级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系

级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系

数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，435002

1.引言

级数敛散的速度问题，无论对于理论研究者或是实际工作者都具有意义。在做理论研究判断正项级数敛散性时，利用比较判别法必须事先选择好具有适当敛散性的级数，而利用d'Alembert 判别法或Cauchy 判别法总有一些

级数不能判断其敛散性，如n 11n ∞

=∑，211

n n

∞

=∑，其原因在于作为“标尺”的几何级

数收敛得不够慢，因此想要得到更好的判别法就必须寻找收敛得更慢的级数作为比较的“标尺”。通过探究达朗贝尔判别法、拉贝判别法产生缺陷的原因以及几项正项级数收敛速度的比较，得出级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系。

2.级数收敛速度的定义

在关于级数的论著中对正项级数敛散快慢问题，通常有下列三种定义。(分别由下面的定义1、2与3、4以及定义5组成）

定义1 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛，n r ，n r '分别是它们的余式，如果lim

0n

n n

r r →∞='，就称n b ∑比n a ∑收敛较慢。 定义2 设正项级数n a ∑与n b ∑都发散，

n A ，n B 分别是它们的部分和，如果lim

0n

n n

B A →∞=，就称n b ∑比n a ∑发散较慢。 定义3 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛，如果lim

0n

n n

a b →∞=，就称n b ∑比

n

a

∑收敛较慢。

定义4 设正项级数n a ∑与n b ∑都发散，如果lim

0n

n n

b a →∞=，就称n b ∑比n

a

∑发散较慢。

定义5 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛（发散），并有自然数N,使N ≥n 时，有

11n n n n a b a b ++≤（11n n n n

a b

a b ++≥），则说n b ∑比n a ∑收敛（发散）较慢。 3．几种常用判敛法

定理1（比较判别法）

123n

μμμμ=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑（1） 123n

v

v v v =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑（2）

是两个正项级数，如果当n 充分大时，总有不等式n n v μ≤成立，

则由级数（2）收敛可推出级数（1）收敛，而由级数（1）发散可推出（2）发散。

定理2 如果存在自然数N ，对一切n N >有

11

n n n n

u v u v ++≤（3） 则由级数（2）收敛可知级数（1）收敛，而由级数（1）发散可知级数（2）发散。

定理3（达朗贝尔比值判别法）

若n μ∑为正项级数，且1

lim

n x n

q μμ+→∞=（4）

则当1q <时级数收敛，而当1q >时级数发散。 定理4（柯西根值判别法） 设n μ∑

为正项级数，且n l =

则当1l <时级数收敛，而当1l >时级数发散。 定理5（拉贝判别法）

设n μ∑为正项级数，且1

lim (1)n n n

n r μμ+→∞

-

= 则当1r >时级数收敛，而当1r <时级数发散。 定理6（高斯判别法） 对正项级数n μ∑，如果有

2

1n n n u n n μθ

λμ+=++ （5） 式中n θ有界：n L θ≤，则当1λ>或者1λ=而1u >时级数收敛; 当1λ<或者1λ=而1u ≤时级数发散。

定理7（柯西积分判别法）

如果()f x (0)x >是非负的不增函数，则级数1()n f n ∞

=∑与积分1

()f x dx

+∞

⎰

同敛散。

以下几个主要的判别法大致可分为三类：第一类是把所论正项级数

n

μ

∑的项与一个已知其敛散性的正项级数n v ∑的项加以比较后得到原级数

的敛散性，这一类包括定理1、2中的判别法。第二类从形式上看是考察所论正项级数通向或相邻项的量值与变化趋势，其本质仍是把所给级数与某些典型而基本的收敛（发散）级数（几何级数、P-级数等）加以比较。定理3、4、5、6属于这一类，定理7属于第三类，是通过建立正项级数与无穷积分的联系把问题转化为广义积分的计算与敛散性判定。

4．探究达朗贝尔判别法、拉贝判别法产生缺陷的原因

其中达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法在其形式及证明上有诸多相似，并且都存在着自身的不足，但它们的适用范围却是逐渐扩大的。下面从这三种判别法出发，探究产生缺陷的根本原因。

对于正项级数1

n n a ∞

=∑，首先看达朗贝尔判别法的极限形式，当

1

n n

a a +的极限值r 等于1时达朗贝尔判别法就失效了，对于简单的级数，如11

n n

∞

=∑也不能用

此法来判定，1

1

1lim lim 111

1n n n n n

→∞→∞+==+

我们就来分析一下产生这种缺陷的根源。通过达朗贝尔判别法和柯西判别法的证明过程，知道这两者实际上是用等比级数来同给定的级数进行比较的。这里主要以达朗贝尔判别法为例（由于柯西判别法简单，其比较级数是

n r ）。

当1r <时，给定的正项级数1

n n a ∞

=∑的一般项小于某一收敛得等比级数

1

n n aq ∞

=∑的对应项，其中N N

a a q

=

，q 是r 与1之间的某一实数，n

n a aq <，于是判断1

n n a ∞

=∑收敛。