两个重要极限的证明

两个重要的极限

1．证明：0sin lim 1x x x

→= 证明：如图（a ）作单位圆。当0

2

π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。 即111sin 222x x <

<< 或sin 1cos x x x >>。（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。 故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。 由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x

=。 函数f(x)=sin x x

的图象如图（b ）所示。 2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。 证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11

(1)n n n b a n b b a

++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。 （1） 令a=1+11

n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n

+为递增数列。 再令a=1，b=1+12n

代入（1）。由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。不等式两端平方后有214(1)2n n >+

，它对一切自然数n 成立。联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n

→∞+是存在的。 3．证明：1lim(1)x x e x

→∞+=。 证明：所求证的极限等价于同时成立下述两个极限：

1lim (1)x x e x →+∞+= （1） 1lim (1)x x e x →-∞+= （2）

现在先应用2中数列极限1lim(1)n n e n

→∞+=，证明（1）式成立。 设n≤x

++<+<++， （3） 作定义在[1，+)∞上的阶梯函数。1()(1)1n f x n =++，n≤x

+=+，n≤x

n n x n n n f x e n n +→+∞→∞→∞++=+==+++

图（a ）

1111lim ()lim(1)lim(1)(1)n n x n n g x e n n n

+→+∞→∞→∞=+=++=，根据迫敛性定理便得（1）式。 现在证明（2）式。为此作代换x=-y ，则111111(1)(1)(1)(1)(1)111

x y y y x y y y y --+=-=+=++--- 因为当x→-∞时，有y-1→+∞，故上式右端以e 为极限，这就证得1lim (1)x x e x

→-∞+=。 以后还常常用到e 的另一种极限形式10lim(1)a a a e →+= （4） 因为，令1a x

=，则x→∞和a→0是等价的，所以，101lim(1)lim(1)x a x a a x →∞→+=+。