考研数学基础复习全书《知识点解析》讲义02

一元函数积分学 考纲要求：

（1）理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念

（2）掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定 理，掌握换元积分法与分部积分法

（3）会求有理函数 三角函数有理式和简单的无理函数的积分（数一数二要求 数三参考）

（4）理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式 （5）了解反函数的概念，会计算反常积分

（6）掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积，平面曲 线的弧长， 旋转体的体积及侧面积，平行截面面积为已知的立体体积，功， 引力，压力，质心，形心等）及函数的平均值（数一，数二），会利用定积 分计算平面图形的面积，旋转体的体积和函数的平均值。会利用定积分求 解简单的经济应用问题。（数三）

知识结构框架：

⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨⎧反常积分变限积分定积分

原函数与不定积分

概念

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨⎧华里士公式

周期性化简计算几何意义计算

；分部积分积分表：凑；第二换元定积分的计算简单无理式积分数有理式积分有理函数积分；三角函部积分法第二类换元积分法；分

基本积分表：凑微分法不定积分的计算计算

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧⎩⎨

⎧经济应用（数三）物理应用（数一数二）二）弧长，侧面积（数一数体体积平面图形的面积和旋转几何应用应用

一元函数积分学的概念

1.原函数：如果在区间I 上，可导函数函数为的)(导x F ()x f ，

即I x ∈∀，都有)()(x f x F ='成立，则称)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个 原函数.

注：原函数必须指明是函数在哪个区间上的原函数。

定理：若()()()必有无穷多个原函数则上有一个原函数x f x F x f ,在区间 定理：()()的全体原函数函数族包括了x f C x F +对任意常数C，形如 2.不定积分：函数)(x f 在区间I 上的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为

⎰dx x f )(，即C x F dx x f +=⎰)()(.

例1：设函数()x f 在()∞+∞，

-上连续，则()=⎰dx x f d ()()x f A :

()dx x f B ）（ ()()C x f C + ()()dx x f D '

答案：B

例2：若()()有一个原函数是（）则的导函数是x f x x f ,sec 2 ()x A cos ln 1- ()x B sin ln 1- ()x C sin 1+ ()x D cos 1-

答案：A

2：定积分

定义：设函数()x f 在区间[]b a ,上有界，将[]b a ,任意分成n 个子区间[]i i x x ,1-， 分点为11210,---=∆=<<<=i i i n n x x x b x x x x x a 为该小区间的长度， 在每个小区间[]i i x x ,1-上任意取一点i ξ，

对()()()i n

i i i i x f n i x f ∆=∆∑=1

3,2,1ξξ求和 ，记{}i n

i x ∆=≤≤1max λ，若对[]b a ,的 任意分法，()i n

i i x f ∆∑=→1

lim ξλ极限存在，则称此极限为()x f 在区间[]b a ,上

的定积分，记为()dx x f b a

⎰，即定积分()()i n

i i b

a

x f dx x f ∆=∑⎰=→1

lim ξλ

可积的条件：

例3 ⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 22242

11lim

答案：dx x x

⎰

++1

02

11

例4：∑∑

==∞→n

i n

j n n ij 1

14lim

答案：41

例5：()()

=++∑∑

==∞→n

i n

j n j n i n n

112

2lim

答案：()()

dy y dx x ⎰⎰++1021

01111

定积分的几何意义

若0)(≥x f ，则dx x f b

a ⎰)(表示

以曲线)(x f y =、两直线b x a x ==,与x 轴所围成的曲边梯形的面积. 若0)(≤x f ，则dx x f b

a ⎰)(表示

以曲线)(x f y =、两直线b x a x ==,与x 所围成的曲边梯形的面积的负值 若)(x f 在[]b a ,上有正有负，则dx x f b

a ⎰)(表示曲边梯形的面积的代数和，

在0)(≥x f 部分，取“+”，在0)(≤x f 部分，取“-”

定积分的性质：

当()()()0.==-=<⎰⎰⎰b

a

b

a

b

a

dx x f b a dx x f dx x f a b 时，特别的，时，约定

（1）⎰-=b

a

a b dx 1

（2）[]⎰⎰⎰±=±b a

b a

b

a

dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()()(2121

（3）⎰⎰⎰∀+=b a

a

b

c dx x f dx x f dx x f c c

,)()()(

（4）在[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤b a

b

a

dx x g dx x f )()(

特别地

⎰⎰

≤b

a

b

a

dx x f dx x f )()(

（5）M

m ,是

)

(x f 在

[]

b a ,上的最小值与最大值，则

⎰-≤≤-b a

a b M dx x f a b m )()()(

（6）积分中值定理：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，则存在[]b a ,∈ξ，使得

()()()a b f dx x f b

a -=⎰ξ