2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题09对数与对数函数(教学案)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；

2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，1

2的对数函数的图象；

3.体会对数函数是一类重要的函数模型.

4.了解指数函数y ＝a x

(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．

1．对数的概念

一般地，对于指数式a b

＝N ，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ，即b ＝log a N (a >0，且a ≠1)．其中，数a 叫做对数的底数，N 叫做真数，读作“b 等于以a 为底N 的对数”． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则

如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么

①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N

＝log a M －log a N ； ③log a M n

＝n log a M (n ∈R )；④log am M n

＝n m

log a M . (2)对数的性质

①a log a N ＝__N __；②log a a N

＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式

①换底公式：log b N ＝log a N

log a b (a ，b 均大于零且不等于1)；

②log a b ＝1

log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d .

3．对数函数的图象与性质

a >1 0

图 象

性 质

(1)定义域：(0，＋∞)

(2)值域：R

(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 (4)当x >1时，y >0 当01时，y <0 当00 (6)在(0，＋∞)上是增函数

(7)在(0，＋∞)上是减函

数

4.反函数

指数函数y ＝a x

与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．

【必会结论】

1．对数的性质(a ＞0且a ≠1) (1)log a 1＝0；(2)log a a ＝1；(3)a log aN

＝N .

2．换底公式及其推论

(1)log a b ＝log c b

log c a (a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)；

(2)log a b ·log b a ＝1，即log a b ＝1

log b a ；

(3)log am b n

＝n m

log a b ；

(4)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y ＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．

故0＜c ＜d ＜1＜a ＜b .由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

高频考点一 对数式的运算

例1、(1)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2

的值为________．

答案 3

解析 原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(1＋lg 2)＋lg 2

2＝2(lg 5＋lg 2)＋lg 5＋lg 2(lg 2＋lg 5)＝2＋lg 5＋lg 2＝3.

(2)已知3a ＝4b

＝12，则1a ＋1b

＝________.

答案 2

解析 因为3a

＝4b

＝12，所以a ＝log 312，

b ＝log 412，1a ＝log 12 3，1

b ＝log 12

4，

所以1a ＋1

b

＝log

12

3＋log

12

4＝log

12

12＝2.

【变式探究】(1)设2a ＝5b

＝m ，且1a ＋1b

＝2，则m 等于( )

A.10 B ．10 C ．20 D ．100

(2)计算：⎝ ⎛⎭

⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________．

【方法规律】对数运算的一般思路

(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2)将同底对数的和、差、倍合并；

(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

【变式探究】 (1)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧2x

，x ≥4，

f （x ＋1），x <4，则f (2＋lo

g 23)的值为( )

A ．24

B ．16

C ．12

D ．8

(2) lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫12－1＝________．

解析 (1)因为3<2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝23＋log 23＝8×2log 23＝24. (2)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝lg 5＋lg 2－2＝lg 10－2＝－1. 答案 (1)A (2)－1

高频考点二 对数函数的图象及应用

例2、(1)若函数y ＝a |x |

(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )

(2)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于

x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是

________．

解析 (1)由于y ＝a |x |

的值域为{y |y ≥1}， ∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称． 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.

(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距．

由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点． 答案 (1)B (2) a >1

【方法规律】应用对数型函数的图象可求解的问题

(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．