04_湍流的模拟

Elective
Course
for
Graduate
Students
4.1 湍流流动
层流：流体在流动过程中两层之间没有相互混掺。

流动有规则，有层次，稳定；
4 湍流的模拟
湍流：流动是无规则脉动的，有强烈的掺混性和涡旋 性。

一般来说，湍流是普遍的，层流属于个别现象。

英国的雷诺( O.Reynolds,1883 )通过圆管定常流动 系列实验发现，层流与湍流的转捩取决于一个无量纲数
平均速度
孙晓颖
Harbin Institute of Technology
雷诺数
ρVd Re =
μ
流体粘度
1
雷诺(1883)用红色染液显示玻璃管中的流 态，发现雷诺数；
层 流 区
过 渡 区
湍 流区
2 3
湍流某特定点的实测速度
将速度分解成平均和脉动两部分
实测风速
4 5
1
湍流带有旋转流动结构，就是所谓的湍流涡，简称涡 从物理结构上看，可以把湍流看成是由各种不同尺 度的涡叠合而成的流动，涡的大小及旋转轴的方向分布 是随机的。

大尺度涡的能量主要由流动的边界条件决定，其尺 寸可以与流场的大小相比拟，主要受惯性影响而存在， 是引起低频脉动的原因。

小尺度涡的能量主要由粘性力决定，其尺寸可能只 有流场尺度的千分之一的量级，是引起高频脉动的主要 原因。

湍流脉动是由平均风输运的大量不同尺度涡旋的 叠加作用引起的。

每个涡旋会在流场中引起一个频率为 n 的周期脉 动。

6 7
微气象尺度的风速功率谱 模拟湍流流动
★ 湍流运动可以看作是能量由低频脉动向高频 脉动过渡，并最终被流体粘性所耗散的过程。

8 9
惯性子区
t v + ∇(v ) = − ρ1 + ρμ
∇(gradv ) ⎪ + ∇(w ) = − ρ1 + ρμ
∇(gradw )
4.2 湍流的基本方程
不可压缩流体湍流瞬时控制方程：
∇ = 0 ⎫
∂u+ ∇(u)
= − 1 ∂p+
μ ∇(gradu) ⎪
10散度
∇⋅ = div() =
∂u
梯度
grad( ) =
∂( )
+
∂v∂w
∂y∂z
∂( )
+
∂( )
11
2
∂y∂z
+ +
∂x
∂x
∂tρ ∂xρ ⎪
采用时间平均法，把湍流运动看作由两个流动叠 加而成： 一是时间平均流动 、二是瞬时脉动流 动。

引入Reynolds 平均法，任一变量φ 的时间平均值
定义为：
φ = 1 ∫ t +Δt
φ(t )dt
物理量φ 的瞬时值、时均值及脉动值之间的关系 如下： φ = φ + φ′
12
不可压缩流体湍流时均流动的控制方程：
∇ = 0 ⎫
t u + ∇(u ) = − ρ1 + ρμ
∇(gradu ) + − ∂ 2
− −
∂
2
⎪ t v + ∇(v ) = − ρ1
+ ρμ
∇(gradv ) + − − ∂
2
−
+ ∇(w ) = −
ρ1
+ ρμ
∇(gradw ) + − − −
∂
2
t
φ + ∇(φu r
) = ∇(Γgrad φ) + − − − + s
13
4.3 湍流的数值模拟方法简介
直接数值模拟方法(DNS):直接求解瞬时湍流控制 方程，无需对湍流流动作简化或近似(对内存空间及 计算速度要求非常高)。

非直接数值模拟方法：不直接求解瞬时湍流控制 方程，而是设法对湍流作某种程度的近似和简化处 理。

14 15
其他变量 φ 的输运方程为：
⎪
Δt t
•大涡模拟方法(LES):用瞬时湍流控制方程直接模拟湍流中的大尺度涡，不直接模拟小尺度涡，而小涡对大涡的影响通过近似的模型来考虑(对内存空间及计算速度要求低于DNS)。

16• LES方法是通过滤波处理计算湍流的，其主要思
想是大涡结构受流场影响较大，小涡则可以认为
是各向同性的，因而可以将大涡计算与小涡计算
分开处理，并用统一的模型计算小涡。

• 在这个思想下，大涡模拟通过滤波处理，首先将
小于某个尺度的旋涡从流场中过滤掉，只计算大
涡，然后通过求解附加方程得到小涡的解。

• 过滤尺度一般就取为网格尺度。

显然这种方法比
直接求解NS 方程的DNS 方程效率更高。

17
3
•Reynolds平均法(RANS):不直接求解瞬时的N-S方程，而是想办法求解时均化的Reynolds方程。

18• Reynolds平均 N-S 方程是流场平均变量的控制方程，其相关的模拟理论被称为湍流模式理论。

•湍流模式理论假定湍流中的流场变量由一个时均量
和一个脉动量组成，以此观点处理N-S 方程可以得出Reynolds平均N-S 方程(简称RNS 方程)。

•在引入Boussinesq 假设，即认为湍流雷诺应力与应变成正比之后，湍流计算就归结为对雷诺应力与应变之间的比例系数(即湍流粘性系数)的计算。

19
•Reynolds应力模型：直接构建表示Reynolds应力的方程，并联立求解(包括Reynolds应力方程模型、代数应力模型)
•涡粘模型：不直接处理Reynolds应力项，而是基于Boussinesq的涡粘假定，引入湍动粘度，将湍流应力表示成湍动粘度的函数。

(零方程模型、一方程模型、两方程模型)
20 21
Reynolds 平均与LES模拟的对比
对于所有尺度的湍流模型， Reynolds 平均N-S 方
程只是传输平均的数量。

找到一种可行的平均流
动变量可以大大的减少计算机的工作量。

LES 方法提供了一种方式，让依靠时间尺度模拟
的大边界计算问题可以利用一系列的过滤方程。

•尽管LES比Reynolds平均方法更精确，但是因为
LES方法需要使用高精度的网格，对计算机资源
的要求比较高，所以还不能在工程计算中被广泛
使用。

23
22
4
4.4 基于Reynolds平均法的湍流模型
根据对Reynolds应力做出的假定和处理方式不同，目
前常用的湍流模型有两大类： Reynolds应力模型和涡粘To be continual……模型
Reynolds应力模型：直接构建表示 Reynolds应力的方
程，然后联立求解湍流控制方程，及新建立的 Reynolds
应力方程
涡粘模型：不直接处理 Reynolds应力项，而是引入湍
动粘度(或称涡粘系数 )，然后把湍流应力表示成湍流粘
度的函数。

24 25 4.4.1 涡粘模型
湍动粘度的提出来源于Boussinesq提出的涡粘假定，该假定建立了Reynolds应力相对于平均速度梯度的关系
湍动粘度湍动能
湍动粘度是空间坐标的函数，取决于流动状态，而不是物理参数，下标t表示湍流流动。

湍动能k可表示为：引入Boussinesy假定后，计算湍流流动的关键在于如何确定湍动粘度。

所谓的涡粘模型，就是把湍动粘度与湍流时均参数联系起来的关系式。

依据确定湍动粘度的微分方程数目多少，涡粘模型包括：零方程模型；一方程模型；两方程模型。

26 27
零方程模型：指不使用微分方程，而是用代数关系
式，把湍动粘度与时均值联系起来的模型。

它只是使用
的湍流的时均连续方程和 Reynolds方程组成方程组，把方程中的Reynolds应力用平均速度场的局部速度梯度来表示。

z
零方程模型模型方案很多，最著名的是Prandtl提出的混合长度模型：假定湍动粘度与时均速度ui的梯度和混合长度lm的乘积。

z
混合长度理论的优点是直观简单，对于如扰动、混合层和边界层等带有薄的剪切层的流动比较有效。

混合长度 lm对简单流动易确定，复杂流动很难确定，不能用于模拟带有分离和回流的流动，因此，零方程模型在实际工程中应用较少。

28
一方程模型：为了弥补混合长度假定的局限性，人们
建议在湍流的时均连续方程和 Reynolds方程的基础上，
再建立一个湍动能k的输运方程，而湍动粘度表示成湍动
能的函数，从而使方程封闭。

z
在零方程模型中，湍动粘度和混合长度都把Reynolds应力和
当地平均速度梯度相联系，是一种局部平衡的概念，忽略了对
流和扩散的影响。

z
一方程模型考虑到湍流的对流输运和扩散输运，因此比零方
程模型更合理，但是一方程模型中湍流脉动的长度比尺仍然不
易确定，因此很多推广。

29
5
标准k−ε 两方程模型：典型的两方程模型，是在湍动
能方程的基础上，再引入一个关于湍流耗散率的方程，是目前使用最广泛的湍流模型。

z
该模型是由Launder和Spalding提出的，在模型中，湍流耗散率被定义为：
湍动粘度可以表示成湍动能和湍流耗散率的函数：
z
在该湍流模型中，湍动能和湍流耗散率是两个基本未知量，可以列出相应的输运方程。

30
对于标准k−ε两方程模型的适用性，有如下几点需要注意：
z
模型中的有关系数主要根据一些特殊条件下的试验结果确定的，选取时应针对特定的问题，参考相关文献研究寻找更合理的取值。

z
该模型是针对湍流发展非常充分的湍流流动来建立的，是一种针对高 Re数的湍流计算模型，不适用Re数比较低的情况。

z
该模型比零方程模型和一方程模型有了很大的改进，应用较为广泛。

但用于强旋流、弯曲壁面流动或弯曲流线流动时，会产生一定失真。

31
RNG k−ε 模型：是由 Yakhot和Orzag提出的， RNG是
“renormalization group” 的缩写，可译为重正化群，本文直接用RNG原名。

z
该模型通过在大尺度运动和修正后的粘度项体现小尺度的影响，而使这些小尺度运动有系统地从控制方程中去除。

z
与标准模型比较，主要有以下变化：
1)通过修正湍动粘度，考虑了平均流动中的旋转及旋流流动情况；2) 在湍流耗散率方程中增加了一项反映主流的时均应变率，则该模型的产生项不仅与流动情况有关，还出现了空间坐标的函数。

z
该模型仍是针对充分发展的湍流来建立的，是一种针对高Re数的湍流计算模型，不适用Re数比较低的情况。

32
Realizable k−ε 模型：“Realizabl e”是可实现的意思。

z
标准k−ε 模型对时均应变率特别大的情景，有可能导致负正应力。

为使流动符合湍流的物理定律，需要对正应力进行某种数学约束，为保证这种约束的实现，湍流粘度计算公式中的C，不应是常数，而应与应变率联系起来。

z
与标准模型比较，主要有以下变化：
1) 湍动粘度计算公式发生了变化，引入了旋转和曲率有关的内容； 2) 湍流耗散率方程发生了很大的变化，现有的形式更好地表示了光谱的能量转换； 3)湍流耗散率方程中的倒数第二项不具有任何奇异性，
z
该模型已被有效地用于各种不同类型的流动模拟，包括管道流、边界层流动和分离流动。

33
z
μ
在近壁面使用k−ε 模型的问题和对策
近壁面流动的特点
• 试验研究表明：对于有固体壁面的充分发展的湍流流动，沿壁面法线的不同距离上，可将流动划分为壁面区(或称内区、近壁区 )和核心区 (或称外区)，核心区的流动可认为是完全湍流区。

• 在壁面区，流体运动受壁面流动条件的影响比较明显，可分为3个子区：粘性底层；过渡层；对数律层。

34• 粘性底层是一个紧贴固体壁面的极薄层，粘性力在
动量、热量与质量交换中起主导作用，湍流切应力可
以忽略，流动几乎是层流流动。

平行于壁面的速度分
量沿壁面法线方向线性分布。

• 过渡层处于粘性底层的外面，其中粘性力与湍流切
应力的作用相当，流动情况比较复杂，很难用一个公
式或者定律来描述。

由于其厚度很小，一般归入对数
律层。

• 对数律层处于最外层，其中粘性力的影响不明显，
湍流切应力占主要地位，流动处于充分发展的湍流状
态，流速分布接近对数律。

35
6
近壁面流动的特点
壁面区3个子层的划分与相应的速度
在近壁面使用k−ε模型的问题
• 三种k−ε 都是针对充分发展的湍流才有效，即均是高 Re
数湍流模型，只能用于求解湍流核心区的流动。

•在壁面区，流动情况变化特别大，特别是在粘性底层，
流动几乎是层流，湍流应力几乎不起作用，应作特殊处
理：
1)不对粘性影响比较明显的区域(粘性底层和过渡层)进行
求解，而是用一组半经验公式(即壁面函数)将壁面上的物
理量与湍流核心区内的相应物理量联系起来；
2) 采用低Re数的模型求解粘性影响比较明显的区域，要求
在壁面区划分比较细密的网格，越靠近壁面网格越细。

36 37
壁面函数法
• 基本思想：对于湍流核心区的流动使用k−ε 模型
求解，而在壁面区不进行求解，直接使用半经验公
式将壁面上的物理量与湍流核心区内的求解变量联
系起来，直接得到与壁面相邻控制体积的节点变
量。

•在划分网格时，不需要加密壁面区的网格，只需
要将第一个内节点布置在对数律成立的取悦，即配
置到湍流充分发展的区域。

求解壁面区流动的两种途径所对应的计算网格
38 39 低Re数k−ε 模型
•低Re数的流动主要体现在粘性底层中，流动的分子粘性起着绝对的支配地位，因此应对高 Re数k−ε模型进行修正，以自动适应不同的Re数区：
1) 为体现分子粘性的影响，控制方程的扩散系数必须包括湍流扩散和分子扩散系数两部分。

2) 控制方程的有关系数必须考虑不同流态的影响。

3) 在湍动能方程中应考虑壁面附近湍动能的耗散不是各向同性这一因素。

404.4.2 Reynolds应力方程模型
Reynolds 应力方程模型简称RSM，是Reynolds
Stress equation Model 的缩写。

要用到这种模型，必须
先得到Reynolds应力输运方程。

所谓Reynolds应力输运方程，实质上是关于u
i
′u
j
′的输
运方程。

根据时均化法则u
i
′u
j
′= u
i
u
j
−u
j
u
i
，只要分
别得到了u
i
u
j
和u
j
u
i
，就可以得到u
i
′u
j
′的输运方程。

为
此我们从瞬时速度变化的N-S方程出发，来生成关于u
i
′u
j
′
的输运方程。

41
7
在上述得到的 Reynolds应力输运方程中，包含了湍
动能和湍流耗散率，为此在使用 RSM模型时，应补充
湍动能方程和湍流耗散率方程如下：
42 43 和标准的k−ε 模型一样， RSM属于高Re数的湍流计算
模型，在固体壁面附近，由于分子粘性的作用，湍流脉动受到阻碍， Re数很小，上述方程不适用。

必须采用壁面函数法，或低 Re数的RSM法，来处理近壁面区的流动计算问题。

RSM方法比k−ε 模型应用范围广、包含更多的物理机理，但仍有很多缺陷， RSM虽然能考虑一些各向异性效应，但并不一定比其他模型效果好，在计算突扩流动分离区和计算湍流输运各向异性较强的流动时， RSM模型优于两方程模型，但是对于一般的回流流动，结果差。

就三维问题而言，采用 RSM模型意味着多求解 6个Reynolds应力的微分方程，计算量大，对计算机要求高。

44
4.5 大涡模拟(LES)
大涡模拟的基本思想
希望计算网格的尺度小到足以分辨最小涡的运动，而就目前的计算机能力，能采用的计算网格的最小尺度仍比最小涡的尺度大很多。

系统中动量、能量、质量及其他物理量的输运，主要由大尺度涡影响。

大尺度涡与所求皆的问题密切相关，由几何及边界条件决定。

各大尺度涡的结构是互不相同的。

小尺度涡几乎不受几何和边界条件的影响，不像大尺度涡那样与所求解的问题密切相关，小尺度涡趋于各向同性，其运动具有共性。

45
放弃对全尺度涡瞬时运动的模拟，只将比网格尺度大的
湍流运动通过瞬时N-S方程直接计算出来，而小尺度涡对大尺度涡的影响则通过一定的模型在瞬时N-S方程中体现出来，从而形成大涡模拟方法。

要实现大涡模拟，一个重要环节是建立一个数学滤波函数，从湍流瞬时运动方程中将尺度比滤波函数尺度小的涡滤掉，从而分解出描写大涡流动的运动方程，而被滤掉的小涡对大涡运动的影响，则通过在大涡流场的运动方程中引入附加应力项来体现。

该应力项称亚格子尺度应力。

这一数学模型称为亚格子尺度模型(SubGrid-Scale model) ，简称SGS模型。

46
大涡的运动方程
在LES方法中，通过使用滤波函数，每个变量被分成两部
分。

对于瞬时变量φ ，有：
z
大尺度的平均分量φ 。

该部分叫滤波后的变量，是在LES
模拟时直接计算的部分
z
小尺度分量φ ′。

该部分是需要通过模型来表示的。

☆ 这里的平均分量φ 是滤波后得到变量，不是在时间域上
的平均，而是在空间域上的平均，可表示成：
φ = j φG(x,x′)dx′
D
47
8
z
G (x ,x ')为在一个控制体积上对物理量取平均值，可表达成
如下形式：
G (x ,x ′) = ⎨
φ =
V 1
∫ φdx ' z
LES 方法中使用的瞬时状态下控制方程组如下：
☆ LES 方法控制方程中，滤波后的 N-S 方程与RANS 方 程在形式上类似， 区别在于这里的变量是滤波后的 值，仍是瞬时值，而非是均值。

同时湍流应力的表达 式不同。

48 49
4.6 本章小结
本章的湍流模拟方法和湍流模型，有各自适用的 场合。

从 应 用 的 普 遍 性 来 讲 ， 基 于 Reynolds 平 均 法 的 k − ε ，应用最广泛。

而Reynolds 应力模型在理论 上比 k − ε 更完善。

对DNS 方法和LES 方法的研究和应用这几年明显 增多，但目前DNS 方法很难用于实际工程应用， LES 模拟方法是一种值得注意的研究方法。

50
复习思考题
在湍流流动中，参数 μ 和 μ t 的物理意义如何，二者
有何联系和区别？对流动各有什么影响？
建立湍流的时均化方程有何物理意义？目前基于时 均化的湍流控制方程的数值模拟方法 (湍流模型)有哪 些？个方法是如何处理Reynolds 应力的？这些方法的 应用效果怎么样？
LES 方法的基本思想是什么？与DNS 方法有什么区别 和联系？他的控制方程组与时均化方法的控制方程 有何异同？
51
9。