函数的基本性质

第四讲 函数的基本性质

.函数的单调性概念

（1）增函数和减函数的概念

如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性．区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间． （3）函数的单调性等价变形 设[]2121,,x x b a x x ≠∈，那么 ①[]1212()()()0x x f x f x --> ⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔>--上是增函数；

②[]1212()()()0x x f x f x --<⇔

[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔<--上是减函数.

2.运算法则：如果函数)(x f 和)(x g 在相同区间上是单调函数,则（1）增函数+增函数是增函数；（2）减函数+减函数是减函数；（3)增函数-减函数是增函数；（4）减函数-增函数是减函数；

3.常见函数的单调性：

（1）一次函数b kx y +=，当0>k 时，在区间),(+∞-∞上是增函数，当0

),(+∞-∞上是减函数；

（2）反比例函数x

k

y =

，当0>k 时，在区间)0,(-∞和区间),0(+∞上是减函数，当0

（3）二次函数c bx ax y ++=2

，当0>a 时，在区间)2,(a

b

-

-∞是减函数，在区间),2(+∞-

a b 是增函数，当0

b

是减函数.

4.函数单调性判定方法

①定义法：取值、作差、变形、定号、下结论 ②运算法则法

④图像法，利用图像研究函数的单调性.

1.根据函数的单调性的定义，证明函数1)(3

+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。

2.判断函数)0()(>+=p x

p

x x f 的单调性

3.根据函数的单调性的定义，证明函数x x x f -+=1)(2在),(+∞-∞上是减函数。

4.函数)(x f 对任意的R b a ∈,都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，且0>x 时，)(x f ＞1,（1）证明：)(x f 是R 上的增函数；（2）若5)4(=f ，解不等式：f （)232

--m m 3<。

5.求下列函数的单调区间

,1

)(+=

x x

x f (2)32)(2-+=x x x f ，

9696)()3(22++++-=x x x x x f

6.(1)求函数f(x)=2

45x x --的单调增区间；

（2）求函数20

1

)(2

--=x x x f 的单调区间。

7.若函数f(x)=ax x 22+-与x

a

x g =)(在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围为 .

8.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=,

0,)2(,0,1)12()(2

x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，求实数b 的取值范围。

9.如果c bx x x f ++=2

)(，对任意实数t 都有)2()2(t f t f -=+，比较)4(),2(),1(f f f 的大小。

10.(1)求函数23)(++-=x x x f 的值域；

（2）求函数5

21

32+-

+=x x y 的最小值。

11.f(x)是定义在)2,1[-上的增函数，若)1(-a f ＞)31(a f -，求实数a 的取值范围。

课时训练6.

1．下列函数在(0,1)上是增函数的是 A ．y x = B ．2y x

=

C ．31y x =-+

D ．2

1y x =-+

2．已知函数3

()f x x

=

，则下面区间不是递减区间的是 A ．(0,)+∞ B ．(,0)-∞ C ．(,0)(0,)-∞+∞ D ．(1,)+∞

3．函数3

)(x x f =，]2,0[∈x ，则)(x f 的值域是

A ．]8,0[

B ．]6,0[

C ．]6,1[

D ．]8,1[ 4．函数()f x 是定义在(2,2)-上的减函数，则不等式()(2)f x f x >-的解集为 A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(2,)+∞ D ．(,2)-∞ 5．若函数()1

x f x x a

-=

+在(),1-∞-上是减函数，则a 的取值范围是 A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．(],1-∞ D ．(),1-∞ 6．设0

1y x x

=

+

-的最小值是________． 7．已知函数f (x )＝x 2–6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________． 8．求证：函数2

()1

f x x =-在(1，＋∞)上是减函数．

9．函数f (x )的图象如图所示.

（1）根据图象指出函数f (x )的单调区间，以及在每一个单调区间上，它是增函数还是减函数；

（2）根据图象，结合（1）的结论，给出函数f (x )的最值情况.