《圆周角》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品
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O
B
A C
E
F 24.1 .4 圆
教学内容
1.圆周角的概念.
2.圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,•都等于这条弦所对的圆心角的一半.
推论:半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用.
教学目标
1.了解圆周角的概念.
2.理解圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,•都等于这条弧所对的圆心角的一半.
3.理解圆周角定理的推论:半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角,90•°的圆周角所对的弦是直径.
4.熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用.
设置情景,给出圆周角概念,探究这些圆周角与圆心角的关系,运用数学分类思想给予逻辑证明定理,得出推导,让学生活动证明定理推论的正确性,最后运用定理及其推导解决一些实际问题. 重难点、关键
1.重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题. 2.难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理. 3.关键:探究圆周角的定理的存在. 教学过程 一、复习引入
〔学生活动〕请同学们口答下面两个问题. 1.什么叫圆心角?
2.圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢? 老师点评:〔1〕我们把顶点在圆心的角叫圆心角.
〔2〕在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,•那么它们所对的其余各组量都分别相等.
刚刚讲的,顶点在圆心上的角,有一组等量的关系,如果顶点不在圆心上,它在其它的位置上?如在圆周上,是否还存在一些等量关系呢?这就是我们今天要探讨,要研究,要解决的问题.
二、探索新知
问题:如下图的⊙O ,我们在射门游戏中,设E 、F 是球门,•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门,如下图的A 、B 、C 点.通过观察,我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠E CF 这样的角,它们的顶点在圆上,•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 现在通过圆周角的概念和度量的方法答复下面的问题. 1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? 2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化?
3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系?
〔学生分组讨论〕提问二、三位同学代表发言. 老师点评:
O B
A
C
O B
A C D
1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个.
2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的. 3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半.
下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半.〞
〔1〕设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径,如下图 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=
1
2
∠AOC 〔2〕如图,圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧,
那么∠ABC=
1
2
∠AOC 吗?请同学们独立完成这道题的说明过程. 老师点评:连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角,∠COD 是△BOC 的外角,•那么就有∠AOD=2∠ABO ,∠DOC=2∠CBO ,因
此∠AOC=2∠ABC .
〔3〕如图,圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同
侧,那么∠ABC=1
2
∠AOC 吗?请同学们独立完成证明.
老师点评:连结OA 、OC ,连结BO 并延长交⊙O 于D ,那么∠
AOD=2∠ABD ,∠COD=2∠CBO ,而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-1
2
∠
COD=1
2
∠AOC
现在,我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ,•同样可证得它等于同弧上圆心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的. 从〔1〕、〔2〕、〔3〕,我们可以总结归纳出圆周角定理:
在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 进一步,我们还可以得到下面的推导:
半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 下面,我们通过这个定理和推论来解一些题目.
例1.如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长BD 到C ,使AC=AB ,BD 与CD 的大小有什么关系?为什么?
分析:BD=CD ,因为AB=AC ,所以这个△ABC 是等腰,要证明D 是BC 的中点,•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可. 解:BD=CD 理由是:如图24-30,连接AD ∵AB 是⊙O 的直径
∴∠ADB=90°即AD ⊥BC
又∵AC=AB ∴BD=CD
O
B
A
D O
B
A
C D
O
B A
C
D
三、稳固练习
1.教材P92 思考题. 2.教材P93 练习. 四、应用拓展
例2.如图,△ABC 内接于⊙O ,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ,b ,c ,⊙O 半径为R ,求
证:
sin a A =sin b B =sin c C
=2R . 分析:要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ,只要证明sin a A =2R ,sin b B =2R ,sin c
C
=2R ,
即sinA=2a R ,sinB=2b R ,sinC=2c
R
,因此,十清楚显要在直角三角形中进行.
证明:连接CO 并延长交⊙O 于D ,连接DB
∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D
在Rt △DBC 中,sinD=
BC DC ,即2R=sin a
A
同理可证:sin b B =2R ,sin c
C =2R
∴sin a A =sin b B =sin c
C
=2R
五、归纳小结〔学生归纳,老师点评〕 本节课应掌握: 1.圆周角的概念;
2.圆周角的定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,•都相等这条弧所对的圆心角的一半;
3.半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 4.应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题. 六、布置作业
1.教材P95 综合运用9、10、11 拓广探索12、13. 2.选用课时作业设计.
第三课时作业设计 一、选择题
1.如图1,A 、B 、C 三点在⊙O 上,∠AOC=100°,那么∠ABC 等于〔 〕. A .140° B .110° C .120° D .130°
O
B
A
2
1
4
3
O
B