新四翼超混沌系统的动力学分析

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超混沌系统设计及其性能分析

I
超混沌系统设计及其性能分析
混沌在工程中的应用提供了很好的信号源。 5．对超混沌系统的同步特性也进行了尝试性的研究。采用多变量线性反馈的方法使超混沌系统实现了同步，为超混沌系统在保密通讯方面的应用作了准备。关键词：混沌，超混沌，lyapunov 指数，分岔图，超混沌电路
II
南京航空航天大学硕士学位论文
122研究内容本文在对多种混沌和超混沌系统进行数值仿真研究的基础上总结归纳得出由三维自治混沌系统构建对应的四维超混沌系统的方法非线性正反馈超混沌系统设计及其性能分析控制法通过大量仿真验证出该法对于超混沌的构建有一定的通用性在此基础上按照此方法设计出一个四阶超混沌自治电路同时对其混沌动力学形态特性等进行了较详细的分析并给出一些简单应用实例IIIຫໍສະໝຸດ 超混沌系统设计及其性能分析
positive feedback control method can be widely used in many chaotic systems, some other simulation are also given to prove so. 3. A new third-order chaotic system is designed in this paper. By the positive feedback control method, a new four-dimension hyperchaotic system is gained. Characteristic of this new hyperchaotic system is studied in detail, including validating the hyperchaotic quality, analysing phase track, calculating Lyapunov exponents, drawing bifurcation figure and so on. Simulation results indicate that the dynamical behaviour of this hyperchaotic system is very complex. 4. Hyperchaotic circuit is designed and implemented here. Meanwhile, experimental results of this circuit are also given——the phase track figure. Through computing the circuit parameters and analyzing model parameters in theory, consistency of experimental results and computer simulations is proved. Hyperchaotic circuit designed here has a simple structure as well as plenty kinds of dynamical behaviour, the parameters of it can also be easily debugged. Meanwhile, it can be observed easily and the characteristic of chaos and hyperchaos can be very expediently found out through this circuit. It can be imagining that this hyperchaotic circuit will be a good signal source for hyperchaotic application. 5. Hyperchaotic synchronization is investigated ing many variables linear feedback control can realize the synchronization of hyperchaos.This experiment is prepared for the application of hyperchaotic in secrecy commucation.

具有共存吸引子的新四维混沌系统的分析及图像加密应用

具有共存吸引子的新四维混沌系统的分析及图像加密应用摘要：混沌系统作为一种复杂的动力学系统，其具有随机性、不确定性和高度敏感性的特性使其在信息安全领域中得到广泛应用。

本文提出了一种新的具有共存吸引子的四维混沌系统，并对其进行了详尽的分析。

然后，将该系统应用于图像加密，接受了改进的Arnold映射协同扩散加密算法，实现了对图像的加密与解密。

试验结果表明，该系统具有良好的混沌特性和较高的安全性，适用于图像加密应用。

1. 引言混沌理论指的是一类表现出非线性、不行猜测性和高度敏感性的动力学系统。

混沌系统是由一组非线性的常微分方程或差分方程描述的，其具有无法重复的运动轨迹和无法猜测的行为。

因此，混沌系统具有广泛的应用领域，特殊是在信息安全领域。

图像加密是信息安全领域中的重要探究方向之一。

传统的加密算法往往依靠于数学理论和复杂的算法，无法提供足够的安全性。

相比之下，混沌加密算法具有随机性强、抗攻击性强等优势，成为信息安全领域一种重要的加密手段。

本文将介绍一种新的具有共存吸引子的四维混沌系统，并对其进行了详尽的分析。

然后，将该系统运用于图像加密中，接受了改进的Arnold映射协同扩散加密算法。

通过试验验证该系统的混沌特性和图像加密的可行性。

2. 具有共存吸引子的四维混沌系统本文提出的四维混沌系统如下所示：dx/dt = α(y - x) + βz + γwdy/dt = λx + εxydz/dt = μz - ζxydw/dt = νw + φxy其中，α，β，γ，λ，ε，μ，ζ，ν和φ为系统的参数。

通过对该系统进行分析，我们得出了以下结论：（1）系统具有混沌行为。

通过数值模拟和分析，我们得出了混沌系统的相空间轨迹图和吸引子。

（2）系统具有多个共存吸引子。

我们发现，当参数在一定范围内变化时，系统可以具有多个共存吸引子。

这种现象对于信息安全领域的应用分外有价值。

3. 图像加密算法为了将该系统应用于图像加密，我们接受了改进的Arnold映射协同扩散加密算法。

一个新四维自治超混沌系统及其电路实现[1]

一个新四维自治超混沌系统及其电路实现唐良瑞　李　静　樊　冰(华北电力大学电气与电子工程学院,北京　102206)(2008年8月5日收到;2008年11月11日收到修改稿) 提出了一个新的四维超混沌系统,并对该系统的基本动力学特性进行了深入研究,得到该系统的LE ,LE 维数,给出了P oincare 映射图、LE 谱、分岔图以及时域图和相图.利用Mutisim 软件设计了该新混沌系统的振荡电路并进行了仿真实验.经过数值仿真和电路系统仿真证实该系统与以往发现的混沌吸引子并不拓扑等价,属于新的混沌系统.关键词:超混沌系统,Lyapunov 指数,P oincare 截面图,电路实现PACC :0545E 2mail :tangliangrui @11引言自Lorenz 于1963年在数值实验中偶然发现第一个混沌吸引子以来,Lorenz 系统作为第一个混沌的物理和数学模型,成为后人研究混沌理论的出发点和基石[1,2].近年来,国内外许多学者对混沌的特性进行了深入地分析和研究,发现了许多新的混沌系统,较为知名的系统如Chen 系统[3]、L ü系统[4,5]、Liu 系统[6]和Qi 系统[7].现在混沌动力学正由数学和物理的基础理论研究逐步过渡到实际的工程应用领域,并得到了很大发展.例如混沌理论可用在保密通信、图像加密等数字信息领域[8—10],因而混沌动力学具有广泛的应用前景.三维混沌系统都有个共同点就是结构较为简单,在物理上实现容易.但是这样的混沌系统用于数字信息加密工程领域的效果不是很好,这主要是由于三维混沌系统的带宽相对较窄,容易导致混沌序列被数字滤波器给滤掉,失去加密的意义.而对于一个超混沌系统或者高频混沌系统而言,其产生的混沌序列信号有比较宽的带宽,不容易被数字滤波器过滤,这对于数字加密领域有非常重要的研究意义.因此,超混沌系统是非线性动力学一个重要的研究方向.本文提出了一个新的四维混沌系统.该系统含有8个参数,其中三个方程中各含有一个非线性乘积项.通过理论分析、数值仿真、LE (Lyapunov 指数)、LE 维数、P oincare 映射图、LE 谱以及分岔图研究了该系统的基本动力学特性,设计了该混沌系统的硬件电路,并进行了仿真实现,证实了该系统的可实现性.21新超混沌系统的基本分析2111新超混沌系统模型本文提出的新超混沌系统的数学模型为x ・=-ax +by ;y ・=cx -xz -dy -u ;z ・=xy -ez -f x +gu ;u ・=h (yz -u ).(1)式中,a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h 是实常数.当参数a =2015,b =6818,c =42,d =016,e =4,f =415,g =5,h =018时,系统存在一个典型的混沌吸引子.2121理论分析212111耗散性和吸引子的存在性由于ΔV =9x ・9x +9y ・9z +9z ・9z +9u ・9u=-a -d -e -h ,(2)当a +d +e +h >0时,则系统(1)是耗散的,且以指第58卷第3期2009年3月100023290Π2009Π58(03)Π1446210物　理　学　报ACT A PHY SIC A SI NIC AV ol.58,N o.3,March ,2009ν2009Chin.Phys.S oc.数形式收敛:d Vd t=e-(a+d+e+h),(3)即体积元V0在时刻t时收缩为体积元V0e-(a+d+e+h)t,这意味着,当t→∞时,包含系统轨迹的每个体积元以指数率-(a+d+e+h)收缩到零.因此,所有系统轨迹线最终会被限制在一个体积为零的集合上,且它渐进运动固定在一个吸引子上. 212121平衡点及稳定性系统(1)存在三个非线性项,状态变量分别为x,y,z,u.为了求解系统(1)的平衡点,令参数为a =2015,b=6818,c=42,d=016,e=4,f=415,g= 5,h=018,并且方程组为-ax+by=0;cx-xz-dy-u=0;xy-ez-fx+gu=0;h(yz-u)=0.(4)求解(4)式可得到系统三个平衡点为s0(0,0,0,0);s1(219,0186,32122,27188);s2(-148190,-44137,32122,-1429158). 在平衡点s(0,0,0,0),对系统(1)进行线性化得其Jacobian矩阵为J0=-a b00 c-z d-x-1 y-f x-e g 0hz hy-h=-201568180042-0160-1-4150-45 000-018. 为了求平衡点s(0,0,0,0)相应的特征根,令det(J0-λI)=0,得到相应的特征根λ1=-410,λ2=4411181,λ3= -6512181,λ4=-018.这里四个特征根都是实根,但是不全为负实根.根据R outh2Hurwitz条件[11],可得平衡点s0是不稳定的鞍点.在平衡点s1(219,0186,32122,27188),采用同样的方法可求得相应的特征根λ1=-3815266,λ2= 1711337,λ3=-212535+311427i,λ4=-212535-311427i.其中λ1为负实根,λ2为正实根,λ3与λ4是负实部的共轭复根.因此,平衡点s1是一个不稳定的鞍点.通过同样的计算方法可得在平衡点s2(-148190,-44137,32122,-1429158)相应的特征根为λ′1=15814476,λ′2=-13914219,λ′3=4410970,λ′4= -018287.这里四个特征根都为实根,但是不全为负实根,所以根据R outh2Hurwitz条件知,平衡点s2是不稳定的鞍点.从上述分析可知,系统(1)的三个平衡点都是不稳定的鞍点.从理论上证明了该系统有存在超混沌特性的可能性.2131混沌吸引子系统(1)参数为a=2015,b=6818,c=42,d= 016,e=4,f=415,g=5,h=018时,存在一个典型的混沌吸引子.本文采用了四阶龙格2库塔离散化算法,得到混沌吸引子相图如图1所示.相图中其轨线在特定的吸引域内具有遍历性.这个混沌的奇怪吸引子与Lorenz系统形状完全不同,并且与Qi系统[12] (该系统有九个平衡点)吸引子不同.本文提出的这个新系统仅存在三个平衡点,因此其拓扑结构与其他系统的拓扑结构完全不同.系统(1)的时域波形具有非周期性,解的流对初始值极为敏感,它的时域波形如图2所示.而它的频谱都是连续谱,其频谱图如图3所示.计算的频谱均被单位标准化,大于单位谱的1Π10频谱范围作为该信号的频谱带宽,这是由于幅值相对较低的频谱的信号对加密意义很小,可以通过滤波等简单方法提取信息.从图3可以看出,Lorenz系统x变量的频谱带宽大约在0—3H z,本文提出的新系统x变量的频谱带宽大约在0—32H z,是Lorenz系统信号带宽的11倍左右.所以新混沌系统的混沌吸引子具有非常宽的频谱,对保密通信、流体混合等基于混沌的实际应用具有重要价值.2141Lyapunov指数和Lyapunov维数混沌吸引子的相邻轨线之间呈现出彼此排斥的趋势,并以指数速率相互分离,而Lyapunov指数(LE)是定量描述轨线彼此排斥和吸引的量.特别是系统的最大LE,是判断混沌系统的重要特征.计算最大LE的方法很多,如最小数据量法,W olf法, Jacobian法等.本文利用奇异值分解[13]的方法计算出系统(1)的四个LE为LE1=418444,LE2=112642, LE3=-111176,LE4=-2212627,其最大LE比Qi系统的最大LE要大(LE1=313152)[12],说明系统(1)比74413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图1　新混沌系统的奇怪吸引子图　(a )x 2y 2z 平面奇怪吸引子;(b )x 2y 平面奇怪吸引子;(c )x 2z 平面奇怪吸引子;(d )y 2u 平面奇怪吸引子图2　新系统的四个序列时域波形图8441物理学报58卷图3　新系统的功率谱图　(a)x序列的功率谱图;(b)y序列的功率谱图Qi系统运动轨迹更加复杂.并且该系统具有两个正的LE,具有超混沌的特征,系统的动态行为更加难以预测.新混沌系统的LE维数为D L=j+1|LE j+1|6ji=1LE i=3+(LE1+LE2+LE3)|LE4|=3+(418444+112642-111176)|-2212627|=312242.(5) 由此可见,这个新系统的LE维数是分数维数,从而验证了该系统为混沌系统.2151Poincare截面图为了利于观察系统的动力学行为,P oincare截面的选取要恰当,此截面不能包含系统的轨线,也不能与轨线相切.在给定的某组参数下,本文选取了相空间中穿过某一个平衡点的平面作为P oincare截面,然后观察P oincare截面上截点的情况,由此判断这组固定参数下系统的运动是否为混沌[14].在固定参数a=2015,b=6818,c=42,d=016, e=4,f=415,g=5,h=018时,系统存在两个大于零的LE指数,可知系统处于超混沌状态,图4是此时系统在几个截面上的P oincare映像图.由图4可以看出,P oincare截面上有一些成片的具有分形结构的密集点,吸引子的叶片清晰可见,进一步说明了此时系统的运动是混沌的.2161系统参数的影响随着系统参数的改变,系统平衡点的稳定性将会发生变化,从而系统也将处于不同的状态.从系统的LE谱和分岔图可很直观的分析出各个参数变化时,系统的变化情况.利用LE谱分析时,对于平衡点系统有LE4< LE3<LE2<LE1<0;对于周期轨有LE1=0,LE4<LE3 <LE2<0;对于拟周期轨有LE1=LE2=0,LE4<LE3 <0;对于混沌状态有LE1>0,LE2≤0,LE4<LE3<0, LE1+LE3+LE4<0;对于超混沌状态则有LE1>LE2 >0,LE3≤0,LE4<0,LE1+LE2+LE3+LE4<0.1)固定参数b=6818,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变a,a∈[0,22].当a∈[0,22]变化时,系统的LE谱以及关于x 的分岔图如图5所示.由图5(a)可见,随着a的变化,系统的LE在变化,系统状态也在发生改变.当a ∈[0,2]时,系统的LE都小于0,系统中都是平衡点,当a∈[2,12],系统只有一个正的LE,表明随着a的增加系统由平衡态演化到混沌状态;当a∈[12,22]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态,表明系统随着a的变化由混沌状态演化到超混沌状态.2)固定参数a=2015,c=42,d=016,e=4,f= 415,g=5,h=018,改变b,b∈[30,70].当b∈[30,70]时,系统的LE谱以及关于x的分岔图如图6所示.从图6(a)中可知,当b∈[30, 48]时,系统存在两个正的LE,显然系统处于超混沌状态;当b∈[48,50]时,系统仅存在一个正的LE,系统由超混沌状态演化为混沌状态;当b∈[50,70],系统存在两个正的LE,系统又由混沌状态演变为超混沌状态.由此可见当b∈[30,70]时,系统的状态在混沌状态与超混沌状态之间相互转变.3)固定参数a=2015,b=6818,d=016,e=4,f94413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现=415,g =5,h =8,改变c ,c ∈[0,45].当c ∈[0,45]时,系统的LE 谱以及关于x 的分岔图如图7所示.从图7(a )中可知,当c ∈[0,3],系统的所有的LE 都小于0,所以此时系统中都是平衡点;当c ∈[3,12]和c ∈[15,25]时,系统仅有一个正的LE ,系统处于混沌状态;当c ∈[12,15]和c ∈[25,45]时,系统存在两个正的LE ,系统由混沌态演化为超混沌状态.由于本系统参数比较多,鉴于篇幅有限在文中只详细分析其中的三个参数变化时,系统状态的变化情况,其他参数只给出结论,如表1所示.图4　新系统的P oincare 映射图　(a )x =0;(b )y =0;(c )z =80;(d )u =图5　a 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图0541物理学报58卷图6　b 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x的分岔图图7　c 变化时新系统的LE 谱图以及关于x 的分岔图　(a )LE 谱图;(b )关于x 的分岔图表1　新系统的状态变化情况参数变化范围平衡点周期态拟周期态混沌状态超混沌状态d [0,1]无无无无[0,1]e [0,5]无无无[0,113](113,5]f [0,5]无无无f =017,f ∈[1127,113][0,017)(017,1127)(113,5]g [0,6]无无无[0,213](213,6]h[0,1]无无无无[0,1]31新系统的振荡电路设计与实现混沌系统的最直接最简单的物理实现是通过电路来完成的,许多混沌系统的动力学行为都是通过电路得到了验证[15].同样这个四维混沌系统也可以通过电路来实现.由于直接根据系统微分方程设计的电路很难正常运行,为此有必要对原方程作一些适当地变换,这样做的目的有两方面:一是通过线性缩放,使得状态变量的变化范围在集成电路允许的工作的电压范围内;二是简化电路设计,尽量减少元件和集成电路.本文采用线性电阻、线性电容、运算放大器(LM741)、模拟乘法器(AD633)来设计实现系统(1)的电路.利用Multisim 软件设计的电路如图8所示,其中运算放大器是用来进行电路的加减运算,模拟乘法器则用来实现系统中的非线性项.为了有效的进行电路实验,把混沌信号的输出电平调小为原来15413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现的1Π200,设m =200x ,v =200y ,w =200z ,n =200u .(6) 又由于系统变量的变换,不影响系统的状态及性能,从而在令x =m ,y =v ,z =w ,u =n ,(7)则(1)式可变为x ・=-ax +by ;y ・=cx -200xz -dy -u ;z ・=200xy -ez -f x -gu ;u ・=h (200yz -u ).(8)图8　电路原理图根据电路理论以及各个元件的特性,得其电路方程为x ・=-R 2R 21R 1C 1x +R 2R 3R 2C 1y ;y ・=R 7R 22R 6C 2x -R 7R 8R 6C 2200xz-R 7R 23R 6C 2y -R 7R 24R 6C 2u ;z ・=R 12R 13R 11C 3200xy -R 12R 26R 11C 3z-R 12R 25R 11C 3x -R 12R 27R 11C 3u ;u ・=R 17R 18R 16C 4200yz -R 17R 28R 16C 4u .(9)2541物理学报58卷(11)式与(12)式相比较,可得a =R 2R 21R 1C 1;b =R 2R 3R 1C 1;c =R 7R 22R 6C 2;d =R 7R 23R 6C 2;e =R 12R 26R 11C 3;f =R 12R 25R 11C 3;g =R 12R 27R 11C 3;h =R 12R 18R 16C 4=R 12R 28R 16C 4. 当电路中的各元器件值如图8中所示时,利用示波器得到系统(1)各序列的时域图,如图9.利用示波器也可以看到混沌吸引子的相图,如图10所示.与数值仿真图基本相同,但有一定的区别,这是因为电路实验所的相图是从时间t =0开始绘制的,而数值仿真是截取了混沌序列后14000个数据绘制而成,取消了最开始的1000个数据.所以该混沌系统的仿真实验和实际电路实验应该是基本符合的.从而说明该混沌系统可以通过电路产生,具有很大的实用性.通过上述理论分析和仿真实验证实,本文提出的非线性系统是一个新的混沌系统,它具有一切混沌系统的共有特征:确定性、有界性、对初值的极端敏感性、长期不可预测性、正的最大Lyapunov 指数、一定频率范围内的连续谱和遍历性等.图9　系统(1)部分序列的时序图;(a )x 时序图;(b )y 时序图35413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现图10　系统(1)的电路实验相图　(a)x2y平面;(b)x2z平面;(c)y2z平面;(d)x2u平面4541物理学报58卷41结论通过以上理论分析和计算机仿真,可以得出以下结论:11本文提出的超混沌系统的数学模型拓扑结构简单,仅具有三个平衡点.21这个新的混沌系统存在着复杂的混沌动力学行为,它具有一切混沌系统的共有特征.31这个新的超混沌系统可以用电子振荡电路来实现.它在电子测量、保密通信、数字图像加密等领域中具有潜在的应用价值.如何控制这个系统以及深入研究系统的动力学行为是作者今后将要进行的工作.[1]Lorenz E N 1963J .Atmos .Sci .20130[2]Lorenz E N 1993The E ssence o f Chaos (W ashington :University of W ashington Press )[3]Celikovsky S ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 121789[4]Lu J H ,Chen G R 2002Int .J .Bifurc .Chaos 12659[5]Chen G R ,Lu J H 2003Dynamics o f the Lorenz System Family :Analysis ,Control ,and Synchronization (Beijing :Science Press )(inChinese )[陈关荣、吕金虎2003Lorenz 系统族的动力学分、控制与同步(北京:科学出版社)][6]Liu C X ,Liu L ,Liu K 2004Chaos Solitons Frac .221031[7]Qi G Y,Du S ,Chen G R ,Chen Z ,Y uan Z 2005Chaos SolitonsFrac .231671[8]Li W ,Hao J H ,Qi B 2008Acta .Phys .Sin .571398(in Chinese )[李　伟、郝建红、祁　兵2008物理学报571398][9]X ie K,Lei M ,Feng Zh J 2005Acta Phys .Sin .541267(in Chinese )[谢　鲲、雷　敏、冯正进2005物理学报541267][10]Hua C C ,G uan X P 2004Chin .Phys .131441[11]Liu Z H 2006Fundamentals and Applications o f Chaotic Dynamics (Beijing :High Education Press )p18(in Chinese )[刘宗华2006混沌动力学基础及其应用(北京:高等教育出版社)第18页][12]Zhang Y H ,Qi G Y,Liu W L ,Y an Y 2006Acta Phys .Sin .553307(in Chinese )[张宇辉、齐国元、刘文良、阎　彦2006物理学报553307][13]Zhang X D ,Li Z P ,Zhang L L 2005Beijing Technology Univer sitySinica 27371(in Chinese )[张效丹、李志萍、张丽丽2005北京科技大学学报27371][14]Lu J H ,Lu J A ,Chen S H 2002Analysis and Application o f ChaoticTime Sequences (Wu Han :Wu Han University Press )p51(inChiense )[吕金虎、陆君安、陈士华2002混沌时间序列分析及其应用(武汉:武汉大学出版社)第51页][15]W ang F Q ,Liu C X 2006Acta Phys .Sin .553295(in Chinese )[王发强、刘崇新2006物理学报553295]A new four 2dimensional hyperchaotic system andits circuit simulationT ang Liang 2Rui Li Jing Fan Bing(School o f Electric and Electronic Engineering ,North China Electric Power Univer sity ,Beijing 102206,China )(Received 5August 2008;revised manuscript received 11N ovember 2008)AbstractA new four 2dimensional chaotic system is reported in this paper.Basic dynam ic properties of the new system are investigated via theoretical analysis ,numerical simulation ,Lyapunov exponent ,Lyapunov dimension and P oincare diagrams.Finally the chaotic circuit is designed and realized by the Multisim software.It con firms that the chaotic system is different from the exisiting chaotic systems and is a new hyperchaotic system.K eyw ords :hyperchaotic system ,Lyapunov exponent ,P oincare diagrams ,circuit realization PACC :0545E 2mail :tangliangrui @55413期唐良瑞等:一个新四维自治超混沌系统及其电路实现。

一个具有四翼的混沌吸引子的混沌系统的分析与同步控制

系统基础上，采用非线性反馈控制，通过构造合适的响应系统，实现新系统的错位同步控制．
１系统的动力学特性
１１新的混沌模型及四翼吸引子．
本提的混系模为２一＋一ｗ文出新沌统型：ｂ｛ｙＹ
Ｉ＝ｃｗ— ）ｙＺ（ｚ一ｘｗ
第３巷第ｌｌ期
Ｖｏ．Ｏ１ｌ３１Ｎ
温州大学学报・自然科学版
Ｊｕｎｌｆｅｚｏｉｅｓｔ ‘ ｔｒｌｃｅｃｓｏｒａｎｈｕＵｎｖｒｉｏＷｙＮａｕａｉｎｅＳ
２１００年２月
Ｆｅ２０１ｂ．０
一
个具有四翼的混沌吸引子的混沌系统的分析与同步控制
安新磊，俞建宁，林明泽，孙军芳２
（．１兰州交通大学数理与软件工程学院，甘肃兰州７０７；．３００２西宁供电公司，青海西宁８００）１０３
摘要：在提出一个具有四翼混沌吸引子和每个方程含有一个三次非线性交叉乘积项的新复杂四维连
续自治系统基础上，依据Ｌａｕｏ稳定性定理，采用非线性反馈控制，通过构造合适的响应系统，实ｙｐｎｖ
现了新系统的错位同步控制．数值仿真结果表明，非线性反馈控制器所要求的控制律简单易于实现，该
且收敛速度快．
关键词：四翼吸引子；四维混沌系统；错位同步；Ｌａｕｏｙｐｎｖ指数谱
图２系统（）Ｐｉｃｒ１的ｏｎａｅ映射图

分数阶四翼超混沌系统的控制与同步

分数阶微积分是整数阶微积分的扩展，它是指微分和积分为分数阶或任意阶，近几年来，分数阶系统被
广泛应用，受到很多学者的关注和研究，近期的专著主要强调分数阶微积分在信号处理、生物工程、扩散波
和电磁学的应用１－６Ｊ。分数阶算子能够更准确的描述实际超混沌系统的动力学行为，且分数阶超混沌系统
ｄａＪｄｆ
阶的推广。关于分数阶微积分的定义和数值算法有很多不同的形式，采用应用最为广泛的Ｃａｐｕｔｏ定义。
㈩
式（１）中，ｎ一１ ≤ ＜凡，是卢（０）阶Ｒｉｅｍａｎｎ — Ｌｉｏｕｖｉｌｌｅ积分算子，定义如下：
形式：
ｄ８一
一
斗
４０Ｙ
ｄ
—
（４）
Ｙ一１４・９ｚ＋Ｗ
ｄ — ｔ
—
ｄＷｄ — ｔ一ｙ
利用分数阶微积分数值算法，研究了分数阶超混沌系统式（４）的动力学行为，微分阶数ｑ取合适的值时系统式（４）将表现出混沌现象。当ｑ＝Ｏ．９８时，分数阶超混沌系统式（４）的典型超混沌吸引子如图１所示。
第３１卷
引理１
考虑分数阶线性系统Ｄｘ＝Ａｘ，其中 ∈Ｒ，Ａ∈Ｒ
∈（０，１］，那么系统Ｄｅ￣ｘ＝Ａ是渐近稳
定的，如果矩阵Ａ的任意特征值Ａ有Ｉａｒｇ（Ａ）ｉ＞成立；系统Ｄ＝Ａ是稳定的，如果矩阵Ａ的任意特征值Ａ有Ｉａｒｇ（Ａ）Ｉ＞－成立。

一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步

一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步黄苏海;田立新【期刊名称】《电路与系统学报》【年(卷),期】2011(16)6【摘要】A new Chen-Qi-like four dimensional chaotic system is presented. The nonlinear characteristic of the new system versus the control parameters is illustrated by Lyapunov exponent, Lyapunov dimension, bifurcation diagrams and Poincare section etc. The results indicate that this new system has some similar characteristics to the Chen-Qi family, and presents some distinct nonlinear properties. A new nonlinear controller is designed based on the invariance principle of differential equations Riccati equations and LMI. With this method, the anti-synchronization of hyperchaotic systems can be achieved. Numerical simulation shows the feasibility and effectivenes of the proposed scheme.%提出了一个新的四维Chen-Qi-like混沌系统.通过计算该系统的时间序列的Lyapunov指数谱、Lyapunov 维数、分岔图、Poincaré截面图等分析了控制参数变化时,系统的非线性动力学特征.结果表明该新系统不但和Chen-Qi 系统族有类似的性质,而且又呈现不同的非线性特征.在微分方程不变性原理基础上,运用LMI技术和Riccati方程,设计了一类新的非线性反馈控制器,实现了超混沌系统的反同步.仿真结果验证了该方法的可行性和有效性.【总页数】9页(P66-74)【作者】黄苏海;田立新【作者单位】淮海工学院理学院,江苏连云港222005;江苏大学非线性科学研究中心,江苏镇江212013【正文语种】中文【中图分类】TP273;O231【相关文献】1.一个新超混沌系统的自适应反同步 [J], 周晟;唐驾时2.一个新四维超混沌系统及其混沌同步 [J], 祝泽华;祝峻;江浩;刘开明3.一个新超混沌系统的动力学分析及其电路实现 [J], 徐家宝;吴凤娇;黄心笛;赵嘉;王坤;宋芮4.新高次四维超混沌系统的广义反同步 [J], 郑莉;孙常春5.一个周期性强迫的四维超混沌系统的复杂动力学性质 [J], 陈熙统;鲍江宏因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

一个新4维超混沌系统的行为特性及其同步

１１新超混沌系统模型．本文构建的新超混沌系统的数学模型为
收稿日期：２１－１１０１ｌ．６
一
ｃｘ— ｘｚ一
ｘ —ｍｚ一＋ｇｗ＝０ｙ，
ｒ一），ｗ＝０
基金项目：河北省自然科学基金（２１０１４）Ａ０００９２，河北省教育厅科学研究计划项目（２１１７和河北省教育学会 “ 二五 ” 划课Ｚ００６）十规
摘要：提出了一个新的４维超混沌系统，并对该系统的基本动力学特性进行了深入研究，得到系统的
Ｌａｕｏｙｐｎｖ维数，给出了系统的时域图、相图、最大Ｌａｕｏｙｐｎｖ指数谱及其分岔图，并用非线性反馈控制方法实现了该超混沌系统的同步．根据系统的稳定性理论，得到了非线性反馈控制器的结构和系统达到混沌同步时反馈控制增益的取值范围，数值模拟结果验证了该方法的正确性．
ｔ收缩为体积元ｅ时一
肿，这意味着，当Ｊ，
ｆ０，包含系统轨迹的每个体积元以指数率０时
一
＋ｄ＋ｍ＋，收缩到零．因此，所有系统轨迹线最＿） ’
终会被限制在一个体积为零的集合上，且它渐进运
ｄ＝５ｍ＝４ｆ：．ｇ＝５ｒＯ时，存在典型的混沌，，４５，，＝２
令ｄｔｏ２）ｅ（一１＝０，Ｊ得到平衡点（，００相应的４００，），个特

一个4-D超混沌系统的特性分析及混沌控制设计

一个4-D超混沌系统的特性分析及混沌控制设计梁媛;王仁明;王凌云【摘要】本文研究了一个新型的四维超混沌系统的动力学特性和控制设计问题.首先,分析了系统的非线性动力学特性,如耗散性、时间序列、奇异吸引子、李亚普诺夫指数谱、庞加莱映射等.其次,基于Lyapunov稳定性理论设计了该系统具有完全未知参数的一个参数估计的自适应律.最后,Matlab的仿真结果验证了分析和设计的正确性和有效性.【期刊名称】《三峡大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(040)006【总页数】5页(P104-108)【关键词】超混沌系统;自适应控制;Lyapunov稳定理论【作者】梁媛;王仁明;王凌云【作者单位】三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌 443002;三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌 443002;三峡大学网络与智能控制研究所,湖北宜昌443002;三峡大学电气与新能源学院,湖北宜昌 443002;三峡大学网络与智能控制研究所,湖北宜昌443002【正文语种】中文【中图分类】TP273超混沌系统一般可以定义为至少存在两个正Lyapunov指数的混沌系统[1]，因而超混沌系统有更复杂的动态行为，如多涡卷混沌吸引子、多个正Lyapunov指数、截面上的Poincare映射非孤立等，这使得对超混沌系统的研究成为极具挑战性的课题．第一个典型的超混沌系统是Rossler超混沌系统[2]，接着其它一些超混沌系统相继出现了，如Chen超混沌系统[3-4]、Lu超混沌系统[5]、Nikolov超混沌系统[6]、Lorenz超混沌系统[7-8]等．由于混沌系统在许多领域有着明显或潜在的应用，如：保密通讯[9-10]，密码系统[11-12]，加密术[13-14]，电子电路[15-16]等，在过去的20年中，对混沌系统的控制研究受到了极大的关注，出现了许多控制方法：最优控制方法[17-18]，自适应控制方法[19]，滑模控制方法[20]，时滞反馈控制方法[21]等．基于超混沌系统丰富的动力学特性和实用性，为了更好地对动力学特性进行分析与控制设计．本文讨论了一个新型四维超混沌系统的动力学特性及控制问题．首先，分析了系统的一些动力学特征，如耗散性、时间序列、相轨迹图、李雅普诺夫指数谱和庞加莱映射．接下来，应用Lyapunov稳定理论分析了超混沌系统的自适应控制问题，并对具有完全未知参数的四维超混沌系统设计了一个参数估计的自适应律．最后，利用Matlab仿真软件对所有设计结果进行了仿真验证，阐述了分析和设计的正确性和有效性．1 系统描述及混沌特性分析1.1 系统描述四维Jerk系统的一般数学模型为其中一阶导数称为速度，二阶导数称为加速度，三阶导数称为Jerk．一个四维Jerk系统的一般方程组形式为：(1)当式(1)中的为关于各变量的多项式时，通过代换可得到诸多更具体的超混沌系统．故本文考虑如下新型四维超混沌系统：(2)其中，x，y，z，w为状态变量，a，b，c，d为系统的正常数参量．1.2 相轨迹和时间序列当系统参数分别为以下数值时，该四维系统是超混沌的a=24，b=125，c=5，d=10 (3)使用Wolf算法计算可知，系统(2)的Lyapunov指数为：L1=2.946，L2=2.083，L3=-2.432，L4=-32.59．由于系统的Lyapunov指数中有两个是正数，说明该新型四维系统是超混沌的．此时，系统(2)的Kaplan-Yorke维数为：可知系统(2)有一个分数Kaplan-Yorke维数的奇异吸引子．若取系统(2)的初始状态为：x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=0.2 (4)则系统的相图、时间序列图及Lyapunov指数谱分别显示在图1、图2和图3中．图1 四维超混沌系统的相图图2 四维超混沌系统的时间序列图图3 四维超混沌系统的Lyapunov指数谱1.3 耗散性超混沌系统(2)可以用向量表示为：(5)其中，(6)通过Liouville定理，可知·f)dxdydzdw (7)其中向量Ω(t)=Φt(Ω)，Φt是f的通量，V(t)为Ω(t)的体积．系统(2)的散度为：(8)其中μ=a+1+c．根据式(3)中选择的参数值，知μ=30>0，将式(8)里·f的值代入到式(7)中，可得(9)即V(t)=exp(-μt)V(0) (10)由于μ>0，从式(10)可知，当t→∞时，V(t)以指数方式趋于0．这显示系统(2)是耗散的．因此，其轨线最终被限定于一个零体积的子集内，并且其渐近运动将止于一个奇异吸引子上．1.4 平衡点当系统(2)的参数值如(3)中所示时，平衡点可由解下列等式获得：(11)即系统(2)在F∈R4的任一点的雅可比矩阵为：(13)在平衡点E0的雅可比矩阵为：(14)雅可比矩阵J0的特征值数值为：λ1=-5，λ2=-68.629 0，λ3=0.421 5，λ4=43.207 4 (15)因此，平衡点E0是不稳定的鞍点．在平衡点E1的雅可比矩阵为：(16)雅可比矩阵J1的特征值数值为：λ1=-0.362 4，λ2=-23.429 4，λ3，4=-3.466 5±26.906 7i (17)因此，平衡点E1也是不稳定的鞍点．1.5 庞加莱映射庞加莱映射是一种有助于形象化混沌折叠特性的分析技术．当参数a=24，b=125，c=5，d=10时，在不同的交叉平面，如x=0，z=32，在图4中显示了x-y、y-z和y-w平面对应的庞加莱映射图．图4 四维超混沌系统的庞加莱映射图2 4-D超混沌系统的自适应控制目标是寻找四维超混沌系统(2)的一种具有参数估计值更新规律的自适应控制，使得当t→∞时，所有状态变量x、y、z、w都收敛于系统的平衡点．假设受控的系统为：(27)其中，x，y，z，w为系统的状态变量，且a，b，c，d为未知的参量．V1、V2、V3、V4为待设计的自适应控制器．若系统(2)的参数是未知的，设计其自适应控制律为：(28)参数估计值更新律为：(29)这里，a1、b1、c1、d1为不确定参数a、b、c、d的估计值．li(i=1，2，3，…，8)为正常数．则在任意初始状态(x(0)，y(0)，z(0)，w(0))∈R4下，具有未知参数的四维超混沌系统是全局渐近稳定的．证明：将式(28)代入到式(27)中，可得到如下闭环系统模型：(30)定义李雅普诺夫函数为：(31)其中取李雅普诺夫函数对时间的导数，可得：(32)将式(29)、式(30)代入(32)中可得：l7(c-c1)2-l8(d-d1)2(33)很明显因此，由Lyapunov稳定性定理知，受控系统(27)收敛于系统的平衡点．设系统状态变量的初始值和参数值分别取为：x(0)=2，y(0)=2，z(0)=2，w(0)=2，a=24，b=125，c=5，d=10 (34)取li=0(i=1，2，3，…，8)，并设参数的初值为0．状态变量和参数估计值的运行轨迹仿真结果显示在图5和图6中．图5 自适应控制状态变量图图6 参数估计值更新图由图5和图6可看出，在自适应控制器的作用下，系统状态变量迅速趋于平衡点E0(0，0，0，0)，且系统未知参数的估计值收敛于被给的参数值．说明该控制方法对多未知数的四维超混沌系统可以达到期望的控制效果．3 结论本文讨论了一个新型的四维超混沌系统的混沌特性，如耗散性、时间序列、奇异吸引子、李亚普诺夫指数谱、庞加莱映射等．同时，设计了自适应控制律来稳定具有未知参数的新型四维超混沌系统．其设计的有效性和正确性由数值仿真得到了验证．参考文献：【相关文献】[1] SPROTT J C． Elegant Chaos. Singapore[M]． World Scientific， 2010．[2] Rossler O． An equation for hyperchaos[J]． Phys LettA, 1979, 71:155-157．[3] Chen G R, Dong X． From Chaos to Order: Methodologies, Perspectives andApplications[M]． World Scientific, Singapore, 1998．[4] Li Y, Tang W K S, Chen G． Generating Hyperchaos Via State Feedback Control[J]． Int J Bifurc Chaos Appl Sci Eng, 2005,15(10):3367-3375．[5] Chen A, Lu J, Lu J,Yu S．Generating Hyperchaotic LüAttractor Via State Feedback Control[J]． Phys A， 2006, 364:103-110．[6] Nikolov S, Clodong S． Occurrence of Regular, Chaotic and Hyperchaotic Behavior in a Family of Modified Rossler Hyperchaotic Systems[J]． Chaos, Solitons, Fractals 2004,22(2):407-431．[7] Wang X, Wang M． A Hyperchaos Generated from Lorenz System[J]． Phys A， 2008, 387(14):3751-3758．[8] Barboza R． Dynamics of a Hyperchaotic Lorenz System[J]． Int J Bifurc, Chaos,2007, 17(12):4285-4294．[9] Li C, Liao X， Wong K W． Lag Synchronization of Hyperchaos with Application to Secure Communications[J]． Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 23：183-193．[10] Smaoui N, Karouma A， Zribi M． Secure Communications Based on the Synchronization of the Hyperchaotic Chen and the Unified ChaoticSystems[J]． Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16：3279-3293．[11] Chien T I， Liao T L． Design of Secure Digital Communication Systems Using Chaotic Modulation, Cryptography and Chaotic Synchronization[J]． Chaos, Solitons & Fractals, 2005, 24：241-245．[12] Zhang B, Chen M， Zhou D． Chaotic Secure Communication Based on Particle Filtering[J]． Chaos, Solitons & Fractals, 2006, 30：1273-1280．[13] Zhang Q, Guo L， Wei X． A Novel Image Fusion Encryption Algorithm Based on DNA Sequence Operation and Hyper-Chaotic System[J]． Optik, 2013, 124：3596-3600．[14] Liu H, Wang X， Kadir A． Color Image Encryption Using Choquet Fuzzy Integral and Hyper Chaotic System[J]． Optik, 2013, 124：3257-3533．[15] Buscarino A, Fortuna L， Frasca M． Experimental Robust Synchronization of Hyperchaotic Circuits[J]． Physica D: Nonlinear Phenomena, 2009, 238：1917-1922．[16] Yujun N, Xingyuan W, Mingjun W， et al． Huaguang: A New Hyperchaotic System and Its Circuit Implementation[J]． Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2010, 15：3518-3524．[17] El-Gohary A, Alwasel I A． The Chaos and Optimal Control of Cancer Model with Complete Unknown Parameters[J]． Chaos Solitons Fractals, 2009, 42：2865-2874．[18] 王仁明，刘豪，赵长风，等，非线性连续混沌系统的模糊自适应控制[J]．三峡大学学报(自然科学版)，2017, 39(4): 84-89．[19] Roopaei M, Sahraei B R, Lin T C． Adaptive Sliding Mode Control In a Novel Class ofChaotic Systems[J]． Commun Nonlinear Sci Numer Simul, 2010, 15：4158-4170．[20] Liao X, Chen G． Chaos synchronization of General Lur'e Systems Via Time- Delay Feedback Control[J]． Int J Bifurcation Chaos, 2003, 13：207-213．[21] Kirk D E． Optimal Control Theory: an Introduction[M]． Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1970．。

四翼超混沌系统的动力学特性分析及其电路实现

第１８卷第１期２０１３年２月
文章编号：１００７ — ０２４９（２０１３）０ｌ０２８５．０５
电路与系统学报
Ｊ０ＵＲＮＡＬＯＦＣＩＲＣＵＩＴＳＡＮＤＳＹＳＴＥＭＳ
Ｖｏｌ＿１８Ｎｏ．１
，
十一ｉｌＯ０３］
㈩
在平衡点处线性化系统（２），得特征根：２１＝一８／３，２２＝（ｓｉｎ（ｃｏｔ）一 √ ｓｉｎ（）一１４０ｓｉｎ（ｃｏｔ）＋１０６０）／２－５，２３＝（ｓｉｎ（ｃｏｔ）
基金项目ｔ国家自然科学基金（６１１６１００６，６１０７３１８７）；教育部留学归国人员启动基金资助课题＃通信作者ＩＥｍａｉｈｋｅｈｕｉ＠ＣＳＵ．ｅｄｕ．ｃｎ
２８６
当 ∞∈ ［０，２０］时，系统是混沌的，除了当０９Ｅ［７．８，１０］时存在三个周期窗口，特别是当ｏ￣ｅ（ｏ，７．３５］时，有
第１期
孙克辉等：四翼超混沌系统的动力学特性分析及其电路实现
Ｆｅｂｒｕａｒｙ，２０１３
四翼超混沌系统的动力学特性分析及其电路实现
孙克辉１，２，刘璇，朱从旭ｔ

一种新的四阶自治超混沌系统的生成及特性分析

一
０．５ＯＯ０ —１
０２．５０
Ｊｏ＝０
０
１
—４０
０１０
为了获得的特征值，令ＪＡＥ一Ｊ＝０，其中为单位矩阵，得矩阵的特征根为Ａ＝２．４３６２，Ａ＝
分数阶超混沌系统，利用预估一校正方法，对此分数阶超混沌系统进行了数值仿真，通过生成的相图证明了此分数阶超混沌系统仍然表现出超混沌动力学行为。
关键词：超混沌系统；平衡点；李雅普诺夫指数；预估一校正法
中图分类号：ＴＰ２７３文献标志码：Ａ文章编号：１００９— ３９０７（２０１４）０２—０１５０— ０３
第２４卷
第２期
长
春
大
学
学
报
Ｖｏ１．２４Ｎｏ．２
２０１４年２月
Ｊ０ＵＲＮＡＬＯＦＣＨＡＮＧＣＨＵＮＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
Ｆｅｂ．２０１４
一
种新的四阶自治超混沌系统的生成及特性分析
孙德成，柏逢明
（长春理工大学电子信息工程学院，长春１３００２２）
摘
要：在一个三阶自治混沌系统的基础上，通过添加一个控制变量生成了一个新的四阶自治超混沌系统，并研究
了此超混沌系统的平衡点、李雅普诺夫指数、相图等动力学特性。当导数的阶数变为３．６阶时，此超混沌系统变为

一种新的双翼和四翼蝴蝶吸引子共存的超混沌系统

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｎｓｉｄｅｉｒｎｇｔｈｅｉｓｓｕｅｏｆｔｈｅｆｏｕｒ－ｗｉｎｇｈｙｐｅｒ－ｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｃａｎｎｏｔｐｒｏｄｕｃｅｔｗｏ－ｗｉｎｇａｎｄｆｏｕｒ — ｗｉｎｇｈｙｐｅｒ－ｃｈａｏｔｉｃａｔｔｒａｃｔｏｒｓｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙｗｈｅｎｔｈｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍａｒｅｉｆｘｅｄ，ａｎｏｖｅｌｈｙｐｅｒ－ｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄ，ｉｎｗｈｉｃｈｔｈｅｔｗｏ— ｗｉｎｇｅｄａｎｄｆｏｕｒ — ｗｉｎｇｅｄａｔｔｒａｃｔｏｒｓｃａｎ
ａｃｈｉｅｖｅｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅｓｙｎｃｈｒｏｎｉｚａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｈｙｐｅｒ－ｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍ．
ａｎｄｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｄｉａｇｒａｍｓ，ｉｔｓｈｏｗｓｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｃｈａｒａｃｔｅｉｓｒｔｉｃｓｏｆｔｈｅｈｙｐｅｒ－ｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍ．

一个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步

摘要；提出了一个新的四维Ｃｅ — －ｋｈｎＱｉｉｅ混沌系统。通过计算该系统的时间序列的Ｌａｕｏｌｙｐｎｖ指数谱、Ｌａｕｏｙｐｎｖ
维数、分岔图、ｏｎａ６截面图等分析了控制参数变化时，Ｐｉｃｒ系统的非线性动力学特征。结果表明该新系统不但和Ｃｅ．ｉｈｎＱ
在本文中，定义为维Ｅｃｉｅｎ空间，Ｒ定义为 × ｕｌａｄｍ矩阵。Ｘ＜表示ｘ是实对称负正定０矩阵。Ｊ义为恰当维数的的实矩阵。指的是Ｅｃｉｅｎ范数。定ｕｌａｄ
２新类ＣｈｎＱｉ的模型及基本动力学特性ｅ — 系统
了超混沌系统的有限时间反同
步。最后，采用数值方法验证了控制规律和参数变化规律的正
确性。
３１广义方法反同步．
ｘ
假定一般混沌系统的动态
方程表示为：
＝
（）在ｙ平面上的投影ａ
根据Ｑ吸引子和Ｃｅｉｈｎ吸引子非线性部分的特征，构造了一个四维非线性动力学系统。系统的模
型如下：＝（＋ｚａｙ— 、ｙ
＝
（一）一＋ｘ
（）１
＝Ｘ一ｂｚ— ｖＺ— Ｗ
＝ｘｚ一一ｗｙ
Ｄｅｅｅ，２１ｃｍｂｒ０１
一
个新的四维超混沌系统的动力学分析及混沌反同步

一个新超混沌系统的动力学分析及其电路实现

《微型机与应用》２０14年第33卷第4期欢迎网上投稿人们对混沌现象的认识可以追溯到19世纪，法国数学家Poincare 在研究太阳系三体运动时不经意间发现了它，1990年，美国海军实验室的学者Pecora 和他的同伴Carroll 在电子学线路的设计实验中观察到混沌同步的现象[1]。

在最近几十年中，混沌更是受到了广大学者和专家的关注和青睐。

从发现混沌现象到现在，混沌被应用在人们生活的各个方面，如机械系统、电子系统、生态系统、信息系统、应用数学和物理学中[2-6]。

随着混沌系统维数的增加，人们发现了超混沌现象，其中人们熟知的超混沌系统有超混沌Chen 系统、超混沌L ü系统等[7-8]。

超混沌的动力学行为比混沌动力学行为更加复杂，相轨迹在更多的方向上分离，超混沌现象利用信息加密使得对信息密码的破解更加困难，因此，超混沌系统在科技领域有着巨大的研究价值。

本文在前人所做工作的基础上，先构造了一个新的超混沌系统，并采用经典的动力学分析方法(包括相轨迹、平衡点、耗散性、Lyapunov 指数和poincare 截面等方面)对新系统从定性和定量两方面做了详细的分析，加深了对该超混沌系统的认识。

并借助Multisim 对新超混沌系统搭建了仿真电路，实验结果与理论分析相一致，验证了该超混沌系统的实际物理意义。

1新超混沌系统数学模型构造的新超混沌系统数学模型如下：x 觶=a (y -x )y觶=-xz -w z觶=-b+xy+x 2w觶=my (1)当系统初值取为[x 0，y 0，z 0，w 0]=[0.5，0.8，0.2，0.4]，a =5，b =90，m =5时，计算机仿真的系统相轨迹如图1所示，初步判断该系统具有超混沌吸引子。

2新超混沌系统的动力学分析2.1平衡点分析通过求解下面的方程可以得到系统的平衡点：鄢基金项目：西北农林科技大学国家级“大学生创新创业训练计划”资助课题（1210712090）一个新超混沌系统的动力学分析及其电路实现鄢徐家宝，吴凤娇，黄心笛，赵嘉，王坤，宋芮（西北农林科技大学水利与建筑工程学院电气系，陕西杨凌712100）摘要：构造了一个新的超混沌系统，通过Matlab 绘制其相轨迹图，初步判断该系统具有混沌吸引子。

一种新的双翼和四翼蝴蝶吸引子共存的超混沌系统

一种新的双翼和四翼蝴蝶吸引子共存的超混沌系统从继成;高纲领【摘要】针对现有的四翼超混沌系统在系统参数固定时，不能同时产生双翼和四翼蝴蝶混沌吸引子的问题，提出了一种双翼与四翼蝴蝶混沌吸引子共存的超混沌系统。

对系统的平衡点、Lyapunov指数谱和分岔图进行了研究，呈现了系统的超混沌特性。

最后，利用主动控制同步法，设计了合适的非线性反馈控制器，实现双翼与四翼吸引子共存的超混沌系统的广义投影同步。

%Considering the issue of the four-wing hyper-chaotic system cannot produce two-wing and four-wing hyper-chaotic attractors simultaneously when the parameters of the system are fixed,a novel hyper-chaotic system is presented,in which the two-winged and four-winged attractors can coexist in this paper. Through the study of the equilibrium points,the Lyapunov exponent spectrums and bifurcation diagrams,it shows the dynamic characteristics of the hyper -chaotic system. Furthermore,with an active control method,the proper nonlinear feedback controllers are designed to achieve the generalized projective synchronization of the hyper-chaotic system.【期刊名称】《火力与指挥控制》【年(卷),期】2015(000)009【总页数】3页(P85-87)【关键词】超混沌;双翼蝴蝶混沌吸引子;四翼蝴蝶混沌吸引子;广义投影同步【作者】从继成;高纲领【作者单位】黄淮学院，河南驻马店 463000;黄淮学院，河南驻马店 463000【正文语种】中文【中图分类】TP391由于混沌系统具有非常复杂的动力学行为，因此，混沌已被广泛地应用于保密通信中，而四翼蝴蝶混沌系统较一般的双翼蝴蝶混沌系统的动力学行为更复杂，因此，在保密通信中使用四翼蝴蝶混沌系统，能使保密通信更安全，信息更难被破译。

混沌系统的非线性动力学分析

混沌系统的非线性动力学分析混沌系统作为一种非线性动态系统，具有极其复杂的行为模式和不可预测的演化过程，引起了许多科学家和研究者的广泛关注。

非线性动力学分析方法提供了一种研究混沌系统的有力工具，通过对系统的动力学特性进行详细分析，可以揭示混沌系统的内在结构和行为规律。

非线性动力学分析的核心概念是相空间、轨道和吸引子。

相空间是由系统状态的所有可能取值所构成的空间，通过绘制系统状态的轨迹可以了解系统的演化过程。

轨道表示系统在相空间中的运动路径，可以是有限的或无限的。

吸引子是描述系统稳定的不动点或者稳定周期轨道所形成的吸引性结构。

混沌系统中最有代表性的一个例子是洛伦兹系统。

洛伦兹系统是一个描述对流运动的非线性动态系统，由三个耦合的微分方程组成。

通过非线性动力学分析，我们可以揭示洛伦兹系统中的混沌现象。

例如，洛伦兹系统具有一个吸引子，其形状类似于蝴蝶，这被称为洛伦兹吸引子。

洛伦兹吸引子的特点是具有无法预测的演化过程和高度敏感的初值依赖性。

除了洛伦兹系统，还有一些其他的混沌系统也受到了广泛的研究。

例如，Henon映射是一个二维动力系统，通过映射函数来描述系统的演化。

Henon映射具有分岔现象和周期倍增等特征，可以通过非线性动力学分析来研究其复杂的行为。

另一个例子是Logistic映射，它是一个一维动力系统，广泛应用于生物学、经济学等科学领域。

Logistic映射具有混沌的演化行为，可以通过非线性动力学分析来揭示其内在的结构。

非线性动力学分析的方法主要包括Poincaré截面、Lyapunov指数、分岔图和动力学统计等。

Poincaré截面可以将高维相空间映射到低维空间中，从而便于观察系统的演化。

Lyapunov指数可以衡量系统的混沌程度和对初值的敏感性。

分岔图可以描述系统在参数变化过程中的演化行为和状态的突变。

动力学统计方法可以通过统计的方式研究系统的稳态性质和行为规律。

非线性动力学分析的研究对于理解混沌系统的本质和揭示复杂现象的规律具有重要的意义。

一个新的四翼混沌系统的动力学分析

＝
（１）
提出，使得它们在数学、物理及其工程实际应用中得
到了极大的发展，并且得到了各界学者的广泛研究．由于多翼吸引子混沌系统所具有的丰富的
ｄ（＋）＋ｘｙｚ．其中＝（，Ｙ，ｚ， “ ） ∈Ｒ４为系统的状态变量，Ｕ，ｂ，
ｔｈｉｓｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍｈａｓｔｈｅｒｉｃｈｄｙｎａｍｉｃｓｂｅｈａｖｉｏｒｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｃｈａｏｔｉｃｓｙｓｔｅｍ；Ｐｏｉｎｃａｒ６ｓｅｃｔｉｏｎｓ；Ｌｙａｐｕｎｏｖｅｘｐｏｎｅｎｔ；ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎｄｉａｇｒａｍ
ｄｉａｇｒａｍ，ＬｙａｐｕｎｏｖｅｘｐｏｎｅｎｔａｎｄＰｏｉｎｃａｒ６ｓｅｃｔｉｏｎｓ，ａｒｅａｎａｌｙｚｅｄｂｙｍｅａｎｓｏｆｎｕｍｅｒｉｃｌａｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ．Ｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗ
需＝一ＵＸ＋ｅｇ— ｙｚｕ：
混沌理论的研究价值及其它的应用价值，并且随着科学技术的发展以及对混沌理论的深入研究和工程
实际的需要，各种各样的非线性混沌系统也相继被
＿＝６），＋一；
右＝ｃ（１，ｔ — ）一ｘｙｕ；

四翼混沌系统分析和同步控制

2021年4月第28卷第4期控制工程Control Engineering of C hinaApr . 2021 Vol .28，No .4文章编号：1671-7848(2021)04-0681-06DOI: 10.14107/j .cnki .kzgc .20190476四翼混沌系统分析和同步控制颜闽秀a ，b ,徐辉a(沈阳化工大学a .信息工程学院；b .工业环境-资源协同控制与优化技术重点实验室，辽宁沈阳110142)摘要：针对一个新的结构简单的四翼混沌系统，对其混池特性、可实现性，以及带有扰动的同步控制问题进行了研究。

通过分析系统的相轨迹图、功率谱、分岔图、李雅普诺夫指数谱、庞加莱截面图验证了新系统的混沌特性。

参数变化时，新系统的混沌特性更为丰富。

通过设计新系统的电子电路并于Multisim 软件中进行模拟，证实了系统的可实现性。

针对带有外部扰动的混沌系统之间的同步问题，采用滑模控制的方法设计了滑糢控制器，实现了系统有限时间内同步。

关键词：四翼混沌系统；混沌系统电子电路；有限时间滑模同步中图分类号：T P 273文献标识码：AAnalysis and Synchronization Control of Four-wing Chaotic SystemY A N M n -xiu 咕，X U H u P(a . College of Information Engineering ; b . Key Laboratory for Industrial Environment-resources Cooperative Control andOptimization Technology , Shenyang University of Chemical Technology , Shenyang 110142, China )Abstract: Aim i n g at a n e w four-wing chaotic system with simple structure , the chaotic characteristics ,realizability and synchronization control with disturbance are studied . T h e chaotic characteristics of the n e w system are verified by analyzing the phase trajectory diagram , pow e r spectrum , bifurcation diagram , Lyapunov exponent s p e c t m m and Poincare section diagram of the system . Th e chaotic characteristics of the system are more abundant w h e n the parameters change . T h e electronic circuit of the n e w system is designed and simulated by Multisim software , which proves the realizability of the system . A i m i n g at the synchronization problem between chaotic systems with external disturbances , a sliding m o d e controller i s designed by using sliding m o d e control method , which realizes the synchronization of chaotic systems in finite time .Key words: Four-wing chaotic system ; electronic circuit of chaotic system ; finite-time sliding m o d esynchronizationi 引言自洛伦兹混沌系统被发现后不同的混沌系统相继被提出，如超混沌系统【4,5]、多翼混沌系统[6~"]、多涡卷混沌系统混沌系统由低维拓展到高维[i 4，i 5]，由整数阶发展到分数阶队17]。