能控性与能观性分析

Chapter3能控性与能观性

现代控制理论中，用状态空间方法描述系统，将系统的的输出输入关系分成两部分，一部分是系统的控制输入对状态的影响，由状态方程描述；另一部分是系统输出与状态的关系，由输出方程描述。1960年，Kalman 根据“控制输入对状态的影响”首先提出了系统状态的能控性问题，根据“输出与状态的关系”提出了系统状态的能观性问题。

能控性：输入)(t u 能否通过“状态方程”引起系统任一状态)(t x i 的变化)(t x

i ？能控性描述通过输入)(t u 对系统状态)(t x 的控制能力；

能观性：系统任一状态)(t x i 的变化能否通过“输出方程”引起输出)(t y 的变化？

或者由输出)(t y 的变化能否通过“输出方程”确定系统所有状态变量)(t x

i ，能观性描述通过输出)(t y 对系统状态)(t x 的测辨能力。 3.1 系统的能控性 3.1.1 能控性的定义和性质

系统能控性定义：在初始时刻0t t =时，对系统施加控制)(t u 使系统状态)

(t x 发生变化，并且输出)(t y ,)()()()()(t u t B t x t A t x

+= ，)()()(t x t C t y =，0t t ≥

图3-1 能控性与能达性

如果在有限时间a t t t ≤≤0内存在容许（满足∞<⎰a

t t t t u 0

d )(2

）的控制向量

)(t u ，能使此系统从不为0的初始状态)(0t x 转移到0终态0)(=a t x ，则称状态)(t x 在),(0a t t 上是能控的，或称在时刻0t 上是能控的。若对系统状态的任一元素均

能满足上述条件，则称系统在],[0a t t 上是完全能控（简称能控）的。而由0初态

0)(0=t x ，在时间],[0a t t 内转移到任意不为0的终态0)(≠f t x 称为能达性；

对于线性定常系统，能控必能达，能达必能控，二者等价。（参见图3-1 ） 系统能控性的基本性质：

状态方程的解 ⎰Φ+Φ=t

t u B t x t t t x 0d )()(),(),()(00ττττ （3-1）

根据定义，若状态向量是能控的，则存在容许控制)(t u ，使

0d )()(),(),()(000=Φ+Φ=⎰a

t t a a a u B t x t t t x ττττ

由此可反解出 ⎰ΦΦ-=-a

t t a a u B t t t t x 0

d )()(),(),()(01

0ττττ

),(01t t a -Φ与积分变量τ无关，可以放到积分号下

⎰ΦΦ-=-a

t t a a u B t t t t x 0

d )()(),(),()(010ττττ

),(),(001a a t t t t Φ=Φ-（反演性），),(),(),(00ττt t t t a a Φ=ΦΦ（传递性）

⎰⎰

Φ-=ΦΦ-

=a

a

t t t t a a u B t u B t t t t x 0

d )()(),(d )()(),(),()(000ττττττττ

对线性定常系统，)

(0e

),(ττ-=Φt A a t

上式可写成⎰

⋅-=-a

t t t A u B t x 0

0d )(e )()(0τττ （3-2）

3.1.2 能控性判据

将τ

A e

-写成有限和形式∑-=-=1

)(n k k k A A e

τατ

代入（3-2）式可得

k

a

a

t k n k k t A u B A u B x βτ

ττταττ=-=-⎰∑⎰-=⋅-=]d )()([d )(e

1

⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛==---=∑11011

)...

(n n k n k k B A AB B

B A ββββ

若系统能控，上式就有解，所以对任意向量0x ，其充要条件是能控矩阵满秩。 )...

(1B A AB B

n C -=Γ （3-3）

定理3-1(70P 定理3.1.1)n 阶线性定常系统)()()(t u B t x A t x

⋅+⋅= 完全能控的充要条件是nm n ⨯能控矩阵n B A AB B n C ==Γ-)...

rank(rank 1满秩！该

定理也适合离散系统。

推论：系统是否能控只与输入矩阵B 有关，而与输出矩阵C 以及终端时间无关。 若系统在区间],[0a t t 上是完全能控的，那么系统在区间],[a b a t t t >也一定是完全能控的。即在某一时间段完全能控的系统，在随后的时间段也一定是完全能控的。

线性代数中已经证明，)(rank rank T

C

C C ΓΓ=Γ，对单输入系统，C Γ是方阵，而对多输入系统，)(T

C C ΓΓ才是方阵，所以，一个判断能控矩阵是否满秩的方法是：

检验“方阵”C Γdet 或0)det(?−→−ΓΓT C

C ，如果0)det(≠ΓΓT

C C ，能控性矩阵满秩，如果行列式0)det(=ΓΓT

C

C ，则能控性矩阵不满秩。 例3-1(参考72P 例3.1.3，35P 习题1.8) 判断二阶水槽系统的能控性。

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2121

21211210

00

u u b b x x a b a x x

解：)rank(rank AB B

C =Γ

⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=22221111000r a n k b a b b b b a b 由此可见，只有当参数21b b 、都0≠，

以上能控性矩阵才是满秩的。此时系统是完全能控的，即当水位高度偏离平衡位置时，可以通过调节两个阀门21u u 、调节水位高度回到平衡位置。故系统是能控的，说明水的输入量能够控制两个水槽的水位12h h 、的变化。

因为由图，两个阀门，两个输入。若01=b 相当于01=u 的同时，2x 对1x 的影响也没有了，所以此时)(1t x 不能控；若02=b ，相当于02=u ，所以)(2t x 不能控。

能控性的直接判别

对于某些特例，系统的能控性可直接判别。

*定理1 若线性定常系统)()()(t Bu t Ax t x

+= 的A 为对角形，且对角线上的元素（特征值）均不相同，则状态完全能控的充要条件是B 阵没有全为零的行。

⎪⎪

⎪

⎪⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m nm n n n im i i i m n i u u u u b b b b b b b b x

3213

2

132

1

11312

111...0...000...

λλλ，第i 行全为0，所以，