级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系
正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用
正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度++++=∑∞=n n na a a a211称为无穷级数。
当0≥n a 时，此级数称为正项级数。
记n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。
级数∑∞=1n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛散性来定义。
显然，级数∑∞=1n n a 时，有0lim =∞→n n a 。
因此，0lim ≠→∞n n a 时，必有级数∑∞=1n n a 发散。
但是0lim =∞→n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。
只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞=1n n a 才收敛。
可以证明：几何级数∑∞=1n n q ，当1||<q 时收敛；当1||≥q 时发散。
p -级数∑∞=11n pn，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
由p -级数∑∞=11n pn 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。
因而，无穷小n 1是衡量级数∑∞=1n na 敛散性的一把“尺子”。
可是，这把“尺子”有点粗糙了。
事实上，尽管无穷小nn ln 1趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。
可以证明，级数∑∞=1ln 1n pnn ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
于是，无穷小nn ln 1是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 发散。
可是，马上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞=1ln ln ln 1n nn n 仍然发散级数。
于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。
级数收敛的概念和判别法则
级数收敛的概念和判别法则级数是数学中重要的概念之一，它是由无穷多个数相加而成的一种数列。
级数的收敛性与数列的求和有着密切的关系，它在分析学、数学物理等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍级数收敛的概念及其判别法则。
一、级数收敛的概念级数是指由无穷多个数按照一定次序相加而成的表达式。
设a₁，a₂，a₃，……，aₙ，……是一个数列，则级数可以表示为S = a₁ +a₂ + a₃ + …… + aₙ + ……当数列{Sₙ}存在有限的极限值S时，称级数S收敛，记作∑aₙ = S。
反之，若数列{Sₙ}不存在有限的极限值，则称级数S发散。
二、级数收敛的判别法则为了判断一个级数是否收敛，数学家们提出了多种判别法则，下面将介绍其中几种常见的方法。
1. 初等判别法初等判别法适用于一些简单级数的判断。
对于级数∑aₙ，如果当n趋于无穷大时，aₙ趋于零，即lim(aₙ) = 0，那么级数必收敛。
2. 比较判别法比较判别法适用于正项级数的判定。
设有两个级数∑aₙ和∑bₙ，且对于所有n，都有0 ≤ aₙ ≤ bₙ成立。
若级数∑bₙ收敛，则级数∑aₙ也收敛；若级数∑aₙ发散，则级数∑bₙ也发散。
3. 极限判别法极限判别法适用于形式为aₙ = f(n)的级数。
若存在正整数N和常数p，使得当n > N时，有aₙ ≤ (n^p)成立，那么根据级数∑(n^p)的收敛性来判断∑aₙ的收敛性。
4. 比值判别法比值判别法适用于正项级数的判定。
设有级数∑aₙ，若存在正实数q，使得当n足够大时，有(aₙ₊₁/aₙ) ≤ q成立，那么如果q < 1，级数∑aₙ收敛，如果q > 1，级数∑aₙ发散，若q = 1，则该方法不适用。
5. 根值判别法根值判别法适用于正项级数的判定。
设有级数∑aₙ，若存在正实数r，使得当n足够大时，有(n√aₙ) ≤ r成立，那么如果r < 1，级数∑aₙ收敛，如果r > 1，级数∑aₙ发散，若r = 1，则该方法不适用。
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较
关于正项级数敛散性判定方法的总结比较正项级数指的是所有项都是正数的级数。
求解正项级数的敛散性是数学分析、高等数学、物理等学科中经常使用的基本问题。
以下是关于正项级数敛散性判定方法的总结。
1. 通项公式法如果正项级数的通项公式可以明确地表示出来，那么可以通过解析判断级数的敛散性。
例如：$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$，该级数的通项公式为$\frac{1}{n^2}$，由于是调和级数的平方，因此它是收敛的。
但如果通项公式不容易明确表示出来，就需要采用其他方法。
2. 比较判别法当正项级数与一个已知收敛或发散的级数的通项公式形式非常类似时，就可以使用比较判别法。
若存在一个收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n$满足$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_n}{a_n}=c>0$时，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$与$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$同时敛散。
其中，$a_n$和$b_n$都是正数。
3. 极限比值法极限比值法也叫作柯西-黎曼判别法。
该方法需要计算正项级数的项数无穷大时的比值$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果该比值$<1$，则级数收敛；如果$>1$，则级数发散；如果$=1$，则判别不出敛散性。
此外，当无法计算极限时，也可以将比值的极限转化为自然对数的形式再进行计算。
将正项级数转化为积分形式，再判断积分的敛散性。
若存在一个$a>0$，使得函数$f(x)$在$[a,+\infty)$上单调递减且非负，则当正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$的通项公式为$a_n=f(n)$时，级数敛散与积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$的敛散性相同。
审敛法、级数收敛性
审敛法、级数收敛性问题7.2比值审敛法与根值审敛法两者相比，各有什么优点？[答] 虽然这两种审敛法都是基于把所考虑的正项级数与等比级数比较而得到的，但它们又有所差别。
首先我们指出：如果极限1limn x nu l u +→∞=存在，那么x l =。
这个结论的证明放在本问题的最后。
按此结论可知，能用比值审敛法判定其收敛性的正项级数，一定可以用根值审敛法判定。
当1l =时，比值审敛法失效，此时根值审敛法也失效。
其次，当1lim n x nu u +→∞不存在时，x ()112n n n ∞---=∑，因为()12112218nn nu u -+-+⎧⎪==⎨⎪⎩故1limn x nu u +→∞不存在，比值审敛法不能使用。
但12x =，由根值审敛法知该级数收敛。
总之，比值审敛法一般说来在使用上要方便些，而根值审敛法的应用范围却比比值审敛法要广一些。
此外，在比值及根值的极限不存在（或不易求出）时，也可考虑用下述方法判定正项级数的收敛性：如果11n n u u ρ+≤<1ρ≤<），那么级数1n n u ∞=∑收敛；如果11n n u u +≥1≥），那么级数1n n u ∞=∑发散。
这是因为：当11n n uu ρ+≤<（或1ρ≤<）时，11n n u u ρ-≤（或nn u ρ≤），而111n n u ρ∞-=∑（或1nn ρ∞=∑）收敛，由比较审敛法知1n n u ∞=∑收敛。
当11n nu u +≥1≥）时，有1n u u ≥（或1n u ≥），可知当n →∞时，n u 0，所以1n n u ∞=∑发散。
例 判定正项级数()1113nn n n ∞=⎤-⎦∑的收敛性。
，当n 为奇数， ，当n 为偶数，解())1111133nn ⎤=-≤<⎦，因此所设级数收敛。
下面把开始时提出的结论就0l ≠的情形加以证明： 证 任给0ε>，存在N ，当n N ≥时，有1n nu l k u ε+-< 其中0k l <<。
正项级数的比较审敛法
正项级数的比较审敛法正项级数的比较审敛法是数学中一种常用的判别级数收敛性的方法。
通过与已知的收敛或发散级数进行比较，我们可以判断一个正项级数的收敛性。
本文将介绍正项级数的比较审敛法的基本原理和应用。
正项级数是指所有项都是非负数的级数。
我们知道，一个正项级数的收敛性与其项的大小相关。
如果一个级数的每一项都小于等于另一个级数的对应项，并且后者收敛，那么我们可以推断前者也收敛。
同样地，如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，并且后者发散，那么我们可以推断前者也发散。
这就是正项级数的比较审敛法的基本思想。
比较审敛法分为两种情况：比较法和极限比较法。
下面我们将分别介绍这两种方法。
一、比较法比较法是通过比较待判定级数与已知级数的大小关系来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的项的大小。
如果待判定级数的每一项都小于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的每一项都大于等于已知级数的对应项，那么待判定级数也发散。
比较法的关键在于选择合适的已知级数。
常用的已知级数包括调和级数、几何级数和指数级数等。
例如，我们可以使用调和级数来判断一个正项级数的收敛性。
调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数。
根据比较法的原理，如果一个正项级数的每一项都小于等于调和级数的对应项，那么该正项级数也收敛。
二、极限比较法极限比较法是比较法的一种特殊情况。
当我们无法直接比较待判定级数和已知级数的项时，可以通过比较它们的极限值来判断待判定级数的收敛性。
具体而言，我们选择一个已知的收敛级数和一个待判定级数，然后比较它们的极限值。
如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值相等或者待判定级数的极限值无穷大，那么待判定级数也收敛；如果待判定级数的极限值与已知级数的极限值比较大，那么待判定级数也发散。
极限比较法的关键在于计算级数的极限值。
对于一些常见的级数，我们可以通过取极限值来判断其收敛性。
正项级数比值审敛法
正项级数比值审敛法正项级数比值审敛法是数学分析中常用的一种判定级数收敛性的方法。
它利用级数的比值来判断级数的收敛性或发散性。
本文将详细介绍正项级数比值审敛法的原理、应用例子以及一些注意事项，希望能对读者们有所指导和帮助。
首先，我们来探讨正项级数比值审敛法的原理。
对于一个正项级数∑an ，其中an≥0 ，我们可以求出级数相邻两项之比的极限值L=lim（n→∞）（an+1/an）。
当 L<1 时，级数∑an 收敛；当 L>1 时，级数∑an 发散；当 L=1 时，比值试验不能确定级数的收敛性，需采用其他方法进行判定。
接下来，让我们通过一个具体的例子来解释正项级数比值审敛法的应用。
考虑级数∑1/n! ，我们可以计算相邻两项之比的极限值L=lim（n→∞）（（n+1)!/n!） = lim（n→∞）（n+1）=∞。
由于L>1 ，根据比值审敛法的原理，我们知道该级数发散，也就是说级数∑1/n! 是发散的。
在应用正项级数比值审敛法时，需要注意以下几点。
首先，要确保级数的各项都是正数，否则无法使用比值审敛法。
其次，比值试验只适用于正项级数，对于含有负项的级数是不适用的。
此外，当极限值 L=1 时，比值试验无法确定级数的收敛性，此时需要借助其他判定方法。
最后，正项级数比值审敛法是一种快速判断级数收敛性的方法，但并不是万能的，对于一些特殊级数可能会失效，需要采用其他方法进行判断。
总结起来，正项级数比值审敛法是一种简单有效的判定级数收敛性的方法。
通过计算级数相邻项的比值的极限值，我们可以快速判断级数的收敛性或发散性。
然而，在使用比值审敛法时需要注意级数的正性、不适用于负项级数以及极限值为1时的特殊情况。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用正项级数比值审敛法，从而在数学分析中取得更好的成绩。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
高中数学教案级数的收敛与发散判定
高中数学教案级数的收敛与发散判定高中数学教案：级数的收敛与发散判定一、引言在高中数学中，级数的收敛与发散是一个重要的概念。
通过判定一个级数是否收敛或发散，我们可以更好地理解数学中的无限和趋势性质。
本教案将介绍级数的概念以及如何判断级数的收敛与发散。
二、级数的定义一个级数是由无穷多个项相加而成的数列。
级数可以表示为S = a₁+ a₂ + a₃ + ... + aₙ + ...三、级数的收敛与发散判定1. 正项级数判定法如果一个级数的每一项都是非负的，且该级数的部分和数列是有界的，则该级数是收敛的。
2. 通项判别法对于一个级数∑aₙ，如果lim(n→∞)(aₙ) ≠ 0，那么该级数一定发散。
3. 比较判别法当一个级数∑aₙ和∑bₙ的性质相似时，可以通过比较判别法来判断级数的收敛与发散。
- 如果∑aₙ收敛，且对于任意的n，有0 ≤ bₙ ≤ aₙ，则∑bₙ也收敛。
- 如果∑aₙ发散，且对于任意的n，有aₙ ≤ bₙ，则∑bₙ也发散。
4. 极限判别法当一个级数∑aₙ具有aₙ的通项时，可以通过极限判别法来判断级数的收敛与发散。
- 如果lim(n→∞)[aₙ⁺¹ / aₙ] < 1，则∑aₙ收敛。
- 如果lim(n→∞)[aₙ⁺¹ / aₙ] > 1，则∑aₙ发散。
- 如果lim(n→∞)[aₙ⁺¹ / aₙ] = 1，则该判定法不确定。
5. 积分判别法通过比较级数的部分和与函数积分之间的关系，可以使用积分判别法来判断级数的收敛与发散。
- 如果∫(1 to ∞) f(x) dx 收敛，那么∑f(n)也收敛。
- 如果∫(1 to ∞) f(x) dx 发散，那么∑f(n)也发散。
6. 比值判别法通过比较两个相邻项之间的比值的大小，可以使用比值判别法来判断级数的收敛与发散。
- 如果lim(n→∞)[aₙ⁺¹ / aₙ] < 1，则∑aₙ收敛。
- 如果lim(n→∞)[aₙ⁺¹ / aₙ] > 1，则∑aₙ发散。
(整理)级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系
级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言级数敛散的速度问题，无论对于理论研究者或是实际工作者都具有意义。
在做理论研究判断正项级数敛散性时，利用比较判别法必须事先选择好具有适当敛散性的级数，而利用d'Alembert 判别法或Cauchy 判别法总有一些级数不能判断其敛散性，如n 11n ∞=∑，211n n∞=∑，其原因在于作为“标尺”的几何级数收敛得不够慢，因此想要得到更好的判别法就必须寻找收敛得更慢的级数作为比较的“标尺”。
通过探究达朗贝尔判别法、拉贝判别法产生缺陷的原因以及几项正项级数收敛速度的比较，得出级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系。
2.级数收敛速度的定义在关于级数的论著中对正项级数敛散快慢问题，通常有下列三种定义。
(分别由下面的定义1、2与3、4以及定义5组成）定义1 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛，n r ，n r '分别是它们的余式，如果lim0nn nr r →∞='，就称n b ∑比n a ∑收敛较慢。
定义2 设正项级数n a ∑与n b ∑都发散，n A ，n B 分别是它们的部分和，如果lim0nn nB A →∞=，就称n b ∑比n a ∑发散较慢。
定义3 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛，如果lim0nn na b →∞=，就称n b ∑比na∑收敛较慢。
定义4 设正项级数n a ∑与n b ∑都发散，如果lim0nn nb a →∞=，就称n b ∑比na∑发散较慢。
定义5 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛（发散），并有自然数N,使N ≥n 时，有11n n n n a b a b ++≤（11n n n na ba b ++≥），则说n b ∑比n a ∑收敛（发散）较慢。
3．几种常用判敛法定理1（比较判别法）123nμμμμ=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑（1） 123nvv v v =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑（2）是两个正项级数，如果当n 充分大时，总有不等式n n v μ≤成立，则由级数（2）收敛可推出级数（1）收敛，而由级数（1）发散可推出（2）发散。
级数收敛的性质和运算法则
级数收敛的性质和运算法则级数是数学中一个重要的概念，它是由无穷多个数相加或者相减而得到的结果。
在数学中，我们常常关注级数的收敛性质和运算法则。
本文将介绍级数收敛的性质和运算法则，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、级数收敛的定义在开始介绍级数收敛的性质和运算法则之前，我们先来回顾一下级数收敛的定义。
给定一个数列{a_n}，级数可以表示为：S = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n + ...如果存在一个数L，使得当n趋向于无穷大时，级数S的部分和{S_n}逐渐趋近于L，那么我们称级数S收敛于L。
反之，如果不存在这样的L，我们称级数S发散。
二、级数收敛的性质1. 有界性如果级数S收敛，那么该级数的部分和{S_n}必然有界。
也就是说，存在一个正数M，使得对于任意的n，都有|S_n| ≤ M。
证明：设级数S收敛于L，根据级数收敛的定义，我们知道对于任意的ε > 0，存在正整数N，当n > N时有|S - S_n| < ε。
假设M = max{1, |S_1|, |S_2 - S_1|, ..., |S_N - S_{N-1}|, |S - S_N + ε|}，那么对于任意的n > N，我们有：|S_n| = |S_N + (S_n - S_N)| ≤ |S_N| + |S_n - S_N|≤ |S_N| + |S - S_N + ε|≤ |S_N| + |S - S_N| + ε≤ M + ε因此，级数S的部分和{S_n}有界。
2. 单调性如果级数S收敛，并且数列{a_n}单调递减（或单调递增），那么该级数的部分和{S_n}也是单调递减（或单调递增）的。
证明：设级数S收敛于L，且数列{a_n}单调递减。
我们令S_n+1 -S_n = a_n+1。
根据数列{a_n}的单调性，我们知道对于任意的n，都有：S_n+1 - S_n ≥ a_n+1 - a_n ≥ 0因此，{S_n}是一个单调递减的数列。
无穷级数的审敛法与收敛性判别
无穷级数的审敛法与收敛性判别无穷级数是数学中的一个重要概念，利用无穷级数可以逼近函数的值。
但无穷级数是一个无限求和的概念，有可能会出现发散的情况，因此就有了收敛性判别和审敛法这两种方法来判定无穷级数是否收敛。
首先，让我们来看一下什么是无穷级数。
无穷级数是由无限多个数相加或相减所得到的一种数列求和方式，可以表示为以下形式：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\ldots+a_n+\ldots$$其中，$a_n$ 表示第 $n$ 个数。
接下来，我们来介绍几种判定无穷级数收敛的方法。
一、正项级数判别法如果一个无穷级数的每一项都是非负数，即 $a_n\geq 0$，那么我们可以使用正项级数判别法来判断无穷级数是否收敛。
正项级数判别法的结果是，如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛，那么 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=0$。
这个结论非常重要，因为如果 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n\neq 0$，那么级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 一定发散。
这是因为无穷级数的每一项都是非负数，如果$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n\neq 0$，那么随着$n$ 的增大，$a_n$ 的大小也会越来越大，因此级数就会发散。
二、比较判别法比较判别法是一种常用的判定无穷级数收敛性的方法。
比较判别法的基本思想是，将待判定的级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较，从而得出原级数的收敛性。
比较判别法分为两种情况：比较判别法一和比较判别法二。
比较判别法一表述如下：对于两个正项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$，如果存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，有 $a_n\leq kb_n$，其中 $k$ 是一个正常数，那么有以下结论：- 当级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 收敛时，级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 收敛。
收敛原理与数项级数
收敛原理与数项级数收敛原理是数学分析中的一个重要概念，用于描述数列或数项级数的极限性质。
在数学中，数列是一系列数字按照一定规律排列而成，而数项级数是将数列的每一项进行求和。
在实际应用中，很多问题可以转化为数列的极限性质，通过收敛原理可以判断其是否趋于有限的极限值。
本文将介绍收敛原理与数项级数的相关概念及其性质。
一、数列和数项级数的定义1.1数列：数列是按照一定的规则将数字排列成的序列。
数列通常用{an}表示，其中an表示数列的第n项。
数列的极限是指数列中的数字随着n的增大，逐渐趋于一些有限的值。
如果数列{an}的极限存在，则称该数列收敛，否则称为发散。
1.2数项级数：数项级数是将数列的每一项进行求和得到的结果。
数项级数通常用{Sn}表示，其中Sn表示数列{an}前n项的和。
类似于数列，如果数项级数的极限存在，则称该级数收敛，否则称为发散。
二、数列的收敛原理2.1单调有界原理：如果一个数列既是有界的又是单调的，那么它一定收敛。
单调有界原理是数列收敛的基本原理之一，对于数列的收敛性判断提供了一种简单有效的方法。
2.2子数列收敛原理：2.3夹逼定理：如果数列{an}和数列{cn}收敛并且极限值等于L，对于数列{bn}，如果存在一个自然数N，使得当n>N时，有an ≤ bn ≤ cn，那么数列{bn}也收敛并且极限值也等于L。
夹逼定理是判定数列收敛性的重要工具，它利用了数列之间的大小关系来进行极限的推导。
三、数项级数的收敛性质3.1收敛级数的性质：如果一个级数收敛，那么它的偏序列也收敛。
同时，如果一个级数的其中一个部分收敛，那么其余的部分也收敛。
3.2正项级数的比较判别法：如果一个级数的每一项都大于等于另一个级数的对应项，则这个级数收敛；如果一个级数的每一项都小于另一个级数的对应项，则这个级数发散。
正项级数的比较判别法通过将级数与已知的级数进行比较，来判断级数的收敛性。
3.3比值判别法和根值判别法：对于正项级数，如果存在常数ρ使得当n充分大时，an+1 / an，≤ ρ（比值判别法）或，an，^(1/n) ≤ ρ（根值判别法）成立，则级数收敛；如果存在常数ρ使得当n充分大时，an+1 / an，≥ ρ > 1 或，an，^(1/n) ≥ ρ > 1成立，则级数发散。
极限形式的比较审敛法正项级数 -回复
极限形式的比较审敛法正项级数 -回复
在数学中，级数是指无穷多个数的无限和。
正项级数是指所有项
都是非负的级数。
极限形式的比较审敛法是一种判断正项级数是否收
敛的方法，即通过将待判定级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较，来判断待判定级数的收敛性。
比较审敛法分为两种情况：比较判别法和比较审敛法。
比较判别
法是指根据两个级数之间的大小关系来判断待判定级数的收敛性；比
较审敛是指根据两个级数之间的大小关系和知道的级数的收敛性来判
断待判定级数的收敛性。
下面我们以极限形式的比较审敛法来讲解正项级数的收敛判别问题：
设我们有两个正项级数an和bn，且lim（n→∞）（an/bn）=c，其中c是一个常数，且0<c<∞。
则有以下结论：
1. 若c<∞，则当级数bn收敛时，级数an也收敛。
2. 若c=∞，则当级数an发散时，级数bn也发散。
在这个算法中，我们比较的是级数an和级数bn之间的大小关系
以及知道的级数bn的收敛性。
如果级数bn收敛，那么an/bn就趋向
于零，因此级数an也收敛；如果级数an发散，那么an/bn就趋向于
无穷大，因此级数bn也发散。
比较审敛法的优点就在于，只需找一个已知收敛或发散的级数进
行比较，就可以判断出待判定级数的收敛性，同时还具有较高的实用性。
当然，在使用比较审敛法时，需要注意选择合适的级数进行比较，确保比较结果的可靠性。
需要强调的是，比较审敛法仅适用于正项级数的收敛判别问题，
对于其他类型的级数，需要使用其他方法进行判别。
级数的审敛法
级数的审敛法
级数的审敛法是一种判定级数是否收敛或发散的方法。
下面介绍几种常用的审敛法：
1. 正项级数判别法：如果级数的各项都是非负数，并且级数的通项递减，则该级数收敛。
这是因为正项级数的部分和一定是递增有界的。
2. 比较判别法：设有两个级数∑a_n和∑b_n，如果在有限项后
总有a_n ≤ b_n，则如果∑b_n收敛，∑a_n也收敛；如果∑a_n
发散，∑b_n也发散。
这个方法常用于比较一个级数与已知的
收敛或发散的级数。
3. 比值判别法：对于一个级数∑a_n，如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≤ r < 1，则级数绝对收敛；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ 1，则级数发散；如果在有限项后总有
a_(n+1)/a_n ≥ r > 1，则级数发散或者条件收敛。
4. 积分判别法：对于一个非负递减的函数f(x)，如果∫f(x)dx从
1到无穷收敛，则级数∑f(n)也收敛；如果∫f(x)dx从1到无穷发散，则级数∑f(n)也发散。
这个方法利用了级数与函数的关系。
以上只是一些常用的审敛法，对于特定的级数，可能需要使用其他方法进行判断。
级数收敛的判定方法与级数的应用
级数收敛的判定方法与级数的应用首先让我们了解一下级数的概念。
一个级数是由一列有序的数相加而成的表达式。
一般来说，级数的通项可以表示为an，其中n表示项的位置。
级数的求和通常用Sn来表示，即Sn=a1+a2+a3+...+an。
我们要讨论的第一个级数收敛的判定方法是正项级数判别法。
对于一个级数∑an，如果所有的an都是非负的，并且序列{Sn}递增有上界，则级数收敛。
这是因为Sn递增有上界意味着Sn存在有限的极限值，我们将其表示为S。
我们可以证明Sn与Sn+1之间的差异可以表示为Sn+1−Sn=an+1≥0这个结论表明序列{Sn}是单调增的，并且上界是S。
由此得出了正项级数的收敛结论。
接下来是比较判别法。
对于两个级数∑an和∑bn，如果存在一个正整数N，对于所有的n>N，都有an≤bn，且∑bn收敛，则∑an也收敛；如果∑bn发散，则∑an也发散。
这个判别法的思路是通过比较两个级数的通项，从而得出关于它们收敛性的结论。
另外一个常用的判定方法是Cauchy收敛准则。
对于一个数列{an}，如果对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，使得当m>n>N时，有∣∣∣∑am−∑an∣∣∣<ε，那么级数∑an收敛。
这个准则是以数学家奥古斯特·科西（Augustin-Louis Cauchy）的名字命名的。
还有一个判定方法是d'Alembert判别法，也叫比值判别法。
对于一个级数∑an，如果存在正整数N，使得对于所有的n>N，有∣∣∣an+1an∣∣∣<r<1则级数收敛。
同样的，如果∣∣∣an+1an∣∣∣>1，则级数发散。
这个方法是根据级数的比值收敛性质来进行判定的。
级数的应用广泛。
比如在数学中，级数在微积分和实分析中起到了至关重要的作用。
级数的概念是微积分中积分和微分的基础，也是我们理解一些重要的数学概念如数列极限、函数积分、数学分析等的重要基础。
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度
漫谈正项级数的收敛性及收敛速度++++=∑∞=n n na a a a211称为无穷级数。
当0≥n a 时，此级数称为正项级数。
记n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。
级数∑∞=1n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛散性来定义。
显然，级数∑∞=1n n a 时，有0lim =∞→n n a 。
因此，0lim ≠→∞n n a 时，必有级数∑∞=1n n a 发散。
但是0lim =∞→n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。
只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞=1n n a 才收敛。
可以证明：几何级数∑∞=1n n q ，当1||<q 时收敛；当1||≥q 时发散。
p -级数∑∞=11n pn，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
由p -级数∑∞=11n pn 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。
因而，无穷小n 1是衡量级数∑∞=1n na 敛散性的一把“尺子”。
可是，这把“尺子”有点粗糙了。
事实上，尽管无穷小nn ln 1趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。
可以证明，级数∑∞=1ln 1n pnn ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。
于是，无穷小nn ln 1是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 发散。
可是，马上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞=1ln ln ln 1n nn n 仍然发散级数。
于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。
常见级数的敛散性总结
常见级数的敛散性总结级数是数学中一个非常重要的概念，它是由一系列数相加或相乘得到的结果。
在数学分析中，级数的敛散性是一个非常重要的问题，它关乎着级数的收敛性和发散性，对于理解数学的深层次原理和应用具有重要意义。
在本文中，我们将对常见级数的敛散性进行总结，希望能够为广大数学爱好者提供一些帮助。
首先，我们来介绍一下级数的敛散性。
级数的敛散性是指级数的和是否存在的问题，如果级数的和存在，则称该级数是收敛的；如果级数的和不存在，则称该级数是发散的。
判断级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题，它涉及到极限的性质和级数的收敛判别法则，需要运用到数学分析的各种知识和技巧。
接下来，我们将对一些常见级数的敛散性进行总结。
首先是调和级数，调和级数是指形如1+1/2+1/3+1/4+...的级数，它是一个发散的级数，这是因为调和级数的部分和序列发散于正无穷。
其次是等比级数，等比级数是指形如1+1/2+1/4+1/8+...的级数，它的敛散性取决于公比的大小，当公比大于1时，等比级数发散；当公比小于1且大于-1时，等比级数收敛；当公比等于-1时，等比级数发散；当公比等于1时，等比级数发散。
此外，还有幂级数、正项级数等等，它们的敛散性也各不相同。
幂级数是指形如a0+a1x+a2x^2+a3x^3+...的级数，它的敛散性取决于收敛半径的大小；正项级数是指所有的部分和都是非负数的级数，它的敛散性可以通过比较判别法、根值判别法、积分判别法等方法进行判断。
总的来说，级数的敛散性是一个非常复杂的问题，它需要我们掌握各种判别法则和技巧，才能够准确地判断级数的敛散性。
希望本文对于读者能够有所帮助，让大家能够更加深入地理解级数的敛散性问题，提高数学分析的水平和能力。
同时也希望大家能够在学习数学的过程中保持耐心和勇气，不断克服困难，取得更好的成绩。
感谢大家的阅读！通过以上对常见级数的敛散性总结，我们可以看出级数的敛散性是一个非常复杂而又重要的问题。
级数收敛则在0,正无穷上一致收敛
级数收敛则在0,正无穷上一致收敛数学中的级数收敛是一个经典问题，它分别被研究家们从不同角度进行了深入探讨。
在这篇文章里，我们将为您介绍级数收敛在0到正无穷上的一致收敛现象，从生动形象的角度出发，帮助您更加深入地理解和掌握这一高深的数学知识。
首先，我们需要了解什么是级数收敛。
在数学中，级数是指由一个无限多个数相加而成的数列。
例如，1+1/2+1/4+1/8+...即是一个无限级数。
如果这个级数的部分和数列趋向于一个有限的极限，我们就称这个级数是收敛的；否则，就称这个级数是发散的。
接下来，我们来看一个例子，帮助我们更好地理解级数收敛在0到正无穷上的一致收敛现象。
考虑级数f(x)=sin(x)/x在[0,+∞)上的一致收敛性。
首先，我们注意到当x=0时，f(x)=1，而当x不等于0时，f(x)=sin(x)/x。
因此，我们在0处需要单独考虑。
当x不等于0时，我们可以将f(x)展开成级数形式：f(x)=sin(x)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-x^6/7!+...其中，每一项-x^{2i}/(2i+1)! (i=0,1,2,...)就是级数f(x)的通项公式。
我们注意到，因为级数后面每一项的系数绝对值逐渐变小，并且它们的阶乘也逐渐变大，所以级数f(x)收敛。
但是，我们需要进一步证明这个级数在[0,+∞)上是一致收敛的。
为了证明这一点，我们考虑级数f(x)的任意一项的余项，即级数后面剩下的部分。
该余项决定了级数的收敛速度。
根据泰勒公式，当x在[-a,a]时，f(x)的余项可以用R_{2n+1}(x)=f^{(2n+1)}(c)x^{2n+1}/(2n+1)!表示，其中c是x和0之间的某个数。
因为f(x)是由一个连续可导的函数sin(x)/x构成的，所以它的每一个导数都是连续的。
因此，我们可以通过对f(x)的导数逐项展开，并利用余项公式，得到级数f(x)的余项R_{2n+1}(x)=(-1)^n*sin(c)/x^{2n+1}这个式子告诉我们，当n越大时，余项的绝对值越小。
正项级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛
(3) 1 不能判定
如
1与 1 n1 n n1 n2
都有
lim n
n
un
1
但 1 n1 n2
收敛
1
n1 n
发散
例7
an np
n1
(a 0)
解
lim n
n
un
lim n n
an np
a lim
n (n n ) p
a
故 (1) 当 a 1 时, 即 1 时, 级数收敛
(2) 当 a 1 时, 即 1 时, 级数发散 (3) 当 a 1 时, 即 1 时, 根值审敛法失效
但此时级数为
P
级数
n1
1 np
当p 1时, 当p 1时,
收敛 发散
第三节 绝对收敛与条件收敛 一、交错级数及其审敛法
1.定义: 正、负项交错的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
满足收敛的两个条件, rn un1 .
定理证毕.
例 8 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x 1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
？ 证明 un 单调减的方法: un1 un 0
3.比较审敛法 设 un和vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn (n 1, 2, ),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言级数敛散的速度问题，无论对于理论研究者或是实际工作者都具有意义。
在做理论研究判断正项级数敛散性时，利用比较判别法必须事先选择好具有适当敛散性的级数，而利用d'Alembert 判别法或Cauchy 判别法总有一些级数不能判断其敛散性，如n 11n ∞=∑，211n n∞=∑，其原因在于作为“标尺”的几何级数收敛得不够慢，因此想要得到更好的判别法就必须寻找收敛得更慢的级数作为比较的“标尺”。
通过探究达朗贝尔判别法、拉贝判别法产生缺陷的原因以及几项正项级数收敛速度的比较，得出级数的收敛速度与正项级数判敛法的关系。
2.级数收敛速度的定义在关于级数的论著中对正项级数敛散快慢问题，通常有下列三种定义。
(分别由下面的定义1、2与3、4以及定义5组成）定义1 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛，n r ，n r '分别是它们的余式，如果lim0nn nr r →∞='，就称n b ∑比n a ∑收敛较慢。
定义2 设正项级数n a ∑与n b ∑都发散，n A ，n B 分别是它们的部分和，如果lim0nn nB A →∞=，就称n b ∑比n a ∑发散较慢。
定义3 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛，如果lim0nn na b →∞=，就称n b ∑比na∑收敛较慢。
定义4 设正项级数n a ∑与n b ∑都发散，如果lim0nn nb a →∞=，就称n b ∑比na∑发散较慢。
定义5 设正项级数n a ∑与n b ∑都收敛（发散），并有自然数N,使N ≥n 时，有11n n n n a b a b ++≤（11n n n na ba b ++≥），则说n b ∑比n a ∑收敛（发散）较慢。
3．几种常用判敛法定理1（比较判别法）123nμμμμ=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑（1） 123nvv v v =+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑（2）是两个正项级数，如果当n 充分大时，总有不等式n n v μ≤成立，则由级数（2）收敛可推出级数（1）收敛，而由级数（1）发散可推出（2）发散。
定理2 如果存在自然数N ，对一切n N >有11n n n nu v u v ++≤（3） 则由级数（2）收敛可知级数（1）收敛，而由级数（1）发散可知级数（2）发散。
定理3（达朗贝尔比值判别法）若n μ∑为正项级数，且1limn x nq μμ+→∞=（4）则当1q <时级数收敛，而当1q >时级数发散。
定理4（柯西根值判别法） 设n μ∑为正项级数，且n l =则当1l <时级数收敛，而当1l >时级数发散。
定理5（拉贝判别法）设n μ∑为正项级数，且1lim (1)n n nn r μμ+→∞-= 则当1r >时级数收敛，而当1r <时级数发散。
定理6（高斯判别法） 对正项级数n μ∑，如果有21n n n u n n μθλμ+=++ （5） 式中n θ有界：n L θ≤，则当1λ>或者1λ=而1u >时级数收敛; 当1λ<或者1λ=而1u ≤时级数发散。
定理7（柯西积分判别法）如果()f x (0)x >是非负的不增函数，则级数1()n f n ∞=∑与积分1()f x dx+∞⎰同敛散。
以下几个主要的判别法大致可分为三类：第一类是把所论正项级数nμ∑的项与一个已知其敛散性的正项级数n v ∑的项加以比较后得到原级数的敛散性，这一类包括定理1、2中的判别法。
第二类从形式上看是考察所论正项级数通向或相邻项的量值与变化趋势，其本质仍是把所给级数与某些典型而基本的收敛（发散）级数（几何级数、P-级数等）加以比较。
定理3、4、5、6属于这一类，定理7属于第三类，是通过建立正项级数与无穷积分的联系把问题转化为广义积分的计算与敛散性判定。
4．探究达朗贝尔判别法、拉贝判别法产生缺陷的原因其中达朗贝尔判别法、柯西判别法、拉贝判别法在其形式及证明上有诸多相似，并且都存在着自身的不足，但它们的适用范围却是逐渐扩大的。
下面从这三种判别法出发，探究产生缺陷的根本原因。
对于正项级数1n n a ∞=∑，首先看达朗贝尔判别法的极限形式，当1n na a +的极限值r 等于1时达朗贝尔判别法就失效了，对于简单的级数，如11n n∞=∑也不能用此法来判定，111lim lim 1111n n n n n→∞→∞+==+我们就来分析一下产生这种缺陷的根源。
通过达朗贝尔判别法和柯西判别法的证明过程，知道这两者实际上是用等比级数来同给定的级数进行比较的。
这里主要以达朗贝尔判别法为例（由于柯西判别法简单，其比较级数是n r ）。
当1r <时，给定的正项级数1n n a ∞=∑的一般项小于某一收敛得等比级数1n n aq ∞=∑的对应项，其中N Na a q=，q 是r 与1之间的某一实数，nn a aq <，于是判断1n n a ∞=∑收敛。
由上可知：0,,N ε∀>∃当n>N 时有1r-n na r a εε+<<+； 而1n naq q aq +=； 11n n nn a aq a aq++∴≤ 由此可知1n n a ∞=∑比1n n aq ∞=∑收敛得快。
那么，反过来，如果给定的正项级数1n n a ∞=∑虽然收敛，但比任何收敛得等比级数收敛的都慢。
这时，达朗贝尔判别法及其极限形式对1n n a ∞=∑的敛散性判断就无能为力了。
例如：211n n ∞=∑. 对于任意的等比级数1n n aq ∞=∑，其中01q <<，22lim lim 11()n n n naq n a n q→∞→∞=0= ∴naq （01q <<）收敛得快。
此时221(1)lim 11n n n →∞+=，不能用达朗贝尔判别法。
其次，若1r >，给定的级数1n n a ∞=∑的一般项不趋于0，于是判断1n n a ∞=∑发散。
可是如果给定的正项级数1n n a ∞=∑虽然发散，但一般项趋于0。
这时，达朗贝尔判别法对1n n a ∞=∑也无能为力。
例如：11n n∞=∑。
综上所述，凡是比任何收敛的等比级数收敛的速度都慢的收敛的正项级数，以及一般项趋于0的发散的正项级数，都不能用达朗贝尔判别法及其极限形式来判断其收敛或发散。
可见，用达朗贝尔判别法、柯西判别法来判定级数收敛时，都受到几何级数收敛速度的严格限制。
再分析拉贝判别法的证明过程，不难发现是用广义调和级数11pn n∞=∑（p>0）来作为比较级数。
对于任何01q <<及任何1p >，考虑1n p n aq n ∞=∑11(1)lim lim n pn n p n n na aq n a aq n ++→∞→∞+= 1lim (1)p n q n→∞=+1q =<∴1n p n aq n ∞=∑收敛∴lim 0n p n aq n →∞=即:lim01nn paq n →∞= 可见任何收敛的11p n n∞=∑（1p >）的一般项比任何收敛的1n n aq ∞=∑（01q <<）的一般项在趋于0时要慢得多。
此外，对于01p <≤，广义调和级数虽然发散，但它的一般项1pn 却趋于0。
如果设n μ∑、n v ∑是满足定理2中（3）式的两个收敛级数，由前面定理1、2容易知道，对于任何正项级数n a ∑，如果用n μ∑作标准能判定它收敛，那么用n v ∑作标准时也一定能判定它收敛。
但反过来则不一定。
5．几项正项级数收敛速度的比较另外我们又知道，正项级数敛散性判别法中著名的比值判别法、拉贝判别法、高斯判别法实际正是分别以下列级数1nn r ∞=∑，11p n n∞=∑，21(ln )qn n n ∞=∑（0,>q p ）（1） 作为比较标准由比较原则导出的，现在利用上述后两种定义证明下面结论：当（1）中三类级数都收敛时，在收敛速度上是后一个总比前一个慢。
命题一 设1,10><<p r ，则p 级数11p n n ∞=∑总比几何级数1n n r ∞=∑收敛得慢。
证明：（利用定义3）设n n a r =，1n p b n=则1lim lim ()pn n n n na nb r -→∞→∞= 为求上式右边极限，可先求相应连续变量∞→x 时的极限，而利用洛必达法则不难求得该极限值为0，从而0lim =∞→b a nn n ，由定义3，命题得证。
命题二 设0,>q p ，则级数21(ln )q n n n ∞=∑总比级数11pn n∞=∑收敛得慢。
证法1：（利用定义3）设1n pb n =，1(ln n qc n n =）， 显然只需就1>>p q 情形证明，先设N q +∈，于是n (ln )lim lim qn p n nb n nc n →∞→∞=1(ln )lim q p n n n -→∞= 与以上类似，先求x →∞时极限，应用洛必达法则q 次得∴当N q +∈时，有n lim0nnb c →∞= 1112(ln )(ln )lim lim (1)q q p p x x x q x x x p x ----→∞→∞=- 11(l n )l i m 1q p x q x p x --→∞=- = (1)!1lim (1)q p x q p x-→∞=-0=如果q>p>1,而N q +∈，则利用刚才证明的结论，此时有[]111n (ln )(ln )0lim lim lim 0q q n p p n n nb n nc n n +--→∞→∞→∞≤=<= 同样可得n lim0nnb c →∞=，因此由定义3，命题2成立。
证法2 （利用定义5）设1n pb n =，1(ln )nq c n n = 要证对任意的p>1及q>1，当n 充分大时总有11n n n nb c b c ++≤ 也即证明(ln )(1)(1)[ln(1)]p qp qn n n n n n ≤+++或证明[]1ln ln(1)ln ln ln(1)ln p n n n n q-+-≤+- （2） 为此设()ln ln f x x =，()ln g x x =（2x ≥）对()f x 和()g x 在区间[],1n n +（2n ≥）上应用柯西中值定理得l n l n (1)l n l n ()((,1))l n (1)l n ()n n f n n n n g ξξξ'+-=∈+'+- 1ln ξ=1ln n≤因此只要11ln p n q -≤，即当1exp p n q-≥时就有（2）式成立，从而由定义5，命题2得证。