第一章线性空间与线性映射1

第一章 线性空间与线性映射

线性空间是研究矩阵理论的重要基础，本章主要讨论线性空间及其子空间的性质、线性映射与矩阵的关系等。

§1.1 数 域

定义1 设F 是至少包含两个数的数集，如果F b a ∈∀,均有

ab b a ,±F b b

a

∈≠)0(,，则称F 是数域。

例1 全体实数构成实数域，记为R 。全体复数构成复数域，记为C 。全体有

理数构成有理数域，记为Q 。 例2 全体整数不够成数域，因为对除法不封闭。 例3

设{|,}F a a Q b Q =∈∈，证明F 是数域。

证明 ,F αβ∀∈，则1122,,,a b a b Q ∃∈

，使得1122,a a αβ==，易证

,αβαβ±,(0)F α

ββ

≠∈。 例4 证明任何数域F 都包含有理数域。

证明 因为F 中至少包含两个不同元素，所以0,≠∈∃a F a ，由运算的封闭性

知

F a

a

∈=1，112,123,F +=+=∈ 121,132F -=--=-∈，所以F 包含

了全体整数，又由除法封闭性知F 包含有理数域。

和号：∑∑∑∑=====∈n j m

i j i m i n

j j

i j i a a

F a 11

11

,

§1.2 线 性 空 间

在线性代数中n R 是n 维实向量空间，在本节中将此概念推广到一般向量空间。

定义1 设V 是一个非空集合，F 是一个数域。在集合V 的元素之间定义一种称之为加法的运算，且V 关于加法封闭，即,,x y V ∀∈有唯一的V y x ∈+。在F 与

V 之间定义一种运算称之为数乘，即V x F ∈∈λ∀,有唯一确定的V x ∈λ=ω与之

对应，如果以上两种运算满足以下八条运算规则，则称V 为数域F 上的线性空间，

V 中元素也称为V 中的向量，也记)(F V V =。

V y x x y y x ∈∀+=+,.1

V z y x z y x z y x ∈∀++=++,,)

()(.2

.3V θ∃∈使,x x x V θ+=∀∈，称θ为零元素，也记为0。

V y V x ∈∃∈∀,.4，使x y θ+=（记x y -=） 5.()x x x λμλμ+=+ ,F λμ∀∈ x V ∀∈ y x y x λ+λ=+λ)(.6 F λ∀∈ ,x y V ∀∈ 7.()()x x λμλμ= ,F λμ∀∈ x V ∀∈ 8.1x x x V =∀∈

例1 设F 为数域，则1212{[]|,,,}n T n n F a a a a a a F =∈按通常的n 维向量加

法与数乘，不难证明n F 为F 上的向量空间。

例2 记n m F ⨯为数域F 上的n m ⨯矩阵的全体，按通常的矩阵加法与数乘构成

F 上的向量空间，其中m n O θ⨯=。

例3 ],[b a C 为区间],[b a 上一切一元连续实函数，按通常的实函数加法和数

乘，构成了实数域R 上的线性空间，其中0θ=。

例4 n x P ][为不超过1-n 次的实多项式及零多项式的全体，是实数域R 上线

性空间。

例5 复数域C 是实数域R 上的线性空间，而R 却不是C 上的线性空间. 以下为线性空间的简单性质。 性质1 线性空间)(F V 中零元素唯一。

证明 设有零元素12,()V F θθ∈，则1122θθθθ=+=。

性质2 (),()x V F y V F ∀∈∃∈使得,x y θ+=则y 唯一，称为x 的负元素。

证明 设12,x y x y θθ+=+=，则

1112()y y y x y θ=+=++ 1222()y x y y y θ=++=+=

性质3 0,(),x x x θλλλθθ=-=-= 证明 x x x x 00)00(0+=+=，所以0x θ=。

因为()[()]0x x x x λλλλθ+-=+-==，所以x x λ-=λ-)(。 因为()x x x λλθλθλ+=+=，所以λθθ=。

性质4 若x λθ=其中)(,F V x F ∈∈λ，则0=λ或x θ=。

证明 若0=λ命题显然成立，不妨设0≠λ，则

11

()x x λθθλλ

===

定义2 设)(F V W ⊂，若W 在数域F 上也是线性空间，则称)(F W 为)(F V 的

子空间（按原来的两种运算）。

若W 是线性空间V 的非空子集，则在线性空间定义的八个条件中除3,4条外，W 显然满足其余条件。而如果封闭性满足了，3,4条就成立了。这是因为

)(,,,F W x W y x W y x ∈λ∀∈λ∈+∈∀，则0,x W θ=∈(1)x x W -=-∈，因此有

下面的定理。

定理1 设)(F V 是线性空间，W 为V 的非空子集，按原来的两种运算W 是线

性空间⇔W 按原来两种运算封闭。 例6 数域F 上的n 阶对称阵的全体构成了n n F ⨯的一个子空间。

定义3 设t ααα,,,21 是数域F 上的线性空间V 中的向量，则不难证明

t ααα,,,21 的线性组合的全体构成了V 的一个子空间，记为),,,(21t L ααα 或 12span[,,

,]t ααα，称为t ααα,,,21 生成或张成子空间。

零向量集合及V 本身都是的V 子空间，称为平凡子空间。若W 是V 的子空间，且不是平凡子空间，则称W 是V 的真子空间。

§1.3 线性空间的基

与n R 中一样，我们在)(F V 中也要讨论线性相关性及向量组的秩和极大无关