八年级数学 第十一章 第1节 全等三角形 人教新课标版

初二数学第十一章第1节全等三角形人教新课标版

一、学习目标：

1. 通过实例理解全等图形的概念和特征，并能找出全等图形。

2. 能叙述全等三角形的定义及相关概念，并能找出两个全等三角形的对应边和对应角。

3. 掌握全等三角形的性质，会利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题。

二、重点、难点：

重点是全等三角形的概念，难点是全等三角形的对应顶点要对应写，对应关系要明确。

三、考点分析：

本讲所涉及的考点是全等三角形的概念与全等三角形的性质。在这里，全等三角形的概念属于了解范畴，而全等三角形的性质属于掌握范畴，对其性质还要求会运用。这两个知识点不会单独出大题，只会以小题的形式出现，或在大题中用到。所以，大家只要在掌握各概念性质的基础上弄清对应关系即可。

1. 全等三角形的基本概念:

（1）全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

（2）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点。重合的边叫做对应边。重合的角叫做对应角。

（3）全等三角形的表示方法：△ABC≌△A’B’C’（如图1）

A’

B C ’

图1

2. 全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等；

（2）全等三角形的对应角相等。

知识点一：全等三角形的基本概念

例1. 下列说法正确的有（）

①用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形

②我国国旗上的4颗小五角星是全等图形

③所有的正方形是全等图形

④全等图形的面积一定相等

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

思路分析：

1）题意分析：本题主要考查全等图形定义中对“能够完全重合”的理解。

2）解题思路：根据全等图形的定义：“能够完全重合的两个图形叫做全等图形。”来判断题目中每一句话中所谈到的图形是否能完全重合。

解答过程：用一张底片冲洗出来的10张一寸照片的形状和大小完全相同，它们是全等图形，所以①正确；我国国旗上的四颗小五角星的形状和大小也完全相同，它们也是全等图形；所以②正确；所有的正方形只是形状相同，但大小不一定相同，所以它们不是全等图形，故③不正确；全等图形的形状和大小完全相同，所以面积一定相等，所以④正确。因此，①②和④是正确的，故选C。

解题后的思考：在判断全等图形或全等三角形时，一定要根据定义看我们所要判断的图形是否能够完全重合。

例2.已知：如图2，△ABD ≌△CDB，若AB∥CD，则AB的对应边是（）

A. DB

B. BC

C. CD

D. AD

思路分析：

1）题意分析：本题一方面考查全等三角形的概念，另一方

面考查全等三角形的对应顶点、对应边、对应角是否对应。本题通过给出条件AB∥CD，得出∠ADB=∠CBD，从而得出点D和点B是对应顶点。

2）解题思路：由于AB和DB、BC、AD都不可能相等，所以不可能是对应边。

解答过程：由于对应边一定是全等三角形能够重合的边，所以对应边必须相等才可能重合，而DB、BC、AD都不等于AB，所以都不是AB的对应边，故AB的对应边是CD。答案选（C）。

解题后的思考：本题主要考查全等三角形的定义及全等三角形各顶点的对应关系。

例3. 观察图3中的各个图形，其中的全等图形为（图形用编号表示）：。

图3

思路分析：

1）题意分析：全等图形是指能够完全重合的两个图形，目前要判断两个图形是否全等，一般是通过观察法，看它们经过平移、翻折、旋转之后能不能完全重合。

2）解题思路：判断图形是否全等，一般要通过平移、旋转、翻折后看其是否完全重合，在解答本题时，首先找出同类图形，然后看其通过平移、旋转、翻折后能否完全重合。

解答过程：（1）和（6）通过平移能够重合，所以（1）和（6）是全等图形；（2）和（5）通过翻折、平移后能够重合，所以（2）和（5）是全等图形；（3）和（8）通过旋转、平移后能够重合，所以（3）和（8）是全等图形。因此，本题中的全等形为（1）和（6），（2）和（5），（3）和（8）。

解题后的思考：本题一方面考虑到全等图形的定义：“能够完全重合的两个图形叫全等图形。”另一方面，应考虑到网格图、简笔画图的全等图形一般都是通过对图形的平移、旋转、翻折得到的。

小结：本题组主要考查了全等图形的基本概念，在判断两个图形是否能够完全重合时，一般要通过平移、翻折、旋转这三种变换。令学生初步渗透初中平面几何中三种全等变换的意识。

知识点二：全等三角形的性质

例4. 如图4，已知△ABD≌△ACE，AB=AC，写出这对全等三角形的对应边和对应角。

图4

思路分析：

1）题意分析：要写出全等三角形的对应边和对应角，首先要判断出两个三角形能够重合的边和能够重合的角。另外，要注意在全等三角形中，对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边。

2）解题思路：在△ABD与△ACE中，AB=AC，所以AB与AC是对应边，它们所对的角是对应角，即∠ADB与∠AEC是对应角，∠A是公共角，所以∠A与∠A是对应角，剩下的∠B与∠C对应，这些对应角所对应的边是对应边，所以，AD与AE对应，BD与

CE对应。

解答过程：因为AB=AC，所以∠ADB与∠AEC是对应角，因为∠A=∠A，所以∠A 与∠A是公共角，根据三角形的内角和定理180°－∠A－∠ADB =180°－∠A－∠AEC，可得∠B=∠C，所以∠B与∠C是对应角；根据对应角所对的边是对应边，可以知道，AD 与AE是对应边，BD与CE是对应边。综上可得，∠A与∠A，∠ADB与∠AEC，∠B与∠C是对应角，AB与AC，BD与CE，AD与AE是对应边。

解题后的思考：本题除了运用前面介绍的方法外，也可用简便的方法来找出对应角、边。对照图4，发现条件中的△ABD≌△ACE是按照对应顶点的顺序写的，所以可按顺序写出它们的对应边：AB与AC，BD与CE，AD与AE；对应角：∠A与∠A，∠ADB与∠AEC，∠B与∠C。

例5. 如图5甲，已知△ABE≌△ACD，∠1=∠2，∠B=∠C，指出其他的对应边和对应角。

甲乙

图5

思路分析：

1）题意分析：已知两个三角形△ABE和△ACD全等，同时知道了两对角相等：∠1=∠2，∠B=∠C，要找出其他的对应边和对应角。

2）解题思路：先将两个全等的三角形分离出来，通过观察，找出能够重合的边和角。

解答过程：将两个全等的三角形△ABE和△ACD分离出来，如图5乙，因为∠1=∠2，∠B=∠C，所以另一组对应角为∠BAE=∠CAD；又因为∠B和∠C的对边分别是AE，AD，∠1和∠2的对边分别是AB和AC，所以它们的对应边为AB与AC，AE与AD，BE与CD。

解题后的思考：在复杂图形中找全等三角形的对应边、对应角时，首先要把两个全等的三角形从图形中分离出来，再通过平移、翻折、旋转找出对应顶点，从而找出对应边，对应角。

（变式）如图6，△ABD≌△ACE，试说明∠EBD与∠DCE的关系。

思路分析：

1）题意分析：已知两个三角形△ABD和△ACE全等，要求∠EBD与∠DCE的关系，注意找出这两个角与已知全等三角形对应角的关系。

2）解题思路：利用全等三角形的对应角相等得到∠D与∠E，再利用对顶角相等得到∠DOC=∠BOE，再利用三角形的内角和等于180°及等式性质得到∠EBD=∠DCE。

解答过程：因为△ABD≌△ACE，所以∠D=∠E。又因为∠DOC=∠BOE，所以180°