空军工程大学概率论与数理统计2013--2017年考博真题

空军工程大学2013年博士研究生入学试题

考试科目： 概率论与数理统计 （A 卷） 科目代码 2003 说明：答题时必须答在配发的空白答题纸上，答题可不抄题，但必须写清题号，写在试题上不给分; 考生不得在试题及试卷上做任何其它标记，否则试卷作废，试题必须同试卷一起交回。

一、填空题（20分，每小题2分）

1、 设,A B 是任意两个随机事件，则()()()(){}______P A B A B A B A B ++++=。

2、 设随机变量X 的概率密度为1,(0,1)

32(),(3,6)9

0,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩

其它，若k 使得2{}3P x k ≥=，则k 的取值范围是______。

3、 设平面区域D 由曲线1y x

=及直线20,1,y x x e ===所围成，二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布，则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为______。

4、 随机变量X 服从参数为1的Poisson 分布，则2{}______P X EX ==

5、 设12,,m X X X L 为来自二项分布总体(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别表示样本均值与样本方差，记统计量2T X S =-，则______ET =。

6、 设由来自正态总体2(,0.9)X N μ:容量为9的简单随机样本，得到样本均值为5X =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是______。

7、 设12,,n X X X L 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中参数μ和2

σ未知，记22111,()n

n

i i i i X X Q X X n ====-∑∑，则假设0:0H μ=的t 检验使用统

计量______t =。

8、 在单因子试验中，因子A 有4个水平，每个水平下各重复3次试验，现已求得每个水平下试验结果的样本标准差分别为1.5，2.0，1.6，1.2，则其误差的方差2σ的估计值为______。

9、 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X ，再从1,,X L 中取一个数记为Y ，则{2}______P Y ==。

10、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为2-和2，方差分别为1和4，相关系数为0.5-，则由切比雪夫不等式{6}______P X Y +≥≤。

二、选择题（20分，每小题2分）

1、 设随机变量21(),(1),X t n n Y X

>=:，则______ 22:()

:(1):(,1):(1,)

A Y n

B Y n

C Y F n

D Y F n χχ-:::: 2、 设12,,,n X X X L L 为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为(1)λλ>的指数分布，记()x Φ为标准正态分布函数，则()______x Φ=。

:lim :lim :lim :lim n n i i n n n n i i n n X n X n A P x B P x X n X C P x D P x λλλλ→∞→∞→∞→∞⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤≤⎬⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭⎧⎫⎧⎫--⎪⎪⎪⎪⎪⎪≤≤⎬⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭

∑∑∑∑ 3、设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，则随机变量X Y ξ=+与X Y η=- 不相关的充分必要条件是______。

2222222222:()()

:()[()]()[()]:()():()[()]()[()]A E X E Y B E X E X E Y E Y C E X E Y D E X E X E Y E Y =-=-=+=+

4、将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，X 和Y 的相关系数等于______。

1

:1:0::12A B C D -

5、设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N 则___

1

1:{0}:{1}2

211:{0}:{1}22

A P X Y

B P X Y

C P X Y

D P X Y +≤=+≤=-≤=-≤= 6、假设随机变量X 服从指数分布，则随机变量min{2,}Y X =的分布函数____ :::A B C D 是连续函数

至少有两个间断点是梯度函数：恰好有一个间断点

7、设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222

(,)N μσ，且{}{}1211P X P Y μμ-<>-<，则必有______。

12121212::::A B C D σσσσμμμμ<><>

8、设,A B 为任意两个事件且A B ⊂，()0P B >，则下列选项必然成立的是___ :()(|)

:()(|):()(|):()(|)A P A P A B B P A P A B C P A P A B D P A P A B <≤>≥

9、随机变量Y X 和都服从正态分布，则______

22222222::::A X Y B X Y X C X Y D Y χχ++服从正态分布

服从正态分布和都服从分布服从分布

10、设随机变量,X Y 独立同分布，且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的

分布函数为_____

()[][]22:():()():11():1()1()A F x B F x F y C F x D F x F y ----

三、证明题（20分）

1. 设12,,....,X X 为独立同分布的随机变量序列，且方差存在。随机变量N 只取正整数值，()Var N 存在，且{}n N X 与独立，证明：

2111()()[()]()()N

i i Var X Var N E X E N Var X ==+∑