郑州大学高等数学教材
郑州大学大一高等数学教材
郑州大学大一高等数学教材高等数学作为大一学生所必修的课程之一，对于培养学生的数学思维和分析问题的能力有着非常重要的作用。
郑州大学大一高等数学教材是经过精心编写和筛选的教学资料，旨在帮助学生全面掌握高等数学的基本概念、原理和方法，为他们打下坚实的数学基础。
一、教材概述郑州大学大一高等数学教材是基于多年的教学经验和教学研究成果编写而成的。
该教材以系统性、严谨性和实用性为特点，各章节之间联系紧密，内容层次分明，适合大一学生的学习需求。
二、教材内容郑州大学大一高等数学教材包含了大学高等数学的核心内容，共分为多个章节，涵盖了微积分、线性代数、概率论等基本数学理论和方法。
以下是教材的主要内容概述：1. 微积分微积分是高等数学的重要分支，也是郑州大学大一高等数学教材的重点内容。
该部分介绍了函数、极限、导数、积分等微积分的基本概念和运算规则，并通过大量的例题和练习题帮助学生巩固理论知识和解题能力。
2. 线性代数线性代数是数学中的一门重要学科，也是郑州大学大一高等数学教材的一部分。
该部分涵盖了向量、矩阵、行列式、特征值和特征向量等线性代数的基本概念和运算方法。
学生通过学习线性代数的知识，可以更好地理解和应用数学在实际问题中的作用。
3. 概率论概率论是数学中研究随机现象的一门学科，也是郑州大学大一高等数学教材中的一部分。
该部分主要介绍了概率的基本概念、概率分布、随机变量以及概率统计等内容。
通过学习概率论，学生可以了解到概率在现实生活中的应用，提高自己的统计和分析能力。
4. 其他内容郑州大学大一高等数学教材还包含了其他一些重要的数学内容，如数列、级数、常微分方程等。
这些内容对于进一步学习数学和相关学科具有重要的作用，也为学生的思维训练和问题解决能力提供了良好的基础。
三、教材特点郑州大学大一高等数学教材具有以下几个特点：1. 系统性该教材的编写遵循了数学知识的逻辑顺序，各章节之间有机地连接在一起，构成一个系统的教学体系。
高等数学第七版上下册教材
高等数学第七版上下册教材高等数学是大学本科数学系列课程的重要组成部分，对于培养学生的综合科学素质和提高其数学分析和解决问题的能力具有重要意义。
高等数学第七版上下册教材是广泛使用的教材之一，旨在帮助学生系统地学习高等数学的理论和方法，并能够熟练运用于实际问题的解决中。
一、教材概述高等数学第七版上下册教材由国内著名数学教育专家编写，结合了多年的教学经验和研究成果。
该教材以培养学生的数学思维和运算能力为主线，注重理论与实践的结合，既有精心设计的理论讲解，又有丰富的例题和习题供学生练习和巩固。
教材内容紧扣高等数学的核心概念和基本原理，层次分明，内容丰富，是学习高等数学的理想教材。
二、教材结构高等数学第七版上下册教材总共分为十个章节，包括函数、极限、导数与微分、不定积分、定积分与数列、重积分与重积分应用、曲线与曲面积分、无穷级数、常微分方程与控制论、级数展开与傅里叶级数。
每个章节都按照一定的逻辑顺序展开了相应的知识内容，并在最后附有习题供学生巩固所学知识。
三、教材特色1. 理论与实践结合：教材旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力，因此理论部分辅以大量的例题和习题，学生可以通过实际运用理论知识解决实际问题，提高数学应用能力。
2. 核心概念突出：教材将重点章节放在最前面，如函数、极限、导数与微分等，这些章节中的知识是后续章节的基础，对于学生建立数学思维和分析问题的能力至关重要。
3. 文字简洁明了：教材中的文字简练明了，用词精确，避免了繁复的叙述和冗长的解释，帮助学生快速理解和掌握知识点。
4. 丰富的例题和习题：教材中提供了大量的例题和习题，每个章节后都附有习题答案和详细解析，学生可以通过练习巩固所学知识，并检验自己的掌握程度。
5. 多媒体辅助教学：教材配套的多媒体教学材料丰富多样，包括课件、教学视频等，可以帮助学生更加直观地理解和应用数学知识。
总之，高等数学第七版上下册教材是一本设计合理、内容丰富、适合广大学生学习的理想教材。
高等数学下册郑大版教材
高等数学下册郑大版教材高等数学是大学本科学习中的一门重要课程，它承接了初等数学的基础知识，并深入研究了各种数学理论和方法。
高等数学下册是郑州大学精心编写的教材，下面将为大家介绍该教材的特点和内容。
一、教材特点高等数学下册郑大版教材具有以下几个特点：1. 知识点准确全面：教材对于高等数学下册的知识点进行了全面而准确的介绍，包括微积分、级数、微分方程等各个方面。
每个知识点都经过精心编排，确保学生能够全面理解和掌握。
2. 理论与实践结合：教材不仅仅注重理论知识的讲解，还注重理论与实践的结合。
在每个章节中，都会有一些实际问题的引入，帮助学生将理论知识应用到实际中去，提升学生的综合能力。
3. 题目分类明确：教材中的习题按照难易程度和题型进行了分类，方便学生进行选择和练习。
每道题目都带有详细的解析过程，学生可以通过自主练习巩固知识点。
二、教材内容高等数学下册郑大版教材的内容较为广泛，包括但不限于以下几个部分：1. 微积分：教材对微积分的内容进行了详细讲解，包括函数的极限、连续性与间断点、导数、微分、不定积分等方面。
通过对微积分的学习，学生能够了解函数的变化规律，并能够应用微积分方法解决实际问题。
2. 级数：在级数部分，教材介绍了级数的概念、收敛性与发散性、常用级数的性质等。
级数是高等数学中的重要概念，对于理解数列和函数的性质有着关键作用。
3. 微分方程：微分方程是应用数学领域非常重要的内容，教材对常微分方程做了详细讲解，包括一阶常微分方程、高阶线性常微分方程、变量分离方程等。
通过学习微分方程，学生可以了解物理、经济等实际问题的数学描述方法。
4. 多元函数微分学：在多元函数微分学部分，教材详细介绍了多元函数的极限、连续性、偏导数、全微分等内容。
通过学习多元函数微分学，学生能够深入理解多元函数的性质，为进一步学习数学分析、高等代数等课程打下坚实基础。
5. 重积分与曲线积分：重积分与曲线积分是高等数学中较为复杂的内容，教材通过实例和题目的讲解，帮助学生逐步理解和掌握这两个概念，并能够灵活运用于实际问题的求解中。
郑州大学高等数学1教材
郑州大学高等数学1教材高等数学是一门对于大部分理工科学生来说十分重要的基础课程，也是培养学生分析问题、解决问题的思维方式的重要一门课。
在郑州大学，高等数学1教材扮演着至关重要的角色。
本文将对郑州大学高等数学1教材进行介绍和评价，并对其内容和编排进行详细的分析。
首先，郑州大学高等数学1教材以系统性和完整性为主要特点。
教材内容包含了大学高等数学1课程的基础知识，涵盖了数学的各个分支，包括函数、极限、连续性、微分等内容。
教材内容的编排合理，章节之间的内容有层次感和连贯性。
学生可以通过系统地学习这本教材，逐步建立起对高等数学的整体认识和理解。
其次，郑州大学高等数学1教材注重理论与实践相结合。
在教材中，理论部分与实例部分相互补充，既有基本理论的讲解，又有丰富的例题以及解题方法的详细讲解。
这种理论与实践相结合的教学模式，有助于学生更好地理解和掌握数学知识，并能够灵活运用于实际问题的解决中。
第三，郑州大学高等数学1教材注重启发式教学和培养学生的数学思维能力。
在教材的编写过程中，尽量避免简单的机械记忆和死板的计算方法，而是通过启发性的问题设置和解题思路的引导，培养学生的数学思维能力和创新意识。
教材中的一些拓展题目和思考题目，可以帮助学生培养自主学习和独立思考问题的能力。
此外，郑州大学高等数学1教材的编写团队非常强大，教材的内容准确、精炼，深入浅出地讲解了数学的基本概念和方法。
教材中的例题选择恰到好处，难度适中，有助于巩固和应用所学知识。
同时，教材还提供了大量的习题和答案，供学生进行课后练习和自测，以便学生加深对知识点的理解和运用。
综上所述，郑州大学高等数学1教材是一本系统性、完整性强的教材，注重理论与实践相结合，能够有效地培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。
教材的内容准确、精炼，注重培养学生的自主学习和独立思考能力，对于大学的高等数学教学起到了积极的推动作用。
作为郑州大学的学生，我们要认真学习和运用这本教材，提升自己的数学素养和问题解决能力。
郑州大学大一高等数学教材
郑州大学大一高等数学教材高等数学作为大学数学基础课程之一，是培养学生数学思维和解决问题能力的重要环节。
郑州大学的大一高等数学教材经过精心编写与多年的教学实践，旨在帮助学生建立扎实的数学基础，并为他们未来的学习与研究打下坚实的基础。
第一章：数列与极限数列与极限作为高等数学的第一章，是引领学生进入数学世界的重要一步。
本章从数列的定义开始，逐步介绍数列的性质、极限的定义与性质，并引导学生通过一些例题来理解与掌握这些概念。
此外，本章还介绍了常用的极限计算方法，如夹逼定理和洛必达法则。
第二章：函数与极限在数学分析中，函数与极限是密不可分的。
本章从函数的定义与性质开始，逐步介绍函数极限的概念与性质。
通过讲解与分析各种常用函数的极限运算，学生能够更好地理解极限的求解过程，并能够应用到实际问题中。
此外，本章还引入了微分学中的重要概念，为学生打下微积分基础。
第三章：导数与微分导数与微分是高等数学中的核心内容之一，也是应用最广泛的数学工具之一。
本章从导数的定义与性质开始，逐步介绍导数的计算方法以及导数的应用。
通过解析各种函数的导数，学生能够更好地理解函数的变化趋势，进而应用导数来解决实际问题。
此外，本章还介绍了高阶导数、隐函数与参数方程等内容。
第四章：不定积分不定积分是微积分学中的重要内容，是导数的逆运算。
本章从不定积分的定义与性质开始，逐步介绍不定积分的计算方法，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
通过解析各种函数的不定积分，学生能够更好地理解积分的意义与应用，并能够应用到实际问题中。
此外，本章还介绍了定积分、曲线长度与曲面面积的计算方法。
第五章：定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理是微积分学中的重点内容，也是应用最广泛的数学工具之一。
本章介绍了定积分的定义与性质，并引入了微积分基本定理，通过这些定理，学生能够更好地理解积分与导数之间的关系，学会应用积分解决实际问题。
此外，本章还介绍了变限积分、参数方程下的曲线面积等内容。
河南省高等数学教材第七版
河南省高等数学教材第七版随着科技的发展和数学理论的不断推进，高等数学已经成为大学本科教育中不可或缺的一门学科。
为了适应不断变化的数学教学需求，河南省编写了第七版的高等数学教材，旨在提供更加全面、准确、深入的数学知识，帮助学生掌握高等数学的基本理论和应用技巧。
第一章极限与连续极限与连续是高等数学的基础，也是理解其他数学分支的关键。
本章首先介绍了极限的概念及特性，包括数列极限和函数极限，引导学生把握数学分析的基本思想和方法。
接着，详细探讨了连续函数的定义和性质，通过实例演示了如何判断函数的连续性以及应用连续函数解决实际问题的过程。
第二章导数与微分导数与微分是高等数学中的重点内容，对于理解函数的变化规律和求解最值问题具有重要意义。
本章从导数的定义和几何意义入手，引导学生理解导数的基本概念，并通过大量的例题培养学生的计算能力。
此外，还介绍了微分的概念和求导法则，探究了函数的高阶导数及其应用，为后续章节的内容打下坚实的基础。
第三章微分学应用微分学应用是高等数学的重要分支，它将抽象的数学理论与现实生活相结合，使学生能够将所学知识运用到实际问题中。
本章围绕极值问题展开，通过最值定理、拉格朗日乘数法等方法，让学生掌握如何求取函数的最大值和最小值，并且能够灵活应用于工程、经济、科学等领域的实际问题。
第四章定积分与反常积分定积分与反常积分是高等数学中的重要内容，它们是求解区域面积、计算物体体积以及求解一切与积分相关的问题的基础。
本章详细介绍了定积分的概念、性质和计算方法，强调了定积分在几何学和物理学中的应用。
同时，还引入了反常积分的概念和计算方法，使学生能够处理特殊情况下的积分问题。
第五章微分方程微分方程是高等数学中的重要组成部分，它广泛应用于自然科学和工程技术中。
本章从基本概念出发，系统介绍了常微分方程和偏微分方程的解法和应用。
通过大量的例题和实际问题，培养学生的微分方程分析和求解能力，使他们能够灵活运用微分方程解决实际问题。
郑州大学高等数学下课后习题答案解析
习题7.73.指出下列方程所表示的曲线.（1）⎩⎨⎧==++;3,25222x z y x （2）⎩⎨⎧==++;1,3694222y z y x（3）⎩⎨⎧-==+-;3,254222x z y x （4）⎩⎨⎧==+-+.4,08422y x z y【解】（1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ；（2）表示平面1=y 上的椭圆19323222=+zx ；（3）表示平面3-=x 上的双曲线141622=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z .4.求()()⎪⎩⎪⎨⎧=++=++Γ2,21,:2222222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 22243R y x =+ 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为⎪⎩⎪⎨⎧==+.0,43222z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得R z 21=所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==（三）（1）、（2）联立消去x 得R z 21=所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为.23.0,21R y x R z ≤⎪⎩⎪⎨⎧==6.求由球面224y x z --= ①和锥面()223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域.【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+.0,122z y x所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D .习题7.82.设空间曲线C 的向量函数为(){}t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与20=t 相应的点处的单位切向量.【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为(){}2,4,42='r .C 相应20=t 的点处的单位切向量为(){}.31,32,322,4,4612⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=±=' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}|1,,='''=t t z t y t x {}{}3,2,13,2,1|12===t t t .所以，Γ在0M 点处的切线方程为 312111-=-=-z y x . 法平面为()()()01.31.21.1=-+-+-z y x ，即 0632=-++z y x .4.在曲线32,,:t z t y t x ===Γ上求一点，使在该点处的切线平行于平面y x 2:+π4=+z .【解】平面y x 2+4=+z 的法向量为{}1,2,1=n .在Γ上任取一点()0000,,z y x M ，并设0M 对应参数0t t =.Γ在0M 点处的切线方向为()()(){}000,,t z t y t x '''={}{}20023,2,13,2,1|0t t t t tt ===. 由题意，欲使0M 点处的切线与平面π平行，只须与垂直，为此令200341.0t t n s ++==，即0341200=++t t .解之得， 10-=t 或 310-=t .所以，所求点为()1,1,10---M 或⎪⎭⎫⎝⎛-271,91,310M .5.求曲线⎰=tu udu e x C 0cos :，t t y cos sin 2+=，t e z 31+=在0=t 处的切线方程和法平面方程.【解】参数0=t 对应曲线C 上的点()2,1,00M .C 在0M 点处的切线方向为()()(){}|,,='''=t t z t y t x s {}{}3,2,13,s i n c o s 2,c o s |3=-==t tt e t t t e .所以，Γ在0M 点处的切线方程为322110-=-=-z y x . 法平面为()()()02.31.20.1=-+-+-z y x ，即 0832=-++z y x .习题8.11.求下列函数的的定义域，并画出定义域的图形. （3）221yx z w --=；（4）19222222-++---=z y x z y x u .【解】（3）要使函数表达式有意义，必须满足 0122>--y x 即 122<+y x 故所求函数的定义域为(){}1|,22<+=y x y x D . （4）要使函数表达式有意义，必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-++≥---.01,09222222z y x z y x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧>++≤++.1,9222222z y x z y x 故所求函数的定义域为(){}91|,,222≤++<=z y x z y x D .3.求下列各极限. （1）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x 111lim3,2,1,,； （2）()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0,； （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→； （4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→；（5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,； （6）()()2220,0,lim yx yx y x +→. 【解】（1）因为函数()zy x z y x f 111,,++=是三元初等函数，其定义域为(){}0,0,0|,,≠≠≠=z y x z y x D ，且()D ∈3,2,1，所以三元函数()zy x z y x f 111,,++=在()3,2,1处连续，从而有 ()()611312111111lim3,2,1,,=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→z y x z y x . （2）()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→x y y x y x 1sin 1sin lim 0,0, ()()y x y x 1sinlim0,0,→=()()0001sin lim 0,0,=+=+→xy y x . 【其中()()y x y x 1sinlim 0,0,→()()01sin lim 0,0,==→xy y x 均是利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （3）()()()xyy x xy tan 10,0,1lim+→()()()e e xy xyxyxyy x ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=→1tan 10,0,1lim.（4）()()()22220,0,lim y x y x xy y x +-→()()()0.lim 22220,0,=+-=→xy y x y x y x .【上述结论中用到12222≤+-y x y x 及()()0lim 0,0,=→xy y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】. （5）()()y x y x y x +-++→11lim220,0,()()()()11lim 22220,0,+++++=→y x y x y x y x()()().lim 220,0,y x y x y x ++=→()().0210111lim220,0,=⨯=+++→y x y x 【上述结论中用到()y x yx y x y x y x +=++≤++≤2220，()()()0lim 0,0,=+→y x y x 及夹逼准则】.（6）()()2220,0,lim y x y x y x +→()()0.lim 2220,0,=+=→y y x x y x .【上述结论中用到1222≤+yx x 及()()0lim 0,0,=→y y x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】.4.证明极限()()4220,0,lim y x xy y x +→不存在.【证】（一）让动点()y x P ,沿直线0=y 趋于点()0,0O 时，()4220lim y x xy y x +=→000.lim 4220=+=→x x x . （二）让动点()y x P ,沿抛物线x y =2趋于点()0,0O 时，()42202lim y x xy xy x +=→21.l i m 220=+=→x x x x x .习题8.21.证明：函数()444,y x y x f +=在原点()0,0处连续，但不存在偏导数()0,0x f '，()0,0y f '.【证明】 （一）因为()()()()0,00,lim0,0,f y x f y x ==→，所以，()y x f ,在()0,0处连续.（二）因为()()x f x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0()xx x ∆-+∆=→∆00lim4440 xx x ∆∆=→∆0l i m不存在，所以不存在偏导数()0,0x f '；由轮换对称性知，也不存在偏导数()0,0y f '. 2.求下列函数对各自变量的一阶偏导数.（1）x y y x z 33-=； （2）xy z ln =；（3）xy e z x sin =； （4）xyz arctan =；（5）()yxy z +=1； （6）2yxe z y=.【解】（1）323y y x xz-=∂∂；x y x y z 233-=∂∂ . （2）因y x z ln ln +=，故x x z 1=∂∂；yy z 1=∂∂. （3）xy ye xy e xzx x cos sin +=∂∂； xy xe y z x cos =∂∂ （4）x x y x y xz '⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222222y x y x y y x x +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+=； yx y x y xz'⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂211222221y x x x y x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=. （5）()()xy y ye xy z +=+=1ln 1；()()[]x xy y xy y e x z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+y xy y e xy y .111ln ()1211-++=y xy xy y ；()()[]y xy y xy y e y z '+=∂∂+1ln 1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+x xy y xy e xy y .11)1ln(1ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln(1()()[]xy xy xy xy y ++++=-)1ln(111. （6）2y e x z y =∂∂；422.y y e y e x y z y y -=∂∂()422y y y xe y -=()32yy xe y -=. 3.求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=Γ,4,4:22y y x z 在点()5,4,20M 处的切线方程及切线对于x 轴的倾角的度数. 【解】（一）Γ的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===Γ416,4,:2x z y x x （x 为参数）.点0M 对应参数2=x ，故切向量为{}1,0,12,0,1|2=⎭⎬⎫⎩⎨⎧==x x s 切. 所以，点()5,4,20M 处的切线方程为150412-=--=-z y x . （二）因为()()1244,2||4,2)4,2(22=='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='xy x f x x ，所以切线对于x 轴的倾角的度数为41arctan πα==. 4.求下列函数的所有二阶偏导数.（1）()y x z 32sin +=； （2）42244y y x x z +-=； （3）xy z 2=； （4）yxy x y x z arctan arctan 22-=. 【解】 （1）()y x xz32cos 2+=∂∂； ()y x y z 32cos 3+=∂∂；()y x x z 32sin 422+-=∂∂；()y x y x z 32sin 62+-=∂∂∂；()y x yz32sin 922+-=∂∂. （2）2384xy x xz-=∂∂； 3248y y x y z +-=∂∂； 2222812y x x z -=∂∂；xy y x z 162-=∂∂∂；2222128y x yz +-=∂∂. （3）()x xy xy x z '=∂∂2.2121()x yy xy 212.2121==；()y xy xy y z '=∂∂2.2121()yx x xy 212.2121==. xyx y x y x y x z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂；xyx x y y x z 421.121212=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂∂； xyy xy x y x y z 42.12121222-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂. （4）yx y x y x z arctan arctan22-=. x x y xy x y x x z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y y x y x y x y x x y x 1.11.11a r c t a n 222222 223222a r c t a n 2yx y y x y x x y x +-+-= ()2222a r c t a n 2y x yy x x y x ++-=y x y x -=a r c t a n 2； y y y x y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂arctan arctan 22 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22222.11a r c t a n 21.11y x y x y y x y x x y x 222223a r c t a n 2yx xy y x y y x x ++-+= ()y xy yx x y xa r c t a n 22222-++=y x y x a r c t a n 2-=.⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂2222.112arctan 2arctan 2x y x y x x y y x y x x z x 222a r c t a n 2yx xyx y +-=. 11.112a r c t a n 222-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+='⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂∂x x y x y x y x y x z y 12222-+=y x x 2222yx y x +-=； y y x y x y z '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂arctan 222 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=22.112a r c t a n 20y x y x y y x 222a r c t a n 2yx xyy x ++-=. 5.验证下列等式.（1）设xy xe z =，证明： z yz y x z x=∂∂+∂∂； （2）证明函数r u 1=，222z y x r ++=满足0222222=∂∂+∂∂+∂∂zu y u x u ；（3）证明()bx e t x T tab sin ,2-=满足热传导方程22xTa t T ∂∂=∂∂，其中a 为正常数，b 为任意常数.【证】（1）因⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∂∂x y e x y e x e x z x y x y x y 12；x yx y e x e x y z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂1.所以，z xe ye x y e x y z y x z x x y x y x y ==+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂+∂∂1.（2）()x z y x z y x x r '++++=∂∂22222221()r xx z y x =++=221222；①x r dr du x u ∂∂=∂∂.【因为①】32.1rx r x r -=-=. 623322.3..1rx r r x r r x x x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂【因为①】 5226233.3..1rx r r r x r x r --=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=； ② 同理可得522223ry r y u --=∂∂； ③ 522223r z r z u --=∂∂ ④所以，222222zuy u x u ∂∂+∂∂+∂∂【因为②，③，④】()5222233r z y x r ++--=033522=--=rr r . （3）由()bx e t x T t ab sin ,2-=，得()[]bx e ab bx ab e tTt ab t ab sin sin 2222---=-=∂∂. ① []bx be b bx e xTt ab t ab cos .cos 22--==∂∂.[]b bx be x T tab .sin 222-=∂∂-bx e b t ab sin 22--=. ② 所以有22xTa t T ∂∂=∂∂bx e ab t ab sin 22--=.6.设()()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=,0,0,0,1cos ,22222222y x y x y x y x y x f 求()0,0x f '，()0,0y f '.【解】因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim 0 ()[]()xx x x ∆-+∆+∆=→∆001cos0lim222201coslim 0=∆∆=→∆x x x 【上述结论中用到11cos ≤∆x及0lim 0=∆→∆x x ，即利用有界量乘以无穷小量还是无穷小量】，所以，()00,0='x f . 同理，()00,0=''y f .习题8.31.求下列函数的全微分.（1）yxy x z +=24；（2）32y x ez +=；（3）xyz u =；（4）z xy u =.【解】 （1）因为y xy x z 18+=∂∂，224yx x y z -=∂∂，所以 dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y xy ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=22418. （2）因为()xyx y x e xz'+=∂∂+2222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+x y x eyx 2.2122222222y x xe y x +=+； 由轮换对称性知，2222yx ye y z yx +=∂∂+.所以dy y zdx x z dz ∂∂+∂∂=()ydy xdx yx e y x ++=+2222. （3）因为yz x u =∂∂，xz y u =∂∂，xy zu=∂∂，所以，x y d z x z d y y z d x dz zu dy y u dx x u du ++=∂∂+∂∂+∂∂=. （4）z xy u =. 因为z y x u =∂∂，1-=∂∂z xzy y u ，y xy zuz ln =∂∂，所以， ydz xy dy xzy dx y dz zu dy y u dx x u du z z z ln 1++=∂∂+∂∂+∂∂=-. 2.求下列函数在指定点的全微分.（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .【解】（2）zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，()1,1,1|du .因为x zy x y x z x u '⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-y y x z z1111； yz y x y x z y u '⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂-111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2111y x y x z z ； ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∂∂211.ln z y x y x z u z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-2111ln 1z y x y x z z.所以dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-dx y y x z z1111dy y x y x z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2111dz z y x y x z z⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2111ln 1.从而 ()dy dx du -=1,1,1|.4.求曲面22:y x z S +=在点()2,1,10M 处的切平面方程和法线方程.【解】令()z y x z y x F -+=22,,. 则曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 ()()(){}000,,M F M F M F z y x '''= {}(){}1,2,21,2,2|2,1,1-=-=y x .所以S 在点0M 处的切平面方程为()()()02.1121.2=---+-z y x . 化简得0222=--+z y x . 法线方程为122121--=-=-z y x . 6.利用全微分求近似值. （1）()()3397.102.1+；【解】（1）令(),,33y x y x f z +==则()()332133223,,23,yx y y x f yxyx x y x f y y x +='+='-.取03.0,02.0,2,100-=∆=∆==y x y x ，则有()()()()()03.02,102.02,12,103.02,02.01-⨯'+⨯'+≈-+y x f f f f ，即：()()().95.203.0202.021397.102.133=-⨯+⨯+≈+8.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=,0,0,0,1sin ,222222y x y x y x xy y x f证明： （1）()y x f ,在点()0,0处连续且偏导数存在； （2）()y x f ,在点()0,0处可微. 【证】（1）因为()y x f y x ,lim 0→→01sinlim 220=+=→→yx xy y x 【无穷小乘以有界量还是无穷小量】()0,0f =，所以()y x f ,在点()0,0处连续. 又因为()()xf x f x ∆-∆+→∆0,00,0lim000lim 0=∆-=→∆x x ，所以()00,0='x f ；同理()00,0='y f ，所以()y x f ,在点()0,0处偏导数存在.（2）()y x f ,在点()0,0处的全增量为()()()()()220,01s i n0,00,0|y x y x f y x f z ∆+∆∆∆=-∆+∆+=∆.因为 ()()[]()()22000,00,0limy x yf x f z y x y x ∆+∆∆'+∆'-∆→∆→∆()()()()01sinlim22220=∆+∆∆+∆∆∆=→∆→∆y x y x yx y x ，所以，()y x f ,在点()0,0处可微. 【上述结论用到了()()()()22221sin0y x y x yx ∆+∆∆+∆∆∆≤()()()()22221s i n.y x y x y x ∆+∆∆+∆∆∆=()()[]()()()[]()()()0,0,02121222222→∆∆→∆+∆=∆+∆∆+∆≤y x y x y x y x及夹逼准则 . 】习题8.41.求下列复合函数的偏导数或全导数. （1）设uv e z =，而2,sin x v x u ==，求dxdz ； （2）设()xyx z ln =，求xz∂∂，y z ∂∂； （3）设()xy y x yf x z ,222+=，求xz∂∂，y z ∂∂. 【解】（1）因为uv ve u z =∂∂，uv ue v z =∂∂；x dx du cos =，x dxdv2=.所以由全导数公式，有 ()x x x x e x ue x ve dxdvv z dx du u z dx dz x x uv uv cos sin 22.cos ..2sin 2+=+=∂∂+∂∂=. 【另解：因为x x e z sin 2=，故 ()'=x x e dx dz x x sin 2sin 2()x x x x e x x c o s s i n 22s i n2+=.】 （2）()[]x x xy e x z '=∂∂ln ln ()[]x x xy x xy e '=ln(ln ln ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x xy x y e x xy 1.ln 1)ln(ln ln()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x y x y x xy ln )ln(ln ln ()()()x x y x y xy xy ln ln ln ln 1+=-； ()()()y xy xy x x yz '=∂∂ln ln .ln ()()x x x xy ln ln .ln =. （3）()()()[]x x xy y x f y x xy y x f y x xz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]y f x f y x xy y x f xy .2..,.221222'+'++=；()()()[]y y xy y x f y x xy y x f y x yz'+++'=∂∂,.,.222222 ()[]x f y f y x xy y x f x .2..,.212222'+'++=.2.设⎪⎭⎫⎝⎛+=x y x xy z ϕ，其中()u ϕ是可微函数，证明： +∂∂x z x xy z y z y +=∂∂. 5.设()221,,z yx e z y x f u ++==，而y x z sin 2=，求xu∂∂，y u ∂∂. 6.求下列函数的22xz ∂∂，y x z ∂∂∂2和22y z∂∂.（1）()y xy f z ,=；（2）()y x e y x f z +=,cos ,sin . 【解】（1）由()y xy f z ,=得1f y xz'=∂∂，21f f x y z '+'=∂∂； []()11211122f y f y y f y xz x ''=''=''=∂∂；[]()1211112111112f y f xy f f f x y f f y f yx z y ''+''+'=''+''+'=''+'=∂∂∂； [][]()()22121122221121121222f f x f x f f x f f x x f f x y z y y ''+''+''=''+''+''+''=''+''=∂∂. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.（2）由()y x e y x f z +=,cos ,sin 得31.c o s f e f x xzy x '+'=∂∂+；32.sin f e f y y z y x '+'-=∂∂+； [][]x y x x f e f x xz ''+''=∂∂+3122.c o s()[]13111cos cos .sin f e f x x f x y x ''+''+'-=+ ()[]33313.cos f e f x e f e y x y x y x ''+''+'++++[][]y y x y f e f x yx z ''+''=∂∂∂+312.c o s ()[]333231312sin sin cos f e f y e f e f e f y x y x y x y x y x ''+''-+'+''+''-=++++； 33223231312sin cos sin cos f e f ye f e f xe f y x y x y x y x y x ''+''-'+''+''-=++++； [][]y yx y f e f y y z ''+''-=∂∂+3222.s i n()[]23222sin sin .cos f e f y y f y y x ''+''-+'-=+ ()33323sin f e f y e f e y x y x y x ''+''-+'++++ 33223232222sin 2sin .cos f e f e f ye f y f y y x y x y x ''+'+'''-''+'-=+++. 【注意：书中有关22yz∂∂的答案有误】.8.设()[]z x f z ϕ+= ①，其中ϕ,f 可导，求dxdz . 【解】①式两端对x 求导并注意到z 是关于x 的函数，得 ()[]()[]x z x z x f dx dz '++'=ϕϕ()[]()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++'=dx dz z z x f .1ϕϕ()[]()()[]dxdzz x f z z x f ..ϕϕϕ+''++'=. ② 由②式解得()[]()()[]z x f z z x f dx dz ϕϕϕ+'-+'=1.9.设()y x z z ,=由方程0ln 2=-+⎰-dt e z z xy t ①得到，求x z∂∂，yz ∂∂，y x z ∂∂∂2.【解】（一）①式两端对x 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=-∂∂+∂∂-x e xzz x z ，即 211x e x zz -=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ②由②式解得21x e zz x z -+=∂∂. ③ （二）①式两端对y 求导并注意到z 是关于y x ,的二元函数得012=+∂∂+∂∂-y e yzz y z ，即 211y e y z z --=∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛+ . ④ 由④ 式解得 21y e zz y z -+-=∂∂. ⑤ （三）由③式得212x y e z z y x z -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=∂∂∂()2.112x e y z z -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=【代入④】 ()22.1.112x y e e z z z --⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=()22.13y x e z z--+-=.10.设f 可微，试验证： （1）()22yx f y z -=① 满足方程211y zy z y x z x =∂∂+∂∂； 【证】()x y x f y x z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221()()[]x y x f y x f y '⎭⎬⎫⎩⎨⎧---=222221()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--=xy x y x f yx fy2222222.()()222222y x f yx fxy-'--=； ()yy x f y y z '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∂∂221.()()y y x f y y x f '⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222211 ()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--'--+-=y y x y x f y x f y y x f 222222222.11()()()2222222221y x f yx f y y x f -'---=. 所以yz y x z x ∂∂+∂∂11()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'--=2222221y x f y x f xy x ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-'---+22222222211y x f y x f y y x f y ()221.1y x f y -=【由①式】..12y z y z y == （2）()y x f z ,=满足方程t z s z y z x z ∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.22，其中t s y t s x -=+=,. 【证】y zx z s y y z s x x z s z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂..； yz x z t y y z t x x z t z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂... 故 t z s z ∂∂∂∂.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y z x z ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂y z x z .22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=y z x z . 14.设函数()y x f ,具有二阶连续偏导数，且满足等式0512422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u . ①试确定b a ,的值，使等式在变换by x ay x +=+=ηξ,下化为02=∂∂∂ηξu. 【解】因为ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u x u x u x u1.1...；ηξηξηηξξ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u b u a b u a u y u y u y u ..... 故有⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂x u x u x u x u u u x u xx ηηξξηηηξξξηξ (2222222)2 222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=uu u . ② ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂∂y u y u y u y u u u y x u yy ηηξξηηηξξξηξ....2222222 ()22222..ηηξξ∂∂+∂∂∂++∂∂=ub u b a u a . ③⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂+∂∂∂∂='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂y u y u b y u y u a u b u a y uyy ηηξξηηηξξξηξ (2222222)222222222ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=u b u ab u a . ④ 将②、③、④代入①式左边，得①左⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂=2222224ηηξξu u u ()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂∂++∂∂+22222.12ηηξξu b u b a u a⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂+∂∂+222222225ηηξξu b u ab u a ()()()2222222512410121285124ηηξξ∂∂+++∂∂∂++++∂∂++=u b b u ab b a u a a 因此方程①化为()()()05124101212851242222222=∂∂+++∂∂∂++++∂∂++ηηξξu b b u ab b a u a a . ⑤因此要使①在变换下化为02=∂∂∂ηξu，必须 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.05124,0512422b b a a 解之得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,52,2b a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=-=,2,52b a 习题8.51.验证下列方程在指定点的邻域存在以x 为自变量的隐函数，并求dxdy. （1）4422y x y x +=+，在点()1,1；【解】令()4422,y x y x y x F --+=，则()342,x x y x F x -='，()342,y y y x F y -='，()01,1=F ，()()021,11,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程04422=--+y x y x在点()1,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，1=y 的函数()x y y =.由公式()()()()223321124242,,y y x x y y x x y x F y x F dx dy y x --=---=''-=. （2）xyy x arctan ln 22=+①，在点()0,1.【解】令()x y y x y x F arctan ln ,22-+=()xyy x arctan ln 2122-+=，则()⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='2222.112.1.21,x y x y x y x y x F x 22y x y x ++=； ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+='x x y y y x y x F y 1.112.1.21,22222y x x y +-=. ()00,1=F ，()()010,1,10,1≠-='='y x F F ，由隐函数存在定理知，方程0arctanln 22=-+xyy x 在点()0,1的某邻域内能唯一确定一个单值可导且当1=x 时，0=y 的函数()x y y =.由公式()()yx yx x y y x y x F y x F dx dy y x -+=-+-=''-=,,. 2.求下列方程所确定的隐函数()y x z z ,=的偏导数xz∂∂，y z ∂∂. （1）()0ln 22=+-xyz xyz xz ；【解】令()()xyz xyz xz z y x F ln 22,,+-=z y x xyz xz ln ln ln 22+++-=，则x yz z F x 122+-='；y xz F y 12+-='；zxy x F z 122+-='.所以zxy x x yz z F F x z zx 122122+-+--=''-=∂∂；z xy x y xz F F y z z y 12212+-+--=''-=∂∂. （2）()z y x f z +-=2.【解】令()()z z y x f z y x F -+-=2,,，则()z y x f F x +-'='2；()z y x f y F y +-'-='22；()12-+-'='z y x f F z .所以()()122-+-'+-'-=''-=∂∂z y x f z y x f F F x z z x ()()zy x f zy x f +-'-+-'=221； ()()1222-+-'+-'--=''-=∂∂z y x f z y x f y F F y z z y ()()1222-+-'+-'=z y x f zy x f y . 3.设()y x z z ,=满足方程03333=-++axyz z y x ，求22xz∂∂.【解】令()axyz z y x z y x F 3,,333-++=，则ayz x F x 332-='；axy z F z 332-='.所以a x y z a y z x F F x z z x 333322---=''-=∂∂a x y z x a y z --=22. ① 所以=∂∂22x z ()()()222222a x yz ay x z z x ayz axy z x x z ay -⎪⎭⎫⎝⎛-∂∂---⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂【代入①】()()()2222222222.axyz ay axy z x ayz z x ayz axy z x axy z x ayz ay -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=()()[]()()()()[]()3222222222axy zaxy z ay x ayz z x ayz axy z axy zx x ayz ay ----------=()()323312a x yza z xy --=.4.设函数()z y x f u ,,=可微，其中()()x z z x y y ==,由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 确定，求dx du . 【解】方程组⎪⎩⎪⎨⎧==,,xyxze z e y 两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y e dx dz dx dz x z e dx dy xy xz 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=,,dx dy x y z dxdz dx dz x z y dx dy解得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=.11,1122yzx xz yz dx dz yz x xy yz dx dy所以，由全导数公式得 dx dz f dx dy f f dx du z y x ..'+'+'= ()()z y x f yzx xz yz f yz x xy yz f '-++'-++'=.11.1122. 5.求曲面4:=+zy zx e e S ①在点()1,2ln ,2ln 0M 处的切平面方程.【解】令()4,,-+=zy z xe e z y x F ，则z xx e z F 1='；z yy e z F 1='；z yz xz e zye z x F 22--='.曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}()||1,2ln ,2ln 22,1,1,,0⎭⎬⎫⎩⎨⎧--='''=z yz x z y z x M z y x e z ye z x e z e z F F F {}2ln 4,2,2-=.所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为()()().012ln 42ln 22ln 2=---+-z y x 即 ()02ln 422=-+z y x .8.求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++Γ,04532,03:222z y x x z y x ①在点()1,1,10M 处的切线方程与法平面方程.【解法一】方程组两边关于x 求导【并注意到()()x z z x y y ==,】得⎩⎨⎧='+'-=-'+'+.0532,03222z y z z y y x ②将点()1,1,10M 代入②式有()()()()⎩⎨⎧='+'-=-'+'.015132,011212z y z y ③由③式解得 ()()1611,1691-='='z y . 故Γ在点()1,1,10M 处的切向量为()(){}{}1,9,16||161,169,11,1,1-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=''=z y s 切. 所以，Γ在点()1,1,10M 处的切线方程L 为1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【解法二】（一）先求03:222=-++x z y x S 在点()1,1,10M 处的切平面方程. 令()x z y x z y x F 3,,222-++=，则32-='x F x ；y F y 2='；z F z 2='. 曲面S 在点0M 处的切平面的法向量为 {}{}(){}2,2,12,2,32,,||1,1,10-=-='''=z y x F F F n M z y x .所以，曲面S 在点0M 处的切平面方程为 ()()()012121.1=-+-+--z y x ，即 0322=-++-z y x . （二） Γ在点()1,1,10M 处的切线方程为⎩⎨⎧=-+-=-++-,04532,0322:z y x z y x L若进一步化L 为点向式，则为 1191161--=-=-z y x . ()1,1,10M 处的法平面方程为()()()01191.16=---+-z y x ，即 024916=--+z y x . 【注意】解法二的一般思路叙述如下：欲求曲线()()⎩⎨⎧==Γ,0,,,0,,:z y x G z y x F 在其上某点()0000,,z y x M 处的切线方程.首先分别求出曲面()0,,:1=z y x F S 在点0M 处的切线平面01111=+++D z C y B x A . ①及曲面()0,,:2=z y x G S 在点0M 处的切线平面02222=+++D z C y B x A . ② 然后将方程①、②联立即为Γ在0M 处的切线方程.即⎩⎨⎧=+++=+++Γ.0,0:22221111D z C y B x A D z C y B x A请同学们思考此解法的理论依据是什么？10.设函数()y x z z ,=由方程0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x F ① 所确定，且F 为可微函数，求dz .【解】由①得0,,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛x z z y y x dF由微分形式的不变性，有0...321=⎪⎭⎫⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'x z d F z y d F y x d F 即01.1.1.232221=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-'+⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-'dz x dx x zd F dz z y dy z d F dy y x dx y F 于是有dy F z F y x dx F y F x z dz F z y F x .111212`132223'-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'=⎪⎭⎫⎝⎛'-' 所以得223212`1321.11F zy F x dyF z F y x dx F y F x z dz '-''-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎪⎭⎫⎝⎛'-'=. 习题8.62.求133223++-=xy y x x z 在点()1,31M 处从1M 到()5,62M 的方向的方向导数. 【解】{}4,321==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==54,530h .()12363||1,3221=+-=∂∂y xy x x z M ；()963||1,3221-=+-=∂∂xy x y z M . {}().0549531254,53.9,121=⨯-+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂M h3.求xyz u =在点()2,1,51M 处从1M 到()14,4,92M 的方向的方向导数. 【解】{}12,3,421==M M，⎭⎬⎫⎩⎨⎧==1312,133,1340h .()2||2,1,51==∂∂yz x u M ；()10||2,1,51==∂∂xz y u M ，()5||2,1,51==∂∂xy zuM . {}.1398131251331013421312,133,134.5,10,21=⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=M4.求()()222321ln ,,z y x z y x f +++=在点()1,1,20M 处的梯度. 【解】()523212||1,1,22220=+++=∂∂z y x x x f M ； ()523214||1,1,22220=+++=∂∂z y x y y f M ； ()533216||1,1,22220=+++=∂∂z y x z z f M . 所以，()⎭⎬⎫⎩⎨⎧=53,52,521,1,2gradf .5.求22z xy u -=在()1,1,2-M 处方向导数的最大值. 【解】()22||1,1,2-==∂∂-y x u M ；()42||1,1,2==∂∂-x y u M ，()22||1,1,2-=-=∂∂-z z uM， 故 (){}2,4,21,1,2--=-g r a du ，所以方向导数的最大值为 ()()().622421,1,2222=-++-=-g r a d u6.求222z y x u ++=沿曲线()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===Γ,sin 6,,2:3t z t y t x ππ在点()0,1,2M 处的切线方向的方向导数.【解】()0,1,2M 点对应参数1=t .Γ在点()0,1,2M 处的切向量为()()(){}(){}{}6,3,2c o s6,3,2,,||121-=='''===t t t t t z t y t x h π.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==76,73,720h .()42||0,1,2==∂∂x x u M ；()22||0,1,2==∂∂y y u M ，()02||0,1,2==∂∂z xuM . 所以有{}.276073272476,73,72.0,2,4=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯+⨯+⨯=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂Mh9.设l 是曲面632:222=++z y x S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量，求zy x u 2286+=在A 点沿l 方向的方向导数. 【解】令()632,,222-++=z y x z y x F ，则x F x 4='；y F y 6='；z F z 2='.曲面S 在点()1,1,1A 处指向外侧的法向量为 {}{}(){}{}1,3,2||2,6,42,6,4,,||1,1,1=='''=z y x F F F Az y x ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧==141,143,1420l . ()146866||1,1,122=+=∂∂y x z x x u A ；()148868||1,1,122=+=∂∂y x z y y u A ；()1486||1,1,1222-=+-=∂∂z y x z uA .所以，().14,148,1461,1,1⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∂l ⎭⎬⎫⎩⎨⎧141,143,142()71114114143148142146=⨯-+⨯+⨯=. 习题8.71.求下列的极值：（1）()223333,y x y x y x f z --+==； 【解】（一）解方程组()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.063,,063,22y y y x f x x y x f y x ⎩⎨⎧==2,0,2,0y x 得四个驻点：()()()().2,2,0,2,2,0,0,04321P P P P（二）()()().66,,0,,66,-=''==''=-=''=y y x f C y x f B x y x f A yy xy xx.因为该函数不存在不可微点，故()00,0=f 为函数的极大值；()82,2-=f 为 函数的极小值.（2）x xy y x z 82322+-+=； 【解】（一）解方程组()()⇒⎩⎨⎧=-='=+-='.026,,0822,x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧-=-=26y x 故得唯一驻点：()2,60--P ；无不可微点.（二）()2,=''y x f xx，()2,-=''y x f xy ；()6,=''y x f yy .在()2,60--P 处，因为 ()022,6>=--''=xxf A ；()22,6-=--''=xy f B ；()62,6=--''=yy f C ， ()0826222>=--⨯=-=∆B AC ，故()242,6-=--f 为函数的极小值.（3）()()y y y x y x f ln 2,22++=； 【解】（一）解方程组()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++='=+='.0ln 12,,022,22y y x y x f y x y x f y x ⎩⎨⎧==-.,01e y x 故得唯一驻点：()10,0-e P ；无不可微点.（二）()224,y y x f xx+=''，()xy y x f xy 4,=''；()yx y x f yy 12,2+=''.在()10,0-e P 处， 因为()024,021>+=''=--e e f A xx；()0,01=''=-e f B xy ；()e ef C yy =''=-1,0， ()0024222>-⨯+=-=∆-e e B AC ，故()ee f 1,01-=-为函数的极小值.（4）()y y x e z x 222++=. 【解】（一）解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='.022,,01422,222y e y x f y y x e y x f xyx x ⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,21y x 故得唯一驻点：⎪⎭⎫⎝⎛-1,210P ；无不可微点.（二）()()124,22+++=''y y x e y x f x xx，()()44,2+=''y e y x f x xy ；()x yy e y x f 22,=''. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,210P 处，因为021,21>=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=e f A xx；01,21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=xy f B ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-''=1,21yy f C e 2=，002222>-⨯=-=∆e e B AC ，故21,21e f -=⎪⎭⎫⎝⎛-为函数的极小值.2.求下列的极值：（1）()22222,y x y x y x f -+=在区域(){}0,4|,22≥≤+=y y x y x D ； 【解】（一）内部 解方程组()()()()⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-='=-='.022,,012,22x y y x f y x y x f yx ⎩⎨⎧==.0,0y x ；⎩⎨⎧-=-=.1,2y x （舍）；⎩⎨⎧=-=.1,2y x ；⎩⎨⎧-==.1,2y x （舍）； ⎩⎨⎧==.1,2y x .因此得区域D 内三驻点：()0,01P 、()1,22-P 、()1,23P .计算得()00,0=f ，()21,2=±f . （二）边界1.在区域D 的边界[]()2,0422∈=+y y x 上，由于。
郑州工商学院高等数学教材
郑州工商学院高等数学教材高等数学是大学理工科专业的基础课程之一，也是培养学生逻辑思维和分析问题能力的关键学科。
作为郑州工商学院的高等数学教材，旨在帮助学生掌握高等数学的基本概念、理论和应用技巧，为他们的学术和职业发展奠定坚实基础。
Ⅰ. 高等数学教材的编写目的和原则高等数学教材的编写目的是为了培养学生的抽象思维、逻辑推理和问题解决能力。
在编写过程中，我们始终坚持以下原则：1. 系统性原则：按照知识的逻辑结构和发展规律进行编排，形成一个系统完整的知识体系。
2. 渐进性原则：循序渐进，由浅入深，使学生可以循序渐进地掌握和运用高等数学的知识和技巧。
3. 应用性原则：注重理论与实际应用的结合，通过案例分析和实际问题求解，使学生将理论知识应用于实际问题中。
4. 可读性原则：用通俗易懂的语言，结合具体例子，进行生动形象的解释和阐述，增加学生对知识的兴趣和理解。
Ⅱ. 高等数学教材的组织结构该教材共分为六个主要章节，包括微积分、多元函数微积分、无穷级数、常微分方程、概率论与数理统计、线性代数。
每个章节按照知识的难易程度和逻辑关系进行分节，内容有机衔接，有序推进。
1. 微积分微积分是高等数学的基础，本章从函数、极限和连续性开始，重点介绍了导数和微分、不定积分和定积分等内容。
通过大量的例题和习题，学生可以掌握微积分的基本概念和计算方法。
2. 多元函数微积分在本章中，我们介绍了多元函数的极限、连续性和偏导数，并探讨了多元函数积分与微分的关系。
此外，还包括了多元函数的重要应用，如梯度、拉格朗日乘数法等。
3. 无穷级数无穷级数是数学中的重要分支，本章重点介绍了数列和级数的概念、性质和收敛判别法，并深入讲解了常见函数的幂级数展开和泰勒级数的应用。
4. 常微分方程常微分方程是应用数学中的核心内容，本章主要涵盖了一阶常微分方程和二阶常微分方程的基本理论和求解方法。
学生通过学习本章的知识，可以解决与实际问题相关的常微分方程初值问题。
高等数学教材郑州大学答案
高等数学教材郑州大学答案第一章：导数与微分1.1 导数的概念及其计算方法1.2 导数的几何意义与应用1.3 高阶导数第二章：微分中值定理与导数的应用2.1 罗尔定理与拉格朗日中值定理2.2 高阶导数的应用2.3 函数的单调性与曲线的凹凸性2.4 函数的图形与曲线的渐近线第三章：不定积分3.1 原函数与不定积分3.2 换元积分法3.3 分部积分法3.4 有理函数的积分第四章：定积分4.1 定积分的概念与性质4.2 定积分的计算方法4.3 牛顿-莱布尼茨公式4.4 定积分的应用第五章：微分方程5.1 微分方程的基本概念5.2 可分离变量的微分方程5.3 齐次线性微分方程5.4 一阶线性微分方程5.5 高阶线性微分方程第六章：无穷级数与幂级数6.1 数项级数的概念6.2 正项级数的审敛法6.3 幂级数的概念与性质6.4 幂级数收敛半径的计算6.5 幂级数的展开与运算第七章：多元函数微分学7.1 二元函数的极限与连续性7.2 偏导数与全微分7.3 隐函数与参数方程7.4 多元函数的极值与条件极值7.5 二重积分的概念与计算方法第八章：空间解析几何与向量代数8.1 点、直线与平面的方程8.2 空间曲线的参数方程与切向量8.3 空间曲面的方程与法向量8.4 空间直线与平面的位置关系8.5 向量的基本运算与数量积第九章：多元函数积分学9.1 二重积分的概念与性质9.2 三重积分的概念与性质9.3 二重积分的计算方法9.4 三重积分的计算方法9.5 曲线、曲面积分与应用第十章：曲线积分与曲面积分10.1 第一类曲线积分10.2 第二类曲线积分10.3 第一类曲面积分10.4 第二类曲面积分10.5 牛顿-莱布尼茨公式再探第十一章：无穷级数的收敛性11.1 数项级数的审敛法11.2 幂级数的收敛性11.3 函数项级数的一致收敛性11.4 傅里叶级数第十二章：曲线与曲面积分的应用12.1 斯托克斯定理12.2 高斯公式12.3 曲线积分、曲面积分与物理应用12.4 一类重要的积分变换以上是《高等数学教材郑州大学答案》的大致内容框架，具体的答案请参考教材中的习题解析和题库。
郑州大学版高等数学（上册）第一章课后详解答案
1 习题1.11.求下列函数的定义域. （1）234y x x=-（2）2ln 3x y x -=-（3）24y x =-（4）11arcsin 33xy x-=+-解：（1）只要分母不为零即可，即0x ¹且4x ¹.定义域为(,0)(0,4)(4,)-¥+¥ （2）只要203x x ->-即可，故定义域为(2,3)（3）只要240x -³即可，故定义域为(,2][2,)-¥-+¥ （4）只要30x ->并且1113x --££即可，易解得定义域为[2,3)-2. 下列各对函数是否相同？为什么？（1）(),()1x f x g x x==；（2）3433(),()1f x x x g x x x =-=-. 解：（1）不同，因为定义域不同，()f x 的定义域为{|0,}x x x ¹Î ，而()g x 的定义域为全体实数. （2）相同，因为定义域相同，均为全体实数，对应法则也相同. 3. 求下列函数的反函数，并指出其定义域. （1）22(0)y x x =+³（2）31xy =-解：（1）由22y x =+可得222y x =+，故222x y =-，由于0x ³，所以22x y =-原函数的反函数为22y x =-，定义域为2x ³（2）由31x y =-可得13xy +=，所以3l o g (1)x y =+，故原函数的反函数为3log (1)y x =+，定义域为1x >-4. 判断下列函数的奇偶性（1）sin ()cos x xf x x x -=（2）2()ln(1)f x x x =++（3）1()ln 1xf x x-=+（4）()2x xa a f x -+=解：（1）由于sin()sin sin ()()cos()cos cos x x x x x x f x f x x x x xx x----+--====---，所以()f x 为偶函数.（注：其中用到了sin()sin ,cos()cos x x x x -=--=）（2）22221()ln(()1)ln(1)ln()ln(1)1f x x x x x x x x x-=-+-=+-==-++++()f x =-，所以()f x 为奇函数. （3）11()ln ln ()11x xf xf x x x+--==-=--+，所以()f x 为奇函数. （4）()()2xx a af x f x -+-==，所以()f x 为偶函数. 5.下列函数在指定区间内是否有界？下列函数在指定区间内是否有界？（1）21,(,1],(1,0)y x =-¥-- （2）2,(1,2),(2,)1y x =+¥-解：（1）在(,1]-¥-上，2101x <£，故有界；而在(1,0)-上，函数无上界，故无界. （2）在(1,2)上，函数无上界，故无界；而在(2,)+¥上，2021x <<-，故有界. 6. 将下列复合函数进行分解将下列复合函数进行分解（1）3sin (32)y x =+ （2）ln ln ln y x = （3）y x x =+ （4）2tan xy e=解：（1）3,sin ,32y u u t t x ===+ （2）ln ,ln ,ln y u u t t x === （3）,y u u x x ==+ （4）2,,tan uy e u t t x ===7. 已知2(1)3f x x x +=-，求(),(1)f x f x -解：令1x t +=，则1x t =-， 22(1)()(1)3(1)54f x f t t t t t +==---=-+， 由于函数与变量符号的选择无关，故2()54f x x x =-+22(1)(1)5(1)4710f x x x x x -=---+=-+8. 设1,||1,()0,||1,()1,||1xx f x x g x e x <ìï===íï->î，求[()],[()]f g x g f x解：当0x <时，0()1xg x e <=<，故[()]1f g x =，当0x =时，()1g x =，故[()]0f g x =， 当0x >时，()1xg x e =>，故，故 [()]1f g x =-. 当||1x <时，()1f x =，故[()]g f x e =，当||1x =时，()0f x =，故[()]1g f x =， 当||1x >时，()1f x =-，故1[()]g f x e=. 综上，1,0,[()]0,0,1,x f g x x x <ìï==íï->î 11,||1,[()]1,||1,,||1e e x gf x x x <ìï==íï>î9. 两个单调增加的函数的复合函数是否一定单调增加？它们的乘积又如何？两个单调增加的函数的复合函数是否一定单调增加？它们的乘积又如何？ 答：两个单调增加的函数的复合函数一定单调增加.但是乘积不一定但是乘积不一定设()y f u =与()u g x =能够复合，并且都是单调增的函数，即对任意的12x x <，都有，都有12()()g x g x <；对任意的12u u <，都有12()()f u f u <.特别对11()u g x =，22()u g x =，显然有12u u <，故12(())(())f g x f g x <，即证复合函数仍为单调增. 下面看乘积，例如()()f x g x x ==，显然在(,)-¥+¥都是单调增的，但是2()()f x g x x = 在(,)-¥+¥并不是单调增的，而()()xf xg x e ==，显然在(,)-¥+¥都是单调增的，都是单调增的，2()()xf xg x e = 仍在(,)-¥+¥上单调增. 10. 设()f x 是周期为p 的奇函数，当(0,]2x pÎ时，()sin cos 2f x x x =-+；当(,]2x pp Î时，求()f x 的表达式. 解：由于()f x 是周期为p 的函数，所以()(0)f f p =，又()f x 是奇函数，可知(0)0f =. 当(,0)2x pÎ-时，(0,)2x p -Î，由()f x 是奇函数可得()()(sin()cos()2)sin cos 2f x f x x x x x =--=----+=+- 当(,)2x pp Î时，(,0)2xpp -Î-，由s i n ()s i n ,c o s ()c o s x x x x p p -=--=-以及()f x周期为p ，可知()()sin()cos()2sin cos 2f x f x x x x x p p p =-=-+--=---综上可得sin cos 2,(,)()20,x x x f x x p p p ì---Îï=íï=î11. 设1()2y f t xx =-，且21|52x t y t ==-+，求()f x 解：由题即知211|(1)522x t y f t t ==-=-+，故2(1)210f t t t -=-+.令1t x -=，则，则1t x =+，22(1)()(1)2(1)109f t f x x x x -==+-++=+.所以2()9f x x =+ 12. 设(sin )1cos 2x f x =+，求(cos )2xf解：利用二倍角公式22cos 12sin 2cos 122x x x =-=-2(sin )1cos 22sin 22xx f x =+=-，令sin 2xt =，则2()22f t t =-.从而2(cos )22cos 1cos 22x x f x =-=-. 习题1.21. 从图象上观察并写出下列极限从图象上观察并写出下列极限 （1）0lim 2,lim 2,lim 2,lim 2x x xx x x x x ®®¥®-¥®+¥（2）130lim ln ,lim ln ,lim ln ,lim ln x x x x x x x x +®®+¥®® （3）02lim cos ,lim cos ,lim cos ,lim cos x xx x x x x x p ®®+¥®-¥®（4）1lim arctan ,lim arctan ,lim arctan ,lim arctan x x x x x x x x ®®+¥®-¥®¥解：图略. （1）0lim 21xx ®=，lim 2xx ®¥不存在，lim 20xx ®-¥=，lim 2xx ®+¥=+¥（也是不存在）（也是不存在）（2）1lim ln 0x x ®=，0lim ln x x +®=-¥（不存在），lim ln x x ®+¥=+¥（不存在），3lim ln ln 3x x ®= （3）0lim cos 1x x ®=，lim cos x x ®+¥不存在，lim cos x x ®-¥不存在，2lim cos 0x x p®= （4）1lim arctan 4x x p ®=，lim arctan 2x x p ®+¥=，lim arctan 2x x p ®-¥=-，lim arctan x x ®¥不存在. 2. 设函数21,0,()0,0,1,0x x f x x x x ì->ï==íï-<î求当0x ®时，函数的左、右极限，并说明当0x ®时函数的极限是否存在. 解：左极限00lim ()lim (1)1x x f x x --®®=-=，右极限200lim ()lim (1)1x x f x x ++®®=-=-，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x ®时函数的极限不存在. 3. 求函数||()x f x x=当0x ®时的左、右极限，并说明当0x ®时函数的极限是否存在. 解：左极限000||lim ()lim lim 1x x x x x f x x x ---®®®-===-，右极限000||lim ()lim lim 1x x x x x f x x x+++®®®===，由于左右极限都存在但是不相等，所以当0x ®时函数的极限不存在. 4. 设函数1,1,()0,1,1,1x x f x x x x +<ìï==íï->î求013lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x ®®® 解：当0x ®时，只关心离0很近的那些点，所以可以认为1x <，故00lim ()lim(1)1x x f x x ®®=+=当1x ®时，11lim ()lim(1)2x x f x x --®®=+=，11lim ()lim(1)0x x f x x ++®®=-=，左右极限都存在但是不相等，所以1lim ()x f x ®不存在. 当3x ®时，只关心离3很近的那些点，所以可以认为1x >，故33lim ()lim(1)2x x f x x ®®=-=. 5. 设2||lim arctan 3||2x ax x x bx x p ®¥+=--①，求,a b 的值. 解：解：（1）当x ®+¥时，可以认为0x >，故||x x =， 故=-++¥®x bx x ax x 32lim 3232lim -+=-++¥®b a x bx x ax x ，从而2.32arctan 32lim p -+=-++¥®b a x x bx x ax x ， 所以由①式，可知22.32p p -=-+b a ，即213a b +=--； ② （2）当x ®-¥时，可以认为0x <，故||x x =-， 故3232lim +-=+--¥®b a x bx x ax x ，从而÷øöçèæ-+-=+--¥®232arctan 32lim p b a x x bx xax x ，所以由①式，可知213a b -=+. 综上，可得方程组2323a b a b +=-ìí-=+î，解得32a b =ìí=-î. （注：lim arctan 2x x p ®+¥=，lim arctan 2x x p ®-¥=-） 6. 设2||()43||x x f x x x +=-.求：求：（1）lim ()x f x ®+¥；（2）lim ()x f x ®-¥；（3）0lim ()x f x +®；（4）0lim ()x f x -®；（5）0lim ()x f x ®. 解：由于23,0,2||43()2143||,0.437x x x x x x x f x x x x x x x x +ì=>ï+ï-==í--ï=<ï+î 故易得（1）lim ()3x f x ®+¥= （2）1lim ()7x f x ®-¥= （3）0lim ()3x f x +®= （4）01lim ()7x f x -®= （5）0lim ()x f x ®不存在（左右极限都存在但是不相等）. 习题1.31. 下列函数在自变量怎样的变化过程中为无穷小量？在怎样的变化过程中为无穷大量？ （1）242x y x -=-； （2）311y x =+； （3）21xy =-； （4）1xy e =解：（1）2422x y x x -==+-在2x =处无定义由22lim lim (2)0x xy x ®-®-=+=，可知此函数在2x ®-时为无穷小量；由lim lim(2)x x y x ®¥®¥=+=¥，可知此函数在x ®¥时为无穷大量. （2）311y x =+在1x =-处无定义.由31lim lim 01x x y x ®¥®¥==+，可知此函数在x ®¥时为无穷小量；由3111lim lim 1x x y x ®-®-==¥+，可知此函数在1x ®-时为无穷大量. （3）由00lim lim(21)0xx x y ®®=-=，可知此函数在0x ®时为无穷小量；由lim lim (21)xx x y ®+¥®+¥=-=+¥，可知此函数在x ®+¥时为无穷大量. （4）1xy e =在0x =处无定义.由100lim lim 0xx x y e --®®==，可知此函数在0x -®时为无穷小量；由100lim lim xx x y e ++®®==+¥，可知此函数在0x +®时为无穷大量. 2. 两个无穷小量的商是否为无穷小量？请举例说明. 答：不一定，比如说当0x ®时，2x 与2(2)x 都是无穷小量，2201lim 0(2)4x xx ®=¹，故不是无穷小量，又2x 与x 都是无穷小量，200lim lim 0x x xx x®®==，是无穷小量. 3. 求下列极限. （1）sin lim x x x ®¥； （2）2arctan lim x x x ®¥； （3）3113lim()11x x x ®---； （4）2211lim 23x x x x ®-+-（5）322lim()2121x x x x x ®¥-+-； （6）321lim 34x x x x ®¥--+； （7）342lim 1x x x x ®¥+-+； （8）33221lim 423x x x x ®¥++-； （9）11lim ()1nx x n x +®-Î-Z ； （10）0()lim ()nnx a x a n x +®+-ÎZ 解：（1）由于|sin |1x £，可知sin x 在(,)-¥+¥上为有界函数，而当x ®¥时，10x®，为无穷小量，有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量，故sin 1lim lim(sin )0x x xx x x®¥®¥== （2）由于|arctan |2x p<，可知arctan x 在(,)-¥+¥上为有界函数，而当x ®¥时，210x ®，为无穷小量，故22arctan 1lim lim(arctan )0x x x x x x®¥®¥== （3）2332111131323lim()lim()lim()111113x x x x x x x x x x x ®®®++-+-====---++ （通分，消元）（通分，消元） （4）22111121lim lim 23342x x x x x x x ®®-+===+-+ （5）3232222(21)(21)lim()lim 2121(21)(21)x x xxx x x x x x x x ®¥®¥--+-=+-+-3232lim 4221x x xx x x ®¥--=-+-23111lim 1114422x xx x x®¥--==--+- （6）322211lim lim 1134134x x x x x x x x x ®¥®¥--==¥-+-+ （7）3344411122lim lim 0111x x x x x x x x x®¥®¥+-+-==++ （8）33323122121lim lim 1142342423x x x x x x x x ®¥®¥++===+-+-（注：5，6，7，8类型相同，当x ®¥时，多项式的商的极限主要看分子分母的次数，分子次数大于分母次数，则极限为¥；分子次数小于分母次数，则极限为0；分子次数等于分母次数，极限为最高次项系数的商.做法见上）做法见上）（9）12121111(1)(1)lim lim lim(1)11nn n n n x x x x x xx xxn x x ----®®®--+++==+++=（10） 122200()lim lim n n n n n n n n x x a na x C a x x aa x a x x--®®++++-+-= 122210lim(())n n n n n x naC axx na----®=++=4. 设21lim 31x x ax b x ®++=-，求,a b 的值. 解：由于1lim(1)0x x ®-=，故21lim()0x x ax b ®++=，从而2x ax b ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x ax b x x c ++=-+，则1,a c b c =-=-.由极限211limlim ()1x x x ax b x c x®®++=-+- 13c =--=可知4c =-.故5,4a b =-=5. 设322()2ax bx cx df x x x +++=+-，满足：（1）lim ()1x f x ®¥=；（2）1lim ()0x f x ®=，求,a b ，,c d 的值. 解：由lim ()1x f x ®¥=可知分子次数等于分母次数，且此时极限为b ，故有0,1a b ==. 由1lim ()0x f x ®=，可知21lim()0x x cx d ®++=，从而2x cx d ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x cx d x x e ++=-+，则1,c e d e =-=-.由极限2211lim lim 22x x x cx d x e x x x ®®+++=+-+ 1012e +==+可知1e=-故2,1c d =-=. 6. 设()g x 在0x =的某邻域内有界，且(),0,()0,0.xg x x f x x ¹ì=í=î求0lim ()x f x ®. 解：()g x 在0x =的某邻域内有界，而当0x ®时x 为无穷小量，从而可知0lim ()0x f x ®=. 7. 设1lim ()x f x ®存在，且21()23lim ()x f x x x f x ®=+，求().f x 解：由题可知，只需求出1lim ()x f x ®即可，在21()23lim ()x f x x x f x ®=+两边同时求当1x ®时的极限21111lim ()lim(23lim ())23lim ()x x x x f x x x f x f x ®®®®=+=+，易解得1lim()1x f x ®=-，从而2()23f x x x =-. 习题1.41. 利用数列极限存在的准则Ⅰ，求下列极限. （1）222111lim()(1)()n nn n n ®¥+++++ （2）1lim nn n ®¥（3）22212lim()2n n n n n n ppp®¥++++++ （4）lim 123n n n n ®¥++解：（1）设222111(1)()n a nn n n =+++++ ，显然有2222222211111111()()()()nn n a n n n n n n n n n n n n ++=+++<<+++=++++ ，而，而 2211lim lim 0()n n n n n n n ®¥®¥++==+，由两边夹原理可知222111lim()0(1)()n n n n n ®¥+++=++ . （2）当1n >时，11nn >，令11nn n a -=，则显然0n a >.且由二项式公式有且由二项式公式有2(1)(1)12nn n n n n n n n a na a a -=+=++++ ，故2(1)2n n n n a ->，从而201n a n <<-. 而2lim 01n n ®¥=-，不等式左边常数也是0，由两边夹原理可知lim 0n n a ®¥=，从而1lim 1nn n ®¥=. （3）设222122n na n n n n p p p=++++++ ，显然有22222222(1)1212(1)2()2()n n n n n n n an n n n n n n n n n n n p p p p p p p p ++=+++<<+++=++++++++ 而22(1)(1)1lim lim 2()2()2n n n n n n n n n p p ®¥®¥++==++，由两边夹原理可知222121lim()22n n n n n n ppp ®¥+++=+++ . （4）显然312333nnnnnnn<++< ，而lim 3lim 333n n n nn n ®¥®¥==，由两边夹原理可知lim 1233n n nn ®¥++=. 2. 利用数列极限存在的准则Ⅱ，求下列数列的极限求下列数列的极限 （1）2,22,222,+++ ； （2）1103,(3)n n n x x x x +<<=-（3）111,(),(,0)2n n nbx a x x a b +==+>. 解：（1）显然数列为单调增的，设122a =<，222222a =+<+=，依次得322222a a =+<+=，归纳可得2n a <.即数列有上界，由单调有界原理可知此数列有极限，不妨设为a .对12n n a a +=+两端同时取极限，可得2a a =+，解得2a =或者1a =-（显然不可能）.故数列极限为2. （2）（i ）当132x =时，2113(3)2x x x =-=，依次可得32n x =，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为32. （ii ）当132x ¹时，利用几何算术平均值不等式可知1121133(3)22x x x x x +-=-<=，依次可得302n x <<（1n >）.而131211n n n x x x+=->-=（1n >），故此数列除了1x 以外，均为单调增加的，且有界.由单调有界原理可知数列2{}n n x ¥=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为a .对1(3)n n n x x x +=-两端同时取极限，可得(3)a a a =-，解得32a =或者0a=（显然不可能）.故数列极限为32. 综合（i ）（ii ）可知数列极限为32. （3）（i ）当1x a b ==时，2111()2bx x b x =+=，依次可得n x b =，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为b . （ii ）当1x b ¹时，利用几何算术平均值不等式可知211111()2b bx x x b x x =+>= ，依次可得n x b >（1n >）而11()02n n n n b x x x x +-=-<（1n >），故此数列除了1x 以外，均为单调减小的，且有下界b .由单调有界原理可知数列2{}n n x ¥=有界，而数列的极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为A .对11()2n n nb x x x+=+两端同时取极限，可得1()2bA A A=+，解得A b =或者A b =-（显然不可能）.故数列极限为b . 综合（i ）（ii ）可知数列极限为b . 3. 若lim nn x a ®¥=，证明：lim ||||n n x a ®¥=. 证明：由lim n n x a ®¥=，可知对0e ">，都0N $>，当n N >时，就有||n x a e -<.从而当n N >时，||||||n n x a x a e -£-<，由定义可知lim ||||n n x a ®¥=. （注：此结论对函数极限也同样成立，即“若lim ()x f x A®·=，则lim |()|||x f x A ®·=”.反过来不对.但是有“若lim |()|0x f x ®·=，则lim ()0x f x ®·=”，对数列也成立.） 4. 对于数列{}nx ，若212lim lim k k k k x x a -®¥®¥==，证明：lim n n x a ®¥=. 证明：第一种证法，用几何意义来说（不严格）.由212lim lim k k k k x x a -®¥®¥==可知，对0e ">，数列21{}k x -中落在区间(,)a a e e -+外的只有有限多项，数列2{}k x 中落在区间(,)a a e e -+外的也只有有限多项.而对于数列{}n x 来说，来说，其中的项不在数列其中的项不在数列21{}k x -之中就在数列2{}k x 之中，从而落在区间(,)a a e e -+外的也只有有限多项.由几何意义即知lim n n x a ®¥=. 第二种证法：用极限定义.由21lim k k x a -®¥=，可知对0e ">，都10K $>，当1k K >时，就有21||k x a e --<.由2lim k k x a ®¥=，可知对上述的0e >，都20K $>，当2k K >时，就有2||k x a e -<.令12max{,}K K K =，2N K =，则当n N >时，有||n x a e -<.由定义可知lim n n x a ®¥=.习题1.51. 求下列各极限. （1）0sin 5lim x x x ® （2）0sinlim (0)sin x ax b bx ®¹ （3）30tan sin lim x x x x ®- （4）1lim sin x x x ®¥ （5）lim(1)mx x k x ®¥- （6）22lim()1x x x x ®¥++ (7) cot 0lim(13tan )x x x ®- (8) 111lim(32)x x x -®- （9）2sin 0lim(1)x x x ®+ （10）lim tan n x n n ®¥ （11）11lim(sin cos )x x x x®¥+ （12）2sec 2lim(1cos )x x x p®- 解：（1）0sin 5sin 5lim lim(5)55x x x x xx®®==（2）0sin sin lim lim()sin sin x x ax axbx ax a bxax bx bx b®®==（3）23200022sin tan sin sin 1cos sin 112lim lim()lim()cos cos 24()2x x x xx x x x x x x x x x x x ®®®--=== （4）1sin 1lim sin lim 11x x x x xx®¥®¥== （当x ®¥时，10t x =®）（5）令xt k =-，则mx mkt =-，且当x ®¥时，t ®¥，所以11lim(1)lim(1)lim[(1)]mxmkt t mk mk x t t k e x t t---®¥®¥®¥-=+=+= （6）2221lim()lim(1)11x xx x x x x ®¥®¥+=+++，令1t x =+，则1x t =-，且当x ®¥时，t ®¥，所以22(1)2222111lim()lim(1)lim[(1)](1)1xt t x ttx e x tt t--®¥®¥®¥+=+=++=+ （7）令3tan t x =-，则3cot x t =-，且当0x ®时，0t ®.所以所以31cot 33lim(13tan )lim(1)lim[(1)]xtt x t t x t t e ---®®®-=+=+= （8）111111lim(32)lim[13(1)]x x x x x x --®®-=+-，令3(1)t x =-，则当1x ®时，0t ®，所以，所以1313311lim(32)lim(1)lim[(1)]xtt x t t x t t e ----®®®-=+=+= （9）2122sin sin 00lim(1)lim[(1)]xxx xx x x x e ®®+=+= （10）因为00tan sin 1lim lim 1cos x x x x x x x®®== ，由数列极限与函数极限的关系可知1tan 1lim lim tan 11n n n n n n ®¥®¥==，从而当0x ¹时，tanlim tan lim n n x x n n x xx n n®¥®¥==当0x =时，lim tan 0n x n n ®¥=.综合可知lim tann xn x n ®¥=. （11）1111lim(sin cos )lim[1(sincos 1)]x xx x x xx x®¥®¥+=++- 11(sin cos 1)111sin cos 111lim [1(sin cos 1)]x x xx xx x x +-+-®¥ìüïï=++-íýïïîþ，令11sincos 1t x x=+-，则当x ®¥时，0t ®，又1111lim (sincos 1)lim sin lim (cos1)x x x x x x xx x x®¥®¥®¥+-=+- 2111sin cos 12()2lim lim 1lim 1111x x x x x x xxx ®¥®¥®¥--=+=+=，故11lim(sin cos )xx e x x®¥+=. （12）令cos t x =-，则22sec x t =-，且当2x p ®时，0t ®，所以，所以212sec 222lim(1cos )lim(1)lim[(1)]xtt t t x x t t e p---®®®-=+=+=. 2. 求下列各极限. （1）011lim x x xx ®+-- （2）lim (11)x x x ®+¥+-- （3）0sin 4lim 11x x x ®+- （4）22220lim (,0)x x m m m n x n n ®+->+- （5）01lim []x x x +® （6）22limcos 2sin x x x x ®+¥+ （7）lim (ln(1)ln )x x x x ®+¥+- （8）0lim cos xx x +®. 解：（1）00011(11)(11)2lim lim lim1(11)11x x x x x x x x x x x x x x x®®®+--+--++-===++-++- （2）22lim (11)lim lim 0111111x x x x x x x x x x®+¥®+¥®+¥+--===++-++-（3）0sin 4sin 4(11)sin 4(11)lim lim lim 11(11)(11)x x x x x x x x x x x x ®®®++++==+-+-++sin 4lim 4(11)84x xx x ®=++=（4）222222222200()2lim lim 2()x x x m m x x n n n nm m x n n x x m m ®®+-++===+-++ （分子分母同时有理化）（分子分母同时有理化）（5）讨论0x +®时函数的极限时，我们只关心那些离0很近的正数，不妨设01x <<，有11x>，故1111[]x x x -<£，不等式三边同时乘以x ，不改变不等号的方向，故有111(1)[]1x x x x x x -<£=，而001lim (1)lim (1)1x x x x x++®®-=-=，不等式右边为常数1，由两边夹原理可知01lim []1x x x+®=. （6）利用函数的性质可知22211ln(cos 2sin )ln(1sin )22cos 2sin x x x xxxx x ee+++==，其中20ln(1sin )ln 2x £+£，2ln(1sin )x +为有界函数，而当x ®+¥时，10x ®，为无穷小量，故21lim ln(1sin )0x x x®+¥+=.从而可得220lim cos 2sin 1xx x x e ®+¥+== （7）111lim (ln(1)ln )lim ln lim ln(1)lim ln[(1)]ln 1xx x x x x x x x x x e x x x ®+¥®+¥®+¥®+¥++-==+=+== （8）11000lim cos lim (cos )lim[1(cos 1)]xxxx x x x x x +++®®®==+-1c o s 1c o s 10l i m {[1(c os 1)]}x x xx x +--®=+-，而2222sin2sincos1122limlim lim 24()2x x x x xx xxx +++®®®---===-，故12lim cos xx x e +-®=. 习题1.61. 比较下列无穷小的阶. （1） 当0x ®时，323x x +与sin x （2） 当1x ®-时，1x +与31x +（3） 当0x ®时，3tan x x x +与(1cos )x x + （4） 当0x ®时，211x +-与211x -- 解：（1）由于3232200033lim lim lim(3)0sin x x x x x x xx x xx®®®++==+=，故323x x +是sin x 的高阶无穷小. （2）由于3211111lim lim 113x x x xx x ®-®-+==+-+，故1x +是31x +的同阶无穷小. （3）由于33tan tan lim lim lim 0(1cos )(1cos )(1cos )x x x x x xx xxx x x x x x ®®®+=+=+++，故3tan x x x+是(1cos )x x +的高阶无穷小. （4）由于2222220011(11)lim lim 111(11)x x x x x xx x ®®+-+-==--++，故211x +-与211x --是等价无穷小. 2. 证明：当0x ®时，时，（1） x x 21~1+； （2）322(tan )x x o x +=证明：（1）由于001lim(11)lim 02x x x x ®®+-==，从而要证x x 21~1+只需计算极限即可.011lim lim 111(11)22x x x x xx x ®®+-==++，由定义即知x x 21~1+. （2）由于3200lim(2)lim tan 0x x x x x ®®+==，从而要证322(tan )x x o x +=只需计算极限即可. 3232200022lim lim lim(2)0tan x x x x x x xx x x x ®®®++==+=，由定义即知322(tan )x x o x +=. 3. 利用极限的运算法则和无穷小的有关性质求下列极限. （1）21lim cos 1xx e x ®-- （2）21lim sin 1x x x x ®¥+ （3）311lim tan x x xx®+-- （4）sin 01lim ln(13)xx e x ®-+ （5）201cos lim x kx x ®- （6）01tan 1tan lim 1x x x x e ®+--- （7）3321tan 1limsin 1x x x ®-- （8）2013sin coslim(1cos )tan x x x x x x ®++ （9）011lim tan x x x +®+- （10）31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x®¥+-+. 解：（1）22021lim lim 21cos 12xx x e xx x ®®-==---（2）222211lim sin lim lim 111x x x x x x x x x x x x®¥®¥®¥===+++ （x ®¥时，10x ®，所以11sin x x ） （3）333000011(11)(11)1111lim lim lim lim tan tan tan tan x x x x x x x x x x x x x x®®®®+--+----+---==- （由()x xa a~1+）001111532lim lim 236x x xx x x ®®-=-=+=（4）sin 001sin 1lim lim ln(13)33xx x e x x x ®®-==+ （5）222220001()1cos 1cos 2lim lim lim 4(1cos )(1cos )x x x kx kx kx k x x kx x kx ®®®--===++ （6）001tan 1tan 2tan lim lim 1(1tan 1tan )x x x x x xe x x x ®®+--=-++- 02lim 1(1tan 1tan )x xx x x ®==++-，其中第一步用到了有理化. （7）33333322111tan 1111lim lim lim 12sin 11x x x x x x x x ®®®--===+-- （8）22201113sin cos3sin coscos 3sin lim limlimlim (1cos )tan (1cos )(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx x®®®®++==+++++01cos33lim 2(1cos )2x x x x ®=+=+，其中第二项中，01lim cos 0x x x ®= （无穷小乘以有界函数仍为无穷小）穷小）（9）00111lim lim 2tan (11)x x x x x x x ++®®+-==++ （10）3131lim [sin ln(1)sin ln(1)]lim sin ln(1)lim sin ln(1)x x x x x x x x x x®¥®¥®¥+-+=+-+3131lim ln(1)lim ln(1)lim lim 312x x x x x x x x x x x x®¥®¥®¥®¥=+-+=-=-= 习题1.71. 讨论函数2,01,()2,1 2.x x f x x x 죣=í-<£î 在1x =处的连续性. 解：由于211lim ()lim 1(1)x x f x x f --®®===，故()f x 在1x =处左连续，又11lim ()lim(2)1(1)x x f x x f ++®®=-==，故()f x 在1x =处右连续，因此()f x 在1x =处连续. 2. 求函数23()6x f x x x +=+-的连续区间，并求极限2lim ()x f x ®、3lim ()x f x ®-、0lim ()x f x ®. 解：由于()f x 为初等函数，所以()f x 在(,3)-¥-、(3,2)-和(2,)+¥上都连续. 2lim ()x f x ®=¥，2333311lim ()lim lim 625x x x x f x x x x ®-®-®-+===-+--，031lim ()62x f x ®==-- 3. 讨论下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）21()2f x x x =+- （2）sinx y x =（3）21()cos f x x= （4）112xy =解：（1）由于()f x 为初等函数，故只有两个间断点，1x =和2x =-，而221211lim lim 22x x x x x x ®®-==¥+-+-，所以这两个都是第二类间断点. （2）由于sin xy x=为初等函数，故只在sin 0x =处间断，从而间断点为x k p =（k ÎZ ）.当0k =时，0lim 1sin x x x ®=，故0x =为可去间断点；当0k ¹时，lim sinx k x x p ®=¥，故x k p =（0k ¹）为第二类间断点. （3）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而当0x ®时()f x 的左右极限都不存在，故0x =为第二类间断点. （4）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而11lim 2x x-®=¥（当0x -®时，1x®-¥，120x®），故0x =为第二类间断点为第二类间断点 4.已知函数24,0,(),0,2,0x x f x a x x b x ì+<ïï==íï+>ïî在0x =处连续，求a与b 的值. 解：由于()f x 在0x =处连续，故()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，从而2lim ()lim 42lim ()lim(2)x x x x f x x a f x x b b--++®®®®=+====+=，即得2a b ==. 5. 证明：方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根. 证明：令5()31f x x x =--，显然()f x 在[1,2]上连续.又(1)13130f =--=-<，5(2)23213261250f =--=--=> ，由零点定理可知(1,2)x $Î，使得()0f x =即方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根. 6. 证明：方程3sin x x =在区间(,)2p p内至少有一个实根. 证明：令()3sin f x x x =-，显然()f x 在[,]2p p上连续.又()3sin 302222f p p p p=-=->，()3sin 0f p p p p =-=-<，由零点定理可知(,)2px p $Î，使得()0f x =.即方程3sin x x =在区间(,)2pp 内至少有一个实根. 7. 确定,a b 的值，使下式成立. （1）21lim ()01x x ax b x ®+¥+--=+ （2）2lim (1)0x x x ax b ®-¥-+--=. 解：（1）由221(1)()1lim ()lim011x x x a x a b x bax b x x ®+¥®+¥+--++---==++可知分子次数小于分母次数，从而10a -=，0a b +=故1a =，1b =-. （2）由22222(1)(12)1lim (1)lim 1x x a x ab x b x x ax b x x ax b®-¥®-¥--++--+--=-+++ 2221(1)(12)(1)lim 01111x a x ab b x a bx x x®-¥--++-==--+++可知21a=（若21a ¹，则极限为¥）且1a ¹（若1a =，则极限不能确定），因此1a =-.并且120ab +=，故12b =. 8. 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，且()a f x b ££，证明：必存在点[],c a b Î，使得()f c c =. 证明：令()()F x f x x =-，显然()F x 在区间[],a b 上连续，()()0F a f a a =-³，()()0F b f b b =-£. （i ） 若()0F a =，取c a =即得. （ii ） 若()0F b =，取c b =即得. （iii ）若()F a 与()F b 都不等于0，则有()()0F a F b < ，由零点定理可知(,)c a b $Î，使得()0F c =，即()f c c =. 综合（i ）（ii ）（iii ）可得必存在点,c a b ，使得()f c c =. 复习题11. 已知2()x f x e =，[()]1f x x j =-，且()0x j ³，求()x j 并写出它的定义域. 解：2()[()]1x f x ex j j ==-，故2()ln(1)x xj =-，而()0x j ³，所以()ln(1)x x j =-，其定义域为(,0]-¥. 2. 设函数1,0,()1,0.x f x x ³ì=í-<î 2,0,()1,0.x x g x x x ì³=í-<î 求[()]f g x ，[()]g f x . 解：当0x ³时，2()0g x x =³ ，所以[()]1f g x =；当0x <时，()10g x x =->，所以[()]1f g x =.因此[()]1f g x º. 当0x ³时，()10f x =³ ，所以2[()]11g f x ==；当0x <时，()10f x =-<，所以[()]1(1)2g f x =--=.因此1,0,[()]2,0.x g f x x ³ì=í<î. 3. （1）设()f x 定义在区间(,)l l -内，判断函数1()[()()]2F x f x f x =+-与1()[()()]2G x f x f x =--的奇偶性；的奇偶性；（2）证明：定义在区间(,)l l -内的任何函数()f x 都可以表示为一个偶函数与一个奇函都可以表示为一个偶函数与一个奇函 数之和. 解：（1）由11()[()(())][()()]()22F x f x f x f x f x F x -=-+--=-+=可知()F x 为偶函数；由1()[()()]()2G x f x f x G x -=--=-，可知()G x 为奇函数. （2）显然()()()f x F x G x =+，故得证. 4. 设函数()f x 在(,)-¥+¥内有定义，()g x 是()f x 的反函数，求()2xyf =及(21)y f x =+的反函数. 解：由()2xy f =可得()2xg y =，故2()x g y =，所以()2xy f =的反函数为2()y g x =；由(21)y f x =+可得21()x g y +=，故()12g y x -=，所以(21)y f x =+的反函数为()12g x y -=. 5. 求下列极限. 。
大学高等数学第七版下册教材
大学高等数学第七版下册教材高等数学是大学数学的重要组成部分，旨在培养学生的数学思维和分析解决问题的能力。
大学高等数学第七版下册教材，作为教学的重要参考资料，系统地介绍了数学的基础理论和方法，具有较强的实用性和普适性。
一、教材概述大学高等数学第七版下册教材由几个部分组成，包括微积分、多元函数、微分方程等内容。
通过系统的编排和相互关联的章节，使学生能够逐步深入地掌握数学的基本概念与方法。
二、微积分微积分是大学高等数学的重要内容，也是数学分析的基础。
教材从微分和积分的基本概念开始介绍，包括极限、导数、微分、不定积分等内容。
通过理论的讲解和大量的例题，使学生了解微积分的核心思想和应用方法。
三、多元函数多元函数是微积分的重要拓展和应用，也是现代数学和科学的基础。
教材详细介绍了多元函数的概念、性质和常用方法，包括偏导数、方向导数、梯度、多元函数的极值等内容。
通过数学公式的推导和实际问题的应用，培养学生对多元函数的理解和运用能力。
四、微分方程微分方程是数学与物理、工程等领域的重要工具，也是应用数学的重要分支。
教材系统地介绍了常微分方程的基本理论和解题方法，包括一阶常微分方程和二阶常微分方程等内容。
通过具体问题的阐述和解答，培养学生对微分方程的建模和求解能力。
五、教学特点大学高等数学第七版下册教材在编写过程中，注重理论与实践的结合，旨在使学生灵活运用数学知识解决实际问题。
教材中的例题和习题设计细致入微，既包含基础的训练，又兼顾拓展应用，有助于学生巩固所学内容并培养批判性思维。
六、结语大学高等数学第七版下册教材是一本系统、权威的大学数学教材，为广大理工类专业学生提供了一种全面学习高等数学的方法和途径。
通过系统、深入地学习，学生不仅可以掌握数学的基础理论与方法，还能够应用数学解决实际问题，提高自己的数学思维能力和创新能力。
希望广大学生能够充分利用教材，努力学习，提升自己的数学水平。
郑州大学版高等数学(上册)第一章课后详解答案
习题1、11. 求下列函数得定义域、 （1） 234y x x =- （2）2ln 3x y x-=-（3） y =（4）1arcsin3xy -=解：（1）只要分母不为零即可，即0x ≠且4x ≠、定义域为(,0)(0,4)(4,)-∞+∞（2）只要203x x->-即可，故定义域为(2,3) （3）只要240x -≥即可，故定义域为(,2][2,)-∞-+∞ （4）只要30x ->并且1113x--≤≤即可，易解得定义域为[2,3)- 2、 下列各对函数就是否相同？为什么？ （1）(),()1xf xg x x==；（2）()()f x g x ==、解：（1）不同，因为定义域不同，()f x 得定义域为{|0,}x x x ≠∈，而()g x 得定义域为全体实数、（2）相同，因为定义域相同，均为全体实数，对应法则也相同、 3、 求下列函数得反函数，并指出其定义域、（1）(0)y x ≥ （2）31x y =-解：（1）由y =222y x =+，故222x y =-，由于0x ≥，所以x =原函数得反函数为y =，定义域为x ≥（2）由31xy =-可得13xy +=，所以3log (1)x y =+，故原函数得反函数为3log (1)y x =+，定义域为1x >-4、 判断下列函数得奇偶性（1）sin ()cos x xf x x x-=（2）())f x x =（3）1()ln 1xf x x-=+ （4）()2x x a a f x -+=解：（1）由于sin()sin sin ()()cos()cos cos x x x x x xf x f x x x x x x x----+--====---，所以()f x 为偶函数、（注：其中用到了sin()sin ,cos()cos x x x x -=--=）（2）())))f x x x x -====-()f x =-，所以()f x 为奇函数、（3）11()lnln ()11x xf x f x x x+--==-=--+，所以()f x 为奇函数、 （4）()()2x xa a f x f x -+-==，所以()f x 为偶函数、 5、下列函数在指定区间内就是否有界？（1）21,(,1],(1,0)y x =-∞-- （2）2,(1,2),(2,)1y x =+∞-解：（1）在(,1]-∞-上，2101x<≤，故有界；而在(1,0)-上，函数无上界，故无界、（2）在(1,2)上，函数无上界，故无界；而在(2,)+∞上，2021x <<-，故有界、6、 将下列复合函数进行分解（1）3sin (32)y x =+ （2）ln ln ln y x = （3）y =（4）2tan x y e =解：（1）3,sin ,32y u u t t x ===+ （2）ln ,ln ,ln y u u t t x === （3）y u x ==+（4）2,,tan uy e u t t x ===7、 已知2(1)3f x x x +=-，求(),(1)f x f x -解：令1x t +=，则1x t =-， 22(1)()(1)3(1)54f x f t t t t t +==---=-+， 由于函数与变量符号得选择无关，故2()54f x x x =-+22(1)(1)5(1)4710f x x x x x -=---+=-+8、 设1,||1,()0,||1,()1,||1xx f x x g x e x <⎧⎪===⎨⎪->⎩，求[()],[()]f g x g f x解：当0x <时，0()1xg x e <=<，故[()]1f g x =，当0x =时，()1g x =，故[()]0f g x =， 当0x >时，()1xg x e =>，故 [()]1f g x =-、当||1x <时，()1f x =，故[()]g f x e =，当||1x =时，()0f x =，故[()]1g f x =， 当||1x >时，()1f x =-，故1[()]g f x e=、 综上，1,0,[()]0,0,1,0x f g x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩ 1,||1,[()]1,||1,,||1ee x gf x x x <⎧⎪==⎨⎪>⎩9、 两个单调增加得函数得复合函数就是否一定单调增加？它们得乘积又如何？ 答：两个单调增加得函数得复合函数一定单调增加、但就是乘积不一定设()y f u =与()u g x =能够复合，并且都就是单调增得函数，即对任意得12x x <，都有12()()g x g x <；对任意得12u u <，都有12()()f u f u <、特别对11()u g x =，22()u g x =，显然有12u u <，故12(())(())f g x f g x <，即证复合函数仍为单调增、下面瞧乘积，例如()()f x g x x ==，显然在(,)-∞+∞都就是单调增得，但就是2()()f x g x x =在(,)-∞+∞并不就是单调增得，而()()xf xg x e ==，显然在(,)-∞+∞都就是单调增得，2()()x f x g x e =仍在(,)-∞+∞上单调增、10、 设()f x 就是周期为π得奇函数，当(0,]2x π∈时，()sin cos 2f x x x =-+；当(,]2x ππ∈时，求()f x 得表达式、解：由于()f x 就是周期为π得函数，所以()(0)f f π=，又()f x 就是奇函数，可知(0)0f =、当(,0)2x π∈-时，(0,)2x π-∈，由()f x 就是奇函数可得()()(sin()cos()2)sin cos 2f x f x x x x x =--=----+=+-当(,)2x ππ∈时，(,0)2x ππ-∈-，由sin()sin ,cos()cos x x x x ππ-=--=-以及()f x周期为π，可知()()sin()cos()2sin cos 2f x f x x x x x πππ=-=-+--=---综上可得sin cos 2,(,)()20,x x x f x x πππ⎧---∈⎪=⎨⎪=⎩11、 设1()2y f t x x=-，且21|52x t y t ==-+，求()f x解：由题即知211|(1)522x t y f t t ==-=-+，故2(1)210f t t t -=-+、令1t x -=，则1t x =+，22(1)()(1)2(1)109f t f x x x x -==+-++=+、所以2()9f x x =+12、 设(sin )1cos 2x f x =+，求(cos )2x f解：利用二倍角公式22cos 12sin2cos 122x x x =-=-、2(sin )1cos 22sin 22x x f x =+=-，令sin 2x t =，则2()22f t t =-、从而2(cos )22cos 1cos 22x x f x =-=-、 习题1、21. 从图象上观察并写出下列极限（1）0lim2,lim 2,lim 2,lim 2xxxxx x x x →→∞→-∞→+∞（2）130limln ,lim ln ,lim ln ,limln x x x x x x x x +→→+∞→→ （3）02limcos ,lim cos ,lim cos ,lim cos x x x x x x x x π→→+∞→-∞→（4）1limarctan ,lim arctan ,lim arctan ,limarctan x x x x x x x x →→+∞→-∞→∞解：图略、（1）0lim21xx →=，lim 2xx →∞不存在，lim 20xx →-∞=，lim 2xx →+∞=+∞（也就是不存在）（2）1limln 0x x →=，0lim ln x x +→=-∞（不存在），lim ln x x →+∞=+∞（不存在），3limln ln 3x x →= （3）0limcos 1x x →=，lim cos x x →+∞不存在，lim cos x x →-∞不存在，2lim cos 0x x π→=（4）1limarctan 4x x π→=，lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-，limarctan x x →∞不存在、2、 设函数21,0,()0,0,1,0x x f x x x x ⎧->⎪==⎨⎪-<⎩求当0x →时，函数得左、右极限，并说明当0x →时函数得极限就是否存在、解：左极限0lim ()lim(1)1x x f x x --→→=-=，右极限2lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=-=-，由于左右极限都存在但就是不相等，所以当0x →时函数得极限不存在、 3、 求函数||()x f x x=当0x →时得左、右极限，并说明当0x →时函数得极限就是否存在、解：左极限000||lim ()lim lim 1x x x x x f x x x ---→→→-===-，右极限000||lim ()lim lim 1x x x x xf x x x+++→→→===，由于左右极限都存在但就是不相等，所以当0x →时函数得极限不存在、4、 设函数1,1,()0,1,1,1x x f x x x x +<⎧⎪==⎨⎪->⎩求013lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→→解：当0x →时，只关心离0很近得那些点，所以可以认为1x <，故0lim ()lim(1)1x x f x x →→=+=当1x →时，11lim ()lim(1)2x x f x x --→→=+=，11lim ()lim(1)0x x f x x ++→→=-=，左右极限都存在但就是不相等，所以1lim ()x f x →不存在、当3x →时，只关心离3很近得那些点，所以可以认为1x >，故33lim ()lim(1)2x x f x x →→=-=、5、 设2||lim arctan 3||2x ax x x bx x π→∞+=--①，求,a b 得值、解：（1）当x →+∞时，可以认为0x >，故||x x =， 故=-++∞→xbx x ax x 32lim3232lim-+=-++∞→b a x bx x ax x ，从而2.32arctan 32lim π-+=-++∞→b a x x bx x ax x ，所以由①式，可知22.32ππ-=-+b a ，即213a b +=--； ② （2）当x →-∞时，可以认为0x <，故||x x =-，故3232lim+-=+--∞→b a x bx x ax x ，从而⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+--∞→2.32arctan 32lim πb a x x bx x ax x ， 所以由①式，可知213a b -=+、 综上，可得方程组2323a b a b +=-⎧⎨-=+⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩、（注：lim arctan 2x x π→+∞=，lim arctan 2x x π→-∞=-）6、 设2||()43||x x f x x x +=-、求：（1）lim ()x f x →+∞；（2）lim ()x f x →-∞；（3）0lim ()x f x +→；（4）0lim ()x f x -→；（5）0lim ()x f x →、 解：由于23,0,2||43()2143||,0.437x xx x x x xf x x x x x x x x +⎧=>⎪+⎪-==⎨--⎪=<⎪+⎩故易得（1）lim ()3x f x →+∞= （2）1lim ()7x f x →-∞=（3）0lim ()3x f x +→= （4）01lim ()7x f x -→= （5）0lim ()x f x →不存在（左右极限都存在但就是不相等）、习题1、31、 下列函数在自变量怎样得变化过程中为无穷小量？在怎样得变化过程中为无穷大量？（1）242x y x -=-； （2）311y x =+； （3）21xy =-； （4）1x y e =解：（1）2422x y x x -==+-在2x =处无定义、由22lim lim(2)0x x y x →-→-=+=，可知此函数在2x →-时为无穷小量；由lim lim(2)x x y x →∞→∞=+=∞，可知此函数在x →∞时为无穷大量、（2）311y x =+在1x =-处无定义、由31lim lim 01x x y x →∞→∞==+，可知此函数在x →∞时为无穷小量；由3111lim lim 1x x y x →-→-==∞+，可知此函数在1x →-时为无穷大量、（3）由0lim lim(21)0xx x y →→=-=，可知此函数在0x →时为无穷小量；由lim lim (21)x x x y →+∞→+∞=-=+∞，可知此函数在x →+∞时为无穷大量、（4）1xy e =在0x =处无定义、由1lim lim 0xx x y e --→→==，可知此函数在0x -→时为无穷小量；由1lim lim xx x y e ++→→==+∞，可知此函数在0x +→时为无穷大量、 2、 两个无穷小量得商就是否为无穷小量？请举例说明、答：不一定，比如说当0x →时，2x 与2(2)x 都就是无穷小量，2201lim0(2)4x x x →=≠，故不就是无穷小量，又2x 与x 都就是无穷小量，200lim lim 0x x x x x →→==，就是无穷小量、 3、 求下列极限、（1）sin lim x x x →∞； （2）2arctan lim x x x →∞； （3）3113lim()11x x x →---； （4）2211lim 23x x x x →-+-（5）322lim()2121x x x x x →∞-+-； （6）321lim 34x x x x →∞--+； （7）342lim 1x x x x →∞+-+；（8）33221lim 423x x x x →∞++-； （9）11lim()1n x x n x +→-∈-； （10）0()lim ()n nx a x a n x+→+-∈解：（1）由于|sin |1x ≤，可知sin x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，10x→，为无穷小量，有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量，故sin 1lim lim(sin )0x x x x x x→∞→∞==（2）由于|arctan |2x π<，可知arctan x 在(,)-∞+∞上为有界函数，而当x →∞时，210x →，为无穷小量，故22arctan 1lim lim(arctan )0x x x x x x →∞→∞==（3）2332111131323lim()lim()lim()111113x x x x x x x x x x x →→→++-+-====---++ （通分，消元） （4）22111121lim lim 23342x x x x x x x →→-+===+-+ （5）3232222(21)(21)lim()lim 2121(21)(21)x x x x x x x x x x x x →∞→∞--+-=+-+-3232lim 4221x x x x x x →∞--=-+-23111lim 1114422x x x x x→∞--==--+-（6）322211limlim 1134134x x x x x x x x x →∞→∞--==∞-+-+（7）3344411122lim lim 0111x x x x x x x x x→∞→∞+-+-==++ （8）33323122121lim lim 1142342423x x x x x x x x→∞→∞++===+-+-（注：5，6，7，8类型相同，当x →∞时，多项式得商得极限主要瞧分子分母得次数，分子次数大于分母次数，则极限为∞；分子次数小于分母次数，则极限为0；分子次数等于分母次数，极限为最高次项系数得商、做法见上）（9）12121111(1)(1)limlim lim(1)11n n n n n x x x x x x x x x n x x ----→→→--+++==+++=--（10） 122200()limlim n n n n nn nn x x a na x C a x x a a x a x x--→→++++-+-=122210lim(())n n n n n x na C a x x na ----→=++=4、 设21lim31x x ax bx→++=-，求,a b 得值、 解：由于1lim(1)0x x →-=，故21lim()0x x ax b →++=，从而2x ax b ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x ax b x x c ++=-+，则1,a c b c =-=-、由极限211lim lim ()1x x x ax b x c x→→++=-+-13c =--=可知4c =-、故5,4a b =-=5、 设322()2ax bx cx df x x x +++=+-，满足：（1）lim ()1x f x →∞=；（2）1lim ()0x f x →=，求,a b ，,c d 得值、解：由lim ()1x f x →∞=可知分子次数等于分母次数，且此时极限为b ，故有0,1a b ==、由1lim ()0x f x →=，可知21lim()0x x cx d →++=，从而2x cx d ++可被1x -整除，不妨设2(1)()x cx d x x e ++=-+，则1,c e d e =-=-、由极限2211lim lim 22x x x cx d x ex x x →→+++=+-+1012e+==+可知1e =-、故2,1c d =-=、 6、 设()g x 在0x =得某邻域内有界，且(),0,()0,0.xg x x f x x ≠⎧=⎨=⎩ 求0lim ()x f x →、解：()g x 在0x =得某邻域内有界，而当0x →时x 为无穷小量，从而可知0lim ()0x f x →=、 7、 设1lim ()x f x →存在，且21()23lim ()x f x x x f x →=+，求().f x解：由题可知，只需求出1lim ()x f x →即可，在21()23lim ()x f x x x f x →=+两边同时求当1x →时得极限、21111lim ()lim(23lim ())23lim ()x x x x f x x x f x f x →→→→=+=+，易解得1lim ()1x f x →=-，从而2()23f x x x =-、习题1、41. 利用数列极限存在得准则Ⅰ，求下列极限、（1）222111lim()(1)()n n n n n →∞+++++ （2）1lim n n n →∞ （3）22212lim()2n n n n n n πππ→∞++++++ （4）n 解：（1）设222111(1)()n a n n n n =+++++，显然有2222222211111111()()()()nn n a n n n n n n n n n n n n ++=+++<<+++=++++，而 2211limlim 0()n n n n n n n →∞→∞++==+，由两边夹原理可知222111lim()0(1)()n n n n n →∞+++=++、 （2）当1n >时，11nn >，令11nn n a -=，则显然0n a>、且由二项式公式有2(1)(1)12n n n n n n n nn a na a a -=+=++++，故2(1)2n n n n a ->，从而0n a << 而0n =，不等式左边常数也就是0，由两边夹原理可知lim 0n n a →∞=，从而1lim 1nn n →∞=、（3）设222122n na n n n n πππ=++++++，显然有22222222(1)1212(1)2()2()n n n n n n n a n n n n n n n n n n n n ππππππππ++=+++<<+++=++++++++而22(1)(1)1limlim 2()2()2n nn n n n n n n ππ→∞→∞++==++，由两边夹原理可知222121lim()22n n n n n n πππ→∞+++=+++、 （433n <<，而333nnn ==，由两边夹原理可知3n=、2. 利用数列极限存在得准则Ⅱ，求下列数列得极限 （1； （2）1103,n x x +<<=（3）111,(),(,0)2n n nbx a x x a b x +==+>、解：（1）显然数列为单调增得，设12a=<，22 a=<=，依次得32a=<=，归纳可得2na<、即数列有上界，由单调有界原理可知此数列有极限，不妨设为a、对1na+=a=2a=或者1a=-（显然不可能）、故数列极限为2、（2）（i）当132x=时，232x==，依次可得32nx=，故此数列为常数数列，显然极限存在，且为32、（ii）当132x≠时，利用几何算术平均值不等式可知1123322x xx+-=<=，依次可得32nx<<（1n>）、而11nnxx+=>=（1n>），故此数列除了1x以外，均为单调增加得，且有界、由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列得极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为a、对1nx+可得a=32a=或者0a=（显然不可能）、故数列极限为32、综合（i）（ii）可知数列极限为32、（3）（i）当1x a==时，2111()2bx xx=+=nx=、（ii）当1x≠211111()2b bx x x bx x=+>=，依次可得nx>1n>）、而11()02n n nnbx x xx+-=-<（1n>），故此数列除了1x以外，、由单调有界原理可知数列2{}n nx∞=有界，而数列得极限与前有限项无关，故原数列极限也存在，不妨设为A、对11()2n nnbx xx+=+两端同时取极限，可得1()2bA AA=+，解得A=或者A=、综合（i）（ii、3、 若lim n n x a →∞=，证明：lim ||||n n x a →∞=、证明：由lim n n x a →∞=，可知对0ε∀>，都0N ∃>，当n N >时，就有||n x a ε-<、从而当n N >时，||||||n n x a x a ε-≤-<，由定义可知lim ||||n n x a →∞=、（注：此结论对函数极限也同样成立，即“若lim ()x f x A →•=，则lim |()|||x f x A →•=”、反过来不对、但就是有“若lim |()|0x f x →•=，则lim ()0x f x →•=”，对数列也成立、）4、 对于数列{}n x ，若212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==，证明：lim n n x a →∞=、证明：第一种证法，用几何意义来说（不严格）、由212lim lim k k k k x x a -→∞→∞==可知，对0ε∀>，数列21{}k x -中落在区间(,)a a εε-+外得只有有限多项，数列2{}k x 中落在区间(,)a a εε-+外得也只有有限多项、而对于数列{}n x 来说，其中得项不在数列21{}k x -之中就在数列2{}k x 之中，从而落在区间(,)a a εε-+外得也只有有限多项、由几何意义即知lim n n x a →∞=、第二种证法：用极限定义、由21lim k k x a -→∞=，可知对0ε∀>，都10K ∃>，当1k K >时，就有21||k x a ε--<、由2lim k k x a →∞=，可知对上述得0ε>，都20K ∃>，当2k K >时，就有2||k x a ε-<、令12max{,}K K K =，2N K =，则当n N >时，有||n x a ε-<、由定义可知lim n n x a →∞=、习题1、51. 求下列各极限、 （1）0sin 5limx x x → （2）0sin lim (0)sin x ax b bx →≠ （3）30tan sin lim x x x x →- （4）1lim sinx x x→∞ （5）lim(1)mx x k x→∞- （6）22lim()1x x x x →∞++ (7) cot 0lim(13tan )x x x →- (8) 111lim(32)xx x -→- （9）2sin 0lim(1)xx x →+ （10）lim tan n x n n →∞（11）11lim(sin cos )x x x x →∞+ （12）2sec 2lim(1cos )x x x π→- 解：（1）00sin 5sin 5limlim(5)55x x x xx x→→==（2）00sin sin limlim()sin sin x x ax ax bx ax abx ax bx bx b→→==（3）23200022sin tan sin sin 1cos sin 112limlim()lim()cos cos 24()2x x x x x x x x x x x x x x x x→→→--=== （4）1sin1lim sin lim11x x x x x x→∞→∞== （当x →∞时，10t x =→） （5）令xt k =-，则mx mkt =-，且当x →∞时，t →∞，所以11lim(1)lim(1)lim[(1)]mx mkt t mk mk x t t k e x t t---→∞→∞→∞-=+=+= （6）2221lim()lim(1)11x xx x x x x →∞→∞+=+++，令1t x =+，则1x t =-，且当x →∞时，t →∞，所以22(1)2222111lim()lim(1)lim[(1)](1)1x t t x t t x e x t t t--→∞→∞→∞+=+=++=+（7）令3tan t x =-，则3cot x t=-，且当0x →时，0t →、所以31cot 33000lim(13tan )lim(1)lim[(1)]xtt x t t x t t e ---→→→-=+=+=（8）111111lim(32)lim[13(1)]xxx x x x --→→-=+-，令3(1)t x =-，则当1x →时，0t →，所以131331100lim(32)lim(1)lim[(1)]xtt x t t x t t e ----→→→-=+=+=（9）2122sin sin 0lim(1)lim[(1)]x xx xx x x x e →→+=+=（10）因为00tan sin 1limlim 1cos x x x x x x x →→==，由数列极限与函数极限得关系可知1tan 1limlim tan 11n n n n n n →∞→∞==，从而当0x ≠时，tan lim tan lim n n x x n n x x xn n→∞→∞== 当0x =时，lim tan 0n x n n →∞=、综合可知lim tan n xn x n →∞=、（11）1111lim(sin cos )lim[1(sin cos 1)]x xx x x x x x→∞→∞+=++-11(sin cos 1)111sin cos 111lim [1(sin cos 1)]x x xx x x x x +-+-→∞⎧⎫⎪⎪=++-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，令11sincos 1t x x=+-，则当x →∞时，0t →，又1111lim (sincos 1)lim sin lim (cos 1)x x x x x x x x x x →∞→∞→∞+-=+-2111sin cos 12()2lim lim 1lim1111x x x x x x x x x→∞→∞→∞--=+=+=，故11lim(sin cos )x x e x x→∞+=、 （12）令cos t x =-，则22sec x t =-，且当2x π→时，0t →，所以212sec 2202lim(1cos )lim(1)lim[(1)]xtt t t x x t t e π---→→→-=+=+=、2、 求下列各极限、 （1）0limx x → （2）lim x →+∞ （3）0x →（4）0(,0)x m n →> （5）01lim[]x x x +→ （6）lim x （7）lim (ln(1)ln )x x x x →+∞+- （8）0lim x +→解：（1）0lim1x x x x →→→=== （2）lim limlim0x x x →+∞===（3）0x x x →→→== 0sin 4lim 4(11)84x xx x→=++=（4）022x x n nm m→→=== （分子分母同时有理化） （5）讨论0x +→时函数得极限时，我们只关心那些离0很近得正数，不妨设01x <<，有11x >，故1111[]x x x -<≤，不等式三边同时乘以x ，不改变不等号得方向，故有111(1)[]1x x x x x x -<≤=，而001lim (1)lim(1)1x x x x x++→→-=-=，不等式右边为常数1，由两边夹原理可知01lim []1x x x+→=、 （622211ln(cos 2sin )ln(1sin )x x x xxee++==，其中20ln(1sin )ln 2x ≤+≤，2ln(1sin )x +为有界函数，而当x →+∞时，10x→，为无穷小量，故21limln(1sin )0x x x→+∞+=、从而可得0lim 1x e ==（7）111lim (ln(1)ln )lim ln lim ln(1)lim ln[(1)]ln 1x x x x x x x x x x x e x x x→+∞→+∞→+∞→+∞++-==+=+==（8）110lim )lim[11)]x xx x x +++→→→==+lim{[1x +→=+，而220002sin 2sin 12lim lim lim 2x x x x +++→→→--===-，故120lim x e +-→=、习题1、61. 比较下列无穷小得阶、（1） 当0x →时，323x x +与sin x （2） 当1x →-时，1x +与31x +（3） 当0x →时，3tan x x x +与(1cos )x x + （4） 当0x →1与1解：（1）由于3232200033limlim lim(3)0sin x x x x x x x x x x x→→→++==+=，故323x x +就是sin x 得高阶无穷小、 （2）由于3211111limlim 113x x x x x x →-→-+==+-+，故1x+就是31x +得同阶无穷小、 （3）由于33000tan tan limlim lim 0(1cos )(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x x →→→+=+=+++，故3tan x x x +就是(1cos )x x +得高阶无穷小、（4）由于201x x →→==1与1就是等价无穷小、2. 证明：当0x →时，（1）x x 21~1+； （2）322(tan )x x o x += 证明：（1）由于0011)lim 02x x x →→==，从而要证x x 21~1+只需计算极限即可、01limlim 1111)22x x x x x →→==，由定义即知x x 21~1+、 （2）由于32lim(2)lim tan 0x x x x x →→+==，从而要证322(tan )x x o x +=只需计算极限即可、3232200022lim lim lim(2)0tan x x x x x x x x x x x→→→++==+=，由定义即知322(tan )x x o x +=、 3、 利用极限得运算法则与无穷小得有关性质求下列极限、（1）201lim cos 1x x e x →-- （2）21lim sin 1x x x x→∞+ （3）0x →（4）sin 01lim ln(13)x x e x →-+ （5）201lim x x → （6）0lim 1x x e →- （7）1x → （8）2013sin coslim(1cos )tan x x x x x x →++ （9）0lim x +→ （10）31lim [sin ln(1)sin ln(1)]x x x x→∞+-+、解：（1）220021limlim 21cos 12x x x e x x x →→-==--- （2）222211limsin lim lim 111x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞===+++ （x →∞时，10x →，所以11sin xx） （3）00001)1)11lim lim lim lim tan tan tan tan x x x x x x x x→→→→-==-（由()x x αα~1+）001111532lim lim 236x x x xx x →→-=-=+=（4）sin 001sin 1limlim ln(13)33x x x e x x x →→-==+ （5）2201()4x x x kx k →→→=== （6）00x x →→=1x →==，其中第一步用到了有理化、（7）11x x x →→→=== （8）22200001113sin cos3sin cos cos3sin limlim lim lim (1cos )tan (1cos )(1cos )(1cos )x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x →→→→++==+++++ 01cos33lim2(1cos )2x x x x →=+=+，其中第二项中，01lim cos 0x x x→= （无穷小乘以有界函数仍为无穷小） （9）001lim lim 2x x ++→→==（10）3131lim [sin ln(1)sin ln(1)]lim sin ln(1)lim sin ln(1)x x x x x x x x x x→∞→∞→∞+-+=+-+3131lim ln(1)lim ln(1)lim lim 312x x x x x x x x x x x x→∞→∞→∞→∞=+-+=-=-= 习题1、71、 讨论函数2,01,()2,1 2.x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩ 在1x =处得连续性、解：由于211lim ()lim 1(1)x x f x x f --→→===，故()f x 在1x =处左连续，又11lim ()lim(2)1(1)x x f x x f ++→→=-==，故()f x 在1x =处右连续，因此()f x 在1x =处连续、 2、 求函数23()6x f x x x +=+-得连续区间，并求极限2lim ()x f x →、3lim ()x f x →-、0lim ()x f x →、解：由于()f x 为初等函数，所以()f x 在(,3)-∞-、(3,2)-与(2,)+∞上都连续、2lim ()x f x →=∞，2333311lim ()limlim 625x x x x f x x x x →-→-→-+===-+--，031lim ()62x f x →==-- 3、 讨论下列函数得间断点，并指出间断点得类型、 （1）21()2f x x x =+- （2）sin x y x= （3）21()cosf x x= （4）112xy = 解：（1）由于()f x 为初等函数，故只有两个间断点，1x =与2x =-，而221211limlim 22x x x x x x →→-==∞+-+-，所以这两个都就是第二类间断点、（2）由于sin xy x=为初等函数，故只在sin 0x =处间断，从而间断点为x k π=（k ∈）、当0k =时，0lim 1sin x x x →=，故0x =为可去间断点；当0k ≠时，lim sin x k xxπ→=∞，故x k π=（0k ≠）为第二类间断点、 （3）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而当0x →时()f x 得左右极限都不存在，故0x =为第二类间断点、（4）由于()f x 为初等函数，故只在0x =处间断，而101lim 2x x-→=∞（当0x -→时，1x→-∞，120x→），故0x =为第二类间断点 4、已知函数0,(),0,2,0x f x a x x b x <==⎨⎪+>⎪⎩在0x =处连续，求a 与b 得值、解：由于()f x 在0x =处连续，故()f x 在0x =处既就是左连续又就是右连续，从而lim ()lim 2lim ()lim (2)x x x x f x a f x x b b --++→→→→=====+=，即得2a b ==、 5、 证明：方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根、证明：令5()31f x x x =--，显然()f x 在[1,2]上连续、又(1)13130f =--=-<，5(2)23213261250f =--=--=>，由零点定理可知(1,2)ξ∃∈，使得()0f ξ=、即方程531x x -=在区间(1,2)内至少有一个实根、 6、 证明：方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根、证明：令()3sin f x x x =-，显然()f x 在[,]2ππ上连续、又()3sin 302222f ππππ=-=->，()3sin 0f ππππ=-=-<，由零点定理可知(,)2πξπ∃∈，使得()0f ξ=、即方程3sin x x =在区间(,)2ππ内至少有一个实根、7、 确定,a b 得值，使下式成立、（1）21lim ()01x x ax b x →+∞+--=+ （2）lim )0x ax b →-∞-=、解：（1）由221(1)()1lim ()lim 011x x x a x a b x bax b x x →+∞→+∞+--++---==++可知分子次数小于分母次数，从而10a -=，0a b +=、故1a =，1b =-、 （2）由222lim )limx x ax b →-∞-=221(1)(12)(1)lim0x a x ab b --++-==可知21a =（若21a ≠，则极限为∞）且1a ≠（若1a =，则极限不能确定），因此1a =-、并且120ab +=，故12b =、 8、 设函数()f x 在区间[],a b 上连续，且()a f x b ≤≤，证明：必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =、证明：令()()F x f x x =-，显然()F x 在区间[],a b 上连续，()()0F a f a a =-≥，()()0F b f b b =-≤、（i ） 若()0F a =，取c a =即得、 （ii ） 若()0F b =，取c b =即得、（iii ）若()F a 与()F b 都不等于0，则有()()0F a F b <，由零点定理可知(,)c a b ∃∈，使得()0F c =，即()f c c =、综合（i ）（ii ）（iii ）可得必存在点[],c a b ∈，使得()f c c =、复习题11. 已知2()x f x e =，[()]1f x x ϕ=-，且()0x ϕ≥，求()x ϕ并写出它得定义域、解：2()[()]1x f x e x ϕϕ==-，故2()ln(1)x x ϕ=-，而()0x ϕ≥，所以()x ϕ=，其定义域为(,0]-∞、2. 设函数1,0,()1,0.x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 2,0,()1,0.x x g x x x ⎧≥=⎨-<⎩ 求[()]f g x ，[()]g f x 、解：当0x ≥时，2()0g x x =≥ ，所以[()]1f g x =；当0x <时，()10g x x =->，所以[()]1f g x =、因此[()]1f g x ≡、当0x ≥时，()10f x =≥ ，所以2[()]11g f x ==；当0x <时，()10f x =-<，所以[()]1(1)2g f x =--=、因此1,0,[()]2,0.x g f x x ≥⎧=⎨<⎩、 3. （1）设()f x 定义在区间(,)l l -内，判断函数1()[()()]2F x f x f x =+-与 1()[()()]2G x f x f x =--得奇偶性；（2）证明：定义在区间(,)l l -内得任何函数()f x 都可以表示为一个偶函数与一个奇函 数之与、 解：（1）由11()[()(())][()()]()22F x f x f x f x f x F x -=-+--=-+=可知()F x 为偶函数；由1()[()()]()2G x f x f x G x -=--=-，可知()G x 为奇函数、 （2）显然()()()f x F x G x =+，故得证、4、 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义，()g x 就是()f x 得反函数，求()2x y f =及(21)y f x =+得反函数、解：由()2x y f =可得()2x g y =，故2()x g y =，所以()2xy f =得反函数为2()y g x =； 由(21)y f x =+可得21()x g y +=，故()12g y x -=，所以(21)y f x =+得反函数为()12g x y -=、5、 求下列极限、（1）21111lim()3153541n n →∞++++-；（2）()()()nxx x n 22111lim +++∞→ ，（||1x <）；（3）2lim coscos cos222n n x xx →∞； （4）n ； （5）1402sin lim()||1xx xe x x e →+++； （6）20lim(cot )sin x x e x x→-； （7）0)xx π+→； （8）10lim()x x x x e →+、解：（1）2111111111111(1)31535412335572121n n n ++++=-+-+-++---+ 11(1)221n =-+，故21111111lim()lim (1)31535412212n n n n →∞→∞++++=-=-+、（2）()()()1111lim 22<+++∞→x xx x nn因()()()()()()()[]xxxx x x x xx x n nn--=-+++-=++++111111.1111122222，故()()()xx x x x x n nn n -=--=++++∞→∞→1111lim 111lim 1222 、（注意到当||1x <时，12lim 0n n x +→∞=） （3）当0x ≠时，n n x x x x 2sin 2cos 2cos 2cos 2 nn nn n x x x x x 2sin 22sin 2cos 2cos 2cos 22 =nnx x2sin 2sin =故=∞→n n n x x x x 2sin 2cos 2cos 2cos lim 2 n n n x x 2sin 2sin lim ∞→x xx x nn n sin 2.2sin lim ==∞→； 当0x =时，12sin 2cos 2cos 2cos lim 2=∞→n n n xx x x 、综合可知⎪⎩⎪⎨⎧=≠=∞→.0,1,0,sin 2sin 2cos 2cos 2cos lim 2xx x xxx x x n n n（4≤，以及1n n ==，由两边夹原理可知1n =、（5）114130002sin 21sin lim ()lim lim 1||1xxx x x x x xex e xx xe e e +++-→→→-+++=+=++，（10lim x x e +→=∞）11440002sin 2sin lim()lim lim 211||11x xx x x x xex e xx x e e---→→→+++=+=-=-++（10lim 0x x e -→=） 左右极限都存在并且相等，所以1402sin lim()1||1xx xe xx e→++=+、 （6）222000cos (cos 1)(1)lim(cot )lim lim sin sin x x x x x x e x e x e x x x x→→→-----==2200001cos 1122lim lim lim lim 2xx x x x x x e x x x x x→→→→---=-=-=-、 （7）0lim)lim x xxxx x e eπππ+→++→→==，而20000112lim lim lim lim 2x x x x x x πππ++++→→→→-====-从而2)xx e ππ+-→=（8）0111ln()lim ln()0lim()lim x x x x e x e x xxxx x x e ee→++→→+==，而000001ln[1(1)]11lim ln()lim lim lim lim 2x x x xx x x x x x e x e x e x e x x x x x→→→→→++-+--+===+=，从而120lim()x xx x e e →+=、6、 （1）如果数列{}n x ，{}n y 都发散，问数列{}n n x y +就是否发散？ （2）如果数列{}n x 收敛，{}n y 发散，问数列{}n n x y 就是否一定发散？答：（1）不一定，比如{}{}{}n n x n y ==都发散，{}{2}n n x y n +=也发散、又{}{}n x n =与{}{}n y n =-都发散，但就是{}{0}n n x y +=为常数列显然收敛、（2）也不一定、比如1{}{}n x n=收敛，{}{}n y n =发散，{}{1}n n x y =为常数列显然收敛；再比如1{}{}n x n=收敛，2{}{}n y n =发散，{}{}n n x y n =发散、7、 （1）证明不等式()())2(12126.4.2125.3.121≥+<-<n n n n n 、 （2）计算(21)!!lim(2)!!n n n →∞-，其中()()()().26.4.2!!2,125.3.1!!12n n n n =-=-证明：（1）一方面，()()221245.23.2126.4.2125.3.1--=-n n n n n ，上述连乘式中除了第一项以外，其余每一项都大于1，故()()nn n 2126.4.2125.3.1>- ；另一方面，又223.1<，245.3<，，2(21)(21)(2)n n n -+<，由此可得()[]()12.125.3.12+-n n ()()()()()[]12.127.5.5.3.3.1+-=n n().26.4.22222n <从而有()()12126.4.2125.3.12+<⎥⎦⎤⎢⎣⎡-n n n ，两边开方即得 ()())2(12126.4.2125.3.1≥+<-n n n n 、不等式得证、（2）由（1）中得不等式可知()()12126.4.2125.3.121+<-<n n n n ，而1lim02n n n →∞==，由两边夹原理可知(21)!!lim0(2)!!n n n →∞-=、8、 设10x >，13(1)3n n nx x x ++=+（1,2,n =），证明数列{}n x 收敛，并求其极限值、解：（i）若1x =1213(1)3x x x +===+n x =常数列，显然数列{}n x（ii）若1x12113(1)63333x x x x +==->-=++6()33f x x =-+在(0,)+∞上为单调增），23223(1)63333x x x x +==->-=++归纳得n x >213(1)3033n n n n n n nx x x x x x x ++--=-=<++，即数列为单调减小得数列，且，由单调有界原理可知数列{}n x 收敛，不妨设其极限值为a ，在13(1)3n n nx x x ++=+两边同时取极限，可得3(1)3a a a+=+，解得a =a =（iii）若1x <12113(1)63333x x x x +==-<-=++6()33f x x =-+在(0,)+∞上为单调增），23223(1)63333x x x x +==-<=++归纳得n x <、又213(1)3033n n n n n n nx x x x x x x ++--=-=>++，即数列为单调增加得数列，且，由单调有界原理可知数列{}n x 收敛，不妨设其极限值为a ，在13(1)3n n nx x x ++=+两边同时取极限，可得3(1)3a a a+=+，解得a =a =综合（i ）（ii ）（iii ）可知数列{}n x、9、 设函数2122()lim 1n n n x ax bx f x x -→∞++=+连续，求常数,a b 得值、解：当||1x <时，221lim lim 0nn n n xx-→∞→∞==，从而21222()lim 1n n n x ax bx f x ax bx x -→∞++==++；当||1x >时，2lim nn x →∞=∞，从而21223222211111()lim lim 11n n n n n n n abx ax bxx x f x x x x x---→∞→∞-++++===++当1x =时，21221()lim 12n n n x ax bx a b f x x -→∞++++==+ 当1x =-时，21221()lim 12n n n x ax bx a b f x x -→∞++--==+、由于()f x 在1x =与1x =-处都连续，故112112a b a b a b a b ++⎧+==⎪⎪⎨--⎪-=-=⎪⎩，易解得01a b =⎧⎨=⎩、10、 设函数2(2)(2)()lim x tx tt x e f x x e --→+∞=+（0x >），求()f x 得间断点与连续区间，并指出间断点得类型、解：当02x <<时，20x -<，从而(2)lim 0x tt e-→+∞=，故2(2)(2)()lim0x tx tt x e f x x e --→+∞==+ 当2x =时，20x -=，此时(2)1x te-=，故2(2)2(2)4()lim 13x t x t t x e x f x x e x --→+∞===++当2x >时，(2)lim x tt e-→+∞=+∞，故2(2)22(2)(2)()limlim 1x tx t t t x tx e x f x x xx e e--→+∞→+∞-===++、 所以20,02,4(),2,32,x f x x x x ⎧<<⎪⎪==⎨⎪>⎪⎩显然()f x 在2x =处间断，在区间(0,2)与(2,)+∞上都连续，2x =为跳跃间断点、11、 设函数()()(1)x e bf x x a x -=--有无穷间断点0x =及可去间断点1x =，求,a b 得值、解：由于()f x 为初等函数，故只在x a =与1x =处间断，从而显然有0a =、由于1x =为可去间断点，即1lim ()(1)x x e bx a x →---存在，而分母得极限1lim()(1)x x a x →--=0，所以1lim()0x x e b →-=，从而b e =、12、 证明方程3121230a a ax x x λλλ++=---（123123,,0,a a a λλλ><<）在区间12(,)λλ与23(,)λλ内各有一个实根、证明：（第一种证法）令123213312()()()()()()()F x a x x a x x a x x λλλλλλ=--+--+--，显然()F x 在区间[]12,λλ与[]23,λλ上都连续、111213()()()0F a λλλλλ=-->，。
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三、网络购买如今，互联网已经深入人们的生活，购物也变得更加便利。
对于没有时间或无法前往实体书店购买的人来说，网络购买是一个不错的选择。
可以通过各大购物网站，在线订购郑州高等数学教材，然后由快递送货上门。
这种方式不仅省时省力，还可以享受一些网络平台的优惠活动。
需要注意的是，在网上购买教材时，要选择正规的购物平台，确保商品的质量和真实性。
同时，购买前要仔细核对教材的版本和出版社，以免购买到错误的书籍。
四、二手书市场在郑州市内，也有一些二手书市场，这些市场出售二手书籍，包括教材。
对于一些不介意使用二手教材的人来说，这是一个经济实惠的选择。
在二手书市场，可以找到一些相对较新的高等数学教材，价格也相对于全新教材更加便宜。
然而，购买二手教材需要注意的是，要仔细检查书籍的内容是否完整，页面是否有涂抹、撕裂等损坏情况。
同时，要核对书籍的版本和出版社，确保与自己的需求一致。
综上所述，郑州高等数学教材可以在大型书店、高校书店、网络购物平台和二手书市场等地购买。
不同的购买方式适用于不同的需求和条件，选择适合自己的购买方式，可以更方便快捷地获取所需教材。
郑州专科高等数学教材
郑州专科高等数学教材一、引言数学作为一门基础学科，在各个领域都有着广泛的应用。
作为郑州的专科高等数学课程，本教材力求在教学内容、排版与呈现方式上做到准确、规范与美观。
二、教材结构与内容1. 基础篇1.1 数学的起源与发展本节介绍数学学科的起源、发展历程以及在实际生活中的应用。
包括古代数学家的贡献、数学在科学和技术领域的应用等。
1.2 数学概述本节主要介绍数学的基本定义、基本概念和基本原理，包括集合论、逻辑推理和数学证明的方法等。
1.3 数论本节介绍数论的基本概念、性质和应用，涵盖整数的性质、最大公约数和最小公倍数等内容。
1.4 代数学本节介绍代数学的基本概念和基本操作，包括方程与不等式、数集与函数、多项式等内容。
1.5 几何学本节介绍几何学的基本概念和基本原理，包括点、线、面的性质与关系、几何变换等内容。
1.6 概率与统计本节主要介绍概率与统计学的基本概念和基本原理，包括概率的计算方法、统计数据的处理与分析，以及图表的绘制与解读等内容。
2. 进阶篇2.1 微积分本节介绍微积分的基本概念和基本原理，包括函数的极限、导数和积分等内容。
2.2 线性代数本节介绍线性代数的基本概念和基本操作，包括矩阵与行列式、线性方程组、特征值与特征向量等内容。
2.3 微分方程本节介绍微分方程的基本概念和基本解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、常系数线性微分方程的解法等内容。
2.4 离散数学本节介绍离散数学的基本概念和基本原理，包括图论、逻辑代数、集合论等内容。
三、教材排版与呈现方式1. 教材排版本教材以清晰、简洁的字体进行排版，注意字号和行距的合理选择，确保学生可以清晰地阅读内容。
2. 图例与示意图本教材在合适的位置插入图例和示意图，以帮助学生更好地理解数学概念和定理，并配上简单明了的图解说明。
3. 例题与习题本教材在重点章节设置了例题和习题，供学生进行巩固练习和拓展思维。
习题分为基础题和拓展题，以满足不同学生的学习需求。
高等数学教材郑州版
高等数学教材郑州版高等数学是大学数学教学的重要内容之一，对学生的数学思维能力和解决实际问题的能力有着重要的培养作用。
而高等数学教材的选择对于学生的学习效果和成绩提升起着至关重要的作用。
本文将介绍郑州版高等数学教材的特点和优势。
一、教材体系郑州版高等数学教材由多个版本组成，包括普通高等教育“十五”规划教材、全日制本科计算机类专业通用基础课程教材以及高职高专、成人教育、网络教育等专业用教材。
每个版本的教材都经过了严格的策划和编辑，内容全面、结构合理，且与国内外高等数学教学大纲紧密对接。
二、教材内容郑州版高等数学教材内容丰富多样，包含了高等数学的基本概念、重要方法与技巧，以及典型问题的解答。
教材的编写注重理论与实践的结合，既保证了知识的系统性和完整性，又强调了知识与实际应用的联系，有助于学生更好地理解和掌握数学知识。
三、教材特色1. 突出实际应用：郑州版高等数学教材注重将数学与实际应用相结合，通过实际问题的引入和分析，引导学生主动思考和解决问题的方法。
这种实际应用的教学方法有助于培养学生的实际运用能力，提高他们解决实际问题的能力。
2. 突出问题求解：教材设计了大量的例题和习题，旨在培养学生的问题解决能力和数学思维能力。
通过反复练习和思考，学生可以更好地理解和应用数学知识，提高他们的解题能力。
3. 突出思维方法：教材注重培养学生的数学思维方法和逻辑思维能力。
通过引导学生思考问题的方法、分析解题的思路和推理过程，培养他们的思维能力和创新意识，使他们在解决实际问题时能够灵活运用数学知识。
四、教材配套资源郑州版高等数学教材还提供了丰富的教学资源和辅助材料，包括教学案例、试题集、教师用书等。
这些资源可以帮助教师更好地开展教学工作，提供了丰富的教学素材和实用的教学工具。
总之，郑州版高等数学教材以其全面、系统、实用的特点受到了广大师生的好评。
它不仅可以帮助学生建立起扎实的数学基础，还能培养他们的数学思维能力和解决实际问题的能力。
郑州高等数学教材
郑州高等数学教材在数学学科中，高等数学是一门非常重要的课程，它是应用数学的基础，也是理工科学生必修的一门课程。
针对郑州地区高等数学教材的编写，我们需要考虑以下几个方面：一、教材内容的覆盖全面性高等数学是一门较为复杂的学科，它涉及到微积分、数学分析、线性代数等多个方向。
因此，在编写教材时，我们需要确保内容的全面性。
从基本概念的介绍开始，一直到高阶应用的讲解，都应该涉及其中。
同时，需要根据郑州地区的教学大纲，结合实际情况进行有针对性的内容筛选。
二、教材难度层次的设置郑州地区的高等数学教材应该分为不同的难度层次，以适应不同层次的学生。
对于初学者来说，他们需要通过一些基础的知识点的讲解，逐步掌握高等数学的基本思想和方法。
而对于进阶学生来说，他们可能需要更加深入的讲解和拓展，使他们对高等数学有更深入的理解。
三、教材的示例和习题设计为了帮助学生更好地理解和掌握高等数学的知识，教材应该合理安排示例和习题。
示例可以借助具体的例子来解释概念和公式，帮助学生理解和掌握。
而习题则可以用来巩固学生的知识和培养解决问题的能力。
在设计习题时，应该注意难度的递进性，充分考虑学生的实际水平和教学进度。
四、教材的排版和图表设计为了使教材更加整洁美观，我们需要注意排版和图表的设计。
文字排版应该清晰明了，方便学生阅读。
图表的设计要简洁明了，能够清晰地表达数学概念和问题。
同时，教材中的公式和符号应该规范统一，便于学生理解和记忆。
综上所述，郑州高等数学教材的编写需要考虑内容全面性、难度层次设置、示例和习题设计以及排版和图表设计。
通过合理的教材编写，可以帮助学生更好地掌握高等数学知识，提升他们的数学素养和解决实际问题的能力。
大学高等数学教材河南
大学高等数学教材河南在大学学习的过程中，高等数学课程是学生们需要重点掌握的一门学科。
数学不仅是一门理论学科，更是一门实践性极强的学科，它的内容涵盖了微积分、线性代数、概率论等等。
而河南地区的大学高等数学教材在推广方面有着独特的优势和特点。
首先，河南地区的大学高等数学教材在编写过程中注重贴近学生，关注实际应用。
与其他地区相比，河南的大学数学教材更加注重理论与实践的结合，强调数学在实际生活中的应用。
通过真实的案例和实际问题的引入，教材让学生们真正感受到数学的实际应用，激发了他们对数学学科的兴趣和学习的动力。
其次，河南地区的大学高等数学教材注重理论与方法的创新。
教材编写者们积极探索数学学科的最新理论成果，并将其融入到教材中。
他们注意到大学数学教育需要与时俱进，尊重学生的学习需求，因此在教材的编写中更加注重理论创新和方法改进。
这使得河南地区的大学数学教材在国内外都具有一定的影响力。
此外，河南地区的大学高等数学教材注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教材在课程设计中设置了大量的思考题和解决问题的方法，激发了学生们独立思考和解决问题的能力。
通过课后习题和考试试题的设置，学生们不仅能够巩固所学知识，更能够培养出扎实的数学思维和解决问题的能力。
此外，在数学教材的编写中，河南地区的大学高等数学教材也注重了教材的全面性和严谨性。
教材编写者们通过梳理数学学科的知识体系，将知识点进行全面详细的阐述，并且在内容上力求严谨准确。
这使得学生们在学习的过程中能够系统地掌握数学的理论知识，形成完整的数学学科体系。
综上所述，河南地区的大学高等数学教材在推广方面具有独特的优势和特点。
它注重贴近学生，关注实际应用；注重理论与方法的创新；培养学生的数学思维和解决问题的能力；强调教材的全面性和严谨性。
这些特点使得河南地区的大学高等数学教材在大学数学教育中起到了积极的推动作用。
相信在未来的发展中，河南地区的大学高等数学教材会取得更加卓越的成绩，为学生们的数学学习提供更好的支持和帮助。
河南省统一的高等数学A教材
河南省统一的高等数学A教材高等数学A教材高等数学作为一门基础学科，是大多数理工科专业的必修课程。
河南省统一的高等数学A教材在内容和教学方法上都具有一定的特色和要求，旨在帮助学生全面、系统地掌握高等数学的基本概念、原理和方法。
第一章极限与连续1.1 实数及其性质实数是数学中的基本概念，具有丰富的性质和运算规则。
学生需要通过学习实数的有序性、稠密性等基本性质，为后续学习极限和连续打下基础。
1.2 极限的概念极限是高等数学的核心概念之一，涉及到数列和函数的趋势性。
通过引入极限的定义、性质和计算方法，学生可以逐步理解函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
1.3 极限存在准则为了判断函数在某一点是否存在极限，教材介绍了极限存在的几个基本准则，如夹逼准则、单调有界准则等。
这些准则在解决实际问题时具有重要的应用价值。
1.4 连续与间断连续性是函数的重要性质之一，在教材中，学生将学习连续函数的定义、性质和判定方法。
同时，也会介绍函数间断点的分类和性质，从而全面认识连续和间断的关系。
第二章导数与微分2.1 导数的概念导数是函数变化率的表示，也是微分学的重要内容。
通过导数的定义及其几何和物理意义的讲解，学生可以初步了解导数的概念及其应用。
2.2 基本导数公式在教材中，学生将学习一些基本的导数公式，如常数函数导数、幂函数导数、指数函数导数等。
这些基本公式对于求解导数问题起到了重要的作用。
2.3 高阶导数与导数运算法则除了一阶导数外，学生还需要学习高阶导数的概念与计算方法，以及导数运算法则的应用。
这些知识可以帮助学生更深入地理解导数的性质和运算规则。
2.4 微分中值定理与导数的应用微分中值定理是微分学中的重要定理，它揭示了函数在某一区间内的平均变化率与瞬时变化率的关系。
教材会详细介绍微分中值定理的几种形式及其应用，为学生解决实际问题提供有效的方法。
第三章不定积分3.1 不定积分的概念不定积分是微积分中的重要内容，它是定积分的初等函数求解逆问题。
高等数学河南教材
高等数学河南教材高等数学是大学本科阶段非常重要的一门基础数学课程，旨在系统地培养学生的数学运算能力、数学建模能力和数学思维能力。
河南省的高等数学教材是该省高校广泛使用的教材，本文将从教材内容、特点和应用等方面进行介绍。
河南省的高等数学教材内容涵盖了高等数学的主要知识点，包括微积分、数列和级数、多元函数微分学、多元函数积分学等。
其中微积分是高等数学的核心内容，主要包括极限与连续、函数的导数与微分、定积分与不定积分等。
数列和级数则是数学分析的基础，通过学习数列和级数的性质和收敛准则，能够加深对数学分析方法的理解。
多元函数微分学和多元函数积分学是高等数学的延伸和深化，主要探讨了多元函数的导数、偏导数、高阶导数以及多重积分等。
河南省的高等数学教材在内容的编排上非常系统，力求将知识点有机地连接起来。
在每个章节的开头，通常会给出该章节的主要内容和学习目标，帮助学生明确学习重点；随后，会详细介绍每个知识点的定义、性质和定理，并通过例题来进行示范和讲解，帮助学生理解和掌握知识；最后，会提供一些习题供学生进行练习和巩固。
教材特点方面，河南省的高等数学教材注重理论与实践的结合。
在教学过程中，不仅强调基本原理和概念的理解，还注重培养学生的实际问题解决能力。
教材中穿插了一些数学建模的案例，通过实例引导学生运用所学知识解决实际问题，培养学生的综合应用能力。
此外，高等数学教材注重培养学生的数学思维能力。
教材中设置了一些思考题和拓展题，旨在引导学生深入思考数学问题、进行推理和证明，并培养学生的创新意识和解决复杂问题的能力。
河南省的高等数学教材也在不断更新和完善中。
根据新的教育理念和发展要求，教材的编写团队不断进行教学理念的更新和教材内容的修订，力求使教材更加贴近实际应用和培养学生的实践能力。
总之，河南省的高等数学教材准确而系统地呈现了高等数学的核心知识和方法，注重培养学生的实际应用能力和数学思维能力。
通过学习这一教材，学生能够建立起良好的高等数学基础，为进一步学习和研究数学打下坚实的基础。
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郑州大学高等数学教材
高等数学是大学数学的重要组成部分，对于培养学生的数学思维能
力和分析解决问题的能力具有重要作用。
而郑州大学的高等数学教材，作为培养优秀人才的重要教育资源之一，具有丰富的教学内容和独特
的教学风格，深受广大学生的喜爱与好评。
一、教材的编写团队
郑州大学高等数学教材的编写团队由多位经验丰富的数学教师组成，他们具有深厚的学术背景和教学经验。
他们研究教学大纲，结合学生
的学习特点和需要，精心打造了一本既符合课程要求又易于理解的教材。
二、教材的内容设计
郑州大学高等数学教材的内容设计非常全面，包括了数学分析、数
学推理、微积分等多个领域。
教材内容结构合理，层次清晰，将抽象
的数学概念与具体的实际问题相结合，能够帮助学生更好地理解和掌
握数学知识。
三、教材的教学方法
郑州大学高等数学教材注重培养学生的数学思维和解决问题的能力，通过引导学生思考、分析和实践，激发学生的学习兴趣和动力。
教材
内设有大量的例题和习题，既有基础的计算题，也有思维拓展题，帮
助学生巩固基础知识的同时培养数学思维能力。
四、教材的特色亮点
1. 理论联系实际：教材将抽象的数学概念与具体的实际问题相结合，使学生能够更好地理解和应用数学知识。
2. 知识渗透互动：教材通过引导学生思考和讨论，增强师生之间的
互动，促进知识的更好吸收和理解。
3. 注重实践应用：教材内设置了大量的实例和习题，帮助学生将所
学知识应用于实际问题的解决过程中。
4. 强调思维能力培养：教材设计了一系列的思维拓展题，帮助学生
培养创新思维和解决问题的能力。
五、教材的使用效果
郑州大学高等数学教材在教学实践中取得了良好的效果。
许多学生
在学习过程中对教材的内容表达了肯定和赞美之词。
教材内容的贴近
生活和应用性，以及对学生思维能力培养的重视，使学生在学习高等
数学课程中取得了更好的成绩。
综上所述，郑州大学高等数学教材以其丰富的教学内容和独特的教
学风格，成为提高学生数学思维和解决问题能力的重要工具。
通过该
教材的学习，学生能够更好地理解和掌握数学知识，提升自身的学术
能力，并为未来的学习和研究打下坚实的数学基础。