空间向量运算法则

合集下载

空间向量及其运算

空间向量及其运算引言空间向量是三维空间中的一种重要的数学概念，用于描述具有大小和方向的物理量。

本文将介绍空间向量的基本概念、表示方法和运算规则。

基本概念空间向量是由三个实数组成的有序三元组，分别表示向量在三个坐标轴上的分量。

通常用箭头在字母上方表示向量，如向量A表示为$\vec{A}$。

表示方法空间向量可以用坐标表示或者用一个点表示。

坐标表示法将向量的三个分量写成一个有序三元组$(x。

y。

z)$，表示向量在$x$轴上的分量为$x$，在$y$轴上的分量为$y$，在$z$轴上的分量为$z$。

点表示法将向量的起点放在坐标原点，然后将向量的终点绘制在空间中，用一条箭头连接起来。

运算规则空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。

加法：两个向量相加，就是将它们的对应分量相加得到一个新的向量。

例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} + \vec{B} = (x_1 + x_2.y_1 + y_2.z_1 + z_2)$。

减法：两个向量相减，就是将它们的对应分量相减得到一个新的向量。

例如，$\vec{A} = (x_1.y_1.z_1)$，$\vec{B} =(x_2.y_2.z_2)$，则$\vec{A} - \vec{B} = (x_1 - x_2.y_1 - y_2.z_1 - z_2)$。

数量乘法：一个向量与一个实数相乘，就是将向量的每个分量都乘以这个实数。

例如，$\vec{A} = (x。

y。

z)$，$k$为实数，则$k\vec{A} = (kx。

ky。

kz)$。

总结空间向量是三维空间中描述大小和方向的数学概念。

它可以用坐标表示法或者点表示法来表示。

空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法。

以上是关于空间向量及其运算的简要介绍，希望能对您有所帮助。

空间向量及其运算

(3|a|＋2|c|)(|a|－|c|)＝0，∴|a|－|c|＝0，即|a|＝|c|.
即当＝＝1时，A1C⊥平面C1BD.
【分析点评】
向量是解决立体几何问题的重要工具，利用向量可解决线面平行、线面垂直、三点共线、四点共面，以及距离和成角等问题，而利用向量解决立体几何问题关键在于适当选取基底，将几何问题转化为向量问题．本题第二问用向量法解决是非常好的选择，大大简化了推理和运算过程．这样就很好地解决：“会做的题目花费时间过多”这一矛盾，考试过程中方法的选择就显的尤为重要.
解法二：(1)证明：取
由已知|a|＝|b|，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
BD＝CD－CB＝a－b，C1C·B＝c·(a－b)＝c·a－c·b
＝|c||a|－|c||b|＝0，
，∴C1C⊥BD.
(2)若A1C⊥平面C1BD，则A1C⊥C1D，CA1＝a＋b＋c，C1D＝a－c.
∴CA1·C1D＝0，即(a＋b＋c)·(a－c)＝0.整理得：3a2－|a||c|－2c2＝0，
点击此处进入作业手册
(3)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示．
2．空间向量的运算
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如
下：
＝a＋b；
．
3．运算律：(1)加法交换律：a＋)数乘分配律：λ(a＋b)＝ λa＋λb .
4．共线向量定理：空间任意两个向量a、 b(b≠0), a∥b的充要条件是存在实数λ，使 a ＝λb .
5．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y使 p＝xa＋yb .
6．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量

高二数学空间向量知识点总结归纳

高二数学空间向量知识点总结归纳数学中的空间向量是指存在于三维空间中的有方向和大小的物理量。

在高二数学中，我们学习了关于空间向量的各种性质和运算法则，以及与之相关的应用。

本文将对高二数学空间向量的知识点进行总结和归纳。

一、空间向量的定义与表示方法在空间中，向量可以用有序数对或有序三元组表示。

通常，我们用大写字母表示向量，如AB、CD等。

表示向量的有序数组称为坐标，常用小写字母表示，如a、b、c等。

假设向量AB的坐标为(a₁, a₂,a₃)，则可表示为AB = a₁i + a₂j + a₃k，其中i、j、k分别表示x、y、z轴的单位向量。

二、向量的基本运算法则1. 向量的加法向量的加法遵循平行四边形法则，即将两个向量的起点相连接，然后以这条连线为对角线构建平行四边形，向量的和为平行四边形的对角线向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法，即A-B = A + (-B)，其中-B表示B的反向量。

所以，向量A减去向量B，可以先求出B的反向量，再用向量的加法进行计算。

3. 向量的数量积向量的数量积又称为点积，用符号·表示。

设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的数量积为A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃。

4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，用符号×表示。

设有两个向量A = a₁i + a₂j + a₃k和B = b₁i + b₂j + b₃k，则向量A和B的向量积为A×B = (a₂b₃ - a₃b₂)i + (a₃b₁ - a₁b₃)j + (a₁b₂ - a₂b₁)k。

三、空间向量的性质与定理1. 平行向量如果两个向量的方向相同或相反，则它们被称为平行向量。

平行向量的数量积为零。

2. 垂直向量如果两个向量的数量积为零，则它们被称为垂直向量。

垂直向量的叉积也为零。

3. 向量共面如果三个向量可以放在同一个平面上，则它们被称为共面向量。

空间向量的运算法则

空间向量的运算法则
空间向量的运算法则包括向量的加法、减法、数乘、点积和叉积。

1. 向量的加法：
对于两个向量 A 和 B，它们的和向量记作 A + B，其运算法则为：
(A1, A2, A3) + (B1, B2, B3) = (A1 + B1, A2 + B2, A3 + B3)
2. 向量的减法：
对于两个向量 A 和 B，它们的差向量记作 A - B，其运算法则为：
(A1, A2, A3) - (B1, B2, B3) = (A1 - B1, A2 - B2, A3 - B3)
3. 数乘：
对于一个向量 A 和一个实数 k，其数乘结果记作 kA，其运算法则为：
k(A1, A2, A3) = (kA1, kA2, kA3)
4. 点积（内积）：
对于两个向量 A 和 B，它们的点积结果记作 A · B，其运算法则为：
A ·
B = A1 * B1 + A2 * B2 + A3 * B3
5. 叉积（外积）：
对于两个向量 A 和 B，它们的叉积结果记作 A × B，其运算法则为：
A ×
B = (A2 * B3 - A3 * B2, A3 * B1 - A1 * B3, A1 * B2 - A2 * B1)
这些运算法则是空间向量的基本运算法则，通过这些运算法则可以进行空间向量的各种运算。

空间向量及其运算知识总结

空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b a +=+=;b a -=-=;)(R a ∈=λλ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A '''形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa . 要注意其中对向量a 的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线． 6．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t +=a ．其中向量a 叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t OA OP +=a 或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP += 7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的 8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa =+推论：空间一点P 位于平面M A B 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使M P x M A y MB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③上面①式叫做平面MAB 的向量表达式 9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++ 10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥. 11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影. 可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅． 13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）空间向量的直角坐标及其运算 1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk=++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．常见坐标系①正方体：如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，一般选择点D 为原点，DA 、DC 、'DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似.②正四面体：如图所示，正四面体A BCD -的棱长为a ，一般选择A 在BCD ∆上的射影为原点，OC 、OD （或OB ）、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为③正四棱锥：如图所示，正四棱锥P ABCD -的棱长为a ，一般选择点P 在平面ABCD 的射影为原点，OA （或OC ）、OB （或OD ）、OP所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为④正三棱柱：如图所示，正三棱柱 '''ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，一般选择AC 中点为原点，OC （或OA ）、OB 、OE （E 为O在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 4 模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则23||a a a a a =⋅=+，2||b b b b =⋅=+ 5．夹角公式：2cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+ 6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB x ==，或,A B d = 空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线AB 的方向向量是212121(,,)AB x x y y z z =---. 平面法向量如果a α⊥，那么向量a 叫做平面α的法向量.x二、证明平行问题1．线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或312123//a a a a b b b b ⇔==. 2.线面平行：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥即0a n ⋅=则//a α.3.面面平行：平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ.三、证明垂直问题1．线线垂直：证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=2．线面垂直：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若//a n 即a n λ=则a α⊥.3.面面垂直：平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12n n ⊥即120n n ⋅=则αβ⊥.四、求夹角1．线线夹角：设123(,,)a a a a =123(,,)b b b b =(0,90]θ∈︒︒为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>； 2cos ,||||a b a b a b a ⋅<>==⋅+；cos |cos ,|a b θ=<>. 2．线面夹角：如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>|cos ,|OP AP =<> |cos ,|n AP =<>|cos ,|n PA =<>||||||n PA n PA ⋅=. 3．面面夹角：设1n 、2n 分别是二面角两个半平面α、β的法向量，当法向量1n 、2n 同时指向二面角内或二面角外时，二面角θ的大小为12,n n π-<>；当法向量1n 、2n 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角θ的大小为12,n n <>.五、距离1．点点距离：设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，,A B d =||(AB AB AB x =⋅=2．点面距离：A 为平面α任一点，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<>||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅⋅||||PA n n ⋅=. 3．线线距离：求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n ⋅=⋅=. 4．线面距离：一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离.5.面面距离：和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.。

空间向量的概念和运算

空间向量的概念和运算空间向量是三维空间中的矢量概念，具有大小和方向。

在数学和物理学中，空间向量用于描述物体在三维空间中的位移、速度和加速度等物理量。

本文将介绍空间向量的概念以及其常见的运算方法。

一、空间向量的概念空间向量是由起点和终点确定的有向线段，在三维坐标系中用坐标表示。

设空间中有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则向量AB可以表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)空间向量具有以下特点：1. 大小：空间向量的大小等于有向线段的长度，可以通过两点之间的距离公式求得。

2. 方向：空间向量的方向由起点指向终点，可以通过计算两点坐标差得到。

二、空间向量的运算空间向量的运算包括加法、减法和数量乘法，具体如下：1. 空间向量的加法设空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则两向量的和为：A +B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)向量的加法满足交换律和结合律，即：A +B = B + A(A + B) + C = A + (B + C)2. 空间向量的减法设空间向量A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则两向量的差为：A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)向量的减法可以看作是加法的逆运算，即：A -B = A + (-B)3. 数量乘法设空间向量A(x, y, z)和标量k，数量乘法即将向量的每个分量乘以标量，得到新的向量：kA = (kx, ky, kz)数量乘法满足结合律和分配律，即：k(A + B) = kA + kB(k1 + k2)A = k1A + k2Ak1(k2A) = (k1k2)A空间向量的运算可以通过向量的坐标进行计算，也可以通过向量的几何属性进行推导。

通过运算可以得到向量的长度、点积、叉积等操作。

三、空间向量的应用空间向量在物理力学、工程力学、电磁学等学科中有广泛的应用。

空间向量的运算

空间向量的运算在数学和物理学中，空间向量是用来表示空间中的物理量和几何概念的工具。

空间向量的运算包括加法、减法、数乘、点乘和叉乘等。

这些运算在解决空间几何问题和物理问题中起着重要的作用。

本文将详细介绍空间向量的运算及其应用。

一、空间向量的表示空间向量可以用有序三元组表示，也可以用向量符号表示。

以有序三元组表示，空间向量A可以表示为 A = (a1, a2, a3)。

向量符号表示时，通常用小写字母加箭头来表示，例如a 或 b。

在图上表示时，可以用有向线段表示，线段的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向。

二、空间向量的加法和减法空间向量的加法和减法都是对应分量相加和相减。

设有向量A = (a1, a2, a3) 和B = (b1, b2, b3)，则它们的和可以表示为 A + B = (a1+b1,a2+b2, a3+b3)。

它们的差可以表示为 A - B = (a1-b1, a2-b2, a3-b3)。

三、空间向量的数乘空间向量的数乘是指向量的每个分量与一个实数的乘积。

设k是一个实数，向量A = (a1, a2, a3)，则它的数乘可以表示为 kA = (ka1, ka2,ka3)。

四、空间向量的点乘空间向量的点乘也称为数量积或内积，它的结果是一个实数。

设有向量A = (a1, a2, a3) 和B = (b1, b2, b3)，则它们的点乘可以表示为 A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3。

点乘满足交换律和分配律，即A·B = B·A，A·(B+C) = A·B + A·C。

点乘有一些重要的性质。

当两个向量的点乘等于零时，它们垂直或正交；当两个向量的点乘大于零时，它们夹角小于90度；当两个向量的点乘小于零时，它们夹角大于90度。

五、空间向量的叉乘空间向量的叉乘也称为矢量积或外积，它的结果是一个向量。

设有向量A = (a1, a2, a3) 和B = (b1, b2, b3)，则它们的叉乘可以表示为 A×B = (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1)。

空间向量的基本概念和运算

空间向量的基本概念和运算空间向量是描述空间中具有大小和方向的物理量的数学工具。

它是研究几何和物理问题时不可或缺的基本工具之一。

在本文中，我们将介绍空间向量的基本概念和运算。

一、空间向量的定义和表示空间向量是空间中的一个有向线段，由起点和终点确定。

根据终点减去起点的坐标差得到的坐标集合，表示了这个向量的大小和方向。

一般而言，我们用字母加箭头上标来表示空间向量，例如向量A可以表示为向量A—>。

二、空间向量的基本运算空间向量的基本运算包括加法、数乘和内积。

1. 向量的加法向量的加法表示将两个向量端点相连后得到的向量。

具体而言，给定两个向量A—>和B—>，它们的和向量C—>可以表示为C—> = A—> + B—>。

向量的加法满足交换律和结合律。

2. 向量的数乘向量的数乘表示将一个向量与一个实数相乘后得到的新的向量。

给定一个向量A—>和一个实数k，它们的数乘kA—>可以表示为kA—>。

向量的数乘满足分配律。

3. 向量的内积向量的内积也称点乘，它是两个向量的数量积，得到的是一个标量。

给定两个向量A—>和B—>，它们的内积可以表示为A•B = ||A|| ||B||cosθ，其中||A||和||B||分别表示向量A—>和B—>的模长，θ表示两个向量之间的夹角。

内积具有交换律和分配律。

三、空间向量的基本性质空间向量具有很多重要的性质，这些性质在解决实际问题时起到了重要的作用。

1. 平行向量的性质如果两个向量A—>和B—>是平行的，则它们的模长相等且方向相同；若A—>和B—>的夹角为0度或180度，则它们互为平行向量。

2. 垂直向量的性质如果两个向量A—>和B—>垂直，则它们的内积为0，即A•B = 0。

3. 正交向量的性质如果两个非零向量A—>和B—>的内积为0，则称它们互为正交向量或垂直向量。

空间向量及其运算知识总结

空间向量及其运算1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a AB OA OB +=+=;b a OB OA BA -=-=;)(R a OP ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A '''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求． 5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量. 空间直线的向量参数表示式：t OA OP +=a或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP +=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作O A a = ，如果直线O A 平行于α或在α内，那么我们说向量a平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面M A B 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使M P x M A y M B =+①或对空间任一点O ，有O P O M x M A y M B =++②或,(1)O P xO A yO B zO M x y z =++++=③上面①式叫做平面M A B 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使O P xO A yO B zO C =++10 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <> ；且规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.11．向量的模：设O A a = ，则有向线段O A 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a.12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||c o s ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b的数量积，记作a b ⋅ ，即a b ⋅= ||||c o s ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e上的正射影. 可以证明A B '' 的长度||||c o s ,|A B A B a e a e''=<>=⋅． 13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅= ．（3） 2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅ （交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）空间向量的直角坐标及其运算1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1基底，用{,,}i j k表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zO x 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A xi yj z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．常见坐标系①正方体如图所示，正方体''''A B C D A B C D -的棱长为a ，一般选择点D 为原点，D A 、D C 、'D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体如图所示，正四面体A B C D -的棱长为a ，一般选择A 在B C D ∆上的射影为原点，O C 、O D （或O B ）、O A 所在直线分别为x 轴、y轴、z 轴建立C空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为③正四棱锥如图所示，正四棱锥P A B C D -的棱长为a ，一般选择点P 在平面A B C D 的射影为原点，O A （或O C ）、O B （或O D ）、O P 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为④正三棱柱如图所示，正三棱柱 '''A B C A B C -的底面边长为a ，高为h ，一般选择A C 中点为原点，O C （或O A ）、O B 、O E （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++ ， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++ ， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈ ， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标4 模长公式：若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，则||a ==||b == ．5．夹角公式：cos ||||a ba b a b ⋅⋅==⋅ ．6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则||AB ==，或,A B d = 空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线A B 的方向向量是212121(,,)AB x x y y z z =---.平面法向量如果a α⊥ ，那么向量a叫做平面α的法向量. 二、证明平行问题1．证明线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或312123//a a aa b b b b ⇔== .2.证明线面平行直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥ 即0a n ⋅= 则//a α. 3.证明面面平行平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ.三、证明垂直问题 1．证明线线垂直证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++=2．证明线面垂直x y直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若//a n 即a n λ= 则a α⊥. 3.证明面面垂直平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12n n ⊥ 即120n n ⋅= 则αβ⊥.四、夹角1．求线线夹角设123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，(0,90]θ∈︒︒为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>；cos ,||||a ba b a b ⋅<>==⋅；cos |cos ,|a b θ=<> . 2．求线面夹角如图，已知P A 为平面α的一条斜线，n为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线P O ，连结O A 则P A O ∠为斜线P A 和平面α所成的角，记为θ易得sin |sin(,)|2O P A P πθ=-<> |cos ,|O P A P =<>|cos ,|n A P =<> |cos ,|n PA =<> ||||||n P A n P A ⋅=. 3．求面面夹角设1n 、2n 分别是二面角两个半平面α、β的法向量，当法向量1n 、2n同时指向二面角内或二面角外时，二面角θ的大小为12,n n π-<>；当法向量1n 、2n 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角θ的大小为12,n n <>.五、距离1．求点点距离设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z，,A B d =||AB ==2．求点面距离如图，A 为平面α任一点，已知P A 为平面α的一条斜线，n为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线P O ，连结O A 则P A O ∠为斜线P A 和平面α所成的角，记为θ易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<> ||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅⋅||||P A n n ⋅= . 3．求线线距离求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.如图，设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n ⋅=⋅= .4．求线面距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离. 5.求面面距离和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离. 平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.。

空间向量的基本运算

第六节空间向量1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有和的量叫做向量。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝。

4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的条件是存在实数,x y ，使。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使。

若三向量,,a b c不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。

6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k表示。

空间向量知识点总结

空间向量知识点总结空间向量是数学中一个重要的概念，它在解析几何、物理学、工程学等多个领域中都有广泛的应用。

以下是空间向量的一些基础知识点总结：1. 空间向量的定义：空间向量是具有大小和方向的量，通常用一个箭头表示，箭头的起点和终点分别代表向量的起点和终点。

2. 空间向量的表示：空间向量可以用有序的三个实数来表示，即(x, y, z)，其中x、y、z分别代表向量在三个正交坐标轴上的分量。

3. 空间向量的运算：- 向量加法：两个向量相加，其结果向量的方向由第一个向量的起点指向第二个向量的终点，分量相加。

- 向量减法：向量减去另一个向量，结果向量的方向由第一个向量的起点指向第二个向量的起点，分量相减。

- 数量乘法：一个向量乘以一个实数，结果向量的方向不变，其长度按实数的倍数缩放。

4. 向量的模：向量的模是向量长度的大小，可以通过勾股定理计算得出，即模长= √(x² + y² + z²)。

5. 向量的单位化：将一个向量除以其模，得到一个长度为1的单位向量。

6. 向量的点积（内积）：两个向量的点积是一个标量，其值等于两个向量对应分量乘积的和，即a·b = |a||b|cosθ，其中θ是两个向量之间的夹角。

7. 向量的叉积（外积）：两个向量的叉积是一个向量，其方向垂直于原来的两个向量，其大小等于原来两个向量构成的平行四边形的面积，计算公式为a×b = (a_yb_z - a_zb_y, a_zb_x - a_xb_z, a_xb_y -a_yb_x)。

8. 空间向量的坐标变换：在不同的坐标系下，同一个向量的坐标表示可能会不同，坐标变换可以通过旋转矩阵或者变换矩阵来实现。

9. 向量的投影：一个向量在另一个向量上的投影是一个新的向量，其方向与被投影的向量相同，长度是原向量在被投影向量方向上的分量。

10. 向量的线性相关与无关：如果一组向量可以通过线性组合得到零向量，则这些向量是线性相关的；反之，如果无法得到零向量，则这些向量是线性无关的。

空间向量的运算(空间向量与立体几何知识点_空间向量总结)

A1 A2 A2 A3 A3 A4 An1 An An A1 0
A1
An 1
A2
An
A3
A4
⑵向量的减法三角形法则
b a
减向量终点指向被减向量终点
一、空间向量的基本概念
空间向量既有大小，又有方向的量
AB或 a
B
零向量
长度为零的向量 0
A
单位向量长度为1的向量 | e | 1
相等向量方向相同，长度相等的向量 a b
B’
AC AA'
AC CC'
D
C
AC'
A
B
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量
为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量
练习1、在如图所示的平行六面体中，
求证： AC AB AD 2AC. D’
变式：
A’
已知平行六面体 ABCD ABCD, 则下列四式中：
(1) AB CB AC;
2、对空间向量的加法、减法的小结
加法减法运算
运算律
平面向量加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则加法交换律 a b b a
加法结合律
练习9 已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA， OB的中点，若AB=OC，求证：PM⊥QN．
证明：
10.如图，在空间四边形 ABCD 中，AB 2 ，BC 3 ， BD 2 3 ，CD 3 ，ABD 30 ，ABC 60 ，求 AB 与 CD 的夹角的余弦值新疆

空间向量认识空间向量的运算方法

空间向量认识空间向量的运算方法空间向量是三维空间中具有大小和方向的矢量，它在许多科学和工程领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍空间向量的概念、属性以及运算方法。

一、空间向量的定义和属性在三维坐标系中，空间向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y、z 分别表示向量在各个坐标轴上的分量。

空间向量具有以下属性：1. 大小：空间向量的大小由其模长表示，记为 ||V||，计算公式为||V|| = √(x² + y² + z²)。

2. 方向：空间向量的方向由其分量决定，可以用一条有向线段表示，箭头所指的方向即为向量的方向。

3. 零向量：所有分量为零的向量称为零向量，记作 O 或 0。

二、空间向量的运算方法1. 空间向量的加法：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂)，它们的向量和为 C(x₃, y₃, z₃)。

向量和的计算公式为 C = A + B，即每个分量相加：x₃ = x₁ + x₂，y₃ = y₁ + y₂，z₃ = z₁ + z₂。

2. 空间向量的减法：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂, z₂)，它们的向量差为 C(x₃, y₃, z₃)。

向量差的计算公式为 C = A - B，即每个分量相减：x₃ = x₁ - x₂，y₃ = y₁ - y₂，z₃ = z₁ - z₂。

3. 空间向量的数量乘法：设有一个空间向量 A(x, y, z) 和一个实数 k，向量 A 的数量乘积为 B(x₁, y₁, z₁)。

数量乘积的计算公式为 B = kA，即将 A 的每个分量分别乘以 k：x₁ = kx，y₁ = ky，z₁ = kz。

4. 点乘（内积）：设有两个空间向量 A(x₁, y₁, z₁) 和 B(x₂, y₂,z₂)，它们的点乘结果为一个标量（数量）。

点乘的计算公式为 AB =x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂，即将两个向量对应分量相乘后相加。

向量的运算法则公式

向量的运算法则公式1. 向量的加法。

向量的加法遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的加法表示为a + b，其结果为一个新的向量c。

c的每个分量等于a和b对应分量的和，即c = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。

2. 向量的减法。

向量的减法遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的减法表示为a b，其结果为一个新的向量c。

c的每个分量等于a和b对应分量的差，即c = (a1 b1, a2b2, ..., an bn)。

3. 向量的数量乘法。

向量的数量乘法遵循以下法则：若有一个向量a和一个标量k，它们的数量乘法表示为ka，其结果为一个新的向量b。

b的每个分量等于a对应分量乘以k，即b = (ka1, ka2, ..., kan)。

4. 向量的点积。

向量的点积遵循以下法则：若有两个向量a和b，它们的点积表示为a·b，其结果为一个标量c。

c等于a和b对应分量的乘积之和，即c = a1b1 + a2b2 + ... + anbn。

5. 向量的叉积。

向量的叉积遵循以下法则：若有两个三维向量a和b，它们的叉积表示为a×b，其结果为一个新的向量c。

c的每个分量分别为a和b的对应分量按照右手定则计算得出。

6. 向量的混合积。

向量的混合积遵循以下法则：若有三个三维向量a、b和c，它们的混合积表示为(a×b)·c，其结果为一个标量d。

d等于a、b和c构成的平行六面体的有向体积。

这些向量的运算法则是线性代数中的基本概念，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有着广泛的应用。

通过这些法则，可以对向量进行加法、减法、数量乘法、点积、叉积和混合积的运算，从而解决各种实际问题。

在实际应用中，向量的运算法则可以帮助我们描述物体的运动、力的作用、空间的几何关系等。

例如，在物理学中，利用向量的加法可以描述多个力合成的结果；利用向量的点积可以计算功和投影；利用向量的叉积可以描述力矩和磁场等。

《空间向量》基础知识点

《空间向量及其运算》2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：()()a b c a b c ++=++⑶数乘分配律：()a b a b λλλ+=+3．平行六面体平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作ABCD-A B C D ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5. 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6．共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t OA OP +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t OA OP +=a或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP+=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++② 或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++= ③ 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9．空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++10 ,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.11．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .12．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影. 可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．13．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．14．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅空间向量的直角坐标及其运算1（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面；2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．常见坐标系①正方体如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，一般选择点D 为原点，DA 、DC 、'DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则各点坐标为亦可选A 点为原点.在长方体中建立空间直角坐标系与之类似. ②正四面体如图所示，正四面体A BCD -的棱长为a ，一般选择A 在BCD ∆上的射影为原点，OC 、OD （或OB ）、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为③正四棱锥如图所示，正四棱锥P ABCD -的棱长为a ，一般选择点P 在平面A A 'D B B ' D 'C C 'yzxBC AD O z xyADP O x zABCD 的射影为原点，OA （或OC ）、OB （或OD ）、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为④正三棱柱如图所示，正三棱柱 '''ABC A B C -的底面边长为a ，高为h ，一般选择AC 中点为原点，OC （或OA ）、OB 、OE （E 为O 在''A C 上的射影）所在直线分别为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则各点坐标为3．空间向量的直角坐标运算律：（1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．4 123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则22123||a a a a a a =⋅=++，21||b b b b =⋅=+．5．夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+6．两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB x ==，或,A B d =空间向量应用一、直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.在空间直角坐标系中，由111(,,)A x y z 与222(,,)B x y z 确定直线AB 的方向向量是212121(,,)AB x x y y z z =---.平面法向量如果a α⊥，那么向量a 叫做平面α的法向量. 二、证明平行问题1．证明线线平行：证明两直线平行可用112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈或312123//a a a a b b b b ⇔==. 2.证明线面平行直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若a n ⊥即0a n ⋅=则//a α. 3.证明面面平行平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12//n n 即12n n λ=则//αβ. 三、证明垂直问题 1．证明线线垂直证明两直线垂直可用1122330a b a b a b a b a b ⊥⇔⋅=++= 2．证明线面垂直直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且l α⊄，若//a n 即a n λ=则a α⊥. 3.证明面面垂直平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，若12n n ⊥即120n n ⋅=则αβ⊥.x y四、夹角1．求线线夹角设123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，(0,90]θ∈︒︒为一面直线所成角，则：||||cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅<>；21cos ,||||a a ba b a b a ⋅<>==⋅+；cos |cos ,|a b θ=<>. 2．求线面夹角如图，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得sin |sin(,)|2OP AP πθ=-<>|cos ,|OP AP =<>|cos ,|n AP =<>|cos ,|n PA =<>||||||n PA n PA ⋅=.3．求面面夹角设1n 、2n 分别是二面角两个半平面α、β的法向量，当法向量1n 、2n 同时指向二面角内或二面角外时，二面角θ的大小为12,n n π-<>；当法向量1n 、2n 一个指向二面角内，另一外指向二面角外时，二面角θ的大小为12,n n <>. 五、距离1．求点点距离设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，,A B d =||(AB AB AB x =⋅=2．求点面距离如图，A 为平面α任一点，已知PA 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法向量，过P 作平面α的垂线PO ，连结OA 则PAO ∠为斜线PA 和平面α所成的角，记为θ易得||||sin |||cos ,|PO PA PA PA n θ=⋅=⋅<>||||||||PA n PA PA n ⋅=⋅⋅||||PA n n ⋅=. 3．求线线距离求异面直线间的距离可以利用向量的正射影性质直接计算.如图，设两条异面直线a 、b 的公垂线的方向向量为n , 这时分别在a 、b 上任取A 、B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线a 、b 的距离.即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.直线a 、b 的距离||||||||n AB n d AB n n ⋅=⋅=. 4．求线面距离一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线到这个平面的距离.直线到平面的距离可转化为求点到平面的距离. 5.求面面距离和两个平行平面同时垂直的直线叫做两个平行平面的公垂线.公垂线夹在这两个平行平面间的部分叫做两个平行平面的公垂线段.公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离. 平面和平面间的距离可转化为求点到平面的距离.。

高中数学空间向量公式大全

高中数学中，空间向量是一个重要的概念，与之相关的公式较多。

以下是一些主要的空间向量公式：
1.空间向量的模长公式：若向量a = (x1, y1, z1)，则其模长|a| = √(x1² + y1² + z1²)。

2.空间向量的数量积公式：若向量a = (x1, y1, z1)，向量b = (x2, y2, z2)，则它们的数
量积a·b = x1x2 + y1y2 + z1z2。

3.空间向量的夹角公式：cosθ = (a·b) / (|a||b|)，其中θ是向量a和向量b之间的夹角，a·b
是它们的数量积，|a|和|b|分别是它们的模长。

4.空间向量的加法公式：若向量a = (x1, y1, z1)，向量b = (x2, y2, z2)，则它们的和a +
b = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。

5.空间向量的减法公式：若向量a = (x1, y1, z1)，向量b = (x2, y2, z2)，则它们的差a - b
= (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)。

6.空间向量的数乘公式：若向量a = (x, y, z)，实数λ，则数乘λa = (λx, λy, λz)。

以上是空间向量的基础公式，通过这些公式，可以解决很多与空间向量相关的问题。

请注意，这些公式都基于向量的坐标表示，因此在实际应用中，需要首先确定向量的坐标。

此外，还有一些空间向量的性质，如共线向量、共面向量等，这些性质在解决空间几何问题时非常有用。

如果需要更详细的信息，建议查阅高中数学教材或相关资料。

空间向量运算

空间向量运算空间向量运算是三维空间中非常重要的数学概念。

它能让我们更好地理解物体之间的相对位置和运动，同时也在计算机图形学、物理学和航空航天等领域得到广泛应用。

空间向量是具有大小和方向的有序数组，通常用箭头表示。

它们可以通过加减运算来确定物体之间的运动、旋转和平移，以及计算它们之间的距离和角度。

比如说，假设我们有两个三维空间向量A和B，它们的坐标分别为(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)，那么它们的加法运算可以表示为：A +B = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)我们还可以计算它们的减法运算、点积和叉积。

空间向量的减法运算可以表示为：A -B = (x1 - x2, y1 - y2, z1 - z2)空间向量的点积运算可以表示为：A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2点积运算可以帮助我们计算出两个向量之间的夹角和它们之间的投影长度。

如果A和B之间的夹角为θ，则它们的点积为：A·B = |A||B| cosθ而空间向量的叉积运算可以表示为：A ×B = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2)叉积运算可以帮助我们计算出两个向量之间的垂直向量和它们所在平面的法向量。

如果A和B之间的夹角为θ，则它们的叉积长度为：|A × B| = |A||B| sinθ除此之外，空间向量还可以进行投影运算、反演运算和旋转运算等，这些运算都是数学分析和物理学中不可或缺的基本概念。

在实际应用中，空间向量运算被广泛用于三维建模、机器人控制和虚拟现实等领域。

例如，在三维建模中，可以使用向量运算来构建物体的模型和确定它们之间的相对位置、大小和形状。

在机器人控制中，向量运算可以帮助机器人确定它们的运动方向和距离，从而实现精准的定位和操作。

而在虚拟现实中，向量运算可以模拟真实世界中的物理现象，例如运动、碰撞和重力等。

几个空间向量公式就在这里了

几个空间向量公式就在这里了空间向量是指在三维空间中的一种向量表示形式，它可以表示物体在空间中的位置、速度、力等。

一、向量的定义在三维空间中，一个向量可以表示为一个有序的数对，分别是向量在x、y、z轴上的分量，通常用字母加上箭头表示，如：→AB表示从点A指向点B的向量。

向量的长度称为向量的模，通常用，→AB，表示。

二、向量的加法向量的加法可以通过将相同向量的相应分量相加来完成。

例如，对于向量→AB和→AC，则它们的和→AD可以表示为：→AD=→AB+→AC。

三、向量的减法向量的减法可以通过将被减向量的相应分量减去减向量的相应分量来完成。

例如，对于向量→AB和→AC，则它们的差→BC可以表示为：→BC=→AB-→AC。

四、向量的数量积向量的数量积也称为点积或内积，它的结果是一个标量。

数量积可以通过将两个向量的对应分量相乘，并将乘积相加来计算。

例如，对于向量→AB和→AC，则它们的数量积AB·AC可以表示为：AB·AC=ABx*ACx+ABy*ACy+ABz*ACz。

五、向量的向量积向量的向量积也称为叉积或外积，它的结果是一个新的向量，它垂直于原来的两个向量所在的平面。

向量的向量积可以通过以下公式计算：→AB×→AC=(ABy*ACz-ABz*ACy)i+(ABz*ACx-ABx*ACz)j+(ABx*ACy-ABy*ACx)k其中，i、j、k分别是坐标轴的单位向量。

六、向量的模和方向角向量的模表示向量的长度，可以通过向量的分量来计算。

例如，对于向量→AB，则它的模，→AB，可以表示为：，→AB，=√(ABx^2+ABy^2+ABz^2)。

向量的方向角可以通过向量的分量来计算。

例如，对于向量→AB，则它的方向角可以表示为：θ = acos(ABz / ，→AB，)φ = atan(ABy / ABx)。

以上就是几个常用的空间向量公式，它们在解决空间中的位置、运动和力学问题中起到了重要的作用。