《立体图形的直观图》考点讲解复习与同步训练

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《立体图形的直观图》教学设计、导学案、同步练习

《8.2 立体图形的直观图》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第八章《立体几何初步》，本节课主要平面图形、空间几何体的直观图的画法。

画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件。

本节课主要是介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法。

而水平放置的平面图形的直观图画法,是画空间几何体直观图的基础。

教学的重点是斜投影画平面图形直观图的方法,即斜二测画法。

教材给出了正六边形、长方体、圆柱、圆柱和圆锥组合体直观图的画法。

教学时可以适当延伸,讨论正五边形、圆锥、圆台、球的直观图画法。

画空间几何体的直观图，了解空间几何体的直观图，有助于提高学生的空间想象能力，是学生学习点、直线、平面之间位置关系的基础。

【教学目标与核心素养】【教学重点】：斜二测画法的步骤；【教学难点】：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图。

【教学过程】这些图形就是空间几何体的直观图二、探索新知思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？【答案】平行四边形1.斜二测画法。

利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：练习：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图．【答案】解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系；②建立=45°的坐标系通过思考，让学生了解平面图形的的直观图，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过讲解步骤，让学生了解注意画平面图形的直观图，提高学生分析问题、概括能力。

通过练习，进一步熟悉平yo x'''∠③平行于x 、y 轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图。

解：（1）在六边形ABCDEF 中，取AD 所在的直线为x 轴，对称轴MN 所在直线为y 轴，两轴交于点O 。

高中数学基本立体图形及其直观图讲解及练习

高中数学基本立体图形及其直观图讲解及练习专题一多面体的结构特征1．空间几何体的定义与概念如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2.棱柱、棱锥、棱台的结构特征记作棱柱ABCDEFA′B′C′D′E′F′记作棱锥SABCD题型1 多面体的结构特征例1.下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．例2.下列说法正确的有________．(填序号)①棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；②棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；③棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．练习1.下列关于棱锥、棱台的说法：①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③棱锥的侧面只能是三角形；④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．例3.如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？专题二旋转体的结构特征1．圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，2．简单组合体(1)概念由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．(2)两种构成形式①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成．题型2 旋转体的结构特征例4.下列几何体中不是旋转体的是( )练习2.可以旋转得到如图的图形的是( )例5.给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的任意两条母线的延长线可能相交，也可能不相交； ④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体．其中说法正确的是________．练习3.给出以下说法：①球的半径是球面上任意一点与球心所连线段的长； ②球的直径是球面上任意两点间所连线段的长； ③用一个平面截一个球，得到的截面可以是一个正方形； ④过圆柱轴的平面截圆柱所得截面形状是矩形．其中正确说法的序号是________．专题三斜二测画法1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤(1)建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．(2)平行不变：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．(3)长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．2．空间几何体直观图的画法(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴．(2)直观图中平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面．(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.题型3 斜二测画法例6.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．()(3)相等的角在直观图中仍相等．()例7.利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的()例8.如图所示的直观图△A′O′B′，其原平面图形的面积为__________．练习4.正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A．6 cm B．8 cmC．(2＋32)cm D．(2＋23)cm课后作业1.下列说法中，正确的是()①棱锥的各个侧面都是三角形；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；④棱锥的各侧棱长相等．A．①②B．①③C．②③D．②④2.下面的几何体中是棱柱的有()A．3个B．4个C．5个D．6个3.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9C．快D．乐4.已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，则圆台的母线长为________．5.用斜二测画法画出图中等腰梯形ABCD的直观图．(其中O，E分别为线段AB，DC的中点)6.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2B.38a2C.68a2 D.616a2。

人教版高中数学必修第二册8.2 立体图形的直观图同步精练(含解析)

人教版高中数学必修第二册8.2立体图形的直观图同步精练【考点梳理】考点一水平放置的平面图形的直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤考点二空间几何体直观图的画法立体图形直观图的画法步骤(1)画轴：与平面图形的直观图画法相比多了一个z 轴，直观图中与之对应的是z ′轴.(2)画底面：平面x ′O ′y ′表示水平平面，平面y ′O ′z ′和x ′O ′z ′表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图.(3)画侧棱：已知图形中平行于z 轴(或在z 轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变.(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线.【题型归纳】题型一：斜二测画法辨析1．（2021·广东·仲元中学高一期中）如图所示，A B C '''V 是ABC 的直观图，其中A C A B ''''=，那么ABC 是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形2．（2021·安徽合肥·高一期末）以下说法正确的有个（）①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形A．1B．2C．3D．43．（2021·山西临汾·高一期末）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是菱形；④水平放置的菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（）A．①②B．②③C．①②③D．②④题型二：平面图形的直观图的画法A B C的直观图，4．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形111则正确的图形是（）A．B．C ．D ．5．（2021·浙江·高一单元测试）下面每个选项的2个边长为1的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是（）A ．B ．C ．D ．6．（2022·全国·高一）如图，已知点()1,1A -，()1,3B ，()3,1C ,用斜二测画法作出该水平放置的四边形ABCO 的直观图，并求出面积.题型三：空间几何体的直观图7．（2021·全国·高一课时练习）用斜二测画法画棱长为2cm 的正方体ABCD A ′B ′C ′D ′的直观图．8．（2022·湖南·高一课时练习）画出下列图形的直观图：(1)棱长为4cm 的正方体；(2)底面半径为2cm ，高为4cm 的圆锥．9．（2022·湖南·高一课时练习）画出图中简单组合体的直观图（尺寸单位：cm ）．题型四：直观图的还原与计算10．（2021·全国·高一课时练习）如图，A B C '''是斜二测画法画出的水平放置的ABC 的直观图，D '是B C ''的中点，且//A D y '''轴，//B C x '''轴，2A D ''=，2B C ''=，那么（）A ．AD 的长度大于AC 的长度B ．BC 的长度等于AD 的长度C ．ABC 的面积为1D ．A B C '''的面积为211．（2020·全国·高一课时练习）如图，菱形ABCD 的一边长为2，45A ∠=︒，且它是一个水平放置的四边形利用斜二测画法得到的直观图，请画出这个四边形的原图形，并求出原图形的面积.12．（2020·全国·高一课时练习）如图所示,梯形1111D C B A 是平面图形ABCD 的直观图.若11//A D O y '',1111//A B C D ,1111223A B C D ==,1111A D O D '==.如何利用斜二测画法的规则画出原四边形?【双基达标】一、单选题13．（2021·全国·高一课时练习）长方形的直观图可能为下图中的哪一个()A ．①②B ．①②③C ．②⑤D ．③④⑤14．（2021·陕西师大附中高一阶段练习）对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（）A ．原来平行的边仍然平行B ．原来垂直的边仍然垂直C ．原来是三角形仍然是三角形D ．原来是平行四边形的可能是矩形15．（2021·全国·高一课时练习）如图所示是水平放置的三角形的直观图，D '是A B C '''V 中B C ''边的中点，且A D ''平行于y '轴，那么,,A B A D A C ''''''三条线段对应原图形中的线段,,AB AD AC 中（）A ．最长的是AB ，最短的是ACB ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是AD D ．最长的是AD ，最短的是AC16．（2021·全国·高一课时练习）已知一个△ABC 利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中B ′O ′=2，O ′C ′=5，O ′A ′=3，则原△ABC 的面积为（）A ．21B ．212C ．2122D ．212417．（2021·全国·高一课时练习）若水平放置的四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//A C O B ''''，A C B C ''''⊥，1A C ''=，2B C ''=，2O B ''=，则原四边形AOBC 的面积为（）A ．12B ．6C ．32D ．32218．（2021·全国·高一课时练习）一个菱形的边长为4cm ，一个内角为60︒，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为（）.A ．283cm B ．243cm C ．226cm D ．26cm 【高分突破】一：单选题19．（2021·北京顺义·高一期末）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，有下列结论：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.其中，正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④20．（2021·湖南长沙·高一期末）水平放置的ABC 的直观图如图，其中B 'O '=C 'O '=1，A 'O '=32，那么原△ABC 是一个（）三角形．A ．等边B ．三边互不相等的C ．三边中只有两边相等的等腰D ．直角21．（2021·安徽省涡阳第一中学高一阶段练习）如图，A B C '''V 是水平放置的ABC 的直观图，其中A B ''，A C ''所在直线分别与x '轴，y '轴平行，且A B A C =''''，那么ABC 是（）A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形22．（2021·浙江温州·高一期中）如图所示，正方形''''O A B C 的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．16cmB ．82cmC ．8cmD ．443+cm23．（2021·湖南·武冈市第二中学高一阶段练习）如图，平行四边形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中5O A ''=，2O C ''=，30A O C '''∠=︒，则原图形的面积是（）A ．4B ．42C ．102D ．624．（2022·内蒙古·呼和浩特市第十四中学高一期末）如图所示，梯形A B C D ''''是平面图形ABCD 用斜二测画法得到的直观图，22A D B C ''''==，1A B ''=，则平面图形ABCD 的面积为（）A ．32B ．2C ．22D ．325．（2021·广东东莞·高一期末）如图是水平放置的△ABO 的斜二测直观图△A B O '''，D ¢是O B ''的中点，则△ABO 中长度最长的线段为（）A ．OAB ．OBC ．AD D ．AB26．（2021·山东聊城·高一期末）如图，A B C '''V 是ABC 用斜二测画法画出的直观图，则ABC 的周长为（）A ．12B ．()225+C ．()412+D ．()2225++二、多选题27．（2021·江苏·扬州大学附属中学东部分校高一期中）利用斜二测画法得到的下列结论中正确的是（）A ．三角形的直观图是三角形B ．正方形的直观图是正方形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形28．（2021·浙江丽水·高一期中）如图，'''A B C 表示水平放置的ABC 根据斜二测画法得到的直观图，''A B 在'x 轴上，''B C 与'x 轴垂直，且''2B C =，则下列说法正确的是（）A ．ABC 的边AB 上的高为2B ．ABC 的边AB 上的高为4C ．AC BC >D ．AC BC<29．（2021·全国·高一课时练习）如图为一平面图形的直观图，则此平面图形不可能是选项中的（）A ．B ．C ．D ．30．（2021·浙江·高一期末）如图，A B C '''是水平放置的ABC 的直观图，2,5A B A C B C ''=''=''=，则在原平面图形ABC 中，有（）A ．AC BC=B ．2AB =C ．25AC =D ．42ABC S =△三、填空题31．（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，一个水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为______.32．（2022·陕西西安·高一阶段练习）如图，矩形O A B C ''''是平面图形OABC 斜二测画法的直观图，且该直观图的面积为8，则平面图形OABC 的面积为___________.33．（2021·全国·高一课时练习）如图，△A'O'B'表示水平放置的△AOB 的直观图，B'在x'轴上，A'O'和x'轴垂直，且A'O'=2，则△AOB 的边OB 上的高为____34．（2021·全国·高一）如图，四边形ABCD 是一水平放置的平面图形的斜二测直观图，//AB CD ，AD CD ⊥，且BC 与y 轴平行，若6AB =，4CD =，22BC =，则原平面图形的实际面积是________.35．（2021·浙江温州·高一期末）如图，已知梯形''''A B C D 是水平放置的四边形ABCD 斜二测画法的直观图，梯形''''A B C D 的面积为3，'''45D A B ∠=︒，则原四边形ABCD 的面积为__________.四、解答题36．（2022·湖南·高一课时练习）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图：(1)边长为3cm 的正三角形；(2)边长为4cm 的正方形；(3)边长为2cm 的正八边形．37．（2022·全国·高一）用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.38．（2021·全国·高一课时练习）如图，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中6,3,//O A O C B C x =='''''''轴，求原平面图形的面积．39．（2022·全国·高一）如图所示，梯形1111D C B A 是一平面图形ABCD 的直观图．若11A D O x ''⊥，1111//A B C D ，1111223A B C D ==，1111A D O D '==．试画出原四边形．40．（2021·全国·高一课时练习）如图，四边形ABCD 是一个梯形，//,1CD AB CD AO ==，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点（1）画出梯形ABCD 水平放置的直观图（2）求这个直观图的面积.【答案详解】1．B【详解】根据题意，,2AB AC AC AB ⊥=，所以ABC 是直角三角形.故选：B.2．B【详解】由斜二测画法可得：①三角形的直观图是三角形，②平行四边形的直观图是平行四边形，③正方形的直观图是平行四边形，④菱形的直观图是平行四边形，综上可得，说法正确的是①②.故选：B.3．A【详解】对于①，由斜二测画法规则知，水平放置的三角形的直观图还是三角形，①正确；对于②，根据平行性不变知，平行四边形的直观图是平行四边形，②正确；对于③，由平行于一轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半知，正方形的直观图不是菱形，③错误；对于④，因为45x O y '''∠=︒，所得直观图的对角线不垂直，所以直观图不可能为菱形，④错误.故选：A4．A【解析】【分析】由斜二侧画法的规则分析判断即可【详解】先作出一个正三角形111A B C ，然后以11B C 所在直线为x 轴，以11B C 边上的高所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，画对应的'',x y 轴，使夹角为45 ，画直观图时与x 轴平行的直线的线段长度保持不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，故选：A5．C【解析】【分析】根据两个三角形在斜二测画法下所得的直观图，底边与底边上的高是否改变，判断即可．【详解】对于A 、B 、D 选项，两个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB 不变，底边上的高变为原来的12，如图：选项A ：选项B：选项D：所以两个图形的直观图全等；对于C中，第一个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB不变，底边上的高变为原来的12，第二个三角形在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB变为原来的12，底边上的高OC不变，如图：所以这两个图形的直观图不全等．故选：C．6．图见解析，322【解析】【分析】首先根据斜二测画法的规则，画出四边形的直观图，再结合面积公式，即可计算.【详解】由斜二测画法可知，在直观图中，21A O '=，21O B '=，23C O '=，222B C =，2112A A =，2132B B =，2112C C =，121212A A B B C C ∥∥，1212245A A O B B C '∠=∠=︒，所以122112211221111 A A B B C C B B A A O O C C A B C O S S S S S '''=+--△△()()121222121222122122sin 45sin 45sin 45sin 452222A AB B A BC C B B C B A A A O C C C O +⋅⋅︒+⋅⋅︒''⋅⋅︒⋅⋅︒=+--1321321212221332222222222222222⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--=.7．见解析【解析】【分析】分三步进行：一、建立坐标系；二、利用斜二测画法作出下底面的直观图；三、从下底面各顶点处作长度与棱长相等且平行于z 的线段，连接各顶点即可.【详解】画法：（1）画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°．（2）画底面．以点O 为中心，在x 轴上取线段MN ，使OM ＝ON ＝1cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝1cm ．分别过点M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A 、B 、C 、D ，四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD ．（3）画侧棱．过A 、B 、C 、D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm 长的线段AA ′、BB ′、CC ′、DD ′．（4）成图．顺次连接A ′、B ′、C ′、D ′，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），就得到正方体的直观图（如图②）．【点睛】利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与与'x 轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与'y 轴平行且长度减半.8．(1)画法见解析，；(2)画法见解析，【解析】【分析】根据要求用斜二测法画出符合要求的直观图(1)如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的正方形ABCD 的直观图，使得AB =4cm ，BC =2cm ，且∠DAB =45°，取平行四边形ABCD 的中心O ，作x 轴∥AB ，y 轴∥BD ，第二步：过点O 作∠xOz =90°，过点A 、B 、C 、D 分别作1111,,,AA BB CC DD 等于4cm ，顺次连接1111D C B A ，第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图.(2)如下图所示，按如下步骤完成：第一步：作水平放置的圆的直观图O '，使4A B ''=cm ，2D C ''=cm.第二步：过O '作z '轴，使90x O z '''∠=︒，在z '上取点V '，使O 'V '=4cm ，连接A V ''，B V ''.第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图.9．详见解析【解析】【分析】利用斜二测画法求解.【详解】如图所示：10．D【解析】【分析】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形，即可判断.【详解】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，据此分析选项：对于A ，AD BC ⊥，则有AC AD >，A 错误；对于B ，2BC B C =''=，24AD A D =''=，B 错误；对于C ，ABC 的面积142S BC AD =⨯⨯=，C 错误；对于D ，A B C '''的面积224S S '==，D 正确.故选：D ．11．图形见解析，8【解析】在菱形ABCD 中，分别以AB ，AD 所在的直线为x '轴､y '轴建立坐标系x O y '''，根据斜二测画法的性质得到原图形，再计算面积得到答案.【详解】①画轴.在菱形ABCD 中，分别以AB ，AD 所在的直线为x '轴､y '轴建立坐标系x O y '''(A 与O '重合)，如图1，另建立平面直角坐标系xOy ，如图2.②取点.在坐标系xOy 中，分别在x 轴y 轴上取点B '，D ¢，使A B AB ''=（A '与O 重合），2A D AD ''=.过点D ¢作//D C x ''轴，且D C DC ''=.③成图.连接B C ''，得到的矩形A B C D ''''即为这个四边形的原图形.原图形的面积248S =⨯=.【点睛】本题考查了斜二测画法，意在考查学生对于斜二测画法的理解和掌握.12．见解析【解析】【分析】根据斜二测画法前后的边与角的关系画图即可.【详解】如图,建立直角坐标系xOy ,在x 轴上截取11OD O D '==,12OC O C '==.在过点D 的y 轴的平行线上截取1122DA D A ==.在过点A 的x 轴的平行线上截取112AB A B ==.连接BC ,即得到了原图形.【点睛】本题主要考查了根据直观图画原图像的方法,属于基础题型.13．C【解析】【分析】根据斜二测画法的定义即可求解.【详解】由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45°，故②⑤正确.故选：C.14．B【解析】【分析】根据斜二测画法的特点对四个选项逐一分析，即可得解【详解】由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，原来垂直的直线不一定垂直．故选：B15．C【解析】【分析】利用斜二测画法还原图形，得到△ABC 为等腰三角形，即可判断出,,AB AD AC 的大小.【详解】由题中的直观图可知，//A D y '''轴，//B C x '''轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD ∥y 轴，BC ∥x 轴.又因为D 为BC 的中点，所以△ABC 为等腰三角形，且AD 为底边BC 上的高，则有AB =AC >AD 成立.故选：C16．A【解析】【分析】根据直观图的做法确定原△ABC 的顶点位置，由此求其面积.【详解】由已知B ′O ′=2，O ′C ′=5，O ′A ′=3，∴2BO =，5CO =,6OA =,且B ，C 在x 轴上，A 在y 轴上，O 为坐标原点，∴△ABC 的面积1212S BC OA =⨯⨯=,故选：A.17．B【解析】【分析】通过“斜二测画法”将直观图还原，即可求解【详解】解：由斜二测画法的直观图知，//A C O B ''''，A C B C ''''⊥，1A C ''=，2B C ''=，2O B ''=；所以原图形OACB 中，//AC OB ，OA OB ⊥，1AC =，2OB =，22224AO A O ''==⨯⨯=，所以梯形OACB 的面积为()112462S =+⨯=．故选：B ．18．C【解析】【分析】根据斜二测画法的规则，求出对角线的长度，根据图形，求直观图的面积.【详解】由条件可知，较长的对角线的长度是2244244cos12044cm +-⨯⨯⨯=，较短的对角线的长度是2244244cos604cm +-⨯⨯⨯=，根据斜二测画法的规则可知，43AC =，2BD =，菱形直观图的面积21243226cm 22S =⨯⨯⨯=故选：C19．A【解析】【分析】本题可根据斜二测画法的规则得出结果.【详解】由斜二测画法规则可知，相交关系不变，①正确；平行关系不变，②正确；正方形的直观图是平行四边形，③错误；平行于y 轴的线段长减半，平行于x 轴的线段长不变，④错误，故选：A.20．A 【解析】【分析】根据直观图还原原图，再计算．【详解】解：由图形知，在原ABC 中，AO BC ⊥，32A O ''=3AO ∴=1B O C O ''=''=，2BC ∴=222AB AC AO OC ∴==+=ABC ∴为正三角形．故选：A ．21．D【解析】【分析】根据斜二测画法的原则，可得原图中AB AC ⊥，且2AC AB =即可判断ABC 的形状.【详解】因为A B C '''V 中，A B ''，A C ''所在直线分别与x '轴，y '轴平行，所以ABC 中AB ，AC 所在直线分别与分别与x 轴，y 轴平行，所以AB AC⊥因为A B A C =''''，所以2AC AB =，即AB AC ≠，所以ABC 是直角三角形，故选：D.22．A【解析】【分析】由直观图确定原图形中平行四边形中线段的长度与关系，然后计算可得．【详解】由斜二测画法，原图形是平行四边形，2OA O A ''==，又22O B ''=，242OB O B ''==，OB OA ⊥，所以222(42)6AB =+=，周长为2(26)16+=．故选：A ．23．C【解析】【分析】先求出平行四边形O A B C ''''面积，再根据斜二测画法的原图形面积与直观图面积比为22:1计算即可.【详解】在平行四边形O A B C ''''中，作C M O A '''⊥.在Rt C O M ''△中，sin 301C M O C '''=︒=.所以平行四边形O A B C ''''面积为1=515S O A C M '''⋅=⨯=.所以原图形面积为1=22=102S S .故选:C24．D【解析】【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形形状，结构得出面积．【详解】由三视图知原几何图形是直角梯形ABCD ，如图，2,2,1AB AD BC ===，面积为1(21)232S =⨯+⨯=．故选：D ．25．D【解析】【分析】根据斜二测法，判断△ABO 的形状，进而确定其最长线段.【详解】由斜二测直观图△A B O '''知：△ABO 是直角三角形且OA OB ⊥，∴斜边AB 是△ABO 中长度最长的线段.故选：D26．C【解析】【分析】作出ABC 的直观图，计算出该三角形三边边长，即可得解.【详解】作出ABC 的直观图如下图所示：由图可得222222AB BC ==+=，4AC =，因此，ABC 的周长为442+.故选：C.27．AD【解析】【分析】根据平面图形的直观图的画法规则，逐项判定，即可求解.【详解】根据斜二测画法的规则可知，平行于坐标轴的直线平行性不变，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半.对于A 中，三角形的直观图中，三角形的高于底边的夹角为45或135，长度减少为原来的一半，依然是三角形，所以A 正确；对于B 中，正方形的直角，在直观图中变为45或135，不是正方形，所以B 错误；对于C 中，菱形的对角线互相垂直平分，在直观图中对角线的夹角变为45，所以菱形的直观图不是菱形，所以C 错误；对于D 中，根据平行线不变，可知平行四边形的直观图还是平行四边形，所以D 正确.故选：AD.28．BD【解析】【分析】过'C 作''C D ‖'y 轴，交'x 于'D ，即可求出相关量，画出原图，即可判断【详解】解：如图，'C 作''C D ‖'y 轴，交'x 于'D ，则可得'''45C D B ∠=︒，因为'''C B x ⊥轴，且''2B C =，所以''''2,2B D C D ==，则在原图中，CD AB ⊥，且4CD =，即ABC 边AB 上的高为4，因为点A 在BD 上，所以AC BC <，故选：BD29．ABD【解析】【分析】根据直观图，画出原图形，即可得出答案.【详解】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于'y 轴的边与底边垂直，原图形如图所示：即可判断不可能的为A ，B ，D.故选：ABD.30．BD【解析】【分析】将直观图A B C '''还原为原平面图形ABC 即可求解.【详解】解：在直观图A B C '''中，过C '作C D A B ''''⊥于D ¢2,5A B A C B C ''=''=''=，∴221,2A D C D A C A D ''''''''==-=，又45C O D '''∠=，所以2O D ''=，1O A ''=，22O C ''=，所以利用斜二测画法将直观图A B C '''还原为原平面图形ABC ，如图42,1,2OC OA AB ===，故选项B 正确；又222233,41AC OA OC AC OB OC =+==+=，故选项A 、C 错误；112424222ABC S AB OC =⨯⨯=⨯⨯=，故选项D 正确；故选：BD.31．22【解析】【分析】作出直观图，结合斜二测画法概率计算【详解】如图，1B C ''=，B '到x '轴的距离为21sin 452⨯︒=．故答案为：22．32．162【解析】【分析】根据直观图形和原图形面积之间的比例关系求解即可．【详解】根据直观图与原图的面积比值为定值24，可得平面图形OABC 的面积为816224=.故答案为：162.33．42【解析】【分析】利用直观图与原图的面积之比为定值求解即可.【详解】不妨设直观图和原图面积分别为1S ，2S ，△AOB 的边OB 上的高为h ，由直观图''||O B 与原图形中边||OB 长度相同，且2122S S =，A'O'和x'轴垂直，A'O'=2，故''11||222||22OB h O B =⨯⨯，从而42h =.故答案为：42.34．202【解析】【分析】根据实际图形与斜二测直观图的关系得原平面图形是直角梯形，再根据几何关系求解面积即可得答案.【详解】解：由斜二测直观图的作图规则知，原平面图形是直角梯形，且AB ，CD 的长度不变，仍为6和4，高42BC =，故所求面积1(46)422022S =⨯+⨯=.故答案为：20235．26【解析】【分析】根据题意和斜二侧画法可知四边形ABCD 为直角梯形，且90DAB ∠=︒，从而可求出原图形的面积【详解】解：设梯形''''A B C D 的高为h ，因为水平放置的平面图形的直观图''''A B C D 的面积为3，所以''''1()32C D A B h +=，因为梯形''''A B C D 中，'''45D A B ∠=︒，所以四边形ABCD 为直角梯形，且90DAB ∠=︒，'''',CD C D AB A B ==，''2AD A D =，''2A D h =，所以原四边形ABCD 的面积为''''''''1()21()222122()222326CD AB AD C D A B h C D A B h +⋅=+⋅=⨯+=⨯=故答案为：2636．(1)作图见解析(2)作图见解析(3)作图见解析【解析】【分析】（1）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；（2）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图；（3）根据斜二测画法，作出平面图形，建立平面直角坐标系，画出对应斜二测坐标系，确定多边形各顶点在直观图中对应的顶点，连线可得直观图.(1)解：如图①所示，以BC 边所在的直线为x 轴，以BC 边的高线AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，画对应的x '轴、y '轴，使45x O y '''∠=，在x '轴上截取 1.5cm O B O C OB OC ''''====，在y '轴上截取12O A OA ''=，连接A B ''、A C ''、B C ''，则A B C '''V 即为等边ABC 的直观图，如图③所示.(2)解：如图④所示，以AB 、AD 边所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如下图所示的平面直角画对应的x '轴、y '轴，使45x A y '''∠=，在x '轴上截取4cm A B AB ''==，在y '轴上截取12cm 2A D AD ''==，作//D C x '''轴，且4cm D C ''=，连接B C ''，则平行四边形A B C D ''''即为正方形ABCD 的直观图，如图⑥所示.(3)解：如图⑦所示，画正八边形OABCDEFG ，以点O 为坐标原点，OA 、OE 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，设点B 、G 在x 轴上的射影点分别为M 、N ，画对应的x '轴、y '轴，使45x O y '''∠=，在x '轴上截取2cm O A OA ''==，A M AM ''=，O N ON ''=，在y '轴上截取12O E OE ''=，作//E D x '''轴且2cm E D ''=，作//M B y '''轴，且12M B MB ''=，作//N G y '''轴，且12N G NG ''=，作//B C y '''轴，且1cm B C ''=，作//G F y '''轴，且1cm G F ''=，连接O A ''、A B ''、B C ''、C D ''、D E ''、E F ''、F G ''、G O ''，则八边形O A B C D E F G ''''''''为正八边形OABCDEFG 的直观图，如图⑨所示.37．详见解析【解析】【分析】利用斜二测画法即得.（1）如图所示，画出坐标系x O y '''，使45x O y '''∠=，在x '轴作线段1A O O B ''''==，过A '作//A C y '''轴，且112A C AC ''==，连接B C ''，则A B C '''V 即为ABC 的直观图；（2）如图所示，画出坐标系x O y '''，使45x O y '''∠=，在x '轴作线段2O B OB ''==，在y '轴作线段1122O A OA ''==，再作出点,C D ''，连接,,B C C D D A ''''''，即可得出该平面图形的直观图.38．362．【解析】【分析】计算平面直观图的面积，根据原图形与它的直观图面积比为22，计算即可．【详解】解：平面直观图是矩形O A B C ''''，且6O A ''=，3O C ''=，所以矩形O A B C ''''的面积为6318S '=⨯=，所以原平面图形的面积为22362S S ='=．故答案为：362．39．图见解析.【解析】【分析】根据斜二测画法可得在原图形中，11AB A B =，AB x ∕∕轴，CD 的位置不变，11,OD O D OC O C ''==，OB 的位置不变，12OB O B '=，画出图形即可.【详解】解：如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上截取11OD O D '==，12OC O C '==，12O B '=，在y 轴上截取22OB =，再过点B 与x 轴平行的直线上截取112AB A B ==，连接BC ，AD ，便得到了原图形（如图）．40．（1）答案见解析；（2）328.【解析】【分析】（1）利用斜二测画法，画出梯形ABCD 的直观图；（2）过点D ¢作D E A B ''''⊥于点E '，利用梯形的面积公式求解.【详解】（1）在梯形ABCD 中，2,1AB OD ==，画出梯形ABCD 的直观图，如图中梯形A B C D ''''所示，（2）过点D ¢作D E A B ''''⊥于点E '.易得1122O D OD ''==，所以梯形A B C D ''''的高24D E ''=，所以梯形A B C D ''''的面积为()123212248⨯+⨯=，即梯形ABCD 水平放置的直观图的面积为328.。

82立体图形的直观图(精讲)(原卷版)

8.2 立体图形的直观图（精讲）思维导图典例精讲考点一斜二测画法的概念理解【例11】（2022·高一课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（）A．平行直线的直观图仍然是平行直线B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的D．线段的中点在直观图中仍然是中点【例12】（2022·全国·高一专题练习）如图，已知等腰三角形ABC，则在如图所示的四个图中，可能是ABC的直观图的是（）A．①①B．①①C．①①D．①①【【一隅三反】1．（2022春·吉林长春·高一统考期末）（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（）A．相等的线段在直观图中仍然相等B．平行的线段在直观图中仍然平行C．一个角的直观图仍是一个角D ．相等的角在直观图中仍然相等2．（2022·高一课时练习）关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变；①原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的12； ①画与直角坐标系xOy 对应的x O y '''时，x O y '''∠必须是45；①在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．考点二斜二测画法画平面图形【例21】（2022·高一课时练习）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形111A B C 的直观图，则正确的图形是（）A ．B ．C ．D ．【例22】（2022春·上海闵行·高一校考期末）在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是（）（1）三角形的直观图一定是三角形（2）正方形的直观图一定是菱形（3）等腰梯形的直观图可以是平行四边形（4）菱形的直观图一定是菱形A ．（1）（2）B ．（1）C ．（1）（3）（4）D ．（1）（2）（3）（4）【一隅三反】1（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（）A．矩形的直观图一定是矩形B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形C．平行四边形的直观图一定是平行四边形D．菱形的直观图一定是菱形2．（2022山西）用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定），并由此探寻直观图面积与原图形面积之间的关系.(1)矩形；(2)平行四边形；(3)正三角形；(4)正五边形.考点三斜二测画法画空间图形【例31】（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体-''''的直观图．ABCD A B C D【例32】．（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．【例33】（2022·高一课时练习）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．【一隅三反】1．（2022·全国·高一假期作业）如图，ABC绕BC边所在的直线旋转一周，由此形成的空间图形是由哪些简单的空间图形构成的？画出这个空间图形的直观图.若绕AC边所在的直线旋转一周呢？2．（2021·高一课时练习）已知一棱柱的底面是边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4 cm，试用斜二测画法画出此棱柱的直观图.3．（2022·全国·高一专题练习）如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图．考点四斜二测画法的相关计算【例41】（2022·高一课前预习）已知正①ABC的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积是（）A 2B 2C 2D 2 【例42】（2022春·广东东莞·高一东莞市东华高级中学校考阶段练习）如图是四边形ABCD 的水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′，则原四边形ABCD 的面积是（）A ．14B ．C ．28D ．【例43】．（2022春·广东广州·高一西关外国语学校校考期中）如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O A B C ''''，则在直观图中，梯形O A B C ''''的高为___________.【一隅三反】1．（2022广东佛山）如图，水平放置的ABC 的斜二测直观图为A B C '''，已知1A O B O C O ''''''===，则ABC 的周长为（）A ．6B ．8C ．2+D ．2+ 2．（2022春·河北保定·高一统考期末）如图，已知ABC 通过斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰直角三角形，则ABC 为（）A．面积为B ．面积为C．面积为D ．面积为3．（2022春·山西运城·高一统考期末）如图所示，正方形A B C O ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（）A ．6cmB ．8cmC ．(1cmD ．(21cm 4．（2022·高一单元测试）用斜二测画法画△ABC 的直观图为如图所示的①A B C '''，其中2O B B C ''''==，A B A C ''''==△ABC 的面积为（）A ．1B ．2C ．D ．。

高中数学第八章立体几何初步立体图形的直观图课后提能训练新人教A版必修第二册

第八章 8.2A级——基础过关练1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90°D．45°或135°,90°【答案】D【解析】根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2.(2021年绵阳模拟)(多选)如图,已知等腰三角形ABC,则如下所示的四个图中,可能是△ABC的直观图的是( )A B C D【答案】CD【解析】等腰三角形画成直观图后,原来的腰长不相等,CD两图分别为在∠x′O′y′成135°和45°的坐标系中的直观图．3．把△ABC按斜二测画法得到△A′B′C′(如图所示),其中B′O′＝C′O′＝1,A′O′＝32,那么△ABC是一个( )A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．三边互不相等的三角形【答案】A【解析】根据斜二测画法还原三角形在直角坐标系中的图形,如图所示,由图易得AB＝BC＝AC＝2,故△ABC为等边三角形,故选A.4．(2021年南宁模拟)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )A ．2＋ 2B ．1＋22C ．2＋22D ．1＋ 2【答案】A【解析】画出其相应平面图易求S ＝12(1＋1＋2)×2＝2＋2,故选A.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】C【解析】将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形．故选C. 6．有一个长为4 cm,宽为3 cm 的矩形,则其直观图的面积为________cm 2. 【答案】3 2【解析】该矩形的面积为S ＝4×3＝12(cm 2),由平面图形的面积与直观图的面积间的关系,可得直观图的面积为S ′＝24S ＝32(cm 2)． 7．如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．【答案】36 2【解析】在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.8．在直观图中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状),面积为________cm2.【答案】矩形8【解析】由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA＝2 cm,OC＝4 cm,所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．9．画出一个上、下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图．解：(1)画轴．如图,画x轴、y轴、z轴相交于点O,使∠xOy＝45°,∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为线段中点,在x轴上取线段AB,使AB＝2,在y轴上取线段OC,使OC＝32.连接BC,CA,则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．(3)画上底面．在z轴上取OO′,使OO′＝2,过点O′作O′x′∥Ox,O′y′∥Oy,建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中,类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.(4)连线成图．连接AA′,BB′,CC′,去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．10．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形OABC的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y 轴上取OB ＝2O ′B ′＝2 2 cm ；在过点B 的x 轴的平行线上取BC ＝B ′C ′＝1 cm.连接O ,A ,B ,C 各点,即得到了原图形．由作法可知OABC 为平行四边形,OC ＝OB 2＋BC 2＝8＋1＝3(cm),∴平行四边形OABC 的周长为(3＋1)×2＝8(cm),面积为S ＝1×22＝22(cm 2)．B 级——能力提升练11．下列选项中的△ABC 均是水平放置的边长为1的正三角形,在斜二测画法下,其直观图不是全等三角形的一组是( )A BC D【答案】C【解析】C 中,前者在斜二测画法下所得的直观图中,底边AB 不变,高变为原来的12,后者在斜二测画法下所得的直观图中,高OC 不变,底边AB 变为原来的12,故C 中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等．12．水平放置的△ABC 的直观图如图所示,已知B ′C ′＝4,A ′C ′＝3,B ′C ′∥y ′轴,则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )A ．732B ．73C ．5D ．52【答案】A【解析】由斜二测画法规则知AC ⊥BC ,即△ABC 为直角三角形,其中AC ＝3,BC ＝8,所以AB ＝73,AB 边上的中线长度为732.故选A. 13．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm【答案】D【解析】由题意可知其直观图如图,由图可知两个顶点之间的距离为5 cm.故选D.14．(2021年河南模拟)已知用斜二测画法,画得的正方形的直观图面积为182,则原正方形的面积为______．【答案】72【解析】如图,作出正方形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′,作C ′D ′⊥x ′轴于点D ′.S 直观图＝O ′A ′×C ′D ′.又S 正方形＝OC ×OA .所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAO ′A ′×C ′D ′, 又在Rt △O ′D ′C ′中,O ′C ′＝2C ′D ′, 即C ′D ′＝22O ′C ′,结合平面图与直观图的关系可知OA ＝O ′A ′,OC ＝2O ′C ′, 所以S 正方形S 直观图＝OC ×OAOA ×22O ′C ′＝2O ′C ′22O ′C ′＝2 2.又S 直观图＝182,所以S 正方形＝22×182＝72.15．如图所示,△A ′O ′B ′表示水平放置的△AOB 的直观图,点B ′在x ′轴上,A ′O ′与x ′轴垂直,且A ′O ′＝2,则△AOB 的边OB 上的高为________．【答案】4 2【解析】设△AOB 的边OB 上的高为h ,由直观图中边O ′B ′与原图形中边OB 的长度相等,及S原图＝22S直观图,得12OB ×h ＝22×12×A ′O ′×O ′B ′,则h ＝4 2.故△AOB 的边OB 上的高为4 2.16．如图是一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′,已知该正方形是某个水平放置的四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的原图形并求出其面积．解：四边形ABCD 的真实图形如图所示,因为A ′C ′在水平位置,四边形A ′B ′C ′D ′为正方形,所以∠D ′A ′C ′＝∠A ′C ′B ′＝45°,所以在原四边形ABCD 中,AD ⊥AC ,AC ⊥BC .因为AD ＝2D ′A ′＝2,AC ＝A ′C ′＝2, 所以S 四边形ABCD ＝AC ·AD ＝2 2.C 级——探索创新练17．如图所示的是水平放置的正方形ABCO ,在平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为(4,4),则由斜二测画法画出该正方形的直观图中,顶点B ′到x ′轴的距离为________．【答案】 2【解析】水平放置的正方形ABCO ,在平面直角坐标系xOy 中,点B 的坐标为(4,4),由斜二测画法画出的该正方形的直观图如下：由斜二测画法的规则,得O ′A ′＝12OA ＝2,O ′C ′＝OC ＝4,∠A ′O ′C ′＝45°,四边形A ′B ′C ′O ′是平行四边形,∴顶点B ′到x ′轴的距离与A ′到x 轴的距离相等．∴顶点B ′到x ′轴的距离d ＝|O ′A ′|sin 45°＝2×22＝ 2.18．一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,若按1∶500的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为____________________．【答案】4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm【解析】由20 m ＝2 000 cm,2 000500＝4 cm,同理可得宽、高分别为1 cm 、2 cm,四棱锥的高为1.6 cm.在直观图中,宽变为一半,长、高不变．。

高中数学必修2(北师版)第一章1.2 直观图(与最新教材完全匹配)知识点总结含同步练习题及答案

√2 倍． 4
A．AB = BC = AC D．AC > AD > AB = BC 解：C
B．AD ⊥ BC
C．AC > AD > AB > BC
还原成原图形如下图，可知 △ABC 为直角三角形，其中 ∠ABC 为直角，AB = 2BC ，所以 AC > AD > AB > BC．
如下图，矩形 O ′ A ′ B ′ C ′ 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 O ′ A ′ = 6 ，O ′ C ′ = 2 ，则原图形 OABC 的面积为______．
解：24√2 由题意可画出原图形 OABC 是平行四边形，且 OA = BC = 6，设平行四边形 OABC 的高为 OE ，则 OE ×
S OABC
1 √2 × = O ′ C ′ ，因为 O ′ C ′ = 2 ，OE = 4√2 ，所以 2 2 = 6 × 4√2 = 24√2 ．
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高中数学必修2(北师版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章立体几何初步 1.2 直观图Βιβλιοθήκη 一、知识清单直观图
二、知识讲解
1.直观图描述：空间图形的直观图用来表示空间图形的平面图形叫做空间图形的直观图．空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．对于平面多边形，我们通常用斜二测画法画它们的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤 ① 在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O ．画直观图时，把它们画成对应的 x ′ 轴和 y ′ 轴，两轴交于点 O ′ ，且使 ∠x′ O ′ y ′ = 45∘ 或 135 ∘ ，它们确定的平面表示水平面． ② 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′ 轴或 y ′ 轴的线段． ③ 已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．对斜二测画法的补充 ① 空间几何体的直观图要比平面图形的直观图多画一个 z 轴， z 轴是与空间几何体的高平行的． ② 采用斜二测画法画出的平面图形的直观图面积是原平面图形面积的

第20讲立体图形的直观图4种题型总结(解析版) 高一数学同步题型讲义(新人教2019)必修二

第20讲立体图形的直观图4种题型总结【考点分析】考点一：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．②在已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．③在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．考点二：画空间几何体的直观图的步骤①在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠xOz＝90°．②画出与Ox、Oy、Oz对应的轴O′x′、O′y′、O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．③在几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．④在几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．⑤擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．【考点分析】题型一：斜二测画法的辨析题型二：斜二测画法画平面直观图题型三：斜二测画法画空间几何体的直观图题型四：由直观图还原几何图形【典型例题】题型一：斜二测画法的辨析【例1】利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是（）A．①②B．①C．③④D．①②③④【答案】B【分析】根据斜二测画法的知识求得正确答案.【详解】①，根据斜二测画法可知，三角形的直观图一定是三角形，①正确.②，根据斜二测画法可知，正方形的直观图邻边不相等，不是菱形，②错误.③，根据斜二测画法可知，等腰梯形的直观图，两底边不相等，不是平行四边形，③错误.④，根据斜二测画法可知，菱形的直观图邻边不相等，不是菱形，④错误.故选：B【例2】关于斜二测画法，下列说法错误的是（）A．平行直线的直观图仍然是平行直线B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的D．线段的中点在直观图中仍然是中点【答案】B【分析】根据斜二测画法的基本原理依次判断各个选项即可.【详解】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；对于B，平行于x轴和y轴的两条直线，在直观图中夹角为45 ，B错误；对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，还原后与平面直角坐标系中的,x y轴重合，实际位置互相垂直，C正确；对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.故选：B.【例3】对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（）A．三角形的直观图仍然是一个三角形B．90︒的角的直观图会变为45︒的角C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同【答案】B【分析】利用斜二测画法的规则对四个选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；对于B，90︒的角的直观图会变为45︒或135︒的角，故B错误；对于C，D，由斜二测画法的特点可知，C，D显然正确．故选：B．【例4】（多选）下列说法中正确的有（）A．画直观图时与x轴、y轴对应的x'轴、y'轴之间的夹角应为45︒或135︒B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D．水平放置的圆的直观图是椭圆【答案】ACD【分析】利用斜二测画法规则，分析判断选项A，B，C，再判断选项D作答.【详解】由斜二测画法规则知，选项A，C正确；长方体直观图的长、高与原长方体的长、高的比例相同，但在直观图中的宽只是原来的一半，B错误；水平放置的圆的直观图是椭圆，D正确.故选：ACD【例5】（多选）画水平放置的圆的直观图时，下列说法中正确的有（）A．每条直径的大小都发生了改变B．必有两条直径相等C．每条直径都比实际的短D．直观图的面积比原图形的面积小【答案】BD【分析】由斜二测画法结合图形可判断ACD，观察直径的变化趋势可判断B.【详解】由斜二测画法可知，与x轴平行或重合的直径长度不变，故AC错误；由图可知，D正确；由图可知，当点P'由点A'沿曲线向点B'运动时，过点P'的直径先减后增，由对称性知，所以必有两条直线相等，故B正确.故选：BD【题型专练】1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（）A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形在直观图中仍然是正方形D．平行的线段在直观图中仍然平行【答案】D【分析】根据斜二测画法的规则对四个选项逐一分析即可.【详解】选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A错误.选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一半，故B错误.选项C：正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，C错误.选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D正确.故选：D.2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是（）A．原来相交的仍相交B．原来垂直的仍垂直C．原来平行的仍平行D．原来共点的仍共点【答案】B【分析】根据斜二测画法的要求和结论理解辨析．【详解】根据斜二测画法可知：平行不变，即原图中的平行，则直观图也平行，原图的相交，直观图中也相交，但相对应的角度会改变，，所以错误的是B故选：B．3．斜二测画法是绘制直观图的常用方法，下列关于斜二测画法和直观图的说法正确的是（）A．矩形的直观图一定是矩形B．等腰三角形的直观图一定是等腰三角形C．平行四边形的直观图一定是平行四边形D．菱形的直观图一定是菱形【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则可判断各个选项.【详解】对A，矩形的直观图可以是平行四边形，故A错误；对B，等腰三角形的直观图的两腰不相等，不一定为等腰三角形，故B错误；对C，根据斜二测画法的规则线段的平行性不变，所以平行四边形的直观图一定是平行四边形，故C正确；对D ，菱形的直观图中，一组对边长度可以改变，所以直观图不一定是菱形，故D 错误.故选：C.4．（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（）A ．相等的线段在直观图中仍然相等B ．平行的线段在直观图中仍然平行C ．一个角的直观图仍是一个角D ．相等的角在直观图中仍然相等【答案】BC【分析】根据斜二测画法分析各选项说法的正误即可.【详解】由斜二测画法原则：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，平行于x 轴且相等的线段在直观图中仍相等，而不是所有相等线段都能相等，A 错误；平行线段在直观图中仍然平行，B 正确；一个角在直观图中也是一个角的形式出现，C 正确；如直角梯形在直观图中与直角对应的两个角不相等，D 错误.故选：BC5．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是______．（填序号）①原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x '轴，长度不变；②原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y '轴，长度变为原来的12；③画与直角坐标系xOy 对应的x O y '''时，x O y '''∠必须是45 ；④在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同．题型二：斜二测画法画平面直观图【例1】水平放置的ABC 的斜二侧直观图如图所示，若112A C =，ABC 的面积为，则11B C 的长为______【例2】如图，正方形1111D C B A 是一水平放置的平面图形ABCD 在斜二测画法下的直观图.若113A B =，则平面图形ABCD 的面积是______.。

【精品】高中数学必修2 空间几何体的三视图和直观图_讲义知识点讲解+巩固练习(含答案) 基础

空间几何体的三视图和直观图【学习目标】1.了解平行投影与中心投影，了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点，了解空间图形的不同表现形式；2. 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱的简易组合体）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．【要点梳理】【高清课堂：空间几何体的三视图与直观图 395059中心投影与平行投影】要点一、中心投影与平行投影1．投影、投影线和投影面由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．2．中心投影我们把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影．中心投影的投影线交于一点，它的实质是一个点光源把一个物体射到一个平面上，这个物体的影子就是它在这个平面上的中心投影．3．中心投影的性质（1）中心投影的投影线交于一点；（2）点光源距离物体越近，投影形成的影子越大．4．平行投影我们把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影．投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．5．平行投影的性质（1）平行投影的投影线互相平行．（2）在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子与这个平面图形的形状和大小完全相同．6．中心投影与平行投影的区别与联系（1）平行投影包括斜二测画法和三视图．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体．（2）画实际效果图时，一般用中心投影法，画立体几何中的图形时，一般用平行投影法．要点二、空间几何体的三视图【高清课堂：空间几何体的三视图与直观图 395059 三视图】1．三视图的概念把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通常，我们总是选择三种投影．（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；（2）光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；（3）光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．2．三视图的画法规则画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位．正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：（1）正、俯视图都反映物体的长度——“长对正”；（2）正、侧视图都反映物体的高度——“高平齐”；（3）俯、侧视图都反映物体的宽度——“宽相等”．【高清课堂：空间几何体的三视图与直观图 395059 斜二测画法及典型例题1】要点三、斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形．要画空间几何体的直观图，首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法．对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．斜二测画法的步骤：（1）在已知图形中取互相垂直的z轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们画成对应的x＇轴与y＇轴，两轴交于点O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面．（2）已知图形中，平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴、y＇轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．（3）已知图形中，平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图．要点诠释：用斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点并在直观图中画出．一般情况下，这些点的位置都要通过其所在的平行于x、y轴的线段来确定，当原图中无需线段时，需要作辅助线段．要点四、立体图形的直观图（1）用斜二测画法画空间几何体的步骤①在已知图形中，取互相垂直的x轴和y轴，再取z轴，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；②画直观图时，把它们画成对应的轴x′，y′，z′，使∠x′O′y′=45°（或135°），∠x′O′z′=90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面；③已知图形中平行于x轴，y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段；④在已知平面图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半；⑤擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．（2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．（3）画立体图形与画水平放置的平面图形相比多了一个z轴，其直观图中对应于z轴的是z＇轴，平面x＇O＇y＇表示水平平面，平面y＇O＇z＇和x＇O＇z＇表示直立平面．平行于z轴（或在：轴上）的线段，其平行性和长度都不变．（4）三视图与直观图的联系与区别三视图与直观图都是用平面图形来刻画空间图形的位置特征与度量特征，二者有以下区别：①三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，由三视图可以得到一个精确的几何体，如零件、建筑图纸等都是三视图．②直观图是对空间几何体的整体刻画，可视性高，立体感强，由此可以想象实物的形状．要点五、已知三视图画直观图三视图和直观图是空间几何体的两种不同的表现形式．直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是投射线从不同位置将物体按正投影向投影面投射所得到的图形，对于同一个物体，两者可以相互转换．由三视图画直观图，一般可分为两步：第一步：想象空间几何体的形状．三视图是按照正投影的规律，使平行光线分别从物体的正面、侧面和上面投射到投影面后得到的投影图，包括正视图、侧视图和俯视图．正视图反映出物体的长和高，侧视图反映出物体高和宽，所以正视图和侧视图可以确定几何体的基本形状，如柱体、锥体或台体等．俯视图反映出物体的长和宽．对于简单几何体来说，当俯视图是圆形时，该几何体是旋转体；当俯视图是多边形时，该几何体是多面体．第二步：利用斜二测画法画出直观图．当几何体的形状确定后，用斜二测画法画出相应物体的直观图．注意用实线表示看得见的部分，用虚线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．【典型例题】类型一、平行投影与中心投影例1．下列命题中正确的是（）A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．两条相交直线的投影可能平行D．一条线段的平行投影如果仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中心【答案】D【解析】平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A、B不正确．两条直线的交点无论是平行投影还是中心投影仍是同一个点，这个点在两条直线的投影上，因而两条直线的投影不可能平行，故C错．两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．【总结升华】空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线，如照片中由近到远，物体之间的距离越来越近，最后相交于一点．中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最像原来的物体，所以在绘画时，经常使用这种方法．例2．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是．①线段②直线③圆④梯形⑤长方体【答案】②⑤【解析】线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．举一反三：【变式1】有下列说法：①从投影的角度看，三视图和斜二测画法画出的直观图都是平行投影下画出来的空间图形；②平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；③空间图形经过中心投影后，直线变成直线，但平行线可能变成了相交的直线；④空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确的命题有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D类型二、空间几何体的三视图例3．螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如下图，画出它的三视图．【解析】该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的．正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体正投影后是一个正六边形和一个圆（中心重合）．它的三视图如下图．【总结升华】（1）对于简单空间几何体的组合体，一定要认真观察，先认识它的基本结构，然后再画它的三视图．（2）在绘制三视图时，应注意：若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出．（3）画简单组合体的三视图应注意两个问题：首先，确定正视、侧视、俯视的方向，同一物体放置的位置不同，所画的三视图就可能不同；其次，简单组合体是由哪几个简单几何体构成的，并注意它们的构成方式，特别是它们的交线位置．例4．如下图（1）所示的是一个奖杯的三视图，画出它的立体图形．【解析】从奖杯的三视图可以看出，奖杯的底座是一个正棱台．它的上底面是边长为60 mm的正方形，下底面是边长为100 mm的正方形，高为20 mm．底座的上面是一个底面对角线长为40 mm，高72 mm的正四棱柱，它的底面对角线分别与棱台的底面的两边平行，底面的中心在棱台上、下底面中心的连线上，奖杯的最上部是在正四棱柱上底面的中心放了一个直径为28 mm 的球根据以上分析，画出奖杯的立体图形，如上图所示．【总结升华】由三视图还原成实物图是由实物图画三视图的逆向思维，其关键仍然是抓住“长对正、高平齐、宽相等”的基本特征，想象视图中每部分对应的实物部分的形状，特别要注意几何体中与投影面垂直或平行的线及面的位置．根据三视图想象空间几何体，是培养空间想象能力的重要方式，这需要根据几何体的正视图、侧视图、俯视图的几何特点，想象整个几何体的几何特征，从而判断三视图所描述的几何体．通常是根据俯视图判断是多面体还是旋转体，再结合正视图和侧视图确定具体的几何结构特征，最终确定是简单几何体还是简单组合体．举一反三：【变式1】右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题，其中真命题的个数是（）．①存在三棱柱．其正（主）视图、俯视图如右图 ②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图 ③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【变式2】若某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的直观图可以是（）【答案】B类型三、空间几何体的直观图例5．画出水平放置的等边三角形的直观图.【解析】画法，如图： (1)在三角形ABC 中，取AB 所在直线为x 轴，AB 边的高所在直线为y 轴；画出相应的x '轴和y ' 轴，两轴交于点O '，且使45x O y '''∠=o ；(2)以O '为中点，在x '轴上取A B AB ''=，在y '轴上取12O C OC ''=； (3)连接A C ''、B C ''，并擦去辅助线x '轴和y ' 轴，便获得正△ABC 的直观图△A B C '''.【总结升华】斜二测画法的作图技巧：1.在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线为坐标轴或图形的对称轴为坐标轴，以线段的中点或图形的对称点为原点；2.在原图中平行于x 轴和y 轴的线段在直观图中仍然平行于x '轴和y '轴，原图中不与坐标轴平行的线段可以先画出线段的端点再连线，画端点时利用与坐标轴平行的线段；3.画立体图形的直观图，在画轴时，要再画一条与平面x O y '''垂直的z '轴，平行于z '轴的线段长度保持不变.举一反三：【变式1】已知正角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ＇B ＇C ＇的面积为（）A ．234aB ．238aC ．268aD ．2616a 【答案】D【解析】先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△A ＇B ＇C ＇的边长及夹角求解．如上图（1）、（2）所示的实际图形和直观图．由图（2）可知，A ＇B ＇=AB=a ，13''24O C OC a ==，在图（2）中作C ＇D ＇⊥A ＇B ＇于D ＇，则26''''28C D O C a ==． ∴2'''1166''''22816A B C S A B C D a a a ∆=⋅=⨯⨯=．【总结升华】求直观图的面积的关键是依据斜二测画法，求出相应的直观图的底边和高，也就是原来实际图形中的高线在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来的一半的线段，以此为依据求出相应的高线即可．反过来，由一个平面图形的直观图来确定原平面图形的面积，也是依据这个规则来确定的．例6．画出底面为边长为1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm 的四棱锥的直观图．【解析】（1）画轴．画x 轴、y 轴、z 轴，∠xOy=45°（或135°），∠xOz=90°，如下图（1）．（2）画底面．以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD ，使AB=1.2 cm ，EF ＇=0.6 cm ．（3）画顶点，在Oz 轴上截取OP ，使OP=1.5 cm ．（4）成图．顺次连接以、PB 、PC 、PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图（2）．【总结升华】本题主要考查空间几何体的直观图的画法．解题的关键是先利用几何体图形的对称性建系，再利用斜二测画法的规则及步骤画出直观图．建系后观察哪些线段分别与x 、y 、z 轴平行或重合，找到对应顶点即可．【巩固练习】1．下列实例中，不是中心投影的是（）．A．工程图纸 B．小孔成像 C．相片 D．人的视觉2．下列种说法：①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．其中，说法正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．一个几何体的某一方向的视图是圆，则它不可能是( ).A．球体 B．圆锥 C．圆柱 D．长方体4．一个建筑物的正视图、侧视图、俯视图如下图所示，则组成这个建筑物的组合体是（）．A．圆柱和圆锥B．立方体和圆锥C．正四棱柱和圆锥D．正方形和圆5．以正方形相邻两边为坐标轴建立直角坐标系，在这一坐标系下用斜二测画法画出的正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是（）．A．16 B．64 C．16或64 D．以上都不对6．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如下图所示，则该几何体的俯视图为7．平行投影与中心投影之间的区别是________________．8．一个三角形在其直观图中对应一个边长为1的正三角形，原三角形的面积为________．9．正视图为一个三角形的几何体可以是____________________．(写出三种)10．用斜二测画法作出两边边长分别为3cm和4cm的矩形的直观图．11．用斜二测画法画正六棱柱的直观图，使其底面边长为3cm，侧棱长为6cm．12．根据三视图（如下图），画出物体的直观图．【答案与解析】1．【答案】A【解析】由中心投影的特点可知，B、C、D均是中心投影．2．【答案】B【解析】由直观图的画法可知③、④正确．3．【答案】D【解析】4．【答案】C【解析】由三视图可知，组合体上部分是圆锥，下部分为正四棱柱．5．【答案】C6．【答案】C【解析】正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，对应俯视图应该在下方，排除A，故选C．7．【答案】平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．8．【答案】6 2【解析】如右图，由底边长A＇B＇=1，3'2C O=，那么原来的高线为6262⨯=，则原三角形的面积16162S=⨯⨯=．9．【答案】三棱锥、三棱柱、圆锥【解析】由三棱锥、三棱柱（侧放）、圆锥的特征可知这三种几何体的正视图均是三角形．10．【解析】采用斜二测画法，即在已知图形所在的空间中取水平平面，作'x轴、'y轴，使'''045x o y∠=，然后依据平行投影的有关性质逐一作图（如右图）．（1）在已知ABCD中取AB，AD所在边为x轴与y轴，相交于点O（O与A重合），画对应的x＇轴、y＇轴，使∠x＇O＇y＇=45°．（2）在x＇轴上取A＇，B＇，使A＇B＇=AB=4，在y＇轴上取D＇，使A＇D＇=12AD=32，过D＇作D＇C＇平行x＇的直线，且等于A＇B＇长．（3）连C＇B＇，所得四边形A＇B＇C＇D＇就是矩形ABCD的直观图．11．【解析】先作底面正六边形的直观图，再沿平行于z轴方向平移即可得．作法：（1）画轴：画z＇，y＇，z＇轴，使∠x＇O＇y＇=45°（或135°），∠x＇O＇z＇=90°．（2）画底面：按x＇轴，y＇轴画正六边形的直观图ABCDEF．（3）画侧棱：过A，B，C，D，E，F各点分别作z＇轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA＇，BB＇，CC＇，DD＇，EE＇，FF＇．（4）成图：顺次连结A＇，B＇，C＇，D＇，E＇，F＇，加以整理（去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线），图略．12．【解析】（1）画轴．建立空间直角坐标系，使∠xOy=45°，∠xOz=90°，如右图．（2）画圆柱的两底面和圆台的上底面．画出底面圆O，在z轴上截取O＇，使OO＇等于三视图中相应高度．过O＇作Ox的平行线O＇x＇，Oy的平行线O＇y＇，利用O＇x＇与O＇y＇画出底面圆O＇（与画圆O一样），在z轴上截取O″，使O＇O″与三视图中O＇O″等高．过O″作Ox的平行线O″x″，Oy的平行线O″y″，作圆O″．（3）成图．连接AA＇，A＇A″，B″B＇，B＇B，整理得到三视图所表示的立体图的直观图，如右图所示．。

人教版高中数学必修第二册8.2立体图形的直观图(1) 同步练习(含答案)

人教版高中数学必修第二册8.2立体图形的直观图（1）同步练习（学生版）一、基础达标1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是()A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点2.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图可能不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为()A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形4.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°5.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形6.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()7.下列说法正确的个数是()①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.A.1B.2C.3D.48.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.9.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.10.如图所示是水平放置三角形的直观图，D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则原三角形中三条线段AB，AD，AC中，最长的线段是________，最短的线段是________.11.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.二、能力提升12.如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是()13.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，原平面图形的面积为________.14.在如图的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2.15.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积.人教版高中数学必修第二册8.2立体图形的直观图（1）同步练习（教师版）一、基础达标1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是()A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点答案B解析根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.2.关于用斜二测画法得直观图，下列说法正确的是()A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图可能不是梯形D.正三角形的直观图一定为等腰三角形答案B3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为()A.平行四边形B.梯形C.菱形D.矩形答案D解析因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.4.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于()A.45°B.135°C.45°或135°D.90°答案C解析在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°. 5.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形答案B解析∵A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形. 6.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是()答案C解析根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直.7.下列说法正确的个数是()①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.A.1B.2C.3D.4答案A解析①②③错误，④正确.8.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.答案10解析由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.9.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.答案6＝解析由直观图可知其对应的平面图形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB1OA·OB＝6.210.如图所示是水平放置三角形的直观图，D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x ′轴平行，则原三角形中三条线段AB ，AD ，AC 中，最长的线段是________，最短的线段是________.答案AC AB解析由条件知，原平面图形中AB ⊥BC ，从而AB ＜AD ＜AC .11.画出水平放置的四边形OBCD (如图所示)的直观图.解(1)过点C 作CE ⊥x 轴，垂足为E ，如图(1)所示，画出对应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°，如图(2)所示.(2)如图(2)所示，在x ′轴上取点B ′，E ′，使得O ′B ′＝OB ，O ′E ′＝OE ；在y ′轴上取一点D ′，使得O ′D ′＝12OD ；过E ′作E ′C ′∥y ′轴，使E ′C ′＝12EC .(3)连接B ′C ′，C ′D ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O ′B ′C ′D ′就是所求的直观图.二、能力提升12.如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组是()答案C13.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，原平面图形的面积为________.答案2＋22解析过A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，又∵DC ⊥BC 且AD ∥BC ，∴ADCE 是矩形，∴EC ＝AD ＝1，由∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1知BE ＝22，∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为1和1＋22，高为2，∴原平面图形的面积为12×1＋1＋222＝2＋22.14.在如图的直观图中，四边形O ′A ′B ′C ′为菱形且边长为2cm ，则在xOy 坐标系中原四边形OABC 为________(填形状)，面积为________cm 2.答案矩形8解析由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC 为矩形，其中OA ＝2cm ，OC ＝4cm ，∴四边形OABC 的面积S ＝2×4＝8cm 2.15.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A ′B ′C ′D ′，如图，其中的对角线A ′C ′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积.解四边形ABCD 的真实图形如图所示，∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，∴在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，＝AC·AD＝22.∴S四边形ABCD。

02-第二节立体图形的直观图高中数学必修第二册人教版

B.一个梯形的直观图仍然是梯形
C.两条相交直线的直观图可能平行
D.由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
【解析】 90∘ 的角在直观图中不一定变为45∘ 的角，如轴非正半轴与
轴非负半轴形成的90∘ 角在直观图中可变为135∘ 的角，A错误；梯形的
上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，
【解析】方法一画出原平面图形，如图，其中 = ′′,
′′ = ，故 =
1
，
2
= 2′′ = 2
设 = ，则 = 2， = 4
1
(
2
+ ) ⋅ = 6
′′ = 2 = 2.
2 ，故6
2
2′′ = 2
2.
2，平面图形的面积为
成′轴上的线段′′，且保持原长度不变，点
图1
′是′′的中点；将已知图形中轴上的线段画成′轴上的线段′′，
1
且长度为原来的；作′′//′轴，并取′′
2
如图1.
= = 1.连接′′，′′，
③擦去辅助线′轴与′轴，便得到梯形水平放置的直观图′′′′，
(2
2)2 + 42 = 2
平面图形的周长为2( + ) = 4
6 + 4.
6,所以原
7.[2024山东省实验中学期中]用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形
的直观图为如图所示的直角梯形′′′′，其中梯形的上底长是下
1
底长的，若原平面图形的面积为3
2
2
2，则′′的长为____.
柱 − 1 1 1 1 的直观图，如图1.
图1
（2）将四棱柱 − 1 1 1 1 补成一个长方体，并说出补上的几何体

22高中数学“立体图形的直观图”知识点详解

高中数学“立体图形的直观图”知识点详解一、引言立体图形是三维空间中的几何体，它们具有长度、宽度和高度三个维度。

在高中数学中，学习立体图形的直观图是非常重要的，因为它不仅能帮助我们更好地理解三维空间的概念，还能培养我们的空间想象能力和几何直观能力。

本文将详细介绍立体图形的直观图相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。

二、立体图形的直观图基本概念1.投影：在立体几何中，投影是指一个物体在光线照射下，在某一平面上产生的影子。

根据光线的方向和投影面的位置关系，投影可分为正投影和斜投影。

2.正投影：当光线与投影面垂直时，物体在投影面上的影子称为正投影。

正投影能真实地反映物体的形状和大小，因此在工程制图和建筑设计等领域有着广泛的应用。

3.视图：根据观察者的位置和观察方向的不同，立体图形在投影面上的投影图形称为视图。

常见的视图有主视图、俯视图、左视图等。

三、常见立体图形的直观图1.长方体的直观图：长方体是一种典型的立体图形，它的六个面都是矩形。

在直观图中，我们通常画出长方体的三个相邻的面，即正面、侧面和顶面。

这三个面分别对应主视图、左视图和俯视图。

2.圆柱的直观图：圆柱的底面是一个圆，侧面是一个曲面。

在直观图中，我们通常画出圆柱的底面和一个侧面。

底面用实线表示，侧面用虚线表示。

另外，为了表示圆柱的高度，我们还可以在侧面上画一条垂直线段。

3.圆锥的直观图：圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，且所有母线长度相等。

在直观图中，我们通常画出圆锥的底面和一个侧面。

底面用实线表示，侧面用虚线表示。

另外，为了表示圆锥的高度和锥角大小，我们还可以在侧面上画一条垂直线段和一条斜线。

4.球的直观图：球是由空间中一个点到另一个点距离都等于定长的所有点组成的几何体。

在直观图中，我们通常画出球的一个大圆和经过球心的两个互相垂直的直径。

大圆用实线表示，直径用虚线表示。

四、立体图形直观图的绘制方法1.选择适当的投影面：根据实际需要选择合适的投影面，以便更好地展示立体图形的形状和结构。

高中数学《立体图形的直观图》微课精讲+知识点+教案课件+习题

▼知识点：1、画水平放置的平面图形的直观图，步骤如下：（1）画轴：在已知图形中画出 x , y 轴 , 两轴交点为 O ,∠xOy=90°. 在直观图中，把它们化成x’, y’轴，两轴交点为O’ , 且使∠x’O’y’=45°(或135°)。

（2）画线：① 已知图形中平行于 x , y 轴的线段 , 在直观图中分别画成平行于x’, y’轴。

② 已知图形中平行于 x 轴的线段 , 在直观图中长度不变; 平行于 y 轴的线段，在直观图中长度减半。

（3）成图：连线成图，擦去坐标轴，辅助线等。

注意把握：不变的：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度变化的：垂直关系，角的大小，一般线段的长度规则口诀是：横相等，纵减半，平行关系不改变.2、画几何体的直观图，比画平面图形的直观图，多画一个与x轴，y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.口诀：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变，眼见为实遮为虚，空间观感好体现.教案：教材分析画出空间几何体的直观图是学生学好立体几何的必要条件.本节课主要介绍了最常用的、直观性好的斜二测画法.而水平放置的平面图形的直观图画法，是画空间几何体直观图的基础.教学的重点是斜二测画法.教材给出了正六边形、长方体、圆柱直观图画法.教学可以适当延伸，讨论正三角形、六棱柱、组合体等的直观图画法.教学目标与核心素养课程目标1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图．2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图．数学学科素养1.数学抽象：斜二测画法的理解；2.数学运算：与直观图还原的有关计算；3.数学建模：画平面几何和空间几何体的直观图.教学重难点重点：用斜二测画法画空间几何值的直观图；难点：用斜二测画法画空间几何值的直观图.课前准备教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

教学过程一、情景导入前面已经学习了常见地7种空间几何体，那么如何画出他们地直观图呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

【数学讲义】8.2立体图形的直观图-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册讲义

高中数学必修第二册第八章立体图形初步（人教A 版2019）8.2立体图形的直观图【基础梳理】要点一、直观图定义:用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图.画法：斜二测画法和正等测画法.要点二、斜二测画法规则(1）在己知图形中取互相重直的x 轴或y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ，轴与y'轴，两轴相交于点O ，，且x O y '''∠=45°（或135°)，它们确定的平面表示水平面（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段。

在直观图中分剔画成平行于x ，轴与y ，轴的线段(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半【课堂探究】例1.已知梯形是直角梯形，，，且，， .按照斜二测画法作出它的直观图，则直观图面积为( )A. B. C. D.【答案】 D【解析】梯形的面积为，则直观图的面积为 .故答案为：D 【分析】根据斜二测画法作出直观图，结合梯形的面积公式，即可求出相应的面积.例2若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( ).A. B. C. D.【答案】B【解析】A、C选项中正视图不符合，A的正视图为，C的正视图为D答案中侧视图不符合．D答案中侧视图为故答案为：B．【分析】本题利用空间组合体的三视图还原空间组合体，再利用空间组合体的结构特征画出相应的直观图。

【课后练习】1.底边长为2，高为4的等腰三角形在斜二测画法中对应的直观图为，则的面积为（）A. B. 2 C. D. 4【答案】A【解析】原等腰三角形的面积为，因此，的面积为.故答案为：A.【分析】计算出原等腰直角三角形的面积，乘以即可得出的面积.2.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（）A. 圆柱B. 圆锥C. 球体D. 组合体【答案】C【解析】根据题意用任意一个平面截一个几何体，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，组合体的界面不确定，只有球体的任意截面图形都是圆.故答案为：C【分析】圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，组合体的界面不确定，只有球体满足条件.3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰为，上底长为的等腰梯形，那么原平面图形的面积为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意得,斜二测画法内梯形的上底长为2,高为,下底长为,故斜二测图像内梯形面积,故原平面图形面积.故答案为：C【分析】根据斜二测画法的图像性质,原平面图形面积为斜二测画法所得面积的倍,故先求得斜二测画法梯形的面积再乘以即可.4.一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长（）A. B. C. D.【答案】B【解析】原图为平行四边形，边长分别为2cm和cm，周长为cm ，故答案为：B.【分析】利用斜二测画法作直观图的方法结合已知条件，再利用原图与正方形的直观图对应关系，最后利用四边形周长公式，从而求出原图形的周长。

立体几何的直观图(重难点)解析版

突破8.2 立体图形的直观图一、学情分析二、学法指导与考点梳理一、水平放置的平面图形的直观图1．斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=，它们确定的平面表示水平面.（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成x′轴或y′轴的线段.（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段，长度为原来的. 2．水平放置的平面图形的直观图的画法步骤（1）画轴：在已知图形中建立适当的直角坐标系xOy，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°.（2）定点：根据“原图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半”的规则，确定平面图形的关键点.（3）连线成图：连接已确定的关键点，把坐标轴擦去，得到水平放置的平面图形的直观图.3．建立坐标系的原则（1）平面图形中若有互相垂直的直线，一般取这两条互相垂直的直线作为．（2）若平面图形为轴对称图形，一般取对称轴作为；若平面图形为中心对称图形，一般取对称中心为．（3）若以上条件都不具备，则建系的原则是使多边形的顶点尽可能多地落在上．4．常见平面图形的直观图原图直观图二、中心投影与平行投影1．投影的概念由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做.其中，我们把光线叫做，把留下物体影子的屏幕叫做.2．中心投影（1）概念光由一点向外散射形成的投影，叫做,如图所示.现实生活中见到的很多投影都是中心投影，如在电灯泡、蜡烛等点光源照射下物体的影子.（2）性质①中心投影的投影线相交于.②平行于投影面放置的物体，点光源离物体越近，投影形成的影子越.例如，在电灯泡的照射下，物体后面的屏幕上会形成影子，而且随物体距离灯泡（或屏幕）的远近，形成的影子大小会有所不同.3．平行投影（1）概念在一束平行光线照射下形成的投影，叫做．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做，否则叫做斜投影．如图所示. 在日常生活中，常常把太阳光线看作平行光线.（2）性质①平行投影的投影线互相.②在平行投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全的.③当图形中的直线或线段不平行于投影线时：(ⅰ)直线或线段的平行投影仍是；(ⅱ)平行直线的平行投影是的直线；(ⅲ)平行于投影面的线段，它的投影与这条线段；(ⅳ)与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形；(ⅴ)在同一直线或平行直线上的两条线段的平行投影的长度比这两条线段的长度比.三、重难点题型突破例1．（2021·全国·高二单元测试）由下列平面图形沿虚线折叠围成的几何体中存在面面垂直的有（）A．②③B．①③C．②④D．①④【答案】C【解析】【分析】对4个图形依次还原成立体图形，在看是否存在面面垂直.【详解】①沿虚线折叠围成的几何体是正三棱锥，没有面面垂直；②沿虚线折叠围成的几何体三棱锥背面的侧面和底面垂直，②符合题意；③沿虚线折叠围成的几何体是三棱柱，当是直三棱柱是才存在面面垂直；④沿虚线折叠围成的几何体是长方体，存在面面垂直，符合题意.故选：C例2．（2021·全国·高一课时练习）长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )A ．①②B ．①②③C ．②⑤D ．③④⑤【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法的定义即可求解. 【详解】由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行四边形，且锐角为45°，故②⑤正确. 故选：C.例3．（2020·广东·罗定邦中学高二期中）如图正方形O A B C ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．8cmB ．6cmC ．2(13)cm +D ．2(12)cm【答案】A 【解析】【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．【详解】由三视图知原图形是平行四边形OABC ，如图，1OA O A ''==，OB OA ⊥，222OB O B ''==221(22)3AB =+，所以平行四边形OABC 的周长是8．故选：A ．例4．（2021·新疆·八一中学高二期中）已知一个三棱柱的高为3，如图是其底面用斜二测画法画出的水平放置的直观图，其中1O A O B O C ''''''===，则此三棱柱的体积为（）A ．2B ．4C ．6D ．12【答案】C 【解析】【分析】依据直观图可知原图的底面三角形的底边长为2，高为2，可求出柱体的底面面积，再依据棱柱体积公式可求出答案．【详解】如图所示，设三棱柱的底面三角形为ABC ，根据斜二测画法的规则，因为1O A O B O C ''''''===，可得1,2OB OC OA ===，即2BC =，2OA =，且BC OA ⊥，可得1122222ABCSBC OA =⋅=⨯⨯=，所以该棱柱的体积为236V Sh ==⨯=．故选：C ．例5．（2021·安徽·定远县育才学校高二阶段练习（文））如图，已知四边形ABCD 的直观图是直角梯形1111D C B A ，且11111122A B B C A D ===，则四边形ABCD 的面积为（）A ．3B ．32C ．62D ．6【答案】C 【解析】【分析】根据直观图与原图形之间面积的关系计算．【详解】 11111(12)232A B C D S =⨯+⨯=，所以原图形面积为11116224A B C D S S ==．故选：C ．例6．（2021·重庆·铜梁一中高一阶段练习）（多选题）水平放置的ABC 的直观图如图所示,其中1B O C O ''''==,32A O ''=,那么原ABC 是一个A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边互不相等的三角形D 3【答案】AD 【解析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可. 【详解】由题中图形知,在原ABC 中,AO BC ⊥. 32A O ''=3AO ∴1B O C O ''''==,2BC ∴=,2AB AC ==,ABC ∴为等边三角形.ABC ∴的面积为12332⨯⨯=,故选：AD. 【点睛】本题主要考查了斜二测画法的规则,属于基础题型.例7．（2021·江西·奉新县第一中学高二阶段练习）（多选题）一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且1A B ''=，3O C ''=，2O A ''=，则原梯形的面积为（）A ．22B ．42C ．8D ．4【答案】C 【解析】【分析】根据直观图可知其平面图形为直角梯形，再计算面积即可得答案. 【详解】解：根据梯形的直观图可得其平面图形为直角梯形，上底为1，下底3，高为2''4h O A ==，所以原梯形的面积为()113482S =+⨯=. 故选：C例8．（2022·全国·高一）如图所示，A B C '''表示水平放置的ABC 的斜二测画法下的直观图，A B ''在x '轴上，B C ''与x '轴垂直，且3B C ''=，则ABC 的边AB 上的高为______．【答案】62 【解析】【分析】利用斜二测画法还原△ABC ，计算边AB 上的高. 【详解】过点C '作//C D y '''轴，交x ′轴于点D ，则45C D B ︒'''∠=.∵在Rt B C D '''中，3B C ''=，∴32C D ''=. 所以△ABC 的边AB 上的高262CD C D ''==. 故答案为:62.例9．（2022·全国·高一）已知水平放置的正ABC 的边长为2，那么该三角形的直观图'''A B C 的面积为_____. 【答案】64【解析】【分析】根据斜二测画法作出三角形的直观图'''A B C ，再求'''A B C 的面积. 【详解】如图所示直观图'''A B C 的高为''sin 45h C D =︒=1sin 452CD ︒=162sin 60sin 452⨯⨯︒⨯︒=底边长为''2A B AB == ∴'''A B C 的面积为：S=1166222AB h ⋅=⨯=故答案为：6 4.四、课堂定时训练（45分钟）1．（2021·四川·眉山市彭山区第一中学高二阶段练习（文））一个几何体的三视图均为圆，则该几何体可以是（）A．正方体B．球体C．三棱柱D．圆柱【答案】B【解析】【分析】由球体的平行投影性质即可确定几何体.【详解】由球体的性质：从三个方位作平行投影，其投影形状均为圆，而对于柱体、锥体没有该性质.故选：B2．（2021·陕西师大附中高一阶段练习）对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（）A．原来平行的边仍然平行B．原来垂直的边仍然垂直C．原来是三角形仍然是三角形D．原来是平行四边形的可能是矩形【答案】B【解析】【分析】根据斜二测画法的特点对四个选项逐一分析，即可得解【详解】由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，原来垂直的直线不一定垂直．故选：B3．（2022·内蒙古·呼和浩特市教学研究室高一期末）如图，用斜二测画法作水平放置的正三角形111A B C的直观图，则正确的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】由斜二侧画法的规则分析判断即可【详解】先作出一个正三角形111A B C ，然后以11B C 所在直线为x 轴，以11B C 边上的高所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，画对应的'',x y 轴，使夹角为45 ，画直观图时与x 轴平行的直线的线段长度保持不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，得到的图形如图，然后去掉辅助线即可得到正三角形的直观图如图，故选：A4．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）如图，边长为2的正方形O A B C ''''是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则图形OABC 的面积是（）A ．82B ．42C ．22D ．2【答案】A【解析】【分析】还原出原平面图形，得其结构尺寸，计算面积．【详解】由三视图知原平面图形OABC 是平行四边形，2OA =，42OB =，且OB OA ⊥，所以面积为24282⨯=．故选：A ．5．（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，四边形ABCD 是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，四边形ABCD 是一直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，且BC 与y 轴平行，若AB ＝6，DC ＝4，AD ＝2，则这个平面图形的实际面积是________.【答案】202【解析】【分析】先利用梯形面积公式得到直观图的面积，再利用直观图与原图形面积的倍数关系进行求解. 【详解】直角梯形ABCD的面积()642102S+⨯==，设原图形面积为S'，则24SS='，则这个平面图形的实际面积202S'=故答案为：2026．（2022·湖南·高一课时练习）如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2，2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为______.【答案】2 2【解析】【分析】作出直观图，结合斜二测画法概率计算【详解】如图，1B C''=，B'到x'轴的距离为21sin452⨯︒=．故答案为：22．7．（2021·湖北·丹江口市第一中学高二阶段练习）如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法画出这个梯形的直观图O A B C ''''，则在直观图中，梯形O A B C ''''的高为___________.【答案】22 【解析】【分析】由已知求出原图的面积，进而根据原图面积与直观图面积的关系，求出直观图的关系，设直观图的高为h ，结合直观图中梯形的两底长不变，构造关于h 的方程，可得答案．【详解】解：四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45︒的等腰梯形，故OABC 的高为2，面积1(26)282S =⨯+⨯=，故其直观图的面积28224S '=⨯=，设直观图的高为h ，则1(26)222h ⨯+⨯=，解得：22h =，即在直观图中，梯形O A B C ''''的高为22. 故答案为：22.。

立体图形的直观图讲义-高一下学期数学人教A版

课题：立体图形的直观图知识点一：空间几何体的三视图如图是交警在指挥交通时出现的一个手势,该手势从两个不同的方向同时拍摄,形成了交警两种不同的照片．1．若交警在做这个手势时,你恰好站在交警的正前方,则图中的第一张照片就是你看交警的正（主）视图,第二张图片就是你看交警的侧（左）视图；2．若此时另外一个人看交警做这个手势,他所观察到的正（主）视图是第二张照片,那么这个人相对交警来说站在交警的右边方向,如果我们俯视交警的这个手势,所观察的图象就是俯视图,（一）、三视图的定义：1．正（主）视图:光线从几何体的前面向后面正投影,得到的投影图；2．侧（左）视图:光线从几何体的左面向右面正投影,得到的投影图；3．俯视图:光线从几何体的上面向下面正投影,得到的投影图．（二）、投影的定义：由于光的照射,在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫作投影,其中,我们把光线叫作投影线,把留下物体影子的屏幕叫作投影面．（三）、常见的投影有中心投影、平行投影两类：1．中心投影:光由一点向外散射形成的投影,叫作中心投影．中心投影的投影线交于一点．2．平行投影:在一束平行光线照射下形成的投影,叫作平行投影．平行投影的投影线是平行的．3．在平行投影中,投影线正对着投影面时,叫作正投影,否则叫作斜投影．（四）、三视图分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）?哪些数量（长、宽、高）?有何关系?1．正（主）视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度；2．俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度；3．侧（左）视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度．4．因此正（主）视图与俯视图的长度相等,且相互对正,即“长对正”;正（主）视图与侧（左）视图的高度相等,且相互平齐,即“高平齐”;俯视图与侧（左）视图的宽度相等,即“宽相等”．正侧如图所示:俯知识点二：空间几何体的直观图《清明上河图》为北宋画家张择端所作,该画描绘北宋京城汴梁及汴河两岸的繁华、热闹的景象和优美的自然风光．作品以长卷形式,采用散点透视的构图法,将繁杂的景物纳入统一而富于变化的画卷中,画卷有814人,牲畜60多头,船只28艘,房屋楼宇30多栋,车20辆,轿8顶,树木170多棵,往来衣着不同,神情各异,栩栩如生,其间还穿插各种活动,注重情节,构图疏密有致,富有节奏感和韵律的变化,笔墨章法都很巧妙,颇见功底．（一）、直观图的定义：1．张择端通过画笔把北宋汴河两岸的繁华和热闹的景象呈现在纸上,从数学角度来看,就是把空间图形通过平面图形来呈现,像这种表示空间图形的平面图形叫作空间图形的直观图．（二）、直观图的画法：1．用斜二测画法画空间几何体的直观图：（1）建立三条轴:x'轴,y'轴和z'轴．（2）这三条轴相交于O',且∠x'O'y'=45°（或135°）．(3)与x轴平行的线段,在直观图中长度保持不变,与y轴平行的线段,在直观图中长度为原来的一半,平行于z轴的线段,在直观图中也要保持长度不变．要点诠释空间几何体的三视图与直观图有密切联系．由于三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视图可以得到一个精确的空间几何体,因此得到广泛应用（零件图纸、建筑图纸）．直观图是对空间几何体的整体刻画,根据直观图的结构可以想象实物的结构．典例强化例1．下列说法:①平行投影的投影线互相平行,中心投影的投影线相交于一点;②空间图形经过中心投影后,其大小和形状不变;③几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式．其中正确说法的个数为（）．A．0B．1C．2D．3例2．如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是BB1,BC的中点,则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为（）．例3．下面关于用斜二测画法画直观图的说法错误的是（）A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆例4．已知△ABC 的平面直观图△A'B'C'是边长为a 的正三角形,那么原△ABC 的面积为（）A ．2aB ．aC ．a 2D ．226a 例5．一个几何体的三视图如图所示,则该几何体直观图可以是（）．例6．若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可能是（）例7．画出下列几何体的三视图例8．根据几何体的三视图画出几何体例9．如图所示,四边形ABCD 是一个梯形,CD ∥AB,CD=AO=1,△AOD 为等腰直角三角形,O 为AB 的中点,试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积知识巩固练习1．一条直线在平面内的平行投影可能是（）A ．一条线段B ．一条射线C ．一条折线D ．一个点2．给出以下关于斜二测直观图的结论,其中正确的个数是（） ①角的水平放置的直观图一定是角;②相等的角在直观图中仍相等;③相等的线段在直观图中仍然相等;④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行．A ．0B ．1C ．2D ．33．根据图中给出的俯视图,找出对应的物体（1）对应；（2）对应；（3）对应；（4）对应；（5）对应．4．用斜二测画法画出下列图形的直观图（不写画法）课时跟踪训练1．如左下图所示的是物体的实物图,其俯视图是（）2．一个几何体的三视图如图所示,则组成该组合体的简单几何体为（） A ．圆柱与圆台 B ．四棱柱与四棱台C ．圆柱与四棱台D ．四棱柱与圆台3．在下列选项中,利用斜二测画法,边长为1的正△ABC 的直观图不是全等三角形的一组是（）4．如图所示,正方形O'A'B'C'的边长为1,它是水平放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是（）A ．322+B ．232+C ．6D ．85．在等腰梯形ABCD 中,上底CD=1,腰AD=CB=2,下底AB=3,以下底所在直线为x 轴,则由斜二测画法画出的直观图A'B'C'D'的面积为．6．由若干个小正方体组成的几何图形的三视图如图所示,则组成这个组合体的小正方体的个数是．7．如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A=6,O'C'=2,则原图形OABC 的面积为多少．。

8.2立体图形的直观图-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义(机构专用)

8.2 立体图形的直观图1、直观图定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法．2、斜二测画法规则（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴或y 轴，两轴相交于点O 。

画直观图时，把它们画成对应的x '轴与y '轴，两轴相交于点O '，且使 45='''∠y O x （或135），它们确定的平面表示水平面（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴与y '轴的线段（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半题型一直观图的步骤例 1 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【分析】根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，可得结论．【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．知识典例知识梳理巩固练习利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上结论正确的是（）A．①②B．①C．③④D．①②③④【答案】A【分析】根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行x轴的线段长度不变，平行y轴的线段长度减半，直角变为45或135判断.【详解】由斜二测画法的规则可知：因为平行关系不变，所以①正确；因为平行关系不变，所以②是正确；因为直角变为45或135，所以正方形的直观图是平行四边形，所以③错误；因为平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴的线段长度不变，所以④是错误，故选：A.题型二画直观图例2画出图中水平放置的四边形ABCD的直观图.【答案】图见解析.【分析】在四边形ABCD中，过A作出x轴的垂直确定坐标，进而利用斜二测画法画出直观图.【详解】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A 、C 在对应点1(3,1),(0,)2A C ''，而B 、D 对应点,B D ''位置不变，如下图示：用斜二测画法画出如图所示的水平放置的四边形OBCD 的直观图.【答案】见解析【分析】根据斜二测画法的规则作衅．【详解】（1）过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，如图①所示.巩固练习（2）画出相应的x '轴、y '轴，使45x O y '''∠=︒，如图②所示，在x '轴上取点B '，E '，使得O B OB ''=，O E OE ''=；在y '轴上取点D ，使得12O D OD =''；过点E '作//E C y '''轴，使12E C EC ''=.（3）连接B C ''，C D ''，并擦去x '轴、y '轴及其他一些辅助线，如图③所示，四边形O B C D ''''就是所求的直观图.题型三求解图形面积例 3 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且此梯形的面积为2，则原梯形的面积为__________.【答案】4.【分析】根据斜二测画法的原理将图形还原，平面图是一个直角梯形，由题，得平面图中梯形的高OA 的长度是直观图中梯形高的22倍，由此即可得到本题答案.【详解】由斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA 是直观图OA '长度的2倍，在直观图中，易得OA '的长度是直观图中梯形的高的2倍，由此平面图中梯形的高OA 的长度是直观图中梯形高的22倍，故其面积是梯形C OA 'B''面积的22倍，因为梯形C OA 'B''的面积为2，所以原梯形的面积是4.故答案为：4已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积为______.【答案】16或64.【分析】分边长为4的边若与x '轴平行，与y '轴平行两种情况讨论，再根据直观图的画法，即得解.题型四直观图中的线段长度例 4 如图所示为水平放置的正方形ABCO ，在平面直角坐标系xOy 中点B 的坐标为()2,2，用斜二测画法画出它的直观图A B C O ''''，则点B '到x '轴的距离为_____________.【答案】22. 【分析】根据斜二测画出，画出直观图A B C O ''''，计算，求解即可.【详解】在直观图A B C O ''''中，1B C ''=，45B C x '''∠=，故点B '到x '轴的距离为22. 巩固练习故答案为：22如图所示，用斜二测画法作水平放置的ABC 的直观图，得111A B C △，其中1111A B B C =，11A D 是11BC 边上的中线，则由图形可知下列结论中正确的是______.（填序号）①AB BC AC ==；②AD BC ⊥；③AC AD AB BC >>>；④AC AD AB BC >>=.【答案】③【分析】还原ABC ∆，可知2AB BC =且90ABC ∠=，进而通过图形可判断出结果.【详解】由直观图画出ABC ∆如图所示其中2AB BC =，①错误；90ABC ∠=，②错误；AC AD AB BC >>>，③正确，④错误故答案为：③巩固练习1、如图所示，正方形O A B C ''''的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（）A ．6B ．8C ．232+D ．223+【答案】B【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的原平面图形的形状，求出相应的边长，则可得结果.【详解】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段//C B x '''轴，所以在原图形中对应的线段平行于x 轴且长度不变，点C '和B ′在原图形中对应的点C 和B 的纵坐标是O B ''的2倍，则22OB =，所以3OC =，则四边形OABC 的长度为8．故选：B .2、OAB 的直观图如图所示，其中''''1O A O B ==，则在原图中边AB 的长为（）A 2B 3C ．2D 5【答案】D【分析】巩固提升由直观图确定原图形中三角形边的关系及长度，然后计算．【详解】在原图形中1OA O A ''==，22OB O B ''==，OA OB ⊥， ∴2222125AB OA OB =+=+=．故选：D.3、如图，'''O A B △是水平放置的OAB 利用斜二测画法得到的直观图，其中''6,''2O A O B ==，则OAB 的面积是（）A ．12B ．62C ．6D ．32【答案】A【分析】根据斜二测画法知OAB 为直角三角形,再结合长度关系，得到OAB 的面积.【详解】根据斜二测画法知OAB 为直角三角形，90,'6,22'24OA OB B AO O B ∠==︒==⨯=，故OAB 的面积164122S =⨯⨯=.故选：A4、下列选项中的△ABC 均是水平放置的边长为1的正三角形，在斜二测画法下，其直观图不是全等三角形的一组是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据平面图形直观图的斜二测画法规则判断，首先判断与坐标平行的线段长度的变化．如三角形的底和高．【详解】C 中，前者在斜二测画法下所得的直观图中，底边AB 不变，高变为原来的12，后者在斜二测画法下所得的直观图中，高OC 不变，底边AB 变为原来的12，故C 中两个图形在斜二测画法下所得直观图不全等. 故选：C.5、用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC 的直观图为如图所示的直角梯形O A B C ''''，其中梯形的上底长是下底长的13，若原平面图形OABC 的面积为32，则O A ''的长为（）A ．2B 2C 3D ．32【答案】D【分析】根据斜二测画法分析直观图与原图形中线段的关系确定【详解】解：设O A x ''=，则2O B x ''，在原图形中222OB O B x ''==，3x BC B C ''==，OA O A x ''==，OB 为原图形中梯形的高，面积为11()223223S x x x =⨯+⨯=，解得32x =，故选：D.6、若一个三角形采用斜二测画法作直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（）倍.A ．24B ．22C ．12D ．2【答案】A【分析】以三角形的一边为x 轴，高所在的直线为y 轴，由斜二测画法看三角形底边长和高的变化即可．【详解】以三角形的一边为x 轴，高所在的直线为y 轴，由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为y ′轴，长度减半，故三角形的高变为原来的1sin 4524︒=，故选：A .7、关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( )A ．原图形中平行于x 轴的线段,其对应线段平行于x '轴,长度不变B ．原图形中平行于y 轴的线段,其对应线段平行于y '轴,长度变为原来的12C ．在画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x O y '''时,x O y '''∠必须是45°D ．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同【答案】C【分析】根据斜二测画法的方法分析求解即可.【详解】根据斜二测画法的规则,平行于x 轴或在x 轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y 轴或在y 轴上的线段其长度在直观图中变为原来的12,并且45x O y '''︒∠=或135°, 故选：C .8、（多选）利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是（）（多选）A ．①B ．②C ．③D ．④ 【答案】AB【分析】根据斜二测画法的概念选择．【详解】水平放置的n 边形的直观图还是n 边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误，故选：AB .9、水平放置ABC ∆的斜二测直观图如图所示，已知3AC ''=，2B C ''=，则AB 边上的中线的长度为______.【答案】52【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出ABC ∆实际为一个直角边长分别为3、4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【详解】在直观图中，3AC ''=，2B C ''=，所以在Rt ABC ∆中，3AC =，4BC =，C ∠为直角，225AB AC BC ∴=+=，因此，AB 边上的中线的长度为1522AB =. 故答案为：52. 102___________．【答案】42 .【分析】根据斜二测画法的直观图和原图的面积比为定值，即可求出．【详解】 22S '=，又直观图与原图面积之比为24S S '=42S = 故答案为： 42。

【高中数学】立体图形的直观图同步课件高一数学同步精品课件+跟踪分层训练人教A版2019必修第二册

[答案] ，，， .
4.正方体的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？
[答案] 没有都画成正方形.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来垂直的仍垂直.( )
×
（2）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍平行.( )
[解析] 由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不与底垂直.故选A.
3.用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴，轴，且，则在直观图中 ( ).
A. B. C. 或 D.
C
[解析] 在画直观图时，的两边依然分别平行于轴，轴，而或 .故选C.
4.水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为____.
2.5
[解析] 由直观图知，原平面图形为，且，，计算得，故所求的中线长为2.5.
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2.下面每个选项的2个边长为1的正的直观图不是全等三角形的一组是( ).
A. B. C. D.
巩固训练
1.关于斜二测画法所得的直观图，以下说法正确的是( ).
A.等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B.正方形的直观图为平行四边形C.梯形的直观图不是梯形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形
B
[解析] 由于直角在直观图中有的成为，有的成为，当线段与轴平行时，在直观图中长度不变且仍与轴平行，因此只有B正确.
方法总结
某简单组合体由上、下两部分组成，下部分是一个圆台（上底面面积大于下底面面积），上部分是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆台的上底面重合，用斜二测画法画出这个组合体的直观图.

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《8.2 立体图形的直观图》考点讲解【思维导图】考法一平面图形的直观图【例1-1】按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．''''是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测【例1-2】．如图，四边形A B C D画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.【一隅三反】1．一个菱形的边长为4cm ，一内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图。

2．画出图中水平放置的四边形ABCD 的直观图.考法二空间几何体的直观图【例2-1】用斜二测画法画一个棱长为3cm 的正方体的直观图.【例2-2】．用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.【一隅三反】1．用斜二测画法画一个上底面边长为1cm ，下底面边长为2cm ，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为2cm 的正四棱台.2．用斜二测画法画出底面边长为2cm ，侧楼长为3cm 的正三棱柱的直观图.3．画底面半径为1cm ，母线长为3cm 的圆柱的直观图。

4．画出各条棱长都相等的正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图.考法三直观图与原图的周长面积【例3】如图是水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图A B C D ''''，且A D y '''轴，A B x'''轴，则原四边形ABCD的面积是（）A．14 B．C．28 D．【一隅三反】1．ABC是边长为1的正三角形，那么ABC的斜二测平面直观图'''A B C的面积（）A B C．8D2．用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（）A．B．C．D．3．ABC为边长为2cm的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的面积为______．其直观图的周长为______．考向四斜二测法【例4】关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( )A．原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x'轴,长度不变B．原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y'轴,长度变为原来的1 2C ．在画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x O y '''时,x O y '''∠必须是45°D ．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同【一隅三反】1．利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（）①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④2.下列说法正确的是（）A ．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B ．梯形的直观图可能是平行四边形C ．矩形的直观图可能是梯形D ．正方形的直观图可能是平行四边形3.下列命题中正确的是( )A ．利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形B ．利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形C ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台《8.2 立体图形的直观图》考点讲解答案解析考法一平面图形的直观图【例1-1】按图示的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE 的直观图．【答案】参考答案见试题解析．【解析】画法：（1）在图（1）中作AG ⊥x 轴于G ，作DH ⊥x 轴于H ．（2）在图（2）中画相应的x ′轴与y ′轴，两轴相交于点O ′，使∠x ′O ′y ′＝45°．（3）在图（2）中的x ′轴上取O ′B ′＝OB ，O ′G ′＝OG ，O ′C ′＝OC ，O ′H ′＝OH ，y ′轴上取O ′E ′＝OE ，分别过G ′和H ′作y ′轴的平行线，并在相应的平行线上取G ′A ′＝GA ，H ′D ′＝HD ．（4）连接A ′B ′，A ′E ′，E ′D ′，D ′C ′，并擦去辅助线G ′A ′，H ′D ′，x ′轴与y ′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE 的直观图A ′B ′C ′D ′E ′（如图（3））．【例1-2】．如图，四边形A B C D ''''是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.【答案】图像见解析，【解析】画出平面直角坐标系xOy ，使点A 与原点O 重合，在x 轴上取点C ，使AC =，再在y 轴上取点D ，使2AD =，取AC 的中点E ，连接DE 并延长至点B ，使DE EB =，连接DC ，CB ，BA ，则四边形ABCD 为正方形''''A B C D 的原图形，如图所示.易知四边形ABCD 为平行四边形.∵2AD =，AC =∴2ABCD S ==【一隅三反】1．一个菱形的边长为4cm ，一内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图。

【答案】见解析.【解析】菱形直观图如下：2．画出图中水平放置的四边形ABCD 的直观图.【答案】图见解析.【解析】由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知A 、C 在对应点1(3,1),(0,)2A C ''，而B 、D 对应点,B D ''位置不变，如下图示：3．如图，A B C '''是水平放置的ABC ∆斜二测画法的直观图，6A C ''=，4B C ''=，能否判断ABC 的形状并求A B ''边的实际长度是多少？【答案】答案见解析【解析】根据斜二测画法规则知：90ACB ∠=，故ABC 为直角三角形，ABC 中，6AC =，8BC =，故10AB ==.考法二空间几何体的直观图【例2-1】用斜二测画法画一个棱长为3cm 的正方体的直观图.【答案】见解析【解析】如图所示：在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图，擦除坐标轴，即可得到直方图的直观图.【例2-2】．用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.【答案】见解析【解析】（1）如图，在正六边形ABCDEF 中，取AD 所在直线为x 轴，AD 的垂直平分线MN 为y 轴，两轴相交于点O .在图中，画相应的x '轴与y '轴，两轴相交于点'O ，使'45x O y ''︒∠=；（2）根据斜二测画法法，画出正六边形ABCDEF 水平放置的直观图ABCDEF ；（3）画侧棱，过,,,,,A B C D E F 各点分别作z 轴的平行线，得到正六棱柱的侧棱；（4）成图，顺次连接,,,,,A B C D E F ''''''，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），【一隅三反】1．用斜二测画法画一个上底面边长为1cm ，下底面边长为2cm ，高（两底面之间的距离，即两底面中心连线的长度）为2cm 的正四棱台.【答案】见解析【解析】（1）画轴.如图（1）所示，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使45,90xOy xOz ︒︒∠=∠=.（2）画下底面.以点O 为中点，在x 轴上截取线段2cm MN =，在y 轴上截取线段1PQ cm =，分别过点,M N 作y 轴的平行线，过点,P Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为,,,A B C D ，四边形ABCD 就是正四棱台的下底面.（3）画高.在Oz 上截取2cm OO '=，过O '分别作平行于,Ox Oy 的直线',O x y O '''. （4）画上底面.在平面'x O y ''上用画正四棱台下底面的方法画出边长为1cm 的正四棱台的上底面的直观图A B C D ''''.（4）成图.顺次连接,,,AA BB CC DD ''''，整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线）得到正四棱台的直观图，如图（2）所示.2．用斜二测画法画出底面边长为2cm，侧楼长为3cm的正三棱柱的直观图.【答案】见解析.【解析】正三棱柱直观图如图：3．画底面半径为1cm，母线长为3cm的圆柱的直观图。

【答案】见解析.【解析】圆柱直观图如图：4．画出各条棱长都相等的正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图.【答案】见解析【解析】第一步：画x '轴、y '轴、z '轴，使45x O y '''∠=，90x O z '''∠=第二步：按x '轴、y '轴，画正六边形的直观图ABCDEF第三步：过,,,,,A B C D E F 各点分别作z '轴的平行线，并在这些平行线上分别截取,,,,,AA BB CC DD EE FF ''''''都等于棱AB 的长第四步：顺次连接,,,,,A B C D E F ''''''，去掉辅助线及字母，将被遮挡的部分改为虚线，就得到所求作的正六棱柱的直观图.考法三直观图与原图的周长面积【例3】如图是水平放置的四边形ABCD 的斜二测直观图A B C D ''''，且A D y '''轴，A B x '''轴，则原四边形ABCD 的面积是（）A ．14B ．C ．28D ．【答案】C 【解析】（方法一）还原平面图形，如图左所示，延长D A ''，交x '轴于E '，如图右所示，画出平面直角坐标系，取OE O E ''=，过点E 作EFy 轴，在EF 上截取2EA A E ''=，28AD A D ''==，再过点D 作DC x ∥轴，过点A 作ABx 轴，并截取2DC D C ''==，5AB A B ''==.连接BC ，可得直观图A B C D ''''的原平面图形ABCD .由作出的图形可知，1(25)8282ABCD S =⨯+⨯=四边形.（方法二）因为4A D ''=，所以梯形A B C D ''''的高为故1(25)2A B C D S ''''=⨯+=则28ABCD A B C D S ''''==四边形梯形. 故选：C 【一隅三反】1．ABC 是边长为1的正三角形，那么ABC 的斜二测平面直观图'''A B C 的面积（）A B C D 【答案】A以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，画对应的'x 轴，'y 轴，使'''45x O y ∠=︒，如下图所示，结合图形，ABC 的面积为1112224ABCS AB OC =⨯⨯=⨯⨯=，作C D AB ⊥'''，垂足为D ，则12C D O C OC ==⨯='''，''AB A B =，所以'''A B C 的面积11222244A B C ABCS A B C D OC AB S=⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯''''''，即原图和直观图面积之间的关系为=4S S 直观图原图，所以，'''A B C 的面积为4A B C S =='''. 故选：A.2．用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B可以以直角顶点为坐标原点建立坐标系，由斜二测画法规则知，在直观图中此角为钝角，排除C 和D ，又原三角形的高在y 轴上，在直观图中在y '上，长度减半，排除A. 故选：B.3．ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的面积为______．其直观图的周长为______．【解析】如图所示ABC 为边长为2cm 的正三角形，则其水平放置的直观图'''A B C 的面积为'''A B CS12B C O A ''''=⋅⋅12⋅sin45°＝12×2×（12×2×sin60°）×sin45°＝4其直观图'''A B C 的周长为L A B B C C A ''''''=++12）+2+12）＝.故答案为：4. 考向四斜二测法【例4】关于“斜二测画法”,下列说法不正确的是( ) A ．原图形中平行于x 轴的线段,其对应线段平行于x '轴,长度不变 B ．原图形中平行于y 轴的线段,其对应线段平行于y '轴,长度变为原来的12C ．在画与直角坐标系xOy 对应的坐标系x O y '''时,x O y '''∠必须是45°D ．在画直观图时,由于选轴的不同,所得的直观图可能不同【答案】C【解析】根据斜二测画法的规则,平行于x 轴或在x 轴上的线段其长度在直观图中不变,平行于y 轴或在y 轴上的线段其长度在直观图中变为原来的12,并且45x O y '''︒∠=或135°,故选：C. 【一隅三反】1．利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（）①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④【答案】B【解析】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①错；两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错；根据直观图的画法中，平行性保持不变，可得③，④正确. 故选：B.2.下列说法正确的是（）A ．互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形【答案】D【解析】A项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直,故A项错误。