中学数学基本能力培养

第9章中学数学基本能力培养

教学目的：通过本章的学习，使学生掌握在教学中如何培养三种能力，即如何培养学生的运算能力，思维能力和空间想象能力，并在此基础上如何进一步培养一般能力，如观察能力，理解能力，记忆能力和运用能力等。

教学内容：1、运算能力的培养。2、空间想象能力的培养。3、分析和解决实际问题的能力培养。4、逻辑思维能力的培养。

教学重、难点：三种能力的培养既是本章的重点又是难点。

教学方法：讲授法

教学过程：

§9．1 运算能力的培养

9．1．1 什么是运算能力

运算的意义不仅局限于通常的加、减、乘、除、乘方开方等代数运算，还包括初等函数的运算和求值，各种几何量的测量和计算，求数列与函数极限以及微分、积分等分析运算，还有概率、统计的初步计算等．特别要指出的是几何的平移、旋转、对称、伸缩等“变换”也可称为“几何运算”．在一些高中数学教材和中等专业技术学校使用的数学课本中，还简单介绍了逻辑代数知识，“与”，“或”、“非”这是“逻辑运算”．对于集合求其交集、并集及全集，是进行集合运算．如果对于运算作上述广义的理解，那么我们就不会再片面地说运算只是算术和代数的事了．因此，培养学生正确和迅速的运算能力是整个中学数学教学中的任务．

9．1．2 培养学生运算能力的基本途径

怎样才能使学生具有正确迅速的运算能力呢？在小学、初中与高中这几个阶段中，都必须有计划有步骤地进行培养，由算术运算到代数运算；由代数运算到

第九章 中学数学基本能力培养

244 分析运算、几何运算、集合运算、逻辑运算，由口算、笔算到表算、工具算等都要切实抓好.总之，一要学习,即学习与运算有关的知识；二要训练，即精心选择一部分习题，让学生独立完成．下面谈一谈培养学生运算能力的基本途径．

1、牢固掌握基础知识，弄通算理、法则

要使运算正确而又迅速就要牢固地掌握与运算有关的概念、公式法则以及变形化简等思维方法．同时要多练习，常反复，形成熟练的技能技巧．但也不能“死练”，在练之前，要使得学生懂得“算理”使其懂得“怎样算”，“为什么这样算”．只有“计有据”，才能“算有准”．如果教师只教给学生“怎样算”，而学生并不明白“为什么这样算”，“为什么这样算就正确”，那么学生的运算能力就不会始终保持其正确性，也形成不了什么运算能力．

例1 讲异分母分数的加减时，如果只教给学生要先通分，变成同分母的分数之后，再按同分母的分数进行加减运算，而不讲清为什么要这样算，有的学生对运算的方法是记不牢的，时间一长，往往会遗忘，甚至会出现

523121=+之类的笑话．

因此，教师必须在学生学习通分算法之初，就教学生“算理”，让学生清楚地懂得：如果两个分数分母不同，分数的单位就不同，每份的大小也就不同，而单位不同的分数是不能直接相加减的．只有经过通分之后，它们的分母相同了，即分数的单位相同了，每份的大小是一样的，从而就可以直接进行加减运算了．

例2 如化简()

10tan 3150sin +⋅，则需要灵活运用和角三角函数公式来进行推理，计算如下： 原式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+= 10cos 10sin 60cos 60sin 150sin 10cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 50sin +=()

10cos 60cos 1060cos 50sin -⋅=

§9．1 运算能力的培养

—245—

10cos 2

150cos 50sin =110cos 10cos 10cos 100sin ===

这里，三角函数公式的应用，恒等变形的使用都给培养正确的、迅速的运算能力提供了前提．

例3 如解方程()21lg 2

=-x ，首先应该知道方程的解域是1≠x ，再进行同解变形得

()100lg 1lg 2

=-x 从而有（x -1）2＝100，解此方程得x ＝11或x = -9

但要注意，如果把原方程变为：

()()11lg 21lg 2=-⇒=-x x

由于未知数取值范围缩小为x ＞1，于是产生减根．显见这种解法是错的．

在例2和例3的运算过程中，每步推导都是依理进行的．事实上，在培养运算能力的过程中，逻辑思维能力的培养也在其中了．

例4 实系数方程013=++mx x 的三根在复平面上构成正三角形的三个顶点，则m 的值的是：

（A ）－1； （B ）0； （C ）1； （D ）2． 答案（ ）

解 因为三点不可能都在实数轴上，所以方程至少有一个虚根，又因为实系数为一元三次方程，故必有一个实根．

设三根为α，a+bi ，a-bi （α、a 、b ∈R ，α≠0）它们的对应点分别为A （α,0），B （a,b ），C （a,-b ），其中A 在实轴上．

由韦达定理，可得

α+（a+bi ）（a-bi ）＝0

所以：α＝-2a

第九章 中学数学基本能力培养

246 故A 与B 、C 位于y 轴两侧．

设B 、C 连线交x 轴于D 点，则有

|OD|=|a|

|OA|＝|-2a|＝2|a|

所以O 为ΔABC 的中心．

|OB|＝2|a|，a 2+b 2＝4a 2 ∴b ＝±3a

所以三根为-2|a|，a （1+3i ），a （1-3i ）

又因为（-2a ）a （1+3i ）a （1-3i ）＝-1

解得a=2

1，则α＝-2a ＝-1 将α＝-1代入原方程，得（-1）3＋m （-1）＋1＝0，故m=0，故选择（B ）．

本题推理丝丝入扣，逻辑严谨．各步判断有根有据，然而各步判断均和计算结果直接相关．由此可见运算能力的培养有助于推理判断能力的培养．除此，运算能力的培养在运算型的证明题中也能得到较好的体现．总而言之，在运算过程中，“言之有据”是应该遵循的重要原则之一．下面再举一例，以说明在逻辑运算中，也必须弄通算理，才能使运算达到正确迅速．

例5 某年级先后举行数、理、化三种竞赛，学生中至少参加一科的：数学201人，物理177人，化学163人；参加两科的：数学、物理141人，数学、化学114人，物理、化学95人；三科都参加的87人．问参加竞赛的学生总数是多少？

解 这是一道涉及到逻辑运算的运算题．如学生弄不通算理，如学生弄不通算理，不懂逻辑运算法则，还照以往代数中的运算一样去运算，即将各类竞赛者一加求和了事，那就A ∩C

A ∩B

B ∩C

A ∩

B ∩

C B A

C 图9-1