高中人教A版数学必修3学案：3.3.1-几何概型-3.3.2-均匀随机数的产生-【含答案】

3.3几何概型

3.3.1几何概型

3.3.2均匀随机数的产生学习目标核心素养

1．通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义．(重点)

2．会求一些简单的几何概型的概率．(重点、难点)

3．会用随机模拟的方法近似计算事件的概率．(重点)1.通过求简单几何概型的概率，培养数学运算素养．2．借助与面积、体积等有关的几何概型问题，培养直观想象素养.

1．几何概型的概念

(1)几何概型的定义

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．

(2)几何概型的特点

①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．

②每个基本事件出现的可能性相等．

2．几何概型的概率公式：

P(A)＝

构成事件A的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

3．均匀随机数

(1)均匀随机数的概念

在随机试验中，如果可能出现的结果有无限多个，并且这些结果都是等可能发生的，我们就称每一个结果为试验中全部结果所构成的区域上的均匀随机数．

(2)均匀随机数的产生

①计算器上产生[0,1]的均匀随机数的函数是RAND函数．

②Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand()”．

(3)用模拟的方法近似计算某事件概率的方法

①试验模拟的方法：制作两个转盘模型，进行模拟试验，并统计试验结果．

②计算机模拟的方法：用Excel软件产生[0,1]区间上均匀随机数进行模拟(注意操作步骤)．

(4)[a，b]上均匀随机数的产生

利用计算器或计算机产生[0,1]上的均匀随机数x＝RAND，然后利用伸缩和平移交换，x＝x1*(b-a)+a就可以得到[a，b]内的均匀随机数，试验的结果是[a，b]上的任何一个实数，并且任何一个实数都是等可能出现的．

1．下列概率模型中，几何概型的个数为()

①从区间[－10,10]上任取一个数，求取到的数在[0,1]内的概率；

②从区间[－10,10]上任取一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；

③从区间[－10,10]上任取一个整数，求取到大于1而小于3的数的概率；

④向一个边长为4 cm的正方形内投一点，求点离中心不超过1 cm的概率．

A．1 B．2

C．3 D．4

C[①②中的概率模型是几何概型，因为区间[－10,10]上有无数个数，且每个数被取到的机会相等；

③中的概率模型不是几何概型，因为区间[－10,10]上的整数只有21个，是有限的；

④中的概率模型是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形内有无数个点，且该区域内的任何一个点被投到的可能性相同．]

2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()

A.4

5 B.

3

5

C.2

5 D.

1

5

B[区间[－2,3]的区间长度为5，在上面随机取一数X，使X≤1，即－2≤X≤1.

其区间长度为3，所以概率为35.] 3.每年新春佳节时，我国许多地区的人们有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．如图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深色部分的面积，将窗花图案放置在边长为20 cm 的正方形内，在该正方形内随机生成1 000个点，恰有535个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为( )

A ．168 cm 2

B ．214 cm 2

C ．248 cm 2

D ．336 cm 2

B [正方形的面积S ＝20×20＝400 cm 2，则由题意知对应深色区域面积S 满足S 400＝5351 000，得S ＝214 cm 2，故选B.]

4．如图AB 是圆O 的直径，OC ⊥AB ，假设你在图形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．

1π [设圆的半径为R ，则圆的面积为S ＝πR 2，阴影的面积S 阴＝12

·2R ·R ＝R 2，故所求概率P ＝S 阴S ＝R 2πR 2＝1π.]

与长度、角度有关的几何概型

[探究问题]

1．几何概型与古典概型的区别是什么？

[提示] 几何概型的试验结果是无限的，古典概型的试验结果是有限的．

2．解决几何概型问题概率的关键是什么？

[提示] 确定所求概率与区域长度、角度、面积、体积中的哪一个有关．

3．“P (A )＝0⇔A 是不可能事件”，“P (A )＝1⇔A 是必然事件”，这两种说法是否成立？

[提示] (1)无论是古典概型还是几何概型，若A 是不可能事件，则P (A )＝0肯定成立；若A 是必然事件，则P (A )＝1肯定成立．

(2)在古典概型中，若事件A 的概率P (A )＝0，则A 为不可能事件；若事件A 的概率P (A )＝1，则A 为必然事件．

(3)在几何概型中，若事件A 的概率P (A )＝0，则A 不一定是不可能事件，如：事件A 对应数轴上的一个点，则其长度为0，该点出现的概率为0，但A 并不是不可能事件；同样地，若事件A 的概率P (A )＝1，则A 也不一定是必然事件．

【例1】 在等腰直角三角形ABC 中，在斜边AB 上任取一点M ，求AM 小于AC 的概率．

思路点拨：本例是与哪种区域有关的几何概型问题？

[解] 点M 随机地落在线段AB 上，故线段AB 的长度为

试验的全部结果所构成的区域长度．在AB 上截取AC ′＝AC ，

当点M 位于图中的线段AC ′上(不包括点C ′)时，AM

线段AC ′即为构成事件A 的区域长度．

于是P (AM

1．(变条件)在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与直线AB 交于点M ，求AM 小于AC 的概率．

[解] 由题意，应看成射线CM 在∠ACB 内是等可能分

布的，在AB 上截取AC ′＝AC (如图)，则∠ACC ′＝67.5°，故满

足条件的概率为67.590＝34.