常见不等式放缩公式
不等式的放缩策略
不等式的放缩策略发表时间：2018-09-05T15:20:04.090Z 来源：《教育学文摘》2018年10月总第278期作者：王维华尹丽娥[导读] 不等式问题处理时经常会遇到需要进行放缩，此类问题典型特征是不等式不取等号，其中以与n有关的数列型不等式居多，本文就几种常见类型进行阐述。
山东省昌邑市文山中学261300不等式问题处理时经常会遇到需要进行放缩，此类问题典型特征是不等式不取等号，其中以与n有关的数列型不等式居多，本文就几种常见类型进行阐述。
一、利用常见不等式放缩1.不等式＞（b>a>0，m>0）其中b<a时类似处理。
例：求证（1+1）（1+ ）（1+ ）…(1+ ）> 2n+1。
解：利用假分数的性质> （b>a>0，m>0）可得· · … > · · … = · · … ·（2n+1）（· · … ）2>2n+1即（1+1）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）> 2n+1。
2.均值不等式。
例：求证：Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn ＞n·2 (n＞1,n∈N)。
证明：Cn1+Cn2+Cn3+…+Cnn =2n-1=1+2+22+…+2n-1＞n· 1·2·22…2n-1=n·2 ，得证。
3.贝努利不等式（1+x)n＞1+nx（n∈N*，n≥2,x＞-1,x≠0)。
例：求证（1+1）（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＞2n+1（同第一个例题）。
利用贝努利不等式（1+x)n＞1+nx（n∈N*，n≥2,x＞-1,x≠0)的一个特例：令n=2，x= 得：（1+ )2>1+2· ，所以1+ >∏(1+ ）=∏ = 2n+1。
4.柯西（Cauchy）不等式[∑(aibi）]2≤∑ai2∑bi2。
不等式证明放缩法
不等式证明放缩法下面以一些常见的不等式为例，介绍不等式证明的放缩法。
1.形式：对于给定的不等式，我们希望通过放缩法证明其成立。
假设不等式是要证明的命题P，即P成立。
我们可以找到一个等价命题Q，使得Q更容易证明，即P等价于Q。
2.推论：通过利用已知的数学性质和常见的数学不等关系，我们可以推出不等式的一些性质和结构。
这些推论可以是基本的数学定理、常见的不等式性质或者已知的不等关系。
3.放缩：利用推论中得到的性质，我们可以对给定的不等式进行放缩处理。
放缩的目的是使得式子更容易处理，并且逼近或者确切地表示给定的不等式。
常见的放缩方法包括乘法放缩、加法放缩以及函数放缩等。
4.确定条件：在放缩过程中，我们需要确定一些条件以保证放缩后的不等式仍然成立。
这些条件可以是已知的数学性质、函数的性质以及数学不等式的性质等。
5.证明：最后，我们通过利用放缩后的不等式和确定的条件，进行形式上的证明。
证明可以是直接的运算、利用已知不等式或者使用归纳法等。
下面我们以一些例子来具体说明不等式证明的放缩法。
例一：证明对于任意的正实数a，b，c成立(a+b)(b+c)(c+a) ≥8abc。
解：假设P为要证明的不等式，即P:(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc。
针对P进行放缩如下：(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc≥ 3√(abc) * 3√(a²b²c²) - abc (根据均值不等式)= 3√(abc * a²b²c²) - abc≥ 3√(8a⁻²b⁻²c⁻²abc * a²b²c²) - abc (由调和-几何均值不等式得到)= 6abc - abc= 5abc.所以P成立。
例二：证明对于任意的正实数x。
解：假设P为要证明的不等式。
针对P进行放缩如下：1/x+1/(1-x)=(1-x+x)/x(1-x)=1/x(1-x)≥1/(1/4)所以P成立。
常用的放缩不等式
常用的放缩不等式指数函数放缩放缩成一次函数1） e^x\geq x+1>x （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}设 f\left( x \right)=e^x-x-1 ,则 f'(x)=e^x-1 ;令f'(x)=0 得： x=0 ；所以 x\in(-\infty,0) 时，f'(x)<0, f(x) 单调递减；x\in(0，+\infty) 时，f'(x)>0, f(x) 单调递增；故 f(x)_{min}=f(0)=0 ,所以f\left( x \right)=e^x-x-1\geq0 ，即 e^x\geq x+1 ,又 x+1>x ,因此e^x\geq x+1>x （仅当 x=0 取等）；2）e^x\geq ex （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}将 x-1 代入不等式1） e^x\geq x+1 得：e^{x-1}\geq \left( x -1\right)+1=x ，不等式两端再乘以 e 即可得到 e^x\geq ex ,仅当x-1=0，即x=1时取等号；放缩成反比例函数3）e^x\leq \frac{1}{1-x},\left ( x <1\right) （仅当x=0 取等号）；\color{red}{证明：}将 -x 代入不等式1）e^x\geq x+1 得： e^{-x}\geq -x+1 ；令 -x+1>0 即 x <1 ，再让不等号两端同时乘以 e^x 、同时除以 -x+1 ，不等号方向不变；得 \frac{1}{1-x}\geq e^x ，当且仅当-x=0，即x=0 取等号；4）e^x< -\frac{1}{x},\left ( x <0\right)\color{red}{证明：}当 x<0 时， 1-x>-x>0 ,所以 \frac{1}{1-x}<\frac{1}{-x} ;由 e^x\leq \frac{1}{1-x},\left ( x <1\right)得 :e^x\leq \frac{1}{1-x}<-\frac{1}{x} ;放缩成高次幂函数5）e^x\geq1+x+\frac{1}{2}x^2(x\geq0) （仅当 x=0 取等号）；6）e^x\leq1+x+\frac{1}{2}x^2(x\leq0) （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}设 f(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1 ,则 f'(x)=e^x-x-1 ，由1） e^x\geq x+1可得 f'(x)\geq0 ,所以 f(x) 在 (-\infty,+\infty) 单调递增；又 f(0)=0 ,因此当 x\in[0,+\infty) 时，f(x)\geq f（0)=0 ,即e^x\geq1+x+\frac{1}{2}x^2（仅当 x=0 取等号）；当 x\in(-\infty,0] 时，f(x)\leq f（0)=0 ,即e^x\leq1+x+\frac{1}{2}x^2（仅当 x=0 取等号）；7）e^x\geq1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3 （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}设 f(x)=e^x-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-x-1 ,则f'(x)=e^x-\frac{1}{2}x^2-x-1 ，由5）e^x\geq1+x+\frac{1}{2}x^2(x\geq0) ；6）e^x\leq1+x+\frac{1}{2}x^2(x\leq0) 可知： x\in(-\infty,0) 时，f'(x)<0, f(x) 单调递减；x\in(0，+\infty) 时，f'(x)>0, f(x) 单调递增；故 f(x)_{min}=f(0)=0 ,所以f(x)=e^x-\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{2}x^2-x-1\geq0 ,即e^x\geq1+x+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x^3.对数函数放缩放缩成一次函数1） ln(x+1)\leq x （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}因为 e^x\geq x+1 ,所以对不等式两边取对数即可得 lne^x=x\geq ln(x+1) ，取等号的条件与不等式e^x\geq x+1相同，即当 x=0 取等号；2）lnx\leq x-1<x （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}将 x-1 代入不等式1） ln(x+1)\leq x得：lnx\leq x-1，当x-1=0，即x=1 取等号；又 x-1< x ,所以lnx\leq x-1<x；放缩成双撇函数3）lnx\geq \frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x}\right),\left( 0<x\leq1 \right) （仅当 x=1 取等号）；4）lnx\leq \frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x}\right),\left( x\geq1 \right) （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}设 f(x)=ln x-\frac{1}{2}(x-\frac{1}{x}) ,则f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}(1+\frac{1}{x^2})=-\frac{x^2-2x+1}{2x^2}=-\frac{(x-1)^2}{2x^2}\leq0 ，所以 f\left( x \right) 在 (0,+\infty) 单调递减；又f(1)=0 ,因此当 x\in(0,1] 时，f\left( x \right)\geq f(1)=0 ,即lnx\geq \frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right)（仅当x=1 取等号）；当 x\in[1,+\infty) 时，f\left( x \right)\leq f(1)=0 ,即lnx\leq \frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right)（仅当x=1取等号）；5） lnx\geq \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}},\left( 0<x\leq1 \right) （仅当 x=1 取等号）；6） lnx\leq \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}},\left( x\geq1 \right) （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}将 \sqrt{x} 代入不等式 3） lnx\geq\frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right)得：ln\sqrt{x}=\frac{1}{2}lnx\geq\frac{1}{2}\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right) ,故lnx\geq \sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}} ，当\sqrt{x}=1 ，即 x=1 取等号；将 \sqrt{x} 代入不等式 4） lnx\leq\frac{1}{2}\left( x-\frac{1}{x} \right)得： ln\sqrt{x}=\frac{1}{2}lnx\leq \frac{1}{2}\left( \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}} \right) ,故lnx\leq\sqrt{x} -\frac{1}{\sqrt{x}} ，当\sqrt{x}=1 ，即 x=1 取等号；放缩成类反比例函数7） ln x\geq1-\frac{1}{x} （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}将 \frac{1}{x} 代入不等式2） lnx\leq x-1 得：ln\frac{1}{x}=-lnx\leq \frac{1}{x}-1 ,不等式两端同时乘以 -1 即可得：ln x\geq1-\frac{1}{x}，当\frac{1}{x}=1 ，即x=1 取等号；8）xlnx\geq x-1 （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}将不等式7） ln x\geq1-\frac{1}{x}两端同时乘以 x 即可得：xlnx\geq x-1，取等号的条件与不等式ln x\geq1-\frac{1}{x}相同，即当 x=1 取等号；9） ln (x+1)\geq \frac{x}{1+x} （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}将 x+1 代入不等式7） ln x\geq1-\frac{1}{x}得： ln(x+1)\geq1-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-1}{x+1}=\frac{x}{x+1},当x+1=1，即x=0 取等号；10）ln x\geq\frac{2(x-1)}{x+1},(x\geq1) （仅当 x=1 取等号）；11） ln x\leq\frac{2(x-1)}{x+1},(0<x\leq1) （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}设 f\left( x \right)=lnx-\frac{2(x-1)}{x+1} ,则f'(x)=\frac{1}{x}-\frac{4}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-4x}{x(x+1)^2}=\frac{(x-1)^2}{x(x+1)^2}\geq0 ,所以f\left( x \right) 在 (0,+\infty) 单调递增；又 f(1)=0 ,因此当 x\in[1,+\infty) 时，f\left( x \right)\geq f(1)=0 ,即ln x\geq\frac{2(x-1)}{x+1}（仅当x=1取等号）；当 x\in(0,1] 时，f\left( x \right)\leq f(1)=0 ,即lnx\leq\frac{2(x-1)}{x+1}（仅当 x=1 取等号）；12） ln (x+1)\geq\frac{2x}{x+2},(x\geq0) （仅当 x=0 取等号）；13） ln (x+1)\leq\frac{2x}{x+2},(-1<x\leq0) （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}将 x+1 代入不等式10）ln x\geq\frac{2(x-1)}{x+1}得：ln (x+1)\geq\frac{2[(x+1)-1]}{x+1+1}=\frac{2x}{x+2} ,当x+1=1，即x=0 取等号；将 x+1 代入不等式11） ln x\leq\frac{2(x-1)}{x+1}得：ln (x+1)\leq\frac{2[(x+1)-1]}{x+1+1}=\frac{2x}{x+2} ,当x+1=1，即x=0 取等号；放缩成二次函数14） lnx\leq x^2-x （仅当 x=1 取等号）；\color{red}{证明：}由 (x^2-x)-(x-1)=(x-1)^2\geq0 可知： x^2-x\geq x-1 ，当 x=1 取等号;再由不等式2） lnx\leq x-1（仅当 x=1 取等号）可得：lnx\leq x^2-x，当 x=1 取等号；15）ln(1+x)\leq x-\frac{1}{2}x^2,\left( -1<x\leq0\right) （仅当 x=0 取等号）；16）ln(1+x)\geq x-\frac{1}{2}x^2,\left( x\geq0 \right) （仅当 x=0 取等号）；\color{red}{证明：}设 f(x)=ln( x+1)-x+\frac{1}{2}x^2 ,则f'(x)=\frac{1}{x+1}-1+x=\frac{x^2}{x+1}\geq0 ,所以f\left( x \right) 在 (0,+\infty) 上单调递增，又f(0)=0 ,因此当 x\in(-1,0] 时，f\left( x \right)\leq f(0)=0 ,即ln(1+x)\leq x-\frac{1}{2}x^2（仅当 x=0 取等号）当 x\in[0,+\infty) 时，f\left( x \right)\geq f(0)=0 ,即ln(1+x)\geq x-\frac{1}{2}x^2（仅当x=0取等号）；指对混合放缩e^x-lnx>(x+1)-(x-1)=2\color{red}{证明：}将不等式e^x\geq x+1 （仅当 x=0 取等）和lnx\leq x-1 （仅当 x=1 取等号）相减即可得： e^x-lnx>(x+1)-(x-1)=2 ；因为两不等式等号不能同时取到，故该不等式为严格不等号；。
常用不等式-放缩技巧
一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1) ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC ⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word 编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用)2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱)(a+b)p≤a p+ b p (0<p<1)(a+b)p≥a p+ b p (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证)1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：n n+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)。
放缩法大全
a −1 + 1 − 2a − ln x 解（1）：令g ( x) = f ( x) − ln x = ax + x 1 (a , x 1) 2 a − 1 1 ax 2 − x + 1 − a [ax − (1 − a)]( x − 1) g ( x) = a − 2 − = = 2 x x x x2 1 a[ x − ( − 1)]( x − 1) a g ( x) = 0 （或用二次函数图象分 析） 2 x
1 1 1 1 1 1 + + ... + dx + dx + ... + dx 2 3 n +1 1 x x x 2 n
n +1 2 3 n +1
n
=
1
1 dx = ln( n + 1) x
1 n
n +1
n
1 dx = ln( n + 1) − ln n x
同理证右。
n +1 1 n ln( ) ln( ) n n n −1
所以：
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
由
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
取n=2,3,…,n累加
ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 − n − 1 + 2 + ... + 2 f (n) − f (1) = 2 2 3 n 2(n + 1)
1 m an = 4n − 3, { }前n项和为S n , 若S 2 n +1 − S n 恒成立， an 15 求整数m的最小值。
1 1 1 m 解： + + ... + 对n N + 恒成立， an +1 an + 2 a2 n +1 15 1 1 1 令f ( n ) = + + ... + , an +1 an + 2 a2 n +1 1 1 1 f (n − 1) = + + ... + an an +1 a2 n −1
常见的不等式的放缩方法
常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。
证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。
导数中放缩法(切线放缩、对数均值不等式)
导数证明中的常用放缩一、常用结论1、切线放缩2、其它对数放缩（对数均值不等式）3、常用放缩公式：（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成双撇函数）()11ln 12x x x x ⎛⎫<-> ⎪⎝⎭，()11ln 012x x x x ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭， )ln 1x x<>，)ln 01x x ><<， （放缩成二次函数）2ln x x x ≤-，()()21ln 1102x x x x +≤--<<，()()21ln 102x x x x +≥-> （放缩成类反比例函数）1ln 1x x≥-，()()21ln 11x x x x ->>+，()()21ln 011x x x x -<<<+，()ln 11x x x +≥+，()()2ln 101x x x x +>>+，()()2ln 101x x x x+<<+ 第二组：指数放缩（放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， （放缩成类反比例函数）()101x e x x ≤≤-，()10x e x x<-<， （放缩成二次函数）()21102x e x x x ≥++>，2311126x e x x x ≥+++， 第三组：指对放缩()()ln 112x e x x x -≥+--=第四组：三角函数放缩()sin tan 0x x x x <<>，21sin 2x x x ≥-，22111cos 1sin 22x x x -≤≤-. 第五组：以直线1y x =-为切线的函数ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，11y x=-，ln y x x =.二、基础练习：练习题组一练习题组二：二、经典例题：母题 (2017·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝ln x ＋ax 2＋(2a ＋1)x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a <0时，证明f (x )≤－34a－2.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝(x ＋1)(2ax ＋1)x. 若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a <0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫0，－12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)证明 由(1)知，当a <0时，f (x )在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为f ⎝⎛⎭⎫－12a ＝ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a， 所以f (x )≤－34a －2等价于ln ⎝⎛⎭⎫－12a －1－14a ≤－34a－2， 即ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a＋1≤0. 设g (x )＝ln x －x ＋1，则g ′(x )＝1x－1. 当x ∈(0,1)时，g ′(x )>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g (x )取得最大值，最大值为g (1)＝0.所以当x >0时，g (x )≤0.从而当a <0时，ln ⎝⎛⎭⎫－12a ＋12a ＋1≤0，即f (x )≤－34a－2. [子题1] 设函数f (x )＝ln x －x ＋1.证明：当x ∈(1，＋∞)时，1<x －1ln x<x . 证明 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，x >0， 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，∴f (x )＝ln x －x ＋1≤f (1)＝0，∴ln x ≤x －1，∴当x >1时，ln x <x －1，①且ln 1x <1x－1，② 由①得，1<x －1ln x ，由②得，－ln x <1－x x， ∴ln x >x －1x ，∴x >x －1ln x， 综上所述，当x >1时，1<x －1ln x<x . [子题2] 已知函数f (x )＝e x －x 2.求证：当x >0时，e x ＋(2－e )x －1x≥ln x ＋1. 证明 设g (x )＝f (x )－(e －2)x －1＝e x －x 2－(e －2)x －1(x >0)，则g ′(x )＝e x －2x －(e －2)，设m (x )＝e x －2x －(e －2)(x >0)，则m ′(x )＝e x －2，易得g ′(x )在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增，又g ′(0)＝3－e>0，g ′(1)＝0，由0<ln 2<1，则g ′(ln 2)<0，所以存在x 0∈(0，ln 2)，使得g ′(x 0)＝0，所以当x ∈(0，x 0)∪(1，＋∞)时，g ′(x )>0；当x ∈(x 0,1)时，g ′(x )<0.故g (x )在(0，x 0)上单调递增，在(x 0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又g (0)＝g (1)＝0，所以g (x )＝e x －x 2－(e －2)x －1≥0，故当x >0时，e x ＋(2－e )x －1x≥x . 又由母题可得ln x ≤x －1，即x ≥ln x ＋1，故e x ＋(2－e )x －1x≥ln x ＋1. 规律方法 利用导数证明不等式f (x )>g (x )的基本方法(1)若f (x )与g (x )的最值易求出，可直接转化为证明f (x )min >g (x )max .(2)若f (x )与g (x )的最值不易求出，可构造函数h (x )＝f (x )－g (x )，然后根据函数h (x )的单调性或最值，证明h (x )>0.(3)通过题目中已有的或常用的不等式进行证明．(4)利用赋值法证明与正整数有关的不等式.跟踪演练1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.(1)设x ＝2是f (x )的极值点，求a ，并求f (x )的单调区间；(2)证明：当a ≥1e时，f (x )≥0. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a e x －1x. 由题设知，f ′(2)＝0，所以a ＝12e 2. 从而f (x )＝12e 2e x －ln x －1，f ′(x )＝12e 2e x －1x. 当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0.所以f (x )的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)．(2)证明 当a ≥1e 时，f (x )≥e x e－ln x －1. 设g (x )＝e x e－ln x －1(x ∈(0，＋∞))， 则g ′(x )＝e x e －1x. 当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0.所以x ＝1是g (x )的最小值点．故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0.因此，当a ≥1e时，f (x )≥0. 2．(2020·北京市陈经纶中学模拟)已知函数f (x )＝ln x －1x－ax .若1<a <2，求证：f (x )<－1. 证明 f (x )的定义域为(0，＋∞)，为了证明f (x )<－1，即ln x －1x－ax <－1， 只需证明ln x －1－ax 2<－x ，即ln x <ax 2－x ＋1，令m (x )＝ln x －x ＋1(x >0)，则m ′(x )＝1x－1， 令m ′(x )>0，得0<x <1；令m ′(x )<0，得x >1，所以m (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以m (x )max ＝m (1)＝0，即ln x －x ＋1≤0，则ln x ≤x －1.令n (x )＝ax 2－2x ＋2，因为1<a <2，所以Δ＝4－8a <0，所以n (x )>0恒成立，即ax 2－2x ＋2>0，所以ax 2－x ＋1>x －1.综上所述，ln x <ax 2－x ＋1，即当1<a <2时，f (x )<－1.（2017年全国新课标1·理·21）已知()()22x x f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.解析：（1）()()()()2'221211x x x x f x ae a e e ae =+--=+-若0a ≤，则()'0f x <恒成立，所以()f x 在R 上递减；若0a >，令()'0f x =，得11,ln x e x a a ==. 当1ln x a <时，()'0f x <，所以()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减； 当1lnx a >时，()'0f x >，所以()f x 在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. 综上，当0a ≤时，()f x 在R 上递减；当0a >时，()f x 在1,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上递减，在1ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. （2）()f x 有两个零点，必须满足()min 0f x <，即0a >，且()min 111ln1ln 0f x f a a a ⎛⎫==--< ⎪⎝⎭. 构造函数()1ln g x x x =--，0x >. 易得()1'10g x x =--<，所以()1ln g x x x =--单调递减. 又因为()10g =，所以()11111ln 01101g g a a a a a ⎛⎫--<⇔<⇔>⇔<< ⎪⎝⎭. 下面只要证明当01a <<时，()f x 有两个零点即可，为此我们先证明当0x >时，ln x x >. 事实上，构造函数()ln h x x x =-，易得()1'1h x x=-，∴()()min 11h x h ==，所以()0h x >，即ln x x >. 当01a <<时，()()22222110a ea e a a f e e e++---=++=>， ()2333333ln 121ln 11ln 10a f a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+----=---> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 其中11ln a -<，31ln ln a a a ->，所以()f x 在11,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和13ln ,ln a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个零点. 故a 的取值范围是()0,1.注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
常用不等式,放缩技巧
常用不等式,放缩技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII一：一些重要恒等式ⅰ：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)／6ⅱ: 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2Ⅲ：cosa+cos2a+…+cos2n a=sin2n+1a／2n+1sinaⅳ:e=2+1／2！+1/3！+…+1/n！+a/(n！n) (0<a<1)ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCcotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinCⅵ:欧拉等式 e∏i=-1 (i是虚数，∏是pai)ⅶ：组合恒等式（你们自己弄吧，我不知怎样用word 编）二重要不等式1:绝对值不等式︱︱x︱-︱y︱︱≤∣x±y∣≤︱x︱+︱y︱(别看简单，常用) 2：伯努利不等式（1+x1）（1+x2）…（1+x n）≥1+x1+x2+…+x n(x i符号相同且大于-1)3：柯西不等式(∑ a i b i)2≤∑a i2∑b i24:︱sin nx︱≤n︱sin x︱5; (a+b)p≤2p max(︱a p︱,︱b p︱)(a+b)p≤a p+ b p (0<p<1)(a+b)p≥a p+ b p (p>1)6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)7:切比雪夫不等式若a1≤a2≤…≤a n, b1≤b2≤…≤b n∑a i b i≥(1/n)∑a i∑b i若a1≤a2≤…≤a n, b1≥b2≥…≥b n∑a i b i≤(1/n)∑a i∑b i三：常见的放缩(√是根号)(均用数学归纳法证) 1：1/2×3/4×…×(2n-1)/2n<1/√(2n+1)；2：1+1/√2+1/√3+…+1/√n>√n;3：n！<【(n+1/2)】n4：n n+1>(n+1)n n！≥2n-15：2！4！…(2n)！>｛(n+1)！｝n6：对数不等式（重要）x/(1+x)≤㏑（1+x）≤x 7：(2/∏)x≤sinx≤x8:均值不等式我不说了（绝对的重点）9：（1+1/n）n<4四：一些重要极限(书上有，但这些重要极限需熟背如流)。
大学中常用不等式,放缩技巧
4:︱sin nx︱≤n︱sin x︱
5; (a+b)p≤2pmax(︱ap︱,︱bp︱)
(a+b)p≤ap+ bp (0<p<1)
(a+b)p≥ap+ bp (p>1)
6:(1+x)n≥1+nx (x>-1)
7:切比雪夫不等式
sinθ+sinφ=2sin(θ/2+θ/2)cos(θ/2-φ/2)
sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
cosθ+cosφ=2cos(θ/2+φ/2)cos(θ/2-φ/2)
cosθ-cosφ=-2sin(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2)
tan＋tanB＋tanC=tanAtanBtanC
首先 对 极限的总结 如下
极限的保号性很重要 就是说在一定区间内 函数的正负与极限一致
1 极限分为 一般极限 ， 还有个数列极限， （区别在于数列极限时发散的， 是一般极限的一种）
2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
ⅴ:三角中的等式（在大学中很有用）
cosαcosβ= 1/2[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ= 1/2[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ= 1/2 [sin(α+β)+sin(α-β)]
sinαsinβ=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
7等比等差数列公式应用（对付数列极限） （q绝对值符号要小于1）
数列中不等式放缩的两种常见类型
数列中不等式放缩的两种常见类型数列与不等式相结合的问题，屡次作为高考题的压轴题出现。
常见的形式是形如“证明某个数列n a 的和（或积）大于（或小于）一个常数”的问题，需要利用多种技巧进行放缩，学生普遍感觉困难。
本文尝试对两种最常见的类型与技巧进行总结说明。
一、拆项型大家熟知的结构是，1111)111()1(111<+-=+-=+∑∑==n k kk k nk nk ，推广而言，只要分母是某个等差数列两项，都可用这种思路，当然，有时需要乘以某个系数，也有时相消后剩余多于两项。
它的一个变形是，)2()1(11112∑∑==≥-<nk nk k k k k。
事实上，只要分母是同一个数列中的两项乘积的分式形式的数列，都可以考虑这一思路。
例1、（改编自2009深圳一模）已知121-=n n a ，求证： 21)1)(1(26111<++≤∑=+-nk k k ka a .分析：=+++)1)(1(11k k a a(21)121)(121(11kkk =++--+1211k)12111+-k ∑∑==+--+=++∴nk knk kt k k a a 1111211()1)(1(2)12111+-k 21122-+=kk再利用函数=+=122xxy 1211+x在),1[∞+∈x 上为增函数可得证。
例2．（改编自2006年全国卷I ） 已知22624232+⨯-⨯⨯=nnnn T ，求证：231<∑=ni i T 。
分析：)22)(12(232262423112--⨯=+⨯-⨯⨯=++n n n nnnn T =)222222(3)122222(321111---=---+++++n n n nn nn n，所以，23)221(3)2221(321211=-<--=++++=∑n n n n ni i T 。
对于有些关于积的不等式，也可以借鉴这种拆项相消的思维。
例3.（改编自08年福建） ①如果对一切n ，不等式22+-+<n c n n 恒成立，求实数c 的取值范围；②求证：112)2(42)12(31423121-+<⨯⨯⨯-⨯⨯⨯++⨯⨯+n n n分析：对于①易得1≥c 。
常见导数放缩6种形式
ex−1 x
−
1
⩾
0
⩾
2 [ln x − (x x2
− 1)]
显然成立，证毕.
题7
求证：3ex
−
ln (x
+
3)
>
ln 6
−
1 .
3
证明
也即 3ex−3 − ln x >
ln
6
−
1
，两侧同除
x
3 2
，则有
3
3ex−3 x3
2
⩾
√ 3 3
( )3 22 e
⩾
ln x
+
ln 6−1 3
x3 2
高中数学资料共享群（ＱＱ群７３４９２４３５７）
>
1.
证明 x > 1 : ex > x2 + (e − 2) x + 1，故有
显然成立，证毕.
x (x + 1) x + 1
2
<
<
ex − 1 x + e − 2 e − 1
题 16
求证：ln x
+
1 ex
−
x e
⩽
0，0
<
x
⩽
1.
()
证明
0
<x
⩽
1:
ln x +
1 ex
⩽
1 1−
e
x − 1 + 2 ⩽ x ，证毕. ee
显然成立，证毕.
题 28
求证：√1
+
x2
+
√ 2
+
2
cos
不等式恒成立求参数范围的放缩策略
不等式恒成立求参数范围的放缩策略
利用放缩策略求解不等式，是指通过合理的调整参数的范围，使得不等式得以恒成立。
其核心思想在于利用参数的合理变化来逼近解的存在域，而不是冰冷的解方程。
具体策略如下：
（1）先选取不等式中参数在实质上最易变化的空间，解开左右两端，以此来缩小参数范围。
比如，将[3x + 4y > z2 - 3]，裂开为{x + y > (z - 1)(z + 3) ; x + y < (z + 1)(z + 3) }
（2）如果不等式中的参数相互交叉影响，则可以先求出其中一个参数的范围，然后利用这个参数的范围确定另外一个参数的范围。
例如，[x + 2y > 1]可以分开为：当x > 1时，y > 0.5 ; 当x < 1时，y > 0.5x + 0.5。
（3）如果不等式中的参数不能够相互抵消，则可以把不等式继续分解，转化为更多满足要求的子问题，逐步缩小参数范围。
比如，将[x + 2y > 1]裂开为{x + y > 1 ; x + y < 2}，即x > 1时，1 < y < 2; x < 1时，0 < y < 1。
不等式放缩的万能解法
不等式放缩的万能解法引言不等式是数学中一种常见的数值关系表示形式，它在许多数学问题的求解中起到重要的作用。
不等式放缩是一种常用的解决不等式问题的方法，它通过适当的变换和放缩，将原始不等式转化为更简单或更易处理的形式，从而解决原始问题。
本文将详细介绍不等式放缩的万能解法，包括其基本思想、常用的放缩方法以及案例分析。
基本思想不等式放缩的基本思想是通过变量的代换和不等式的加减乘除等运算，将原始不等式转化为一个更简单的不等式或等式，从而方便求解。
它的关键在于选择合适的变量代换和适当的运算规则，使得不等式的形式更加简洁和易于处理。
常用的放缩方法不等式放缩具有很强的灵活性和多样性，可以根据具体问题的性质选择合适的放缩方法。
以下是几种常用的放缩方法：1. 线性变换线性变换是不等式放缩中最基本的方法之一。
它通过对不等式两边同时乘以一个系数或加上一个常数，改变不等式的形式。
常见的线性变换包括：•乘法变换：将不等式两边同时乘以一个正数或负数，改变不等式的大小关系。
•加法变换：将不等式两边同时加上一个常数，改变不等式的大小关系。
2. 平方变换平方变换是通过对不等式两边同时进行平方，改变不等式的形式。
平方变换常用于解决含有平方项的不等式，例如：(x + a)^2 < b经过平方变换可以得到：x^2 + 2ax + a^2 < b3. 指数函数变换指数函数变换是通过对不等式两边同时进行指数函数运算，改变不等式的形式。
常见的指数函数变换包括：•对数函数变换：将不等式两边同时取对数，改变不等式的大小关系。
•指数变换：将不等式两边同时取指数，改变不等式的大小关系。
4. 递推关系递推关系是一种通过逐步放缩，将一个复杂的不等式转化为一个简单的不等式的方法。
它常用于处理序列或级数相关的不等式问题。
通过递推关系，可以将一个复杂的不等式分解为若干个简单的不等式，从而简化问题的求解过程。
案例分析为了更好地理解不等式放缩的万能解法，我们将通过一个案例来演示其具体应用。
20181207放缩法证明不等式
（2）若 f (x) 在定义域内为增函数，求a 的取值范围；
（3）设 g(x) f (x) x2 1 ，当a 1 时，
求证：① g(x) 0在其定义域内恒成立；
求证：②
ln 22 ln 32 22 32
ln n2 n2
2n2 n 1
2n 1
。
例4. 证明： x2ex－lnx＞1 .
O
1
x
x 1
x 1
x
≤lnx≤ x ≤ 1
y x
y
2
y＝x－1
y＝lnx
y x1 x
O
1
x
x1 ≤
x 1 x≤lnx≤ x－1
x
2
(0＜x≤1)
6．（本小题满分 14 分）设函数 f (x) ln x x2 ax 。 （1）若 f (x) 在x 1 处取得极值，求a 的值；
O
1
x
方法三：
方法四：
又由
f '(x0)＝0
得：( x02
2 x0 ) ex0
1 x0
0
e x0
1 x02 ( x0
2)
x02 e x0
1 x0 2
f (x)≥ f (x0)＝
x02ex0 ln x0 ＝
1 x0 2 ln x0
构造函数 h(x)＝
1 ln x x2
,
x
放缩法证明不等式
放缩的方法
1。运用基本不等式和常见结论进行放缩 2。运用切线方程进行放缩 3。运用题目给出的不等式进行放缩。 4。运用参数范围进行放缩
切线放缩原理及常见的切线放缩
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常见不等式放缩公式
不等式缩放法是数学中一种用来更改不等式范围的方法，它还可以帮助更好地
描述不同类型的数据或数据集。
它有助于更好地比较不同数据之间的相对关系，并帮助我们更好地理解这些数据。
不等式是一种衡量两个变量之间关系的公式，它可以被表达为一组数学关系，
它定义了一组解对应于变量之间的关系。
比如，x>y表明x大于y，而x<y表明x
小于y。
不等式放缩法将不等式范围替换为一个更简单的范围，这样可以使关系更容易
理解。
不等式的放缩可以是线性的或逻辑的。
一般来说，在线性放缩中，变量之间的关系会在另一组变量之间保持不变。
例如，如果两个变量之间的关系是a>b，那
么在线性放缩中，这样的关系会变成c>d，这意味着变量之间的差距也将保持不变。
而逻辑放缩则是引入一个新变量，这个新变量可以被用来简化不等式范围。
而
经过线性放缩之后，原始不等式中的一些变量可能会被新的放缩变量取代。
此外，对于复杂的不等式，放缩公式也可以用来帮助你更容易理解它们之间的
关系。
比如，如果你有一个更复杂的不等式a> b+c，你可以将这个不等式放缩为
d>e+f，这样就方便理解它们之间的关系。
总而言之，不等式放缩法是一种非常有用的工具，它可以帮助我们对复杂的不
等式有更好的理解，同时也可以帮助我们更好地比较不同数据或数据集之间的关系。
由于它有助于更好地理解变量之间的关系，因此它可以为我们提供更好的决策结果。