*来求方程的另一个根.a解答：解：设X 1、x 2是关于x 的一兀二次方程 x + ( k+3) x+2=0的两个根， 由韦达疋理，得 X 1?X2=2，即-2x 2=2, 解得，X 2=- 1 . 即方程的另一个根是-1 . 故选C .点评： 此题主要考查了根与系数的关系.在利用根与系数的关系X 1+X 2=-上、X1?X 2*时，要注意等式中的a 、b 、a |ac 所表示的含义.考点：根与系数的关系；一元二次方程的解. 专题：计算题.2 2 2分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 a +a - 2015=0 ,即a +a=2015，则a +2a+b 变形为a+b+2015，再根据根与系数的关系得到 a+b= - 1,然后利用整体代入的方法计算.解答： 解：T a 是方程x 2+x - 2015=0的根，2 2••• a +a - 2015=0，即 a +a=2015,2• a +2a+b=a+b+2015 ,••• a , b 是方程x 2+x - 2015=0的两个实数根 • a+b= - 1,•- a 2+2a+b=a+b+2015= - 1+2015=2014 . 故选C .评：2小、' 本题考查了根与系数的关系：若X 1, x 2是一元二次方程 ax +bx+c=0 (a M D )的两根时，x 1+x 2= -一 , x 1x 2^ .也a a 考查了一元二次方程的解.x 2- 2x - 3=0与3x 2 - 11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）C . 3D . - 3考点： 根与系数的关系. 分析：由一兀二次方程 X 2- 2x - 3=0和3x 2- 11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系 仃二二，即可直接得出答案.解答：解：由一元二次方程 X 2- 2x - 3=0 , •/ △ =4+16=20 > 0, • X 1X 2= - 3 ,由一元二次方程 3x 2- 11x+6=0 , •/△ =121 - 4X 30-49>0, • X 1x 2=2 • — 3 疋——6 故选A .点评： 本题考查了一兀二次方程根与系数的关系.解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式.12. (2014?峨眉山市二模)已知 x 1、x 2是方程x 2-( k - 2) x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则 衍‘ +七？的最大值是 ( )A . 2B . 1C . - 1D . 010. (2014?黄冈样卷)设 2 a , b 是方程x +x - 2015=0的两个实数根，则A . 2012B . 2013C . 2014 2a +2a+b 的值为（11. (2014 ?江西模拟)一元二次方程 A . - 6B . 62A . 19B . 18C . 15D . 13考点：根与系数的关系；二次函数的最值.分析： 根据X I 、x 2是方程x 2-( k - 2) x+ (k 2+3k+5) =0的两个实根，由△为即可求出k 的取值范围，然后根据 根与系数的关系求解即可.解答：解：由方程有实根，得 △为，即(k - 2) 2- 4 ( k 2+3k+5 )为2所以 3k +I6k+16 切， 所以(3k+4) ( k+4)切 解得-4NW-3又由 x i +x 2=k - 2, x i ?x 2=k 2+3k+5，得2 2 2 2 2 2 2x i +x 2 = (x i +x 2) - 2x i x 2= (k - 2) - 2 ( k +3k+5) = - k - 10k - 6=19 -( k+5),当k= - 4时，x i 2+x 22取最大值i8.故选：B .点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据△为先求出k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解.i3. (20i4?陵县模拟)已知：x i 、x 2是一元二次方程 x 2+2ax+b=0的两根，且x i +x 2=3, x i x 2=i ，贝U a 、b 的值分别 是( ) A . a= — 3, b=iB . a=3, b=iC .]D3(a=-±, b=- i• a=-上，b=i6 2考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题.分析： 根据根与系数的关系得到得 x i +x 2= - 2a , x i x 2=b ，即-2a=3, b=i ，然后解一次方程即可. 解答： 解：根据题意得 x i +x 2= - 2a , x i x 2=b ,所以-2a=3, b=i , 解得a=-三b=i . 故选D .点评： 本题考查了根与系数的关系： 右x i , x 2是一兀二次方程 ax +bx+c=0 (a 老)的两根时，x i +x 2= — , x i x 2—.a aa, B 是一元二次方程 x 2- 5x - 2=0的两个实数根，则B . 9C . 23根与系数的关系.根据根与系数的关系 a +B =-上，a =二，求出a +B 和a 的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案.a a 解：•/ a, B 是方程x 2- 5x - 2=0的两个实数根， 二 a + B =5 , a = - 2, 又 T /+ a + B = ( a + B) 2 - Ba2 2 2二 a + a + B =5 +2=27 ; 故选D .此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若 、 K c 方程两个为 X i , X 2,则 X i +X 2= , X i x 2—a a2 2i5. （20i3?桂林）已知关于x 的一元二次方程 x +2x+a - i=0有两根为x i 和x 2,且x i -x i x 2=0,则a 的值是（） A . a=i B . a=i 或 a= - 2 C . a=2 D . a=i 或 a=2i4. （20i3?湖北）已知 A . - i a 2+ a + B 的值为（D . 27考点： 分析： 解答:考点：根与系数的关系；一元二次方程的解. 专题：压轴题.分析： 根据X 12- X 1x 2=0可以求得X 仁0或者X 1=X 2,所以① 把x 1=0代入原方程可以求得 a=1 ；② 利用根的判别式 等于0来求a 的值.解答：解：解X 12 - X 1x 2=0 ,得X 仁0 ,或 X 1=X 2,① 把X1=0代入已知方程，得 a - 1=0, 解得：a=1;② 当 X1=X2 时，△ =4 — 4 (a - 1) =0, 即卩 8 - 4a=0, 解得：a=2.综上所述，a=1或a=2. 故选：D .点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义•解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式 等于0来求a 的另一值.216. (2013?天河区二模)已知一元二次方程 x - 4x+3=0两根为X 1、x 2,则x 1+x 2=() A . 4B . 3C . - 4D . - 3考点：根与系数的关系.分析：根据一元二次方程 X 2- 4x+3=0两根为X 1、X 2，直接利用X 1+X 2=-丄求出即可.3解答： 解：T 一元二次方程X 2 - 4x+3=0两根为X 1、X 2,/• X 1+X 2= - —=4 .a故选A .点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键.17 . (2013?青神县一模)已知 m 和n 是方程2x 2- 5x - 3=0的两根，则二—二的值等于()m na”+bx+c=0( a MD)的根与系数的关系：若方程两个为x 1 ,x 2,则x 1+x 2=, x 1?x2^ . a aA . JB . 5 3 考点： 根与系数的关系. 专题： 计算题. 分析: 根据根与系数的关系得到 m+n= 解答: 解：根据题意得 m+n= 一, mn=-5 一,mn=- 2 37，再变形IT得到 nr+n mn ，然后利用整体思想计算.1丄血n _ 52 n| n ran■g所以故选D .本题考查了一元二次方程+4 .18. (2012?莱芜)已知 m 、n 是方程X 2+2X ： ；.x+1=0的两根，则代数式| ' | ' |的值为()考点： 专题： 分析： 根与系数的关系；二次根式的化简求值. 整体思想._2根据一兀二次方程 ax +bx+c=0 ( a 和)的根与系数的关系得到m+n= - 2 二，mn=1 ,再变形'ri '得，然后把m+n= - 2 ■:, mn=1整体代入计算即可.解答: 解：•/ m 、n 是方程x 2+2€b +1=0的两根, /• m+n= — 2 J :, mn=1 ,''.I ： ' ■ : I.1.= .「・, 上「 - '=3 .点评:故选C .本题考查了一兀二次方程 ax 2+bx+c=0 (a 和)的根与系数的关系: 若方程两根分别为 X 1 , X 2,则X 1+X 2=—,a X 1?X 2==.也考查了二次根式的化简求值. 2 19. (2012?天门)如果关于 x 的一元二次方程 x +4x+a=0的两个不相等实数根 x 1, x 2满足x 1x 2 - 2x 1 - 2x 2- 5=0, 那么a 的值为( ) A . 3 C . 13 D . - 13 考点：分析： 解答:点评:根与系数的关系；根的判别式. 利用根与系数的关系求得 X 1x 2=a , x 1+x 2= - 4，然后将其代入 x 1x 2 - 2x 1 - 2x 2 - 5=x 1x 2 - 2 (x 1+x 2)- 5=0列 出关于a 的方程，通过解方程即可求得 a 的值. 2 解：■/ X 1, x 2是关于x 的一元二次方程 x +4x+a=0的两个不相等实数根， /• x 1X 2=a , X 1 +x 2= - 4,X 1X 2 - 2x 1 - 2x 2 - 5=x 1x 2 - 2 (X 1+X 2)- 5=a - 2 X (- 4)- 5=0 ,即卩 a+3=0 , 解得，a=- 3;故选B . 本题考查了根与系数的关系.将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法. 20 . (2011?锦江区模拟)若方程 A . x - 3x - 2=0的两实根为X 1、乂2,则(x 1+2) (x 2+2)的值为( 6 C . 8D . 12 考点： 分析： 解答:根与系数的关系. 根据(X 1+2) ( X 2+2 ) =X 1 X 2+2X 1+2X2+4=X 1X 2+2 ( X 1+X 2) 和与积，代入数值计算即可. 解：••• X 1、X 2是方程x 2- 3X - 2=0的两个实数根. 二 X 1+x 2=3 , X 1?x 2= - 2.又 T (X 1+2) (X 2+2) =x 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2 (X 1+X 2) 将 X 1+x 2=3、X 1?X 2= - 2 代入，得(X 1+2) ( X 2+2) =X 1x 2+2x 1+2x 2+4=x 1x 2+2 (X 1+X 2) +4= 故选C+4,根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的 (-2) +2 X 3+4=8 .点评: 将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.2 221. （2011?鄂州模拟）已知 p - p - 1=0 , 1 - q - q =0,且 pq 为，则A . 1B . 2C.D. .■:-22（丄）-1=0是解题的关键，然后利用 q根与系数的关系就可以求出所求代数式的值.22. （2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边a 为4,另两边b 、c 分别满足b 2 - 5b+6=0, c 2 - 5c+6=0，则△ ABC 的周 长为（ ）A . 9B . 10C . 9 或 10D . 8 或 9 或 10考点：根与系数的关系；三角形三边关系. 专题：压轴题.分析： 由于两边b 、c 分别满足b 2 - 5b+6=0, c 2- 5c+6=0 ,那么b 、c 可以看作方程 x 2- 5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到 b+c=5 , bc=6,而厶ABC 的一边a 为4,由此即可求出 △ ABC 的一边a 为4周长.解答： 解：•.•两边 b 、c 分别满足 b 2- 5b+6=0 , c 2- 5c+6=0,• b 、c 可以看作方程x 2- 5x+6=0的两根， • b+c=5, bc=6, 而厶ABC 的一边a 为4,① 若b=c ,则b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故 b=c=3 .• △ ABC 的周长为 4+3+3=10 或 4+2+22i 2 首先把1 - q -q 2=0变形为i考点： 专题： 分析： 根与系数的关系. 计算题.首先把1 - q -q 2=0变形为 「q-1-0，然后结合p 2- p - 1=0,根据一元二次方程根与系数解答: 的关系可以得到 p 与丄是方程x 2- x -仁0的两个不相等的实数根,Q那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值.2 2解：由p - p -仁0和1 - q - q =0，可知p^0, q 旳, 又T pq 为，•••由方程1 - q - q 2=0的两边都除以q 2得：q• p 与丄是方程x 2- x -仁0的两个不相等的实数根, q 则由韦达定理，得 11 p+_=1,□1 “= P+ —= 1 .q • 口：1+丄Q故选A .E +1 Q的值为（）点评: 本题考查了根与系数的关系.②若b丸，•△ ABC的周长为4+5=9 . 故选C.点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来,题要注意分类讨论.二•填空题（共4小题）23. （2014?莱芜）若关于x 的方程x 2+ （k -2） x+k 2=0的两根互为倒数，则 k= — 1 考点： 根与系数的关系. 专题： 判别式法. 分析：根据已知和根与系数的关系 X 1x 2*得出k 2=1，求出k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的3 k 的值.解答： 解：T X 1x 2=k 2，两根互为倒数，••• k 2=1, 解得k=1或-1;•••方程有两个实数根， △> 0, •当k=1时,△< 0,舍去, 故k 的值为-1. 故答案为：-1.点评： 本题考查了根与系数的关系，根据X 1, X 2是关于x 的一兀二次方程ax +bx+c=0 （a 老,a , b , c 为常数）的两个实数根，则 X 1+x 2= — —, X 1X 2=±进行求解.a a2 224. （2014?呼和浩特）已知 m , n 是方程x 2+2x - 5=0的两个实数根，则 m 2 - mn+3m+n= 8 考点： 根与系数的关系；一兀二 一次方程的解.专题： 常规题型.分析： 根据m+n=- —-2, am?n= - 5，直接求出 m 、n 即可解题.解答： 解: T m 、n 是方程x 2 +2x — 5=0的两个实数根，/• mn= — 5, m+n= — 2,■/ m 2+2m — 5=0• 2 ,…m =5 — 2m2m — mn+3m+n= (5 — 2m ) — (— 5) +3m+n=10+m+n =10 — 2 =8故答案为：8.点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m 和n 的值是解决问题的关键.25. （2014?广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m — 2=0有两个实数根考点： 根与系数的关系；二次函数的最值. 专题： 判别式法.分析： 由题意可得△ =b 2— 4ac%，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论. 解答： 解：由题意知，方程 x 2+2mx+m 2+3m — 2=0有两个实数根， 贝廿△=b 2— 4ac=4m 2 — 4 ( m 2+3m — 2) =8 — 12m 为， …m利用根与系数的关系来三角形的周长. 此X 1、x 2,贝U x 1 ( x 2+x 1)+x 22 的最小值为/ 、 2■/ X i (X 2+X 1) +X 22=(X 2+X 1) — X 1X 22 2=(-2m ) -( m +3m - 2)=3m - 3m+2=3 (mV 2•••当m==时，有最小值故答案为：上.4点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题. 总结一元二次方程根的情况与判别式 △的关系：(1) △>0?方程有两个不相等的实数根； (2) △ =0?方程有两个相等的实数根； 3) △ < 0?方程没有实数根.26. (2014?桂林)已知关于 X 的一元二次方程 X + (2k+1 ) X+k - 2=0的两根为X i 和乂2,且(X i - 2) (X i - X 2) =0, 则k 的值是 -2或-二.--------------- 4-考点： 根与系数的关系；根的判别式.分析： 先由(X 1 - 2) (X 1 - X 2) =0,得出X i - 2=0或X 1 - X 2=0，再分两种情况进行讨论： ①如果X 1 - 2=0 ,将X =2 代入X 2+( 2k+1 ) x+k2- 2=0,得 4+2 (2k+1) +k 2- 2=0 ,解方程求出 k= - 2;② 如果 x i - X2=0 ,那么将 X1+X2= -(2k+1 ),x i x 2=k 2- 2代入可求出k 的值，再根据判别式进行检验.解答：解：T ( X 1 - 2) ( X i - X 2) =0, • X i - 2=0 或 X i - X 2=0 . ① 如果X 1 - 2=0,那么x 仁2, 将 X =2 代入 X 2+ (2k+1) x+k 2 - 2=0, 得 4+2 (2k+1) +k 2-2=0 , 整理，得 k 2+4k+4=0 , 解得k= - 2; ② 如果x i - X 2=0 ,2222那么(X 1 - X 2) = (X 1+X 2) - 4X I X2=[ -( 2k+1 ) ] - 4 (k - 2) =4k+9=0 , 解得k=-丄4 又•/ △ = (2k+1) 2 -4 ( k 2- 2)为. 解得：kA 上.4 所以k 的值为-2或-=.42=3 (m 2- m+ )+24'故答案为：-2或-_!.4点评：本题考查了一兀二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验.三•解答题(共4小题)27. (2014?泸州)已知x i, x2是关于x的一元二次方程x2-2 ( m+1) x+m2+5=0的两实数根.(1)若(x i - 1) (x2 - 1) =28，求m 的值；(2)已知等腰△ ABC的一边长为7,若X1, X2恰好是△ ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质.专题：代数几何综合题.分析：2(1)利用(X1- 1) (x2 - 1) =x1?x2-( X1+X2) +仁m +5 - 2 ( m+1) +仁28，求得m 的值即可；(2)分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长.解答：解：(1) T X1，x2是关于x的一兀二次方程x2 2 ( m+1) x+m2+5=0的两实数根，2x1+x2=2 ( m+1 )，x1?x2=m +5，2/• (x1 - 1) (x2 - 1) =x1?x2-( x1+x2) +1=m +5 - 2 ( m+1) +1=28，解得：m= - 4或m=6 ；当m= 4时原方程无解，••• m=6 ；(2)①当7为底边时，此时方程x2- 2 ( m+1) x+m2+5=0有两个相等的实数根，2 2• △ =4 ( m+1) - 4 ( m +5) =0，解得：m=2，•••方程变为x2- 6x+9=0，解得：X1=X2=3，•/ 3+3 v 乙•不能构成三角形；②当7为腰时，设X1=7，代入方程得：49 - 14 (m+1) +m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2- 22x+105=0，解得：x=7或15••• 7+7 V 15,不能组成三角形；当m=4时方程变为x2- 10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17 .点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系.28. (2014?日照二模)已知x1, x2是关于x的一元二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2-仁0的两个实数根，其满足(3x1 -X2) (X1- 3x2) = - 80.求实数a的所有可能值.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题.分析：根据△的意义由一兀二次方程x2+ (3a- 1) x+2a2- 1=0的两个实数根得到△为，即(3a- 1) 2-4 (2a2- 1)=a2- 6a+5^0，根据根与系数的关系得到X1+x2= -( 3a - 1)，x1?x2=2a2- 1，由(3x1 - x2) (x1 - 3x2) = - 80 变形得到3(X1+X2) 2- 16X1X2= - 80,于是有3(3a- 1) 2- 16 (2a2- 1) =- 80,解方程得到a=3 或a=-5然后代入△验算即可得到实数 a 的值.解答：解：T x i , x 2是关于x 的一元二次方程x 2+ (3a - 1) x+2a 2-仁0的两个实数根， ••• △为，即(3a - 1) 2 - 4 ( 2a 2 - 1)=a 2 - 6a+5%所以a^5或a<l .…(3分)• x i +x 2= -( 3a - 1), x i ?x 2=2a - 1,2 2■/ (3x 1 - x 2) (x 1 - 3x 2) = - 80,即 3 (x 1 +x 2 ) - 10x 1x 2= - 80,2• 3 (x 1+x 2) - 16x 1x 2=- 80,• 3 (3a - 1) 2- 16 (2a 2- 1) =- 80, 整理得，5a 2+18a - 99=0,• (5a+33) (a - 3) =0,解得 a=3或 a=-2ax +bx+c=0 (a 和)的根与系数的关系： 如果方程的两根为 x 1, x 2,则x 1+x 2=X 1?X 2==.也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力.29. (2013?孝感)已知关于 x 的一元二次方程 x 2-( 2k+1) x+k 2+2k=0有两个实数根X 1, X 2. (1) 求实数k 的取值范围；(2) 是否存在实数k 使得X 1?x 2-x 12- X 22£成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由. 考点：根与系数的关系；根的判别式. 专题：压轴题.分析：(1)根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△为，据此列出关于k 的不等式[-(2k+1) ]2-4 (k 2+2k )为，通过解该不等式即可求得 k 的取值范围；(2)假设存在实数k 使得「・工 匸广 -^0成立.利用根与系数的关系可以求得丁「，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、 两根之积的形式-:.■ . -+g'为，通过解不等式可以求得解答：解：(1) T 原方程有两个实数根，2 2• [ -( 2k+1 ) ]2 - 4 (k 2+2k )为,2 2• 4k +4k+1 - 4k - 8k%• 1 - 4k 为，(2)假设存在实数k 使得「-为成立. •/ X 1, X 2是原方程的两根， •衍+匕二龙[・耳？二k +2耳.当 a=3 时，△ =9 - 6X 3+5= - 4V 0,故舍去, △=(-虽)25 当a=-―时,5 -6X(-® +6=(533+6 > 0,•实数a 的值为-33 5占评：点评：本题考查了一元二次方程k 的值.原方程有两个实数根.由Zj •-工1，_ X22^0，得3Xj -X2-( K[ +耳2)2曲••• 3 (k2+2k)-( 2k+1) 2为，整理得：-(k- 1) 2为，•'•只有当k=1时，上式才能成立.又•••由(1)知k显，4•不存在实数k使得卫]・七- 一gc'为成立.点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系.(1) 求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2) 设X1、x2是方程的两个根，且x12- 2kx1+2x1x2=5，求k的值.考点：根与系数的关系；根的判别式.专题：计算题；证明题；压轴题.分析：(1)要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△>0恒成立；(2)欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可.解答：解：(1 )已知关于X的一元二次方程- 2kx4丄k'—2=Q，2 1 2 2•△= (- 2k) - 4X(^k - 2) =2k +8,2•/ 2k +8 > 0恒成立，•不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根.(2) •/ X1、X2是方程的两个根，2•x1+x2=2k, x1?x2^—k - 2,22 2 ] 2•x1 - 2kx1+2x1x2=x1 -(X1+X2) x1+2x1x2=x1x2—k - 2=5,2 解得k=曲诃.点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.30. (2001?苏州)已知关于x的一元二次方程。
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)一．选择题（共22小题)1．(2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2,则这个方程是（）A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=02．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C．1D．43．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2的值为（）A．10 B．9C．7D．55．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是(）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣16．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是（）A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣17．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是(）A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣18．(2014•威海)方程x2﹣(m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2,则m的值是（）A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或29．(2014•长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2B．1C．﹣1 D．010．(2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为()A．2012 B．2013 C．2014 D．201511．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（)A．﹣6 B．6C．3D．﹣312．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,则的最大值是（) A．19 B．18 C．15 D．1313．（2014•陵县模拟）已知:x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（）A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=114．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α2+αβ+β2的值为()A．﹣1 B．9C．23 D．2715．（2013•桂林)已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2,且x12﹣x1x2=0，则a的值是() A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=216．(2013•天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1+x2=（）A．4B．3C．﹣4 D．﹣317．（2013•青神县一模)已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,则的值等于（）A．B．C．D．18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）A．9B．±3 C．3D．519．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1,x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（）A．3B．﹣3 C．13 D．﹣1320．（2011•锦江区模拟)若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则(x1+2)(x2+2）的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．1221．(2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1,则的值为（）A．1B．2C．D．22．（2010•滨湖区一模)若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为()A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2)x+k2=0的两根互为倒数,则k=_________．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=_________．25．(2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1)x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且(x1﹣2)（x1﹣x2）=0,则k 的值是_________．三．解答题(共4小题）27．（2014•泸州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．(1）若(x1﹣1）（x2﹣1)=28，求m的值;（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．(2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）(x1﹣3x2)=﹣80．求实数a的所有可能值．29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2)是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立?若存在，请求出k的值;若不存在，请说明理由．30．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案)参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1,x2=2，则这个方程是（）A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解:两个根为x1=1，x2=2则两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3,两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3,所以此选项不正确;D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2,所以此选项不正确，故选:B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于(）A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4考点: 根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1•x2=1．故选：C．点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2,则x1+x2=﹣，x1•x2=．3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m,x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0,求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解:∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根,∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时,方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0,∴m=0符合题意．故选：A．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系:如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2的值为(）A．10 B．9C．7D．5考点: 根与系数的关系．分析:根据根与系数的关系求得α+β=2,αβ=﹣3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解:∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=(α+β）2﹣2αβ=22﹣2×（﹣3)=10．故选:A．点评：此题主要考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．(2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c,然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解:∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c,解得b=﹣2,c=﹣8∴b+c=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系,解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．6．(2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是(）A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题: 计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a,由于x12+x22=5，变形得到（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，则a2﹣4a﹣5=0,然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解:设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=a，x1•x2=2a,∵x12+x22=5,∴(x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0,∴a1=5，a2=﹣1,∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．故选:D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系:若方程的两根为x1，x2,则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到（α+β)2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1,αβ=﹣1．所以α2+β2=(α+β）2﹣2αβ=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=3；+===1．故选:D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．8．（2014•威海)方程x2﹣(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2考点：根与系数的关系;根的判别式．专题：判别式法．分析:根据根与系数的关系有:x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可,进一步由方程x2﹣（m+6）+m2=0有两个相等的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题．解答:解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2,∵方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（m+6)2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．故选:C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b,c为常数)根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0,方程有两个不相等的实数根；当△=0,方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1,x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．9．（2014•长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3)x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）A．2B．1C．﹣1 D．0考点：根与系数的关系．分析:根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答:解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2,解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．故选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（)A．2012 B．2013 C．2014 D．2015考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，则a2+2a+b变形为a+b+2015,再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答:解:∵a是方程x2+x﹣2015=0的根，∴a2+a﹣2015=0，即a2+a=2015，∴a2+2a+b=a+b+2015，∵a,b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2015=﹣1+2015=2014．故选C．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的两根时,x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于(）A．﹣6 B．6C．3D．﹣3考点: 根与系数的关系．分析:由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0和3x2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x1x2=﹣3，由一元二次方程3x2﹣11x+6=0,∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x1x2=2∴﹣3×2=﹣6故选A．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是(）A．19 B．18 C．15 D．13分析：根据x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+（k2+3k+5）=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根,得△≥0，即（k﹣2）2﹣4(k2+3k+5）≥0所以3k2+16k+16≤0，所以（3k+4）（k+4)≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5,得x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=(k﹣2)2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣（k+5）2,当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．故选:B．点评:本题考查了根与系数的关系，属于基础题,关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是()A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣,b=1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析:根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b,即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3,b=1,解得a=﹣，b=1．故选D．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0）的两根时,x1+x2=，x1x2=．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α2+αβ+β2的值为(）A．﹣1 B．9C．23 D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣,αβ=，求出α+β和αβ的值,再把要求的式子进行整理,即可得出答案．解答：解:∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=（α+β）2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27;故选D．点评：此题考查了根与系数的关系,将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法,若方程两个为x1，x2,则x1+x2=﹣,x1x2=．15．（2013•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，则a的值是（) A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0,得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入已知方程，得a﹣1=0，解得：a=1；②当x1=x2时，△=4﹣4（a﹣1）=0，即8﹣4a=0，解得:a=2．综上所述，a=1或a=2．故选:D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值．16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，则x1+x2=（）A．4B．3C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，直接利用x1+x2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1+x2=﹣=4．故选A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（）A．B．C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析:根据根与系数的关系得到m+n=,mn=﹣，再变形+得到,然后利用整体思想计算．解答：解:根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．故选D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系:若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．18．（2012•莱芜)已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根,则代数式的值为（）A．9B．±3 C．3D．5考点: 根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题: 整体思想．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系得到m+n=﹣2,mn=1,再变形得,然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．故选C．点评:本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系:若方程两根分别为x1，x2,则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．19．(2012•天门)如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为（）A．3B．﹣3 C．13 D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后将其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2(x1+x2）﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．解答:解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x1x2=a,x1+x2=﹣4,∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，解得,a=﹣3；故选B．点评：本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．(2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2,则(x1+2）（x2+2)的值为（）A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵(x1+2）(x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得（x1+2）（x2+2）=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2（x1+x2）+4=（﹣2)+2×3+4=8．故选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（2011•鄂州模拟)已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（)A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析:首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根,那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答:解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0,可知p≠0，q≠0,又∵pq≠1,∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根,则由韦达定理，得p+=1,∴=p+=1．故选A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（2010•滨湖区一模)若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（）A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10考点: 根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析:由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0,c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6,而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0,c2﹣5c+6=0,∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①若b=c，则b=c=3或b=c=2,但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②若b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．故选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题（共4小题)23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=﹣1．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据已知和根与系数的关系x1x2=得出k2=1,求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k 的值．解答:解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0,∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据x1,x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0,a,b,c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．（2014•呼和浩特)已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=8．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解:∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根,∴mn=﹣5,m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=（5﹣2m）﹣（﹣5）+3m+n=10+m+n=10﹣2=8故答案为:8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．25．（2014•广州)若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．考点：根与系数的关系;二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0,然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知,方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，则△=b2﹣4ac=4m2﹣4（m2+3m﹣2）=8﹣12m≥0,∴m≤，∵x1(x2+x1)+x22=（x2+x1)2﹣x1x2=(﹣2m）2﹣(m2+3m﹣2）=3m2﹣3m+2=3（m2﹣m+﹣)+2=3（m﹣)2 +；∴当m=时,有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系,考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系:（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根;（3）△＜0⇔方程没有实数根．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0,则k的值是﹣2或﹣．考点：根与系数的关系;根的判别式．分析：先由（x1﹣2）(x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0,再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0,将x=2代入x2+（2k+1)x+k2﹣2=0,得4+2(2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1)，x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答:解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0,那么x1=2,将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=［﹣（2k+1)]2﹣4(k2﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共4小题)27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1)x+m2+5=0的两实数根．（1）若(x1﹣1）(x2﹣1)=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（1)利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可;（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：（1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴(x1﹣1）(x2﹣1)=x1•x2﹣（x1+x2)+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得:m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解,∴m=6;(2)①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根,∴△=4（m+1)2﹣4（m2+5)=0，解得:m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形;②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1)+m2+5=0，解得：m=10或4,当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．(2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足(3x1﹣x2)(x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析:根据△的意义由一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即（3a﹣1）2﹣4（2a2﹣1）=a2﹣6a+5≥0,根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣(3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，由(3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80变形得到3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，于是有3（3a﹣1）2﹣16（2a2﹣1)=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣,然后代入△验算即可得到实数a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根,∴△≥0,即（3a﹣1）2﹣4（2a2﹣1)=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…（3分）∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，即3（x12+x22）﹣10x1x2=﹣80,∴3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3（3a﹣1)2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0,∴（5a+33）(a﹣3)=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去,当a=﹣时,△=（﹣)2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a的值为﹣点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0)的根与系数的关系：如果方程的两根为x1,x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．(1）求实数k的取值范围;（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在,请求出k的值；若不存在,请说明理由．考点：根与系数的关系;根的判别式．专题：压轴题．分析：（1）根据已知一元二次方程的根的情况,得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣(2k+1）]2﹣4(k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答:解：（1）∵原方程有两个实数根,∴［﹣(2k+1）］2﹣4（k2+2k)≥0,∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．（2）假设存在实数k使得≥0成立．∵x1,x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0,整理得：﹣（k﹣1)2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由（1）知k≤,∴不存在实数k使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．(2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，(1)求证：不论k取何值,方程总有两个不相等的实数根;（2）设x1、x2是方程的两个根,且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．考点: 根与系数的关系;根的判别式．专题：计算题;证明题；压轴题．分析：（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立;（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（1）已知关于x的一元二次方程，∴△=(﹣2k)2﹣4×（k2﹣2）=2k2+8，∵2k2+8＞0恒成立，∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2)∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2=2k,x1•x2=k2﹣2，∴x12﹣2kx1+2x1x2=x12﹣（x1+x2)x1+2x1x2=x1x2=k2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)
(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)21。
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4 一元二次方程的根与系数的关系A基础知识详解————————--——-—☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值○随堂例题例1 已知关于x的方程x2+（2k—1）x+k2-1=0有(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案) 两个实数根x 1、x 2．（1）求实数k 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足x 12+x 22=16+x 1•x 2,求实数k 的值．（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k,x 1•x 2=k 2-1．∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2—2x 1•x 2=16+x 1•x 2,∴（1-2k ）2-2×（k 2—1）=16+(k 2-1），即k 2—4k —12=0，解得k=—2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式。
○随堂训练1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2-m —1=0的两个根,且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为( D ） A ．—1或2 B ．1或-2 C ．—2 D ．12.已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+2)x+m=0, （1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根;（2)若x 1，x 2是原方程的两根，且2111x x +=-2，求m 的值。
解：（1)△=（m+2)2—4m=m 2+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2)，x 1x 2=m ．∵2111x x +=2121x x x x +=—mm 2+=—2, 解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合题意，∴m 的值为2．课后达标基础训练1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2—2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或02.(2017新疆）已知关于x 的方程x 2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是( A ） A ．-3 B ．—2 C ．3 D ．63.已知m ，n 是一元二次方程x 2—4x-3=0的两个实数根,则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．24。
一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案
装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案一、单选题1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（ ） A ．3B ．3-C ．5D ．5-2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ） A ．2B ．－1.5C ．－2D ．43．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ cOA OB a⋅=-，其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ．32B ．52C ．5D ．2二、解答题6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围．（2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值．7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根． （1）若方程的一个根为1，求m 的值；在，请求出来，若不存在，请说明理由． 8．关于x 的一元二次方程x 2+mx+m ﹣2＝0．（1）若﹣2是该方程的一个根，求该方程的另一个根；（2）求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；（3）设该方程的两个实数根为x 1，x 2，若x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，求m 的值． 9．已知P 2222225a 3b 8a 1a b b a a b ab+⎛⎫=+÷⎪--+⎝⎭（a≠±b ，ab≠0） （1）化简P ；（2）若a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，求P 的值．10．已知关于x 的一元二次方程x 2+2（k ﹣1）x+k 2﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的两根x 1，x 2满足x 12+x 22＝16，求k 的值．11．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5＝0有两个不相等的实数根． （1）求实数m 的最小整数值；（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x 1，x 2，求代数式（x 1﹣1）•（x 2﹣1）的值． 12．关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k+1）x+2k ＝0． （1）求证：无论k 取任何实数，方程总有两个实数根；（2）若该方程的两个根x 1，x 2满足3x 1+3x 2﹣x 1x 2＝6，求k 的值．13．阅读下列材料：法国数字家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现： 如果一元二次方程20(0)ax bx c a -+=≠在240b ac -≥的两根分别可表示为1x ，2x =1212,b c x x x x a a +=-⋅=这是一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系，回答下列问题：（1）已知方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ，求12x x +与12x x ⋅的值．（2）已知方程25790x x +-=的两根分别1x 、2x ，若12x x >，求2212x x +与1211x x -的值．（3）已知一元二次方程2350x ax +-=的一根大于2，另一根小于2求a 的取值范围． 14．已知关于x 的方程()222360x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取什么实数，方程总有实数根；（2）如果方程的两个实数根1x 、2x 满足123x x =，求实数m 的值．15．关于x 的一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）是否存在实数m ，使得x 12+x 22=16+x 1x 2成立？如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．16．如果1x ，2x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，那么有12b x x a+=-，12cx x a=．这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题，例如：1x ，2x 是方程2630x x +-=的两根，求2212x x +的值． 解法可以这样：因为126x x +=-，123x x =-，所以()()()2222121212262342x x x x x x +=+-=--⨯-=．请你根据以上解法解答下题：设1x ，2x 是方程22150x x --=的两根，求：（1）1211+x x 的值；（2）()212x x -的值．17．关于x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根1x 、2x ． （1）求p 的取值范围； （2）若p=0，求1221x x x x +的值； （3）若[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，求p 的值．18．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求实数m 的取值范围；（2）若方程两实数根x 1，x 2满足x 12+2x 2＝m 2，求m 的值．三、填空题19．已知函数3()()y x m x n =---，并且,a b 是方程3()()0x m x n ---=的两个根，则实数,,,m n a b 的大小关系可能是____． 20．方程220x x +-=的两个根分别为,m n ，则11m n+的值为_________． 21．若x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣3＝0的两个根，则x 1x 2的值＝__． 22．已知实数m ，n 满足条件2720m m -+=，2720n n -+=，则n mm n+的值是______． 23．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．24．已知1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，则2212x x +=_________．25．已知一周长为11的等腰三角形（非等边三角形）的三边长分别为a 、b 、5，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值为__． 26．已知二次方程x 2+（2m +1）x +m 2﹣2m +32＝0的两个实数根为α和β，若|α|+|β|＝4，求m 的值__．27．已知x 2+2x +1＝0的两根为x 1和x 2，则x 1•x 2的值为__．28．已知一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，则x 1•x 2＝_____． 29．已知 12,x x 是一元二次方程()23112x -=的两个解，则12x x +=_______． 30．一元二次方程2310x x --=与230x x --=的所有实数根的和等于____．参考答案1．B 【分析】利用根与系数的关系即可得到x 1+x 2的值． 【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2+3x-5=0的两根， ∴x 1+x 2=-3． 故选：B ． 【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键． 2．B 【分析】根据一元二次方程的根与系数关系12cx x a=求解即可． 【详解】解：∵方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，且a=2，b=4，c=﹣3， ∴12c x x a==32-=﹣1.5， 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系12cx x a=是解答的关键． 3．D 【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出：1αβ=，2202010αα++=，2 202010ββ++=，将其代入原式中即可求出结论．【详解】∵α，β是方程2202010x x ++=的两个根，∴1αβ=，220201αα+=-，220201ββ+=-，∴()()221202212022ααββ++++=()()22120202120202αααβββ++++++4αβ==4． 故选：D ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据根与系数的关系及一元二次方程的解得出1αβ=，2202010αα++=，2202010ββ++=是解题的关键． 4．C 【分析】①根据抛物线的开口方向向上得a ＞0、对称轴在y 轴左侧得b ＞0、与y 轴的交点在y 轴负半轴得c ＜0，进而可得结论；②当x ＝1时，不能说明y 的值即a +b +c 是否大于还是小于0，即可判断；③设B 点横坐标为x 2，根据OC ＝2OB ，用c 表示x 2，再将B 点坐标代入函数解析式即可判断；④根据一元二次方程根与系数的关系即可判断． 【详解】解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y 轴左侧，与y 轴的交点在y 轴负半轴∴a ＞0，b ＞0，c ＜0， ∴abc ＜0， 所以①正确；②当x ＝1时，y ＝a +b +c ，不能说明y 的值是否大于还是小于0， 所以②错误；③设A （x 1，0）（x 1＜0），B （x 2，0）（x 2＞0）， ∵OC ＝2OB ，∴﹣2x 2＝c ， ∴212x c ， ∴B （12c -，0）将点B 坐标代入y ＝ax 2+bx +c 中，211042c a bc c，∵0c ≠∴240ac b -+= 所以③正确；④当y ＝0时，ax 2+bx +c ＝0， 方程的两个根为x 1，x 2， 根据根与系数的关系，得12c x x a•=， 即1212•OA OBx x ax c x 所以④正确． 故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x 轴的交点，解决本题的关键是综合运用二次函数的图象和性质． 5．B 【分析】由于a 、b 是关于x 的方程x2−7x ＋c ＋7＝0的两根，由根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7；由勾股定理可知：222+=a b c ，则()222a b ab c +-=，即49−2（c ＋7）＝2c ，由此求出c ，再根据直角三角形斜边中线定理即可得中线长． 【详解】解：∵a 、b 是关于x 的方程2x −7x ＋c ＋7＝0的两根， ∴根与系数的关系可知：a ＋b ＝7，ab ＝c ＋7； 由直角三角形的三边关系可知：222+=a b c ， 则()222a b ab c +-=， 即49−2（c ＋7）＝2c ， 解得：c ＝5或−7（舍去），再根据直角三角形斜边中线定理得：中线长为52．故选：B ． 【点睛】本题考查三角形斜边中线长定理及一元二次方程根与系数的关系运用，勾股定理的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时运用一元二次方程的根与系数的关系建立方程是关键． 6．（1）94k >-；（2）15． 【分析】（1）由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得判别式△0>，则可求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系可求出1x 、2x 的值，进而可求出求12||x x -的值 【详解】 （1）关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，∴△2341()940k k =-⨯⨯-=+>，94k ∴>-，即k 的取值范围为：94k >-； （2）1x 、2x 是一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，123x x ∴+=-， 1223x x +=， 19x ∴=-，26x =，1215x x ∴-=．【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意由关于x 的一元二次方程230x x k +-=有两个不相等的实数根，可得△0>． 7．（1）0或-2；（2）存在，m 的值为-1． 【分析】（1）先根据∆=(2m-1)2-4m 2≥0求出m 的取值范围，把x=1代入原方程可得到关于m 的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；（2）根据根与系数的关系得到α+β=-(2m-1)，αβ=m 2，利用α2+β2-αβ=6得到(α+β)2-3αβ=6，则(2m-1)2-3m 2=6，然后解方程后利用（1）中m 的范围确定m 的值． 【详解】解：（1）由题意得∆=(2m-1)2-4m 2≥0， 解得m ≤14． 把x ＝1代入方程得1+2m ﹣1+m 2＝0， 解得m 1＝0，m 2＝﹣2， 即m 的值为0或﹣2； （3）存在．∵α、β是方程的两个实数根， ∴α+β＝﹣(2m ﹣1)，αβ＝m 2， ∵α2+β2﹣αβ＝6， ∴(α+β)2﹣3αβ＝6， 即(2m ﹣1)2﹣3m 2＝6，整理得m 2﹣4m ﹣5＝0，解得m 1＝5，m 2＝﹣1， ∵m ≤14； ∴m 的值为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）根与系数的关系，若x 1，x 2为方程的两个根，则x 1，x 2与系数的关系式：12bx x a +=-，12c x x a⋅=．也考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式与根的关系．8．（1）方程的另一个根为0；（2）证明见解析；（3）m ＝﹣3或1 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）证明判别式大于0即可；（3）利用根与系数的关系，把问题转化为一元二次方程解决问题． 【详解】（1）解：由题意，得：4﹣2m+m ﹣2＝0， 解得：m ＝2，∴方程为x 2+2x ＝0， 解得：x 1＝﹣2，x 2=0， ∴方程的另一个根为0．（2）证明：∵△＝m 2﹣4（m ﹣2）＝m 2﹣4m+8＝（m ﹣2）2+4＞0， ∴无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． （3）由根与系数的关系得：x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝m ﹣2， 由x 12+x 22+m （x 1+x 2）＝m 2+1，得：（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2+m （x 1+x 2）＝m 2+1， ∴m 2﹣2（m ﹣2）﹣m 2＝m 2+1， 整理得：m 2+2m ﹣3＝0， 解得：m ＝﹣3或1． 【点睛】本题考查根与系数的关系、根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，解答的关键是熟练掌握基本知识的联系和运用，属于中考常考题型．9．（1）P ＝﹣3ab ；（2）P ＝﹣． 【分析】（1）先把括号里分式变成同分母的运算，再把除法变成乘法，再算乘法即可；（2）根据根与系数的关系得出ab =【详解】 解：（1）P ＝（22225a 3b 8aa b a b+---）•ab （a+b ） ()()5a 3b 8aa b a b +-=+-•ab （a+b） ()3a b a b--=-•ab＝﹣3ab ；（2）∵a 、b 是方程x 2+（12）x =0的两实根，∴ab =∴P ＝﹣3ab ＝﹣【点睛】本题考查了分式的混合运算和求值，根与系数的关系等知识点，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．10．（1）k＜1；（2）k＝﹣1．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式∆＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系及x12+x22＝16，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再结合（1）的结论即可确定k的值．【详解】解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，∴∆＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，∴k＜1．（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．∵x12+x22＝16，∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，-+=k k(5)(1)0解得：k1＝5，k2＝﹣1．又∵k＜1，∴k＝﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11．（1）实数m的最小整数值是3；（2）（x1﹣1）•（x2﹣1）＝7【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，从而求得m的最小整数值；（2）根据根与系数的关系即可得出x1+x2＝2（m+1）、x1•x2＝m2+5，代入整理后的代数式即可得出得出m的值．【详解】解：（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16＞0，解得：m＞2，∴实数m的最小整数值是3；（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，m=3，∴x1+x2＝2（m+1）=8，x1•x2＝m2+5=14，∴（x1﹣1）•（x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝14﹣8+1＝7．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式、代数式求值，解题的关键是：（1）根据方程有两个不相等的实数根找出△＝8m﹣16＞0；（2）掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2ba=-，x1x2ca=．12．（1）证明见解析；（2）k3 4 =【分析】（1）计算判别式的值，再利用配方法得到△＝（2k+1）2≥0，然后根据一元二次方程根的判别式与根的关系得到结论；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，而3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，所以3（2k+1）﹣2k＝6，然后解关于k的方程即可．【详解】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×2k＝（2k﹣1）2≥0，∴无论k取何值，所以方程总有两个实数根；（2）解：根据题意得：x1+x2＝2k+1，x1•x2＝2k，∵3（x1+x2）﹣x1•x2＝6，∴3（2k+1）﹣2k＝6，∴k34 =．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，x 1+x 2b a =-，x 1x 2ca=，也考查了根的判别式、配方法、解一元一次方程． 13．（1）1212,9575x x x x +=-⋅=-；（2）2212x x +=13925；1211x x -；（3）72a <- 【分析】（1）根据根与系数的关系即可求出结论；（2）根据完全平方公式的变形和分式减法变形，然后代入求值即可；（3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ，根据根与系数的关系可得1212,533x x x a x +=-⋅=-，根据题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩，代入即可求出a 的取值范围． 【详解】解：（1）∵方程25790x x +-=的两根分别为1x 、2x ∴1212,9575x x x x +=-⋅=-； （2）由（1）知：1212,9575x x x x +=-⋅=- ∴2212x x + =()212122x x x x +-=225579⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=13925∴()2221122122x x x x x x +-=-=25139925⎛⎫⨯- ⎝-⎪⎭=22925∵12x x > ∴210x x -<∴21x x -==∴1211x x - =2112x x x x -=955-； （3）设一元二次方程2350x ax +-=的两根分别1x 、2x ， ∴1212,533x x x a x +=-⋅=- 由题意可得()()122002x x ⎧⎨--<∆>⎩∴()21212600240a x x x x +⎧⎪⎨-++<>⎪⎩∴2600335240a a ⎧⎪⎨⎛⎫-⨯+< +>--⎪⎪⎝⎭⎩②① ∵无论a 为何值，260a +恒为正，故①恒成立； 解②，得72a <-； 综上：72a <-． 【点睛】此题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题关键．14．（1）见解析；（2）0或-4． 【分析】（1）证明一元二次方程根的判别式恒大于0，即可解答；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4，以及x 1•x 2=3x 22=3-6m 即可求得m 的值． 【详解】解：（1）证明：∵关于x 的方程x 2+2（2-m ）x+3-6m=0中，△=4（2-m ）2-4（3-6m ）=4（m+1）2≥0，∴无论m 取什么实数，方程总有实数根．（2）如果方程的两个实数根x 1，x 2满足x 1=3x 2，则x 1+x 2=4x 2=-2（2-m ）=2m-4 ∴x 2=2m-1 ① ∵x 1•x 2=3x 22=3-6m ， ∴x 22=1-2m ②，把①代入②得m （m+4）=0， 即m=0，或m=-4． 答：实数m 的值是0或-4 【点睛】解答此题的关键是熟知一元二次方程根的情况与判别式△的关系，及根与系数的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根．（4）若一元二次方程有实数根，则x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 15．（1）m<1；（2）存在，m=-1 【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根列得[]222(1)4(1)0m m --->，解不等式即可；（2）利用根与系数的关系得到122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，代入x 12+x 22=16+x 1x 2中求出m 的值，根据（1）中m 的取值范围确定m 的值. 【详解】（1）∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根， ∴0∆>，∴[]222(1)4(1)0m m --->， 解得m<1； （2）存在，∵一元二次方程x 2+2（m-1）+m 2-1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，∴122(1)x x m +=--=2-2m ，2121x x m =-，若x 12+x 22=16+x 1x 2，则2121212()216x x x x x x +-=+，∴ 222(22)2(1)161m m m ---=+-，解得m=-1或m=9， ∵m<1， ∴m=9舍去， 即m=-1. 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系式，解一元二次方程，正确计算是解题的关键. 16．（1）115-；（2）1214【分析】（1）由根与系数的关系可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，将其代入到12121211x x x x x x ++= 中，求出结果即可； （2）将x 1+x 2=12，x 1x 2=152-代入到（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2即可得． 【详解】（1）根据题意，可得x 1+x 2=12，x 1x 2=152-，∴12121211112=15152x x x x x x ++==--；（2）(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=211511214302244⎛⎫⎛⎫-⨯-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查根与系数的关系，解题关键是运用一元二次方程的两根为x 1，x 2，则有x 1+x 2=b a -，x 1•x 2=ca． 17．（1）54p ≤；（2）-3；（3）-4．【分析】（1）一元二次方程有实数根，0∆≥根据判别式的公式代入即可求p 的取值范围； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0化简，再根据根与系数的关系得出1x 与2x 之间的关系，进一步可求得2212x x +的值，代入即可求解；（3）将等式变形，结合四个等式：21110x x p -+-=，22210x x p -+-=，代入求p ，结果要根据p 的取值范围进行检验． 【详解】 （1）x 的一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根0∴∆≥即()()2241410b ac p -=---≥ 解得：54p ≤∴p 的取值范围为：54p ≤； （2）将p=0代入2x －x ＋p －1＝0， 即2x －x －1＝0121x x ∴+=，121x x ⋅=-()2221212122123x x x x x x ∴+=+-=+=22121221123=31x x x x x x x x +∴+==-⋅- （3）由[2＋1x （1－1x ）][2＋2x （1－2x ）]＝9，得()()221122229x x xx +-+-=1x 、2x 为一元二次方程2x －x ＋p －1＝0有两实数根21110x x p ∴-+-=，22210x x p -+-= 2211221,1x x p x x p ∴-=--=-()()21219p p ∴+-+-=即()219p +=2p ∴=或4p =-54p ≤4p ∴=- 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的运用，根与系数关系的运用以及等式变形的能力． 18．（1）m ＞1；（2）m ＝2． 【分析】（1）若方程有两个不相等的实数根，则根的判别式∆=b 2-4ac ＞0，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围；（2）根据题意x 12-2x 1-m+2=0，即可得到x 12=2x 1+m-2，代入x 12+2x 2＝m 2，可得2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，代入2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，得到关于m 的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m +2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2， ∴∆＝(﹣2)2﹣4(﹣m +2)＝4m ﹣4＞0， ∴m ＞1；（2）∵x 1+x 2＝2，x 12﹣2x 1﹣m +2＝0， x 12＝2x 1+m ﹣2，∴x 12+2x 2＝2x 1+2x 2+m ﹣2＝m 2，即2×2+m ﹣2＝m 2， 解得：m ＝﹣1或m=2， ∵m ＞1， ∴m ＝2． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式∆=b 2﹣4ac 与根的关系，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． 19．a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【分析】首先把方程化为一般形式，由于a ，b 是方程的解，根据根与系数的关系即可得到m ，n ，a ，b 的关系，相互比较即可得出答案． 【详解】由3()()0x m x n ---=变形得：()()3x m x n --=， ∴0x m -＞，x n -＞0或0x m -<，0x n -<， ∴x m ＞，x n ＞或x m <，x n <， ∵a ，b 是方程的解，将a ，b 代入，得：a m ＞，a n ＞，b m <，b n <或a m <，a n <，b m ＞，b n ＞，综合可得：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<< 故答案为：a m n b <<<，b m n a <<<，a n m b <<<或b n m a <<<． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，难度较大，关键是m ，n ，a ，b 大小的讨论是此题的难点． 20．12； 【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=-1，mn=-2，将其代入11n m m n mn++=中即可求出结论． 【详解】解：∵方程x 2+x ﹣2＝0的两个根分别为m ，n ， ∴m +n ＝﹣1，mn ＝﹣2，111122n m n m m n mn mn mm +-∴+=+===-． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于-b a ，两根之积等于ca是解题的关键． 21．-3 【分析】根据根与系数的关系即可求解． 【详解】解：根据题意得x 1x 2＝31c a -==﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与性质的关系，解题的关键是熟知x 1x 2＝ca的运用． 22．2或452【分析】根据题意先将两个未知数理解为一元二次方程的两个根，再利用韦达定理求出两根关系，进而求得原式的答案即可． 【详解】由题意，实数m n ，是一元二次方程2720x x -+=的两个实数根， 此时题目并未告知m n ，是否相等，故作以下讨论： ①若m n =，则112n mm n+=+=； ②若m n ≠，则根据韦达定理，有72m n mn +==，，()222227224522m n mnn m m n m n mnmn+-+-⨯+====，故答案为：2或452． 【点睛】本题考查一元二次方程根的理解及根与系数的关系，灵活解读题意是解题关键．23．-1【分析】根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．【详解】解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．故答案为﹣1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a． 24．6【分析】根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，再把2212x x +变形为21212()2x x x x +-，然后利用整体代入的方法计算出值即可．【详解】解：∵1x 、2x 是方程2210x x --=的两根，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=-1，所以，2212x x +=21212()2x x x x +-=222(1)426-⨯-=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a． 25．3或7【分析】先根据一元二次方程根的判别式得出k的取值范围，再分5是等腰三角形的腰的长度和底边的长度两种情况，根据等腰三角形的周长得出另外两边的长度，最后利用根与系数的关系得出关于k的方程，解之得出答案．【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0有两个实数根，∴∆＝(﹣6)2﹣4(k+2)≥0，解得k≤7；若5是等腰三角形的腰的长度，则另外两边分别为5、1，此时三角形三边为1、5、5，符合角形三边条件，所以关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根为1、5，则k+2＝5，即k＝3；若5是等腰三角形的底边长度，则另外两边的长度为3、3，此时三角形三边的长度为3、3、5符合三角形三边条件，则k+2＝9，即k＝7；综上，k的值为3或7，故答案为：3或7．【点睛】本题主要考查根的判别式、三角形三边关系、根与系数的关系及等腰三角形的定义，解题的关键是根据等腰三角形的性质分类讨论及一元二次方程根与系数的关系．26．3 2【分析】先由根与系数的关系得到2m+1=-（α+β），α•β=m2-2m+32=（m-1）2+12＞0，那么α和β同号，再由|α|+|β|=4，分α+β=-4或α+β=4进行讨论即可．【详解】解：∵二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2m+32＝0的两个实数根为α和β，∴α+β＝﹣（2m+1），α•β＝m2﹣2m+32，∴2m+1＝﹣（α+β），α•β＝m2﹣2m+32＝（m﹣1）2+12＞0，∴α•β＞0，即α和β同号，∴由|α|+|β|＝4得：α+β＝﹣4或α+β＝4．当α+β＝﹣4时，2m +1＝4，解得m ＝32； 当α+β＝4时，2m +1＝﹣4，解得m ＝﹣52． ∵△＝（2m +1）2﹣4（m 2﹣2m +32） ＝4m 2+4m +1﹣4m 2+8m ﹣6＝12m ﹣5≥0，∴m ≥512； ∴m ＝﹣52不合题意，舍去， 则m ＝32． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．27．1【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】根据题意得x 1•x 2＝1．故答案为1．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系“在一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠，a b c 、、都为常数)中，两根1x ，2x 与系数的关系为12b x x a +=-，12c x x a =”． 28．﹣12【分析】由根与系数的关系，即可求出答案．【详解】解：∵一元二次方程2x 2+3x ﹣1＝0的两个根是x 1，x 2，∴x 1x 2＝﹣12， 故答案为：﹣12． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系进行解题．29．2【分析】先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．【详解】解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，∴x 1+x 2=2．故答案为：2．【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a -是解题的关键． 30．4【分析】利用一元二次方程根于系数的关系式求出根的和即可．【详解】解：∵2310x x --=， ∴123b x x a+=-=， ∵230x x --=， ∴121b x x a +=-=， ∴所有实数根的和等于4．故答案是：4．【点睛】本题考查一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系式．。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B)有两个不相等的实数根(C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ ） （A)15 (B ）12 （C ）6 （D)33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ )（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2错误!x （C)错误!x 2－错误!x+2=0（D ）3x 2－2错误!x+1=04．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 (D ）y 2－5y －6=05．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x •等于（ )（A ）2 （B ）－2 （C ） 1 (D ）－1二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根,那么k ＝ 。
2、如果关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x 有两个不相等的实数根,那么k 的取值范围是 。
3、已知21x x ，是方程04722=+-x x 的两根，则21x x +＝ ，21x x ＝ ，221)(x x -＝4、若关于x 的方程01)2()2(22=+---x m x m 的两个根互为倒数,则m ＝ 。
5、当m = 时,方程042=++mx x 有两个相等的实数根;6、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ,若有一个根为0，则m = ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－错误!，则m = ，这时方程的 两个根为 .7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式,则m = ；8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根,则最小的整数m = ;9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等,则m = ；10、设关于x 的方程062=+-k x x 的两根是m 和n ，且2023=+n m ,则k 值为 ；11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是12、一元二次方程02=++q px x 两个根分别是32+和32-，则p= ,q= 13、已知方程01932=+-m x x 的一个根是1,那么它的另一个根是 ，m= ;14、若方程012=-+mx x 的两个实数根互为相反数，那么m 的值是 ；15、n m 、是关于x 的方程01)12(22=++--m x m x 的两个实数根，则代数式n m = . 16、已知方程0132=+-x x 的两个根为α，β,则α+β= , αβ= ；17、如果关于x 的方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则m 的值为 ；18、已知方程0322=+-k x x 的两根之差为2错误!，则k=19、若方程03)2(22=--+x a x 的两根是1和－3，则a=20、①、若关于x 的方程04)1(222=+-+m x m x 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ; ②、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则a= 。
专题：一元二次方程根与系数的关系(含答案)-
一元二次方程根与系数的关系(一) 姓名◆课前预习1．如果一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=____，x 1x 2=____． 2．如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=_____，x 1x 2=________；以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是__________． ◆互动课堂【例1】写出下列方程的两根和与积(1)2x 3x-5=0- (2)22x +3x 8=0- (3)52x 7x 10-+=【例2】设方程4x 2－7x －3=0的两根为x 1，x 2，不解方程，求下列各式的值： （1）x 12+x 22； （2）（x 1－3）（x 2－3）；（3）21121x x x x x +++； （4）│x 1－x 2│．【例3】已知方程25x +kx 6=0-的一个根为2，求k 的值及另一个根 【例4】已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k+1）x+4k －3=0。
（1）求证：无论x 取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt △ABC 的斜边长b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长．【例5】已知关于x 的一元二次方程22x +3x m+1=0-的两实根的倒数和为3, 求m 的值. ◆跟进课堂1．如果方程x 2+px+q=01，那么p=_____，q=_____． 2．已知一元二次方程x 2－5x －6=0x 1，x 2，则x 12+x 22=_______．3．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程a 2x 2－（2a －3）x+1=0的两个实数根，如果1211x x +=－2，那么a 的值是_______．4．已知关于x 的方程x 2－3x+m=0的一个根是另一个根的2倍，则m 的值为______． 5．已知方程x 2+3x －1=0的两个根为α、β，那么aβαβ+=_______．6．设方程x 2+x －1=0的两个实数根分别为x 1，x 2，则1211x x +的值为（ ）．A ．1B ．－1 CD 7．对于方程x 2+bx －2=0，以下观点正确的是（ ）．A ．方程有无实数根，要根据b 的取值而定B ．无论b 取何值，方程必有一正根，一负根C ．当b>0时，方程两根为正；b<0时，方程两根为负D ．∵－2<0，∴方程两根肯定为负 8．已知一个直角三角形两条直角边的长恰好是方程x 2－8x+7=0的两个根，•则这个直角三角形的斜边长是（ ）． A ．5 B ．3 C ．D ．99．已知α、β满足α+β=5，且αβ=6，则以α、β为两根的一元二次方程是（ ）．A ．x 2+5x+6=0B ．x 2－5x+6=0C ．x 2－5x －6=0D ．x 2+5x －6=0 10．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两异号实数根的条件是（ ）． A ．b a>0 B ．b a <0 C ．c a >0 D ．c a <0◆课外作业1．设x 1，x 2是方程x 2－4x+2=0的两实数根，则x 1+x 2=____，x 1·x 2=_____．2．关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两根为x 1=1，x 2=2，则x 2+bx+c •分解因式的结果为_______． 3．如果一个矩形的长和宽是一元二次方程x 2－10x+20=0的两个根，•那么这个矩形的周长是______．4.已知x 1，x 2是方程x 2－x －3=0的两个根，那么x 12+x 22的值是（ ） A ．1 B ．5 C ．7 D ．4945．已知关于x 的一元二次方程x 2－mx+2m －1=0的两个实数根的平方和为7，那么m •的值是（ ） A ．5 B ．－1 C ．5或－1 D ．－5或16．下列说法中正确的是（ ）A ．方程x 2+2x －7=0的两实数根之和是2B ．方程2x 2－3x －5=0的两实数根之积为52C ．方程x 2－2x －7=0的两实数根的平方和为18D ．方程2x 2+3x －5=0的两实数根的倒数和为357．若ab≠1，且有5a 2+2002a+9=0及9b 2+2002b+5=0，则ab的值是（ ） A ．95B ．59C ．－20025D ．－200298．设x 1，x 2是方程2x 2+4x －3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）（x 1+1）（x 2+1）； （2）x 12x 2+x 1x 22； （3）2112x x x x +； （4）（x 1－x 2）2．9．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2m －3）x+m 2=0的两个不相等的实数根α，β，满足11αβ+=1，求m 的值．10．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+mx+n=0的两根，x 1+1，x 2+1是关于x 的方程x 2+nx+m=0的两根，求m ，n 的值．11．已知关于x 的方程x 2－2kx+k －14=0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k •的取值范围．12．已知x 1，x 2是一元二次方程2x 2－2x+m+1=0的两个实数根． （1）求实数m 的取值范围．（2）如果x 1，x 2满足不等式7+4x 1x 2>x 12+x 22，且m 为整数，求m 的值．13.已知关于x 的一元二次方程x 2－（m+2）x+14m 2－2=0．（1）当m为何值时，这个方程有两个相等的实数根．（2）如果这个方程的两个实数根x1，x2满足x12+x22=18，求m的值．答案:1．－ 1 2．37 3．124．2 5．－116．A 7．B 8．C 9．B 10．D11．（1）－52（2）3 （3）－143（4）10 12．m=－313．m=－1，n=－3 14．k>3 415．（1）m≤－12（2）m=－2或m=•－1。
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案) - 副本一元二次方程根与系数的关系题一、单项选择题：1.关于方程 $ax-2x+1=0$，如果 $a<0$，那么根的情况是（）A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根C) 没有实数根 (D) 不能确定2.设 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-6x+3=0$ 的两根，则$x_1+x_2$ 的值是（）A) 15 (B) 12 (C) 6 (D) 33.下列方程中，有两个相等的实数根的是（）A) $2y+5=6y$ (B) $x+5=25x$ (C) $3x^2-2x+2=0$ (D)$3x^2-26x+1=0$本题为找出 $\Delta$ 的方程即可)4.以方程 $x^2+2x-3=0$ 的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）A) $y^2+5y-6=0$ (B) $y^2+5y+6=0$ (C) $y^2-5y+6=0$ (D) $y^2-5y-6=0$5.如果 $x_1,x_2$ 是两个不相等实数，且满足 $x_1-2x_1=1$，$x_2-2x_2=1$，那么 $x_1\cdot x_2$ 等于（）A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -1二、填空题：1、如果一元二次方程 $x^2+4x+k=0$ 有两个相等的实数根，那么 $k=$ _____。
2、如果关于 $x$ 的方程 $2x^2-(4k+1)x+2k-1=0$ 有两个不相等的实数根，那么 $k$ 的取值范围是______。
3、已知 $x_1,x_2$ 是方程 $2x^2-7x+4=0$ 的两根，则$x_1+x_2=$ _______。
4、若关于 $x$ 的方程 $(m-2)x^2-(m-2)x+1=0$ 的两个根互为倒数，则 $m=$ _____。
5、当 $m=$ _______ 时，方程 $x^2+mx+4=0$ 有两个相等的实数根；6、已知关于 $x$ 的方程 $10x^2-(m+3)x+m-7=0$，若有一个根为 $1$，则 $m=7$，这时方程的另一个根是 $7/5$；若两根之和为 $-5/3$，则 $m=-9$，这时方程的两个根为 $1/2,-7/5$。
北师大版九年级数学上册 2 5一元二次方程根与系数的关系 测试题(含答案)
一元二次方程根与系数的关系测试题一、选择题1.关于x的一元二次方程3x2+2x+1=0的根的情况，下列判断正确的是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断2.一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p,q,则p+q等于（）A.0B.1C.0或-2D.0或-13.若关于x的一元二次方程（k-5）x2-2x+2=0有实数根，则整数k的最大值为（）A.4B.5C.6D.74.定义新运算a*b：对于任意实数a,b满足a*b=（a+b）（a-b）-1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2=（3+2）（3-2）-1=5-1=4．若x*k=2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根C．有两个相等的实数根 D．没有实数根5.设x1，x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根，实数a,b满足：ax12003+bx22003=2003，ax12004+bx22004=2004，则ax12005+bx22005的值为（）A．2005 B．2003 C．-2005 D．-20036.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac＝(2ax0+b)2④若x0是一元二次方程其中正确的（）A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③二．填空题8.已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）= ．9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2-x-2=0是倍根方程；②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac.三、解答题10.当m为何值时，一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0．（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？11.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．12.已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m,n恰好是这个方程的两个根，求△AB C的周长．一元二次方程根与系数的关系测试题（解析）一、选择题1.关于x的一元二次方程3x2+2x+1=0的根的情况，下列判断正确的是（）B．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断【答案】C【分析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：Δ=22-4×1×3=4-12=-8，故原方程无实数根，故选：C．2.一元二次方程x2+px+q=0的两个根为p,q,则p+q等于（）A.0B.1C.0或-2D.0或-1【答案】D【分析】利用根据根与系数的关系得，p+q=-p,pq=q,当q≠0时，p=1，当q=0时，p=0，然后计算p+q的值．【解答】解：根据根与系数的关系得，p+q=-p,pq=q,解得p=1，q=-2或p=q=0，所以p+q=-1或p+q=0．故选：D．3.若关于x的一元二次方程（k-5）x2-2x+2=0有实数根，则整数k的最大值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】A【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（k-5）x 2-2x+2=0有实数根，，解得：k≤211且k≠5． ∵k 为整数， ∴k 的最大值为4． 故选：A ．【答案】Dx2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根可得：x1+x2=2【分析】由根与系数关系，x1，003，x1×x2=2005；化简式子ax2005+bx22005的值为：（x1+x2）（ax12004+bx22004）-x1x2（ax12003+bx22003）；1=2003，x1×x2=2005，ax12003+bx22003=2003，ax12004+bx22004=2004代入即可得出将x1+x2结果．x2是方程x2-2003x+2005=0的两个实根可得：x1+x2=2003，x1×x2=2【解答】解：x1，005，故ax2005+bx22005=（x1+x2）（ax12004+bx22004）-x1x2（ax12003+bx22003），1=2003×2004-2005×2003，=-2003．故选：D．6.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法：①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0；②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；ax2+bx+c=0的根，则b2−4ac＝(2ax0+b)2④若x0是一元二次方程其中正确的（）A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③【答案】B【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【解答】解：①若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ=b2-4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴Δ=0-4ac＞0，∴-4ac＞0，则方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac＞0，二．填空题8.已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）= ．【解答】解：∵m、n是方程x2+2x-1=0的两根，∴m+n=-2，mn=-1，m2+2m-1=0，n2+2n-1=0，∴（m2+3m+3）（n2+3n+3）=（m2+2m-1+m+4）（n2+2n-1+n+4）=（m+4）（n+4）=mn+4（m+n）+16=-1+4×（-2）+16=7，故答案为：7．9.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2-x-2=0是倍根方程；②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程：则4m2+5mn+n2=0；③若p,q满足pq=2，则关于x的方程px2+3x+q=0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c=0是倍根方程，则必有2b2=9ac.【解答】解：①解方程x2-x-2=0得，x1=2，x2=-1，得，x1≠2x2，∴方程x2-x-2=0不是倍根方程；故①不正确；②若（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，x，1=2或x2=4，因此x2=1时，m+n=0，当x2=1当x时，4m+n=0，2=4∴4m2+5mn+n2=（m+n）（4m+n）=0，故②正确；∴2b2=9ac.故④正确，故答案为：②③④11.已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a,b,c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【分析】（1）把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，整理得a=b,从而可判断三角形的形状；（2）根据判别式的意义得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；（3）利用等边三角形的性质得a=b=c,方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x=-1代入方程得a+c-2b+a-c=0，则a=b,所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得Δ=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a=b=c,∴方程化为x2+x=0，解得x1=0，x2=-1．12.已知关于x的方程x2-（k+2）x+2k=0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m,n恰好是这个方程的两个根，求△AB C的周长．【分析】（1）计算其判别式，得出判别式不为负数即可；（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个根为4，代入可求得k的值，则可求得方程的另一根，可求得周长；当边长为4的边为底时，可知方程有两个相等的实数根，可求得k的值，再解方程即可．【解答】（1）证明：∵Δ=（k+2）2-8k=k2+4k+4-8k=（k-2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，∴16-4（k+2）+2k=0，解得k=4，∴方程为x2-6x+8=0，解得x=4或x=2，∴m、n的值分别为2、4，∴△ABC的周长为10；当边长为4的边为底时，则m=n,即方程有两个相等的实数根，∴Δ=0，即（k-2）2=0，解得k=2，∴方程为x2-4x+4=0，解得m=n=2，此时2+2=4，不符合三角形的三边关系，舍去；综上可知△ABC的周长为10．。
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)10．（2014•黄冈样卷）设a ，b 是方程x 2+x ﹣2015=0的两个实数根，则a 2+2a+b 的值为（ ）11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ）13．（2014•陵县模拟）已知：x 1、x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是（ ） ﹣﹣，14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x 2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（ ）15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=（ ）17．（2013•青神县一模）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则的值等于（ ）．BC ． ．18．（2012•莱芜）已知m 、n 是方程x 2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（ ）19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a的值为（ ）20．（2011•锦江区模拟）若方程x 2﹣3x ﹣2=0的两实根为x 1、x 2，则（x 1+2）（x 2+2）的值为（ ）21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（）．．22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（）二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=_________．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=_________．25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为_________．26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k 的值是_________．三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．30．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共22小题）1．（2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（）．解题时检验两根之和是否为及两根之积2．（2014•昆明）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣4x+1=0的两个实数根，则x 1•x 2等于（ ）﹣，=．3．（2014•玉林）x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣mx+m ﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m 使+=0成立？则正确的结论是（ ）先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m 1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．4．（2014•南昌）若α，β是方程x 2﹣2x ﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ）5．（2014•贵港）若关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的两个实数根分别为x 1=﹣2，x 2=4，则b+c 的值是（ ）﹣，=．6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，则a的值是（）﹣，=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）．+=﹣1+得到，然后利用整体代入的方法+===1．﹣，=．8．（2014•威海）方程x2﹣（m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，则m的值是（）﹣，=．9．（2014•长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（）=来求方程的﹣、=时，要注意等式中的10．（2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）==．也考11．（2014•江西模拟）一元二次方程x 2﹣2x ﹣3=0与3x 2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（ ）式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，12．（2014•峨眉山市二模）已知x 1、x 2是方程x 2﹣（k ﹣2）x+k 2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是（ ）≤﹣．13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（）﹣﹣，﹣，==．14．（2013•湖北）已知α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值为（）﹣，=﹣，=15．（2013•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+a ﹣1=0有两根为x 1和x 2，且x 12﹣x 1x 2=0，则a 的值是（ ）16．（2013•天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0两、x2，则x1+x2=（）根为x1﹣求出即可．﹣=417．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（）．B C．．，﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．m+n=，﹣所以+===﹣．﹣，=．18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（）2，，再变形，然后把2，+2x+1=02∴===﹣，=．也考查了二次根式的化简求值．19．（2012•天门）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为（ ）20．（2011•锦江区模拟）若方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，则（x1+2）（x2+2）的值为（）21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（）．．变形为与是方程∴，，与是方程=1∴=p+=1为22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长为（）二．填空题（共4小题）23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=﹣1．=得出﹣=进行求解．24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=8．﹣25．（2014•广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2+3m ﹣2=0有两个实数根x 1、x 2，则x 1（x 2+x 1）+x 22的最小值为 ． ≤，m+﹣﹣）+m=时，有最小值∵＜，m=成立；∴最小值为故答案为：26．（2014•桂林）已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两根为x 1和x 2，且（x 1﹣2）（x 1﹣x 2）=0，则k 的值是 ﹣2或﹣ ．解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣﹣2）=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．或﹣三．解答题（共4小题）27．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（2014•日照二模）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．的两个实数根得到△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（），x 1•x 2=2a 2﹣1，由（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80得到3（x 1+x 2）2﹣16x 1x 2=﹣80，于是有3（3a ﹣1）（2a 2﹣1）=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a 的值． 解：∵x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2+（3a ﹣1）﹣1=0的两个实数根， ∴△≥0，即（3a ﹣1）2﹣4（2a 2﹣1）=a 2﹣6a+5≥所以a ≥5或a ≤1．…（3分） ∴x 1+x 2=﹣（3a ﹣1），x 1•x 2=2a 2﹣1，∵（3x 1﹣x 2）（x 1﹣3x 2）=﹣80，即3（x 12+x 22）﹣10x ﹣80，∴3（x +x ）﹣16x x =﹣80， ﹣，﹣时，△（﹣））（）×+6﹣，=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式29．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．使得≥与系数的关系可以求得≥≤．≤使得≥∴由≥得≥≤，使得30．（2001•苏州）已知关于x的一元二次方程，（1）求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．，×（=k=k±．。
(完整版)一元二次方程根与系数关系(附答案)
一元二次方程根与系数的关系（附答案）评卷人得分一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣13．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．65．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3评卷人得分二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为．评卷人得分三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（）A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：∵△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，∴△=22﹣4×1×（﹣m）=4+4m≥0，解得：m≥﹣1．故选：A．3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【解答】解：∵a=1，b=3，c=﹣1，∴△=b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣1）=13＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，∴x1+x2=2，x1x2=﹣，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=22﹣2×（﹣）=5．故选：C．5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5．故选：B．6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．3【解答】解：∵关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（c+1）=12﹣4c=0，解得：c=3．故选：D．二．填空题（共1小题）7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为﹣5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p、q，∴p+q=3，pq=a，∵p2﹣pq+q2=（p+q）2﹣3pq=18，即9﹣3a=18，∴a=﹣3，∴pq=﹣3，∴+====﹣5．故答案为：﹣5．三．解答题（共8小题）8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长．【解答】解：（1）∵方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，∴△=[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+1）=4k﹣3＞0，∴k＞．（2）当k=2时，原方程为x2﹣5x+5=0，设方程的两个为m、n，∴m+n=5，mn=5，∴==．9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0．（1）若该方程的一个根为1，求a的值；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解答】（1）解：将x=1代入原方程，得：1+a+a﹣2=0，解得：a=．（2）证明：△=a2﹣4（a﹣2）=（a﹣2）2+4．∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程一个根为3，求m的值．【解答】（1）证明：原方程可化为x2﹣（2m+2）x+m2+2m=0，∵a=1，b=﹣（2m+2），c=m2+2m，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2m+2）]2﹣4（m2+2m）=4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）解：将x=3代入原方程，得：（3﹣m）2﹣2（3﹣m）=0，解得：m1=3，m2=1．∴m的值为3或1．11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．【解答】解：（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a﹣1）≥0，解得；（3）∵是方程的两个实数根，，∴．∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣412．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．（1）是否存在实数k，使（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=﹣成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值；（3）若k=﹣2，λ=，试求λ的值．【解答】解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=，∴（2x1﹣x2）（x1﹣2x2）=2x12﹣4x1x2﹣x1x2+2x22=2（x1+x2）2﹣9x1x2=2×12﹣9×=2﹣，若2﹣=﹣成立，解上述方程得，k=，∵△=16k2﹣4×4k（k+1）=﹣16k＞0，∴k＜0，∵k=，∴矛盾，∴不存在这样k的值；（2）原式=﹣2=﹣2=﹣4=﹣，∴k+1=1或﹣1，或2，或﹣2，或4，或﹣4解得k=0或﹣2，1，﹣3，3，﹣5．∵k＜0．∴k=﹣2，﹣3或﹣5；（3）∵k=﹣2，λ=，x1+x2=1，∴λx2+x2=1，x2=，x1=，∵x1x2==，∴=，∴λ=3±3．13．已知关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x1+x2=x1x2+2，求k的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根，∴，解得：k≤且k≠﹣1．（2）∵关于x的方程（k+1）x2﹣2（k﹣1）x+k=0有两个实数根x1，x2．∴x1+x2=，x1x2=．∵x1+x2=x1x2+2，即=+2，解得：k=﹣4，经检验，k=﹣4是原分式方程的解，∴k=﹣4．14．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x1、x2是方程的两根，且x12+x22=22+x1x2，求实数m的值．【解答】解：（1）△=[﹣2（m+1）]2﹣4（m2﹣3）=8m+16，当方程有两个不相等的实数根时，则有△＞0，即8m+16＞0，解得m＞﹣2；（2）根据一元二次方程根与系数之间的关系，得x1+x2=2（m+1），x1x2=m2﹣3，∵x12+x22=22+x1x2=（x1+x2）2﹣2x1x2，∴[2（m+1）]﹣2（m2﹣3）=6+（m2﹣3），化简，得m2+8m﹣9=0，解得m=1或m=﹣9（不合题意，舍去），∴实数m的值为1．15．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+x22=6x1x2，求m的值．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，解得m≤2；（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2，x1x2=m﹣1，∵x12+x22=6x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6x1x2，即（x1+x2）2=8x1x2，∴4=8（m﹣1），解得m=1.5．。
一元二次方程根与系数的关系专项练习(含解析)
同步测验一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−42.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是（）A.−1B.1C.−2D.23.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为（）A.1B.−2C.−1D.24.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−35.已知a、b是方程x2−4x+2=0的两个根，则a2−2a+2b的值为（）A.−4B.6C.−8D.86.若x1、x2是一元二次方程2x2−3x+1=0的两个根，则x12+x22的值是（）A.54B.94C.114D.77.已知x1，x2是关于x的元二次方程x2−(5m−6)x+m2＝0的两个不相等的实根，且满足x1+x2＝m2，则m的值是（）A.2B.3C.2或3D.−2或−38.x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，是否存在实数m使1x1+1x2=0成立？则正确的结论是（）A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为（）A.1B.2C.3D.410.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________．17.已知m，n是方程x2−2017x+2018＝0的两根，则(n2−2018n+2 019)(m2−2018m+2019)＝________．18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________．19.已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=1，x2=2，则b=________；c=________．20.关于x的方程x2−2√3x+1=0的两根分别为x1，x2，则x1x2+x2x1=________．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．同步测验学校：__________班级：__________姓名：__________考号：__________ 一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.若关于x的一元二次方程x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，则m2(1x1+1x2)=()A.m 44B.−m44C.4D.−4【解答】解：∵x2−4x−m2=0有两个实数根x1，x2，∴{x1+x2=4，x1x2=−m2，∴则m2(1x1+1x2)=m2⋅x1+x2x1x2=m2⋅4−m2=−4．故选D.2.关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根是3，则另一个根是()A.−1B.1C.−2D.2【解答】解：设关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的另一个根为t，则3t=−6，解得t=−2．故选C．3.已知x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，则x1+x2的值为()A.1B.−2C.−1D.2【解答】解：∵x1，x2是方程x2−2x−1=0的两根，∴x1+x2=2．故选D．4.一元二次方程x2+4x−3=0的两根为x1、x2，则x1⋅x2的值是（）A.4B.−4C.3D.−3【解答】解：x 1⋅x 2=−3． 故选D ．5.已知a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根，则a 2−2a +2b 的值为（ ） A.−4 B.6 C.−8 D.8【解答】解：∵a 、b 是方程x 2−4x +2=0的两个根， ∴a 2−4a +2=0，a +b =4， ∴a 2−4a =−2，2a +2b =8， ∴a 2−4a +2a +2b =6， ∴a 2−2a +2b =6， 故选B ．6.若x 1、x 2是一元二次方程2x 2−3x +1=0的两个根，则x 12+x 22的值是（ ）A.54 B.94C.114D.7【解答】 解：由题意知，x 1x 2=12，x 1+x 2=32，∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2=(32)2−2×12=54．故选A ．7.已知x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根，且满足x 1+x 2＝m 2，则m 的值是（ ） A.2 B.3 C.2或3 D.−2或−3【解答】∵x 1，x 2是关于x 的元二次方程x 2−(5m −6)x +m 2＝0的两个不相等的实根， ∴x 1+x 2＝5m −6，△＝[−(5m −6)]2−4m 2>0， 解得m <67或m >2， ∵x 1+x 2＝m 2， ∴5m −6＝m 2，解得m ＝2（舍）或m ＝3，8.x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2−mx +m −2=0的两个实数根，是否存在实数m 使1x 1+1x 2=0成立？则正确的结论是()A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−mx+m−2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m−2．假设存在实数m使1x1+1x2=0成立，则x1+x2x1x2=0，∴mm−2=0，∴m=0．当m=0时，方程x2−mx+m−2=0即为x2−2=0，此时Δ=8>0，∴m=0符合题意．故选A．9.关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，1x1+1x2=23，则k值为()A.1B.2C.3D.4【解答】解：∵关于x的方程x2−(k+3)x+3k=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=k+3，x1⋅x2=3k，∵1x1+1x2=23，∴x1+x2x1⋅x2=23，即k+33k =23，解得k=3.经检验k=3符合题意.故选C.10.下列方程中，两根是−2和−3的方程是（）A.x2−5x+6=0B.x2−5x−6=0C.x2+5x−6=0D.x2+5x+6=0【解答】解：设两根是−2和−3的方程为：x2+ax+b=0，根据根与系数的关系，∴(−2)+(−3)=−a=5，(−2)×(−3)=b=6，故方程为：x2+5x+6=0．故选D．二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，则x12+2x1−2x1x2的值为________．【解答】解：∵一元二次方程x2−2x−1=0的两根为x1，x2，∴x12=1+2x1，x1x2=−1,x1+x2=2，∴x12+2x2−2x1x2=1+2(x1+x2)−2x1x2=1+4+2=7．故答案为：7.12.设x1，x2是方程2x2+4x−3=0的两个根，则x12+x22=________．【解答】，解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−32)=7．所以x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−2)2−2×(−32故答案为7．13.方程x2−2ax+3=0有一个根是1，则另一根为________，a的值是________．【解答】解：设方程的另一根为x2，根据题意得1⋅x2=3，则x2=3；∵1+x2=2a，∴1+3=2a，∴a=2；故答案为3，2．14.已知2−√5是一元二次方程x2−4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是________．【解答】解：设方程的另一根为x1，由x1+2−√5=4，得x1=2+√5．15.已知x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，则x1+x2=________．【解答】解：∵一元二次方程x2−x−6=0的二次项系数a=1，一次项系数b=−1，又∵x1，x2分别是一元二次方程x2−x−6=0的两个实数根，∴根据韦达定理，知x 1+x 2=−b a =−−11=1；故答案是：1．16.请写出方程两个根互为相反数的一个一元二次方程________． 【解答】解：例如，x 2−4=0．（答案不唯一）．17.已知m ，n 是方程x 2−2017x +2018＝0的两根，则(n 2−2018n +2 019)(m 2−2018m +2019)＝________． 【解答】∵m 、n 是方程x 2−2 017x +2 018＝0的两根，∴m 2−2017m ＝−2018，n 2−2017n ＝−2018，m +n ＝2017，mn ＝2018， ∴原式＝(−n +1)(−m +1)＝mn −(m +n)+1＝2018−2017+1＝2． 18.以−3，4为解的一元二次方程可以为________． 【解答】解：根据根与系数的关系可知：在二次项系数为1时，一次项系数等于两根之和的相反数即−(−3+4)=−1，常数项等于两根之积即−3×4=−12， 故以−3，4为解的一元二次方程为：x 2−x +12=0， 故答案为：x 2−x +12=0．19.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2，则b =________；c =________． 【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+bx +c =0的两根分别为x 1=1，x 2=2， ∴1+2=−b ，1×2=c ， ∴b =−3，c =2， 故答案为：−3，2．20.关于x 的方程x 2−2√3x +1=0的两根分别为x 1，x 2，则x 1x 2+x2x 1=________．【解答】解：根据题意得x 1+x 2=2√3，x 1x 2=1， 所以原式=x 12+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2x 1x 2=(2√3)2−2×11=10．故答案为10．三、解答题（本题共计6小题，每题10分，共计60分）21.已知方程x2−2x−15=0的两个根分别是a和b，求代数式(a−b)2+4b(a−b)+4b2的值．【解答】解：根据题意得a+b=2，ab=−15，原式=(a+b)2−4ab+4ab−4b2+4b2=(a+b)2，所以原式=22=4．22.已知关于x的一元二次方程x2−2(k−1)x+k2−1=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|=2x1x2，求k的值．【解答】解：(1)由题意知：Δ=[−2(k−1)]2−4(k2−1)=−8k+8，∵方程有两个不相等的实数根，∴−8k+8>0，解得：k<1.故k的取值范围是k<1.(2)由韦达定理可知：x1x2=k2−1，x1+x2=2(k−1)，∵|x1+x2|=2x1x2，∴|2(k−1)|=2k2−2，∵k<1，∴2−2k=2k2−2，整理得：k2+k−2=0，解得：k=1(舍去)或k=−2.故k的值为−2.23.回答下列问题：(1)解方程：x2−2x−1=0；(2)已知α，β是方程x2+2x−3=0的两个实数根，求α2β+αβ2的值.【解答】解：(1)x2−2x−1=0，x2−2x=1，(x−1)2=2，x−1=±√2，∴x=√2+1或x=1−√2(2)由根与系数的关系可知，α+β=−2,αβ=−3,∴α2β+αβ2=αβ(α+β)=−3×(−2)=6..24.已知关于x的一元二次方程x2+4x+m−1=0．(1)若m是使得方程有两个不相等的实数根的最大正整数，求m的值；(2)设x1、x2是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求：−x1−x2+x1x2的值．【解答】解：(1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，即42−4(m−1)>0，解得m<5，∴m的最大正整数为m=4.(2)由(1)得x1x2=3，x1+x2=−4，则−x1−x2+x1x2=−(x1+x2)+x1x2=−(−4)+3=7．25.设x1、x2是方程x2+2x−2=0的两个实数根，求x2x1+x1x2的值．【解答】解：根据题意得x1+x2=−2，x1x2=−2，所以x2x1+x1x2=x12+x22x1x2=(x1+x2)2−2x1x2x1x2=(−2)2−2×(−2)−2=−4．26.已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根．（1）填空：x1+x2=________；x1⋅x2=________．（2）求代数式x12+x22的值．【解答】解：（1）x1+x2=−3，x1x2=1；（2）x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−3)2−2×1=7．11。
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案解析)
. . .一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共 22 小题）1．（ 2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x1=1， x2=2，则这个方程是（）2 2 ﹣ 3x+2=0 2 2A ．x +3x ﹣ 2=0B ． xC ． x ﹣ 2x+3=0D．x +3x+2=02．（ 2014?昆明）已知x 1， x 2 是一元二次方程 x 2﹣ 4x+1=0 的两个实数根，则x1?x2 等于（ ）A ．﹣4B ．﹣1C ． 1D ．43．（ 2014?玉林） x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x 2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数m 使 + =0 成立？则正确的结论是（）A ．m=0 时成立B ． m=2 时成立C ． m=0 或 2 时成立D ．不存在4．（ 2014?南昌）若 α， β是方程 2 2 2 ）x ﹣2x ﹣ 3=0 的两个实数根，则 α+β 的值为（ A ．10 B ． 9 C ． 7 D ．55．（ 2014?贵港）若关于2的两个实数根分别为 x1=﹣2， x2=4，则 b+c 的值是（）x 的一元二次方程 x +bx+c=0A ．﹣10B ． 10C ．﹣6D ．﹣16．（ 2014?烟台）关于 x 的方程x 2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ）A ．﹣1或 5B ． 1C ． 5D ．﹣17．（ 2014?攀枝花）若方程A ．α+β=﹣1 2 的两实根为 α、 β，那么下列说法不正确的是（ ） x +x ﹣1=0 B ． αβ=﹣ 1 2 2D ． C ． α+β=3+ =﹣18．（ 2014?威海）方程 x 2﹣（ m+6）x+m 2=0 有两个相等的实数根，且满足 x1+x 2=x 1x2，则 m 的值是（ ）A ．﹣2或 3B ． 3C ．﹣2D ．﹣3 或 2 9．（ 2014?长沙模拟）若关于 2（ k+3） x+2=0 的一个根是﹣ 2，则另一个根是（）x 的一元二次方程 x + A ．2 B ． 1 C ．﹣1 D ．0 2 2）10．（ 2014?黄冈样卷）设 a ， b 是方程 x +x ﹣ 2015=0 的两个实数根，则 a +2a+b 的值为（ A ．2012 B ． 2013 C ． 2014 D ．201511．（2014?江西模拟）一元二次方程 x2﹣ 2x ﹣ 3=0 与 3x 2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（ ）A ．﹣6B ． 6C ． 3D ．﹣312．（ 2014?峨眉山市二模）已知 x 1、 x 2 是方程 x 2﹣（ k ﹣ 2） x+k 2+3k+5=0 的两个实数根，则 的最大值是（）A ．19 B． 18 C． 15 D．1313．（ 2014?陵县模拟）已知：x1、 x2是一元二次方程2 的两根，且 x1+x 2=3， x1x2=1，则 a、 b 的值分别x +2ax+b=0是（）参考学习A ．a=﹣ 3， b=1B ． a=3， b=1C ．D ．a=﹣ ， b=1a=﹣ ， b=﹣ 114．（ 2013?湖北）已知 α， β是一元二次方程222）x ﹣ 5x ﹣ 2=0 的两个实数根，则 α+αβ+β 的值为（ A ．﹣1 B ． 9 C ． 23D ．2715．（ 2013?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 2﹣ 1=0 有两根为 x12 ﹣x1x2=0，则 a 的值是 （ ）x +2x+a 和 x2，且x1A ．a=1B ． a=1 或 a=﹣ 2C ． a=2D ．a=1 或a=2 16．（ 2013?天河区二模）已知一元二次方程x 2﹣4x+3=0 两根为 x 1、x 2，则 x 1+x 2=（ ） A ．4 B ． 3 C ．﹣4 D ．﹣317．（ 2013?青神县一模）已知m 和 n 是方程2x2﹣ 5x ﹣ 3=0 的两根，则 的值等于（）A ．B ．C ．D ．2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）18．（ 2012?莱芜）已知 m 、 n 是方程 x+2A ．9B ． ±3C ．3 D ．519．（ 2012?天门）如果关于x 的一元二次方程 2x +4x+a=0 的两个不相等实数根 x1， x2 满足 x1x2﹣ 2x1﹣ 2x2﹣5=0， 那么 a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ． 13D ．﹣1320．（ 2011?锦江区模拟）若方程x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两实根为 x 1、 x 2，则（ x 1+2）（ x 2+2）的值为（ ）A ．﹣4B ． 6C ．8 D ．1221．（ 2011?鄂州模拟）已知 p 2﹣ p ﹣ 1=0 ， 1﹣q ﹣q 2=0，且 pq ≠1，则的值为（ ） A ．1B ． 2C ．D ．22．（ 2010?滨湖区一模）若 △ ABC 的一边 a 为 4，另两边 b 、c 分别满足2 2，则 △ ABC 的周b ﹣ 5b+6=0，c ﹣5c+6=0 长为（ ）A ．9B ． 10C ．9 或 10D ．8或 9或 10二．填空题（共 4 小题）2 223．（ 2014?莱芜）若关于k= _________ ．x 的方程 x +（k ﹣ 2） x+k =0 的两根互为倒数，则24．（ 2014?呼和浩特）已知2 2﹣mn+3m+n= _________ ．m ，n 是方程 x +2x ﹣ 5=0 的两个实数根，则m25．（ 2014?广州）若关于x 的方程x 2+2mx+m 2 +3m﹣2=0 有两个实数根x1、 x2，则 x1（ x2+x 1） +x22的最小值为_________ ．26．（2014?桂林）已知关于x 的一元二次方程x2+（ 2k+1 ）x+k2﹣ 2=0 的两根为 x1和 x2，且（ x1﹣ 2）（x1﹣x2）=0，则 k 的值是_________ ．三．解答题（共 4 小题）27．（ 2014?泸州）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 22 x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根．（ 1）若（ x 1﹣ 1）（ x 2﹣1） =28 ，求 m 的值；（ 2）已知等腰 △ ABC 的一边长为 7，若 x 1， x 2 恰好是 △ ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．（ 2014?日照二模）已知 x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 2 2 的两个实数根，其满足（ 3x 1 x +（ 3a ﹣ 1） x+2a ﹣1=0 ﹣ x 2）（ x 1﹣ 3x 2） =﹣ 80．求实数 a 的所有可能值．29．（ 2013?孝感）已知关于 2 2x1，x2． x 的一元二次方程 x ﹣（ 2k+1） x+k +2k=0 有两个实数根 （ 1）求实数 k 的取值范围；2﹣ x 22≥0 成立？若存在，请求出 （ 2）是否存在实数 k 使得 x 1 ?x 2﹣ x 1 k 的值；若不存在，请说明理由．30．（ 2001?苏州）已知关于 x 的一元二次方程 ， （ 1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）设 x 1 、x 2 是方程的两个根，且 x 12﹣ 2kx 1+2x 1x 2=5，求 k 的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）参考答案与试题解析一．选择题（共 22 小题）1．（ 2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为x =1， x =2，则这个方程是（）1 22 2 ﹣3x+2=02D ．x2A ．x +3x ﹣ 2=0 B． x C． x ﹣ 2x+3=0 +3x+2=0 考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2 ．解题时检验两根之和是否为 3 及两根之积是否为 2 即可．解答：解：两个根为 x1=1，x2=2 则两根的和是3，积是 2．A 、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B 、两根之和等于 3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D 、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，故选： B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．（ 2014?昆明）已知 x1， x2 是一元二次方程x2﹣ 4x+1=0 的两个实数根，则x1?x2等于（）A．﹣4 B．﹣1 C． 1 D ．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1?x2=1．故选： C．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x 2=﹣，x1?x2= ．3．（ 2014?玉林） x1， x2 是关于 x 的一元二次方程x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数m 使+ =0成立？则正确的结论是（）A ．m=0 时成立B． m=2 时成立C． m=0 或 2 时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x 2=m， x1x2=m ﹣2．假设存在实数m 使+ =0 成立，则=0，求出 m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵ x1，x2是关于 x 的一元二次方程x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，∴x1+x 2=m ， x1x2=m﹣ 2．假设存在实数m 使+ =0 成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0 时，方程 x2﹣ mx+m ﹣ 2=0 即为 x2﹣ 2=0，此时△ =8＞ 0，∴ m=0 符合题意．故选： A．点评：本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果22=﹣p，x1， x2 是方程 x +px+q=0 的两根时，那么x1+xx1x2=q ．4．（ 2014?南昌）若α，β是方程2 ﹣2x﹣ 3=0 的两个实数根，则2 2）x α+β的值为（A ．10 B． 9 C． 7 D ．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣ 3，则将所求的代数式变形为（α+β）2﹣ 2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程 x2﹣ 2x﹣ 3=0 的两个实数根，∴ α+β=2 ，αβ=﹣3，2 2 2﹣2αβ=22∴ α+β=（α+β）﹣ 2×（﹣ 3）=10．故选： A．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21 25．（ 2014?贵港）若关于x 的一元二次方程 x +bx+c=0 的两个实数根分别为=4，则 b+c 的值是（）x =﹣2， xA．﹣10 B． 10 C．﹣6 D．﹣1 考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4= ﹣ b，﹣ 2×4=c，然后可分别计算出b、 c 的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于 x 的一元二次方程x2+bx+c=0 的两个实数根分别为x1=﹣ 2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4= ﹣b，﹣ 2×4=c，解得 b=﹣2， c=﹣ 8∴ b+c= ﹣ 10．故选： A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x 2=﹣，x1x2= ．6．（ 2014?烟台）关于 x 的方程 x2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是5，则 a 的值是（）A．﹣1或 5 B． 1 C． 5 D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题． 2 2分析： 设方程的两根为 x1，x2，根据根与系数的关系得到 x1+x 2=a ，x1?x2=2a ，由于 x1 +x 2 =5 ，变形得到（ x1+x 2）2 2△≥0 的 a 的值为所求． ﹣2x1?x2=5，则 a ﹣ 4a ﹣5=0 ，然后解方程，满足 解答： 解：设方程的两根为 x1， x2，则 x1+x 2=a ， x1?x2=2a ，2 2∵ x1 +x 2 =5，∴（ x 1+x 2）2﹣ 2x 1?x 2=5， ∴ a 2﹣ 4a ﹣ 5=0，∴ a1=5 ， a2=﹣ 1，∵△ =a 2﹣ 8a ≥0， ∴ a=﹣ 1．故选： D ．点评： 本题考查了一元二次方程 2 （ a ≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为 x1， x2，则 x1+x 2=﹣ ，ax +bx+c=0x ?x = ．也考查了一元二次方程的根的判别式． 1 27．（ 2014?攀枝花）若方程A ．α+β=﹣1 2 的两实根为 α、 β，那么下列说法不正确的是（ ） x +x ﹣1=0 B ． αβ=﹣ 1 2 2D ． C ． α+β=3+ =﹣1考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 计算题．分析： 先根据根与系数的关系得到2 2 2 ﹣2αβ，利用 α+β=﹣1，αβ=﹣ 1，再利用完全平方公式变形 α +β 得到（ α+β） 通分变形+ 得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答： 解：根据题意得α+β=﹣ 1， αβ=﹣1．2 2 2 2；所以 α+β=（ α+β） ﹣ 2αβ=（﹣ 1） ﹣ 2×（﹣ 1）=3 + ===1．故选： D ．点评：本题考查了一元二次方程 ax 2+bx+c=0（ a ≠0）的根与系数的关系： 若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=﹣，x 1?x 2=．2﹣（ m+6）x+m 21 2 1 x 2，则 m 的值是（ ） 8．（ 2014?威海）方程 x =0 有两个相等的实数根，且满足 x +x =xA ．﹣2或 3B ． 3C ．﹣2D ．﹣3 或 2 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 判别式法．2，再根据 x1+x 2=x 1 分析： 根据根与系数的关系有：x1+x 2 =m+6 ， x1x2=m x2 得到 m 的方程，解方程即可，进一步由2 +m 2 有两个相等的实数根得出 2方程 x ﹣（ m+6）=0 b ﹣ 4ac=0，求得 m 的值，由相同的解解决问题． 解答： 解：∵ x1+x2=m+6 ， x1x2=m 2， x 1+x 2=x 1x 2，∴ m+6=m 2，解得 m=3 或 m=﹣2，2 ﹣（ m+6 ） x+m 2∵方程 x =0 有两个相等的实数根，∴△ =b 2﹣ 4ac=（ m+6） 2﹣ 4m 2=﹣3m 2 +12m+36=0解得 m=6 或 m=﹣ 2∴m=﹣ 2．故选： C．点评：本题考查了一元二次方程2 2ax +bx+c=0 （ a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式△ =b ﹣ 4ac．当△＞ 0，方程有两个不相等的实数根；当△ =0，方程有两个相等的实数根；当△＜ 0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0 （ a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1， x2，则 x1+x 2=﹣， x1?x2= ．9．（ 2014?长沙模拟）若关于x 的一元二次方程2 ）x+2=0 的一个根是﹣ 2，则另一个根是（）x +（ k+3A ．2 B． 1 C．﹣1 D ．0考点 ： 根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系 x 1?x 2= 来求方程的另一个根．2解答： 解：设 x 1、x 2 是关于 x 的一元二次方程 x +（ k+3 ）x+2=0 的两个根， 由韦达定理，得 x1?x2=2 ，即﹣ 2x2=2， 解得， x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣ 1．故选 C ．点评： 此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系 x1+x 2=﹣ 、 x1?x2= 时，要注意等式中的 a 、 b 、c 所表示的含义．2 的两个实数根，则 2 的值为（ ）10．（ 2014?黄冈样卷）设 a ， b 是方程 x +x ﹣2015=0 a +2a+b A ．2012 B ． 2013 C ． 2014 D ．2015 考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的解．专题 ： 计算题．2 2 2分析： 先根据一元二次方程的解的定义得到 a +a ﹣ 2015=0 ，即 a +a=2015，则 a +2a+b 变形为 a+b+2015，再根据根与系数的关系得到 a+b=﹣ 1，然后利用整体代入的方法计算．2 ﹣ 2015=0 的根， 解答： 解：∵ a 是方程 x+x2 2∴ a +a ﹣ 2015=0，即 a +a=2015，2∴ a +2a+b=a+b+2015 ，∵ a ， b 是方程 x 2+x ﹣2015=0 的两个实数根∴ a+b=﹣ 1，2∴ a +2a+b=a+b+2015= ﹣ 1+2015=2014 ．故选 C ．点评： 本题考查了根与系数的关系： 若 x1，x2 是一元二次方程ax 21 2 1 2 ．也 +bx+c=0（a ≠0）的两根时， x +x = ，x x = 考查了一元二次方程的解．11．（2014?江西模拟）一元二次方程 x2﹣ 2x ﹣ 3=0 与 3x 2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（）A ．﹣6B ． 6C ．3D ．﹣3考点 ： 根与系数的关系．分析： 由一元二次方程 x 2﹣2x ﹣ 3=0 和 3x 2﹣ 11x+6=0 先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答： 解：由一元二次方程 x 2﹣ 2x ﹣3=0 ，∵△ =4+16=20 ＞ 0，∴ x1x2=﹣ 3，由一元二次方程 3x 2﹣11x+6=0 ，∵△ =121﹣ 4×3×6=49＞ 0， ∴ x1x2=2∴﹣ 3×2=﹣6故选 A．点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．（ 2014?峨眉山市二模）已知x1、 x2是方程 x2﹣（ k﹣ 2）x+k 2+3k+5=0 的两个实数根，则的最大值是（）A ．19 B． 18 C． 15 D ．13考点 ： 根与系数的关系；二次函数的最值． 2 2） =0 的两个实根，由 △ ≥0 即可求出 k 的取值范围，然后根据 分析： 根据 x 1、x 2 是方程 x ﹣（ k ﹣ 2） x+（ k +3k+5根与系数的关系求解即可．解答： 解：由方程有实根，得 2 2 △ ≥0，即（ k ﹣2） ﹣ 4（ k+3k+5 ）≥0所以3k 2+16k+16 ≤0，所以 （ 3k+4 ）（ k+4）≤0解得﹣ 4≤k ≤﹣ ．2又由 x1+x2 =k ﹣ 2， x1?x2=k +3k+5 ，得 2 2 2 2 2 2 2x1 +x 2 =（ x1+x2） ﹣ 2x 1x2=（ k ﹣ 2） ﹣ 2（ k +3k+5 ）=﹣ k ﹣10k ﹣ 6=19﹣（ k+5） ，2 2当 k= ﹣ 4 时， x1 +x 2 取最大值 18．故选： B ．点评： 本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据 △ ≥0 先求出 k 的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．（ 2014?陵县模拟）已知： x 1、 x2 是一元二次方程x 2 1 2 =3 1 2 +2ax+b=0 的两根，且 x +x ， x x =1，则 a 、 b 的值分别是（ ）A ．a=﹣ 3， b=1B ． a=3， b=1C ．D ．a=﹣ ， b=1 a=﹣ ， b=﹣ 1考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 计算题．分析： 根据根与系数的关系得到得 x1+x 2=﹣ 2a ， x1x2=b ，即﹣ 2a=3， b=1，然后解一次方程即可．解答： 解：根据题意得 x1+x2=﹣ 2a ， x1x2=b ，所以﹣ 2a=3， b=1 ，解得 a=﹣ ， b=1．故选 D ．点评：本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax 21 2=1 2= ．+bx+c=0 （a ≠0）的两根时， x+x ，x x14．（ 2013?湖北）已知 α， β是一元二次方程 2 ﹣ 2=0 的两个实数根，则 2 2 ）x ﹣ 5x α+αβ+β 的值为（ A ．﹣1 B ． 9 C ． 23 D ．27考点 ： 根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系 α+β=﹣ ， αβ= ，求出 α+β和 αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．2解答： 解：∵ α，β是方程 x ﹣ 5x ﹣ 2=0 的两个实数根，2 2 2 ﹣βα， 又∵ α+αβ+β=（ α+β）2 2 2∴α+αβ+β=5 +2=27 ；故选 D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，若方程两个为 x1， x2，则 x1+x 2=﹣， x1 x2= ．15．（ 2013?桂林）已知关于x 的一元二次方程2﹣ 1=0 有两根为2﹣x1x2=0，则 a 的值是（）x +2x+ax1 和 x2，且x1A ．a=1 B． a=1 或 a=﹣2C． a=2 D ．a=1 或 a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据 x12﹣ x1 x2=0 可以求得 x1=0 或者 x1=x 2，所以①把 x1=0 代入原方程可以求得a=1；② 利用根的判别式等于 0 来求 a 的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0 ，或 x1=x2，①把 x1=0 代入已知方程，得a﹣ 1=0 ，解得： a=1；②当 x1=x 2时，△ =4﹣ 4（ a﹣ 1） =0，即 8﹣4a=0，解得： a=2．综上所述， a=1 或 a=2．故选： D．点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于 0 来求 a 的另一值．16．（ 2013?天河区二模）已知一元二次方程x2﹣4x+3=0 两根为 x1、x2，则 x1+x2=（）A ．4 B． 3 C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣ 4x+3=0 两根为 x1、 x2，直接利用 x1+x 2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣ 4x+3=0 两根为 x1、 x2，∴ x1+x 2=﹣=4．故选 A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．（ 2013?青神县一模）已知m 和 n 是方程2x 2﹣ 5x﹣ 3=0 的两根，则的值等于（）A ．B．C． D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n= ， mn=﹣，再变形+ 得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得 m+n= ， mn= ﹣，所以+ = = =﹣．故选 D．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x 2=﹣，x1?x2= ．2 x+1=0 的两根，则代数式 的值为（ ）18．（ 2012?莱芜）已知 m 、 n 是方程 x +2 A ．9B ． ±3C ． 3D ．5考点 ： 根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题 ： 整体思想．分析：根据一元二次方程 2 ，mn=1 ，再变形 得 ax +bx+c=0（ a ≠0）的根与系数的关系得到 m+n= ﹣ 2，然后把 m+n= ﹣2，mn=1 整体代入计算即可．解答： 解：∵ m 、 n 是方程x 2+2 x+1=0 的两根，∴ m+n= ﹣ 2 ， mn=1 ，∴ = == =3．故选 C ．点评： 本题考查了一元二次方程ax 2x1，x2，则x1 2+bx+c=0 （ a ≠0）的根与系数的关系： 若方程两根分别为+x =﹣ ，x 1?x2= ．也考查了二次根式的化简求值．19．（ 2012?天门）如果关于 x 的一元二次方程 2 的两个不相等实数根 x 1， x 2 满足 x 1x 2﹣ 2x 1﹣ 2x 2﹣ 5=0，x +4x+a=0 那么 a 的值为（ ）A ．3B ．﹣3C ． 13D ．﹣13考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．分析： 利用根与系数的关系求得x1x2=a ， x1+x 2=﹣ 4，然后将其代入 x 1x 2﹣2x 1﹣ 2x 2﹣ 5=x 1x 2﹣ 2（x 1+x 2）﹣ 5=0 列 出关于 a 的方程，通过解方程即可求得 a 的值．解答： 解：∵ x1，x2 是关于 x 的一元二次方程2 的两个不相等实数根， x +4x+a=0 ∴ x1x2=a ， x1 +x2=﹣ 4， ∴ x 1x 2﹣ 2x 1﹣2x 2﹣ 5=x 1x 2﹣ 2（ x 1+x 2）﹣ 5=a ﹣2×（﹣ 4）﹣ 5=0 ，即 a+3=0， 解得， a=﹣3；故选 B ．点评： 本题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．（ 2011?锦江区模拟）若方程 x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两实根为 x1、 x2，则（ x1+2）（ x2+2）的值为（ ）A ．﹣4B ． 6C ． 8D ．12考点 ： 根与系数的关系．分析： 根据（ x1+2）（ x2+2） =x1 x2+2x 1+2x 2+4=x 1x2+2（ x1+x 2） +4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可． 解答： 解：∵ x 1、x 2 是方程 x 2﹣ 3x ﹣ 2=0 的两个实数根．∴ x1+x 2=3， x1?x2=﹣ 2．又∵（ x1+2）（ x2+2）=x 1x2+2x 1+2x2+4=x 1x2+2（ x1+x 2） +4．将x1+x 2=3、x1?x2=﹣ 2 代入，得（x1+2）（ x2+2 ） =x 1x2 +2x1+2x 2+4=x 1x2+2（ x1+x2） +4= （﹣ 2） +2×3+4=8．故选 C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．（ 2011?鄂州模拟）已知p 2﹣ p﹣ 1=0 ， 1﹣q﹣q2=0，且 pq≠1，则的值为（）A ．1 B． 2 C． D ．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把 1﹣q﹣ q2=0 变形为，然后结合 p2﹣ p﹣ 1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p 与是方程 x2﹣ x﹣ 1=0 的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：2 2，可知 p≠0，q≠0，解：由 p ﹣p﹣1=0和 1﹣ q﹣q=0又∵ pq≠1，∴，∴由方程 1﹣ q﹣ q2=0 的两边都除以q2得：，∴ p 与是方程 x2﹣ x﹣ 1=0 的两个不相等的实数根，则由韦达定理，得p+ =1，∴=p+ =1．故选 A．点评：本题考查了根与系数的关系．首先把2变形为是解题的关键，然后利用1﹣ q﹣q =0根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．（ 2010?滨湖区一模）若△ ABC 的一边 a 为 4，另两边b、c 分别满足2﹣5b+6=02b， c ﹣ 5c+6=0，则△ ABC的周长为（）A ．9 B． 10 C．9 或 10 D．8或 9或 10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边 b、c 分别满足 b2﹣ 5b+6=0，c2﹣ 5c+6=0 ，那么 b、c 可以看作方程x2﹣ 5x+6=0 的两根，根据根与系数的关系可以得到 b+c=5 ， bc=6，而△ABC 的一边 a 为 4，由此即可求出△ABC 的一边 a 为 4 周长．解答：解：∵两边 b、 c 分别满足 b2﹣5b+6=0 ，c2﹣ 5c+6=0，∴b、 c 可以看作方程 x2﹣ 5x+6=0 的两根，∴b+c=5 ， bc=6，而△ ABC 的一边 a 为 4，①若 b=c，则 b=c=3 或 b=c=2 ，但 2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ ABC 的周长为 4+3+3=10 或 4+2+2②若 b≠c，∴△ ABC 的周长为4+5=9 ．故选 C．点评： 此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来， 利用根与系数的关系来三角形的周长． 此 题要注意分类讨论． 二．填空题（共 4 小题） 2 2k= ﹣ 1 ． 23．（ 2014?莱芜）若关于 x 的方程 x +（k ﹣ 2） x+k =0 的两根互为倒数，则 考点 ： 根与系数的关系．专题 ： 判别式法．分析： 根据已知和根与系数的关系x 1x 2= 2得出 k =1，求出 k 的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k 的值．2，两根互为倒数，解答： 解：∵ x 1x 2=k∴ k 2=1，解得 k=1 或﹣ 1；∵方程有两个实数根， △＞0， ∴当 k=1 时， △ ＜ 0，舍去，故 k 的值为﹣ 1．故答案为：﹣ 1．点评：本题考查了根与系数的关系，根据 x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （ a ≠0， a ，b ，c 为常数）的两个实数根，则 x1+x2=﹣ ， x1x2= 进行求解．24．（ 2014?呼和浩特）已知 2 ﹣ 5=0 的两个实数根，则 2 ﹣mn+3m+n= 8 ．m ，n 是方程 x +2x m考点 ： 根与系数的关系；一元二次方程的解． 专题 ： 常规题型．分析：根据 m+n= ﹣ =﹣ 2， m?n=﹣ 5，直接求出 m 、 n 即可解题．解答： 解：∵ m 、 n 是方程 x 2+2x ﹣ 5=0 的两个实数根，∴ mn=﹣ 5， m+n=﹣ 2，∵ m 2+2m ﹣ 5=0 ∴ m 2=5﹣ 2mm 2﹣mn+3m+n= （ 5﹣ 2m ）﹣（﹣ 5）+3m+n =10+m+n =10﹣2 =8故答案为： 8．点评： 此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出 m 和n 的值是解决问题的关键．2 2﹣2=0 有两个实数根x1、x ，则 x （ x）+x 2 的最小值为． 25．（ 2014?广州）若关于 x 的方程 x +2mx+m +3m 21 2+x 12考点 ： 根与系数的关系；二次函数的最值．专题 ： 判别式法．分析：由题意可得△ =b 2﹣ 4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程2 2x +2mx+m +3m﹣ 2=0 有两个实数根，则△ =b2﹣ 4ac=4m2﹣ 4（ m2+3m﹣ 2） =8﹣ 12m≥0，∴ m≤，∵ x1（ x2+x 1）+x 22=（ x2+x 1）2﹣ x1x2=（﹣ 2m ） 2﹣（ m 2+3m ﹣2） =3m 2﹣3m+2=3 （ m 2﹣ m+ ﹣ ） +2 2=3 （ m ﹣ ） + ； ∴当 m= 时，有最小值 ； ∵ ＜ ，∴ m= 成立；∴最小值为 ；故答案为： ．点评： 本题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式 △的关系：（ 1） △ ＞ 0? 方程有两个不相等的实数根；（ 2） △ =0? 方程有两个相等的实数根；（ 3） △ ＜ 0? 方程没有实数根．26．（2014?桂林）已知关于 x 的一元二次方程 x 2 +（ 2k+1 ）x+k 2﹣ 2=0 的两根为 x1 和 x2，且（ x1﹣ 2）（x1 ﹣x2）=0， 则 k 的值是 ﹣ 2 或﹣ ．考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．分析： 先由（ x 1﹣ 2）（ x 1﹣ x 2） =0，得出 x 1﹣ 2=0 或 x 1﹣ x 2=0，再分两种情况进行讨论：① 如果 x 1﹣2=0 ，将 x=2代入 x 22﹣ 2=0，得 4+2（2k+1 ）+k 2﹣ 2=0 ，解方程求出 k= ﹣ 2；② 如果 x1﹣ x21 2 = +（ 2k+1 ）x+k =0 ，那么将 x +x ﹣（ 2k+1 ）， x 1x 2=k2﹣ 2 代入可求出 k 的值，再根据判别式进行检验．解答： 解：∵（ x 1﹣ 2）（ x 1﹣ x 2） =0， ∴ x 1﹣ 2=0 或 x 1﹣ x 2=0 ．① 如果 x1﹣2=0，那么 x1=2，2 2将 x=2 代入 x +（ 2k+1 ） x+k ﹣2=0，得 4+2 （ 2k+1） +k 2﹣2=0 ，2整理，得 k +4k+4=0 ， 解得 k= ﹣2； ② 如果 x1﹣x2=0，那么（ x1﹣x2）2=（ x1+x 2）2﹣ 4x1x2=[ ﹣（ 2k+1 ）] 2﹣ 4（k2﹣ 2）=4k+9=0 ，解得 k= ﹣．又∵△ =（2k+1 ）2﹣4（ k2﹣ 2）≥0．解得： k≥﹣．所以 k 的值为﹣ 2 或﹣．故答案为：﹣2 或﹣．点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题（共 4 小题）27．（ 2014?泸州）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程2 2x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根．（1）若（ x1﹣ 1）（ x2﹣1） =28 ，求 m 的值；（2）已知等腰△ ABC 的一边长为 7，若 x1， x2恰好是△ ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：（ 1）利用（ x1﹣ 1）（x2﹣ 1） =x1?x2﹣（ x1+x 2） +1=m 2+5﹣2（ m+1） +1=28，求得 m 的值即可；（ 2）分 7 为底边和7 为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．2 2解答：解：（ 1）∵ x1， x2是关于 x 的一元二次方程 x ﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 的两实数根，2∴ x1+x 2=2（ m+1）， x1?x2=m+5，∴（ x1﹣ 1）（ x2﹣ 1）=x 1?x2﹣（ x1+x 2） +1=m2+5﹣2（ m+1） +1=28，解得： m=﹣ 4 或 m=6；当 m=﹣ 4 时原方程无解，∴ m=6；（ 2）①当 7 为底边时，此时方程2 2x﹣ 2（ m+1） x+m +5=0 有两个相等的实数根，∴△ =4（ m+1）2﹣2，4（ m +5）=0解得： m=2，2∴方程变为 x ﹣ 6x+9=0 ，∵ 3+3＜ 7，∴不能构成三角形；②当 7 为腰时，设x1=7，2代入方程得：49﹣ 14（ m+1） +m +5=0 ，解得： m=10 或 4，当m=10 时方程变为 x2﹣22x+105=0 ，解得： x=7 或 15∵ 7+7＜ 15，不能组成三角形；当m=4 时方程变为 x2﹣10x+21=0 ，解得： x=3 或 7，此时三角形的周长为 7+7+3=17 ．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．（ 2014?日照二模）已知 x1， x2 是关于 x 的一元二次方程2 23x1 x +（ 3a﹣ 1）x+2a﹣1=0 的两个实数根，其满足（﹣ x2）（ x1﹣ 3x2） =﹣ 80．求实数 a 的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．x22﹣ 1=0 的两个实数根得到△ ≥0，即（ 3a﹣ 1）2﹣4（2a2﹣1）分析：根据△ 的意义由一元二次方程+（ 3a﹣ 1）x+2a=a 2﹣ 6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（ 3a﹣ 1），x1?x2=2a 2﹣1，由（ 3x 1﹣x2）（ x1﹣ 3x2）=﹣ 802 2 2，变形得到 3（ x1+x 2）﹣ 16x1x2=﹣ 80，于是有 3（3a﹣ 1）﹣ 16（2a ﹣ 1）=﹣ 80，解方程得到a=3 或 a=﹣然后代入 △验算即可得到实数 a 的值．解答： 解：∵ x 1，x 2 是关于 x 的一元二次方程2 2﹣ 1=0 的两个实数根， x +（ 3a ﹣ 1） x+2a222∴△ ≥0，即（ 3a ﹣ 1） ﹣ 4（ 2a ﹣1） =a ﹣ 6a+5≥0∴ x1+x 2=﹣（ 3a ﹣ 1），x1?x2=2a 2﹣ 1，∵（ 3x 1﹣ x 2）（ x 1﹣ 3x 2） =﹣ 80，即 3（ x 12+x 22）﹣ 10x 1x 2=﹣ 80， ∴ 3（ x1+x2 ）2﹣ 16x1x2 =﹣ 80， ∴ 3（ 3a ﹣ 1） 2﹣ 16（2a 2﹣ 1） =﹣ 80，2整理得， 5a +18a ﹣ 99=0，∴（ 5a+33）（ a ﹣ 3） =0，解得 a=3 或 a=﹣ ，当 a=3 时， △ =9 ﹣ 6×3+5= ﹣ 4＜0，故舍去， 当 a=﹣ 时， △=（﹣ 2）+6=（2+6＞ 0，） ﹣ 6×（﹣ ） +6× ∴实数 a 的值为﹣点评： 本题考查了一元二次方程 2x1，x2，则 x1+x 2=﹣ ， ax +bx+c=0 （ a ≠0）的根与系数的关系： 如果方程的两根为x1?x2= ．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．（ 2013?孝感）已知关于 2 2x 的一元二次方程 x ﹣（ 2k+1） x+k +2k=0 有两个实数根 x1，x2． （ 1）求实数 k 的取值范围； 2﹣x22 （ 2）是否存在实数 k 使得 x1 ?x2﹣ x1 ≥0 成立？若存在，请求出 k 的值；若不存在，请说明理由． 考点 ： 根与系数的关系；根的判别式．专题 ： 压轴题．△ ≥0，据此列出关于 k 的不等式 [﹣（ 2k+1 ） ]2分析： （ 1）根据已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式2k 的取值范围； ﹣ 4（ k +2k ） ≥0，通过解该不等式即可求得（ 2）假设存在实数 k 使得≥0 成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得 k 的值．解答： 解：（ 1）∵原方程有两个实数根，2 2∴ [﹣（ 2k+1 ）] ﹣ 4（k +2k ） ≥0，2 2﹣8k ≥0 ∴ 4k +4k+1 ﹣ 4k∴ 1﹣ 4k ≥0，∴ k ≤ ．∴当 k≤时，原方程有两个实数根．（ 2）假设存在实数k 使得≥0 成立．∵ x1， x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．2 2 2∴ 3（ k +2k）﹣（ 2k+1）≥0，整理得：﹣（ k﹣ 1）≥0，∴只有当 k=1 时，上式才能成立．又∵由（ 1）知 k≤，∴不存在实数 k 使得≥0 成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．（ 2001?苏州）已知关于 x 的一元二次方程，（ 1）求证：不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（ 2）设 x1、x2是方程的两个根，且x12﹣ 2kx 1+2x 1x2=5，求 k 的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（ 1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0 恒成立；（ 2）欲求 k 的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：（ 1）已知关于 x 的一元二次方程，∴△ =（﹣ 2k）2﹣ 4×（ k2﹣ 2）=2k2+8，2∵ 2k +8＞ 0 恒成立，∴不论 k 取何值，方程总有两个不相等的实数根．（2）∵ x1、 x2是方程的两个根，∴ x1+x 2=2k， x1?x2= k2﹣2，∴ x12﹣ 2kx 1+2x 1x2=x 12﹣（ x1+x 2） x1+2x1x2=x1x2=k2﹣ 2=5，解得 k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．欢迎您的光临，Wor文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=02．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．43．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．55．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣16．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣17．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣18．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或29．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．010．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．202111．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣312．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．1313．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=114．〔2021•湖北〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．2715．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=216．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣317．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3 C．3D．519．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣1320．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．1221．〔2021•鄂州模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k=_________．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n=_________．25．〔2021•广州〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为_________．26．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是_________．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•泸州〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．求实数a的所有可能值．29．〔2021•孝感〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．30．〔2001•苏州〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕参考答案与试题解析一．选择题〔共22小题〕1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0考点：根与系数的关系．分析：解决此题可用验算法，因为两实数根的和是1+2=3，两实数根的积是1×2=2．解题时检验两根之和是否为3及两根之积是否为2即可．解答：解：两个根为x1=1，x2=2那么两根的和是3，积是2．A、两根之和等于﹣3，两根之积等于﹣2，所以此选项不正确；B、两根之和等于3，两根之积等于2，所以此选项正确；C、两根之和等于2，两根之积等于3，所以此选项不正确；D、两根之和等于﹣3，两根之积等于2，所以此选项不正确，应选：B．点评：验算时要注意方程中各项系数的正负．2．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：直接根据根与系数的关系求解．解答：解：根据韦达定理得x1•x2=1．应选：C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．3．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在考点：根与系数的关系．分析：先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，那么=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．应选：A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕A．10 B．9C．7D．5考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系求得α+β=2，αβ=﹣3，那么将所求的代数式变形为〔α+β〕2﹣2αβ，将其整体代入即可求值．解答：解：∵α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，∴α+β=2，αβ=﹣3，∴α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=22﹣2×〔﹣3〕=10．应选：A．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系得到﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，然后可分别计算出b、c的值，进一步求得答案即可．解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，∴根据根与系数的关系，可得﹣2+4=﹣b，﹣2×4=c，解得b=﹣2，c=﹣8∴b+c=﹣10．应选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．6．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：设方程的两根为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=a，x1•x2=2a，由于x12+x22=5，变形得到〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，那么a2﹣4a﹣5=0，然后解方程，满足△≥0的a的值为所求．解答：解：设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=a，x1•x2=2a，∵x12+x22=5，∴〔x1+x2〕2﹣2x1•x2=5，∴a2﹣4a﹣5=0，∴a1=5，a2=﹣1，∵△=a2﹣8a≥0，∴a=﹣1．应选：D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程的根的判别式．7．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D．+=﹣1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据根与系数的关系得到α+β=﹣1，αβ=﹣1，再利用完全平方公式变形α2+β2得到〔α+β〕2﹣2αβ，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计算两个代数式的值，这样可对各选项进行判断．解答：解：根据题意得α+β=﹣1，αβ=﹣1．所以α2+β2=〔α+β〕2﹣2αβ=〔﹣1〕2﹣2×〔﹣1〕=3；+===1．应选：D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．8．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：判别式法．分析：根据根与系数的关系有：x1+x2=m+6，x1x2=m2，再根据x1+x2=x1x2得到m的方程，解方程即可，进一步由方程x2﹣〔m+6〕+m2=0有两个相等的实数根得出b2﹣4ac=0，求得m的值，由相同的解解决问题．解答：解：∵x1+x2=m+6，x1x2=m2，x1+x2=x1x2，∴m+6=m2，解得m=3或m=﹣2，∵方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=〔m+6〕2﹣4m2=﹣3m2+12m+36=0解得m=6或m=﹣2∴m=﹣2．应选：C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．9．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．0考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=来求方程的另一个根．解答：解：设x1、x2是关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的两个根，由韦达定理，得x1•x2=2，即﹣2x2=2，解得，x2=﹣1．即方程的另一个根是﹣1．应选C．点评：此题主要考查了根与系数的关系．在利用根与系数的关系x1+x2=﹣、x1•x2=时，要注意等式中的a、b、c所表示的含义．10．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．2021考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2021=0，即a2+a=2021，那么a2+2a+b变形为a+b+2021，再根据根与系数的关系得到a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．解答：解：∵a是方程x2+x﹣2021=0的根，∴a2+a﹣2021=0，即a2+a=2021，∴a2+2a+b=a+b+2021，∵a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=a+b+2021=﹣1+2021=2021．应选C．点评：此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．11．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕A．﹣6 B．6C．3D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0和3x2﹣11x+6=0先用判别式判断方程是否有解，再根据根与系数的关系，即可直接得出答案．解答：解：由一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，∵△=4+16=20＞0，∴x1x2=﹣3，由一元二次方程3x2﹣11x+6=0，∵△=121﹣4×3×6=49＞0，∴x1x2=2∴﹣3×2=﹣6应选A．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要把代数式变形为两根之积的形式．12．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．13考点：根与系数的关系；二次函数的最值．分析：根据x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+〔k2+3k+5〕=0的两个实根，由△≥0即可求出k的取值范围，然后根据根与系数的关系求解即可．解答：解：由方程有实根，得△≥0，即〔k﹣2〕2﹣4〔k2+3k+5〕≥0所以3k2+16k+16≤0，所以〔3k+4〕〔k+4〕≤0解得﹣4≤k≤﹣．又由x1+x2=k﹣2，x1•x2=k2+3k+5，得x12+x22=〔x1+x2〕2﹣2x1x2=〔k﹣2〕2﹣2〔k2+3k+5〕=﹣k2﹣10k﹣6=19﹣〔k+5〕2，当k=﹣4时，x12+x22取最大值18．应选：B．点评：此题考查了根与系数的关系，属于根底题，关键是根据△≥0先求出k的取值范围再根据根与系数的关系进行求解．13．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C．a=﹣，b=﹣1 D．a=﹣，b=1考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，即﹣2a=3，b=1，然后解一次方程即可．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣2a，x1x2=b，所以﹣2a=3，b=1，解得a=﹣，b=1．应选D．点评：此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=，x1x2=．14．〔2021•湖北〕α，β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，那么α2+αβ+β2的值为〔〕A．﹣1 B．9C．23 D．27考点：根与系数的关系．分析：根据根与系数的关系α+β=﹣，αβ=，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．解答：解：∵α，β是方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴α+β=5，αβ=﹣2，又∵α2+αβ+β2=〔α+β〕2﹣βα，∴α2+αβ+β2=52+2=27；应选D．点评：此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法，假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1x2=．15．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣1=0有两根为x1和x2，且x12﹣x1x2=0，那么a的值是〔〕A．a=1 B．a=1或a=﹣2 C．a=2 D．a=1或a=2考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：压轴题．分析：根据x12﹣x1x2=0可以求得x1=0或者x1=x2，所以①把x1=0代入原方程可以求得a=1；②利用根的判别式等于0来求a的值．解答：解：解x12﹣x1x2=0，得x1=0，或x1=x2，①把x1=0代入方程，得a﹣1=0，解得：a=1；②当x1=x2时，△=4﹣4〔a﹣1〕=0，即8﹣4a=0，解得：a=2．综上所述，a=1或a=2．应选：D．点评：此题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．解答该题的技巧性在于巧妙地利用了根的判别式等于0来求a的另一值．16．〔2021•天河区二模〕一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，那么x1+x2=〔〕A．4B．3C．﹣4 D．﹣3考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，直接利用x1+x2=﹣求出即可．解答：解：∵一元二次方程x2﹣4x+3=0两根为x1、x2，∴x1+x2=﹣=4．应选A．点评：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数关系公式是解决问题的关键．17．〔2021•青神县一模〕m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，那么的值等于〔〕A．B．C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到m+n=，mn=﹣，再变形+得到，然后利用整体思想计算．解答：解：根据题意得m+n=，mn=﹣，所以+===﹣．应选D．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两个为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．18．〔2021•莱芜〕m、n是方程x2+2x+1=0的两根，那么代数式的值为〔〕A．9B．±3 C．3D．5考点：根与系数的关系；二次根式的化简求值．专题：整体思想．分析：根据一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系得到m+n=﹣2，mn=1，再变形得，然后把m+n=﹣2，mn=1整体代入计算即可．解答：解：∵m、n是方程x2+2x+1=0的两根，∴m+n=﹣2，mn=1，∴====3．应选C．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：假设方程两根分别为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了二次根式的化简求值．19．〔2021•天门〕如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为〔〕A．3B．﹣3 C．13 D．﹣13考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：利用根与系数的关系求得x1x2=a，x1+x2=﹣4，然后将其代入x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=0列出关于a的方程，通过解方程即可求得a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x1x2=a，x1+x2=﹣4，∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2〔x1+x2〕﹣5=a﹣2×〔﹣4〕﹣5=0，即a+3=0，解得，a=﹣3；应选B．点评：此题考查了根与系数的关系．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．20．〔2021•锦江区模拟〕假设方程x2﹣3x﹣2=0的两实根为x1、x2，那么〔x1+2〕〔x2+2〕的值为〔〕A．﹣4 B．6C．8D．12考点：根与系数的关系．分析：根据〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4，根据一元二次方程根与系数的关系，即两根的和与积，代入数值计算即可．解答：解：∵x1、x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根．∴x1+x2=3，x1•x2=﹣2．又∵〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4．将x1+x2=3、x1•x2=﹣2代入，得〔x1+2〕〔x2+2〕=x1x2+2x1+2x2+4=x1x2+2〔x1+x2〕+4=〔﹣2〕+2×3+4=8．应选C点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．21．〔2021•鄂州模拟〕p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，那么的值为〔〕A．1B．2C．D．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：首先把1﹣q﹣q2=0变形为，然后结合p2﹣p﹣1=0，根据一元二次方程根与系数的关系可以得到p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么利用根与系数的关系即可求出所求代数式的值．解答：解：由p2﹣p﹣1=0和1﹣q﹣q2=0，可知p≠0，q≠0，又∵pq≠1，∴，∴由方程1﹣q﹣q2=0的两边都除以q2得：，∴p与是方程x2﹣x﹣1=0的两个不相等的实数根，那么由韦达定理，得p+=1，∴=p+=1．应选A．点评：此题考查了根与系数的关系．首先把1﹣q﹣q2=0变形为是解题的关键，然后利用根与系数的关系就可以求出所求代数式的值．22．〔2021•滨湖区一模〕假设△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么△ABC 的周长为〔〕A．9B．10 C．9或10 D．8或9或10考点：根与系数的关系；三角形三边关系．专题：压轴题．分析：由于两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，那么b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，根据根与系数的关系可以得到b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，由此即可求出△ABC的一边a为4周长．解答：解：∵两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，∴b、c可以看作方程x2﹣5x+6=0的两根，∴b+c=5，bc=6，而△ABC的一边a为4，①假设b=c，那么b=c=3或b=c=2，但2+2=4，所以三角形不成立，故b=c=3．∴△ABC的周长为4+3+3=10或4+2+2②假设b≠c，∴△ABC的周长为4+5=9．应选C．点评：此题把一元二次方程的根与系数的关系与三角形的周长结合起来，利用根与系数的关系来三角形的周长．此题要注意分类讨论．二．填空题〔共4小题〕23．〔2021•莱芜〕假设关于x的方程x2+〔k﹣2〕x+k2=0的两根互为倒数，那么k=﹣1．考点：根与系数的关系．专题：判别式法．分析：根据和根与系数的关系x1x2=得出k2=1，求出k的值，再根据原方程有两个实数根，求出符合题意的k的值．解答：解：∵x1x2=k2，两根互为倒数，∴k2=1，解得k=1或﹣1；∵方程有两个实数根，△＞0，∴当k=1时，△＜0，舍去，故k的值为﹣1．故答案为：﹣1．点评：此题考查了根与系数的关系，根据x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，a，b，c为常数〕的两个实数根，那么x1+x2=﹣，x1x2=进行求解．24．〔2021•呼和浩特〕m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，那么m2﹣mn+3m+n=8．考点：根与系数的关系；一元二次方程的解．专题：常规题型．分析：根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．解答：解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，∴mn=﹣5，m+n=﹣2，∵m2+2m﹣5=0∴m2=5﹣2mm2﹣mn+3m+n=〔5﹣2m〕﹣〔﹣5〕+3m+n=10+m+n=10﹣2=8故答案为：8．点评：此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．25．〔2021•广州〕假设关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，那么x1〔x2+x1〕+x22的最小值为．考点：根与系数的关系；二次函数的最值．专题：判别式法．分析：由题意可得△=b2﹣4ac≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论．解答：解：由题意知，方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根，那么△=b2﹣4ac=4m2﹣4〔m2+3m﹣2〕=8﹣12m≥0，∴m≤，∵x1〔x2+x1〕+x22=〔x2+x1〕2﹣x1x2=〔﹣2m〕2﹣〔m2+3m﹣2〕=3m2﹣3m+2=3〔m2﹣m+﹣〕+2=3〔m﹣〕2 +；∴当m=时，有最小值；∵＜，∴m=成立；∴最小值为；故答案为：．点评：此题考查了一元二次方程根与系数关系，考查了一元二次不等式的最值问题．总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．26．〔2021•桂林〕关于x的一元二次方程x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，那么k的值是﹣2或﹣．考点：根与系数的关系；根的判别式．分析：先由〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣〔2k+1〕，x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．解答：解：∵〔x1﹣2〕〔x1﹣x2〕=0，∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．①如果x1﹣2=0，那么x1=2，将x=2代入x2+〔2k+1〕x+k2﹣2=0，得4+2〔2k+1〕+k2﹣2=0，整理，得k2+4k+4=0，解得k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么〔x1﹣x2〕2=〔x1+x2〕2﹣4x1x2=[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2﹣2〕=4k+9=0，解得k=﹣．又∵△=〔2k+1〕2﹣4〔k2﹣2〕≥0．解得：k≥﹣．所以k的值为﹣2或﹣．故答案为：﹣2或﹣．点评：此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，注意在利用根与系数的关系时，需用判别式进行检验．三．解答题〔共4小题〕27．〔2021•泸州〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根．〔1〕假设〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=28，求m的值；〔2〕等腰△ABC的一边长为7，假设x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．专题：代数几何综合题．分析：〔1〕利用〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，求得m的值即可；〔2〕分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．解答：解：〔1〕∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2〔m+1〕，x1•x2=m2+5，∴〔x1﹣1〕〔x2﹣1〕=x1•x2﹣〔x1+x2〕+1=m2+5﹣2〔m+1〕+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；〔2〕①当7为底边时，此时方程x2﹣2〔m+1〕x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4〔m+1〕2﹣4〔m2+5〕=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14〔m+1〕+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：此题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．28．〔2021•日照二模〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80．求实数a的所有可能值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题．分析：根据△的意义由一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根得到△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0，根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，由〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80变形得到3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，于是有3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，解方程得到a=3或a=﹣，然后代入△验算即可得到实数a的值．解答：解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+〔3a﹣1〕x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即〔3a﹣1〕2﹣4〔2a2﹣1〕=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…〔3分〕∴x1+x2=﹣〔3a﹣1〕，x1•x2=2a2﹣1，∵〔3x1﹣x2〕〔x1﹣3x2〕=﹣80，即3〔x12+x22〕﹣10x1x2=﹣80，∴3〔x1+x2〕2﹣16x1x2=﹣80，∴3〔3a﹣1〕2﹣16〔2a2﹣1〕=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴〔5a+33〕〔a﹣3〕=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=〔﹣〕2﹣6×〔﹣〕+6=〔〕2+6×+6＞0，∴实数a的值为﹣点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，那么x1+x2=﹣，x1•x2=．也考查了一元二次方程根的判别式以及代数式的变形能力．29．〔2021•孝感〕关于x的一元二次方程x2﹣〔2k+1〕x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．〔1〕求实数k的取值范围；〔2〕是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？假设存在，请求出k的值；假设不存在，请说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：压轴题．分析：〔1〕根据一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用完全平方公式可以把不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：〔1〕∵原方程有两个实数根，∴[﹣〔2k+1〕]2﹣4〔k2+2k〕≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．〔2〕假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3〔k2+2k〕﹣〔2k+1〕2≥0，整理得：﹣〔k﹣1〕2≥0，∴只有当k=1时，上式才能成立．又∵由〔1〕知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：此题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．30．〔2001•苏州〕关于x的一元二次方程，〔1〕求证：不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根；〔2〕设x1、x2是方程的两个根，且x12﹣2kx1+2x1x2=5，求k的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：〔1〕要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立；〔2〕欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：〔1〕关于x的一元二次方程，∴△=〔﹣2k〕2﹣4×〔k2﹣2〕=2k2+8，∵2k2+8＞0恒成立，∴不管k取何值，方程总有两个不相等的实数根．〔2〕∵x1、x2是方程的两个根，∴x1+x2=2k，x1•x2=k2﹣2，∴x12﹣2kx1+2x1x2=x12﹣〔x1+x2〕x1+2x1x2=x1x2=k2﹣2=5，解得k=±．点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．。
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案解析)
）
A ．2012
B． 2013
C． 2014
D ．2015
11．（2014 ?江西模拟）一元二次方程
A ．﹣ 6
B．6
x 2﹣ 2x﹣ 3=0 与 3x2﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于（
）
C．3
D ．﹣ 3
12．（ 2014?峨眉山市二模）已知
x1、 x2 是方程
x2﹣（
k
﹣
2）
x+k
2
+3k+5=0
故选： C． 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠0）的根与系数的关系： 若方程两个为 x1，x 2，则 x 1+x 2=﹣ ，x 1?x2= ．
3．（ 2014?玉林） x 1， x 2 是关于 x 的一元二次方程 x 2﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数 m 使 + =0 成
x1， x2 满足 x1x2﹣ 2x1﹣ 2x2﹣ 5=0， D ．﹣ 13
20．（ 2011?锦江区模拟）若方程 x2﹣ 3x﹣ 2=0 的两实根为 x 1、 x2，则（ x1+2）（ x2+2）的值为（
）
A ．﹣ 4
B．6
C．8
D ．12
21．（ 2011?鄂州模拟）已知 p2﹣ p﹣ 1=0 ， 1﹣q﹣ q2=0，且 pq≠1，则
解得 b=﹣2， c=﹣ 8
∴ b+c= ﹣ 10．
故选： A ．
点评： 此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：
x1+x 2=﹣ ， x 1x 2= ．
6．（ 2014?烟台）关于 x 的方程 x 2﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（
一元二次方程的根与系数的关系(基础)(含答案)
一元二次方程的根与系数的关系（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.一元二次方程的两实数根的和与积分别是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意，对于一元二次方程，a=3，b=-4，c=-5试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系2.若α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根，且，则m等于( )A.-2B.-3C.2D.3答案：B解题思路：由题意，，∵α，β是一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根∴，∴∴m=-3试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系3.若关于一元二次方程有一个解为，则另一个解为( )A.1B.-3C.3D.4答案：C解题思路：∵一元二次方程的两根分别为x1=-1，x2∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系4.已知x1，x2是关于x的方程的两根，且满足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值为( )A.4B.-4C.3D.-3答案：A解题思路：由题意，∵x1，x2是一元二次方程的两根∴∴∴b=4试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系5.设x1，x2是一元二次方程的两实数根，则的值是( )A.2B.4C.5D.6答案：C解题思路：由题意，∵x1，x2是一元二次方程的两实数根∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系6.一元二次方程的两个根为x1，x2，则的值是( )A.10B.9C.8D.7答案：D解题思路：由题意，∵一元二次方程的两个根为x1，x2∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系7.关于x的一元二次方程的两实数根分别为x1，x2，且，则m 的值为( )A. B.C. D.0答案：A解题思路：由题意，，∵一元二次方程的两实数根分别为x1，x2∴∵∴，∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系8.关于x的方程的两根互为相反数，则k值是( )A.-1B.±2C.2D.-2答案：D解题思路：∵关于x的方程的两根互为相反数∴∴k=±2当k=2时，原方程为，无解当k=-2时，原方程为，符合题意试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系9.定义运算：a*b=2ab，若a，b是方程（m＞0）的两个根，则(a+1)*a-(b+1)*b 的值为( )A.0B.2C.4mD.-4m答案：A解题思路：∵a，b是方程（m＞0）的两个根∴∴试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系10.若关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0有两个实数根为x1，x2，且|x1-x2|=4，则m的值为( )A. B.-1C.1或-1D.1答案：D解题思路：由题意，，∵一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为x1，x2∴∵|x1-x2|=4∴x1-x2=4或x2-x1=4∴x1=5，x2=1或x1=1，x2=5即关于x的一元二次方程x2-6x+(4m+1)=0的两个实数根为1，5∴∴m=1试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系。
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一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0<a ，那么根的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2221x x +的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ）（A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0)0(”的方程即可本题为找出“=∆4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ）（A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=05．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，12222=-x x ，那么21x x •等于（ ） （A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－1二、填空题：1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝-----。
2、如果关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是____- 3、已知21x x ，是方程04722=+-x x 的两根，则21x x +＝27，21x x ＝2，221)(x x -＝_____4、若关于x 的方程01)2()2(22=+---x m x m 的两个根互为倒数，则m ＝_____。
5、当m ＝_______时，方程042=++mx x 有两个相等的实数根；6、已知关于x 的方程07)3(102=-++-m x m x ，若有一个根为0，则m =7，这时方程的另一个根是1；若两根之和为－35 ，则m =9-，这时方程的 两个根为__________.7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m ______；8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则最小的整数m =_______;9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m =______; 10、设关于x 的方程062=+-k x x 的两根是m 和n ，且2023=+n m ，则k 值为______; 11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是___________ 12、一元二次方程02=++q px x 两个根分别是32+和32-，则p________,q_________;13、已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，那么它的另一个根是_______，m=_______; ：14、若方程012=-+mx x 的两个实数根互为相反数，那么m 的值是_______;15、n m 、是关于x 的方程01)12(22=++--m x m x 的两个实数根，则代数式nm =_______—16、已知方程0132=+-x x 的两个根为α,β，则α+β=_________, αβ=_________; 17、如果关于x 的方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则m 的值为;________18、已知方程0322=+-k x x 的两根之差为212 ，则k=__________19、若方程03)2(22=--+x a x 的两根是1和－3，则a=_____;20、①、若关于x 的方程04)1(222=+-+m x m x 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为____ ②、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则a=_____。
21、如果关于x 的一元二次方程022=++a x x 的一个根是1－2，那么另一个根是_____，a 的值为_____。
22、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么k=_____。
23、已知方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等，则m=_____。
24、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为0和－1，则q ∶p=____。
25、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为____。
26、已知方程0242=-+m x x 的一个根α比另一个根β小4，则α=_____；β=____；m=___。
27、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为21x x ，，且43x 1x 121-=+，则m=____。
28、关于x 的方程0322=+-m x x ，当______时，方程有两个正数根；当________时，方程有一个正根，一个负根；当m=____时，方程有一个根为0。
三、解答下列各题：1、已知3－ 2 是方程072=++mx x 的一个根，求另一个根及m 的值。
，得：2、m 取什么值时，方程012)14(222=-++-m x m x（1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根； （2）有两个相等的实数根3、求证：方程0)4(2)1(222=++-+m mx x m 没有实数根。
。
4、求证：不论k 为何实数，关于x 的式子2)2)(1(k x x ---都可以分解成两个一次因式的积。
。
5、当k 取什么实数时，二次三项式12)14(222-++-k x k x 可因式分解.6、已知a 是实数，且方程0122=++ax x 有两个不相等的实根，试判别方程0)1(21122222=---++a x a ax x 有无实根？7、已知关于x 的方程022=+-nx mx 两根相等，方程0342=+-n mx x 的一个根是另一个根的3倍。
求证：方程0)()(2=-++-m k x n k x 一定有实数根。
8、已知方程03522=+-n mx x 的两根之比为2∶3，方程0822=+-m nx x 的两根相等(mn ≠0)。
求证：对任意实数k ，方程01)1(2=++-++k x k n mx 恒有实数根。
9、设21x x ，是方程03422=-+x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：)1)(1()1(21++x x 、 2111)2(x x +、 2112)3(x x x x +、 121212)4(x x x x ++、10、设方程03742=+-x x 的两根为21x x ，，不解方程，求下列各式的值: (1) 2221x x + (2) 21x x - （3）21x x + （4）21x x -11、已知21x x ，是方程01322=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1) )32)(32(21--x x ； (2)321231x x x x +12、实数ｓ、ｔ分别满足方程0199192=++s s 和且099192=++t t 求代数式ts st 14++的值。
13、设：011632=--a a ，011632=--b b 且a ≠b ，求44b a +的值。
14、已知a a -=12，b b -=12，且a ≠b ，求(a －1)(b －1)的值。
15、已知042=-+m m ，04112=-+n n ，m ，n 为实数，且n m 1≠，求代数式nm 1+的值 16、已知07422=-+s s ，02472=--t t ，s ，t 为实数，且st ≠1。
求下列各式的值： (1)t st 1+； (2)ts st 323+-。
17、已知关于x 的方程x 2－(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k 的值;则、解：设方程两根为,21x x 3±=∴k18、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是1719、已知a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a 2+b 2+c 2)x 2+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形20、已知关于x 的方程0)1(4)12(2=-+--a x a x 的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。
21、关于x 的一元二次方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m 的值。
22、是否存在实数k ，使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21x x ，，满足2321=x x ，如果存在，试求出所有满足条件的k 的值，如果不存在，请说明理由。
23、已知关于x 的方程01)1(22=++--m x m x 的两根满足关系式121=-x x ，求m 的值及两个根。
24、α、β是关于x 的方程044422=++-m m mx x 的两个实根，并且满足2)1)(1(=--βα，求m 的值。
25、已知一元二次方程0)12(82=++-m x m x ，根据下列条件，分别求出m 的值：(1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；(5)两根的平方和为641。
26、已知方程042=++mx x 和016)2(2=---x m x 有一个相同的根，求m 的值及这个相同的根。
27、已知关于x 的二次方程05)2(222=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。
28、已知方程02=++c bx x 有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b 、c 的值。
29、已知一元二次方程0524)32(2=-++-k kx x k ，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k 取何整数时，方程有两个整数根。
30、已知21x x ，是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1121++x x ，是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，求常数p 、q 的值。
31、已知21x x ，是关于x 的方程022=++n x m x 的两个实数根；21y y ，是关于y 的方程0752=++my y 的两个实数根，且222211=-=-y x y x ，，求m 、n 的值。
32、关于x 的方程0n 41mx 2x 22=+-，其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。
(1)求证：这个方程有两个不相等的实根；(2)若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。