中考数学热点分析-探索性问题

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中考数学探索性问题答题策略——以江苏省部分地市中考试题为例

２０２４年４月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀中考数学探索性问题答题策略以江苏省部分地市中考试题为例◉江苏省仪征市实验中学东区校㊀王小琪◉江苏省仪征市月塘中学㊀雷业红㊀㊀摘要:数学探索是一种重要的研究问题㊁解决问题的方法,也是人们探索和发现新知识的重要手段,有利于培养和发展创造思维能力．探索性问题已成为近年来中考数学的热点题型,本文中结合中考真题,对常见的几种探索性问题进行了归类㊁整合与解析,帮助学生熟悉探索性问题的答题策略,掌握解答的方法与技巧．关键词:规律探索型;条件探索型;结论探索型;存在性探索型;尝试性解答㊀㊀初中数学课程标准要求教师引导学生通过实践㊁思考㊁探索㊁交流,获得知识,形成技能,发展思维,学会学习 ,探索性题型正是为了适应加强对学生综合能力考查的新形势,在近年来中考数学试题中出现的一种新颖的题型．探索性问题的解答过程本身就是一个探索㊁发现的过程,这一类问题对培养学生的创造性思维㊁想象能力㊁实践能力㊁探索创新能力有很大的帮助．１规律探索型解答规律探索类问题的策略是:运用化归思想,根据题目的设问方式,采用提出问题－分析问题－解决问题－深度思考逐步深入的模式分步解答;要善于从所提供的数字或图形信息中,寻求其内在的共同之处,找到这个存在于特殊之中的共性,也就找到了规律．例１㊀(２０２２年江苏省盐城市中考试题第２７题)ʌ发现问题ɔ小明在练习簿的横线上取点O为圆心,相邻横线的间距为半径画圆,然后半径依次增加一个间距画同心圆,描出了同心圆与横线的一些交点,如图１所示,他发现这些点的位置有一定的规律．ʌ提出问题ɔ小明通过观察,提出猜想:按此步骤继续画圆描点,所描的点都在某二次函数图象上．ʌ分析问题ɔ小明利用已学知识和经验,以圆心O 为原点,过点O的横线所在直线为x轴,过点O且垂直于横线的直线为y轴,相邻横线的间距为一个单位长度,建立平面直角坐标系,如图２所示．当所描的点在半径为５的同心圆上时,其坐标为．ʌ解决问题ɔ请帮助小明验证他的猜想是否成立．ʌ深度思考ɔ小明继续思考:设点P(０,m),m为正整数,以O P为直径画☉M,是否存在所描的点在☉M上?若存在,求m的值;若不存在,说明理由．图１㊀㊀㊀图２解析:对于分析问题 ,根据题意可知,所描的点在半径为５的同心圆上时,其纵坐标为y＝５－１＝４,横坐标x＝ʃ５２－４２＝ʃ３,所以点的坐标为(－３,４)或(３,４)．对于解决问题 ,设所描的点在半径为n(n为正整数)的同心圆上,则该点的纵坐标为(n－１),横坐标为ʃn２－(n－１)２＝ʃ２n－１,所以该点的坐标为(－２n－１,n－１)或(２n－１,n－１)．因为(ʃ２n－１)２＝２n－１,又n－１＝２n－１－１２,所以该点在二次函数y＝１２(x２－１),即y＝１２x２－１２的图象上．故小明的猜想正确．对于深度思考 ,假设该点在第二象限,坐标为(－２n－１,n－１),☉M的圆心坐标为(０,１２m),所以由(ʃ２n－１－０)２＋(n－１－１２m)２＝１２m解得m＝n２n－１＝(n－１＋１)２n－１＝(n－１)２＋２(n－１)＋１n－１＝n－１＋２＋１n－１．又因为m,n均为正整数,所以n－１＝１,于是m＝１＋２＋１＝４．７４学习指导２０２４年４月下半月㊀㊀㊀故存在所描的点在☉M 上,m 的值为４．思路与方法:本题考查了勾股定理㊁二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系等知识．在分析问题中,根据题意可得知该点的纵坐标为４,再利用勾股定理,即可求出该点的横坐标;在解决问题这一步中,设所描的点在半径为n (n 为正整数)的同心圆上,即可推知该点的纵坐标为(n －１),利用勾股定理又可得出该点的坐标为(－２n －１,n －１)或(２n －１,n －１),利用点横㊁纵坐标间的关系,可得出该点在二次函数y ＝１２x ２－１２的图象上,进而即可验证小明的猜想正确;在深度思考中,先假设该点的坐标为(－２n －１,n －１),再根据☉M 的圆心坐标,结合勾股定理,用含n 的代数式表示出m 的值,最后结合m 与n 均为正整数,即可求出m ,n 的值．２条件探索型解答条件探索类问题的策略是:从结论出发,逆向追索,补充使结论成立的条件,当然很可能满足结论的条件不唯一．这也正是开放性探索问题的一大特点．具体的解题方法因题而异,具有多样性,值得我们不断探索．例２㊀(２０２２年江苏省苏州市中考全真模拟试题第２７题)(１)ʌ问题提出ɔ苏科版«数学»九年级(上册)习题２．１有这样一道练习题:如图３①,B D ,C E 是әA B C 的高,M 是B C 的中点,点B ,C ,D ,E 是否在以点M 为圆心的同一个圆上?为什么?在解决此题时,若想要说明点B ,C ,D ,E 在以点M 为圆心的同一个圆上 ,在连接MD ,M E 的基础上,只需证明．图３(２)ʌ初步思考ɔ如图３②,B D ,C E 是锐角三角形A B C 的高,连接D E ,求证øA D E ＝øA B C ．小敏在解答此题时,利用了圆的内接四边形的对角互补进行证明．(请你根据小敏的思路完成证明过程．)(３)ʌ推广运用ɔ如图３③,B D ,C E ,A F 是锐角三角形A B C 的高,三条高的交点G 叫做әA B C 的垂心,连接D E ,E F ,F D ,求证:点G 是әD E F 的内心．解析:(１)根据圆的定义可知,当点B ,C ,D ,E 到点M 点距离相等时,则它们在圆M 上,所以只需证明M E ＝MD ＝M B ＝M C ．图４(２)如图４,取B C 的中点M ,连接M E ,MD ．由B D ,C E 是锐角三角形A B C的高,可知øB D C ＝øC E B ＝９０ʎ．在R t әB D C 中,因为M 是B C 的中点,所以MD ＝M B ＝M C ．同理,可得M E ＝M B ＝M C ．所以M B ＝M C ＝MD ＝M E ．故四边形B C D E 是☉M 的内接四边形．因此øE B C ＋øE D C ＝１８０ʎ．又øA D E ＋øE D C ＝１８０ʎ,所以øA D E ＝øE B C ,即øA D E ＝øA B C ．(３)证明:在圆M 的内接四边形B C D E 中,可知øC B D ＝øC E D ．在圆的内接四边形E F C A 中,øC A F ＝øC E F ．因为øC B D ＋øA C B ＝９０ʎ,øC A F ＋øA C B ＝９０ʎ,所以øC B D ＝øC A F ,则øC E D ＝øC E F ,即E G 平分øD E F ．同理,可知D G 平分øE D F ．所以点G 是әD E F 的内心．思路与方法:本题主要考查了有关三角形㊁圆的综合问题,熟练掌握三角形㊁圆的相关知识及证明方法是解题的关键．第(１)问根据圆的定义即可求解．第(２)问根据题意作图４,取B C 的中点M ,再连接M E ,MD ;首先求出øB D C ＝øC E B ＝９０ʎ,然后得出MD ＝M B ＝M C ＝M E ,即可证明四边形B C D E 是☉M 的内接四边形,进而求证即可．第(３)问,首先在圆的内接四边形B C D E 中,可知øC B D ＝øC E D ,在圆的内接四边形E F C A 中,可知øC A F ＝øC E F ,然后求出øC B D ＝øC A F ,即可得出øC E D ＝øC E F ,进而得出E G 平分øD E F ,同理D G 平分øE D F ,即可得证．３结论探索型解答结论探索类问题的策略是:采用执因索果的思路,从找原因开始,一步步顺推前进．由于解题思路和推导的角度不同,使得答案具有不确定性．图５例３㊀(２０２２年江苏省扬州市中考试题第２８题)如图５,在әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ,øC ＝６０ʎ,点D 在B C 边上由点C 向点B 运动(不与点B ,C 重合),过点D 作D E ʅA D ,交射线A B 于点E ．(１)分别探索以下两种特殊情形时线段A E 与８４２０２４年４月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀B E 的数量关系,并说明理由:①点E 在线段A B 的延长线上且B E ＝B D ;②点E 在线段A B 上且E B ＝E D ．(２)若A B ＝６．①当D E A D ＝３２时,求A E 的长;②直接写出运动过程中线段A E 长度的最小值．解析:(１)①如图５,因为在әA B C 中,øB A C ＝９０ʎ,øC ＝６０ʎ,所以øA B C ＝３０ʎ．又B E ＝B D ,所以øB D E ＝１２øA B C ＝１５ʎ．所以øB D A ＝９０ʎ－øB D E ＝９０ʎ－１５ʎ＝７５ʎ．在әA B D 中,øB A D ＝１８０ʎ－øA B D －øB D A ＝１８０ʎ－３０ʎ－７５ʎ＝７５ʎ,则øB A D ＝øB D A ＝７５ʎ,所以A B ＝B D ＝B E ．故A E ＝２B E ．图６②如图６,因为B E ＝D E ,所以øE B D ＝øE D B ＝３０ʎ,则øA E D ＝６０ʎ．所以在R tәA D E中,øE A D ＝３０ʎ,于是A E ＝２E D ．故A E ＝２B E ．图７(２)①如图７,分别过点A ,E作B C 的垂线,垂足分别为G ,H ,易知әE G D ʐәD H A (一线三垂直)．设D E ＝３a ,A D ＝２a ,则有A E ＝D E ２＋A D ２＝７a ,B E ＝６－７a ．在R t әA B C 中,øA B C ＝３０ʎ,A B ＝６,则A C ＝A B ３＝２３,B C ＝２A C ＝４３．在R t әB E G 中,øE B G ＝３０ʎ,B E ＝６－７a ,则E G ＝B E ２＝３－７２a ．在R t әAH C 中,øC ＝６０ʎ,A C ＝２３,则AH ＝３A C２＝３,DH ＝A D ２－AH ２＝４a ２－９．由әE G D ʐәDHA ,得E D A D ＝E G DH ,于是有３２＝３－７２a ４a ２－９,解得a １＝３７５,a ２＝－３７(舍)．故A E ＝７a ＝２１５．②当øE A D ＝３０ʎ时,A E 最小,且最小值为４．思路与方法:本题考查几何综合问题,涉及到特殊直角三角形㊁相似㊁等腰三角形等知识,有一定的难度;解题的思路与方法主要体现在,能够根据题意作出图７,通过添加辅助线构造一线三垂直 ,运用三角形的相似性质来解决问题．４存在性探索型解答存在性探索类问题的策略是:先假设所探索的对象成立(即存在),再结合题设和已学过的知识进行计算㊁推理与判断．如果推出的结果符合题目要求,就肯定了存在性;如果推出的结果与题目条件或有关结论矛盾,这样就否定了存在性．图８例４㊀(２０２２年江苏省苏州市中考试题第２７题)如图８,在әA B C 中,øA C B ＝２øB ,C D 平分øA C B ,交A B 于点D ,DE ʊA C ,交B C 于点E ．(１)若D E ＝１,B D ＝３２,求B C 的长;(２)试探究A B A D －B ED E是否为定值．如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由．解析:(１)因为C D 平分øA C B ,所以øA C D ＝øD C B ＝１２øA C B ．又øA C B ＝２øB ,所以øA C D ＝øD C B ＝øB ．所以C D ＝B D ＝３２．又D E ʊA C ,则øA C D ＝øE D C ,所以øE D C ＝øD C B ＝øB ．所以C E ＝D E ＝１,әC E D ʐәC D B ．所以C E C D ＝C D C B ,则B C ＝９４．(２)因为D E ʊA C ,所以A B A D ＝B CC E ．由(１)可得C E ＝D E ,于是A B A D ＝B CD E．所以A B A D －B E D E ＝B C D E －B E D E ＝C E D E ＝１．故A B A D －B E D E 是定值,且定值为１．思路与方法:本题考查了相似三角形的性质与判定．第(１)问,先证明әC E D ʐәC D B ,再根据相似三角形的性质即可求解;第(２)问,由D E ʊA C ,可得A BA D＝B C D E ,由第(１)问可得C E ＝D E ,通过计算A B A D －B ED E ＝１可得证．由上述几类探索性问题的解答可知,解答探索性问题的思路与策略是:首先认真审题,在深刻理解题意的基础上,针对不同的题型,从不同的侧面㊁不同的角度,理清条件和结论之间㊁图形特征与数式特征之间的关系,然后运用观察㊁比较㊁类比㊁联想㊁猜想㊁证明㊁计算㊁推断等多种具体方法,进行尝试性解答．Z９４。

中考数学探索性问题的解法.doc

L_J 中考数学探索性问题的解法随着应试教育向素质教育的转轨，加强对学生各方面能力考察的题目成了近年来各省市中考试题中的热门问题，探索性问题便是其中一类应运血生的新题型, 这•类问题对培养学生的创造性思维、想象能力和探索能力有很大帮助。

探索性问题又可分为结论探索型和存在探索型两种。

一、结论探索型问题此类题型一般是在给定题设条件下探求结论，它要求学生在对题设条件或图形认真分析的基础上，进行归纳，大胆猜想，然后通过推理、计算获得结论。

例1、长方形的周长为24cm,面积为64cm2,则这样的长方体（）（A）有一个（B）有二个（C）有无数个（D）不存在a +b = 12解：设长方体的长为d,宽为b,贝U、址' = 64a> b可视为X2—12x+64=0的两个根•/ △二（一12） 2-4 X 64 = 144-256V0・.・该方程无实根即a、b不存在，因此选（D）a例2、在宽为a的纸带中剪出直径为a的圆5个，直径为5的圆10个，排列方法如图1,计算所用纸带长度，请考虑能否再设计一种排列方法，使所用纸带的长度比原排列方法节省原材料？ffll图2买•恩•收瓦潟暴圈3分析：通过图1观察易发现图中虚线部分具有典型性，为计算方便，取具有典型的部分（图2）进行分析，计算出结果。

易知，在等腰三角形ABC中，BC边上的高为AD,..a V2 a 今27+ 2 龙4 = 4a + — + — a 十一+ 2a = - a..•原排列方法使用纸带长为 2 2 4 4通过计算启发我们，如果把小圆分别插到大圆中，采用如下的排列方法，（如图3）这时纸带长为,a , 72 ° a ,3 ,9」、 3+18>/23 2 24 4 244- A = （6-4很）a a 0.344a可见改进后的排列方法比较合理例3、如图6、有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的顶点A、B、C、D同时出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向点B、C、D、A移动。

中考数学专题复习5：探索性问题

中考数学专题复习5：探索性问题Ⅰ、综合问题精讲：探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、一次函数与二次函数解析式的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、相似三角形、解直角三角形等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力． Ⅱ、典型例题剖析【例1】（2005，临沂）如图2－6－1，已知抛物线的顶点为A(O ，1)，矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B(0，2)，且其面积为8．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图2－6－2，若P 点为抛物线上不同于A 的一点，连结PB 并延长交抛物线于点Q ，过点P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为S 、R ．①求证：PB ＝PS ； ②判断△SBR 的形状；③试探索在线段SR 上是否存在点M ，使得以点P 、S 、M 为顶点的三角形和以点Q 、R 、M 为顶点的三角形相似，若存在，请找出M 点的位置；若不存在，请说明理由． ⑴解：方法一：∵B 点坐标为(0，2)，∴OB＝2， ∵矩形CDEF 面积为8，∴CF=4.∴C 点坐标为(一2，2)．F 点坐标为(2，2)。

中考数学专题--探索性问题

AB 此时 A B > B C , k= BC > 1;
当△B G F 为直角三角形时, ∠B G F = 90°, ∴∠B A C = 45°. 此时 A B
AB = BC , k= BC = 1;
当△B G F 为钝角三角形时, ∠B G F > 90°, ∴∠B A C > 45°,
AB 此时 A B < B C , k= BC < 1,
1.(随州)如图,点 F,B,E,C 在同一直线上,并且 BF=CE,∠ABC=∠DEF.能否由上面的已知条件证明△ABC≌△DEF?如果能,请给出证明;如果不能,请从下列三个条件中选择一个合适的条件,添加到已知条件中,使△ABC≌△DEF,并给出证明. 提供的三个条件是①AB=DE;②AC=DF;③AC∥DF.
专题考点 01 条件探索问题
条件探索型是指所给问题中的结论明确,需要完备条件的题目类型.其解题基本思路类似于分析法,假设结论成立,逐步探索其成立的条件;或把可能产生的条件一一列出,逐个分析考查,多采用逆向思维方式.
例
(新疆)如图,▱ABCD 中,点 O 是 AC 与 BD 的交点,过点 O 的直线与 BA,DC
∴0< k< 1.
2.(福州中考)我们知道,经过原点的抛物线的解析式可以是 y=ax2+bx(a≠0). (1)对于这样的抛物线: 当顶点坐标为(1,1)时,a= ; ;
当顶点坐标为(m,m),m≠0 时,a 与 m 之间的关系式是
(2)继续探究,如果 b≠0,且过原点的抛物线顶点在直线 y=kx(k≠0)上,请用含 k 的代数式表示 b;
( 2) 连接 E C , AF, 则 E F 与 A C 满足 E F = A C 时, 四边形 A E C F 是矩形, 理由如下: 由( 1) 可知△A O E ≌△C O F , ∴O E = O F . ∵A O = C O , ∴四边形 A E C F 是平行四边形, ∵E F = A C , ∴四边形 A E C F 是矩形.

中考数学复习考点解密第三讲规律探索性问题.docx

中考数学复习考点解密第三讲规律探索性问题【专题诠释】规律探索型题是根据已知条件或题T•所提供的若T•特例，通过观察、类比、归纳，发现题目所蕴含的数字或图形的本质规律与特征的一类探索性问题。

这类问题在素材的选取、文字的表述、题型的设计等方面都比较新颖新。

其目的是考查学生收集、分析数据，处理信息的能力。

所以规律探索型问题备受命题专家的青睞，逐渐成为中考数学的热门考题。

|【解题策略】I规律探索型问题是指在一定条件下，探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的数、式子、图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律.【解法精讲】它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考察了学生的分析、解决问题能力，观察、联想、归纳能力，以及探究能力和创新能力.题型可涉及填空、选择或解答.【考点精讲】考点一:通常根据给定一列数字、代数式、等式或者不等式，然后写出其中蕴含的一般规律，一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过比较各式子中相同的部分和不同的部分，找出各部分的特征，改写成要求的规律的形式。

例1. (2017内江)观察下列等式：第个筹式：=U3X2+2X 22 2+1 ~22H第二个等式："l+SX 2^2X(22)2 *22*1 23H第三个等式： 1 1a323^2X(23)2 *23*1 24H第四个等式：24 1 1^H-SX "z4+l 2®H按上述规律，回答下列问题：（2）用含n 的代数式表示第n 个等式:喩E f 宁云（3）时葩+斫（得出最简结果）;(4)计算：ai+a 2+•••+a n .【考点】37：规律型：数字的变化类.【分析】（1）根据已知4个等式可得;利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得;【解答】解：⑴rh 题意知，斫看走而产丙_尹亍(2) 根据已知等式得出答案;(3) (4) 根据己知等式规律，列项相消求解可得.故答案为： -------- 3 --------- g~ R3X 2%2X(2B ) 27+12n 1 [l«x 2n t2X (211)2 2n H 2^+1乂合杀为 H3X 2tt t2X(2n )2 2n +l 2^1+1（3）原式二莎林応_ 1 _1_14故答案为：孕*;22H * 22+1 23+l * 2j +l 24+l * 24+l 2B 41 ' 2B +1⑷原式二页_ 1 1 2H2n +l2叫23（2^+1）考点二；点阵变化规律在这类有关点阵规律中，我们需要根据点的个数，确定下一个图中哪些部分发生了变化, 变化的的规律是什么，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点.例2：（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P （x, y）经过某种变换后得到点P' （・y+l, x+2）,我们把点P'（・y+l, x+2）叫做点P （x, y）的终结点.己知点Pi的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4,这样依次得到P】、P2、卩3、P"…几、…，若点Pl的坐标为（2, 0）,则点P2曲的坐标为（2, 0）.【考点】D2：规律型：点的坐标.【分析】求得点P2、P3、Pl. P5的值，即可发现其中规律，即可解题.【解答】解：B坐标为（2, 0）,则P2坐标为（1, 4）, P3坐标为（-3, 3）, Pl坐标为（-2,・1）,巳坐标为（2, 0）,・•・代的坐标为（2, 0）, （1, 4）,（・3, 3）,（・2,・1）循环，72017=2016+1=4X504+1,A P201?坐标与Pl点重合，故答案为（2, 0）.考点三：图形生长变化规律探索图形生长的变化规律的题目常受到小考命题人的青睐，其原因是简单、直观、易懂. 从一些基本图形开始，按照生长的规律，变化出一系列有趣而美丽的图形.因此也引起了应试人的兴趣,努力揭示内在的奥秘，从而使问题规律清晰，易于找出它的一般性结论.例3 （2017山东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线1的函数表达式为尸x,点E的坐标为（1, 0）,以。

例析中考中探索性问题

例析中考中探索性问题索性试题是近几年来中考比较常见的开放型试题，也是中考数学试题中出现的一种新题型。

今后的中考数学试题中必将继续出现这种题型，而且在质量上也会上一个新台阶。

一. 常见的问题的类型：1. 条件探索型——结论明确，而需探索发现使结论成立的条件的题目。

2. 结论探索型——给定条件，但无明确结论或结论不惟一。

3. 存在探索型——在一定条件下，需探索发现某种数学关系是否存在。

4. 规律探索型——发现数学对象所具有的规律性与不变性的题目。

二. 常用的解题切入点：1. 利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置）进行归纳、概括，从而得出规律。

2. 反演推理法(反证法)，即假设结论成立，根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4、类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、探索性问题归纳有四种题型:1、探索题设下的图形或数量之间的关系;2、探索解决问题的方法;3、探索图形具备某性质或关系的条件或结论;4、探索改变题设条件后结论是否变化.四、知识运用举例（一）条件探索型例1．（呼和浩特市中考）在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E F G H ，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 填加一个条件，使四边形EFGH 成为一个菱形．这个条件是__ ．解：AC BD =或四边形ABCD 是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以）。

例2（荆门市中考）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．（1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_____________________．（2）如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．（3）在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为菱形，其理由是____________________________．(图3、图4用于探究)解：（1）是，此时AD BC ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（2）是，在平移过程中，始终保持AB C 1D 1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（3）33，此时∠ABC 1＝90°，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 3，此时点D 与点B 1重合，AC 1⊥BD 1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．（二）结论探索型例1 （北京市中考）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠．请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．解：（1）回答正确的给1分（如平行四边形、等腰梯形等）．（2）答：与A ∠相等的角是BOD ∠（或COE ∠）．四边形DBCE 是等对边四边形．（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE ．证法一：如图1，作CG BE ⊥于G 点，作BF CD ⊥交CD 延长线于F 点．∵ 12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边，∴BCF CBG △≌△． ∴ BF CG =．∵ BDF ABE EBC DCB ∠=∠+∠+∠，BEC ABE A ∠=∠+∠，A BD E FG HCC ADBC AD BD 1B 1C ADB30︒30︒BDA C BO A DEC BOAD E C F图1G∴ BDF BEC ∠=∠．可证BDF CEG △≌△．∴ BD CE =．所以四边形DBCE 是等边四边形．证法二：如图2，以C 为顶点作FCB DBC ∠=∠，CF 交BE 于F 点．∵12DCB EBC A ∠=∠=∠，BC 为公共边， ∴ BDC CFB △≌△．∴ BD CF =，BDC CFB ∠=∠． ∴ ADCCFE ∠=∠．∵ADC DCB EBC ABE ∠=∠+∠+∠， FEC A ABE ∠=∠+∠，∴ ADC FEC ∠=∠．∴ FEC CFE ∠=∠． ∴ CF CE =． ∴BD CE =． ∴ 四边形DBCE 是等边四边形．说明：在结论探索题中，常见的一类就是探索存在性的问题，这类问题的特点是探求命题的结论是否存在。

中考数学探索性问题简析

中考数学探索性问题简析锦州市第八中学陈树海一、规律探索问题【简要分析】规律探索问题是根据已知条件或所提供的若干个特例，通过观察、类比、归纳、揭示和发现题目所蕴含的本质规律与特征的一类探索性问题．【典型考题例析】例1 观察下列各式：1×3=12＋2×1；2×4=22＋2×2；3×5=32＋2×3；……请你将猜想到的规律用自然数年n(n≥1)表示出来：.（2005年陕西省中考题）分析与解答观察比较以上各等式知，等式左端是两个因数的乘积，前一个因数依次是1、2、3、……，后一个因数依次是3、4、5、……，它们都是连续的，且后一个因数比前一个因数均大2；等式右端是两项的和，前一个加数依次为12、22、32、……，后一个加数依次是连续自然数的2倍，因而猜想到的规律用自然n(n≥1)表示为n(n+2)=n2+2n．例2 观察下列数表：1 2 3 4 (1)2 3 4 5 (2)3 4 5 6 (3)4 5 6 7 (4)┇ ┇ ┇┇第第第第1 2 3 4列列列列根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列交叉点上的数应为．第n行（n为正整数）与第n列交叉点上的数应为．（2005年北京市丰台区中考题）分析与解答本例属于数字规律的探索问题．经观察，本数表是一个n×n型表，每一行的第1个数字就是该行的序数，后面的第2、3、……、n个数为自然数递增的顺序排列．第n行与第n列的交叉点上的数就是第n行的第n个数．据此，第6行与第6列的交叉点上的数就是第6行的第6个数，即6＋5=11．第n行的第n个数为n ＋(n-1)=2n-1.例3 用同样大小的黑、白两种颜色的棋子摆设如图2-2-1所示的正方形图案．则第n个图案需要用白色棋子枚．（用含有n的代数式表示）（2005年广东省茂名市中考题）分析与解答根据图形提供的信息探索规律，是近几年较流行的一种探索规律型问题.解决这尖问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．很显然，第1个正方形图案有棋子共32=9枚，其中黑色棋子有12=1枚，白色棋子有（32－12）枚；第2个正方形图案有棋子共42=16枚，其中黑色棋子有22=4枚，白色棋子有（42－22）枚；…由此可猜出想第n个图案的白色棋子数为（n＋2）2－n2=4(n＋1).【提高训练】1.观察下列各式，探索发现规律：1×3=3=22－1；3×5=15=42－1；5×7=35=62－1；7×9=63=82－1；9×11=99=102－1；…用含正整数n的等式表示你所发现的规律为．（2005年山东菏泽市中考题）2．图2-2-2是用积木摆放的一组图案，观察图形并探索：第5个图案中共有块积木．第n个图形共有块积木．（2005年内蒙古呼和浩特市中考题）3．观察下列各式：,…请你将猜想到的规律用含自然数n （n≥1）的代数式表示出来是．（2004年山西省中考题）4．观察下列图形（每个正方形的边长均为1）和相应等式，探索其中的规律：①←→②←→③←→④←→……………………（1）写出第五个等式，并在下面给出的五个正方形上画出与之对应的图示：（2）猜想并写第n个图形相对应的等式．（2005年河北省中考题）【提高训练答案】1．2．n23．4．（1），图示略；（2）二、结论探索问题【简要分析】结论探索问题是指仅给出某种情境而没有明确指出结论，需要解题者去探索符合条件的一类试题．这类探索问题的设问常以适合某种条件的结论“成立”、“不成立”、“是否成立”等语句加以表述，或直接问“有何结论”等．它与传统题的区别在于：探索问题的结论往往也是解题过程．【典型考题例析】例1 如图①，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD，垂足为D．(1)求证：AC2=AB·AD；(2)若将直线CD向上平移，交⊙O于C1、C2两点，其他条件不变，可得到图②所示的图形，试探索AC1、AC2、AB、AD之间的关系，并说明理由；(3)把直线C1D继续向上平移，使弦C1C2与直径AB相交（交点不与A、B重合），其他条件不变，请你在图③中画出变化后的图形，标好字母，并试着写与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明．（2005年内蒙古呼和浩特市中考题）分析与解答第（1）题，连结BC，证明△ACD∽△ABC；第（2）题，探索AC1、AC2、AB、AD所在的两个三角形是否与（1）中有类似的相似；第（3）题的关键是在图③中正确画出图形．（1）连结BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900．∵AD⊥CD，∴∠ADC=900．∴∠ACB=∠ADC.∵CD切⊙O于C，可证∠ACD＝∠ABC.∴△ACD∽△ABC．∴．∴AC2＝AB·AD．（2）关系式：AC1·AC2＝AB·AD．理由：连结BC1、AC2．∵四边形ABC1C2是圆内接四边形，∴可证∠AC2D∠B．同（1）有∠ADC2=∠AC1B，∴△ADC2∽△AC1B.∴，即AC1·AC2＝AB·AD．（3）如图③，结论：AC1·AC2＝AB·AD．．理由：连结BC1、AC2．同（1）有∠ADC2=∠AC1B．又∵∠AC2D=∠B，∴△ADC2∽△AC1B．∴，即AC1·AC2＝AB·AD．说明：本题是一道典型的结论探索题，题中设计的三个问题从特殊到一般，客观地反映了思维的渐进过程．解题的关键是先用常规方法证明第（1）小题的结论，然后第（2）、（3）小题仿照第（1）小题的方法连结及AC2去探索结论并给出证明．例2 如图①，已知E、F为平行四边形ABCD对角线DB的三等分点，连结AE并延长交DC于P，连结PF并延长交AB于Q．（1）在图②的备用图中，画出满足上述条件的图形，试用刻度尺在图①、图②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：由上表可猜测AQ、BQ间的关系是．（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD），其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）（2005年浙江省绍兴市中考题）分析与解答本题是一道集操作、测量、猜想、证明于一体的结论开放性试题．解答本题的关键是准确进行测量，然后根据测量的结果合理、正确地猜想．(1)填表格略．猜测：AQ=3BQ．(2)成立．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴△PDF∽△QBF．∴．∵E、F为BD的三等分点，∴DP：BQ=2．同理AB：PD=2．∴AB：BQ=4．∴AQ：BQ=3，即AQ=3BQ．(3)成立.【提高训练】1．如图①，已知AC、AB是⊙O的弦，AB>AC．（1）在图①中，能否在AB上确定一点E，使得AC2=AE·AB？为什么？（2）在图②中在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系，并说明理由．（2005年甘肃省中考题）2.已知矩形ABCD和点P，当点P在图①中的位置时，则有结论：S△PBC＝S△PAC＋S△PCD.理由：过点P作EF⊥BC，分别交AD、BC于E、F两点.∵，又∵，∴S△PBC+S△PAD=S△PAC+S△PCD+S PAD.∴S△PBC=S△PAC+S△PCD.请你参照上述信息，当点P分别在图②、图③中的位置时，S△PBC、S△PAC、S△PCD又有怎样的数量关系？请写出你对上述两种情况的猜想，并选择其中一种情况的猜想给予证明.（2005年黑龙江省中考题）3．已知A为⊙O上一点，B为⊙A与OA的交点，⊙A与⊙O的半径分别为r、R，且r＜R．（1）如图①，过点B作⊙A的切线与⊙O交于M、N两点.求证：AM·AN＝2Rr；（2）如图②，若⊙A与⊙O的交点为E、F，C是上任意一点，过点C作⊙A的切线与⊙O交于P、Q两点，试问AP·AQ=2Rr是否成立？并证明你的结论．（2004年天津市中考题）【提高训练答案】1．（1）作法有多种，如在⊙O上取点D，使，连结CD交AB于点E，则有AC2=AE·AB，证明略（2）PB是⊙O的切线，连BO并延长交⊙O于F，证∠AFB=∠BEP=∠ABP，故∠PBO=9002．猜想结果：图②结论S△PBC＝S△PAC+S△PCD，图③结论S△PBC=S△PAC-S△PCD3．（1）延长AO与⊙O交于点D，连结DM.证明Rt△ABM∽Rt△AMD，由垂径定理得AM=AN，又AB=r，AD=2R，∴AM·AN＝2Rr（2）提示：延长AO与⊙O交于点D，连结DQ、AC.证Rt△ADQ∽Rt△APC.∵AD=2R，AC=r,，∴AP·AQ=2Rr（三）方案设计探索问题【简要分析】方案设计探索问题，指的是提出一个数学问题情况如几何图形或图案的设计，物长物高的测量等，要求考生按要求设计某种方案来解决问题的一类探索题．【典型考题例析】例1 请用几何图形“△”、“││”、“⌒”（一个三角形，两条平行线，一个半圆，如图2-2-14）作为构件，尽可能构思独特且有意义的图形，并写一两句帖切、诙谐的解说词．（至少两幅）．（2005年青海省湟中县中考题）分析与解答这是几何构件类方案设计题．解答这类问题无固定的模式可套，需要考生去探索、创新．现给出两个参考作案（如图2-2-15），请大家开动脑筋，再设计几幅出来．例2 在某居民小区的中心地带，留有一块长16m，宽12m的矩形空地，计划用于建造一个花圆，设计要求：花圆面积为空地面积的一半，且整体图案成轴对称图形．（1）小明的设计方案如图①所示，其中花园四周是人行道，且人行道的宽度都相等，你知道人行道的宽度是多少吗?，请通过计算，给予解答．（2）其实，设计的方案可以是多种多样的，请你按设计要求，另设计一种方案．（2005年广西钦州市中考题）分析与解答本例集计算、设计于一体，综合考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力．(1)设人行道宽为xm，根据题意，得.解之，得．人行道的宽度为2m.（2）符合要求的答案很多，如图②～⑤均可．其中图②中的花园是底边长为16M 的等腰三角形,图③中的花园是两边底长为8M的等腰三角形.图④中的花园是顶点分别是矩形中点的菱形,图⑤中的花园是上底与下底之和为16的等腰梯形．v例3已知：如图①，现有边长为a、边长为b的正方形纸片和宽为a、长为b 的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图痕迹），使拼出的图形面积为2a2+5ab+2b2，并标出此矩形的长和宽．（2005年江苏省盐城市中考题）分析与解答本题是一道实践操作的拼图设计题．解决这类问题我们应从图形的面积着手进行考虑，看看要拼成的矩形与已知正方形、矩形的面积有何倍数关系，然后尝试着进行拼图，下面给出两种拼法（如图②）供参考．例4 高为12.6米的教学楼ED前有一棵大树AB（如图①）．（1）某一时刻测得大树AB，教学楼ED在阳光下的投影长分别是BC=2．4米，DF=7．2米．求大树AB的高度；（2）用刻度尺、高为h米的测角仪，请你设计另一种测量大树AB高度的方案．要求：①在图②上，画出你设计的测量方案示意图，并将应测数据标记在图上（长度用字母m、n……表示，角度用希腊字母α、β……表示）；②根据你所画的示意图和标注的数据．计算大树AB的高度．（用字母表示）（2005年江苏省泰州市中考题）分析与解答本例属于相似三角形和解直角三角形应用类的方案设计问题．（1）连结AC、EF，则有AC∥EF，易得△ABC～△EDF，∴.∴.∴AB=4.2．故大树AB的高度为4．2米．（2）方案很多，下面提供两种设计方案供参考．方案1：如图③，MG＝BN＝m，AG＝m·tanα，∴AB＝（m·tanα＋h）米．方案2：如图④，MF＝NE＝m，AG＝,∴AB=(+h)米．【提高训练】1．在图的方格纸中设计一个轴对称图案．在这个图案中必须用到等腰三角形、正方形、圆三种基本图形．（2005年宁夏灵武市中考题）2．在一次数学探索活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分别割成四部分，使含有一组对项角的两个图形全等．（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有组．（2）请在如图的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线．（3）由上述实验操作过程，你发现所画的直线有什么规律？（2005年贵州省贵阳市中考题）3．如图①，A、B两点被池塘隔开，为测量AB两点的距离，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AB和BC的中点M、N，如果测行MN=20m，那么AB=2×20m=40m．（1）测AB距离也可由图②所示用三角形相似的知识来解决，请根据题意填空：延长AC到N，使，延长BC到M，使CM= ．则由相似三角形得AB= ．（2）测AB距离还可由三角形全等的知识来设计测量的方案，求出AB的长，请用上面类似的方法，在图③中画出图形，并叙述你的测量方案．（2005年辽宁省大连市中考题）4．阳光小区有一块正方形空地,设计用作休闲场地和绿化场地.如图①是小聪根据正方形空地完成的设计方案示意图(阴影部分为绿化场地),请你用圆规和直尺在同样的正方形内(图②、图③)，画出二种不同于小聪的设计方案示意图，使它们的绿化面积（用阴影表示）与图①中的绿化面相同（不要求写画法）（2005年湖北省孝感市中考题）．【提高训练答案】1．略2．(1)无数 (2)只要两条直线都过对角线的交点就行 (3)这两条直线过平行四边形的对称中心(或对角线的交点)3．(1) ，2MN (2)延长AC到D，使CD=AC，延长BC到E，使CE=BC，连结DE，则AB=DE4．设计方案图略．（四）存在性探索问题【简要分析】存在性探索问题是指在某种题设条件下，判断具有某种性质的数学对象是否存在的一类问题．解题的策略与方法是：先假设数学对象存在．以此为条件进行运算或推理，若无矛盾，说明假设正确．由此得出符合条件的数学对象存在；否则说明不存在．【典型考题例析】例1 已知：抛物线y=-(x-m)2+1与x轴相交于A、B（B在A的右边），与y轴的交点为C．当点B原点的右边，点C在原点的下方时，是否存在△BOC为等腰三角形的情形？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．分析与解答当y=0时，-(x-m)2+1=0，即有(x-m)2=1∴x1=m-1，x2=m+1.∴A(m-1,0),B(m+1,0)．∵点B在原点右边，∴OB=m+1.当x=0时，y=-m2+1，点C在原点下方，∴OC=m2-1．假如△BOC是等腰直角三角形,则有OB=OC．即m+1=m2-1．解之，得m1=2,m2=-1．当m=-1时，OC=m2-1，不符合题意，∴m=-1舍去．∴存在△BOC为等腰直角三角形，此时m=2．例2 如图2-2-33，已知O为坐标原点，∠AOB=300，∠AB O=900，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．（2005年四川省资阳市中考题）分析与解答（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=300，∴．过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则，∴点B的坐标为．（2）将A（2，0）、B、O（0，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c，得，解得．∴二次函数解板式为．（3）设存在点，使四边形ABCD面积最大．∵△OAB面积为定值，∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO就有最大面积．过点C作轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则.而.∴．∴当时，△OBC面积最大，最大面积为．此时，点C坐标为，四边形ABCD的面积为．【提高训练】1．如图，平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，项点C在y轴的负半轴上，，点P在线段OC上，且PO、PC的长（PO<PC）是方程x2-12x+27=0的两根．（1）求P点的坐标；（2）求AP的长；（3）在轴上是否存在点Q，使得以A、C、P、Q为项点的四边形是梯形？若存在，请直接写出直线PQ的解析式；若不存在，请说明理由．（2005年黑龙江省中考题）2．如图，已知两点A（-1，0）、B（4，0）在x轴上，以AB为直径的半圆P交y轴于点C．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）设AC的垂直平分线交OC于D，连结AD并延长AD交半圆P于点E，相等吗？请证明你的结论；（3）设点M为x轴负半轴上一点，，是否存在过点M的直线，使该直线与（1）中所得抛物线的两个交点到y轴的距离相等？若存在，求出这条直线对应函数的解析式；若不存在，请说明理由．（2005年甘肃省中考题）3．如图，已知二次函数y=ax2+2x+3的图象与轴交于点A、点B（点B在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，其项点为D，直线DC的函数关系式为y=kx+3，又tan∠OBC=1．（1）求a,k的值；（2）探究：在该二次函数的图象上是否存在点P（点P与B、C不重合），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（2005年广东省茂名中考题）【提高训练答案】1．（1）P（0，-3）（2）（3）存在，直线PQ的解析式为或2．（1）（2），证明略（3）不存在符合要求的直线.连BE，在Rt△AOD中，可得，由△AOD∽△AEB得AE=4．故点M的坐标为（-2，0）．设过点M的直线的解析式为y=kx+b，将点M的坐标代入得y=kx+2k，再代入抛物线方程得．由题意知此方程的两根互为相反数，故，这时方程无实数根.3．（1）a=-1,k=1 （2）二次函数y=-x2+2x+3的图象上存在点P（1，4）或P（-2，-5），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形．关闭窗口。

中考数学探索性问题的解法

中考数学探索性问题的解法随着应试教育向素质教育的转轨，加强对学生各方面能力考察的题目成了近年来各省市中考试题中的热门问题，探索性问题便是其中一类应运而生的新题型，这一类问题对培养学生的创造性思维、想象能力和探索能力有很大帮助。

探索性问题又可分为结论探索型和存在探索型两种。

1．长方形的周长为24cm ，面积为64cm 2，则这样的长方体（）（A ）有一个（B ）有二个（C ）有无数个（D ）不存在2．在宽为a 的纸带中剪出直径为a 的圆5个，直径为2a的圆10个，排列方法如图1，计算所用纸带长度，请考虑能否再设计一种排列方法，使所用纸带的长度比原排列方法节省原材料？3.如图6、有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 同时出发，沿着AB 、BC 、CD 、DA 以同样的速度向点B 、C 、D 、A 移动。

（1）证明四边形PQEF 是正方形；（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由；（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时其面积有最大值、最小值，各是多少？4.如图7，在直角坐标系中，点O′的坐标为（2，0），⊙O′与x 轴交于原点O 和点A ，又B 、C 、E 三点的坐标分别为（－1，0），（0，3），（0，b ），且0<B<3。

（1）求点A 的坐标和经过B 、C 两点的直线的解析式；（2）当点E 在线段OC 上移动时，直线BE 与⊙O′有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时，b 的取值范围。

二、存在探索型问题这类问题是在题设条件下探索相应的数学对象是否存在，它要求学生充分利用题设条件，通常是先在“假设对象存在”的前提下，根据条件下进行计算或推理，从而对“是否存在的数学对象”作出正确推断。

中考数学复习：专题7-6 例析相似三角形的探索性问题

专题06 例析相似三角形的探索性问题【专题综述】探索性问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，要求学生通过自己的观察、分析、比较、概括，得出结论，形成方法和思路的数学问题，这类题是考查学生分析问题和解决问题的重要题型，它可以分为三类：条件探索性问题、结论探索性问题、探索存在性问题.【方法解读】一.条件探索性问题条件探索性问题是指所给问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题目，这类问题大致分为两种类型：一是问题中的条件未知或不足需要探求，二是条件多余或有错，要求排除或修正.例1:如图,已知△ABC,P是AB边上的一点,连结CP.要使△APC∽△ACB,则应添加一个条件是_______.【举一反三】如图在△ABC中D是AB边上一点，连接CD，要使△ADC与△ABC相似，应添加的条件是 .二.结论探索性问题它是指题目结论不确定,不唯一,或题目结论需要通过类比引申推广,或题目给出特例,要通过归纳总结出一般结论.例2:已知:如图, △ABC中,点D、E分别在边AB、AC上,连结DE并延长交BC的延长线于点F,连结DC、BE.若∠BDE+∠BCE=180°.(1)写出图中三对相似三角形(注意:不得加字母和线);(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对,说明他们相似的理由.【举一反三】如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；(2)请分别说明两对三角形相似的理由．三.探索存在性问题存在性问题是指在一定的条件下,探索某种数学对象是否存在的问题.例3:如图,DE是△ABC的中位线,∠B=,900AF∥BC,在射线AF上是否存在一点M，使△MEC与△ADE相似?若存在,请先确定M,并说明这两个三角形为何相似?若不存在,请说明理由.【举一反三】已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB= 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B 重合），EP与BD相交于点O.（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当k = 1时，是；②当k = 2时，是；③当k = 3时，是 . 并证明．．．k = 2时的结论.【强化训练】1．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（）A ．AB AD ＝ACAEB ．AB AD ＝BCDEC ．∠B ＝∠DD ．∠C ＝∠AED2．如图,在矩形ABCD 中，E 、F 分别是D C 、BC 边上的点，且∠AEF =90°则下列结论正确的是（）。

例谈中考数学中的探索性问题

例谈中考数学中的探索性问题本文通过对近年来中考数学试卷中的探索性问题的初探，阐述了探索性、开放性的试题是培养学生创新精神和实践能力豹重点，让学生通过分析，从中发现规律，归纳结论，对学生收集和处理信息能力、创造性思维能力要求都很高，突出了对学生探索、归纳、推理能力的考查。

培养创新精神和实践能力是当前推进素质教育的重点，探索性、开放性的试题是考查这种能力的一种题型，这类题目是开放型的，充满生机，涉及知识面宽，综合性强，要求学生有扎实的基础知识和熟练的基本技能。

近年来，各省市中考数学命题都十分注重这类试题的设计，其数量和质量都逐年增加。

现将这类试题略加分类和评析。

1探索算式规律问题例1、(2009年长春市)用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n个图案中正三角形的个数为——(用含n的代数式表示)。

分析：这类题仅要求写出结果，并不要求写出推理过程。

解这类题是以深刻地观察、分析、归结其图案变化规律为基础的。

由已知的三个图案发现：正三角形的个数总是偶数个，而且逐渐多2个，于是得出第n个图案中正三角形的个数为2n+2．例2：(2009年济南市)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a，b)若规定以下三种变换：①f(a，b)=(-a，b)，如f(1，3)=(-1，3)②g(a，b)=(b，a)，如g(1，3)=(3，1)③h(a，b)=(-a，-b)，如h(1，3)=(-1，-3)按照以上变换有：f(g(2，-3))=f(-3，2)=(3，2)那么f(h(5，-3))等于A．(-5，-3)B．(5，3)C．(5，-3)D．(-5，3)分析：这类题考查学生的观察、分析能力，不同的字母表示不同的坐标，学生必须严格按照字母的变化规律逐层分析，才能够得到正确答案。

f(h(5，-3))必须明确先变换h(5，-3)=(-5，3)再变换f(-5，3)=(5，3)则选B2探索条件(或结论)的问题例3：(2010年昆明市)如图，点B、D、C、F在一条直线上，且BC=FD，AB=EF(1)请你只添加一个条件(不再加辅助线)，使△ABC≌△EFD 你添加的条件是．(2)添加了条件后，证明△ABC≌△EFD．分析：本题是一个简单的几何条件探索题，它突破了过去“假设一求证”的封闭式论证，而是给出问题的结论，逆求结论成立的条件，强化了对学生通过观察、分析、猜想、推理、判断等探索活动的要求。

中考数学二轮复习：探索性问题

中考数学二轮复习：探索性问题六．探索性问题一、探索性问题是指命题中缺少一定的题设或没有明确的结论,需要经过推断、补充、并加以证明的问题.其典型特点是不确定性.主要包括(1)条件探索型，(2)结论探索型，(3)存在性探索型等.条件探索型是指结论已明确，需要探索发现使结论成立的条件的题目；结论探索型是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目；而存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目。

探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注。

探索性问题解法，根据已知条件，从基础知识和基本数学思想方法出发，结合基本图形，抓住本质联系进行探究，常用观察、试验、联想、归纳、类比等方法，进行分析、归纳、猜想、比较、推理等，直到得出答案。

题目的答案也是多种多样的，有的题目有唯一解，有的题无解，也有的题要分几种情况讨论。

解结论探索型题的方法是由因导果；解条件探索型的方法是执果索因；解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论。

解题时应注意知识的综合运用。

二、理解掌握例一、已知：（如图）要使ΔABC∽ΔAPB，需要添加的条件是_____（只填一个）.(答案：∠ABP=∠C,或∠ABC=∠APC,或AB2=APAC)说明：该图是初二几何的基本图形，是解决其他问题的基础，应牢记。

例二、如图，☉O与☉O1外切于点T，AB为其外公切线，PT为内公切线，AB与PT相交于点P,根据图中所给出的已知条件及线段,请写出一个正确结论,并加以证明.(本题将按正确答案的难易程度评分)结论1: PA=PB=PT 结论2:AT⊥BT.(或AT2+BT2=AB2) 结论3: ∠BAT=∠TBO1 结论4: ∠OTA=∠PTB结论5:∠APT=∠BO1T 结论6:∠BPT=∠AOT结论7:ΔOAT∽ΔPBT 结论8:ΔAPT∽ΔBO1T 设OT=R, O1T=r, 结论9:PT2=Rr结论10: AB=2√Rr 结论11:S梯形AOO1B=(R+r)√Rr结论12:以AB为直径的☉P必定与直线OO1相切于T 点.说明：你还能得出其它的结论吗？试试看。

探索性问题

中考数学专题讲座探索性问题

中考数学专题讲座探索性问题概述：探索性题目一般作为压轴题或次压轴题出现，题目较难，难在结论不肯定，要通过探索证明或计算，得出结论，并给予肯定或否定回答：这种题目的结论有多样性，需要解题的周密考虑，解这种题目有两种方法：一种是假定结论成立，去证明它的可能性或存在性；另一种是从条件出发直接证明或计算回答存在或不存在．典型例题精析例1．如图1，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，•其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3．（1）如图2所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，•其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？（不必证明）（2）如图3所示，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，•其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别为S1、S2、S3表示，使S1、S2、S3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？并证明你的结论；（4）类比（1）、（2）、（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．S3S2S1图1BCABCAS3S2S1图2BCAS3S2S1图3解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c2=a2+b2．（1）S1=S2+S3；（2）S1=S2+S3，证明如下：显然：S12，S22，S32，∴S2+S3=4（a2+b2）=4c2=S1．（也可用三角形相似证明）（3）当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似，∴2221S aS c=，2321S bS c=，∴222321S S a bS c++==1，∴S1=S2+S3．（4）分别以直角三角形ABC的三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、•S3表示，则S1=S2+S3．例2．如图1，⊙O1和⊙O2外切于P，AB是⊙O1和⊙O2的公切线，A、B是切点，直线AP、BP分别交⊙O2，⊙O1于F、E．（1）求证：AE、BF分别为⊙O1、⊙O2的直径；（2）求证：AB2=AE·BF；（3）如图2，当图1中的切点P变为两圆一个交点时，结论AB2=AE·BF还成立吗？•若成立，请证明；若不成立，请说明理由．图1图2分析：（1）即证∠APE=∠BPF=90°，过P作二圆公切线，可证明．（2）证明△ABE∽△BFA可得．（3）同样可证△ABE∽△BFA．∴∠E=∠BAF，∠F=∠ABE．中考样题训练1．如图，在直角坐标系中，O是原点，A、B、•C•三点的坐标分别为A（18，0），B（18，6），C（8，6），四边形OABC是梯形，点P、Q同时从原点出发，分别作饼速运动，其中点P沿OA 向终点A 运动，速度为每秒1个单位，点Q 沿OC 、CB 向终点B 运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求出直线OC 的解析式及经过O 、A 、C 三点的抛物线的解析式．（2）试在（1）中的抛物线上找一点D ，使得以O 、A 、D 为顶点的三角形与△AOC 全等，请直接写出点D 的坐标．（3）设从出发起运动了t 秒，如果点Q 的速度为每秒2个单位，试写出点Q 的坐标，并写出此时t 的取值范围．（4）设从出发起，运动了t 秒钟，当P 、Q 两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC 周长的一半，这时，直线PQ 能否把梯形的面积也分成相等的两部分，如有可能，•请求出t 的值；如不可能，请说明理由．C(8,6)B(18,6)A(18,0)xOyQ P2．如图，⊙O 2与⊙O 1的弦BC 切于C 点，两圆的另一个交点为D ，动点A•在⊙O 1上，直线AD 与⊙O 2交于点E ，与直线BC 交于点F ．（1）如图1，当点A 在CD 上时，求证：①△FDC∽△FCE；②AB∥EC；（2）如图2，当点A在BD上时，是否仍有AB∥EC？请证明你的结论．3．如图，⊙A和⊙B是外离两圆，⊙A 半径长为2，⊙B的半径长为1，•AB=4，P为连结两圆圆心的线段AB上的一点，PC切⊙A于点C，PD切⊙B于点D．（1）若PC=PD，求PB的长；（2）试问线段AB上是否存在一点P，使PC+PD=4？如果存在，问这样的P点有几个；并求出PB的值；如果不存在，说明理由；（3）当点P在线段AB上运动到某处，使PC⊥PD时，就有△APC∽△PBD，请问：除上述情况外，当点P在线段AB上运动到何处（说明PB的长为多少；或PC、PD具有何种关系）•时，这两个三角形仍相似；并判断此时直线CP与⊙B的位置关系，证明你的结论．4．三月三，放风筝，图中是小明制作的风筝，他根据DE=DF，EH=FH，不用度量，就知道∠DEH=∠DFH．请你用所学知识给予证明．EDHF考前热身训练 1．填空题（1）观察下列等式，你会发现什么规律？ 3×5=15，而15=42-1， 5×7=35，而35=62-1，… 11×13=143，而143=122-1，…将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来_ ___________________．（2）如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，过D 作⊙O•的切线交AC 于E ，使得DE ⊥AC ，则△ABC 的边必须满足的条件是________．2．已知反比例函数y=kx（k ≠0）和一次函数y=-x+8．（1）若一次函数和反比例函数的图象交于点（4，m ），求m 和k ；（2）k 满足什么条件时，这两个函数图象有两个不同的交点？（3）设（2）中的两个交点为A 、B ，试判定∠AOB 是锐角还是钝角？3．如图，在直角坐标系xOy 中，以点A （0，-3）为圆心作圆与x 轴相切，⊙B 与⊙A 外切于点P ，B 点在x 轴正半轴上，过P 点作两圆的公切线DP 交y 轴于D ，交x 轴于C ．B（1）设⊙A的半径为r1，⊙B的半径为r2，且r2=23r1，求公切线DP的长及直线DP•的函数解析式；（2）若⊙A的位置大小不变，点B在x轴正半轴上移动，⊙B与⊙A始终外切，过D作⊙B的切线DE，E为切点，当DE=4时，B点在什么位置？从解答中能发现什么？EC A BxyDPO答案:中考样题看台1．（1）y=34x．∴y=-340x2+2720x（2）D（10，6）（3）当Q在OC上运动时，可设Q（m，34m），依题意有：m2+（34m2）=（2t）2．∴m=85t，∴Q（85t，65t），（0≤t≤5）当Q在BC上时，Q点所走过的路程为2t．∵OC=10，∴CQ=2t-10，∴Q点在横坐标为2t-10+8=2t-2，∴Q（2t-2，6）（5<t≤10）．（4）∵梯形OABC的周长为44，当Q点在OC上，P运动的路程为t，则Q•运动的路程为（22-t）△OPQ中，OP边上的高为：（22-t）×35，∴S△OPQ=12t（22-t）×35，S梯形OABC=12（180+10）×6=84．依题意有：12t（22-t）×35=84×12，整理得：t2-22t+140=0．∴△=222-4×140<0，∴这样的t不存在．当Q在BC上时，Q走过的路程为22-t，∴CQ的长为：22-t-10=12-t，∴S梯形OCQP=12×6（22-t-10+t）=36≠84×12，∴这样的t值也不存在．综上所述，不存在这样的t值，使得直线PQ同时平分梯形的周长和面积．2．（1）①∵BC切⊙O2于C，∴∠ECF=∠CDF，又∠F=∠F，∴△FDC∽△FCE．•②又∵∠ADC=∠ABC，∠ECF=∠CDF，∴∠ABC=∠ECF，∴AB∥EC（2）有AB∥EC，证明：∵BC切⊙O2于C，∴∠BCE=∠D，又∵ABCD内接于⊙O1，∴∠ABF=∠D，∴∠BCE=∠ABF，∴AB∥EC 3．（1）∵PC切⊙A于点C，∴PC⊥AC，P C2=PA2-AC2，同理PD2=PB2-BD2，∵PC=PD，∴PC2-•A C2=PB2-B D2，设PB=x，PA=4-x代入得x2-1=（4-x）2-22，解得x=138，1<138<2，即PB的长为138（PA长为198>2）．（2）假定有在一点P使PC2+PD2=4，设PB=x，则PD2=x2-1，PC2=（4-x）2-22，代入条件得（4-x）2-22+x2-1=4，解得x=2，∵P在两圆间的圆外部分，∴1<PB<2，即1<x<2，满足条件的P点只有一个，这时PB=2-2．（3）当PC：PD=2：1或PB=43时，也有△PCA∽△PDB，这时，在△PCA与△PDB中21AC PCBD PD==（或APBP），∠C=∠D=Rt∠，∴△PCA∽△PDB，∴∠BPD=∠APC=∠BPE（E在CP的延长线上），∴B点在∠DPE的角平分线上，B到PD与PE的距离相等，∵⊙B与PD相切，∴⊙B也与CP•的延长线PE相切．4．证明：连结DH在△DEH和△DFH中，∵DE DFEH FHDH DH=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△DEH≌△DFH，∴∠DEH=∠DFH．考前热身训练1．（1）（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1 （n≥2）（2）等腰三角形（AB=AC）2．（1）m=4，k=16，（2）k<16且k≠0（3）当0<k<16时，∠AOB为锐角，当k<0时，∠AOB为钝角3．（1）直线DP的解析式为：y=-43x+2（2）DE=DP，Rt△APD≌Rt△AOB，∴BO=DP=4，∴点B（4，0），可以看出，四边形OBED是矩形，或切线DP的长等于B的横坐标．。

中考数学复习专题探索性问题

[中考数学复习专题] 探索性问题:就是问题的条件或结论不直接给出，需要经过观察、分析、分类、推理、化归、特殊化、一般化、数形结合及猜想等一系列的探索活动，逐步确定要求的结论或条件．其命题方式主要有填空题、选择题和综合题，其中以综合题为主．下面结合具体题目进行分析.1、条件探索型：总体思路是采用分析法，把结论看作已知进行逆推，探索结论成立需要的条件．【例1】点D E ，分别在线段A B A C ，上，B E C D ，相交于点O AE AD=，，要使A B E A C D△≌△，需添加一个条件是（只要写一个条件）．【例2】求出一个二次函数，使得当时，当时，当时.【练习】1。

()P x y ，位于第二象限，并且4y x +≤(x y ，为整数)写出符合上述条件的点P的坐标______：．2. M,N,P,Q 分别是四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，当四边形ABCD 满足条件时，四边形MNPQ 为矩形；3.关于的方程，是否存在负数，使方程的两个实数根的倒数和为？若存在，求出满足条件的负数值，若不存在，请说明理由？2、结论探索型：解这类探索题的总体思路是先假定结论存在，并以此进行推理．【例1】如图①，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，直线CD 切⊙O 于点C ，AD⊥CD，垂足为D ．(1)求证：AC 2=AB·AD； (2)若将直线CD 向上平移，交⊙O 于C 1、C 2两点，其他条件不变，可得到图②所示的图形，试探索AC 1、AC 2、AB 、AD 之间的关系，并说明理由；(3)把直线C 1D 继续向上平移，使弦C 1C 2与直径AB 相交（交点不与A 、B 重合），其他条件不变，请你在图③中画出变化后的图形，标好字母，并试着写与（2）相应的结论，判断你的结论是否成立？若不成立，请说明理由；若成立，请给出证明。

【例2】如图2－6－4所示，已知：直线m∥n，A 、B 为直线n 上两点，C 、P 为直线m 上两点．（1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形______________；理由是：__________.（2）如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6中折线CDE）还保留着；张大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按张大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．（1）写出设计方案．并画出相应的图形；（2）说明方案设计理由．【练习】（1）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：__________________．（2）请你写一个先提公因式、再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解的结果．（3）已知E、F为平行四边形ABCD对角线DB的三等分点，连结AE并延长交CD于P，连结PF并延长交AB于Q．猜测AQ、BQ间的关系是．猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？3、存在性探索型【例1】如图，四边形O A B C是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边B C折叠，使点B落在边O A的点D处．已知折痕C E=，且3tan4E D A∠=．（1）判断O C D△与AD E△是否相似？请说明理由；（2）求直线C E与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线C E与x轴所围成的三角形和直线l、直线C E与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．例2 如图，已知O为坐标原点，∠AOB=300，∠ABO=900，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．【练习】1。

中考数学中探索性问题的分析

中考数学中探索性问题的分析陈和萍近年来，探索性问题在中考试卷中频频出现，成为中考试卷中的一个亮点，探索性问题的形式多种多样，取材广泛，解决这类问题，往往需要我们展开观察、试验，类比、归纳、猜想等一系列的探索活动，通过探索性问题的解题活动，不仅有利于促进数学知识和数学方法的巩固和掌握，有利于思维品质的提高，也有利于自主探索、创新精神的培养。

一、探索数据规律例1 观察下列等式，你会发现什么规律？1553=⨯而14152-=3575=⨯而16352-=6397=⨯而18632-=将你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来：_______。

答案：()()()1n 21n 21n 22-=+⨯-例2 观察下列顺序排列的等式：1109=+⨯11219=+⨯21329=+⨯31439=+⨯41549=+⨯猜想：第n 个等式（n 为正整数）应该为_______。

答案：()9n 10n 1n 9-=+-()()[]11n 10n 1n 9+-=+-或。

点评：在解决这种探索数据规律的问题时，我们通常是先考查一些特殊的情况，通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，在解题的过程中，我们往往需要对题目中的数据进行适当变化，以使得数据的规律更加明显。

二、探索函数关系例3 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x 。

（1）图1中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数多边形的序号① ② ③ ④ … 多边形的面积S2 3 4 … 各边上格点的个数和x 4 5 6 8 … 答：S=___________。

（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2个格点，此时所画的各个多边形的面积S 与它各边上格点的个数和x 之间的关系式是：S=_______。

（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n 个格点时，猜想S 与x 有怎样的关系？答：S=_______。