江苏省南京市2021年中考数学试卷【含答案】

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2021年江苏省南京市中考数学试卷(解析版)

江苏省南京市中考数学试卷-解析版一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分,在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1、（2011•南京）√9的值等于（）A、3B、﹣3C、±3D、√3考点：算术平方根。

分析：此题考查的是9的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数．解答：解：∵√9=3，故选A．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0的算术平方根是0．2、（2011•南京）下列运算正确的是（）A、a2+a3=a5B、a2•a3=a6C、a3+a2=aD、（a2）3=a6考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法。

专题：计算题。

分析：根据合并同类项法则、积的乘方和幂的乘方的法则运算．解答：解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；B、a2•a3=a2+3=a5≠a6，故本选项错误；C、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；D、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确．故选D．点评：此题考查了幂的乘方与积的乘方、合并同类项等知识，属于基本题型．3、（2011•南京）在第六次全国人口普查中，南京市常住人口约为800万人，其中65岁及以上人口占9.2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为2%，则该市65岁及以上人口用科学记数法表示约为（）A、0.736×106人B、7.36×104人C、7.36×105人D、7.36×106人考点：科学记数法—表示较大的数。

专题：计算题。

分析：先计算出该市65岁及以上人口数，然后用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：该市65岁及以上人口：8000000×9.2%=736000（人）将736 000人用科学记数法表示7.36×105人．故选C．点评：题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4、（2011•南京）为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查．下列抽取学生的方法最合适的是（）A、随机抽取该校一个班级的学生B、随机抽取该校一个年级的学生C、随机抽取该校一部分男生D、分别从该校初一、初二、初三年级中各随机抽取10%的学生考点：全面调查与抽样调查。

2021年江苏省南京市中考数学经典试题附解析

2021年江苏省南京市中考数学经典试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．半径分别为5和8的两个圆的圆心距为d ，若313d <≤，则这两个圆的位置关系一定是（）A ．相交B ．相切C ．内切或相交D ．外切或相交2．某种小麦播种1 粒发芽的概率约为 95%，1 株麦芽长成麦苗的概率为 90%，一块试验地的麦苗数为 8550000 株，若该麦种的千粒质量为35 g ，则播种这块试验地需麦种约（） A ．2.9 kgB ．3.5 kgC ．29kgD ．350kg3．如图，在大小为 4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是（）A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．②和④ 4．如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC,AD=AB,BC=BD,∠A=100°,则∠C=（）A ．80°B ．70°C ．75°D ．60°5．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的例子是（） A ．∠1=50°，∠2=40° B ．∠1=50°，∠2=50° C ．∠1=∠2=45°D ．∠1=40°，∠2=40°6．甲、乙两个学生在一年里学科平均分相等，但他们的方差不相等，正确评价他们的学习情况是（）A ．因为他们的平均分相等，所以学习水平一样B ．成绩虽然一样，方差较大的，说明潜力大，学习态度踏实C ．表面上看这两个学生平均成绩一样，但方差小的学习成绩稳定D ．平均分相等，方差不等，说明学习水平不一样，方差较小的同学，学习成绩不稳定，忽高忽低7．以下各几何体中，不是多面体的是（） A ．八圆锥 B ．棱锥C ．三棱锥D ．四棱柱8．⎩⎨⎧==21y x 是方程3=-y ax 的解，则a 的值是（） A ．5B ．5-C ．2D ．19．在公式12111R r r =+（120r r +≠）中，用1r ，2r 表示R 的式子是（） A ．12R r r =+ B ．12R r r =C ．1212r r R r r +=D ．1212r r R r r =+ 10．刚刚喜迁新居的小华同学为估计今年六月份（30天）的家庭用电量，在六月上旬连续7天同一时刻观察电表显示的度数并记录如下：日期 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号电表显示数（度）24273135424548你预计小华同学家六月份用电总量约是（） A ．1080度B ．124度C ．103度D ．120度11．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（） A ．两条直角边对应相等 B ．直角边和斜边对应相等 C ．两个锐角对应相等 D ．斜边和锐角对应相等12．若有理数 a 、b 在数轴上对应点位置如图所示，则下列正确的是（）A ．||b a >-B ．||a b >-C ．b a >D ．||||a b >13．某居民楼的一个单元一共有l0户人家，每两个月对住户的用水进行统计，8月底时，轮到小明统计，小明对每户人家的水表进行了“抄表”，从而得到每个住户的用水量，结果有3户家庭用水39吨，4户家庭用水42吨，3户家庭用水45吨，则此单位住户的月平均用水量是（） A ．21吨B ．39吨C ．42吨D ．45吨二、填空题14．两圆的半径分别为3和5，当这两圆相交时，圆心距d 的取值范围是． 15．如图所示，有一个直角梯形零件 ABCD ，AD ∥BC ，若斜腰 DC 的长为 10 cm ，∠D = 120°，则该零件另一腰 AB 的长是 cm ．16．如图，把一面小镜子放在离树(AB)5m 的点 E 处，然后沿着直线 BE 向后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点 A ，即∠CED=∠AEB ，现量得 ED= 2.lm ，观察高CD=1.5m ，则树高 AB= ．17．已知抛物线y＝ax2＋x＋c与x轴交点的横坐标为－1,则a＋c=__________.１18．已知二次函数y =ax2 +bx+c的图象如图所示，则点P（a，bc）在第象限．19．放假了，小明和小丽去蔬菜加工厂社会实践，两人同时工作了一段时间后，休息时小明对小丽说：“我已经加工了28kg，你呢?”小丽思考了—会儿说：“我来考考你，图①、图②分别表示你和我的工作量与工作时间的关系，你能算出我加工了多少千克吗?”小明思考后回答：“你难不倒我，你现在加工了 kg”20．如果点M(1x-,1y-)是坐标原点,那么分式223x yx y+-的值为 .21．生活中常见的数字：(1)邮政编码是位数，你家所在地的邮编是，你家所在地的长途区号是．(2) 报警电话是，火警电话是电话，120 是电话，121是电话.三、解答题22．小明站在窗口观察室外的一棵树．如图所示，小明站在什么位置才能看到这棵树的全部?请在图中用线段表示出来．23．如图，已知线段 AB，试以线段 AB 为弦，在 AB 的上方画弧，使所画的弧分别是劣弧、优弧和半圆，并指出这三种不同情况时，圆心与线段的位置关系．24．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C，AB 不平行CD，且AB=CD．求证：四边形ABCD 是等腰梯形．25．已知3(21)23-=-的解不大于2，求b的取值范围.x x b5b≥-326．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，∠BAD 比∠BAE大48°，求∠BAE和∠BAD的度数.27．某中学库存 960 套旧桌凳，修理后捐助贫困山区学校. 现有甲、乙两个木工小组都想承揽这项业务. 经协商后得知：甲小组单独修理比乙小组多用 20 天；乙小组每天修的套数是甲小组的 1.5 倍；学校每天需付甲小组修理费 80元，付乙小组 120 元.(1)甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？(2)在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天 10 元的生活补助. 现有以下三种修理方案供选择：①由甲单独修理；②由乙单独修理；③由甲、乙共同合作修理. 你认为哪种方案既省时又省钱？试比较说明.28．某农场有 300 名职工和 51 公顷土地，已知种植各种植物每公顷所需劳动力人数及投入的设备资金如下表：农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金水稻4人 1 万元棉花8入 1 万元蔬菜 5 人2万元已知该农场计划在设备上投入 67 万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的设备资金正好够用？29．2002年5月15日，我国发射的海洋1号气象卫星，进入预定轨道后，若绕地球运行的速度为每秒7．9×103m，则运行2×102 s，走过的路程是多少(用科学记数法表示)?30．请在钟面的某些数字前添上负号，使钟面上所有数字之和等于 0，想一想，这样的负号至少需添几个？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．D3．C4．B5．A6．C7．A8．A9．D10．答案:D11．C12．A13．A二、填空题14．<<15．d285316．2517．718．三19．2020．-321．(1)6略，略 (2) 1lO， 119，急救，天气预报三、解答题22．小明应该站在AB的位置．23．如图中虚线所示，当圆心在线段上时所画的弧是半圆；当圆心与弧在线段同侧时所画的弧是优弧；当圆心与弧在线段异侧时所画的弧是劣弧．24．延长BA，CD交于P，证AD∥BC25．5b≥-26．3设∠BAE和∠BAD 的度数分别为x、y. 根据题意，得48290y xy x-=⎧⎨+=⎩，解得1462xy=⎧⎨=⎩，所以∠BAE和∠BAD的度数分别为 14°和62°.27．（1）甲每天修16 套，乙每天修 24 套；（2）甲、乙合作省时又省钱28．种植水稻 15 公顷，棉花20 公顷，蔬菜 16 公顷29．1.58×lO6m30．至少需添 4个，分别是：-12，-11，-10，-6 或-12，-10，-9，-8 或-12，-11，-9。

2021年江苏省南京市中考数学试题及答案

第4题l O 2O 1南京中考数学试题一、选择题（本大题共有6小题，共12分，每小题2分．）1.计算12-7×（-4）+8÷（-2）的结果是A ．-24B ．-20C ．6D ．362.计算23)1 ·aa （的结果是 A ．a B ．5a C ．6a D ．9a3．设边长为3的正方形的对角线长为a.下列关于a 的四种说法：①a 是无理数；②a 可以用数轴上的一个点来表示；③3＜a ＜4；④a 是18的算术平方根。

其中，所有正确说法的序号是A ．①④B ．②③C ．①②④D ．①③④4.如图，⊙O 1、⊙O 2的圆心O 1、O 2在直线l 上，⊙O 1的半径为2cm ，⊙O 2的半径为3cm ，O 1O 2=8cm 。

⊙O 1以1cm/s 的速度沿直线l 向右运动，7s 后停止运动。

再此过程中，⊙O 1与⊙O 2没有出现的位置关系是A ．外切B ．相交C ．内切D ．内含函数y=k 1x 的图像与反比例函数xk y 2 的图像5.在同一直角坐标系中，若正比例没有公共点，则A ．k 1+ k 2＜0B ．k 1+ k 2＞0C ．k 1k 2＜0D ．k 1k 2＞06. 如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色，下列图形中，是该几何体的表面展开图的是二、填空题（本大题共有10小题，共20分，每小题2分．）第6题A ． B ． C ． D ．F E O D C B A 1D'B'C'D C B A 第12题第11题7.-3的相反数是；-3的倒数是 .8.计算2123-的结果是 . 9.使式子111-+x 有意义的x 的取值范围是 . 10.第二节亚洲青年运动会将于2013年8月16日至24日在南京举办，在此期间约有13000名青少年志愿者提供服务，将13000用科学计数法表示为 .11.如图将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到AB ’C ’D ’的位置，旋转角α（0°＜α＜90°）.若∠1=110°，则∠α= °.12. 如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF .若菱形ABCD 的边长为2cm ，∠A =120°，则EF = cm .13.△OAB 是以正多边形相邻的两个顶点A 、B 与它的中心O 为顶点的三角形，若△OAB 的一个内角为70°，则该正多边形的边数为 .14. 已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程 .15. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点P ，已知A （2,3），B (1,1),D (4,3),则点P 的坐标为（，）.16.计算⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛----51413121615141312116151413121514131211的结果是 .三、解答题（本大题共有11小题，共88分．）17.（6分）化简b a a b a b b a +÷⎪⎭⎫ ⎝⎛---221. 18.（6分）解方程x x x --=-21122x x +1 1+x xA DBC P y x O 第14题第15题19.（8分）如图，在四边形ABCD 中，AB =BC ，对角线BD 平分∠ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N. （1）求证：∠ADB =∠CDB ；(2)若∠ADC =90°，求证：四边形MPND 是正方形. 20.（8分）(1)一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各1个，这些球除颜色外都相同，求下列事件的概率：①搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；②搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是是红球；（2）某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的.如果小明从每道题的4个选项中随机的选择一个，那么他6道选择题全部选正确的概率是（）A ．41B ．641⎪⎭⎫ ⎝⎛C ．6411⎪⎭⎫ ⎝⎛-D ．6431⎪⎭⎫ ⎝⎛- 21.（9分）某校有2000名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了150名学生进行抽样调查，整理样本数据，得到下列图表：方式划记频数步行正正正 15骑车正正正正正正正正正正一51乘公共交通工具正正正正正正正正正45乘私家车正正正正正正30其它正一一一一9合计 150（1）理解画线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？请说明理由；某校150名学生上学方式CNP D M A B 某校150名学生上学方式频数分布表扇形统计图步行10%其它6%乘私家车20%乘公共交通工具30%骑车34%（2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图：（3）该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议，如：骑车上学的学生数约占全校的34%，建议学生合理安排自行车停车场地，请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议： .22.（8分）已知不等臂跷跷板AB 长4m ，如图①，当AB 的一端A 碰到地面时，AB 与地面的夹角为α；如图②，当AB 的另一端B 碰到地面时，AB 与地面的夹角为β.求跷跷板AB 的支撑点O 到地面的高度OH .（用含α、β的式子表示）某校2000名学生上学方式条形统计图步行骑车乘公共乘私其它上学方式交通工具家车人数H ① H ②23.（8分）某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应返回金额. 消费金额（元）300~400 400~500 500~600 600~700 700~900 ···返还金额（元）30 60 100 130 150 ···注：300~400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同.根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1-80%)+30=110（元）（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少？（2）如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？24.（8分）小丽驾车从甲地到乙地，设她出发第x min 时的速度为y km/h ，图中折线表示她在整个驾车过程中第y 与 x 之间的函数关系.（1）小丽驾车的最高速度是 km/h;(2)当20≤x ≤30时，求y 与 x 之间的函数关系式，并求出小丽出发第22min 时的速度；（3）如果汽车每行驶100km 耗油10L ，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升？10 20 30 40 50 x (min) 724824 O y (km/h) A B C D E F G 方法指导如果物体的运动速度随着时间均匀增加（或减少），那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数。

江苏省南京市2021年中考数学试卷【含答案】

（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为________（用含l，h的代数式表示）．
②设的长为a，点B在母线上，．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．
作法：连结PO，分别以P、O为圆心，以大于 PO的长度为半径画弧交PO上方于点B，连结BP、BO；以点B为圆心，任意长为半径画弧交BP、BO于C、D两点，分别以于C、D两点为圆心，大于 CD的长度为半径画弧交于一点，连结该点与B点，并将其反向延长交PQ于点A，以点A为圆心，PA长为半径画弧，交于点Q，连结PQ，PQ即为所求．
A.10：00B.12：00C.15：00D.18：00
【答案】C
5.一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（）
A.16的4次方根是2B.32的5次方根是
C.当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D.当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大
【答案】C
6.如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）
17.解不等式，并在数轴上表示解集．
【答案】，数轴上表示解集见解析
【解析】
【分析】按照解一元一次不等式的一般步骤，直接求解即可．
详解】
去括号：
移项：
合并同类项：
化系数为1：
解集表示在数轴上：
18.解方程．
【答案】
19.计算．
【答案】

2021年南京市数学中考真题含答案解析及答案(word解析版)

南京市2021年初中毕业生学业考试数学注意事项：1. 本试卷共6页。

全卷满分120分。

考试时间为120分钟。

考生答题全部答在答题卡上,答在本试卷上无效。

2. 请认真核对监考教师在答题卡上所黏贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符,再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。

3. 答选择题必须用2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。

如需改动,请用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。

答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置, 在其他位置答题一律无效。

4. 作图必须用2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。

一、选择题 (本大题共6小题,每小题2分,共12分。

在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)1. 计算12-7⨯(-4)+8÷(-2)的结果是 (A) -24 (B) -20 (C) 6 (D) 36答案：D解析：原式＝12＋28－4＝36,选D 。

2. 计算a 3．( 1a)2的结果是(A) a (B) a 5 (C) a 6 (D) a 9答案：A 解析：原式＝,选A 。

3. 设边长为3的正方形的对角线长为a ,下列关于a 的四种说法：① a 是无理数。

② a 可以用数轴上的一个点来表示。

③ 3<a <4。

④ a 是18的算术平方根。

其中,所有正确说法的序号是(A) ①④ (B) ②③ (C) ①②④ (D) ①③④答案：C解析：由勾股定理,得：,所以,③错误,其它都正确。

4. 如图,圆O 1、圆O 2的圆心O 1、O 2在直线l 上,圆O 1的半径为2 cm,圆O 2的半径为3 cm,O 1O 2=8 cm 。

圆O 1以1 cm/s 的速度沿直线l 向右运动,7s 后停止运动,在此过程中,圆O 1与圆O 2没有出现的位置关系是(A) 外切 (B) 相交 (C) 内切 (D) 内含答案：D解析：7s 后两圆刚好内切,所以,外切、相交、内切都有,没有内含,选D 。

南京市2021年中考数学试题(1)

B ． 3 3南京市 2021 年初中毕业生学业考试数学注意事项：1．本试卷共 6 页．全卷满分 120 分．考试时间为 120 分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．3．答选择题必须用 2B 铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用 2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上） 1．为了方便市民出行，提倡低碳交通，近几年南京市大力发展公共自行车系统．根据规划，全市公共自行车总量明年将达 70 000 辆．用科学记数法表示 70 000 是 A ．0.7×105 B ．7×104 C ．7×105 D ．70×103 2．数轴上点 A 、B 表示的数分别是 5、－3，它们之间的距离可以表示为A ．－3＋5 B ．－3－5 C ．|－3＋5| D ．|－3－5| 3．下列计算中，结果是 a 6 的是 A ．a 2＋a 4 B ．a 2·a 3 C ．a 12÷a 2D ．(a 2)3 4．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是A ．3，4，4B ．3，4，5C ．3，4，6D ．3，4，75．已知正六边形的边长为 2，则它的内切圆的半径为A ．1 C ．2D ．2 36．若一组数据 2，3，4，5，x 的方差与另一组数据 5，6，7，8，9 的方差相等，则 x 的值为A ．1B ．6C ．1 或 6D ．5 或 6二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上） 7．化简： 8＝ ▲ ； 8 ＝ ▲ ．8．若式子 x ＋ x －1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ▲ ． 9．分解因式 2a (b ＋c )－3(b ＋c )的结果是 ▲ ．10．比较大小： 5－3 ▲ 5－2．（填“＞”“＜”或“＝”号）211．方程 1 ＝3的解是 ▲ ．x －2 x12．设 x 1、x 2 是方程 x 2－4x ＋m ＝0 的两个根，且 x 1＋x 2－x 1x 2＝1，则 x 1＋x 2＝ ▲ ，m ＝ ▲ ．EF13．如图，扇形 OAB 的圆心角为 122°，C 是A ⌒B 上一点，则∠ACB ＝ ▲ °．CA BO （第 13 题）（第 14 题）14．如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 相交于点 O ，△ABO ≌△ADO ．下列结论：①AC ⊥BD ；② CB ＝CD ；③△ABC ≌△ADC ；④DA ＝DC ．其中所有正确结论的序号是 ▲ ．15．如图，AB 、CD 相交于点 O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD ．EF 是△ODB 的中位线，且 EF ＝2，则 AC 的长为 ▲ ．ABDB（第 15 题）C （第 16 题）16．如图，菱形 ABCD 的面积为 120 cm 2，正方形 AECF 的面积为 50 cm 2，则菱形的边长为 ▲ cm ．三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）x ＋1≤2(x ＋1)，17．（7 x ＜5x ＋12，并写出它的整数解．18．（7 分）计算a－ 3a －1a －1 a 2－1．19．（7 分）某校九年级有24 个班，共1 000 名学生，他们参加了一次数学测试．学校统计了所有学生的成绩，得到下列统计图．某校九年级男女生的人数分布扇形统计图某校九年级数学测试男女生成绩的平均数条形统计图平均数/分8482807876男生女生群体（1）求该校九年级学生本次数学测试成绩的平均数；（2）下列关于本次数学测试说法正确的是（▲ ）A．九年级学生成绩的众数与平均数相等B．九年级学生成绩的中位数与平均数相等C．随机抽取一个班，该班学生成绩的平均数等于九年级学生成绩的平均数D．随机抽取300 名学生，可以用他们成绩的平均数估计九年级学生成绩的平均数20．（8 分）我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究．请根据示例图形，完成下表．图形的变化示例图形与对应线段有关的结论与对应点有关的结论平移B A A′B′（1）▲．AA′＝BB′；AA′∥BB′．轴对称BAl A′B′（2）▲．（3）▲．旋转A B′A′AB＝A′B′；对应线段AB 和A′B′所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互（4）▲．BO补．男生60%女生40%82.58021．（8 分）用两种方法证明“三角形的外角和等于 360°”．如图，∠BAE 、∠CBF 、∠ACD 是△ABC 的三个外角．求证∠BAE ＋∠CBF ＋∠ACD ＝360°．证法 1：∵ ▲ ，∴ ∠BAE ＋∠1＋∠CBF ＋∠2＋∠ACD ＋∠3＝180°×3＝540°． ∴ ∠BAE ＋∠CBF ＋∠ACD ＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)． ∵ ▲ ，∴ ∠BAE ＋∠CBF ＋∠ACD ＝540°－180°＝360°．请把证法 1 补充完整，并用不同的方法完成证法 2（第 21 题）22．（8 分）某景区 7 月 1 日～7 月 7 日一周天气预报如下．小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游．求下列事件的概率：（1）随机选择一天，恰好天气预报是晴；（2）随机选择连续的两天，恰好天气预报都是晴．23．（8 分）下图中的折线 ABC 表示某汽车的耗油量 y （单位：L / km ）与速度 x （单位：km/h ）之间的函数关系（30≤x ≤120）．已知线段 BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加 1 km/h ，耗油量增加 0.002 L / km ．（1）当速度为 50 km/h 、100 km/h 时，该汽车的耗油量分别为 ▲ L / km 、 ▲ L / km ．（2）求线段 AB 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式．（3）速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？y （L / km ）CA0.15 0.12O306090120 x （km/h ）（第 23 题）24．（7 分）如图，在□ABCD 中，E 是 AD 上一点，延长 CE 到点 F ，使∠FBC ＝∠DCE ．（1）求证∠D ＝∠F ；（2）用直尺和圆规在 AD 上作出一点 P ，使△BPC ∽△CDP （保留作图的痕迹，不写作法）．FDB （第 24 题）25．（9 分）图中是抛物线形拱桥，P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4 m ．从 O 、A 两处观测 P 处，仰角分别为α、β，且 tan α＝1，tan β＝3．以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系．2 2 （1）求点 P 的坐标；（2）水面上升 1 m ，水面宽多少（ 2取 1.41，结果精确到 0.1 m ）？（第 25 题）26．（8 分）如图，O 是△ABC 内一点，⊙O 与 BC 相交于 F 、G 两点，且与 AB 、AC 分别相切yPαβ OAxAECBD EOFG于点 D 、E ，DE ∥BC ．连接 DF 、EG ．（1）求证 AB ＝AC ．（2）已知 AB ＝10，BC ＝12．求四边形 DFGE 是矩形时⊙O 的半径． ABC（第 26 题）27．（11 分）如图，把函数 y ＝x 的图像上各点的纵坐标变为原来的 2 倍，横坐标不变，得到函数 y ＝2x 的图像；也可以把函数 y ＝x 的图像上各点的横坐标变为原来的1倍，纵坐标不2 变，得到函数 y ＝2x 的图像．类似地，我们可以认识其他函数．（1）把函数 y ＝1的图像上各点的纵坐标变为原来的 ▲ 倍，横坐标不变，得到函数 yx＝6的图像；也可以把函数 y ＝1的图像上各点的横坐标变为原来的 ▲ 倍，纵坐标 x x不变，得到函数 y ＝6的图像．x （2）已知下列变化：①向下平移 2 个单位长度；②向右平移 1 个单位长度；③向右平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的 4 倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的1倍， 2 2纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变．（ⅰ）函数 y ＝x 2 的图像上所有的点经过④→②→①，得到函数 ▲ 的图像；（ⅱ）为了得到函数y ＝－1(x －1)2－2 的图像，可以把函数y ＝－x 2 的图像上所有的点（ ▲ ）4 A ．①→⑤→③B ．①→⑥→③C ．①→②→⑥D ．①→③→⑥（3）函数 y ＝1的图像可以经过怎样的变化得到函数 yx 2x ＋1 ＝－的图像？（写出一种即可） 2x ＋4yy ＝2xy ＝xOx。

2021年江苏省南京市数学中考试题

中考数学试题一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1、下列四个数中，负数是 A. -2B. ()2-2 C. (-2 D.()2-22、PM 2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025 m 的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为A. -50.2510⨯ B. -60.2510⨯ C. -52.510⨯ D. -62.510⨯3、计算()()3222a a ÷的结果是A. aB. 2a C. 3a D. 4a4、12的负的平方根介于 A. -5和-4之间 B. -4与-3之间C. -3与-2之间D. -2与-1之间5、若反比例函数ky x=与一次函数2y x =+的图像没有．．交点，则k 的值可以是 A. -2B. -1C. 1D. 26、如图，菱形纸片ABCD 中，60A ︒∠=，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A’、D’处，且A’D’经过B ，EF 为折痕，当D’F ⊥CD 时，CFFD的值为 A.312 B. 36 C. 316 D. 318二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 71x -x 的取值范围是8229、方程3202x x -=-的解是 10、如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形ABCDE 的4个外角，若120A ∠=︒，则1234∠+∠+∠+∠=11、已知一次函数3y kx k =+-的图像经过点（2，3），则k 的值为12、已知下列函数 ①2y x =②2y x =-③()212y x =-+，其中，图象通过平移可以得到函数223y x x =+-的图像的有（填写所有正确选项的序号）FED'A'DCB A4123EDCBA13、某公司全体员工年薪的具体情况如下表：年薪/万元 30 14 9 6 4 3.5 3 员工数/人1112762则所有员工的年薪的平均数比中位数多万元。

14、如图，将45︒的AOB ∠按图摆放在一把刻度尺上，顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数为2cm ，若按相同的方式将37︒的AOC ∠放置在该尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数约为cm（结果精确到0.1 cm ，参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈）15、如图，在平行四边形ABCD 中，AD=10cm ，CD=6cm ，E 为AD 上一点，且BE=BC ，CE=CD ，则DE=cm 16、（6分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x 轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC 的顶点B 、C 的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC 经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’，则点A 的对应点A’的坐标是三、解答题（本大题共11题，共88分） 17、（6分）解方程组31328x y x y +=-⎧⎨-=⎩18、（9分）化简代数式2211x x --÷，并判断当x 满足不等式组()21x +<⎧⎪⎨时该代数CB 43210AO -3-2-1-1-2-3AC B式的符号。

江苏省南京市2021年中考数学试题(含答案解析)

ADE江苏省南京市中考数学试卷（满分 1２0 分，考试时间 120 分钟）一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，满分 12 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.计算5 3 的结果是A ．－2B ．2C ．－8D ．8【答案】B 【解析】5 3 2 22.计算(xy 3 )2 的结果是A ． x 2 y 6【答案】 AB ． x 2 y6C ． x 2 y9D ． x 2 y9【解析】由积的乘方公式可得3. 如图，在△ABC 中，DE∥BC， AD 1 ，则下列结论中正确的是 DB 2 A ．AE 1B ． DE1 AC 2BC 2ADE 的周长 1 ADE 的面积 1C ．ABC 的周长=3【答案】C【解析】由周长比等于相似比D ．ABC 的面积=3BC4.某市 2013 年底机动车的数量是2106 辆，2014 年新增3105 辆，用科学记数法表示该市 2014 年底机动车的数量是 A ． 2.3105【答案】CB ． 3.2 105C ． 2.3106D ． 3.2106【解析】210631052.31065.估计5 1 介于2A ．0.4 与 0.5 之间B ．0.5 与 0.6 之间C ．0.6 与 0.7 之间D ．0.7 与 0.8 之间【答案】C445 1535ONG M【解析】 2.236 ，则5 10.61826. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于 E 、F 、G 三点，过点 D 作⊙O的切线交 BC 于点 M ，则 DM 的长为A ．133 C ．4 133【答案】AB ． 92D ． 2 5AEDF【解析】由勾股定理得：设 GM=x ， (3 x )242 (3 x )2BC解得， x 4 ，所以 DM =13 ．33二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位．置．上） 7. 4 的平方根是 ▲ ；4 的算术平方根是 ▲ ．【答案】2 ；2【解析】2 ， 28. jsc 若式子【答案】 x 1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ▲ ．【解析】 x 1 0, x 19.jsc计算的结果是 ▲ ．【答案】5【解析】5 510. 分解因式(a b )(a 4b ) ab 的结果是 ▲．【答案】(a 2b )2【解析】(a b )(a 4b )ab a 2 4ab ab 4b 2ab a 2 4ab 4b 2 (a 2b )22x 1 111. 不等式2x 1 3 的解集是 ▲．【答案】1x 15x 1 5153O C D【解析】2x 1 1, 2x 2, x 12x 1 3, 2x 2, x 11 x 112. 已知方程 x2mx 3 0 的一个根是 1，则它的另一个根是 ▲，m 的值是 ▲ ．【答案】3；-4 【解析】1m 3 0, m 4x 2 4x 3 0 (x 1)(x 3) 0x 1, x 313. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（2，-3），作点 A 关于 x 轴的对称点得到点 A ’，再作点 A ’关于 y 轴的对称点，得到点 A ’ ，则点 A ’ 的坐标是（ ▲ ， ▲ ）．【答案】-2；3【解析】（2，-3）关于 x 轴对称（2，3），关于 y 轴对称（-2，3） 14.某工程队有 14 名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．工种人数每人每月工资/元电工 5 7000 木工 4 6000 瓦工56000现该工程队进行了人员调整：减少木工 2 名，增加电工，瓦工各 1 名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差▲（填“变小”，“不变”或“变大”）．【答案】变大【解析】电工的工资高于瓦工工资。

2021年江苏省南京市中考数学试卷乙卷附解析

2021年江苏省南京市中考数学试卷乙卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．如图所示，在△ABC 中，∠C= 90°，AC =25，∠BAC 的平分线交 BC 于 D ，且 AD=4153，则 cos ∠BAC 的值是（）A ．12B ．22C ．32D ．332．△ABC 中，O 是三角形内一点，且该点到三边的距离相等，那么它是三角形的（）A ．三条边上高线的交点B ．三条边中垂线的交点C ．三条内角平分线的交点D ．三条边中线的交点 3．抛物线y ＝（x －1）2＋3的对称轴是（）A ．直线x ＝1B ．直线x ＝3C ．直线x ＝－1D ．直线x ＝－3 4．计算82⨯的结果是（）A ．2B ．4C ．8D ．16 5．式x ＋4x －2中，x 的取值范围是（） A ．x≥－4B ．x ＞2C ．x≥－4且x≠2D ．x>－4且x≠2 6．直线443y x =--与两坐标轴围成的三角形面积是（） A ．3 B ． 4 C ． 6 D ． 127．正比例函数(0)y kx k =<，当13x =-，20x =，32x =时，对应的1y ，2y ，3y 之间的关系是（）A ．32y y <，12y y <B ．123y y y <<C ．23l y y y >>D ．无法确定8．已知点P （4，a+1）到两坐标轴的距离相等，则a 的值为（）A ．3B ．4C ．-5D ．3或-59．校七年级有 13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前 6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）A ．中位数B ．众数C ．平均数D ．方差10．已知甲、乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差2112S =甲,乙组数据的方差2110S =乙，则（） A ．甲组数据比乙组数据的波动大B ．乙组数据比甲组数据的波动大C ．甲组数据与乙组数据的波动一样大D ．甲、乙两组数据的波动性大小不能比较11．小明和哥哥并排站在镜子前，小明看到镜子中哥哥的球衣号码如图，，那么哥哥球衣上的实际号码是（）A ．25号B ．52号C ．55号D ．22号12．下列说法正确的是（）A ．方程01x x =-的解是0x = B ．方程1211x x x =+--的解是1x = C ．分式方程一定会产生增根 D ．方程1222x x x +=--的最简公分母是(2)(2)x x -- 13．α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁计算1()6αβ+的结果依次为50°、26°、72°、90°，其中有正确的结果，则计算正确的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁14．方程1235x --=的解为（） A ．-5B ．-15C ．-25D ．-35 15．倒数与它本身相等的数一定是（）A ． 1B ．1或-1C ．-1D ． 1或-1或0 二、填空题16．两圆半径分别为2、3，两圆圆心距为d ，则两圆相交时d 的取值范围为．17．如图，⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D ．E ，若AC=2 cm ，则⊙O 的半径为 cm ．18．定理“等腰三角形的两底角相等”的逆命题是，它是命题(填“真或假”)．19．当2x=-时，二次根式122x-的值为．20．边长为a的正三角形的面积等于__________．21．为了估计某市空气质量情况，某同学在30天里做了如下记录：污染指数（w）406080100120140天数（天）3510651其中w<50时空气质量为优， 50≤w≤100时空气质量为良，100<w≤150时空气质量为轻度污染，若1年按365天计算，请你估计该城市在一年中空气质量达到良以上（含良）的天数为天．22．如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是AC 上的一点，使 BD=BC=AD，则∠A = ．23．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=7，则AB，CD之间的距离是．24．6的平方根是 ,它的算术平方根是 .三、解答题25．一场篮球比赛在：离比赛结束还有 1分钟时，甲队比乙队落后 5 分，在最后 1 分钟内估计甲队都投三分球的机会有 6 次，如果都投 2 分球只有 3 次机会，已知甲队投 3 分球命中平均概率为13，投 2 分球命中平均概率为23，则选择哪一种投篮，甲队取胜的可能性大？26．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠C=Rt ∠，AB=AD=10cm ，BC=8cm. 点P 从点A 出发，以每秒3cm 的速度沿线段AB 方向运动，点Q 从点D 出发，每秒2cm 的速度沿线段DC 方向向点C 运动. 已知动点P ，Q 同时出发，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 运动停止，设运动时间为 t (s).(1)求CD 的长；(2)当四边形PBQD 为平行四边形时，求四边形PBQD 的周长；(3)在点P ，点 Q 的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ 的面积为 20 cm 2若存在，请求出所有满足条件的t 的值；若不存在，请说明理由.27．已知：实数“a ，b ，满足ab=0．求证：a ，b 中至少有一个等于0．28．已知一个几何体的三视图和有关的尺寸如图所示．求这个几何体的表面积．29．计算：(1）()()()24321223x y x y xy -÷⋅- (2）（15x 3y 5－10x 4y 4－20x 3y 2）÷（－5x 3y 2）30．如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1米.工人师傅要把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1BC1的位置（BC1在l上），最后沿射线BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）.⑴请直接写出AB、AC的长；⑵画出．．．．．．．，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．．在搬动此物体的整个过程中A．点所经过的路径【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．C3．A4．B5．B6．C7．C8．D9．A10．B11．A12．A13．A14．C15．B二、填空题16．1<d<517．18．有两角相等的三角形是等腰三角形真19．．221．29222．36°23．724．三、解答题25．投三分球：得分=16363⨯⨯=(分)投二分球：得分=23243⨯⨯=(分)，∴选择投三分球.26．(1)16 cm (2)（8813+)cm (3)存在，53t =s 或395s 27．假设a ，b 都不为零，则0a b ⋅≠，这与已知0ab =相矛盾，所以假设不成立，原命题成立 28．1432422352362⨯⨯⨯+⨯+⨯+⨯=(cm 2) 29．（1）9xy 2 ，-3y 3+2xy 2+430．(1)AB=2(米)，AC=3(米)；(2)画出A 点经过的路径：经过的路径长4π/3+3≈5．9(米)．。

江苏省南京市2021年中考数学试卷(原卷版)

18.解方程．
19.计算．
20.如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．
（1）求证；
（2）若，求的长．
21.某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如下表：
4.作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.截至2021年6月8日，31个省（自治区，直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000次，用科学记数法表示800000000是（）
（2）当时，该函数的图像的顶点的纵坐标的最小值是________．
（3）设是该函数图像与x轴的一个公共点，当时，结合函数的图像，直接写出a的取值范围．
27.在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？
（1）如图①，圆锥的母线长为，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．
A B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上）
7. ________； ________．
8.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
9.计算的结果是________．
10.设是关于x的方程的两个根，且，则 _______．
22.不透明袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．

2021年江苏省南京市中考数学真题训练试卷附解析

2021年江苏省南京市中考数学真题训练试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（） A ．南偏东50°B ．南偏东40°C ．北偏东50°D ．北偏东40°2．如图是某小区的一块三角形空地，准备在上面种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为m 元，则购买这种草皮至少需要（） A ．450m 元B ．225m 元C ．150m 元D ．300m 元3．下列命题不正确的是（） A ．所有等边三角形都相似 B ．所有等腰直角三角形都相似C ．有一个角等于 40°的二个等腰三角形相似D ．有一个锐角对应相等的二个直角三角形相似4．已知二次函数2y ax bx c =++（其中a ＞0，b ＞0，c ＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧．以上说法正确的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．35．若方程01)2(222=+-++-x m mx m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值是（）A ．0或2B ．－1或3C ．2D ．无实数解6．如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，且AP 平分∠BAC ，则△APD 与△APE 全等的理由是（） A ．AASB ．ASAC ．SSSD ．AAS7．计算（18x 4－48x 3+6x ）÷（－6x ）的结果是（） A ．3x 3－8x 2B ．－3x 3+8x 2C ．－3x 3+8x 2－1D ．3x 3－8x 2－18．下列说法中正确的是（）A ．从所有的质数中任取一个数是偶数是不可能事件B ．如果一件事不是必然发生，那么它就不可能发生C ．抛掷四枚普通硬币，掷得四个正面朝上和掷得四个反面朝上的概率一样大D ．投掷一枚普通正方体骰子，“掷得的数是奇数”是必然发生的，因为骰子上有奇数 9．某市按以下标准收取水费:用小不超过20吨,按每吨1.2元收费,超过20吨，则超过部分按每吨1.5元收费.某家庭五月份的水费是平均每吨1.25元,那么这个家庭五月份应交水费（） A ．20元B ．24元C ．30元D ．36元二、填空题10．数形结合是重要的数学思想．一次数学活动中，小明为了求12 ＋122 ＋123 ＋……＋12n 的值，设计了如图2所示的几何图形．请你利用这个几何图形求12 ＋122 ＋123 ＋……＋12n 的值为(结果用n 表示）．11．在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 上的中点, AC=1，BC=3，则CD= ．12．某市二月下旬每日最高气温分别为(单位：℃)：13，13，12，9，ll ，16，12，10．则二月下旬气温的极差为．13．某商场推出一种购物“金卡”，凭卡在该商场购物可按商品价格的八折优惠，但办理金卡时每张要收100元购卡费，设按标价累计购物金额为x （元），当x > 时，办理金卡购物省钱．14．将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x ，-1)，则xy= ． 15．若4ma =，8na =，则32m na-= ．16．某班的联欢会上，设有一个摇奖节日，奖品为钢笔、图书和糖果，标于一个转盘的相应区域上 (转盘被均匀等分为四个区域，如图). 转盘可以自由转动.参与者转动转盘，当转盘停止时，指针落在哪一区域，就获得哪种奖品，则获得钢笔的概率为．17．如图，B 、C 是AD 的三等分点，E 是CD 的中点，根据图形填空．(1)AE= +AB=AD- =AD- ；(2)CE= =12 =12 =16．18．观察下列等式9-1=8；16-4=12；25 -9= 16；36--16=20；…这些等式反映出自然数间的某种规律，设n(n ≥1)表示自然数，用关于 n 的等式表示这个规律为．19．某校为了解八年级学生的体能情况，抽取了一部分学生进行1•分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频数分布直方图中各小组的长方形的面积之比是：•2：4：17：15：9：3．第2•组的频数是12，则第2•组的频率是，这次调查共抽取了名学生．三、解答题20．如图，它是实物与其三种视图，在三种视图中缺少一些线(包括实线和虚线)，请将它们补齐，让其成为一个完整的三种视图.21．将如图所示的△ABC 以C 为位似中心缩小 0.5 倍，画出图形，写出三个顶点变化后的坐标.22．如图，∠ACB＝∠ADC＝900，AC＝6，AD＝2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似？23．如图，已知正方形OABC的面积为9，点O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B 在函数(0,0)k y k x x =>>的图象上，点P(m,n) 是函数(0,0)ky k x x=>>的图象上任意一点，过点 P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E, F ，若设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S. (1)求B 点坐标和k 的值； (2)求92S =时点P 的坐标； (3)写出S 关于m 的函数关系式．24．解方程： (1)2231x x -=； (2)(5)(7)13x x -+=．25．“所谓按行排序就是根据一行或几行中的数据值对数据清单进行排序，排序时Excel 将按指定行的值和指定的“升序”或“降序”排序次序重新设定列．”这段话是对什么名称进行定义?26．某乡镇企业生产部有技术工人15人，生产部为了合理制定产品的每月生产定额，统计了这15人某月的加工零件个数：每人加工件数 540 450 300 240 210 120 人数1l2632(2)假如生产部负责人把每位工人的月加工零件数定为260(件)，你认为这个定额是否合理，为什么?27．一不透胡纸箱中装有形状、大小、质地等完全相同的 4个小球，分别标有数字 1、2、3、4.(1)从纸箱中随机地一次取出 2个小球，求这 2个小球上所标的数字一个是奇数、另一个是偶数的概率；(2)先从纸箱中随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为十位上的数字；将取出的小球放回后，再随机地取出一个小球，用小球上所标的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好能被 3整除的概率是多少？试用画树状图或列表法加以说明.28．有一位同学在解方程 3(x+5)+5[(x+5)-1]= 7(x+ 5)-1 时首先去括号，得 3x+15+5x+ 25-5=7x+35-1，然后移项，合并同类项，然后求解，你有没有比它更简单的解法.29．利用计算器，按如图流程操作:(1)若首次输入的正奇数为ll,则按流程图操作的变化过程，可表示为：ll→17→13→5→1．请用类似的方法分别表示首次输入的正奇数为9、19时，按流程图操作的变化过程；(2)自己选几个正奇数按流程图操作，并写出变化过程，看看是否有同样的结果；(3）根据你的操作结果，给出一个猜想，并清楚地叙述你的猜想．30．用字母表示以下运算律.(1)加法交换律；(2)加法结合律；(3)乘法交换律；(4)乘法结合律；(5)分配律.【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．C3．C4．C5．C6．D7．C8．C9．C二、填空题10．1－12n11．112．7℃13．500元14．-l015．116．117．4(1)EB，ED，CE (2)ED，AB，BC，AD 18．22+-=+19．n n n(2)4(1)0.08,150三、解答题20．21．C(5,0) , A1(6,-1．5), B1(7 ,0. 5).22．3．３，223．(1)B(3,3),k=9；(2)(6,32 ),( 32,6)； (3)S=9-3m(0<m<3);S=9－27m(m ≥3) 24．(1) 13174x +=，31724x -=；（2）18x =-，26x = 25．按行排序26．(1)平均数：260(件) 中位数：240(件) 众数：240(件)；(2)不合理因为表中数据显示，每月能完成260件的人数一共是4人，还有11人不能达到此定额，尽管260是平均数，但不利于调动多数员工的积极性因为240既是中位数，又是众数，是大多数人能达到的定额，故定额为240较为合理27．(1)从纸箱中随机地一次取出两个小球，所标数字的所有可能结果有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(：3，4)，共6种；而所标数字一个是奇数、另一个是偶数的有 4种. 所以P=4263=. (2)画树状图·或用列表法： 1 2 3 4 1 ( 11) (12) (13) (14) 2 (21) (22) (23) (24) 3 ( 31) ( 32) (33) (34) 4(41)(42)(43)(44)所有可能出现的结果共有 16种，其中能被3整除的有5种. 因此P=516第二次第一次28．有，把(5x+)看作一个整体，即3(5)5(5)57(5)1+++-=+-x x x∴（5x=-x+)=4 ∴129．(1) 9→7→11→17→13→5→1 19→29→11→17 →13→5→1(2)略 (3)猜想：任何正奇数按流程图操作,最终变成 1.30．(1)a+b=b+a (2)(a+b)+c=a+(b+c) (3)ab=ba (4)()()++=++m a b c ma mb mc⋅=⋅ (5)()ab c a bc。

2021年江苏省南京市中考数学测评考试试题附解析

2021年江苏省南京市中考数学测评考试试题学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．甲、乙两袋均有红、黄色球各一个，分别从两袋中任意取出一球，那么所取出的两球是同色球的概率为（）A．23B．12C．13D．162．下列图形中阴影部分面积相等的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④3．已知函y＝3x2－6x＋k（k为常数）的图象经过点A（0.85,y1），B（1.1,y2）,C（ 2 ,y3）,则有（）A． y1<y2<y3B． y1>y2>y3C． y3>y1>y2D． y1>y3>y24．如图，直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC的面积为（）A．3 5 B．3 5 ＋5 C． 5 D．55．在△ABC中，分析下列条件：①有一个角等于60°的等腰三角形；②有两个角等于60°的三角形；③有3条对称钠的三角形；④有两边相的三角形. 其中能说明△ABC是等边三角形的有（）A．①B．①②C．①②③D．①②③④6．关于x、y的方程组244x y ax y a+=⎧⎨-=⎩解是方程3210x y+=的解，那么a的值为（）A． -2 B． 2 C．-1 D． 17．下列现象属于旋转的是（）A．吊机起吊物体的运动B．小树在风中“东倒西歪”C．汽车的行驶D．镜子中的人像8．小明的运动衣号在镜子中的像是，则小明的运动衣号码是（）A． B． C． D．9．抛掷一枚普通的骰子，朝上的点数为偶数则甲胜，朝上的点数为奇数则乙胜. 在这个游戏中，下列各个判断中正确的是（）A ．甲胜出的可能性大B ．乙胜出的可能性大C ．甲、乙胜出的可能性是相等的D ．无法判断 10．如图所示，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线l 对称，那么下列结论中正确的有（）①△ABC ≌△A ′B ′C ′；②∠BAC=∠A ′B ′C ′；③l 垂直平分CC ′；④直线BC 和B ′C ′的交点不一定在l 上．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．太阳光形成的投影是，手电筒、台灯发出的光线形成的投影是． 12．如图，四边形BDEF 是RtΔABC 的内接正方形，若AB ＝6，BC ＝4，则DE ＝．13．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=，AD AB =．点E F ，分别在AD ，AB 上，AE BF =，DF 与CE 相交于P ，则DPE ∠=． 14．如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP'重合，若AP ＝3，则PP ′的长等于________.15．22)(a a =成立的条件是___________．16．计算123-的结果是． 17．如图，在△AOM 中，∠AMO=90°，0A=5，AM=4．则点A 的坐标为 .18．在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=41.3°，则∠B ．19．已知x=1，y=2是二元一次方程mx-3y=2的解，则m=________．20．掷一枚均匀的骰子，点数为3的概率是．21．某足协举办了一次足球比赛，记分规则为：胜一场积3 分，平一场积 1 分，负一场积0分，若甲队比赛了 5 场后共积 7 分，则甲队平场.22．已知24a b -=，则22(2)3(2)1b a b a ---+= ．23．在同一时刻，巴黎时间比北京时间晚 7小时，班机从巴黎飞到北京需用 9小时，若乘坐6：00(当地时间)从巴黎起飞的航班，则到达北京机场时，北京时间是 .解答题三、解答题24．如图，楼顶有一根天线 AB ，为了测量天线的高度，在地面点 C 处测得楼顶B 点的仰角为 45°，测得天线顶点A 的仰角为 60°，且点C 到楼的距离 CD 为 l5m ，求天线 AB 的长. (结果保留根号)25．已知：开口向下的抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于A(x l ，0)、B(x 2，0)两点(x 1<x 2)，与y 轴交于点C(0，5)，且a+b ＋c ＝0，S △ABC ＝15．求这条抛物线的解析式．26．将图中的点(-3，1)、(-1，3)、(-1，5)、 (1，5)、(1，3)、(3，1)、，(3，-3)、(-3，-3)作如下变化：(1）纵坐标不变，横坐标减2；(2）横坐标不变，纵坐标乘以-l ．画出变化后的图案，并说明变化后的图案与原图案的关系．27．已知 x 等于它的倒数，求222169(2)(3)x x x x x +÷-+--的值.28．在100名学生中，会打乒乓球的有83人，会打排球的有75人，这两项都不会的有10人，问这两项都会的有多少人？29．某车间60名工人，生产某种由一个螺栓及两个螺母组成的配套产品，每人每天平均生产螺栓l4个或螺母20个，问怎样分配工人，才能使生产出的螺栓螺母恰好配套?30．某同学做一道整式运算题，误将求“A-B”看成求“A+B”，结果求出的答案是2x x-+.325已知2A x x=--，请你帮他求出A-B的正确答案.436222-=-+=----+=--2A()2(436)(325)5417A B A B x x x x x x【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．D3．C4．D5．C6．B7．B8．A9．C10．B二、填空题11．平行投影，中心投影12．12513． 120°14． 3 215．a ≥016．17．(3,4)18．48.7°19．820．61 21． 1 或 422．4523．22: 00三、解答题24．在 Rt △CDB 中，∵∠BCD=45°,. BD= CD= 15,在 Rt △ACD 中，tan AD ACD CD∠=,∴AD tan 15tan 60AD CD ACD =⋅∠=︒=15AB AD BD =-=(m)答：天线 AB 的长为15)m ．25．y＝－x2－4x＋5．26．画图略27．24x-=-x-，当1x=±时，24328．68人29．安排25人生产螺栓，35人生产螺母，才能使生产出的螺栓、螺母刚好配套．30．222-=-+=----+=--2A()2(436)(325)5417A B A B x x x x x x。

2021年江苏省南京市中考数学试卷

南京市2021年初中学业水平考试数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．2018年中国与“一带一路”沿线国家货物贸易进出口总额达到13 000亿美元．用科学记数法表示13 000是 A ．50.1310⨯ B ．41.310⨯ C ．31310⨯ D ．213010⨯ 2．计算23()a b 的结果是 A ．23ab B ．53a b C ．6a b D ．63a b3．面积为4的正方形的边长是A ．4的平方根B ．4的算术平方根C ．4开平方的结果D ．4的立方根 4．实数a 、b 、c 满足a ＞b 且ac ＜bc ，它们在数轴上的对应点的位置可以是5．下列整数中，与10-A ．4B ．5C ．6D ．7①1次旋转；②1次旋转和1次轴对称； ③2次旋转； ④2次轴对称．其中所有正确结论的序号是A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，本大题共20分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．﹣2的相反数是；12的倒数是．8的结果是． 9．分解因式2()4a b ab -+的结果是．10．已知2x 的方程240xx m -+=的一个根，则m ＝．11．结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵，∴a ∥b ．12．无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20 cm 的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有 cm ．13．为了了解某区初中学生的视力情况，随机抽取了该区500名初中学生进行调查．整理样本数据，得到下表：视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上人数102988093127根据抽样调查结果，估计该区12 000名初中学生视力不低于4.8的人数是． 14．如图，PA 、PB 是OO 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在⊙O 上．若∠P ＝102°，则∠A ＋∠C ＝ °．15．如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，CD 平分∠ACB ．若AD ＝2，BD ＝3，则AC 的长为．16．在△ABC 中，AB ＝4，∠C ＝60°，∠A ＞∠B ，则BC的长的取值范围是．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）计算22()()x y x xy y +-+．18．（7分）解方程23111x x x -=--．19．（7分）如图，D是△ABC的边AB的中点，DE∥BC，CE∥AB，AC与DE相交于点F．求证△ADF≌△CEF．20．（8分）下图是某市连续5天的天气情况．（1）利用方差判断该市这5天的日最高气温波动大还是日最低气温波动大；（2）根据上图提供的信息，请再写出两个不同类型的结论．21．（8分）某校计划在暑假第二周的星期一至星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．（2）乙同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是．22．（7分）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证PA＝PC．23．（8分）已知一次函数12y kx =+（k 为常数，k ≠0）和23y x =-．（1）当k ＝﹣2时，若1y ＞2y ，求x 的取值范围；（2）当x ＜1时，1y ＞2y ．结合图像，直接写出k 的取值范围．24．（8分）如图，山顶有一塔AB ，塔高33 m ．计划在塔的正下方沿直线CD 开通穿山隧道EF ．从与E 点相距80 m 的C 处测得A 、B 的仰角分别为27°、22°，从与F 点相距50 m 的D 处测得A 的仰角为45°．求隧道EF 的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51）26．（9分）如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．求作菱形DEFG ，使点D 在边AC 上，点E 、F 在边AB 上，点G 在边BC 上．（1）证明小明所作的四边形DEFG是菱形；（2）小明进一步探索，发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化……请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．27．（11分）【概念认知】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点A(1x ，1y )和B(2x ，2y )，用以下方式定义两点间距离：d (A ，B)＝12x x -＋12y y -．【数学理解】（1）①已知点A(﹣2，1)，则d (O ，A)＝；②函数24y x =-+(0≤x ≤2)的图像如图①所示，B 是图像上一点，d (O ，B)＝3，则点B 的坐标是．（2）函数4y x=(x ＞0)的图像如图②所示，求证：该函数的图像上不存在点C ，使d (O ，C)＝3．（3）函数257y x x =-+(x ≥0)的图像如图③所示，D 是图像上一点，求d (O ，D)的最小值及对应的点D 的坐标．【问题解决】。

南京市-2021年江苏省南京市中考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）（2021•南京）截至2021年6月8日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000剂次．用科学记数法表示800000000是（）A．8×108B．0.8×109C．8×109D．0.8×10102．（2分）（2021•南京）计算（a2）3•a﹣3的结果是（）A．a2B．a3C．a5D．a93．（2分）（2021•南京）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，24．（2分）（2021•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00～17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（）A．10：00B．12：00C．15：00D．18：005．（2分）（2021•南京）一般地，如果x n＝a（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根．下列结论中正确的是（）A．16的4次方根是2B．32的5次方根是±2C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大6．（2分）（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）（2021•南京）﹣（﹣2）＝；﹣|﹣2|＝．8．（2分）（2021•南京）若式子√5x在实数范围内有意义，则x的取值范围是．9．（2分）（2021•南京）计算√8−√92的结果是．10．（2分）（2021•南京）设x1，x2是关于x的方程x2﹣3x+k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝．11．（2分）（2021•南京）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点C，D 的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是．12．（2分）（2021•南京）如图，AB是⊙O的弦，C是AB̂的中点，OC交AB于点D．若AB ＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为cm．13．（2分）（2021•南京）如图，正比例函数y＝kx与函数y=6x的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝．14．（2分）（2021•南京）如图，F A，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝°．15．（2分）（2021•南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC ＝（用含α的代数式表示）．16．（2分）（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）（2021•南京）解不等式1+2（x ﹣1）≤3，并在数轴上表示解集．18．（7分）（2021•南京）解方程2x+1+1=x x−1． 19．（7分）（2021•南京）计算(a b 2+ab −2a+b +b a 2+ab )÷a−b ab． 20．（8分）（2021•南京）如图，AC 与BD 交于点O ，OA ＝OD ，∠ABO ＝∠DCO ，E 为BC 延长线上一点，过点E 作EF ∥CD ，交BD 的延长线于点F ．（1）求证△AOB ≌△DOC ；（2）若AB ＝2，BC ＝3，CE ＝1，求EF 的长．21．（8分）（2021•南京）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查．通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表：序号1 2 … 25 26 … 50 51 … 75 76 … 99 100 月均用水量/t1.3 1.3 … 4.5 4.5 …6.4 6.8 … 11 13 … 25.6 28 （1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为9.2t ，你对它与中位数的差异有什么看法？（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？22．（8分）（2021•南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是．23．（8分）（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）24．（8分）（2021•南京）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．25．（8分）（2021•南京）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．26．（10分）（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．（1）求b的值；（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是．（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．27．（9分）（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？̂的（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为（用含l，h的代数式表示）．̂的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中②设AD画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．2021年江苏省南京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2分）（2021•南京）截至2021年6月8日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗超过800000000剂次．用科学记数法表示800000000是（）A．8×108B．0.8×109C．8×109D．0.8×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将800000000用科学记数法表示为：8×108．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（2分）（2021•南京）计算（a2）3•a﹣3的结果是（）A．a2B．a3C．a5D．a9【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则以及负整数指数幂的定义计算即可．【解答】解：（a2）3•a﹣3＝a6•a﹣3＝a6﹣3＝a3．故选：B．【点评】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法以及幂的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．3．（2分）（2021•南京）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，2【分析】根据三角形的三边关系逐项判定即可．【解答】解：A、∵1+1+1＝3＜5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；B、∵1+1+5＝7＜8，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；C、∵1+2+2＝5，∴此三条线段与长度为5的线段不能组成四边形，故不符合题意；D、∵2+2+2＝6＞5，∴此三条线段与长度为5的线段能组成四边形，故符合题意；故选：D．【点评】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．4．（2分）（2021•南京）北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00．小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00～17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（）A．10：00B．12：00C．15：00D．18：00【分析】根据北京时间比莫斯科时间晚5小时解答即可．【解答】解：由题意得，北京时间比莫斯科时间晚5小时，当莫斯科时间为9：00，则北京时间为14：00；当北京时间为17：00，则莫斯科时间为12：00；所以这个时刻可以是14：00到17：00之间，所以这个时刻可以是北京时间15：00．故选：C．【点评】本题考查了正数和负数，解此题的关键是根据题意写出算式，即把实际问题转化成数学问题．5．（2分）（2021•南京）一般地，如果x n＝a（n为正整数，且n＞1），那么x叫做a的n次方根．下列结论中正确的是（）A．16的4次方根是2B．32的5次方根是±2C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大【分析】根据n次方根的定义判定即可．【解答】解：A、∵（±2）4＝16，∴16的4次方根是±2，故A不正确；B 、32的5次方根是2，故B 不正确；C 、设x =√23，y =√25，则x 15＝25＝32，y 15＝23＝8， ∵x 15＞y 15且x ＞1，y ＞1，∴x ＞y ，∴当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故C 选项正确；D 、当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故D 不选项正确；故选：C ．【点评】本题考查了分数指数幂，熟练掌握分数指数幂的定义是解题的关键．6．（2分）（2021•南京）如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，则光线与纸板垂直，则在地面上的投影关于对角线对称，因为灯在纸板上方，所以上方投影比下方投影要长．【解答】解：根据正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，∴在地面上的投影关于对角线对称，∵灯在纸板上方，∴上方投影比下方投影要长，故选：D ．【点评】本题主要考查中心投影的知识，弄清题目中光源和纸板的相对位置是解题的关键．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）7．（2分）（2021•南京）﹣（﹣2）＝ 2 ；﹣|﹣2|＝ ﹣2 ．【分析】根据求一个数的相反数和绝对值的意义化简求解．【解答】解：﹣（﹣2）＝2；﹣|﹣2|＝﹣2，故答案为：2；﹣2．【点评】本题考查求一个数的相反数和绝对值，理解相关概念准确化简是解题关键． 8．（2分）（2021•南京）若式子√5x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 x ≥0 ．【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：依题意有5x ≥0，解得：x ≥0．故答案为：x ≥0．【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a （a ≥0）叫二次根式． 9．（2分）（2021•南京）计算√8−√92的结果是√22．【分析】直接利用二次根式的性质分别化简，再合并得出答案．【解答】解：√8−√92 ＝2√2√9√2＝2√2√2 ＝2√2−3√22 =√22．故答案为：√22．【点评】此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．10．（2分）（2021•南京）设x 1，x 2是关于x 的方程x 2﹣3x +k ＝0的两个根，且x 1＝2x 2，则k ＝ 2 ．【分析】根据根与系数的关系求得x 2＝1，将其代入已知方程，列出关于k 的方程，解方程即可．【解答】解：根据题意，知x 1+x 2＝3x 2＝3，则x 2＝1，将其代入关于x 的方程x 2﹣3x +k ＝0，得12﹣3×1+k ＝0．解得k ＝2．故答案是：2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．11．（2分）（2021•南京）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的边AO，AB的中点C，D的横坐标分别是1，4，则点B的横坐标是6．【分析】由C、D的横坐标求出线段CD的长度，结合中位线的定义和性质，得出OB的长度，从而得到B点的横坐标．【解答】解：∵边AO，AB的中点为点C、D，∴CD是△OAB的中位线，CD∥OB，∵点C，D的横坐标分别是1，4，∴CD＝3，∴OB＝2CD＝6，∴点B的横坐标为6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了中位线定义和性质应用，解题的关键是由点C、D的横坐标求出线段CD的长度．̂的中点，OC交AB于点D．若AB 12．（2分）（2021•南京）如图，AB是⊙O的弦，C是AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为5cm．【分析】先根据圆心角、弧、弦的关系和垂径定理得出各线段之间的关系，再利用勾股定理求解出半径即可．【解答】解：如图，连接OA，∵C是AB̂的中点，∴D是弦AB的中点，∴OC⊥AB，AD═BD═4，∵OA═OC，CD═2，∴OD═OC﹣CD═OA﹣CD，在Rt△OAD中，OA2═AD2+OD2，即OA2═16+（OA﹣2）2，解得OA═5，故答案为：5．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系及垂径定理的运用，做此类型题目通常需要结合圆心角、弦和三角形的相关知识来进行解答．13．（2分）（2021•南京）如图，正比例函数y＝kx与函数y=6x的图象交于A，B两点，BC∥x轴，AC∥y轴，则S△ABC＝12．【分析】根据反比例函数的性质可判断点A与点B关于原点对称，则S△AON＝S△OBM，由BC∥x轴，AC∥y轴可得S△AON＝S△CON，S△OBM＝S△OCM，再根据S△AON=12x A•y A＝3，即可得出三角形ABC的面积．【解答】解：连接OC，设AC交x轴于点N，BC交y轴于M点，∵正比例函数y＝kx与函数y=6x的图象交于A，B两点，∴点A与点B关于原点对称，∴S△AON＝S△OBM，∵BC∥x轴，AC∥y轴，∴S△AON＝S△CON，S△OBM＝S△OCM，即S△ABC＝4S△AON＝4×12x A•y A＝4×12×6=12，故答案为：12．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求三角形面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．14．（2分）（2021•南京）如图，F A，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝180°．【分析】设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD和OE，根据切线的性质和等腰三角形的性质得出∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）﹣（∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA）即可求出．【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD和OE，∵F A，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，∴∠OAF＝∠OBG＝∠OCH＝∠ODI＝∠OEJ＝90°，即（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）＝90°×5＝450°，∵OA＝OB＝OC＝OD＝OE，∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠OCD＝∠ODC，∠ODE＝∠OED，OEA＝∠OAE，∴∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA=12×五边形ABCDE内角和=12×(5−2)×180°=270°，∴∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）﹣（∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA）＝450°﹣270°＝180°，故答案为：180．【点评】本题主要考查切线的性质，多边形内角和等知识，熟练掌握切线的性质和多边形内角和公式是解题的关键．15．（2分）（2021•南京）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．设∠ABC＝α，则∠ADC＝180°−α2（用含α的代数式表示）．【分析】根据已知条件AB＝BD＝BC，可得∠BAD＝∠BDA，∠BDC＝∠BCD，根据三角形内角和定理可得∠ABD+∠BAD+∠BDA＝180°，∠DBC+∠BDC+∠BCD＝180°，根据四边形内角和为360°，可得∠ABD+∠BAD+∠BDA+∠DBC+∠BDC+∠BCD＝360°，根据已知条件可得2∠ADC＝360°﹣α，即可得出答案．【解答】解：∵AB＝BD＝BC，∴∠BAD＝∠BDA，∠BDC＝∠BCD，∵四边形内角和为360°，∴∠ABD+∠BAD+∠BDA+∠DBC+∠BDC+∠BCD＝360°，∴∠ABC+∠ADB+∠ADB+∠BDC+∠BDC＝360°，即∠ABC+2∠ADB+2∠BDC＝360°，∵∠ABC＝α，∠ADB+∠BDC＝∠ADC，∴2∠ADC＝360°﹣α，∴∠ADC=180°−α2．故答案为：180°−α2．【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及多边形内角和定理，熟练应用相关性质及定理进行求解是解决本题的关键．16．（2分）（2021•南京）如图，将▱ABCD绕点A逆时针旋转到▱A′B′C′D′的位置，使点B′落在BC上，B′C′与CD交于点E．若AB＝3，BC＝4，BB′＝1，则CE的长为98．【分析】过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点B 作BN ⊥AB ′于点N ，过点E 作EG ⊥BC ，交BC 的延长线于点G ．BM ＝B ′M =12，由勾股定理可得，AM =√AB 2−BM 2=√352，由等面积法可得，BN =√356，由勾股定理可得，AN =√AB 2−BN 2=32−(√356)2=176，由题可得，△AMB ∽△EGC ，△ANB ∽△B ′GE ，则AM BM=EG CG=√35，ANBN=B′G EG=√35，设CG ＝a ，则EG =√35a ，B ′G ＝3+a ，则√35a=√35，解得a =316．最后由勾股定理可得，EC =√CG 2+EG 2=√(316)2+(316√35)2=98．【解答】解：如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，过点B 作BN ⊥AB ′于点N ，过点E 作EG ⊥BC ，交BC 的延长线于点G ．由旋转可知，AB ＝AB ′＝3，∠ABB ′＝∠AB ′C ′， ∴∠ABB ′＝∠AB ′B ＝∠AB ′C ′， ∵BB ′＝1，AM ⊥BB ′， ∴BM ＝B ′M =12，∴AM =√AB 2−BM 2=√352，∵S △ABB ′=12⋅AM ⋅BB′=12⋅BN ⋅AB′，∴12×√352×1=12•BN ×3，则BN =√356，∴AN =√AB 2−BN 2=32−(√356)2=176， ∵AB ∥DC ， ∴∠ECG ＝∠ABC ， ∵∠AMB ＝∠EGC ＝90°， ∴△AMB ∽△EGC ，∴AM BM=EG CG=√35212=√35，设CG ＝a ，则EG =√35a ，∵∠ABB ′+∠AB ′B +∠BAB ′＝180°， ∠AB ′B +∠AB ′C ′+∠C ′B ′C ＝180°，又∵∠ABB ′＝∠AB ′B ＝∠AB ′C ′， ∴∠BAB ′＝∠C ′B ′C ， ∵∠ANB ＝∠EGC ＝90°， ∴△ANB ∽△B ′GE ， ∴AN BN=B′G EG=176√356=√35，∵BC ＝4，BB ′＝1， ∴B ′C ＝3，B ′G ＝3+a ， ∴√35a=√35，解得a =316． ∴CG =316，EG =316√35， ∴EC =√CG 2+EG 2=√(316)2+(316√35)2=98．故答案为：98．【点评】本题主要考考查平行四边形的性质，等腰三角形三线合一，相似三角形的性质与判定，解直角三角形的应用等，构造正确的辅助线是解题关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（7分）（2021•南京）解不等式1+2（x ﹣1）≤3，并在数轴上表示解集．【分析】去括号后移项、合并同类项可得不等式解集，根据小于向左，包括该数用实心点在数轴上表示解集即可．【解答】解：1+2（x ﹣1）≤3，去括号，得1+2x ﹣2≤3．移项、合并同类项，得2x ≤4．化系数为1，得x ≤2．表示在数轴上为：．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点． 18．（7分）（2021•南京）解方程2x+1+1=xx−1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边同乘（x +1）（x ﹣1），得 2（x ﹣1）+x 2﹣1＝x （x +1），解得x ＝3．经检验x ＝3是原方程的根， ∴原方程的解x ＝3．【点评】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽视检验． 19．（7分）（2021•南京）计算(ab 2+ab−2a+b +b a 2+ab )÷a−bab．【分析】根据分式的加减法和除法可以解答本题．【解答】解：(ab 2+ab −2a+b +ba 2+ab)÷a−bab＝[ab(a+b)−2a+b+b a(a+b)]⋅aba−b=a 2−2ab+b 2ab(a+b)⋅aba−b =(a−b)2ab(a+b)⋅ab a−b=a−ba+b ．【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 20．（8分）（2021•南京）如图，AC 与BD 交于点O ，OA ＝OD ，∠ABO ＝∠DCO ，E 为BC 延长线上一点，过点E 作EF ∥CD ，交BD 的延长线于点F ．（1）求证△AOB ≌△DOC ；（2）若AB ＝2，BC ＝3，CE ＝1，求EF 的长．【分析】（1）由AAS 证明△AOB ≌△DOC 即可；（2）由全等三角形的性质得AB ＝DC ＝2，再证△BCD ∽△BEF ，得DC EF=BC BE，即可求解．【解答】（1）证明：在△AOB 和△DOC 中， {∠ABO =∠DCOAOB =∠DOC OA =OD，∴△AOB ≌△DOC （AAS ）；（2）解：由（1）得：△AOB ≌△DOC ， ∴AB ＝DC ＝2， ∵BC ＝3，CE ＝1， ∴BE ＝BC +CE ＝4， ∵EF ∥CD ， ∴△BCD ∽△BEF ， ∴DC EF =BC BE ，即2EF=34，解得：EF =83．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．21．（8分）（2021•南京）某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查．通过简单随机抽样，获得了100个家庭去年的月均用水量数据，将这组数据按从小到大的顺序排列，其中部分数据如表：序号12...2526...5051...7576 (99100)1.3 1.3… 4.5 4.5… 6.4 6.8…1113…25.628月均用水量/t（1）求这组数据的中位数．已知这组数据的平均数为9.2t，你对它与中位数的差异有什么看法？（2）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使75%的家庭水费支出不受影响，你觉得这个标准应该定为多少？【分析】（1）利用所给数据，即可得这组数据的中位数，从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用水比较浪费；（2）由于100×75%＝75，所以为了鼓励节约用水，要使75%的家庭水费支出不受影响，即要使75户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为11t．【解答】解：（1）共有100个数，按大小顺序排列后第50，51个数据分别是6.4，6.8，所以中位数为：（6.4+6.8）÷2＝6.6；已知这组数据的平均数为9.2t，∴从平均数与中位数的差异可得大部分居民家庭去年的月均用水量小于平均数，有节约用水观念，少数家庭用水比较浪费，答：这组数据的中位数是6.6；（3）∵100×75%＝75，第75个家庭去年的月均用水量为11t，所以为了鼓励节约用水，要使75%的家庭水费支出不受影响，即要使75户的家庭水费支出不受影响，故家庭月均用水量应该定为11t．答：这个标准应该定为11t．【点评】本题考查中位数，读频频数分布表的能力及利用统计表获取信息的能力；利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计表，才能作出正确的判断和解决问题．22．（8分）（2021•南京）不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率．（2）从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．两次摸出的球都是白球的概率是17．【分析】（1）画树状图，共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有7种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有1种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如图：共有9种等可能的结果，两次摸出的球都是红球的结果有4种， ∴两次摸出的球都是红球的概率为49；（2）画树状图如图：共有7种等可能的结果，两次摸出的球都是白球的结果有1种， ∴两次摸出的球都是白球的概率为17，故答案为：17．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（8分）（2021•南京）如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D．测得CD＝80m，∠ACD＝90°，∠BCD＝45°，∠ADC＝19°17′，∠BDC＝56°19′．设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离．（参考数据：tan19°17′≈0.35，tan56°19′≈1.50．）【分析】过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，由已知△BCE是等腰直角三角形，设CE＝x，则BE＝x，DE＝（80﹣x）m，在Rt△BDE中，可得x80−x=1.5，解得BE＝CE＝48m，在Rt△ACD中，解得AC＝28m，根据四边形ACEF是矩形，可得AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，BF＝20m，即可在Rt△ABF中，求出AB=√482+202=52（m）【解答】解：过B作BE⊥CD于E，过A作AF⊥BE于F，如图：∵∠BCD＝45°，∴△BCE是等腰直角三角形，设CE＝x，则BE＝x，∵CD＝80m，∴DE＝（80﹣x）m，Rt△BDE中，∠BDC＝56°19'，∴tan56°19'=BEDE，即x80−x=1.5，解得x＝48（m），∴BE＝CE＝48m，Rt△ACD中，∠ADC＝19°17′，CD＝80m，∴tan19°17'=ACCD，即AC80=0.35，解得AC＝28m，∵∠ACD＝90°，BE⊥CD于E，AF⊥BE，∴四边形ACEF是矩形，∴AF＝CE＝48m，EF＝AC＝28m，∴BF＝BE﹣EF＝20m，Rt△ABF中，AB=√AF2+BF2=√482+202=52（m），答：A，B两点之间的距离是52m．【点评】本题考查解直角三角形的应用，涉及勾股定理、矩形判定及性质等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造直角三角形．24．（8分）（2021•南京）甲、乙两人沿同一直道从A地去B地．甲比乙早1min出发，乙的速度是甲的2倍．在整个行程中，甲离A地的距离y1（单位：m）与时间x（单位：min）之间的函数关系如图所示．（1）在图中画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；（2）若甲比乙晚5min到达B地，求甲整个行程所用的时间．【分析】（1）由乙的速度是甲的2倍可得乙1min的路程＝甲2min的路程，即可画出乙离A地的距离y2（单位：m）与时间x之间的函数图象；（2）设甲的速度是vm/min，乙整个行程所用的时间为tmin，由行程相等列出方程即可求解．【解答】解：（1）如图：（2）设甲的速度是vm/min，乙整个行程所用的时间为tmin，由题意得：2v•t＝（t+1+5）v，解得：t＝6，6+1+5＝12（min），答：甲整个行程所用的时间为12min．【点评】本题考查了一次函数的应用，能根据题意结合图象理解实际问题是解题的关键．25．（8分）（2021•南京）如图，已知P是⊙O外一点．用两种不同的方法过点P作⊙O的一条切线．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．【分析】方法一：直接以OP为直径作圆，利用直径所对的圆周角是直角，可得∠ADC ＝90°，可证直线PD是切线．方法二：构造直角△POE，作△POE的外接圆，利用圆周角定理解决问题即可．【解答】解：方法一：如图1中，连接OP，以OP为直径作圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．方法二：如图，作射线PE，作OE⊥PE于E，作△POE的外接圆交⊙O于D，作直线PD，直线PD即为所求．【点评】本题考查专题﹣复杂作图，切线的判定，线段的垂直平分线的性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会利用圆周角定理构造直角，属于中考常考题型．26．（10分）（2021•南京）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．（1）求b的值；（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是1．（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值；（2）把a用c表示，然后写出顶点的纵坐标，根据c的取值即可求出最小值；（3）根据题意m是ax2+bx+c的一个根，将m用a表示出来，根据m的取值即可求出a 的取值．【解答】解：（1）把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y ＝ax 2+bx +c 中，得：{1=4a −2b +c ①−3=4a +2b +c ②，两式相减得﹣4＝4b ， ∴b ＝﹣1；（2）把b ＝﹣1代入①得：1＝4a +2+c ， ∴a =−1−c4， ∴顶点的纵坐标4ac−b 24a=c +1c+1=c +1+1c+1−1，∵c ＞﹣1， ∴c +1＞0，下面证明对于任意的正数，a ，b ，都有a +b ≥2√ab ， ∵(√a −√b)2=a +b −2√ab ≥0， ∴a +b ≥2√ab ，当a ＝b 时取等号， ∴c +1+1c+1−1≥2√(c +1)⋅1c+1−1=1， ∴该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 1．（3）由题意得：am 2﹣m +c ＝0，且c ＝﹣1﹣4a ， ∴am 2﹣m ﹣1﹣4a ＝0，△＝1﹣4a （﹣1﹣4a ）＝1+4a +16a 2，若﹣1＜m ＜2，此时有a ＜0，且1+√△2a＜2，解得a ＜0， ∴a ＜0，若2＜m ＜3，此时有a ＞0，且1+√△2a＜3，解得a ＞45，综上 a ＜0或a ＞45．【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键在于理解二次项系数a对函数图象的影响，包括开口方向和开口大小，都要熟记于心，不然第三问很难做出来．27．（9分）（2021•南京）在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短？̂的（1）如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，AC长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长（结果保留根号）．（2）图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上，设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为l+h（用含l，h的代数式表示）．̂的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中②设AD画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．【分析】（1）先判断出△OAC为等边三角形，进而得出AB上等边三角形的高，即可得出结论；（2）①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为母线的长加圆柱的高，即可得出结论；②根据题意画出示意图，先求出BH，用勾股定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图②中连接AO，AC，AB．设∠AOC＝n．。