数学物理方程1 电子科技大学 李明奇

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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
细金属丝的质量
f(x) O xi f(x) O x x+dx L x
ξi
xi+1+△xi L x
f ( )x
i 1 i
n
i

L
0
f ( x )dx
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
u Q Q—热量;u—温度;κ—热导率 n
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
数学上的方程表示。 如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）, 这种方程称为 常微分方程；如果微分方程涉及多因素(多个自变量),这时 方程中出现的导数是偏导数,相应的方程称为偏微分方程。
单摆: = (t)
d 2 a sin 0 2 dt
弦振动:u=u(x,t )

u 2 u a 2 2 t x
2 2
5
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
1 0 .5 n 0 0 .5 1 2 1 .5 t 1 0 .5 0 0 0 .2 0 .4 x 0 .6 0 .8 1
积分公式

p ( x, y )dx q( x, y )dy [ qx ( x, y ) p y ( x, y )]dxdy
D
Green（Green）公式
L
斯托克斯（Strokes）公式
dydz dzdx dxdy

L
p ( x, y, z )dx q( x, y, z )dy r ( x, y, z )dz
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
9. Bessel 方程
x 2 y xy ( x 2 2 ) y 0
1 J0(x) J1(x) 0.5 J2(x) J 0
0.50
2
4
6
8
10 x
12
14
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
数理方程与特殊函数
数学科学学院
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
《数学物理方程》
作者: 李明奇、田太心 购买地点：教材科
2 u u grad u u u 0 ( A) 0 A A A




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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
S
x p
y q
z r

L
A dr ( A) ds
S
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
高斯（Gauss）公式
p( x, y, z )dydz q( x, y, z )dzdx r ( x, y, z )dxdy ( p
2
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
课程的背景 课程的基本要求 常微分方程 积分方程 积分公式 常用算子
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物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中,需 要研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。这种关系在 数学上体现为函数关系。 例如,在弹道设计中求导弹飞行过程中某时刻的飞行路程 S(t)、飞行高度H(t)、速度v(t)。 物理学中的大量定律和性质。 1. 牛顿第二定律: F = m a a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量 2. Fourier热传导定律:
1 0 .5 n 0 0 .5 1 2 1 .5 t 1 0 .5 0 0 0 .2 0 .4 x 0 .6 0 .8 1
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
对于n阶常微分方程的解，通解中带有n个任意常数，例如一 阶常微分方程y’=f(x)
, , x y z
2 2 2 2 2 2 x y z
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
grad u u div A A rot A A
5. 可降阶的二阶微分方程：
y f ( x, y )
y f ( y , y )
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
பைடு நூலகம்
线性微分方程
y
(n)
a1 ( x ) y
( n 1)
a2 ( x ) y
2
输运过程——扩散方程、热传导方程
ut a u xx
2
稳定过程（平衡状态）——拉普拉斯方程
u xx +u yy u zz 0
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
常微分方程
1. 可分离变量的一阶微分方程。
f ( x ) dx g ( y ) dy
微分中值定理
f (b) f (a) f ( )(b a)
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2. 齐次方程基本形式为：
dy y f( ) dx x
3. 一阶线性微分方程基本形式为：
y p( x) y q( x)
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
4. 贝努里方程：
n y p( x) y q( x) y
导数符号的注记
2u x 2
u xx
u x
ux
u 2 t
2
utt
导数的几何意义
u ( x x, t ) u ( x, t ) u x ( x, t ) lim x 0 x
u tan x
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
( n 2)
an 1 ( x) y an ( x) y f ( x)
y ( n ) a1 ( x) y ( n 1) a2 ( x) y ( n 2) an 1 ( x ) y an ( x) y 0
y ( n ) a1 y ( n 1) a2 y ( n 2) an 1 y an y 0
薄金属片的质量
y y2( x )
D
y y1 ( x )
a
b
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
铅球的质量
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
10.勒让德方程
(1 x 2 ) y 2 xy n(n 1) y 0, x [1,1]
4 3.5 3 2.5 pn(x) 2 n=0 n=1 n=2 n=3
S V
x
q y rz )dxdydz
A ds Adv div Adv
S V V
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
常用算子
Df ( x ) f ( x )
y f (t )dt C
x0
x
偏微分方程
2u f ( x, y ) xy
y y0
解可以表示为
u ( x, y )

x
x0
f ( , ) d d w( x) v( y )
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本书主要讨论的物理过程分为三类： 振动与波（机械的，电磁的）——波动方程
utt a u xx
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1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
8.欧拉（Euler）方程
x n y ( n ) p1 x n 1 y ( n 1) pn 1 xy pn y f ( x)
xe
n k 0
t
t p D ( D 1) ( D k + 1) y f ( e ) nk
1.5 1 0.5 0 0.5 0 0.2 0.4
0.6 x
0.8
1
1.2
1.4
14
1 0.5 n 0 0.5 1 2 1.5 t 1 0.5 0 0 0.2 0.4 x 0.6 0.8 1
常见积分形式及物理意义
不定积分 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分：第一类曲线积分、第二类曲线积分 曲面积分：第一类曲面积分、第二类曲面积分 黎曼积分 勒贝格积分