考研数学基础复习全书《知识点解析》讲义02

一元函数积分学 考纲要求：（1）理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念（2）掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定 理，掌握换元积分法与分部积分法（3）会求有理函数 三角函数有理式和简单的无理函数的积分（数一数二要求 数三参考）（4）理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式 （5）了解反函数的概念，会计算反常积分（6）掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积，平面曲 线的弧长， 旋转体的体积及侧面积，平行截面面积为已知的立体体积，功， 引力，压力，质心，形心等）及函数的平均值（数一，数二），会利用定积 分计算平面图形的面积，旋转体的体积和函数的平均值。

会利用定积分求 解简单的经济应用问题。

（数三）知识结构框架：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧反常积分变限积分定积分原函数与不定积分概念⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧华里士公式周期性化简计算几何意义计算；分部积分积分表：凑；第二换元定积分的计算简单无理式积分数有理式积分有理函数积分；三角函部积分法第二类换元积分法；分基本积分表：凑微分法不定积分的计算计算⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧经济应用（数三）物理应用（数一数二）二）弧长，侧面积（数一数体体积平面图形的面积和旋转几何应用应用一元函数积分学的概念1.原函数：如果在区间I 上，可导函数函数为的)(导x F ()x f ，即I x ∈∀，都有)()(x f x F ='成立，则称)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个 原函数.注：原函数必须指明是函数在哪个区间上的原函数。

定理：若()()()必有无穷多个原函数则上有一个原函数x f x F x f ,在区间 定理：()()的全体原函数函数族包括了x f C x F +对任意常数C，形如 2.不定积分：函数)(x f 在区间I 上的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，即C x F dx x f +=⎰)()(.例1：设函数()x f 在()∞+∞，-上连续，则()=⎰dx x f d ()()x f A :()dx x f B ）（ ()()C x f C + ()()dx x f D '答案：B例2：若()()有一个原函数是（）则的导函数是x f x x f ,sec 2 ()x A cos ln 1- ()x B sin ln 1- ()x C sin 1+ ()x D cos 1-答案：A2：定积分定义：设函数()x f 在区间[]b a ,上有界，将[]b a ,任意分成n 个子区间[]i i x x ,1-， 分点为11210,---=∆=<<<=i i i n n x x x b x x x x x a 为该小区间的长度， 在每个小区间[]i i x x ,1-上任意取一点i ξ，对()()()i ni i i i x f n i x f ∆=∆∑=13,2,1ξξ求和 ，记{}i ni x ∆=≤≤1max λ，若对[]b a ,的 任意分法，()i ni i x f ∆∑=→1lim ξλ极限存在，则称此极限为()x f 在区间[]b a ,上的定积分，记为()dx x f b a⎰，即定积分()()i ni i bax f dx x f ∆=∑⎰=→1lim ξλ可积的条件：例3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2224211lim答案：dx x x⎰++10211例4：∑∑==∞→ni nj n n ij 114lim答案：41例5：()()=++∑∑==∞→ni nj n j n i n n1122lim答案：()()dy y dx x ⎰⎰++102101111定积分的几何意义若0)(≥x f ，则dx x f ba ⎰)(表示以曲线)(x f y =、两直线b x a x ==,与x 轴所围成的曲边梯形的面积. 若0)(≤x f ，则dx x f ba ⎰)(表示以曲线)(x f y =、两直线b x a x ==,与x 所围成的曲边梯形的面积的负值 若)(x f 在[]b a ,上有正有负，则dx x f ba ⎰)(表示曲边梯形的面积的代数和，在0)(≥x f 部分，取“+”，在0)(≤x f 部分，取“-”定积分的性质：当()()()0.==-=<⎰⎰⎰bababadx x f b a dx x f dx x f a b 时，特别的，时，约定（1）⎰-=baa b dx 1（2）[]⎰⎰⎰±=±b ab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()()(2121（3）⎰⎰⎰∀+=b aabc dx x f dx x f dx x f c c,)()()(（4）在[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤b abadx x g dx x f )()(特别地⎰⎰≤babadx x f dx x f )()(（5）Mm ,是)(x f 在[]b a ,上的最小值与最大值，则⎰-≤≤-b aa b M dx x f a b m )()()(（6）积分中值定理：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，则存在[]b a ,∈ξ，使得()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ3：变限积分：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，并且设x 为[]b a ,上的一点，考察()x f 在部分区间[]x a ,上的定积分()dx x f xa ⎰首先，由于()x f 在区间[]x a ,上仍旧连续，因此这个定积分存在。

这里x 即表示定积分的上限，又表示积分变量。

因为积分与字母记法无关，所以上面的定积分也可以写成()dt t f xa ⎰如果上限x 在区间[]b a ,上任意变动，那么对于每一个取定的x 值，定积分有一个对应的值，所以在[]b a ,上定义了一个函数，记为()x F ：()()dt t f x F xa ⎰=变限积分函数性质（1）)(x f 在[]b a ,上可积⎰=⇒xa dt t f x F )()(在[]b a ,上连续， （2）)(x f 在[]b a ,上连续⎰=⇒x a dt t f x F )()(在[]b a ,上可导，且)()()(x f dt t f x F xa ='⎪⎭⎫ ⎝⎛='⎰， 注：联系原函数的概念可知，⎰=xadt t F x F )()(就是连续函数)(x f 在[]b a ,上的一个原函数，进而⎰⎰+=xa C dt t f dx x f )()(原函数存在定理：若()x f 在区间[]b a ,上连续，则变上限积分函数()()dtt f x F xa ⎰=在区间[]b a ,上可导，且()()x f x F ='，即()()dt t f x F xa⎰=是()x f 在区间[]b a ,上的一个原函数注：该定理的重要性在于：一方面肯定了连续函数的原函数是存在的，另一方面初步揭示了积分学中的定积分与原函数的关系。

例6：证明：含有第一类间断点（可去 跳跃）及第二类中无穷间断点的函数()x f 在包含该间断点的区间内必没有原函数。

例7：判断函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1cos 1sin 2x x xx x x f 在区间()∞+∞，-内是否存在原函数？若存在，写出原函数()x F答案：()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 2x x xx x F例8：在区间[]2,1-上，讨论下列函数有没有原函数，有没有定积分（1）：()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,10,2x x x x f（2）：()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1c o s 21s i n 22x x xxx xx f（3）：()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1x x x x f（4）：()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,00,1s i n 1co s 2x x xxx x f答案：（1）没有原函数，有定积分 （2）有原函数，没有定积分 （3）没有原函数，也没有定积分（4）有原函数，有定积分补充性质：奇偶函数和周期函数的积分性质 1：对称区间上奇偶函数的定积分 定理：假定()x f 在[]()0,>-a a a ，上为可积函数或连续函数，则有()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==⎰⎰⎰--aaaaax f dx x f x f dx x f dx x f 为奇函数时当为偶函数时当：,0,210()()[]()[]⎩⎨⎧=⎰上为奇函数在偶函数，当上为偶函数在奇函数，当：a a x f a a x f dt t f x F x,-,-)()(20例9：设)(x f 连续，则在下列函数中，必是偶函数的是 A dt t f x⎰02)( B dt t f x ⎰02)( C []dt t f t f t x ⎰--0)()( D []⎰-+xdt t f t f t 0)()(2：周期函数的积分假设函数)(x f 以T 为周期的连续函数，即对于任意实数()()x f T x f x =+有,（1）()()dxx f dx x f TTa a⎰⎰=+0，即在任何长度为T 的区间上积分值是相等的()⎰=xdtt f x F 0)()(2：以T 为周期⎰=⇔Tdx x f 00)(，注：连续的以T 为周期的周期函数的所有原函数也以T 为周期⎰=⇔Tdx x f 00)(. 3.变限积分函数求导公式（1）设⎰=)()(21)(,)()(x x x f dt t f x F ϕϕ在[]b a ,上连续，)(),(21x x ϕϕ可导；则).())(()())(()()(1122)()('21x x f x x f dt t f x F x x ϕϕϕϕϕϕ'-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ （2）dttx f x F xa⎰=)()( （3）dtt xf x F xa⎰=)()( （4）dttx f x F ba⎰=)()(注：例1 设)(x f 具有连续的导数，求⎰'-xa dt t f t x dx d )()(例10： 设)(x f 连续，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎰dt t x tf dx d x022)(例11：设连续函数)(x f 在[]b a ,上恒正，令⎰-=ba dt t f t x x F )()(，证明)(x F ''恒正.一元函数积分学的计算 （一）不定积分的计算 1.基本积分公式1.⎰++=+,11C x dx x u uμ 2.⎰+=C x xdx ln . 3.⎰+=C e dx e xx ， 4.⎰+=C a a dx a x x ln 5.⎰+-=C x xdx cos sin ， 6.⎰+=C x xdx sin cos ， 7.⎰+-=C x xdx cos ln tan ， 8.⎰+-=C x xdx sin ln cot ， 9.⎰++=C x x xdx tan sec ln sec ， 10.⎰+-=C x x xdx cot csc ln csc ，11.⎰+=C x xdx x sec tan sec ，12.⎰+-=C x xdx x csc cot csc ，13.⎰+=C x xdx tan sec 2，14.⎰+-=C x xdx cot csc 2 15.⎰+=-C x dx x arcsin 112，16.Cx dx x +=+⎰arctan 112，17.⎰+=-C a x dx x a arcsin122，18.⎰+=+C ax a dx x a arctan 1122 19.C ax a x a dx a x ++-=-⎰ln 21122，20.C a x x dx a x +++=+⎰)ln(12222，21.C a x x dx a x +-+=-⎰2222ln 1不定积分的性质： （1）[])()(x f dx x f ='⎰ （2）()()c x f dx x f +=⎰'（3）[]⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()()( （4）⎰⎰=dx x f k dx x kf )()(（k 是常数2.第一类换元法（凑微分法） 设⎰=+=)(,)()(x g u C x F dx x f 存在连续导数，则[][][][]C x g F x g d x g f dx x g x g f +=='⎰⎰)()()()()(2.当被积函数较复杂，不易直接看出凑谁的微分时，可试着对被积函数较复杂的部分求导，观察形式，进而看出凑谁的微分. 例12：求⎰xdx sec答案：cx x ++tan sec ln例13：求不定积分dxx x x⎰++5224答案：Cx ++21arctan 412例14：()dxx x ⎰+2411答案：Cx x x +++-arctan 13133.第二类换元法 常用的换元形式： 1.三角代换22,sin 22ππ<<-=→-t t a x x a ， 22,tan 22ππ<<-=→+t t a x x a ，20,sec 22π<<=→-t t a x a x .例15：计算⎰+22ax dx答案：c a x x +++22ln 2根式代换被积函数含有d cx b ax b ax n +++,等时，一般可直接令t dcx bax t b ax n =++=+,. 例16：⎰+x e dx1答案：Ce e xx +++-+1111ln3.倒代换 例17：⎰+-1232x x x dx答案：c xx x ++-+-32111ln-2例18：⎰+xdx 1答案：Cx ++12例19：dxe e x x ⎰arcsin答案：Ce e e e x x x x +-+-----1ln arcsin 24.分部积分法1）基本公式：设()()具有一阶连续导数x v x u ,，则()()()()()()x du x v x v x u x dv x u ⎰⎰-= 2）分部积分法使用的函数类-----两类不同函数相乘的积分,如⎰⎰⎰,cos )(,sin )(,)(axdx x P axdx x P dx e x P n n kx n ⎰⎰bxdx e bxdx eax axcos ,sin ；⎰⎰⎰xdx x P xdx x P x xdx x P nnnarctan )(,arcsin )(,ln )(例20：⎰xdx x arcsin答案：c x xx x x +-+-2214arcsin 41arcsin 2例21：()⎰≠≠0,0sin b a bxdx e ax答案：()c bx b bx a b a e ax+-+cos sin 22例22：dxxx x ⎰-21arcsin答案：cx x x ++arcsin -1-25.有理函数的积分 形如dx x Q x P m n ⎰)()()(m n <（头轻脚重不好）的积分称为有理函数的积分基本方法：将)(x Q m 因式分解，再把)()(x Q x P m n 拆成若干最简有理分式之和. 分解的一般原则1）)(x Q m 的一次因式)(b ax +产生一项bax A+； 2）)(x Q m 的k 重因式k b ax )(+产生k 项，分别是：kk b ax A b ax A b ax A )()(221++++++ 3）)(x Q m 的二次单因式r qx px ++2产生一项rqx px BAx +++2；4）)(x Q m 的k 重二次单因式k r qx px )(2++产生k 项，分别是：k k k r qx px B x A r qx px B x A r qx px B x A )()(22222211++++++++++++例23： dxx x x x ⎰++++)1)(12(22答案：()Cx x x x +++++-+312arctan 311ln 2112ln 2例:24：dxx x x ⎰+-+13652答案：()C x x x +-++-23arctan 4136ln 2126.三角有理函数的积分三角有理式---有三角函数及常数经过有限次的四则运算所构成的数学表达式可以表达为)cos ,(sin x x R ，⎰dx x x R )cos ,(sin一般方法：三角恒等变形、凑微分，换元，分部等例25： 设x x x f sin )(sin 2=，求dx x f x x⎰-)(1答案：C x x x ++-2arcsin 12- 例26： 计算dx xb x a ⎰+2222cos sin 1，其中022≠+b a .思路：分讨论0,;0;0≠≠≠b a b a 例27： 求⎰-dx e xe xx 1答案：C e e e x x x x +-+---1arctan 41412 例28：求dx x xe x ⎰+232arctan )1(答案：Cte t e t t ++2sin cos -三、定积分的计算1：用好基本积分法（基本积分表，凑微分，换元法，分部积分法） 例29：设()()dx x xf dt e x f x t ⎰⎰-=11,22求答案：()1411--e例30：设21121212,ln ,ln I I xdx I xdx I ee⎰⎰+==求答案：e例31：()dx x x 211-12⎰++答案：322例32：设()()⎰ππ2',sin dx x xf x xx f 则有一个原函数 答案：1-4π2:牛顿-莱布尼茨公式：若()[]b a x f ,在上连续，()()()()a F b F x F dx x f b a ba-==⎰例33：()⎩⎨⎧>≤+=1,1,12x x x x x f ，求()()dt t f x x ⎰=0ϕ3：利用定积分的几何意义计算 例34：计算dx x x ⎰-122答案：4π4：利用周期性来化简 例35：计算dx x ⎰-π10002cos 1答案：22005：用好重要的公式--华里士公式()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∙-==⎰⎰为奇数，为偶数n n n n n n xdx xdx n n !!!!1,2!!!!1cos sin 2020πππ例36：求：xdx x x 222-23cos )sin (⎰+ππ答案：π81补充三组重要公式： ()()()dxx f dx x f ⎰⎰=202cos sin 1ππ：()()()dxx f dx x xf ⎰⎰=πππ0sin 2sin 2：()()()()dxx f dx x f dx x f ⎰⎰⎰==20200cos 2sin 2sin 3πππ：4：反常积分：无穷区间的反常积分：设函数()x f 在区间[)+∞,a 上连续，称()()dx x f dx x f bab a⎰⎰+∞→+∞=lim为函数()x f 在[)+∞,a 上的反常积分，如果极限()dx x f bab ⎰+∞→lim存在，称反常积分收敛，如果上述极限不存在，这时称反常积分发散。