偏导数在高中的应用
偏导数的应用 (2)
一、偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面 设空间曲线L 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩假定(),(),()x t y t z t 均可导,'''000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+∆的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +∆+∆+∆.割线0M M 的方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆ 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.上式分母同除以t ∆得000x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆ 当0t ∆→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程000'''000()()()x x y y z z x t y t z t ---==向量'''000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦. 通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为 '''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程.解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量'''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为100011x y z ---== 在点(1,0,0)处的法平面方程为0(1)1(0)1(0)0x y z ⨯-+⨯-+⨯-=即 0y z += 【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线和法平面方程.解 把x 看作参数,此时曲线方程为sin 2x x y x x z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩ '''11,cos 1,2x x x x x y x z ππππ=======-=在点,0,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为 021112z x y ππ---==-法平面方程为1()(0)()022x y z ππ---+-=即 4425x y z π-+=2.曲面的切平面与法线 设曲面S 的方程为0000(,,)0,(,,)F x y z M x y z =是曲面上的一点,假定函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零,设L 是曲面S 上过点0M 的任意一条曲线,L 的方程为(),(),()x x t y y t z z t ===,与点0M 相对应的参数为0t ,则曲线L 在0M 处的切线向量为'''000{(),(),()}x t y t z t =T .因L 在S 上,故有[(),(),()]0F x t y t z t =此恒等式左端为复合函数,在0t t =时的全导数为0''''''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0t t x y z dF F x y z x t F x y z y t F x y z z t dt==++= 记'''000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z =n ,则0⋅=T n ,即n 与T 互相垂直.由于曲线L 是曲面上过0M 的任意一条曲线,所以在曲面S 上所有过0M 点的曲线的切线都与同一向量n 垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在0M 处的切平面.向量n 是切平面的法向量,称为曲面在0M 处的法向量.切平面方程为'''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=过点0M 与切平面垂直的直线,称为曲面S 在点0M 处的法线,其方程为000'''000000000(,)(,)(,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==若曲面方程由(,)z f x y =给出,则可令(,,)(,,)0F x y z f x y z z =-=于是''''',,1x x y y z F f F f F ===-这时曲面在0000(,,)M x y z 处的切平面方程为''0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=法线方程为000''0000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-【例3】求椭球面222326x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面和法线方程.解 设222(,,)326F x y z x y z =++-''''''(,,)2,(,,)6,(,,)4(1,1,1)2,(1,1,1)6,(1,1,1)4x y z xyzF x y z x F x y z y F x y z z F F F ======故在点(1,1,1)处椭球面的切平面方程为 2(1)6(1)4(1)0x y z -+-+-= 即3260x y z ++-=法线方程为111132x y z ---==【例4】 求旋转抛物面22z x y =+在点(1,1,2)-处的切平面方程和法线方程.解 由22z x y =+得''(1,1)(1,1)(1,1)22,(1,1)22x y f xf y---==-==-切平面方程为 22(1)2(1)z x y -=--+ 即222x y z --=法线方程为112221x y z -+-==--二、多元函数极值1. 二元函数的极值【例5】 曲面z =在点(0,0)有极小值0z =.【例6】 曲面2244z x y =--在点(0,0)有极大值4z =.与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.定义1 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤(或00(,)(,)f x y f x y ≥)则称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y .而称点00(,)x y 为函数(,)z f x y =的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.2.极值的检验法 (1) 一阶偏检验定理1 (必要条件)设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,且在该点的偏导数存在,则必有''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.证明不妨设(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,根据极值定义,对00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y ,有00(,)(,)f x y f x y ≤在点00(,)x y 的邻域内,也有000(,)(,)f x y f x y ≤,这表明一元函数0(,)f x y 在0x x =处取得极大值.因此,有'00(,)0x f x y =同理可证'00(,)0y f x y =与一元函数类似,使一阶偏导数''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==的点(,)x y 称为函数(,)z f x y =的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点. (2) 二阶偏检验定理2 (充分条件)设函数(,)z f x y =在定义域内的一点00(,)x y 处有二阶连续偏导数,且''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.记''''''000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ===,则(1) 当20B AC -<且0A >时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极小值00(,)f x y ;当20B AC -<且0A <时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极大值00(,)f x y ;(2) 当20B AC ->时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处无极值;(3) 当20B AC -=时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可能有极值,也可能无极值. 综上可得,具有连续二阶偏导数的函数(,)z f x y =,其极值求法如下:(1) 先求出偏导数'''''',,,x y xx yyf f f f ; (2) 解方程组''(,)0(,)0x y f x y f x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,求出定义域内全部驻点;(3) 求出驻点处的二阶偏导数值:'''''',,xx xy yy A f B f C f ===,确定2B AC ∆=-的符号,并判断()f x 是否有极值,如果有,求出其极值.【例7】 求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值.解 先求偏导数'2'2''''''(,)33,(,)336,3,6x y xxxyyyf x y x y f x y y x f x f f y=-=-==-=解方程组22330330x y y x ⎧-=⎨-=⎩,求得驻点为(0,0),(1,1).在驻点(0,0)处,''''''(0,0)0,(0,0)3,(0,0)0xx yy yy A f B f C f ====-==,2B AC -= 90>,于是(0,0)不是函数的极值点.在驻点(1,1)处,''''''2(1,1)6,(1,1)3,(1,1)6,27xx xy yy A f B f C f B AC ====-==-=- 0<,且60A =<,所以点(1,1)是函数的极小值点,(1,1)1f =-为函数的极小值.3.最大值与最小值如果函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上连续,则函数在D 上一定取得最大值和最小值.如果函数的最大值或最小值在区域D 的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域D 上的最大值,最小值便是函数在闭区域D 上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值. 【例8】求函数(,)f x y =22:1D x y +≤上的最大值.解 在D 内(221x y +<),由''0,0x y f f ====解得驻点为(0,0),(0,0)2f =.在D 的边界上(221x y +=)221(,)2y f x y +===<故函数在(0,0)处有最大值(0,0)2f =. 【例9】 要做一容积为a 的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料? 解 所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小.该容器的长、宽、高分别为,,x y z ，表面积为S ，则有xyz a =22S xy xz yz =++消去z ，得表面积函数22a a S xy y x=++ 其定义域为0,0x y >>由'2'22020x y a S y x a S x y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，求得驻点为.由于D 为开区域,且该问题必有最小值存在,于是必为S 的最小值点,此时a z xy==即长方体长、宽、高分别为,容器所需铁皮最少,其表面积为S =. 【例10】某公司每周生产x 单位A 产品和y 单位B 产品,其成本为22(,)221000C x y x xy y =+++产品,A B 的单位售价分别为200元和300元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润. 解 依题意,公司的收益函数为(,)200300R x y x y =+因此,公司的利润函数为22(,)(,)(,)200300221000P x y R x y C x y x y x xy y =-=+----令''(,)200220(,)300240x yP x y x y P x y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩,得驻点(50,50).利用二阶偏检法,求二阶偏导数''''''(,)2,(,)2,(,)4xx xy yy P x y P x y P x y =-=-=-，显然二阶偏导数在驻点(50,50)的值为22,2,4,40,20A B C B AC A =-=-=--=-<=-<。
《高数课件23偏导数》课件
3. 隐函数偏导数
1 定义
隐函数是由方程表达的 函数，其中的某些变量 无法用其他变量来显式 表示。
2 隐函数偏导数的计
算
可以使用全微分或利用 偏导数链式法则来计算 隐函数的偏导数。
3 隐函数定理的应用
通过隐函数定理，可以 求得隐函数的导数，进 一步进行相关计算。
2
几何意义
偏导数表示函数在某一点沿着坐标轴的斜率，可用于描述曲面上某点的切线方向。
3
计算
可以利用基本的导数规则，如链式法则等，计算偏导数。
2. 高阶偏导数
定义ห้องสมุดไป่ตู้
高阶偏导数是对多元函数的多个变量进行多次求导得到的导数。
混合偏导数的概念
混合偏导数指对一个多元函数的某两个变量进行连续求导得到的偏导数。
混合偏导数的计算公式
2 泰勒公式的应用
泰勒公式可用于求函数的特定阶导数、函数在某一点的近似值等。
3 泰勒展开的计算方法
可以使用泰勒公式的展开和导数来计算函数在某一点的近似值。
6. 应用实例
1
实际问题的建模
通过建立数学模型，将实际问题转化
应用偏导数解决实际问题的例
2
为数学问题，进行相关计算。
子
利用偏导数可以求解实际问题中的最
4. 最值问题
极值的定义
极值是指函数在某个特定区间 上取得最大值或最小值的点。
求解极值的方法
最值问题的应用
可以使用导数测试、二阶条件、 拉格朗日乘数法等方法来求解 极值问题。
最值问题可应用于现实生活中 的优化场景，如最大化收益、 最小化成本等。
5. 泰勒公式
1 定义
高中数学中的偏导数定义及其求解法则
高中数学中的偏导数定义及其求解法则数学中有很多重要的概念和方法，学习数学需要认真掌握这些概念和方法。
其中，在数学的实际应用中，偏导数是非常重要的一个概念，它在物理、工程、经济等领域都有广泛的应用。
本文将介绍高中数学中的偏导数定义及其求解法则，希望对读者有所帮助。
一、偏导数的定义首先，我们来看偏导数的定义。
偏导数是多元函数在某一点处对某一个自变量求导的结果。
具体来说，如果函数f(x1,x2,...,xn)在点(x1,x2,...,xn)处对第i个自变量求导，那么它的偏导数就是：∂f/∂xi其中，∂表示“偏导数”的符号。
需要注意的是，偏导数只是对函数在某一点处对一个自变量求导，其他自变量视为常数处理。
因此，如果要对多个自变量同时求导，就需要分别对每个自变量进行求导，得到一组偏导数。
二、偏导数的求解方法接下来，我们来看一下偏导数的求解方法。
对于二元函数f(x,y)，可以通过以下两种方法求解偏导数：1.用限制条件法求偏导数这种方法是指在偏导数的定义中代入限制条件，然后求导。
具体来说，如果要求偏导数∂f/∂x，在导数中代入y=g(x)，得到：∂f/∂x=f(x,g(x))'，其中f(x,g(x))'表示仅以x求导，y视为常数的结果。
同理，可以得到偏导数∂f/∂y:∂f/∂y=f(x,g(x))'2.用差商表示法求偏导数这种方法是指对偏导数的定义进行差商展开，并将所有的高阶微小量忽略，只保留一阶部分。
具体来说，如果要求偏导数∂f/∂x，可以将x看作一个微小量δx，同时将y视为常数，得到：∂f/∂x=[f(x+δx,y)-f(x,y)]/δx同理，可以得到偏导数∂f/∂y:∂f/∂y=[f(x,y+δy)-f(x,y)]/δy在实际应用中，常常会将两种方法进行结合，以求得更精确的偏导数。
三、偏导数的应用最后，我们来看一下偏导数在实际应用中的例子。
偏导数经常出现在物理、工程、经济等领域的模型中。
112. 什么是偏导数？如何应用？
112. 什么是偏导数？如何应用？112、什么是偏导数？如何应用？在数学的广袤领域中，偏导数是一个非常重要的概念。
对于许多初学者来说，它可能显得有些神秘和难以捉摸，但其实，只要我们耐心探究，就会发现它并没有那么复杂。
那到底什么是偏导数呢？想象一下，我们有一个多元函数，比如说z ＝ f(x, y) ，这个函数的输入不是一个单一的变量，而是多个变量，比如这里的 x 和 y 。
偏导数就是在研究这个函数的时候，只让其中一个变量发生变化，而把其他变量暂时看作常数，然后研究函数值的变化率。
具体来说，如果我们对 x 求偏导数，就记作∂z/∂x ，这时候我们把y 看作是固定不变的，只关注 x 的变化对函数值 z 的影响。
同样，如果对 y 求偏导数，记作∂z/∂y ，此时则把 x 当作常数。
为了更直观地理解偏导数，让我们来看一个简单的例子。
假设有一个函数 z ＝ x^2 ＋ 3xy ＋ y^2 ，我们先来求对 x 的偏导数。
把 y 看作常数，那么 3xy 对 x 求导就是 3y ，x^2 求导是 2x ，y^2 因为把 y 看作常数，所以求导为 0 。
综合起来，对 x 的偏导数就是 2x ＋ 3y 。
同理，求对 y 的偏导数时，把 x 看作常数，3xy 求导是 3x ，y^2 求导是 2y ，x^2 求导为 0 ，所以对 y 的偏导数就是 3x ＋ 2y 。
了解了偏导数的概念，那它在实际中有哪些应用呢？其实，偏导数在许多领域都发挥着重要的作用。
在物理学中，比如热传导问题。
如果我们有一个物体的温度分布函数 T(x, y, z, t) ，表示在位置（x, y, z) 、时间 t 时的温度。
那么对位置变量 x 、y 、z 的偏导数就可以分别表示温度在 x 、y 、z 方向上的变化率，这对于研究热的传递和分布非常关键。
在经济学中，偏导数也大有用处。
假设一个企业的利润函数取决于产量x 和价格y ，那么对产量的偏导数可以表示在价格不变的情况下，产量的变化对利润的影响；对价格的偏导数则可以反映在产量不变时，价格的变动对利润的作用。
高考高等数学复习重点偏导数应用
高考高等数学复习重点偏导数应用要说这高考里的高等数学，偏导数的应用那可真是个让人又爱又恨的家伙！对于很多同学来说，它就像是一座隐藏着宝藏但又布满荆棘的神秘岛屿。
咱们先来说说偏导数在几何中的应用。
想象一下，你正在设计一个超级酷炫的立体雕塑，你得知道不同方向上的变化率才能把它的形状雕琢得完美无缺。
比如说，偏导数能帮我们求出曲面在某一点处的切平面方程。
这就好比你要给这个雕塑找一个最合适的底座，让它稳稳地站立在那里，展现出最迷人的姿态。
还记得我之前教过的一个学生小明，那可真是个聪明但又有点粗心的孩子。
有一次做练习题，遇到一个求曲面在某点处切平面方程的题目。
他一开始信心满满，觉得自己肯定能拿下。
可算着算着，就把偏导数的符号给弄混了，结果整个答案都错得离谱。
我看着他那懊恼的样子，又好气又好笑。
我就跟他说：“小明啊，这偏导数就像是你手里的工具，你得把它们认清楚，用对地方，不然可就修不出你想要的雕塑啦！”打那以后，小明每次做这类题目都会格外小心，成绩也有了明显的提高。
再来说说偏导数在优化问题中的应用。
这就像是你要在一堆琳琅满目的商品中，找到那个性价比最高的宝贝。
比如说，工厂要生产一种产品，怎么安排生产才能让成本最低、利润最大？这时候偏导数就派上用场啦。
通过求偏导数为零的点，就能找到可能的极值点。
还有偏导数在物理中的应用，比如热传导问题。
这就好比你要搞清楚一杯热水是怎么慢慢变凉的，温度在不同位置、不同时间的变化规律是怎样的。
同学们，复习偏导数的应用可不能马虎。
要多做练习题，熟悉各种题型。
遇到不会的问题，别着急，多想想，多问问老师和同学。
相信只要你们用心，偏导数这个“小怪兽”一定能被你们打败！就像小明一样，从错误中吸取教训，最终在高考的战场上取得胜利！总之，偏导数的应用在高考高等数学中至关重要。
大家一定要把基础打牢，熟练掌握各种方法和技巧，这样才能在考场上应对自如，取得好成绩！加油吧，同学们！。
偏导数及其应用
z x2y 2e y x 3 2 z z x2y ( ) 2 e y x 2 x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
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2
2 z x2y 4e 2 y
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
思考与练习
解答提示: P73 题 5
P73 题 5 , 6
当 x 2 y 2 0 时，
x2 y f x ( x, y ) 2 2 x x y
x 2 y x 2( x 2 y 2 ) f y ( x, y ) 2 2 2 y x y ( x y 2 )2 即 x＝y＝0 时, d f x (0,0) f ( x,0) x0 dx d f y (0,0) f (0, y ) y0 dy
z f ( x, y ) , , z y , f y ( x, y ) , f 2 y y
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偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y
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高中数学备课教案多元函数的二阶偏导数与Hessian矩阵的应用
高中数学备课教案多元函数的二阶偏导数与Hessian矩阵的应用高中数学备课教案多元函数的二阶偏导数与Hessian矩阵的应用一、引言在高中数学的学习中，我们学习了一元函数的导数和二阶导数。
而在高中数学的备课中，我们需要了解多元函数的导数及其应用。
本文将介绍多元函数的二阶偏导数与Hessian矩阵的应用。
二、多元函数的二阶偏导数1. 定义多元函数的二阶偏导数指的是对多元函数的某个自变量先求导后再对同一个自变量求导得到的导数。
2. 计算方法对于一个含有两个自变量的多元函数，其二阶偏导数可以通过以下计算方法得到：- 首先，对函数关于一个自变量求导，得到一阶偏导数。
- 然后，对一阶偏导数再次求导得到二阶偏导数。
3. 举例说明考虑一个两个自变量的多元函数：f(x, y) = x^2y + xy^2首先，求关于x的一阶偏导数：∂f/∂x = 2xy + y^2然后，对∂f/∂x再次求导，得到关于x的二阶偏导数：∂²f/∂x² = 2y同理，我们可以计算关于y的一阶和二阶偏导数：∂f/∂y = x^2 + 2xy∂²f/∂y² = 2x4. 性质二阶偏导数有以下性质：- 如果二阶偏导数存在且连续，那么偏导数的次序无关紧要，即∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x。
这被称为克莱罗定理。
- 如果二阶偏导数存在且连续，且∂²f/∂x∂y ≠ 0，那么二阶偏导数的符号决定了函数的曲率。
三、Hessian矩阵的应用1. 定义Hessian矩阵是由多元函数的二阶偏导数排列而成的一个矩阵。
2. 计算方法对于一个含有n个自变量的多元函数，其Hessian矩阵可以通过以下计算方法得到：- 首先，对函数分别求偏导数，得到一阶偏导数。
- 然后，按照偏导数的次序排列得到一个n×n的矩阵，即Hessian矩阵。
3. 举例说明考虑一个三个自变量的多元函数：f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2首先，求偏导数：∂f/∂x = 2x∂f/∂y = 2y∂f/∂z = 2z然后，按照偏导数的次序排列得到Hessian矩阵：H = [[2, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 2]]4. 应用Hessian矩阵的应用非常广泛，其中一些重要的应用包括：- 判断函数的极值：如果Hessian矩阵是正定或负定的，那么函数在该点处达到极小值或极大值。
9.5偏导数及其应用
记为
z y ( x
0 , y0 )
f y ( x
,
0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )或z y ( x0 , y0 )
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偏导函数: 如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)都存在对x
的偏导数，即
f ( x x , y ) f ( x , y ) lim , x 0 x
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若求函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数， 只需先求偏导函数fx(x,y)，然后再求fx(x,y)在点 (x0,y0)处的函数值， 导数.
f x ( x, y ) |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )
这样就得到了函数z =f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏
9.5
偏导数
一 、偏导数的概念
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1.偏导数的定义
f ( x 0 x , y0 ) f ( x 0 , y 0 ) 如果极限 lim x 0 x 存在，则称此极限值为函数z=f (x,y)在点(x0,y0)处对x的偏
f 导数.记作 z , , f x ( x0 , y0 )或z x ( x0 , y0 ), x ( x0 , y0 ) x ( x0 , y0 )
f xx (1,1,2) 4, f xyz ( x, y, z ) 0,
f xyz (1,1,1) 0.
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求f(x,y)在原点(0,0)处的偏导数. 解 原点(0,0)处对x的偏导数为
f (0 x ,0) f (0,0) f x (0,0) lim x 0 x ( x ) 0 0 2 ( x ) 0 lim lim 0 0. x 0 x 0 x
偏导数的概念及应用
解
z x
1
1 x2
x2
y2
x x2
y2
x
x2 y2
y2
| y|
( x2 y2 )3
| x2
y
| y
2
.
( y2 | y |)
z y
1
1 x2
x2
y2
x x2
y2
y
x2 y2 ( xy)
| y|
( x2 y2 )3
x2
x
y2
sgn
1 y
( y 0)
z 不存在． y x0
例 6 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
斯方程
2u x 2
2u y2
0.
解 ln x2 y2 1 ln( x2 y2 ), 2
u x
x2
x
y2
,
u y
x2
y
y2
,
2u x 2
(
x2
y2) (x2
x y2 )2
2x
(
y2 x2
x2 y2 )2
,
2u y2
(1
xy) y ln(1
xy)
xy 1 xy ;
2、u z( x y)z1
,
u
z(x
y ) z 1 ,
x 1 ( x y)2z y 1 ( x y)2z
u ( x y) ln( x y) . z 1 ( x y)2z
三、 .
4
四、 2 z
yx
ln 2
2z y,
f (x, y,z),
f ( x, y, z z) f ( x, y, z)
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数在高中数学中的应用_数学教育
导数是高中数学中非常重要的一章节，它不仅具有重要的理论
意义，而且在实际应用中也发挥着巨大的作用。
以下列举了一些导
数在高中数学中的应用：
1. 极值问题：通过求导数可得到函数的极值，即最值。
在应用
中常常需要求某个量的最大值或最小值，例如对于一个正方形，我
们需要求出其面积的最大值，就可以通过对正方形的边长求导得到。
2. 切线和法线：通过求导数我们可以得到某一点处的切线方程
及其斜率，同时又可以得到该点处的法线方程及其斜率，这对于研
究曲线的性质十分有用。
3. 曲率问题：导数还可以用来求曲线在某一点处的曲率，由此
可以得到曲线的曲率半径等重要参数，同时也可以帮助我们了解曲
线的形状。
4. 泰勒展开：泰勒展开是一种重要的数学工具，它可以利用函
数在某一点处的导数来逼近函数的值，从而在数值计算中起到非常
重要的作用。
总之，在高中数学中学习导数，不仅可以帮助我们深刻理解函
数的性质，同时也为我们今后的学习和工作打下了坚实的基础。
多元函数的偏导数及其应用探究
多元函数的偏导数及其应用探究多元函数是数学中重要的概念，它描述了多个变量之间的关系。
偏导数是研究多元函数变化率的重要工具之一。
本文将探究多元函数的偏导数及其应用。
一、多元函数的偏导数偏导数可以理解为多元函数关于某个变量的变化率。
对于一个函数f(x₁, x₂, ..., xn)，如果我们只关注其中一个变量的变化而将其他变量视为常数，那么我们可以计算该变量的偏导数。
示例：考虑一个二元函数f(x, y)，我们可以将其表示为f(x, y) = x² + 2y。
偏导数∂f/∂x表示在变量x变化时，函数的变化率，而∂f/∂y表示在变量y变化时，函数的变化率。
计算偏导数的方法与计算一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数进行求导即可。
例如，对于上述示例函数f(x, y) = x² + 2y，我们可以计算∂f/∂x = 2x和∂f/∂y = 2。
二、偏导数的几何意义偏导数在几何上有着重要的意义。
以二元函数f(x, y)为例，其偏导数可以理解为函数在坐标轴上的切线斜率。
具体而言，∂f/∂x表示函数在x轴方向上的切线斜率，而∂f/∂y表示函数在y轴方向上的切线斜率。
以二元函数f(x, y) = x² + 2y为例，我们可以通过计算偏导数的值来分析该函数的切线斜率。
当x增加时，∂f/∂x = 2x增加，表示函数在x轴方向上的切线变陡；当y增加时，∂f/∂y = 2不变，表示函数在y轴方向上的切线不变。
三、偏导数的应用1. 最优化问题：偏导数在最优化问题中有广泛应用。
通过计算偏导数，我们可以确定函数的极值点。
例如，对于一个二元函数f(x, y)，通过计算∂f/∂x = 0和∂f/∂y = 0可以找到函数的极小值或极大值点。
2. 梯度下降算法：梯度下降算法是一种常用的优化算法，它利用偏导数来确定函数的最小值。
通过计算函数在当前点的偏导数，我们可以朝着使函数值下降的方向进行迭代。
3. 泰勒展开：对于一个多元函数，我们可以使用泰勒展开来近似计算函数值。
如何通过偏导数求方向导数解决高考数学中的问题
如何通过偏导数求方向导数解决高考数学中的问题在高中数学学习中，偏导数和方向导数是比较难理解和掌握的概念，而且这些概念在高考数学中占有重要的地位。
本文将重点探讨如何通过偏导数求解方向导数，解决高考数学中的问题。
一、偏导数的定义与概念在学习偏导数之前，我们需要先了解导数的概念。
一个函数在某点处的导数，可以表示这个函数在这个点处的斜率或者变化率。
同样的，一个多元函数在某点处的偏导数，可以表示这个函数在这个点处，关于其中的某个自变量的斜率或者变化率。
对于一个函数 $f(x,y)$，偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示在 $y$ 值固定的情况下，函数在 $x$ 点处的变化率。
针对不同的偏导数，我们还可以得出 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 表示在$x$ 值固定的情况下，函数在 $y$ 点处的变化率。
二、方向导数的定义与求解在学习方向导数之前，我们需要先了解向量的概念。
向量是指有大小和方向的量，一般用箭头表示。
存在两种向量：自由向量和定向向量。
自由向量没有方向和起点限制，而定向向量则需要有方向和起点的限制。
针对多元函数 $f(x,y)$，我们可以引入定向向量 $\vec{u} =a\vec{i} + b\vec{j}$，其中 $\vec{i}$ 和 $\vec{j}$ 是分别表示 x 轴和 y 轴正方向的定向向量。
通过向量的内积，我们可以得出方向导数的公式：$D_{\vec{u}}f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}a+\frac{\partial f}{\partial y}b$该公式表示在 $f(x,y)$ 函数在点 $(x,y)$ 处，沿着方向$\vec{u}$ 的变化率。
从公式中可以看出，方向导数可以看成是函数在该点处，关于给定方向的偏导数。
三、方向导数的应用通过上述的公式，我们可以探讨一些与方向导数相关的应用问题。
高考数学中的偏导数运算技巧
高考数学中的偏导数运算技巧在高中数学学科中，偏导数是一个非常重要的概念。
在高考中，偏导数的考查频率也很高。
因此，我们必须掌握偏导数的运算技巧。
对于广大学生来说，掌握这些技巧不仅有利于在高考中获得高分，还可以在未来的学习和工作中提高自己的数学能力。
一. 偏导数的基本概念首先，我们来回顾一下偏导数的基本概念。
偏导数是多元函数在一个点上对于其中一个自变量的导数。
也就是说，如果一个函数有两个自变量，我们就可以求出该函数在某个点关于其中一个自变量的导数。
其数学符号表示为∂，例如：$$\frac{\partial f}{\partial x}$$其中，f是多元函数，x是自变量。
上式表示f关于x的偏导数。
二. 偏导数的运算规则有了偏导数的基本概念后，我们需要掌握偏导数的运算规则。
下面是一些常见的偏导数运算规则：1. 多元函数的偏导数运算可以交换次序，即：$$\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}$$2. 若多元函数f是由两个函数g和h相加得到，则f关于x的偏导数等于g和h关于x的偏导数之和，即：$$\frac{\partial(f(x,y))}{\partial x}=\frac{\partial(g(x,y))}{\partial x}+\frac{\partial(h(x,y))}{\partial x}$$3. 若多元函数f是由两个函数g和h相乘得到，则f关于x的偏导数等于g在该点的值乘以h关于x的偏导数，再加上h在该点的值乘以g关于x的偏导数，即：$$\frac{\partial(f(x,y))}{\partialx}=g(x,y)\frac{\partial(h(x,y))}{\partialx}+h(x,y)\frac{\partial(g(x,y))}{\partial x}$$4. 对于多元函数的幂函数，其偏导数可以用链式法则求得，即：$$\frac{\partial(f(x,y)^n)}{\partial x}=n f^{n-1}(x,y) \frac{\partialf(x,y)}{\partial x}$$三. 几个常见的例题下面，我们来看几个常见的例题，通过这些例题来更好地掌握偏导数运算技巧。
偏导数的应用 (2)-8页文档资料
一、偏导数的几何应用1.空间曲线的切线和法平面设空间曲线L 的参数方程为()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩假定(),(),()x t y t z t 均可导,'''000(),(),()x t y t z t 不同时为零,曲线上对应于0t t =及0t t t =+∆的点分别为0000(,,)M x y z 和000(,,)M x x y y z z +∆+∆+∆.割线0M M 的方程为000x x y y z z x y z---==∆∆∆ 当M 沿着曲线L 趋于0M 时,割线的极限位置0M T 是L 在0M 处的切线.上式分母同除以t ∆得000x x y y z z x y z t t t---==∆∆∆∆∆∆当0t ∆→(即0M M →)时,对上式取极限,即得曲线在0M 点的切线方程000'''000()()()x x y y z z x t y t z t ---== 向量'''000{(),(),()}x t y t z t =T 是切线0M T 的方向向量,称为切线向量.切线向量的方向余弦即为切线的方向余弦.通过点0M 与切线垂直的平面称为曲线在0M 点的法平面.它是通过点0000(,,)M x y z ,以切线向量T 为法向量的平面.因此,法平面方程为'''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=【例1】求螺旋线cos ,sin ,x t y t z t ===在点(1,0,0)的切线及法平面方程. 解 点(1,0,0)对应的参数0t =.因为'''()sin ,()cos ,()1x t t y t t z t =-==,所以切线向量'''{(0),(0),(0)}{0,1,1}x y z ==T ,因此,曲线在点(1,0,0)处的切线方程为100011x y z ---==在点(1,0,0)处的法平面方程为0(1)1(0)1(0)0x y z ⨯-+⨯-+⨯-=即0y z +=【例2】 求曲线sin ,,2x y x z ==上点0,2π⎛⎫⎪⎝⎭处的切线和法平面方程.解 把x 看作参数,此时曲线方程为sin 2x x y x x z ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩ '''11,cos 1,2x x x x x y xz ππππ=======-=在点,0,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为21112z x y ππ---==-法平面方程为1()(0)()022x y z ππ---+-=即4425x y z π-+=2.曲面的切平面与法线设曲面S 的方程为0000(,,)0,(,,)F x y z M x y z =是曲面上的一点,假定函数(,,)F x y z 的偏导数在该点连续且不同时为零,设L 是曲面S 上过点0M 的任意一条曲线,L 的方程为(),(),()x x t y y t z z t ===,与点0M 相对应的参数为0t ,则曲线L 在0M 处的切线向量为'''000{(),(),()}x t y t z t =T .因L 在S 上,故有[(),(),()]0F x t y t z t =此恒等式左端为复合函数,在0t t =时的全导数为0''''''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0t t x y z dF F x y z x t F x y z y t F x y z z t dt==++= 记'''000000000{(,,),(,,),(,,)}x y z F x y z F x y z F x y z =n ,则0⋅=T n ,即n 与T 互相垂直.由于曲线L 是曲面上过0M 的任意一条曲线,所以在曲面S 上所有过0M 点的曲线的切线都与同一向量n 垂直,故这些切线位于同一个平面上.这个平面称为曲面在0M 处的切平面.向量n 是切平面的法向量,称为曲面在0M 处的法向量.切平面方程为'''000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=过点0M 与切平面垂直的直线,称为曲面S 在点0M 处的法线,其方程为000'''000000000(,)(,)(,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==若曲面方程由(,)z f x y =给出,则可令(,,)(,,)0F x y z f x y z z =-=于是''''',,1x x y y z F f F f F ===-这时曲面在0000(,,)M x y z 处的切平面方程为''0000000(,)()(,)()()0x y f x y x x f x y y y z z -+---=法线方程为000''0000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-【例3】求椭球面222326x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面和法线方程. 解 设222(,,)326F x y z x y z =++-''''''(,,)2,(,,)6,(,,)4(1,1,1)2,(1,1,1)6,(1,1,1)4x y z xyzF x y z x F x y z y F x y z z F F F ======故在点(1,1,1)处椭球面的切平面方程为2(1)6(1)4(1)0x y z -+-+-=即 3260x y z ++-=法线方程为111132x y z ---==【例4】 求旋转抛物面22z x y =+在点(1,1,2)-处的切平面方程和法线方程.解 由22z x y =+得 ''(1,1)(1,1)(1,1)22,(1,1)22x y f xf y---==-==-切平面方程为22(1)2(1)z x y -=--+即 222x y z --=法线方程为112221x y z -+-==--二、多元函数极值1. 二元函数的极值【例5】曲面z =在点(0,0)有极小值0z =. 【例6】 曲面2244z x y =--在点(0,0)有极大值4z =.与一元函数极值类似,多元函数的极值也是相对某个邻域而言的,是一个局部概念.定义1 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个邻域内有定义,若对改邻域内任一点(,)x y 都有00(,)(,)f x y f x y ≤(或00(,)(,)f x y f x y ≥)则称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 有极大值(或极小值)00(,)f x y .而称点00(,)x y 为函数(,)z f x y =的极大(或极小)值点.极大值点与极小值点统称极值点.2.极值的检验法 (1) 一阶偏检验定理1 (必要条件)设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,且在该点的偏导数存在,则必有''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.证明 不妨设(,)z f x y =在点00(,)x y 处有极大值,根据极值定义,对00(,)x y 的某一邻域内的任一点(,)x y ,有00(,)(,)f x y f x y ≤在点00(,)x y 的邻域内,也有000(,)(,)f x y f x y ≤,这表明一元函数0(,)f x y 在0x x =处取得极大值.因此,有'00(,)0x f x y =同理可证'00(,)0y f x y =与一元函数类似,使一阶偏导数''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==的点(,)x y 称为函数(,)z f x y =的驻点.由定理1及例5、例6可以看出：二元函数的极值点必然是驻点或一阶偏导数不存在的点. (2) 二阶偏检验定理2 (充分条件)设函数(,)z f x y =在定义域内的一点00(,)x y 处有二阶连续偏导数,且''0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.记''''''000000(,),(,),(,)xx xy yy f x y A f x y B f x y C ===,则(1) 当20B AC -<且0A >时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极小值00(,)f x y ;当20B AC -<且0A <时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处有极大值00(,)f x y ; (2) 当20B AC ->时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处无极值; (3) 当20B AC -=时,函数(,)f x y 在点00(,)x y 处可能有极值,也可能无极值.综上可得,具有连续二阶偏导数的函数(,)z f x y =,其极值求法如下:(1) 先求出偏导数'''''',,,x y xx yy f f f f ; (2) 解方程组''(,)0(,)0x yf x y f x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,求出定义域内全部驻点;(3) 求出驻点处的二阶偏导数值:'''''',,xx xy yyA fB fC f ===,确定2B AC ∆=-的符号,并判断()f x 是否有极值,如果有,求出其极值.【例7】 求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值.解 先求偏导数'2'2''''''(,)33,(,)336,3,6x y xxxyyyf x y x y f x y y x f x f f y=-=-==-=解方程组22330330x y y x ⎧-=⎨-=⎩,求得驻点为(0,0),(1,1).在驻点(0,0)处,''''''(0,0)0,(0,0)3,(0,0)0xx yy yy A f B f C f ====-==,2B AC -=90>,于是(0,0)不是函数的极值点.在驻点(1,1)处,''''''2(1,1)6,(1,1)3,(1,1)6,27xx xy yy A f B f C f B AC ====-==-=- 0<,且60A =<,所以点(1,1)是函数的极小值点,(1,1)1f =-为函数的极小值.3.最大值与最小值如果函数(,)z f x y =在有界闭区域D 上连续,则函数在D 上一定取得最大值和最小值.如果函数的最大值或最小值在区域D 的内部取得,则最大值点或最小值点必为驻点.因此,求处驻点的函数值及边界上函数的最大值和最小值,其中最大值便是函数在闭区域D 上的最大值,最小值便是函数在闭区域D 上的最小值.具体问题中,常常通过分析可知函数的最大值或最小值存在,且在定义域内部取得,又知在定义域内只有唯一驻点,于是可以肯定驻点处的函数值便是函数的最大值或最小值. 【例8】求函数(,)f x y =22:1D x y +≤上的最大值.解 在D 内(221x y +<),由''0,0x y f f ====解得驻点为(0,0),(0,0)2f =. 在D 的边界上(221x y +=)221(,)2y f x y +===<故函数在(0,0)处有最大值(0,0)2f =.【例9】 要做一容积为a 的无盖长方体铁皮容器,问如何设计最省材料?解 所谓最省材料,即无盖长方体表面积最小.该容器的长、宽、高分别为,,x y z ，表面积为S ，则有xyz a =22S xy xz yz =++消去z ，得表面积函数22a a S xy y x=++ 其定义域为0,0x y >>由'2'22020x y a S y x a S x y ⎧=-=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，求得驻点为.由于D 为开区域,且该问题必有最小值存在,于是必为S 的最小值点,此时az xy==,即长方体长、宽、高分别为时,容器所需铁皮最少,其表面积为S =.【例10】某公司每周生产x 单位A 产品和y 单位B 产品,其成本为22(,)221000C x y x xy y =+++产品,A B 的单位售价分别为200元和300元.假设两种产品均很畅销,试求使公司获得最大利润的这两种产品的生产水平及相应的最大利润. 解 依题意,公司的收益函数为(,)200300R x y x y =+因此,公司的利润函数为22(,)(,)(,)200300221000P x y R x y C x y x y x xy y =-=+----令''(,)200220(,)300240x y P x y x y P x y x y ⎧=--=⎪⎨=--=⎪⎩,得驻点(50,50). 利用二阶偏检法,求二阶偏导数''''''(,)2,(,)2,(,)4xx xy yy P x y P x y P x y =-=-=-，显然二阶偏导数在驻点(50,50)的值为22,2,4,40,20A B C B AC A =-=-=--=-<=-<。
常见的导数公式高中
常见的导数公式高中导数（Derivative）是研究数学函数性质的重要工具，它的定义可以采用微积分的概念来表达，特别是可以表达函数曲线的切线斜率。
偏导数则是在多元函数中表达某一变量的变化率而言，而且可以得到最佳值的时候也是很好的应用函数。
对于高中学生来说，有一些导数公式是他们需要掌握的，那么今天我们就来了解具体都有哪些常用的导数公式：首先，常用的一阶导数公式：如果f(x)是某一函数，那么它的一阶导数为f(x)，表示函数在x点处的斜率，其表示形式为：f(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其次，二阶导数公式：如果f(x)是某一函数，那么它的二阶导数为f(x)，表示函数在x点处的曲率，其表示形式为：f``(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h再次，多元函数的偏导数公式：如果F(x,y)是某一多元函数，那么它的偏导数可以表示为：F/x=lim(h→0)[F(x+h,y)-F(x,y)]/hF/y=lim(h→0)[F(x,y+h)-F(x,y)]/h最后，高阶导数公式：如果f(x)是某一多元函数，那么它的高阶导数为f(n)(x)，其表示形式为：f(n)(x)=lim(h→0)[f(n-1)(x+h)-f(n-1)(x)]/h我们可以看出，高中学生需要掌握的常见的导数公式主要有一阶导数公式、二阶导数公式、偏导数公式以及高阶导数公式。
这些公式是微积分日常应用中使用较频繁的，因此高中学生在学习微积分时，都有必要学习这些常见的导数公式，以便更好地理解微积分知识。
除了学习常见的导数公式之外，高中学生要注意掌握数学分析基础知识，特别是在函数曲线计算中，要注意抓住重点，比如：函数的斜率、函数的极值，以及函数图形的变化等等。
在实际的应用中，需要准确的理解函数的性质，以便更好的解决问题。
同时，学习微积分的过程切不可急于求成，应该多多练习，通过反复练习，让自己对微积分知识有更深入的理解，才能真正掌握这些知识，有助于高考取得好成绩。
简述偏导数的定义
小白也懂！偏导数的定义与应用偏导数是高等数学中比较基础的概念之一，同时也是微积分中的
一个重要概念。
下面我们来详细探究一下偏导数的定义和应用。
偏导数的定义：偏导数是指在多元函数中，将其中一个变量看作
常数，再对另一个变量求导数的过程。
一般情况下，我们用符号∂来表
示偏导数，例如∂z/∂x就表示函数z对变量x的偏导数。
需要注意的是，显然一个函数的所有偏导数并不一定存在，因此必须在定义域内分别
讨论。
在实际应用中，偏导数可以帮助我们求出函数在某个方向上的变
化率和斜率，以及在局部最优解等情况下决策是否正确等。
例如，对
于一个具有多个自变量的函数，我们需要通过求出其所有自变量的偏
导数，来判断在每个自变量的变化方向上，函数的变化趋势以及变化
快慢，从而为最优解的寻找提供指导。
此外，偏导数在物理学和工程
学等学科中也有广泛的应用，例如求出热传导方程和电磁场方程等。
因此，偏导数作为一种全面而有力的数学工具，在现代科学研究、工程技术和经济管理等领域中有着广泛应用和深远的影响。
希望大家
加强对偏导数的学习和应用，为实现美好的科学和社会发展作出贡献。
高中数学教学中导数与积分的应用
高中数学教学中导数与积分的应用
高中数学教学中导数与积分的应用
一、导数的应用
1、利用导数求单调递增函数的最大值或者最小值：由单调递减函数的导数可得其函数值最大值或者最小值，从而可以求得其实际应用中的最优解。
2、利用导数求函数的极值点：即可以利用偏导数来求函数的极值点，或者可以利用数值的比较定义来求函数的极大值、极小值，也可以利用泰勒展开式来求取函数的极值点。
3、确定函数的单调性：即可以利用导数的正负号来判断函数的单调性，如果导数大于0，函数在这个点上是增函数；如果导数小于0，函数在这个点上是减函数；如果导数为0，则函数在这个点上可能是极值点，也可能是拐点；如果符号不确定，则函数也有可能是极值点。
4、利用导数求函数的图象：即可以利用导数的正负号和符号的变化来确定对应的函数的图象，从而可以绘制出函数的图象，便于深入理解和分析函数的特征。
二、积分的应用
1、利用积分解决天文学中多个行星系统运动的问题：即可以利用数学分析，将复杂的运动实际上拆分为部分简单的问题，然后利用椭圆积分解决这些简单问题，从而可以获得比较完整的多个行星系统运动的计算结果。
2、利用积分解决物理中电势场的问题：可以利用积分的方法来解决电荷的吸引力的问题，从而可以获得电场的完整的计算结果，有助于深入理解物理系统中电场的行为特征。
3、利用积分解决圆的求面积的问题：即可以利用园形的极限表示计算圆的面积，有助于深入理解数学分析中极限概念的应用。
4、利用积分求无穷级数的和：即可以利用普通积分法求人级数的和，如将无穷级数转化为定积分，也可以利用无穷级数求积分，从而有助于深入理解积分概念的应用和实际结果。
偏导数的几何应用共30页
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇地 走到底 ，决不 回头。 ——左
高等数学-偏导数应用9
对空间曲线方程为
x z
x( z(
y) y)
或
x y
x(z) y(z)
也类似讨论.
(2) 若空间曲线为两个曲面的交线,即
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
在点 M0 (x0, y0, z0 )确定了隐函数
y
z
Байду номын сангаас
y( x) , 则切线的方向向量 z(x)
6.8 偏导数几何应用
6.8.1 空间曲线的切线与法平面 1. 空间曲线的切线
设曲线方程
x (t)
y
(t )
z (t)
( t )
且 '(t), '(t), '(t) 不全为零. t t0 对应
点 (x0 , y0 , z0 ) , 则曲线在 (x0 , y0 , z0 ) 的切线方程为:
r S
(1,
y
'( x0
),
z
'(x0 ))
例 6 53 求曲面 x2 y2 z2 3x 0 与平面
2x 3y 5z 4 0 的交线在 M0(1,1,1)处的切线 与法平面方程.
6.8.2 曲面的切平面与法线
曲面 S: F(x, y, z) 0, M0(x0, y0, z0)为曲面上一点. 设 Fx, Fy , Fz 在 M0 连续且不同时为零. 切平面的法向量 nr (Fx (x0, y0, z0 ), Fy (x0, y0, z0 ), Fz (x0, y0, z0 )) 切平面方程 : Fx (x0, y0, z0 )(x x0 ) Fy (x0, y0, z0 )( y y0 ) Fz (x0, y0, z0 )(z z0 ) 0 法线方程 :
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偏导数在高中的应用
偏导数在高中的应用主要涉及到对多元函数的极值和最值问题的研究。
一、偏导数与极值
在多元函数中，极值是函数在某个区域内达到的最大值或最小值。
为了找到函数的极值，我们需要先找到函数的驻点，即函数的一阶偏导数为零的点。
驻点可能是极值点，也可能不是。
因此，我们需要进一步检查驻点处的二阶偏导数。
一阶偏导数：如果一个多元函数的某个自变量改变时，函数值也相应地改变，那么这个自变量就是函数的偏导数。
一阶偏导数描述了函数在某个自变量方向上的变化率。
二阶偏导数：二阶偏导数描述了函数在某个自变量方向上的变化率的改变率。
如果二阶偏导数在驻点处为负，那么该驻点是一个极值点；如果二阶偏导数在驻点处为正，那么该驻点不是极值点。
二、偏导数与最值
除了极值外，多元函数还可能存在最值问题。
最值问题是指在一个给定的区域内，函数达到的最大值和最小值。
与极值问题类似，为了找到函数的最值，我们也需要先找到函数的驻点，然后检查驻点处的二阶偏导数。
一阶偏导数：与极值问题中的一阶偏导数相同，一阶偏导数描述了函数在某个自变量方向上的变化率。
二阶偏导数：与极值问题中的二阶偏导数相同，二阶偏导数描述了函数在某个自变量方向上的变化率的改变率。
如果二阶偏导数在驻点处为负，那么该驻点是一个最值点；如果二阶偏导数在驻点处为正，那么该驻点不是最值点。
三、应用实例
以一个二元函数为例，假设函数为f(x,y)，其中x和y 都是自变量。
为了找到函数的极值和最值，我们可以按照以下步骤进行操作：
求一阶偏导数：对函数f(x,y)分别求关于x和y的一阶偏导数，得到两个一阶偏导数。
找驻点：令一阶偏导数为零，解得驻点的坐标。
判断极值：检查驻点处的二阶偏导数，如果二阶偏导数为负，则该驻点是极值点；如果二阶偏导数为正，则该驻点不是极值点。
判断最值：同样检查驻点处的二阶偏导数，如果二阶偏导数为负，则该驻点是最小值点；如果二阶偏导数为正，则该驻点不是最小值点。
通过以上步骤，我们可以找到函数的极值和最值，并确定其位置。
这对于解决实际问题中的优化问题具有重要意义。
例如，在工程设计、经济分析等领域中，常常需要寻找函数的极值和最值来优化设计方案或提高经济效益。