锐角三角函数题型练习

锐角三角函数题型练习

锐角三角函数

一、定义。

正弦=sinθ，余弦=cosθ，正切=tanθ。

二、常见直角三角形及其角度与边长关系。

1、45°-45°-90°三角形，对边和邻边相等，斜边为对边或邻边的根号2倍。

2、30°-60°-90°三角形，对边为邻边的一半，斜边为邻边的根号3倍。

3、3-4-5三角形，边长比为3:4:5.

4、5-12-13三角形，边长比为5:12:13.

三、常见角的三角函数。

三角函数30°45°60°

sin 1/2根号2/2根号3/2

cos 根号3/2根号2/2 1/2

tan 1/根号3 1.根号3

3.在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，

AC=5，sinA=5/12，则BC=5根号119/12，CD=5/根号119.

4.三角形三边长的比为5:12:13，则此三角形最小内角的正切值为3/4.

5.在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A的正弦值不变。

6.在△ABC中，若∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA等于

1/2.

7.在直角三角形ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=3/5，则AB=4.8.

8.已知cosA=tanα，求cos2A。解：cos2A=2cos^2A-

1=2tan^2α-1.

四、解直角三角形就是求出三角形的各边长和角度。

基础练：

1、已知一边和一角。在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A=30°，b=4，则a=2根号3，c=5，∠B=60°。

2、已知两边。在直角三角形ABC中，c=5，b=4，且

∠B=90-∠A，则sinB=3/5.

9.计算：cot60=1/根号3，tan45·sin45-4sin30·cos45+6=1.

10.计算：2tan30+2sin60-tan45·sin90-tan60+cos30=3.

11.在直角三角形ABC中，∠C为直角，∠A=30°，则

sinA+sinB=1.

1．在直角三角形ABC中，若AC=2，BC=7，AB=3，则cosA=-1/2.

2.在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则tanA=4/3，sinA=4/5，cosA=3/5.

12.若锐角三角形ABC中，∠A的三角函数值为sinA、cosA、tanA，则在各边长度扩大两倍后，三角函数值仍保持不变，选C。

13.在△ABC中，若∠C=90°，且c-4ac+4a=0，则

sinA+cosA的值为1+√2/2，选B。

14.如图，三角尺AD与直线BD垂直，因此∠ADB为直角，tan∠ADB=BD/AD=2，选A。

15.如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥A，因此

AD=5cm，DE=2.5cm，根据勾股定理可得CE=√75=5√3cm，菱形面积为1/2×AC×BD=1/2×10×5√3=25√3cm²，选B。

16.如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC

边的点F处，因为AB=8，BC=10，所以AC=√164=2√41，由

于△AFC与△ABC相似，所以

tan∠EFC=tan∠AFC=AC/AB=√41/4，选C。

17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，XXX于E，DE=2，求∠B的度数及边BC、AB的长。连接BE，因为

△BDE与△ABC相似，所以BD/AB=DE/BC，即

2/AB=DE/BC，代入DE=2，AC=8可得BC=4√5，AB=8√5/3，由勾股定理可得AC=2√21，因此

s inB=AB/AC=8/2√21=4√21/21，

cosB=BC/AC=4√5/2√21=2√15/21，tanB=sinB/cosB=2√35/15，

∠B的度数为arctan(2√35/15)，选D。

1.在△ABC中，∠C=90°，已知sinA=5/13，求XXX的值。

答：根据三角函数定义，sinA=BC/AC=5/13，因为

∠C=90°，所以tanA=AB/BC，可以用勾股定理求得AB=12，BC=5，所以tanA=AB/BC=12/5.

2.已知△ABC中，3cosB=2，AC=25，∠C=90°，求AB的长。

答：根据三角函数定义，cosB=AB/AC，所以

AB=3cosB×AC/2=45/2，根据勾股定理可得BC=20，所以

∠B=arcsin(AB/BC)=arcsin(45/40)。

3.已知Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=5，BC=12，求AC、AB和cosB。

答：根据三角函数定义，tanA=AB/BC=5，所以

AB=5×12=60，根据勾股定理可得

AC=√(BC²+AB²)=√(144+3600)=√3744=2√936，

cosB=AC/AB=2√936/60=√26/5.

4.已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sin∠XXX的值。

答：根据余弦定理可得BC=√(AB²+AC²-

2×AB×AC×cos∠BAC)=√(100+25-2×10×5×(-1/2))=5√3，所以

sin∠ABC=BC/AB=5√3/10=√3/2.

5.△ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，求△ABC

的面积。

答：根据正弦定理可得BC=√(AB²+AC²-

2×AB×AC×cos∠A)=2√7，所以△ABC的面积为

1/2×XXX×AC×sin∠A=12√3/4.

6.如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作

AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，求证∠BAE=∠DAF，若AE=4，AF=24/5，求CF的长。

答：∠BAE=90°-∠ABC，∠DAF=90°-∠ADC，因为ABCD是平行四边形，所以∠XXX∠ADC，所以

∠BAE=∠DAF。根据勾股定理可得

AD=√(AF²+DF²)=√(576/25+16)=32/5，所以CD=AD-AC=7/5，因为ABCD是平行四边形，所以BC=AD，所以BE=BC-

CE=7/5，所以CE=3/5，所以CF=√(AE²+CE²)=√(16+9/25)=41/5.

六、三角函数的值

1.计算：$2\cos30^\circ+2\sin45^\circ-\tan60^\circ$。

2.计算：$\tan60^\circ+\sin245^\circ-2\cos30^\circ$。

3.计算：$31+(2\pi-1)-\frac{3}{\tan30^\circ-

\tan45^\circ}+\frac{1}{\sqrt{3}}+2\cos60^\circ+\sin45^\circ$。