梯形中位线的三种证明方法
梯形中位线推论
梯形中位线推论梯形图形是初学者常会遇到的一种多边形图形，它有四个顶点和四条边，它的两个对边是平行的，但是两个对边的长度不同，我们称之为梯形。
梯形中位线是指梯形两个非平行边的中点连线。
下面我们来介绍一下梯形中位线的一些推论。
1. 梯形中位线长度相等对于任意一个梯形，它的两个非平行边的中位线长度相等。
这是因为中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，而这两个三角形有相等的底边，高也相等，因此它们的面积是相等的，中位线的长度也相等。
2. 梯形中位线平行于较短的平行边在梯形中，梯形的两条平行边中，较长的那一条的中位线不和较短的平行边平行，而是和较短的平行边平行。
这是因为梯形中的中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，而这两个三角形的顶角顶点分别在梯形两条平行边的中点上，因此中位线与较短的平行边平行。
对于任意一个梯形，它的两个平行边之间的距离就是梯形的高，而梯形的两个非平行边的长度分别为a和b，它们的中位线的长度为c。
我们可以得到以下公式：c = （a + b）/2这个公式告诉我们，梯形的中位线长度等于它的两个平行边距离的平均数。
4. 一组平行四边形的面积如果我们将一个梯形绕它的中位线旋转180度，我们得到一个面积相等的梯形。
由于它们的四个顶点重合，我们还可以得到两个平行四边形，这两个平行四边形显然具有相等的面积。
因此，我们可以得出一个结论：对于任意一个梯形，它的两个非平行边的中位线连接起来形成的四边形，是一个平行四边形。
而这个平行四边形的面积等于梯形的面积，即：其中，a和b是梯形的两个平行边的长度，h是梯形的高。
5. 中位线长度的平方等于梯形两个三角形面积之和由于梯形中的中位线将梯形分成了两个等面积的三角形，我们可以得到一个结论：梯形中位线长度的平方等于梯形两个三角形面积之和，即：其中，S1和S2分别是梯形两个三角形的面积。
以上就是关于梯形中位线的一些推论，它们不仅可以帮助我们更好地理解梯形的性质，还可以帮助我们解决一些与梯形相关的数学问题。
梯形的中位线
A
E
B
• 在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中 位线．1）若ＡＤ＝８ｃｍ，ＥＦ＝ １２ｃｍ，则ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ． 2）若ＥＦ＝１０ｃｍ，高ＡＨ＝６ｃ ｍ，则ＡＤ＋ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ． 3)若一个等腰梯形的中位线长是６ｃｍ， 腰长是５ｃｍ，则这个等腰梯形的周 长是＿＿＿ｃｍ．
• 如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥Ｂ Ｃ，中位线ＥＦ分别交 ＢＤ、ＡＣ 于点Ｍ、Ｎ．若ＡＤ＝４ｃｍ，Ｅ Ｆ＝６ｃｍ，则ＥＭ＝＿＿＿ｃｍ， ＦＮ＝＿＿＿ｃｍ，ＭＮ＝＿＿ｃ ｍ，ＢＣ＝＿＿ｃｍ．
ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ分别是ＡＤ、 ＢＣ的中点，ＢＡ、ＦＥ的延长 线相交于点Ｍ，ＣＤ、ＦＥ的延 长线相交于点Ｎ． 求证：∠ＡＭＥ＝∠ＤＮＥ．
别是ＡＢ、ＢＣ的中点，Ｍ、Ｎ是Ａ Ｃ的三等分点，ＥＭ、ＦＮ的延长线 相交于点Ｄ． 求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边 形．
已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是 高，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是三边的中点． 求证：四边形ＤＧＥＦ是等腰梯形．
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ ＡＤ＝ＤＣ＝３ｃｍ， ，则Ｂ Ｃ＝＿＿＿ｃｍ，梯形的周长＝＿＿＿ｃ 0 B 60 ｍ，面积＝＿＿＿，中位线ＥＦ＝＿＿＿ ｃｍ．
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ、Ｆ 是ＡＢ的三等分点，ＥＧ∥ＦＨ∥Ａ Ｄ．若ＡＤ＝４ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ， 则ＥＧ＝＿＿ｃｍ，ＦＨ＝＿＿＿ｃｍ．
• 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是１）猜 想：ＧＨ与ＥＦ间的关系是 ＿．（２）证明你的猜想．
若一个三角形的周长是ａｃｍ，面积 是，则它的三条中位线围成的三角形 的周长是＿＿＿ｃｍ，面积是＿＿ ＿．
• 如图，梯形ＡＢ ＣＤ中，ＡＤ∥ Ｂ B 600 C 300 Ｃ， ， ，ＡＤ＝ ２ｃｍ，ＢＣ＝ １０ｃｍ，则Ａ Ｂ＝ ＿ｃｍ，Ｃ Ｄ＝＿ｃｍ．
梯形中位线求法
梯形中位线求法一、概述梯形是一种特殊的四边形，它有两条平行的边，称为底边和顶边，以及两条不平行的边，称为腰边。
梯形中位线是连接梯形两个非平行边中点的线段。
本文将详细介绍梯形中位线的求法，并讨论其性质和应用。
二、梯形中位线的求法求解梯形中位线的方法有多种，下面将介绍两种常见的方法。
2.1 方法一：利用梯形的性质根据梯形的性质，梯形中位线的长度等于梯形两个底边长度之和的一半。
设梯形的底边长度为a，顶边长度为b，则梯形中位线的长度为(a+b)/2。
2.2 方法二：利用梯形的顶角平分线性质梯形的顶角平分线是连接梯形两个顶角的线段，它同时也是梯形中位线的一部分。
根据梯形的顶角平分线性质，梯形中位线将梯形分成两个等腰三角形。
因此，我们可以利用等腰三角形的性质来求解梯形中位线的长度。
设梯形的底边长度为a，顶边长度为b，腰边长度分别为c和d。
根据等腰三角形的性质，梯形中位线与底边的夹角等于顶边与腰边的夹角，因此可以利用正弦定理求解梯形中位线的长度。
设梯形中位线的长度为x，则有：x/sin(顶边与腰边的夹角) = b/sin(梯形中位线与底边的夹角)根据正弦定理，我们可以求解出梯形中位线的长度。
三、梯形中位线的性质梯形中位线具有一些重要的性质，下面将逐一介绍。
3.1 梯形中位线与底边平行根据梯形的定义，梯形的两个底边是平行的。
而梯形中位线连接了两个底边的中点，因此梯形中位线与底边平行。
3.2 梯形中位线长度等于底边长度之和的一半根据梯形中位线的求法，我们可以得知梯形中位线的长度等于底边长度之和的一半。
3.3 梯形中位线与顶角平分线重合根据方法二的求法，梯形中位线与顶角平分线重合。
这是因为梯形中位线同时也是梯形的顶角平分线。
3.4 梯形中位线将梯形分成两个等腰三角形根据方法二的求法，梯形中位线将梯形分成两个等腰三角形。
这是因为梯形中位线连接了梯形两个非平行边的中点，从而将梯形分成两个底边长度相等的三角形。
四、梯形中位线的应用梯形中位线在几何学中有一些重要的应用，下面将介绍两个常见的应用。
梯形的中位线
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ ＡＤ＝ＤＣ＝３ｃｍ， ，则Ｂ Ｃ＝＿＿＿ｃｍ，梯形的周长＝＿＿＿ｃ 0 B 60 ｍ，面积＝＿＿＿，中位线ＥＦ＝＿＿＿ ｃｍ．
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ、Ｆ 是ＡＢ的三等分点，ＥＧ∥ＦＨ∥Ａ Ｄ．若ＡＤ＝４ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ， 则ＥＧ＝＿＿ｃｍ，ＦＨ＝＿＿＿ｃｍ．
梯形中位线
• 如图中的线段EF应该给它什么名称？ • 你能给它下一个什么名称？ • 你能给它下一个定义吗？
A D
E
F C
B
G
• 梯形中位线的定义：连结梯形两腰中点的线 段叫做梯形中位线
• 梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
D F
A
E
B
C
• 例1已知：在梯形ABCD中，DC//AB，腰AD=BC,CE⊥AB,BE=1cm,中位线长为2.5cm • 求底AB与DC的长
D C
A
E
B
• 在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中 位线．1）若ＡＤ＝８ｃｍ，ＥＦ＝ １２ｃｍ，则ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ． 2）若ＥＦ＝１０ｃｍ，高ＡＨ＝６ｃ ｍ，则ＡＤ＋ＢＣ＝＿＿＿ｃｍ． 3)若一个等腰梯形的中位线长是６ｃｍ， 腰长是５ｃｍ，则这个等腰梯形的周 长是＿＿＿ｃｍ．
• 如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥Ｂ Ｃ，中位线ＥＦ分别交 ＢＤ、ＡＣ 于点Ｍ、Ｎ．若ＡＤ＝４ｃｍ，Ｅ Ｆ＝６ｃｍ，则ＥＭ＝＿＿＿ｃｍ， ＦＮ＝＿＿＿ｃｍ，ＭＮ＝＿＿ｃ ｍ，ＢＣ＝＿＿ｃｍ．
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是最舒心の壹各地方，因此今天晚上就过来坐壹坐，散散心。结果却是大大出乎他の意料，怎么连塔娜这里都呆不得咯？万分失望の二十 三小格话不投机，转身就走。盼咯这么多天，好不容易把二十三小格盼来咯，结果才三两句话他就愤然离去，只留下塔娜壹各人睁着错愕 の大眼睛，继而流下咯委屈和痛苦の泪水。这壹次塞外之行，二十三小格根本就没有壹点儿犹豫，立即就决定咯由塔娜随行。这各考虑， 仍然还是因为他の孩子气。当初因为王爷摆出咯寻找入选秀女名单の迷魂阵，令他栽咯壹各大跟头，又娶回来壹各毫无用处の塔娜，虽然 人还是不错，但他真是咽不下这口恶气。特别是后来他四处打听来の消息让他知道，原来四哥对小四嫂居然是备加冷落！看来四哥娶她， 真の就是为咯她父兄の朝中势力！得知咯这各消息，二十三小格马上就产生咯严重の报复心理：您过得不如意，我就偏偏要过得比您好！ 他要好好气气他の四哥：您不是抢吗？抢到手有啥啊用！别以为我娶咯塔娜就有多么亏空！因此他要在王爷の面前，极尽对塔娜の恩宠， 要让他の四哥后悔壹辈子去吧。可是，他万万没有料到，这壹次四哥带の随行女眷，居然是水清！这各小四嫂不是备受冷落吗？怎么可能 作为随行女眷伴驾？这又不是出来壹天两天，这可是要在塞外呆上五、六各月の时间呢！每次出行，只要看看是哪壹位女眷随行，就知道 哪各后院诸人是现在正得宠の主子。当然除咯八小格，那是壹各特例。在只能带壹各诸人の情况下，四哥带の竟然是最不得宠，甚至是备 受冷落の小四嫂，这各情况令二十三小格绞尽脑汁也想不明白究竟是为啥啊！难道说自己の情报有误，小四嫂现在得宠咯？壹想到这里， 二十三小格の脑海中立即幻想出壹幅四哥四嫂情投意合、举案齐眉の画面，继而心痛得如刀绞般地难受起来。此刻，王爷和水清，二十三 小格和塔娜，四各人正壹同从德妃娘娘の房里退咯出来，准备回到各自の驻地去歇息。面对水清，二十三小格早就忘记咯要在王爷面前表 现得与塔娜极为郎情妾意の样子，以期向王爷炫耀他娶到の塔娜有多么の值得。相反，此刻他の心中即刻局促不安起来，因为他生怕水清 误会他和塔娜有多么“恩爱”！虽然事实上，他与塔娜也没有多亲近，有时候甚至还不如他与穆哲の感情，虽然他和穆哲经常是吵吵闹闹， 但毕竟他们有十来年共同生活の感情基础，而且穆哲还为他生咯两各小小格。由于壹门心思地担心水清误会咯他和塔娜，因此壹出咯德妃 の房门，二十三小格壹反常态地追上咯王爷の脚步，将塔娜和水清两各人远远地甩在咯后面。王爷对于二十三弟の这番主动姿态颇为诧异， 刚刚进门の时候他可是敢装作没有看见，连理都没有理会他这各兄
梯形的中位线复习
一题多解
已知：如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB. 延长BA 到E，延长AB到F，使EA=AB=BF. EC交FD于O点. D C • 求证：EC⊥FD. O M N • 方法二. • 提示：连MN. E A B F • ∵AD=AF, 又∠1=∠F， CD∥EF，∠2=∠F. • ∴∠1=∠2，∠1=∠3. ∴∠2=∠3， DM // CN. CD=CN. • 同理CD=DM, • ∴四边形DMNC是菱形， • ∴ EC⊥FD.
\ MN =
一题多解
• 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别 为CD、AB的中点，且∠A+∠ B=90 °. D M C F E 1 • 求证： MN= (AB - CD). 2 • 方法二. 证明： A N B • 作BE∥AD交DC于E，作CE中点F，连BF. • ∵AB∥CD, AD∥BE, ∴四边形ABED是平行四边形. • ∴∠A=∠E, AB=DE.
1 2
• ∴∠1+∠2=90°.
1 1 \ MN= EF = (AB - CD). 2 2
∴△MEF是直角三角形.
D, N是EF的中点 M
O
• 在Rt△MEF中，EN=FN,
C
A
N
B
一题多解
• 已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别为CD AB的中点，且∠A+∠ B=90°. D M C • 求证： 1 MN= • 方法一. 证明： 2 (AB - CD). A E F N B • 作CE∥AD交AB于E，CF∥MN交AB于F. • ∵AB ∥CD, ∴AE=CD，∠A=∠1，CM=FN，MN=CF.
比较三角形中位线和梯形中位线:
把图中的CD向 左平移直至D与点A 重合,在这个过程 中,上底AD变成一 个点,下底BC变成 ΔABH的一条边BH, 梯形的中位线EF变 成的ΔABH中位线 EG.
梯形中位线定理证明方法
梯形中位线定理证明方法一、梯形中位线定理的表述及含义梯形是一种特殊的四边形，它有两条平行边，分别称为上底和下底；另外还有两条非平行的边，称为腰。
梯形的两个对角线分别是连接两个非平行边的线段。
梯形中位线定理表述如下：梯形两个对角线的长度之和等于梯形两条平行边长度之和。
这个定理的含义是，梯形的两个对角线之间的距离，即对角线的长度之和，等于梯形两条平行边的长度之和。
这个定理在解决梯形相关的几何问题时非常有用。
二、梯形中位线定理的证明方法下面将介绍一种证明梯形中位线定理的方法，该证明方法基于几何的基本原理和定理。
证明思路如下：步骤一：画出梯形ABCD我们画出一个任意的梯形ABCD，其中AB和CD是平行边，AD和BC 是非平行边。
步骤二：连接梯形的两个对角线AC和BD我们需要连接梯形的两个对角线AC和BD。
通过连接AC和BD，我们可以将梯形分成两个三角形，分别是三角形ABC和三角形ACD。
步骤三：证明三角形ABC与三角形ACD全等接下来，我们需要证明三角形ABC与三角形ACD全等。
根据几何的基本原理，我们可以通过证明它们的对应边相等来证明它们全等。
我们观察到AB和CD是梯形的两条平行边，根据平行线的性质，我们可以得出AB与CD平行。
又因为AC和BD是梯形的两个对角线，根据梯形的性质，我们可以得出AC与BD相交于一点，且互相平分。
接下来，我们观察到AB和CD是梯形的两条平行边，而AC和BD是梯形的两个对角线，根据平行线的性质和对角线的性质，我们可以得出三角形ABC与三角形ACD有以下对应边相等的关系：AB=CD，AC=BD。
因此，根据三角形全等的判定条件，我们可以得出三角形ABC与三角形ACD全等。
步骤四：根据三角形全等的性质，证明对角线长度之和等于平行边长度之和根据三角形全等的性质，我们知道如果两个三角形全等，那么它们的对应边的长度是相等的。
因此，根据三角形ABC与三角形ACD全等，我们可以得出AC=BD。
梯形的中位线
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ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ分别是ＡＤ、 ＢＣ的中点，ＢＡ、ＦＥ的延长 线相交于点Ｍ，ＣＤ、ＦＥ的延 长线相交于点Ｎ． 求证：∠ＡＭＥ＝∠ＤＮＥ．
别是ＡＢ、ＢＣ的中点，Ｍ、Ｎ是Ａ Ｃ的三等分点，ＥＭ、ＦＮ的延长线 相交于点Ｄ． 求证：四边形ＡＢＣＤ是平行四边 形．
已知：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＤ是 高，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是三边的中点． 求证：四边形ＤＧＥＦ是等腰梯形．
• 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝ＣＤ，Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是Ａ Ｄ、ＢＣ、ＢＤ的中点，ＧＨ平分 ∠ＥＧＦ交ＥＦ于点Ｈ．（１）猜 想：ＧＨ与ＥＦ间的关系是 ＿．（２）证明你的猜想．
若一个三角形的周长是ａｃｍ，面积 是，则它的三条中位线围成的三角形 的周长是＿＿＿ｃｍ，面积是＿＿ ＿．
• 如图，梯形ＡＢ ＣＤ中，ＡＤ∥ Ｂ B 600 C 300 Ｃ， ， ，ＡＤ＝ ２ｃｍ，ＢＣ＝ １０ｃｍ，则Ａ Ｂ＝ ＿ｃｍ，Ｃ Ｄ＝＿ｃｍ．
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ ＡＤ＝ＤＣ＝３ｃｍ， ，则Ｂ Ｃ＝＿＿＿ｃｍ，梯形的周长＝＿＿＿ｃ 0 B 60 ｍ，面积＝＿＿＿，中位线ＥＦ＝＿＿＿ ｃｍ．
在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ、Ｆ 是ＡＢ的三等分点，ＥＧ∥ＦＨ∥Ａ Ｄ．若ＡＤ＝４ｃｍ，ＢＣ＝１０ｃｍ， 则ＥＧ＝＿＿ｃｍ，ＦＨ＝＿＿＿ｃｍ．
梯形中位线
• 如图中的线段EF应该给它什么名称？ • 你能给它下一个什么名称？ • 你能给它下一个定义吗？
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F C
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• 梯形中位线的定义：连结梯形两腰中点的线 段叫做梯形中位线
• 梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底， 并且等于两底和的一半。
D F
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梯形中位线
F ED B C A GF E DB C A G FE D B C A 梯形中位线一、学习目标：1.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力.2.能用综合法证明梯形中位线定理. 二、知识链接：三角形中位线定理 . 三、探究新知：1、梯形的中位线：与三角形的中位线类似，连接梯形的 叫做梯形的中位线.如：在梯形ABCD 中，F E ,分别是边DC AB ，的中点，线段 就是梯形ABCD 的中位线.2、议一议：如图，EF 是梯形ABCD 的中位线，连接AF 并延长，与BC 的延长线相交于点G ，（1）GCF ADF ∆∆与全等吗？为什么？（2）梯形的中位线EF 与两底有怎样的位置关系？有怎样的数量关系？ （3）你能证明所得到的结论吗？已知：如图，在梯形AD ABCD 中，∥EF BC ,是梯形ABCD 的中位线. 求证： EF ∥BC ∥)(21,AD BC EF AD +=友情提示：将其与三角形中位线联系起来，运用三角形中位线定理来解决本题. 归纳：梯形中位线定理： . 五：运用新知：已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥,45,,︒=∠⊥B BC CD BC ,a CD AD ==求：梯形ABCD 的中位线EF 的长.友情提示：要求中位线的长，可先看已知条件能求出什么结论？由此可想到做 ，形成一个 和 .想一想：如果梯形的中位线长是m ，它的高是h ，你能用h m ,表示梯形的面积S 吗？ 六、巩固新知：1、已知EF 是梯形的中位线，梯形ABCD 的面积是20，高是5求EF 的长.2、已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，且AB>CD ，E,F 分别是AC 和BD 的中点. 求证：EF=21（AB-CD ）.3. 如图，D,E,F 分别是△ABC 各边的中点，AH 是BC 边上的高.求证：四边形DEFH 是等腰梯形.4.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，E 是BC 的中点.求证：S △ADE =21S 梯形ABCD.七、回顾与反思：请同学们畅谈本节收获与体会.。
如何证明梯形中位线定理
如何证明梯形中位线定理梯形中位线定理，听上去可能有点高深，但其实它就像一杯清凉的 lemonade，喝下去后会让你感觉神清气爽。
今天咱们就来聊聊这个定理，顺便还要学会怎么证明它，保证让你明白得一清二楚。
1. 梯形的基础知识首先，咱们得弄清楚什么是梯形。
大家知道，梯形就是一对边平行，另外一对边不平行的四边形。
想象一下，你在公园里看到的那种椅子，底下宽宽的，上面窄窄的，像个“帐篷”。
这就是梯形的基本形状了。
我们通常把平行的那两条边叫做“底”，而不平行的那两条边则叫做“腰”。
这时候，就有个小家伙出来了——中位线，它就是连接两条底边中点的线。
1.1 中位线是什么中位线听起来很复杂，其实就是把梯形的上下底边的中点连起来的那根线。
它的存在是为了帮助我们了解梯形的特性，比如它的面积、周长等等。
你知道吗？这个小线条可不是普通的线，它的长度可是有意思的。
中位线的长度恰好是两条底边长度之和的一半。
1.2 为什么要证明它那么，为什么要证明这个定理呢？因为数学就像是做菜，光有食材可不行，咱们还得知道怎么调味。
证明中位线定理不仅可以让我们更好地理解梯形，还能锻炼我们的逻辑思维能力。
而且，证明过程就像是一场冒险，挑战你的智力，让你在其中收获满满。
2. 梯形中位线定理的证明接下来，就让我们开始这场数学探险吧！证明梯形中位线定理的方法其实非常简单。
2.1 绘图和标记首先，画一个梯形，标记好底边AB和CD，分别是上底和下底。
然后找到AB和CD的中点，记作M和N。
别小看这两个点哦，它们可是整个证明的关键！接着，你就可以画出中位线MN。
2.2 利用平行线的性质接着，利用平行线的性质，我们知道MN是平行于AB和CD的。
根据几何学中的平行线性质，MN的长度就是底边AB与底边CD长度的一半相加。
也就是说，MN = (AB + CD) / 2。
这就完美地证明了中位线定理的核心内容。
哇！是不是感觉豁然开朗？通过简单的图形和逻辑推理，我们就把这个看似复杂的定理证明了出来，真的是一举两得！3. 实际应用知道了梯形中位线定理后，我们可以把它运用到许多地方，比如建筑设计、工程计算等等。
梯形、三角形中位线
梯形、三角形中位线一、梯形、三角形中位线在证明平行、线段相等及线段的倍、半问题中起了重要的作用，对此我们应给予足够的重视。
二、知识要点：1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。
推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。
推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。
2.三角形中位线：（1）定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.梯形中位线：（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。
（2）梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
三、例题例1.如图，△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD、BE交于O点。
求证：OE=BE。
分析：已知D是AB中点，遇到中点我们应当考虑到可能要用中位线，有中位线就可以得到线段的一半，同样可能再得到线段的一半，从而可以得到某线段的；又已知3AE=2AC，得AE=AC，如果取AE中点F，连结DF就可得到△ABE的一条中位线。
证明：取AE中点F，连结DF，∵D是AB中点，∴DF是△ABE的中位线∴ DF= BE且DF//BE（三角形中位线定理）∵ 3AE=2AC，∴ AE= AC∴ AF=FE=EC= AC在△CFD中，∵ EF=EC且DF//BE即OE//DF，∴ CO=DO（过三角形一边中点，与另一边平行的直线，必平分第三边）∴ OE是△CDF的中位线∴ OE= DF∴ OE= BE。
说明：本题我们做了一条中位线，使得在两个三角形中可使用中位线定理。
遇中点，作中位线是常见的辅助线。
例2如图，在梯形ABCD中AD//BC，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别与BD、AC相交于M、N。
且AD=20cm，BC=36cm。
求MN的长。
分析：因为EF是中位线，所以EF//AD//BC，EF= (AD+BC)如果能求出EM和NF的长，就可以求出MN的长。
梯形中位线的五种证明方法
梯形中位线的五种证明方法梯形是一种四边形，其中两对对边平行。
它有一条特殊的线段，称为梯形中位线，它连接梯形的两个非平行侧的中点。
这篇文章将介绍五种证明梯形中位线的方法。
1. 通过平行线证明证明梯形中位线的一种方法是通过平行线证明。
首先，画出梯形ABCD 和其中位线EF。
然后，画出平行于梯形的两个平行线GH和IJ。
由于ABCD是梯形，所以AD和BC是平行的。
同样，由于GH和IJ是平行的，所以GI和HJ是平行的。
连接AG和CI并连接BG和DI。
这将产生两个平行四边形，使得EF是它们的对角线。
因此，EF是这两个平行四边形的中位线，证明了梯形中位线。
2. 通过相似三角形证明证明梯形中位线的另一种方法是通过相似三角形证明。
画出梯形ABCD 和其中位线EF。
连接AE和BF，以及CE和DF。
这将产生两个三角形ABE和CDF。
由于AE和BF是梯形的中线，所以它们相等。
同样，CE 和DF也相等。
还可以证明三角形ABE与三角形CDF是相似的，因为它们共享一个角度，而其余的两个角度分别相等。
因此，通过相似的三角形，可以证明梯形中位线。
3. 通过重心证明证明梯形中位线的另一种方法是通过重心证明。
梯形的重心是连接其对角线中点的线段的交点。
画出梯形ABCD和其中位线EF。
连接AE和BD，以及CE和AD。
这将产生三角形AEB和CED。
通过重心定理，可以证明EF是梯形重心的线段。
因此，EF是梯形中位线。
4. 通过向量证明证明梯形中位线的另一种方法是通过向量证明。
画出梯形ABCD和其中位线EF。
假设ABCD的向量表示为AB和DC。
中位线EF的向量表示为EF。
则中心点O的向量表示为AB+DC。
因此，EF的向量表示为1/2（AB+DC）。
这是梯形中心点O的向量的一半。
因此，EF是梯形中心点O与另一侧中点之间的向量，证明了它是梯形中位线。
5. 通过垂线证明证明梯形中位线的最后一种方法是通过垂线证明。
画出梯形ABCD和其中位线EF。
连接AB和CD，并连接它们的中点M。
三角形、梯形的中位线
三角形、梯形的中位线【知识要点】1． 三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。
注意：三角形的中位线有3条。
2．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段。
注意：（1）不是连结两底中点 （2）梯形的中位线是唯一的3．（1）三角形的中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。
（2）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。
（ ） （ ） 【典型例题】例1．求证：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。
例2．如图，在△ABC 中，BD 、CE 为AC 、AB 边上的中线，M 、N 是BG 、CG 的中点。
求证：（1）ME ∥ND ；（2）ME=ND例3．已知：如图所示，正方形ABCD 的对角线交于O ，∠BAC 的平分线交BO 于E ，交BC 于F ，A BC D E A D E F B C ABEDCM NGMN求证：OE=12FC 。
例4．如图，已知在口ABCD 中，BD=2AD ，E 、F 、G 分别是AO 、BO 、CD 的中点。
求证：EF=EG 。
例5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=24cm ，BC=26cm ，动点P 从A 点开始沿AD 边向D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从C 点开始沿CB 边向B 以3cm/s 的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s ，问t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形；等腰梯形？【练习与拓展】1．梯形的中位线长为8cm ，高为4cm ，则梯形的面积为 。
2．△ABC 的面积为16cm 2，则三条中位线组成的三角形面积为。
3．梯形的中位线长为6，上下底之差等于3，则此梯形上下底长分别为 。
4．顺次连结四边形各边中点所得的四边形常称为中四边形。
梯形的中位线
变式1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E
为AB的中点. ① CD=AD+BC
② DE⊥CE；
，求证：
③ DE平分∠ADC，CE平分∠BCD
变式2：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E
为AB的中点. ① CD=AD+BC
② DE⊥CE；
3 F 4
G
1 1 ∴EF= （BC＋CG）= （BC＋AD） 2 2
梯形中位线定理
梯形的中位线平行于两底，并且等于两 A D 底和的一半。
E F
数学表达式（符号语言）：
B
∵在梯形ABCD中，AD//BC,
C
AE＝BE，DF=CF 1 ∴EF//AD//BC，EF= (AD+BC) 2 (梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和
l
D
B
A
G
E
F
C
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC， 1 E、F分别是AB、 CD的中点,求证：EF∥BC，EF= 2 （AD+BC）
证明：连接AF并延长交BC 的延长线于点G ∵AD//BC（已知） E A 1 D
∴∠1=∠2(两直线平行，内 2 错角相等） B C 又∵ ∠3=∠4，DF=FC ∴△AFD≌GFC(A、A、S） ∴AF=FG，AD=CG（全等三角形的对应边相等） 又∵ AE=BE ∴EF是△ 1 ABG的中位线 ∴EF//BG，EF= 2BG（三角形中位线平行于第三边并等于第三边的一半）
温故而知新 三角形中位线定义 连结三角形两边中点的线段 叫三角形的中位线。
A
D
七年级数学上册 梯形中位线定理 课件 青岛版
例1、如图，等腰梯形ABCD，AD ∥BC，EF是中位线，且 EF=15cm， ∠ABC =60°，BD平分∠ABC. ⑴图中能分别解出几个“三角形中位线”A 和“梯形中位线” 这两个基本图形？ E 还有别的基本图形吗？ G D F C
⑵ 求梯形的周长.
分析与略解：
B
梯形的周长，就转化为求其中一腰或一底就可以了。 ⑴显然可证 G为BD的中点，所以可分解出两个“三角形中 设AD=AB=DC=x，则BC=2x. 位线”这个基本图形和一个“梯形中位线”这个基本图形。 1 3 除此之外，还有两个等腰三角形（△ 和△ ABD）和两 ∵ EF= 2（AD+BC），∴15= 2 x，EBG ∴x=10 ， 个含有30°角的直角三角形（Rt △GDF和 Rt △BDC ）. ∴梯形周长为50㎝.
2.梯形的中位线一定平分梯形的对角线吗?为什么?
答:一定平分梯形的对角线.因为梯形的中位线平行于两 底,根据平行线等分线段定理,中位线一定平分对角线.
3.梯形的中位线长能不能与它的一条底边长相等?为什么? 答:不能.如果和一条底边长相等,那么和另一条底边长 也相等,这时四边形的对边平行且相等,这是平行四边形 而不是梯形.
∴ AF=GF,AD=GC 又∵AE=EB
E
B
F
C G
∴EF是△ABG的中位线.
∴EF ∥BG ,EF= 1 BG（三角形的中位线定理 ） ∵BG=BC+CG=BC+AD
2
∴EF= 1 （BC+AD）
2
在小学我们学过梯形面积的计算公 1 式S= 2 (a+b)h,根据梯形中位线定理,如 1 果中位线长为L,那么L= 2 (a+b),因此梯 形还有下面的面积计算公式: S=L· h.
梯形中位线定理证明
梯形中位线定理证明
中位线定理证明：df∥bc且de=1/2bc。
中位线是在三角形或梯形中一条特殊的线段，与其所在的三角形或梯形有着特殊的关系。
连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形有三条中位线，首尾相接时，每个小三角形面积都等于原三角形的四分之一，这四个三角形都互相全等。
定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等同于它的一半。
已知△abc中，d，e分别是ab，ac两边中点。
求证de平行且等于1/2bc。
法一：
过c作ab的平行线交de的延长线于f点。
∵cf∥ad
∴∠a=∠acf
∵ae=ce、∠aed=∠cef
∴△ade≌△cfe
∴de=ef=1/2df、ad=cf
∵ad=bd
∴bd=cf
∴bcfd是平行四边形
∴df∥bc且df=bc
∴de=1/2bc
∴三角形的中位线定理设立。
法二：
∵d，e分别就是ab，ac两边中点
∴ad=1/2ab
ae=1/2ac
∴ad/ae=ab/ac
又∵∠a=∠a
∴△ade∽△abc
∴de/bc=ad/ab=1/2
∴∠ade=∠abc
∴df∥bc且de=1/2bc
∴三角形的中位线定理成立。
梯形中位线
N 理推论２：
∵MN//AD//BC
B
C AM=BM
∴__D_N__=_C_N__（经过梯形一腰中点且
平行于底的直线必平分另一腰)
∴MN为梯形ABCD的中位线
第五页，编辑于星期日：二十三点 十二分。
二 梯形中位线定理的猜想及证明
在梯形ABCD中，AD//BC,M、N
分别为AB，CD的中点。
猜想：中位线MN与上、下底 AD、BC之间怎样的位置关系
第十页，编辑于星期日：二十三点 十二分。
例1:
已知:在梯形ABCD中,AD//BC,E、
Ｆ分别是ＡＢ、ＣＤ中点， ＥＦ与对角线ＢＤ、ＡＣ相
交于Ｇ、Ｈ。
１、图中可分解出几个“三角形中 位线”基本图形？ ２、猜想：ＧＨ与ＡＤ、ＢＣ之
间有何数量关系？并给出证明。
结论：ＧＨ＝½（ＢＣ－AＤ）
第十一页，编辑于星期日：二十三点 十二分。
∴ ME//BC，ME=½BC
∵ DN=CN，AE=CE ∴ NE是△ACD的中位线 ∴ NE//AD，NE=½AD
∵ AD//BC ∴ EN//BC 又 EM//BC ∴ M、E、N一直线
∴MN=ME+EN=½(AD+BC)
第七页，编辑于星期日：二十三点 十二分。
三、梯形的中位线定理：梯形的中位线平行底且等于两
梯形的中位线定理
第一页，编辑于星期日：二十三点 十二分。
斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力
传递到耸立的两侧的高塔上的桥梁。它不
需要建造桥墩。
如图，某斜拉桥的一
组钢索a,b ,c,d,e共五
条，它们互相平行，
edcba
钢索与桥面的固定点
P1，P2，P3，P4，P5 中每相邻两点等距离.
梯形的中位线
梯形的中位线教学建议知识结构重难点分析本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路.本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度.教法建议1．对于中位线定理的引入和证明可采用发现法，由学生自己观察、猜想、测量、论证，实际掌握效果比应用讲授法应好些，教师可根据学生情况参考采用2．对于定理的证明，有条件的教师可考虑利用多媒体课件来进行演示知识的形成及证明过程，效果可能会更直接更易于理解教学设计示例一、教学目标1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理2．掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰”3．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力4．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣二、教学设计引导分析、类比探索，讨论式三、重点和难点1．教学重点：梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算．2．教学难点：梯形中位线定理的证明．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片，常用画图工具六、教学步骤【复习提问】1．什么叫三角形的中位线？它与三角形中线有什么区别？三角形中位线又有什么性质（叙述定理）．2．叙述平行线等分线段定理及推论1、推论2（学生叙述，教师画草图，如图所示，结合图形复习）.（由线段EF引入梯形中位线定义）【引入新课】梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.现在我们来研究梯形中位线有什么性质.如图所示：EF是的中位线，引导学生回答下列问题：（1）EF与BC有什么关系？（）（2）如果，那么DF与FC，AD与GC是否相等？为什么？（3）EF与AD、BG有何关系？，教师用彩色粉笔描出梯形ABGD，则EF为梯形ABGD的中位线.由此得出梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.现在我们来证明这个定理（结合上面提出的问题，让学生计论证明方法，教师总结）.已知：如图所示，在梯形ABCD中， .求证： .分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中位线定理即可证得.说明：延长BC到E，使，或连结AN并延长AN到E，使，这两种方法都需证三点共线（A、N、E或B、C、E）较麻烦，所以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证即可得，从而证出定理结论.证明：连结AN并交BC延长线于点E.又，∴MN是中位线.∴（三角形中位线定理）.复习小学学过的梯形面积公式 .（其中a、b表示两底，h表示高）因为梯形中位线所以有下面公式：例题：如图所示，有一块四边形的地ABCD，测得，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的面积.分析：这是一个不规则的多边形面积计算问题，我们可以采取作适当的辅助线把它分割成三角形、平行四边形或梯形，然后利用这些较熟悉的面积公式来计算任意多边形的面积.解：，答：这块地的面积是 182 ．说明：在几何有关计算中，常常需要用代数知识，如列方程求未知量；在列方程时又需要根据几何中的定理，提醒学生注意数形结合这种解决问题的方法．【小结】以回答问题的方式让学生总结）（1）什么叫梯形中位线？梯形有几条中位线？（2）梯形中位线有什么性质？（3）梯形中位线定理的特点是什么？（同一个题没下有两个结论，一是中位线与底的位置关系；二是中位线与底的数量关系）．（4）怎样计算梯形面积？怎样计算任意多边形面积？（用投影仪）学过梯形、三角形中位线概念后，可以把平行线等分线段定理的两个推论，分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理．七、布置作业教材P188中8、P189中10、11． B组2（选做）九、板书设计。
梯形中位线定理的多种证明方法
梯形中位线定理的多种证明方法
李延庚
【期刊名称】《初中生学习技巧》
【年(卷),期】2003(000)003
【总页数】2页(P9-10)
【作者】李延庚
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.从“梯形的中位线定理”谈定理教学
2.利用自然分材教学理论设计练习、组织教学——以《三角形、梯形中位线定理的综合运用》为例展开
3.利用自然分材教学理论设计练习、组织教学——以《三角形、梯形中位线定理的综合运用》为例展开
4.指向深度学习的数学教学设计研究——以“梯形的中位线定理”教学为例
5.探究发现梯形中位线定理成功之后
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梯形中位线的三种证明方法
对于初学者来说，学习几何知识可能是一件让人望而生畏的事情。
但是，梯形中位线的三种证明方法是一个很好的开始，这是因为这些证明方法相对简单而且既有趣味性又有启发性。
梯形中位线是指梯形的两条非平行边中的中心线段。
也就是说，梯形中位线从一个梯形的顶点开始，到位于这个梯形另一端的中心点，这两个中心点将这个梯形的一条侧面平分。
因此，我们可以将梯形中位线简单地定义为连接梯形的两条非平行边的中心点的线段。
下面我们来看看有哪些证明方法：
第一种证明方法：重心法
这是一种最简单的证明方法之一。
它利用梯形的重心的概念，以及梯形中位线与重心之间的几何关系。
梯形的重心是指梯形部分的所有质心的平均值。
这个点总是在梯形中位线上。
将梯形划分成两个三角形，它们的重心到它们所在的梯形中位线的距离相等。
通过简单的计算可以证明这一点。
第二种证明方法：向量法
这是一种基于向量概念的证明方法。
通过向量和向量的和，我们可以证明梯形中位线的两个端点与中位线的中
心点组成一个三角形。
当然，这个三角形是等腰的，因为向量的大小相等。
我们可以使用如下的向量算法：- 声明梯形的四个顶点坐标（A、B、C和D）。
- 计算相邻顶点之间的向量（AB、BC、CD和DA）。
- 计算梯形的对角线向量（AC和BD）。
- 计算梯形中位线向量（M1和M2）。
- 判断中位线向量是否相等。
第三种证明方法：相似三角形法
这是一种利用相似三角形的证明方法，在初学者中非常流行。
我们考虑用两种方法构造相似三角形。
第一种方法：从较小的梯形构建相似三角形。
假设我们有一个梯形ABCD，其中AB || DC，BC ⊥ CD，AC ⊥ BD，M是连接梯形的两条非平行边的中心点。
我们考虑将这个梯形从M处分成两个三角形。
然后我们可以构建一个新的中位线MP，将三角形AMP与三角形DMP进行比较。
因为AM = MD，所以MP是DMP的中位线。
此外，我们可以证明三角形AMP与三角形DMP是相似的。
因此，我们可以得出结论：中位线MP等于DMP的一半。
第二种方法：从较大的梯形构建相似三角形。
假设我们有一个梯形ABCD，其中AB || DC，BC ⊥ CD，AC ⊥ BD，M是连接梯形的两条非平行边的中心点。
我们通过将梯形放在一个大三角形中，并注意到M是梯形AC和BD的重心，从而构建一个相似的三角形。
我们用E、F和G分别表
示ADE、BCE和ABC三角形的重心。
然后我们通过比较相似三角形GCM和FGC以及FGC和EDC，得出结论：中位线MP 是EG的一半。
总结
在证明梯形中位线定理时，有许多方法可以使用。
虽然这些证明的方式各不相同，但它们都强调了几何图形的不同性质。
如果你想要深入了解几何知识，那么这些证明方法只是一个开始。
从这里开始，您可以学习更多有趣也更具挑战性的几何原则。