2013广东揭阳二模数学答案(理科)
2013年广东高考理科数学试题及答案解析(图片版)
2013年广东高考理科数学试题与答案解析2013年普通高等学校招生全国统一考试〔广东卷〕数学〔理科〕参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. DC CA BD BB二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. (-2,1) 10.k =-1 11. 7 12.20 13.614.sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．〔本小题满分12分〕[解析](Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17．〔本小题满分12分〕[解析](Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.向量法图(Ⅲ) 设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A=1148212C CC 1633=.18．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD===连结,OD OE,在OCD∆中,由余弦定理可得OD==由翻折不变性可知A D'=,所以222A O OD A D''+=,所以A O OD'⊥,理可证A O OE'⊥, 又OD OE O=,所以A O'⊥平面BCDE.(Ⅱ) 传统法:过O作OH CD⊥交CD的延长线于H,连结A H',因为A O'⊥平面BCDE,所以A H CD'⊥,所以A HO'∠为二面角A CD B'--的平面角.结合图1可知,H为AC中点,故2OH=,从而2A H'==所以cos5OHA HOA H'∠==',所以二面角A'的平面角的余弦值为.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O-则()0,0,3A',()0,3,0C-,()1,2,0D-所以(CA'=,(1,DA'=-设(),,n x y z=为平面A CD'的法向量,则n CAn DA⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得yz=⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x=,得(1,1,n=-由(Ⅰ) 知,()0,0,3OA'=为平面CDB的一个法向量,所以3cos,3n OAn OAn OA'⋅'==⋅'即二面角A CD B'--19．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 依题意,12122133S a=---,又111S a==,所以24a=；(Ⅱ) 当2n≥时,32112233n nS na n n n+=---,()()()()321122111133n nS n a n n n-=-------两式相减得()()()2112213312133n n na na n a n n n+=----+---整理得()()111n nn a na n n++=-+,即111n na an n+-=+,又21121a a-=故数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a=,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.20．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2) (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点P (x 0,y 0),所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点P (x 0,y 0)在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21．〔本小题满分14分〕 [解析](Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令f'(x )=0,得0x =,ln 2x = 当x 变化时, f'(x ), f (x )的变化如下表:f (x ) 极大值极小值右表可知,函数f (x )的递减区间为(0,ln2),递增区间为(-∞,0), (ln2,+∞). (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令f'(x )=0,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时, f'(x )<0；当()()ln 2,x k ∈+∞时, f'(x )>0；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1kM f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以φ(k )在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e e ϕϕ⎛⎫⎛⎫⋅=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, φ(k )>0, 当()0,1k x ∈时, φ(k )<0, 所以φ(k )在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=〞.综上,函数f (x )在[0,k ]上的最大值()31kM k e k =--.。
广东揭阳2013高三第二次模拟试题-数学理(word解析版)(精)
2013年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•揭阳二模）已知全集U=R，，则∁U A=（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0]考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：求函数的定义域求得A，再利用补集的定义求得则∁U A．解答：解：集合A即函数y=的定义域，由2x﹣1≥0，求得x≥0，A=[0，+∞），故∁U A=（﹣∞，0），故选B．点评：本题主要考查对数不等式的解法，求集合的补集，属于基础题．2．（5分）（2013•揭阳二模）若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．B． C． D．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，根据复数相等的充要条件，得到复数的实部和虚部分别相等，得到a，b的值，求出复数的模长．解答：解：∵（1+2ai）i=1﹣bi，∴i﹣2a=1﹣bi∴﹣2a=1，b=﹣1∴a=﹣，b=﹣1∴|a+bi|=故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的求模，本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．3．（5分）（2013•揭阳二模）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若，则点B的坐标为（）A．（7，4）B．（7，14）C．（5，4）D．（5，14）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），求得x、y的值，即可求得点B的坐标．解答：解：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），故有，解得，故选D．点评：本题主要考查两个向量的坐标形式的运算，属于基础题．4．（5分）（2013•揭阳二模）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a m=a1+a2+…+a9，则m的值为（）A．37 B．36 C．20 D．19考点：数列的求和；等差数列．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式可得a m=0+（m﹣1）d，利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值．解答：解：∵{a n}为等差数列，首项a1=0，a m=a1+a2+…+a9，∴0+（m﹣1）d=9a5=36d，又公差d≠0，∴m=37，故选A．点评：本题考查等差数列的通项公式与求和，考查等差数列性质的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•揭阳二模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A．7 B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图复原的几何体，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．点评：本题考查几何体与三视图的关系，考查空间想象能力与计算能力．6．（5分）（2013•揭阳二模）已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．解答：解：令g（x）=x﹣ln（x+1），则，由g'（x）＞0，得x＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得﹣1＜x＜0，即函数g（x）在（﹣1，0）上单调递减，所以当x=0时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（﹣1，0）上单调递减，则函数f（x）在（﹣1，0）上递增，故排除C，故选A．点评：本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．7．（5分）（2013•揭阳二模）某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为（）A．18 B．24 C．30 D．36考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：间接法：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数共有•种，去掉甲乙被分在同一所学校的情况共有种即可．解答：解：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全拍列共有•种，再排除甲乙被分在同一所学校的情况共有种，所以不同的安排方法种数是•﹣=36﹣6=30故选C．点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，属中档题．8．（5分）（2013•揭阳二模）设f（x）是定义在（0，1）上的函数，对任意的y＞x＞1都有，记，则=（）A．B．C．D．考点：数列的求和；抽象函数及其应用．专题：等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得an=f（）﹣f（），利用累加法即可求得故a i=f（）﹣f（），逆用已知条件即可得到答案．解答：解：因an=f（）=f（）=f（）﹣f（），故a i=a1+a2+…+a8=f（）﹣f（）+f（）﹣f（）+…+f（）﹣f（）=f（）﹣f（）=f（）=f（），故选C．点评：本题考查抽象函数及其应用，求得a n=f（）﹣f（）是关键，也是难点，考查观察与推理能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）（2013•揭阳二模）若点（a，﹣1）在函数的图象上，则的值为．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：将x=a，y=﹣1代入函数解析式中求出a的值，将a的值代入所求式子中计算即可求出值．解答：解：将x=a，y=﹣1代入函数解析式得：﹣1=，解得：a=3，则tan=tan=tan（π+）=tan=．故答案为：点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：对数的运算性质，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（2013•河东区二模）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是4x﹣3y﹣20=0．考点：双曲线的简单性质．专题：函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，可得右焦点的坐标为F（5，0），且经过一、三象限的渐近线斜率为k=．由平行直线的斜率相等，可得所求的直线方程的点斜式，再化成一般式即可．解答：解：∵双曲线的方程为∴a2=9，b2=16，得c==5因此，该双曲线右焦点的坐标为F（5，0）∵双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线经过一、三象限的渐近线斜率为k=∴经过双曲线右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是y=（x﹣5）化为一般式，得4x﹣3y﹣20=0．故答案为：4x﹣3y﹣20=0点评：本题给出双曲线方程，求经过一个焦点并且平行于渐近线的直线方程，考查了直线的方程、直线的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．11．（5分）（2013•揭阳二模）某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：先根据正态分布的意义，两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为p=，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”，利用其对立事件求其概率即可．解答：解：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502），得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为p=，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：p 1=1﹣（1﹣p）2=．故答案为：．点评：本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题．12．（5分）（2013•揭阳二模）已知函数f（x）=4|a|x﹣2a+1．若命题：“∃x0∈（0，1），使f （x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为．考点：特称命题；命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是单调函数，在（0，1）上存在零点，应有f（0）f（1）＜0，解不等式求出数a的取值范围．解答：解：由：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，得：f（0）•f（1）＜0⇒（1﹣2a）（4|a|﹣2a+1）＜0或⇒．故答案为：点评：本题考查函数的单调性、单调区间，及函数存在零点的条件．13．（5分）（2013•揭阳二模）已知点P（x，y）满足，则点Q（x+y，y）构成的图形的面积为2．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：设点Q（u，v），则x+y=u，y=v，可得，点Q的可行域为平行四边形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（u，v）构成的区域的面积．解答：解：令x+y=u，y=v，则点Q（u，v）满足，在平面内画出点Q（u，v）所构成的平面区域如图，它是一个平行四边形，一边长为1，高为2，故其面积为2×1=2．故答案为：2．点评：本题考查线性规划，可行域不是的图形的面积的求法，正确画出可行域是解题的关键，考查计算能力、作图能力．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•揭阳二模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线l过圆C：的圆心C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先求已知圆的圆心的极坐标，再根据直线l过圆C：的圆心C且与直线OC垂直，即可求得直线l的极坐标方程．解答：解：把化为直角坐标系的方程为x2+y2=2x+2y，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直的直线方程为x+y﹣2=0，化为极坐标系的方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．点评：本题重点考查曲线的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标之间的互化，属于基础题．15．（2013•揭阳二模）如图所示，C，D是半圆周上的两个三等分点，直径AB=4，CE⊥AB，垂足为E，BD与CE相交于点F，则BF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的性质、含30°角的直角三角形的性质即可得出．解答：解：∵C，D是半圆周上的两个三等分点，∴∠DBA=30°，连接AD，则∠ADB=90°，∴AD=2，过点D作DG⊥AB于G，在Rt△ADG中，∠ADG=30°，∴AG==1．则AG=BE=1，∴=．故答案为．点评：熟练掌握圆的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2006•北京）已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且，求f（α）的值．考点：三角函数的定义域；弦切互化．分析：（1）由cosx≠0得出x取值范围得出答案．（2）通过tanα=﹣，求出sina=﹣，cosa=，代入函数式．解答：（1）解：∵依题意，有cosx≠0∴解得x≠kp+，∴f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠kp+，k∈Z}（2）解：∵=﹣2sinx+2cosx∴f（α）=﹣2sina+2cosa∵α是第四象限的角，且∴sina=﹣，cosa=∴f（α）=﹣2sina+2cosa=点评：本题主要考查三角函数的定义域的问题．属基础题．17．（12分）（2013•揭阳二模）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次（每次一件），求恰有两次抽到二等品的概率；（2）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设随机变量ξ表示“3次抽取抽到次品的件数”，则ξ～B，利用二项分布即可得出；（2）利用超几何分布即可得到概率．进而得到分布列和数学期望．解答：解：（1）设A表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为，故．（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==．ξ的分布列为ξ0 1 2 3P数学期望为Eξ=1×+2×+3×=1.2．点评：熟练掌握二项分布、超几何分布及分布列和数学期望是解题的关键．18．（14分）（2013•揭阳二模）数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）求最小的自然数n，使a n≥2013．考点：数列递推式；等比数列的通项公式；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；（2）利用累加法可求得a n，注意检验n=1时是否满足；（3）代入通项公式可把a n≥2013变为关于n的不等式，解出n的范围，然后检验取其最小值即可；解答：解：（1）a1=3，a2=3+c，a3=3+3c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴（3+c）2=3（3+3c），解得c=0或c=3．当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=3．=（n﹣1）c，（2）当n≥2时，由a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，…a n﹣a n﹣1得．又a 1=3，c=3，∴．当n=1时，上式也成立，∴．（3）由a n≥2013得，即n2﹣n﹣1340≥0，∵n∈N*，∴，令n=37，得a37=2001＜2013，令n=38得a38=2112＞2013，∴使a n≥2013成立的最小自然数n=38．点评：本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．19．（14分）（2013•揭阳二模）在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A﹣EF﹣C，如图（2）所示，其中（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF﹣ADE的体积；（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；（3）当θ=900且．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用已知条件即可得到EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．再利用三棱柱的体积计算公式即可得出；（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，可证明四边形MNN1M1为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；证法二：点M作MG⊥EF交EF于G，可证平面MNG∥平面BCF，利用面面平行的性质定理即可证明；（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，得∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，利用余弦定理求出即可；证法二：建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出．解答：解：（1）依题意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．由θ=45°得，，∴．（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1又∵，∴MM 1=NN1∴四边形MNN1M1为平行四边形，∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．证法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连接NG，则，∴NG∥CF．又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，∵θ=900且．∴，∴，﹣﹣﹣﹣∴．即MN与AC所成角的余弦值为．证法二：∵θ=900且．分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．，∴，所以与AC所成角的余弦值为．点评：熟练掌握线面垂直的判定定理、三棱柱的体积计算公式、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理、异面直线所成的角的定义、余弦定理、通过建立空间直角坐标系利用两条异面直线的方向向量的夹角求得异面直线的夹角．20．（14分）（2013•揭阳二模）如图已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．（1）求圆M和抛物线C的方程；（2）设G，H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且，求△GOH面积的最小值；（3）在抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x﹣1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由|AO|=2，=OAcos60°可求得p，从而可求得抛物线C的方程；继而可求得圆M的半径r，从而可求其方程；（2）设G（x 1，y1），H（x2，y2），由•=0得x1x2+y1y2=0，由=4x1，=4x2，可求得x1x2=16，利用三角形的面积公式，结合基本不等式即可求得△GOH面积的最小值；（3）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0），利用P （x 3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，=4x3，=4x4，两式相减可求得y0=﹣2k，最后利用D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上即可知点D（x0，y0）在抛物线外，从而可得答案．解答：解：（1）∵，即p=2，∴所求抛物线的方程为y2=4x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴设圆的半径为r，则，∴圆的方程为（x﹣2）2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），由•=0得x1x2+y1y2=0，∵=4x 1，=4x2，∴x1x2=16，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵=，∴=•=（+）（+）=，=[+4x 1x2（x1+x2）+16x1x2]≥[+4x 1x2•2+16x1x2]=256∴≥16，当且仅当x 1=x2=2时取等号，∴△GOH面积最小值为16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0）∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，∴=4x 3，=4x4，两式相减得：（y3﹣y4）（y3+y4）=4（x3﹣x4）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴y 3+y4=4•==﹣4k，∴y0=﹣2k∵D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上∴x0=﹣1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查圆的标准方程与抛物线的标准方程，考查基本不等式及点差法，突出抽象思维能力与运算能力的考查，属于难题．21．（14分）（2013•揭阳二模）设函数在上的最大值为a n （n=1，2，…）．（1）求a 1，a 2的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对任意n ∈N *（n ≥2），都有成立．考点：数列与函数的综合；数列的函数特性．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列．分析： （1）解法一：通过函数的导数，判断函数的单调性，求出最大值即可求a 1，a 2的值； 解法二：利用函数的导数，求出函数的最值，推出a 1，a 2的值．（2）利用（1）解法求出n ≥3时函数的最大值，即可求数列{a n }的通项公式；（3）利用分析法以及二项式定理直接证明：对任意n ∈N *（n ≥2），都有成立．解答： 解：（1）解法1：∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）当n=1时，f 1'（x ）=（1﹣x ）（1﹣3x ） 当时，f 1'（x ）≤0，即函数f 1（x ）在上单调递减， ∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）当n=2时，f 2'（x ）=2x （1﹣x ）（1﹣2x ） 当时，f 2'（x ）≤0，即函数f 2（x ）在上单调递减， ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）【解法2：当n=1时，，则当时，f 1'（x）≤0，即函数f1（x）在上单调递减，∴，当n=2时，，则=2x（1﹣x）（1﹣2x）当时，f 2'（x）≤0，即函数f2（x）在上单调递减，∴】（2）令f n'（x）=0得x=1或，∵当n≥3时，且当时f n'（x）＞0，当时f n'（x）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）故f n（x）在处取得最大值，即当n≥3时，=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当n=2时（*）仍然成立，综上得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）当n≥2时，要证，只需证明，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∵∴对任意n∈N*（n≥2），都有成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评： 本题考查数列与函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，数列通项公式的求法，二项式定理的应用，考查计算能力转化思想的应用．。
2013年高考数学广东卷(理科)试题+详细解析+试卷分析报告
普宁二中 杜林生 整理发布，仅供参考
1 台体的体积公式 V (S1
3
2
1. 设集合 M { x | x 2x
S1S2 S2) h ，其中 S1， S2 分别表示台体的上、 下底面积， h 表示台体的高．
0, x
R} ， N
2
{ x| x
2x
0, x
R } ，则 M U N
A ． {0}
B ． {0, 2}
A． ( y, z, w) S ， ( x, y, w) S
B ． ( y, z, w) S ， ( x, y, w) S
C． ( y, z, w) S ， ( x, y, w) S
D ． ( y, z, w) S ， ( x, y, w) S
9. 不等式 x2 x 2 0 的解集为 _______________ 10. 若曲线 y kx ln x 在点 (1,k) 处的切线平行于 x 轴，则 k 11. 执行如图 2 所示的程序框图，若输入 n 的值为 4 ，
15. （几何证明选讲选做题）如图 3 ， AB 是圆 O 的直径，点 C 在圆 O 上， 延长 BC 到 D 使 BC CD ，过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E . 若 AB 6 ， ED 2 ，则 BC ____________
16. （ 12 分） f ( x) 2 cos( x ) ， x R . 12
O
C
B
A'
D
E
A 图5
C D
O
B
E
图6
19. （ 14 分）设数列
an 的前 n 项和为 Sn ，已知 a1
1， 2Sn n
（ 1 ）求 a 2的值；
2013广东高考卷(理科数学)试题及详解
2013广东高考卷(理科数学)模拟试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=x²2ax+a²+2在区间（∞，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a≤1B. a≥1C. a≤0D. a≥03. 在等差数列{an}中，已知a1=1，a3+a5=14，则数列的公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 若向量a=(2，1)，b=(1，2)，则2a+3b的模长为（）A. 5B. √5C. 10D. 2√55. 设函数f(x)=|x1|，则f(x)的图像在x=1处（）A. 连续B. 断开C. 可导D. 不可导二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a，b为实数，且a≠b，则a²≠b²。
（）2. 两个平行线的斜率相等。
（）3. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。
（）4. 若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。
（）5. 任何两个实数的和都是实数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，则f(1)=______。
2. 若向量a=(1，2)，b=(2，1)，则a·b=______。
3. 在等比数列{an}中，已知a1=2，公比q=3，则a4=______。
4. 二项式展开式(1+x)⁶的常数项为______。
5. 设平面直角坐标系中，点A(2，3)，则点A关于原点的对称点坐标为______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。
2. 请写出等差数列的通项公式。
3. 矩阵乘法的运算规律有哪些？4. 求解一元二次方程x²5x+6=0。
5. 简述平面向量的线性运算。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=2x²4x+3，求f(x)的最小值。
广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二模)分类汇编9圆锥曲线
广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）椭圆221x my +=的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于x 的不等式||x A B-<的解集叫A 的B 邻域.已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-,其中a b 、分别为椭圆12222=+by a x 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线x y 542=的焦点重合,则椭圆的方程为（ ）A ．13822=+y xB ．14922=+y xC ．18922=+y xD ．191622=+y x【答案】B3 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184x y += .B 221126x y += .C 221168x y += .D 221205x y +=【答案】B4 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y px =的焦点为(2,0),则4p =.5 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（ ）A D ．【答案】A6 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（ ）A ．12B C D ．1【答案】A7 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】D二、填空题8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞和椭圆22x y =1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143x y -= 9．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .【答案】10．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x 轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432x y -= y =± 11．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-12．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___【答案】13．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于____【答案】14．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221x ky -=的一个焦点是0),则其渐近线方程为________.【答案】2y x =±;15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy 中,若双曲线14222=+-m y m x 的焦距为8,则=m _______. 【答案】3(未排除4-,给3分)17．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24x y =上一点P到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4±18．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.【答案】19．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.【答案】20．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916x y -=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题21．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,,RQ FP PQ l ⊥⊥.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程;(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为N M ，.求证:直线MN 必过定点)0,3(R .【答案】解:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为:1x =-.点R 是线段FP 的中点,且RQ ⊥FP ,∴RQ 是线段FP 的垂直平分线∴PQ 是点Q 到直线l 的距离.∵点Q 在线段FP 的垂直平分线,∴PQ QF =故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:24(0)y x x => (Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,，,直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB A A x y x y(1)—(2)得k y y B A 4=+,即ky M 2=, 代入方程)1(-=x k y ,解得122+=kx M .所以点M 的坐标为222(1,)k k+同理可得:N 的坐标为2(21,2)k k +-. 直线MN 的斜率为21kkx x y y k N M N M MN -=--=,方程为 )12(1222---=+k x kk k y ,整理得)3()1(2-=-x k k y , 显然,不论k 为何值,(3,0)均满足方程, 所以直线MN 恒过定点R (3,0).1422．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A、()2,0B -,P 是平面内一动点,直线PA 、PB 的斜率之积为34-.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.2013年4月汕头一中高三模拟考【答案】(1)依题意,有3224PA PB y y k k x x ⋅=⋅=--+(2x ≠±), ----------------------------- 化简得: 22143x y += (2x ≠±),为所求动点P 的轨迹C 的方程------------------------(2)依题意,可设(,)M x y 、(,)E x m y n ++、(,)F x m y n --,则有 2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩, 两式相减,得4430014342EF mx n n x y k m y x -+=⇒==-=-, 由此得点M 的轨迹方程为:226830x y x +-=(0x ≠).------------------------------ 设直线MA :2x my =+(其中1m k=),则 22222(68)211806830x my m y my x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩, ------------------------------ 故由22(21)72(68)0||8m m m ∆=-+≥⇒≥,即18k≥, 解得:k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ---------------------------23．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知抛物线C :212x y =,过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点. (1)求证:OA OB ⋅为定值;(2)设M 是线段AB 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ,证明:抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.【答案】(1)设直线l 的方程为:18y kx =+,()11,A x y ,()22,B x y . ------------------------- 由21218x y y kx ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得:2110264x kx --=,∴12116x x =- ------------------------∴()2121212123464OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+=-为定值---------------------------- (2)由(1)得:点M 的横坐标为4k ,∴点N 的横坐标为4k----------------------------∵'4y x = ∴4'|k x y k == ----------------------------∴平行另解:设()00,N x y ,则12024x x k x +==,220028k y x ==---------------------------- 设抛物线C 在点N 处的切线为284k k y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 由228412k k y m x x y⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩得:2202816m mk k x x -+-= ------------------------------- ∴22404816m mk k ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得:m k = ------------------------------- ∴平行24．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为e =直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切. (1)求椭圆C 1的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=⋅,求||QS 的取值范围.【答案】解:(1)由直线:2l y x =+与圆222xy b +=相切,b =,即b =由e =,得222213b e a =-=,所以a =所以椭圆的方程是221:132x y C +=(2)由条件,知2||||MF MP =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=(3)由(2),知(0,0)Q ,设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅RS QR ,得()()222121121016y y y y y y -+-=∵12y y ≠,∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,∴222121256323264y y y =++≥=,当且仅当2121256y y =,即14y =±时等号成立 又||y QS ⎛== ,∵2264y ≥,∴当2264y =,即28y =±时,min ||QS =故||QS 的取值范围是)⎡+∞⎣25．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆222212:20,:(1)4C x y x C x y +-=++=的圆心分别为12,C C ,P 为一个动点,且12||||PC PC +=(1)求动点P 的轨迹M 的方程;(2)是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D,使得11||||C C C D =?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C -∵1212||||||2PC PC C C +=>=∴根据椭圆的定义可知,动点P 的轨迹为以原点为中心,1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点,长轴长为2a =的椭圆, 1,1a c b ====∴椭圆的方程为2212x y +=,即动点P 的轨迹M 的方程为2212x y += (2)(i)当直线l 的斜率不存在时,易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部,直线l 与椭圆M 无交点,所以直线l 不存在.(ii)设直线l 斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =-由方程组2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(21)8820k x k x k +-+-=①依题意28(21)0k ∆=-->解得22k -<<当k <<时,设交点1122(,),(,)C x y D x y ,CD 的中点为00(,)N x y ,方程①的解为12x x == ,则212024221x x k x k +==+ ∴2002242(2)22121k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭要使11||||C C C D =,必须1C N l ⊥,即11C N k k ⋅=-∴222212114021kk k k k --+⋅=--+,即2102k k -+=② ∵1114102∆=-⨯=-<或,∴2102k k -+=无解所以不存在直线,使得11||||C C C D =综上所述,不存在直线l ,使得11||||C C C D =26．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的,. (1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点,坐标原点O 到直线l 求AOB △面积的最大值.【答案】(2)设11()A x y ，,22()B x y ，.27．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1x y C a b-=(0a >,0b >),相交于B 、D 两点,且BD 的中点为(1,3)M(1)求双曲线C 的离心率;(2)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,||||17DF BF ⋅=,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.【答案】解:(1)由题设知,直线l 的方程为2y x =+代入双曲线C 的方程,并化简得:2222222()440b a x a x a a b ----=设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则212224a x x b a +=-,22212224a a b x x b a+⋅=- ①由(1,3)M 为BD 的中点知:1212x x +=,故2221412a b a ⋅=-,即223b a = ② 所以2223c a a -=,即224c a = 故2c e a==所以双曲线C 的离心率为2e =(注:本题也可用点差法解决)(2)由①、②知,双曲线C 的方程为:22233x y a -=(,0)A a ,(2,0)F a ,122x x +=,2124302a x x +⋅=-<1|||2|BF x a =-同理2|||2|DF x a =-2222121212|||||(2)(2)||42()||864||548|BF DF x a x a x x a x x a a a a a a ⋅=--=-++=----=++又因为||||17DF BF ⋅= 且25480a a ++> 所以254817a a ++= 解得:1a =,95a =-(舍去)12|||6BD x x -连结MA ,则由(1,0)A ,(1,3)M 知||3MA =,从而||||||MA MB MD ==,且MA x ⊥轴, 因此以M 为圆心,MA 为半径的圆经过A 、B 、D 三点,且在点A 处与x 轴相切. 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切28．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线033=+-y x 经过椭圆C :12222=+by a x (0>>b a )的一个顶点B 和一个焦点F .⑴求椭圆的标准方程;⑵设P 是椭圆C 上动点,求||||||PB PF -的取值范围,并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标.【答案】【答案】⑴依题意,)1 , 0(B ,)0 , 3(-F , 所以1=b ,3=c ,222=+=c b a ,所以椭圆的标准方程为1422=+y x 5分. ⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤,当且仅当||||PB PF =时,0||||||=-PB PF ,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||||||||BF PB PF =- ,2||=BF ,所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[ . 设) , (n m P ,由||||PB PF =得013=++n m ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0131422n m n m ,解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=13111338n m , 所求点P 为)1 , 0(-P 和)1311, 1338(-P . 29．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,动点P到两点(0),0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C是以(0),0)为焦点,长半轴长为2 的椭圆.故曲线C 的方程为2214x y +=(Ⅱ)存在△AOB 面积的最大值因为直线l 过点(1,0)E -,可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =(舍).则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--= 由22(2)12(4)0m m ∆=++>. 设1122()()A x y B x y ，，，.解得1y =2y =. 则21||y y -=因为1212AOB S OE y y ∆=⋅-= 设1()g t t t=+,t =t ≥.则()g t在区间)+∞上为增函数.所以()g t ≥.所以AOB S ∆≤当且仅当0m =时取等号,即max ()AOB S ∆=. 所以AOB S ∆30．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率e =,F 为椭圆的左焦点且11AF F B =1 .(I)求椭圆的标准方程; (II)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ.连接AQ 并延长交直线l 于点M.N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a F AF1222==-∴b c a又23=e 43122222=-==∴aa a c e ,解得42=a1422=+∴y x 所求椭圆方程为：(Ⅱ)设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2200+=∴x y k AQ 所以直线AQ 方程)2(22:00++=x x y y )28,2(00+∴x y M )24,2(00+∴x y N 42222420000000-=--+=∴x y x x y x y k QN又点P 的坐标满足椭圆方程得到:442020=+y x ,所以 202044y x -=-200200024242y x y y x x y x k QN -=-=-=∴ ∴直线 QN 的方程:)(22000x x y x y y --=- 化简整理得到:442202000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x 所以 点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切.31．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知F 1,F 2分别是椭圆C:22221(0)y x a b a b+=>>的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 1:24x y =的焦点,点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且15||3MF =. (1)求椭圆C 1的方程;(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆C 1相交于点E,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】32．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:222yx=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆得:y =,'y =1222(22)x x ---切线的斜率为所以,直线l 1的方程为:000)y y x x -=-,与y 轴交点纵坐标为因为011x -≤≤,所以,2001x ≤≤,200222x ≤-≤,所以,当切点在第一、二象限时l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:0y ≤≤,则对称性可知 l 1与y 轴交点纵坐标的取值范围为:22y -≤≤. (2)依题意,可得∠PTM 0=90°,设存在T(0,t),M 0(x 0,y 0)由(1)得点P 的坐标(220000222y y x x -+,2),由00PT M T =可求得t=1所以存在点T(0,1)满足条件.33．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆1C :22221x y a b+= (0a b >>)的离心率为3,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为.(1)求椭圆1C 的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直1l 于点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ,求该圆面积的最小值时点S 的坐标.【答案】解:(1)解:由e =得223a c =,再由222c a b =-,解得a =由题意可知1222a b ⋅⋅=,即a b ⋅=解方程组2a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a b ==所以椭圆C 1的方程是22132x y += (2)因为2MP MF =,所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F (1,0)的距离,所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线,所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x =(3)因为以OS 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0OR SR ⋅= 设S (1x ,1y ),R (2x ,2y ),SR =(2x -1x ,2y -1y ),OR =(2x ,2y )所以222221*********()()()()016y y y OR SR x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为12y y ≠,20y ≠,化简得12216y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭所以221222256323264y y y =++≥=, 当且仅当2222256y y =即22y =16,y 2=±4时等号成立 圆的直径|OS===因为21y ≥64,所以当21y =64即1y =±8时,min OS =, 所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8)34．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ⋅uuu r uuu r 最小值为0.(1)求椭圆C 的方程;(2)若动直线12,l l 均与椭圆C 相切,且12//l l ,试探究在x 轴上是否存在定点B ,点B 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点B 坐标;若不存在,请说明理由.图（6）F 2F 1oyx【答案】解:(1)设),(y x P ,则有),(1y c x PF +=,),(2y c x P F -=[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ 由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c , ∴椭圆C 的方程为1222=+y x(2)①当直线12,l l 斜率存在时,设其方程为,y kx m y kx n =+=+ 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+同理,2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意,∴m n =- 设在x 轴上存在点(,0)B t ,点B 到直线12,ll 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k -=+,--- 把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±;---------------------------------------------------------②当直线12,l l 斜率不存在时,其方程为x =和x =,定点(1,0)-到直线12,l l 的距离之积为1)1-+=;定点(1,0)到直线12,l l 的距离之积为1)1=; 综上所述,满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0)35．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F . ⑴求椭圆C 的方程;⑵设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线AP 的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>,椭圆C 的离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F ,∴c c a ==, 222a b c =+,∴2,1,a b c ===,故椭圆C 的方程为2214x y += ⑵假设椭圆C 上是存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线,00(,1)OP OA x y +=+,(FA =,∴011y +=,即001)x y =+,(1) 又点P (00,x y )在椭圆2214x y +=上,∴220014x y += (2)由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩,或0017x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴(0,1)P -,或1()7P , 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =,当点P的坐标为1()7P 时,直线AP440y -+=, 故直线AP 的方程为0y =440y -+=36．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称. (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1F 2为双曲线C 的左,右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.【答案】解:(Ⅰ)设双曲线C 的渐近线方程为y =kx ,则kx -y =0∵该直线与圆x 2+(y - 2 )2=1相切,有｜－ 2 ｜k 2+ 1= 1 ⇒ k =±1. ∴双曲线C 的两条渐近线方程为y =±x , 故设双曲线C 的方程为 x 2a 2－y 2a2 = 1 .易求得双曲线C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(Ⅱ)由 ⎩⎨⎧ y =mx +1 x 2－y 2=1得(1-m 2)x 2-2mx -2=0.令f (x )= (1-m 2)x 2-2mx -2直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f (x )=0在(-∞,0)上有两个不等实根. 因此 ⎩⎪⎨⎪⎧ △>02m 1－m 2 <0－21－m 2>0解得1<m <2 .又AB 中点为(m 1－m 2 ,11－m2 ),∴直线l 的方程为y =1－2m 2+m +2 (x +2). 令x =0,得b =2－2m 2+m +2=2－2(m －14 )2+178.∵1<m < 2 ,∴-2(m -14 )2+178 ∈ (-2+ 2 , 1),∴b ∈ (-∞,-2- 2 )∪(2,+∞).(Ⅲ)若Q 在双曲线的右支上,则延长2QF 到T ,使||||1QF QT =, 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T ,使| QT |=|QF 1 |.根据双曲线的定义| TF 2 |=2,所以点T 在以F 2( 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x - 2 )2+y 2=4 (x ≠ 0) ①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N (x ,y ),T (x T ,y T ).则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x =x T－ 2 2 y =y T2,即 ⎩⎨⎧ x T=2x + 2y T= 2y .代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.(x ≠ -22) (或者用几何意义得到| NO |=12| F 2T |=1, 得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.)37．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点.(1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线AM ,AN ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线AM ,AN 的斜率都存在,证明:直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设1,,2p Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则1,2p R x ⎛⎫- ⎪⎝⎭QR =2p ===.∴由QRS ∆的面积为4,得:1242p p ⨯⨯=,得: 2.p =(2)由题意()100,A x y -首先求抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.解法一:设抛物线在1A 处的切线的斜率为k ,则其方程为()00y k x x y =++ 联立()0022y k x x y x py⎧=++⎪⎨=⎪⎩得2002220x pkx px k py ---=将2002py x =代入上式得:2200220x pkx px k x ---=()()22002420pk px k x ∆=-++=即2220020p k px k x ++= 即()200pk x += 得0.x k p=-即抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率为0.x p-解法二:由22x py =得212y x p=, ∴'x y p=∴抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点()100,A x y -处的切线的斜率为0.x p-再求直线MN 的斜率.解法一:设直线AM 的斜率为1k ,则由题意直线AN 的斜率为1k -直线AM 的的方程为()010y y k x x -=-,则直线AN 的的方程为()010y y k x x -=--.联立()21002x py y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得221100220x pk x pk x x -+-=(1)方程(1)有两个根01,x x ,∴()()2210102420pk px k x ∆=--->∴0,1x =0112x x pk +=,即1102x pk x =-,同理可得2102x pk x =--直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率解法二:AM AN k k =-01020102y y y y x x x x --∴=--- 将222012012,,222x x x y y y p p p ===分别代入上式得:2222001201022222x x x x p p p p x x x x --=---, 整理得0122x x x =+∴直线MN 的斜率222121122121222MNx x y y x x p p k x x x x p --+===--0022x x p p-==- ∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.38．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图5, 已知抛物线2P yx :=,直线AB 与抛物线P 交于A B ,两点,OA OB ^,OA OB OC uu r uu u r uuu r+=,OC 与AB 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程;求四边形AOBC 的面积的最小值.,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一:(1)解:设()()()221122M x y A y y B y y ,,,,,, ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 ∴()222121212222yy y y y y x +-+==,①122y y y +=. ② ∵OA OB ⊥, ∴0OA OB ⋅=. ∴2212120y y y y += 依题意知120y y ≠,∴121y y =-. ③把②、③代入①得:2422y x +=,即()2112y x =- ∴点M 的轨迹方程为()2112yx =- (2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形,∴四边形AOBC 的面积为S OA OB ==⋅===∵22121222y y y y +≥=,当且仅当12y y =时,等号成立,∴2S ≥=∴四边形AOBC 的面积的最小值为2 解法二:(1)解:依题意,知直线OA OB ,的斜率存在,设直线OA 的斜率为k , 由于OA OB ⊥,则直线OB 的斜率为1k-故直线OA 的方程为y kx =,直线OB 的方程为1y x k=-. 由2y kx y x ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k x x -=.解得0x =或21x k=∴点A 的坐标为211k k ,⎛⎫⎪⎝⎭同理得点B 的坐标为()2k k ,- ∵OA OB OC +=, ∴M 是线段AB 的中点 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x k k y ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩消去k ,得()2112yx =- ∴点M 的轨迹方程为()2112y x =-(2)解:依题意得四边形AOBC 是矩形, ∴四边形AOBC 的面积为S OA OB==⋅=≥2=当且仅当221kk=,即21k =时,等号成立 ∴四边形AOBC 的面积的最小值为239．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P .(1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212PF PF AF AF +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识)(1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y += 解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=,即4a =,∵2c =, ∴22212b a c =-=∴椭圆1C 的方程为2211612x y += (2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x --=, )413,2(211x x BA --=, ∵C B A ,,三点共线, (苏元高考吧:) ∴BC BA // ∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ① 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ② 同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ 设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -, 而21x x ≠,则 )(2121x x x += 代入②得 2141x x y =, 则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y . 若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P ,由24xy =,即214y x ,=得y '=12x ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-, 即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ② 综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的, ∴直线L 的方程为y x xy -=002, ∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y ∴点P 的轨迹方程为3-=x y若1212PF PF AF AF +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y k x =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x kx k -+-=设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==- 由24xy =,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+= ∵21141x y =, ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =- 由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*)由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个40．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点(4,0)M 、(1,0)N ,若动点P 满足6||MN MP NP =⋅.(1)求动点P 的轨迹C ; (2)在曲线C 上求一点Q ,使点Q 到直线l :2120x y +-=的距离最小.【答案】解:(1)设动点(,)P x y ,又点(4,0)M 、(1,0)N ,∴(4,)MP x y =-,(3,0)MN =-,(1,)NP x y =- 由6||MN MP NP =⋅,得3(4)x --=∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++,故223412x y +=,即22143x y +=,∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆;评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分. (2)椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l :2120x y +-= 且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离. 设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,消去y 得2242120x mx m ++-= (*). 依题意得0∆=,即0)12(16422=--m m ,故216m =,解得4m =±.当4m =时,直线1l :240x y ++=,直线l 与1l 的距离5d ==.当4m =-时,直线1l :240x y +-=,直线l 与1l 的距离d ==<,故曲线C 上的点Q 到直线l 当4m =-时,方程(*)化为24840x x -+=,即2(1)0x -=,解得1x =. 由1240y +-=,得32y =,故3(1,)2Q . ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小 41．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b b a+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b =,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143x y += (*)(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线 的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立: 221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: ,,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y +-=±, 与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =,点(,)M x y 到直线:1y x =-是有11122MPF S y ∆==⨯-,从而112x y --=±,与(*)式联立:22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x yx y⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M有4个:,,1115,714⎛⎫⎪⎝⎭,31,2⎛⎫--⎪⎝⎭.综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.42．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD版））已知抛物线C:y2=4x, F 是抛物线的焦点,设A(x1,y1),B(x2 ,y2)是C上异于原点O的两个不重合点,OA丄OB,且AB与x轴交于点T(1) 求x1x2的值;(2) 求T的坐标;(3) 当点A在C上运动时,动点R满足:FRFBFA=+,求点R的轨迹方程.【答案】F的距43．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知动点M到点(0,1) y=的距离之和为5.离与到直线4(1)求动点M的轨迹E的方程,并画出图形;=+与轨迹E有两个不同的公共点,A B,求m的取值范围;(2)若直线:l y x mAB的最大值.(3)在(2)的条件下,求弦长||【答案】44．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）已知椭圆)(112222１ >=-+a a y a x 的左右焦点为21,F F ,抛物线C:px y 22=以F 2为焦点且与椭圆相交于点()11,M x y 、N ()22,x y ,点M 在x轴上方,直线1F M 与抛物线C 相切.(1)求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标;(2)设A,B 是抛物线C 上两动点,如果直线MA ,MB 与y 轴分别交于点,P Q . MPQ ∆是以MP ,MQ 为腰的等腰三角形,探究直线AB 的斜率是否为定值?若是求出这个定值,若不是说明理由.【答案】解:(1)由椭圆方程得半焦距1)1(c 22=--a a ＝所以椭圆焦点为），（ ，01F )01(21-F 又抛物线C 的焦点为)0,2(p ,2,12==∴p p x y C 42=∴： ∵),(11y x M 在抛物线C 上, ∴1214x y =,直线M F 1的方程为)1(111++=x x y y 代入抛物线C 得22211(1)4(1),y x x x +=+22114(1)4(1)x x x x +=+即 22111(1)0,x x x x x ∴-++= ∵1F M 与抛物线C 相切,04)121221=-+∆∴x x ＝（,11,x ∴= ∴ M、N 的坐标分别为(1,2)、(1,-2) (2)直线AB 的斜率为定值—1. 证明如下:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,(1,2)M ,A 、B 在抛物线24y x =上,∴211222244241y x y x ⎧=⎪=⎨⎪=⨯⎩①②③由①-③得,1112412MA y k x y -==-+④由②-③得,2222412MB y k x y -==-+④因为MPQ ∆是以MP,MQ 为腰的等腰三角形,所以MA MB k k =-由MAMB k k =-得11222124122412y x y y x y -⎧=-⎪-+⎪⎨-⎪=-⎪-+⎩ 化简整理,。
广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二模)分类汇编7立体几何
广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编7：立体几何一、选择题1 ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a =（ ）AB C D 【答案】C2 ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）如图,在透明塑料制成的长方体1111D C B A ABCD -容器内灌进一些水,将容器底面一边BC 固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下列四个说法:①水的部分始终呈棱柱状;②水面四边形EFGH 的面积不改变; ③棱11D A 始终与水面EFGH 平行;④当1AA E ∈时,BF AE +是定值. 其中所有正确的命题的序号是（ ）A ．①②③B ．①③C ．②④D ．①③④【答案】D3 ．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知某个几何体的三视图如图2所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是 （ ）A ．38cmB ．312cmC ．324cmD ．372cm【答案】B 解析:三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥,底面是底边长为6高为4的等腰三角形,三棱锥的高为3,所以,这个几何体的体积116431232V =⨯⨯⨯⨯= 4 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）某几何体的三视图如图所示,当a b +取最大值时,这个几何体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．23D ．12【答案】D5 ．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形,俯视图是一个直径为1的圆,那么这个几何体的全面积为（ ）A ．π4B ．π2C ．π3D ．23π【答案】D6 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是【答案】B7 ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积=V （ ）A ．π12B ．π16C ．π18D ．π64【答案】B8 ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分,则截面的面积为 （ ） A ．14π B ．πC ．94π D ．4π【答案】C9 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为图2（ ）A．π+ B．2)π+ C．D．2)+【答案】【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的.圆椎底面半径为6,椎体底面边长为12,高为.1111361262)3232V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+故选B .10．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）下列命题中假命题．．．是 （ ）A ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行;B ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直;C ．若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行. 【答案】B11．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图(1)示,则该几何体的体积为 （ ）A ．7B ．223 C ．476D ．233图(1)【答案】依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=,故选 D ．侧视图正视图12．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 （ ）A ．403 B ．3C ．503D ．6【答案】A 二、填空题13．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于_______【答案】6+14．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）一个几何体的三视图如图所示,正视图是正方形,俯视图为半圆,侧视图为矩形,则其表面保积为________【答案】π34+;15．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角形,俯视图是等腰直角三角形则此三棱锥的体积等于_____________ .【答案】16．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知集合A B C 、、，A ={直线},B ={平面},C A B =.若,,a A b B c C ∈∈∈,给出下列四个命题:①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a ba c cb ⎧⇒⊥⎨⊥⎩ ④//a ba c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是__________.【答案】【解析】由题意知:C 可以是直线,也可以是平面,当C 表示平面时,①②③都不对,故选④正确.17．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___【答案】103三、解答题18．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）如图,在三棱拄111ABC A B C -中,AB ⊥侧面11BB C C ,已知11,3BC BCC π=∠=(Ⅰ)求证:1C B ABC ⊥平面;(Ⅱ)试在棱1CC (不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥; (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,求二面角11A EB A --的平面角的正切值.EC 1B 1A1CA【答案】证(Ⅰ)因为AB ⊥侧面11BB C C ,故1AB BC ⊥在1BC C 中,1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理有1BC == 故有 222111BC BC CC C B BC += ∴⊥而 BC AB B = 且,AB BC ⊂平面ABC∴1C B ABC ⊥平面(Ⅱ)由11,,,,EA EB AB EB ABAE A AB AE ABE ⊥⊥=⊂平面从而1B E ABE ⊥平面 且BE ABE ⊂平面 故1BE B E ⊥不妨设 CE x =,则12C E x =-,则221BE x x =+-又1123B C C π∠= 则2211B E x x =++在1Rt BEB 中有 22114x x x x +++-+= 从而1x =±(舍负)111故E 为1CC 的中点时,1EA EB ⊥ 法二:以B 为原点1,,BC BC BA为,,x y z 轴,设CE x=,则11(0,0,0),(1),(2B E x B A -- 由1EA EB ⊥得 10EAEB ⋅= 即11(1,,0)0222211(1)(2)02222x x x x x x x x ---=⎫---=⎪⎪⎭化简整理得 2320x x -+= 1x = 或 2x = 当2x =时E 与1C 重合不满足题意 当1x =时E 为1CC 的中点 故E 为1CC 的中点使1EA EB ⊥(Ⅲ)取1EB 的中点D ,1A E 的中点F ,1BB 的中点N ,1AB 的中点M 连DF 则11//DF A B ,连DN 则//DN BE ,连MN 则11//MN A B 连MF 则//MF BE ,且MNDF 为矩形,//MD AE 又1111,A B EB BE EB ⊥⊥ 故MDF ∠为所求二面角的平面角在Rt DFM 中,111(22DF A B BCE==∆为正三角形）111222MF BE CE === 1tan 22MDF ∴∠==法二:由已知1111,EA EB B A EB ⊥⊥, 所以二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角因为11B A BA == 1(22EA =-- 故 11112cos tan 23EA B A EA B A θθ⋅==⇒=⋅19．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）四棱锥P —ABCD 中,侧面PDC 是MP A BC D • EF G 边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面ABCD 是∠ADC ︒=60的菱形,M 为PB 的中点,Q 为CD 的中点. (1) 求证:PA ⊥CD ;(2) 求AQ 与平面CDM 所成的角.【答案】解:(1)连结PQ ,AQ .∵△PCD 为正三角形, ∴PQ ⊥CD . ∵底面ABCD 是∠ADC ︒=60的菱形, ∴AQ ⊥CD. ∴CD ⊥平面PAQ ∴PA ⊥CD .(2)设平面CDM 交PA 于N ,∵CD //AB , ∴CD //平面PAB .∴CD //MN .由于M 为PB 的中点,∴N 为PA 的中点.又PD =CD =AD ,∴DN ⊥PA . 由(1)可知PA ⊥CD ,∴PA ⊥平面CDM∴平面CDM ⊥平面PAB . ∵PA ⊥平面CDM ,联接QN 、QA ,则∠AQN 为AQ 与平面CDM 所成的角 在Rt ∆PMA 中,AM =PM =3, ∴AP =6,∴AN =26,sin ∠AQN =AQ AN =22.∴∠AQN =45°(2)另解(用空间向量解): 由(1)可知PQ ⊥CD ,AQ ⊥CD .又由侧面PDC ⊥底面ABCD ,得PQ ⊥AQ .因此可以如图建立空间直角坐标系xyz Q -易知P (0 , 0 ,3)、A (3, 0 , 0)、B (3, 2 , 0)、C (0 , 1 , 0)、D (0 , -1 , 0)①由=(3, 0 , -3),=(0 , -2 , 0),得⋅=0. ∴PA ⊥CD②由M (23, 1 , -23),CM =(23, 0 , -23),得⋅CM =0. ∴PA ⊥CM∴PA ⊥平面CDM ,即平面CDM ⊥平面PAB .从而就是平面CDM 的法向量设AQ 与平面所成的角为θ , 则sin θ =|cos<,PA >|=22|633|=⨯. 第18题图CB DQPMBCBDQPM 第17题图∴AQ 与平面所成的角为45°20．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）如图,PA 垂直⊙O 所在平面ABC,AB 为⊙O 的直径,PA=AB,14BF BP =,C 是弧AB 的中点. (1)证明:BC ⊥平面PAC; (2)证明:CF ⊥BP;(3)求二面角F —OC —B 的平面角的正弦值.【答案】证明:(1)∵PA ⊥平面ABC,BC ⊂平面ABC,∴BC ⊥PA∵∠ACB 是直径所对的圆周角, ∴90o ACB ∠=,即BC ⊥AC又∵PA AC A =,∴BC ⊥平面PAC(2)∵PA ⊥平面ABC,OC ⊂平面ABC, ∴OC ⊥PA∵C 是弧AB 的中点,∴∆ABC 是等腰三角形,AC=BC, 又O 是AB 的中点,∴OC ⊥AB又∵PA AB A =,∴OC ⊥平面PAB ,又PB ⊂平面PAB ,∴BP OC ⊥设BP 的中点为E,连结AE,则//OF AE ,AE BP ⊥ ∴BP OF ⊥∵OC OF O =,∴BP ⊥平面CFO . 又CF ⊂平面CFO ,∴CF BP ⊥ 解:(3)由(2)知OC ⊥平面PAB ,∴OF OC ⊥,OC OB ⊥, ∴BOF ∠是二面角F OC B --的平面角 又∵BP OF ⊥,045FBO ∠=,∴045FOB ∠=,∴sin FOB ∠=,即二面角F OC B --21．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形.(Ⅰ)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积;(Ⅱ)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为6的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1? 如何组拼?试证明你的结论;(Ⅲ)在(Ⅱ)的情形下,设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点为E, 求平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值.【答案】解:(Ⅰ)该几何体的直观图如图1所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面ABCD 是边长为6的 正方形,高为CC 1=6,故所求体积是7266312=⨯⨯=V(Ⅱ)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的3倍,故用3个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为6的正方体, 其拼法如图2所示证明:∵面ABCD 、面ABB 1A 1、面AA 1D 1D 为全等的正方形,于是D D AA C A ABB C ABCD C V V V 1111111---== 故所拼图形成立(Ⅲ)方法一:设B 1E,BC 的延长线交于点G, 连结GA,在底面ABC 内作BH⊥AG,垂足为H, 连结HB 1,则B 1H⊥AG,故∠B 1HB 为平面AB 1E 与 平面ABC 所成二面角或其补角的平面角 在Rt△ABG 中,180=AG ,则512180126=⨯=BH ,5182121=+=BB BH H B 32cos 11==∠HB HB HB B ,故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32± 方法二:以C 为原点,CD 、CB 、CC 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立直角坐标系(如图3),∵正方体棱长为6,则E(0,0,3),B 1(0,6,6),A(6,6,0). 设向量n =(x ,y ,z ),满足n ⊥1EB ,n ⊥1AB ,正视图侧视图俯视图于是⎩⎨⎧=+-=+066036z x z y ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-==z y zx 21取z =2,得n =(2,-1,2). 又=1BB (0,0,6),321812||||,cos 111==>=<BB n BB 故平面AB 1E 与平面ABC 所成二面角的余弦值为32±22．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）如图,三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面ABC ,D 、E 分别为11A B 、1AA 的中点,点F 在棱AB 上,且14AF AB =. (Ⅰ)求证://EF 平面1BDC ;(Ⅱ)在棱AC 上是否存在一个点G ,使得平面EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为1：15,若存在,指出点G 的位置;若不存在,说明理由.【答案】所以符合要求的点G 不存在.23．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）如图5,在四棱锥P ABCD -中,底面为直角梯形,//,90AD BC BAD ︒∠=,PA 垂直于底面ABCD ,22,,PA AD AB BC M N ====分别为,PC PB 的中点.(1)求证:PB DM ⊥;(2)求平面ADMN 与平面ABCD 所成的二面角的余弦值;(3)求点B 到平面PAC 的距离.【答案】解:(1)证明:因为N 是PB 的中点,PA AB =, 所以AN PB ⊥由PA ⊥底面ABCD ,得PA AD ⊥, 又90BAD ︒∠=,即BA AD ⊥,又,BA PA 在平面PAB 内,∴ AD ⊥平面PAB ,所以AD PB ⊥ ,又,AD AN 在平面ADMN 内,∴ PB ⊥平面ADMN , ∴PB DM ⊥.(2)方法一:由(1)知,AD ⊥平面PAB ,所以AN AD ⊥ , 由已知可知,AB AD ⊥所以BAN ∠是平面ADMN 与平面ABCD 所成的二面角的平面角 在直角三角形PAB 中,PB ===因为N 直角三角形PAB 斜边PB 的中点,所以AN =在直角三角形NAB 中,cos 2AN BAN AB ∠== 即平面ADMN 与平面ABCD所成的二面角的余弦值为2. 方法二:如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(1,0,1)A N ,(0,2,0)D(1,0,1)AN =,(0,2,0)AD =设平面ADMN 的法向量为(,,)n x y z =,则0n AN n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩即020x z y +=⎧⎨=⎩,令1z =-,则1x =,所以平面ADMN 的一个法向量为(1,0,1)n =- 显然(0,0,2)a =是平面ABCD 的一个法向量 设平面ADMN 与平面ABCD 所成的二面角的平面角为θ,则cos ||||222n ana θ-===⋅⋅即平面ADMN 与平面ABCD .(3)由已知得,AC ==11122123323P ABC ABC V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=设点B 到平面PAC 的距离为h ,则1112332B ACP ACP V S h h -∆=⋅=⨯⨯=由P ABC B ACP V V --=,即233h =,得5h =即点B 到平面PAC 的距离5. 24．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）如图5,在四棱锥ABCD P -中,PA ⊥平面ABCD ,4=AB ,3=BC ,090,5=∠=∠=ABC DAB AD ,E 是CD 的中点.(1)求证:CD ⊥平面PAE ;(2)若直线PB 与平面PAE 所成的角和直线PB 与平面ABCD 所成的角相等,求四棱锥ABCD P -的体积.【答案】(1)如图(1),连接AC ,由090,3,4=∠==ABC BC AB,得5=AC5,AD =又E 是CD 的中点,所以.CD AE ⊥,,PA ABCD CD ABCD ⊥⊂平面平面所以.PA CD ⊥而,PA AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以CD ⊥平面PAE (2)过点B 作,,,,.BG CD AE AD F G PF //分别与相交于连接由(1)CD ⊥平面PAE 知,BG ⊥平面PAE .于是BPF ∠为直线PB 与平面PAE 所成的角,且BG AE ⊥由PA ABCD ⊥平面知,PBA ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角 由题意,知,PBA BPF ∠=∠因为sin ,sin ,PA BF PBA BPF PB PB∠=∠=所以.PA BF = 由90//,//,DAB ABC AD BC BG CD ∠=∠=知，又所以四边形BCDG 是平行四边形,故3.GD BC ==于是 2.AG =在Rt ΔBAG 中,4,2,,AB AG BG AF ==⊥所以2AB BG BF BG =====于是PA BF ==又梯形ABCD 的面积为1(53)416,2S =⨯+⨯=所以四棱锥P ABCD -的体积为111633V S PA =⨯⨯=⨯=解法2:如图(2),以A 为坐标原点,,,AB AD AP 所在直线分别为x y z 轴，轴，轴建立空间直角坐标系.设,PA h =则相关的各点坐标为:),0,0(),0,4,2(),0,5,0(),0,3,4(),0,0,4(),0,0,0(h P E D C B A(1)易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,).CD AE AP h =-==因为8800,0,CD AE CD AP ⋅=-++=⋅=所以,.CD AE CD AP ⊥⊥而,AP AE 是平面PAE 内的两条相交直线,所以.CD PAE ⊥平面 (2)由题设和(1)知,,CD AP 分别是PAE 平面、ABCD 平面的法向量 由(1)知,(4,2,0),(0,0,),CD AP h =-=-而直线PB 与PAE 平面所成的角和直线PB 与ABCD 平面所成的角相等,所以cos ,cos ,.CD PB PA PB CD PB PA PB CD PBPA PB⋅⋅<>=<>=⋅⋅,即由(4,0,),PB h =-故222160016520016hh h h+⋅++=+⋅++-解得h =又梯形ABCD 的面积为1(53)4162S =⨯+⨯=,所以四棱锥P ABCD -的体积为 111633V S PA =⨯⨯=⨯=25．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）如图,在底面为直角梯形的四棱锥ABCD P -中,BC AD //,︒=∠90ABC ,⊥PD 平面ABCD ,1=AD ,3=AB ,4=BC (1)求直线AB 与平面PDC 所成的角;(2)设点E 在棱PC 上,λ=,若//DE 平面PAB ,求λ的值.APEC DB【答案】解1:(1)∵⊥PD 平面ABCD ⊂PD 面PDC∴平面⊥PDC 平面ABCD过D 作AB DF //交BC 于F 过点F 作CD FG ⊥交CD 于G , ∵平面 PDC 平面CD ABCD =∴⊥FG 面PDC∴FDG ∠为直线AB 与平面PDC 所成的角 在DFC Rt ∆中,︒=∠90DFC ,3=DF ,3=CF ∴3tan =∠FDG , ∴︒=∠60FDG即直线AB 与平面PDC 所成角为︒60(2)连结EF ,∵AB DF //,⊄DF 平面PAB ,⊂AB 平面PAB ∴//DF 平面PAB又∵//DE 平面PAB 且D DF DE = ∴平面//DEF 平面PABPEFBCDAGPE∴AB EF //又∵1=AD ,4=BC ,1=BF∴41==BC BF PC PE ∴41=,即41=λ 解2:如图,在平面ABCD 内过D 作直线AB DF //,交BC 于F ,分别以DA 、DF 、DP 所在的直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.设a PD =,则)0,0,0(D 、)0,0,1(A 、)0,3,1(B 、)0,3,3(-C 、),0,0(a P (1)设面PDC 的法向量为),,(z y x n = ∵)0,3,3(-=DC 、),0,0(a =∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00 得⎪⎩⎪⎨⎧==+-0033az y x 令1=x 可解得⎪⎩⎪⎨⎧==03z y∴)0,3,1(=n ∵)0,3,0(= ∴2323030||||,cos =⨯++=⋅<n AB n AB ∴直线AB 与平面PDC 所成的角θ,则23|,cos |sin =><=θ∵︒<<︒900θ ∴︒=60θ 即直线AB 与平面PDC 所成的角为︒60(2)∵),3,3(a PC --= ∴),3,3(λλλλa --==∴),3,3(),3,3(),0,0(λλλλλλa a a a --=--+=+= 设面PAB 的法向量为),,(111z y x = ∵)0,3,0(=、),0,1(a -=∴由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=003az x y 令1=z 可解得⎩⎨⎧==a x y 0∴)1,0,(a =若//DE 平面PAB ,则003)1,0,(),3,3(=-++-=⋅--=⋅λλλλλa a a a a a m DE 而0≠a , 所以41=λ 26．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））如图,ABC ∆的外接圆⊙OB其中AB 为圆直径,CD ⊥⊙O 所在的平面,//,4,2BE CD CD BC ==,且1BE =. (1)求证:平面ADC ⊥平面BCDE ;(2)试问线段DE 上是否存在点M,使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为27?若存在,确定M 的位置,若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)∵AB 是直径,∴AC⊥BC,又∵CD ⊥平面ABC,∴CD⊥BC,故BC⊥平面ACDBC ⊂平面BCDE,∴平面ADC ⊥平面BCDE(Ⅱ)方法一:假设点M 存在,过点M 作MN⊥CD 于N, 连结AN,作MF⊥CB 于F,连结AF∵平面ADC ⊥平面BCDE,∴MN⊥平面ACD,∴∠MAN 为MA 与平面ACD 所成的角 设MN=x ,计算易得,DN=32x ,MF=342x -故AM ===2sin 7MNMAN AM∠===12分 解得:83x =-(舍去) 43x =,故23MN CB =,从而满足条件的点M 存在,且23DM DE = 方法二:建立如图所示空间直角坐标系C —xyz ,则:A(4,0,0),B(0,2,0),D(0,0,4),E(0,2,1),C(0,0,0)则(0,2,3)DE =-易知平面ACD 的法向量为C (0,2,0)OB =,假设M 点存在,设(,,)M a b c ,则(,,4)DM a b c =-, 再设,(0,1]DM DE λλ=∈00224343a a b b c c λλλλ==⎧⎧⎪⎪∴=⇒=⎨⎨⎪⎪-=-=-⎩⎩,即(0,2,43)M λλ-, 从而(4,2,43)AM λλ=--设直线AM 与平面ACD 所成的角为θ,则:22sin cos ,72164OB θλ==++ 22sin cos ,72164OB θλ===+解得4233λλ=-=或,其中4(0,1]3λ=-∉应舍去,而2(0,1]3λ=∈故满足条件的点M 存在,且点M 的坐标为4(0,,2)327．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q 为AD 的中点,M 是棱PC 上的点,PA=PD=2,BC=12. (1)若点M 是棱PC 的中点,求证:PA // 平面BMQ;(2)求证:平面PQB⊥平面PAD;(3)若二面角M-BQ-C 为30°,设PM=tMC,试确定t 的值 .【答案】(Ⅱ)∵AD // BC,BC=12AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ∵∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD另证:AD // BC,BC=12AD,Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ,∴ 四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .∵ ∠ADC=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ∵ AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD(Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD(不证明PQ⊥平面ABCD 直接建系扣1分) 如图,以Q 为原点建立空间直角坐标系. 则平面BQC 的法向量为(0,0,1)n =;(0,0,0)Q,P,B,(C -设(,,)M x y z ,则(,,PM x y z =,(1,)MC x y z =---,∵PM tMC =,∴ (1))(x t x y t y z t z =--⎧⎪=⎨⎪=-⎩）, ∴ 111t x ty t z t⎧=-⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩28．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图所示,已知AB 为圆O 的直径,点D 为线段AB 上一点,且13AD DB =,点C 为圆O 上一点,且BC =.点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ,PD DB =.(1)求证:PA CD ⊥;(2)求二面角C PB A --的余弦值.第18题图【答案】解析:(Ⅰ)法1:连接CO ,由3AD DB =知,点D 为AO 的中点, 又∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, 由BC =知,60CAB ∠=, ∴ACO ∆为等边三角形,从而CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥(注:证明CD ⊥平面PAB 时,也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到,酌情给分.) 法2:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥,在Rt ABC ∆中设1AD =,由3AD DB =BC =得,3DB =,4AB =,BC =,∴BD BC BC AB ==,则BDC BCA ∆∆∽, ∴BCA BDC ∠=∠,即CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥法3:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, 在Rt ABC ∆BC =得,30ABC ∠=, 设1AD =,由3AD DB =得,3DB =,BC =由余弦定理得,2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=,∴222CD DB BC +=,即CD AO ⊥. - ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥(Ⅱ)法1:(综合法)过点D 作DE PB ⊥,垂足为E ,连接CE 由(1)知CD ⊥平面PAB ,又PB ⊂平面PAB , ∴CD PB ⊥,又DE CD D =, ∴PB ⊥平面CDE ,又CE ⊂平面CDE , ∴CE PB ⊥,∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角 由(Ⅰ)可知CD =,3PD DB ==,(注:在第(Ⅰ)问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分∴PB =则2PD DB DE PB ⋅===, ∴在Rt CDE ∆中,tan 3CD DEC DE ∠===, ∴cos 5DEC ∠=,即二面角C PB A --的余弦值为5法2:(坐标法)以D 为原点,DC 、DB 和DP 的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系(注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明CD AB ⊥,酌情给分.) 设1AD =,由3AD DB =BC =得,3PD DB ==,CD =∴(0,0,0)D ,C ,(0,3,0)B ,(0,0,3)P , ∴(3,0,3)PC =-,(0,3,3)PB =-,(CD =,由CD ⊥平面PAB ,知平面PAB 的一个法向量为(CD = 设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ,则00PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即30330y y z -=-=⎪⎩,令1y =,则x =1z =,∴=n ,设二面角C PB A --的平面角的大小为θ,则cos 5||5CD CD θ⋅===-⋅n |n |, ∴二面角C PB A --的余弦值为529．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图 3).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1AC (如图4).(1)求证:1A D ⊥平面BCED ;(2)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.【答案】(本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本小题满分14分)证明:(1)因为等边△ABC 的边长为3,且AD DB =12CE EA =,所以1AD =,2AE =. 在△ADE 中,60DAE ∠=,由余弦定理得3DE ==. 因为222AD DE AE +=, 所以AD DE ⊥. 折叠后有1A D DE ⊥因为二面角1A DE B --是直二面角,所以平面1A DE ⊥平面BCED 又平面1A DE平面BCED DE =,1A D ⊂平面1A DE ,1A D DE ⊥,所以1A D ⊥平面BCED(2)解法1:假设在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60. 如图,作PH BD ⊥于点H ,连结1A H 、1A P 由(1)有1A D ⊥平面BCED ,而PH ⊂平面BCED , 所以1A D ⊥PH又1A DBD D =,所以PH ⊥平面1A BD所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角 设PB x =()03x ≤≤,则2xBH =,PH x =在Rt △1PA H 中,160PA H ∠=,所以112A H x = 在Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- 由22211A D DH A H +=,得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得52x =,满足03x ≤≤,符合题意 所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB =解法2:由(1)的证明,可知ED DB ⊥,1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点,以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y标系D xyz -如图 设2PB a =()023a ≤≤,则BH a =,PH =,2DH a =-所以()10,0,1A ,()2,0P a -,()E 所以()12,,1PA a =- 因为ED ⊥平面1A BD ,所以平面1A BD 的一个法向量为()DE = 因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60, 所以11sin 60PA DE PA DE===, 解得54a =即522PB a ==,满足023a ≤≤,符合题意所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB =30．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））(本小题满分14分)如图,111ABC A B C -中,侧棱与底面垂直, AB AC ⊥,12AB AC AA ===,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点.(1)证明: 11//MN A ACC 平面; (2)求二面角N MC A --的正弦值.B 1A 1PC 1NCBAMB 1【答案】(本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解 :(1)证法一: 连接1,1AB AC由题意知,点,M N 分别为1AB 和11B C 的中点,1//MN AC ∴又MN ⊂平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC , //MN ∴平面11A ACC证法二:取11A B 中点P ,连,MP NP ,而,M N 分别为1AB 与11B C 的中点,1//MP A A ∴,11MP A ACC ⊄平面,111AA A ACC ⊂平面, 11//MP A ACC ∴平面, 同理可证11//NP A ACC 平面又MP NP P = ∴平面MNP //平面11A ACC MN ⊂平面MNP ,//MN ∴平面11A ACC证法三(向量法): 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz-,如图所示.于是(0,0,0),(2,0,0),A B (1,0,1),(1,1,2)M N 1,AB AC AB AA ⊥⊥,1ACAA A =,11AB A ACC ∴⊥平面∴向量(2,0,0)AB 是平面11A ACC 的一个法向量(0,1,1)MN ,2001010AB MN ⋅=⨯+⨯+⨯=AB MN ∴⊥又11MN A ACC ⊄平面 //MN ∴平面11A ACC(2)解法一: 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,如图所示.于是(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)A B C ,111(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2)A B C ,(1,0,1),(1,1,2)M NB 1A 1QPHOD 1DC 1NC B A MB 1PQHOMD 1CA由(1)知1MA 是平面MCA 的一个法向量, 1(1,0,1)MA =-设平面NMC 的法向量为(,,)n x y z =,(0,1,1)MN =,(1,2,1)MC =--,002030n MN y z y z x y z x zn MC ⎧⋅=+==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+-==-⋅=⎩⎩⎪⎩, (3,1,1)n ∴=-设向量1MA 和向量n 的夹角为θ,则11cos (MAn MA nθ⋅===- ∴二面角N MC A --==解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连11DC CD 、交于点O ,连11B A B O 、,显然,11A M C B D O 、、、、、,都在同一平面11ACB D 上 易证1//B O MC ,11C O CD ⊥,11B D ⊥平面11C CDD ,1C O ⊂平面11C CDD , 111C O B D ∴⊥,又1111B D CD D =1C O ∴⊥平面11ACB D . 取1B O 中点H ,连NH ,N H 、分别是111,B O B C 的中点1//NH C O ∴,NH ∴⊥平面11ACB D ,且H 为垂足,即NH ⊥平面AMC ,过点O 作OPMC ⊥于P ,过H 作//HQ OP 交MC 于Q ,连NQ , 则NQH ∠即是所求二面角N MC A --的补角 在RtMAC ∆中,CM===, sin AM MCA MC ∠===,sin sin()cos2OCP MCA MCA π∠=-∠=∠==, 在Rt OPC ∆中,sin OCP ∠=,OP ∴==HQOP ∴==又112MH C O ==∴在Rt NQH ∆中,NQ ===sin NH NQH NQ ∴∠===∴所求二面角N MC A --31．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）如图甲,设正方形ABCD的边长为3,点E F 、分别在AB CD 、上,并且满足22AE EB CF FD ==，,如图乙,将直角梯形AEFD 沿EF 折到11A EFD 的位置,使点1A 在平面EBCF 上的射影G 恰好在BC 上.(1)证明:1//A E 平面1CD F ;(2)求平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值.【答案】⑴证明:在图甲中,易知//AE DF ,从而在图乙中有11//A E D F ,因为1A E ⊄平面1CD F ,1D F ⊂平面1CD F ,所以1//A E 平面1CD F (条件2分) ⑵解法1、如图,在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H ,连接1A H ,由于1A G ⊥平面EBCF ,则1AG EF ⊥, 所以EF ⊥平面1AGH ,则1EF A H ⊥, BECD F图甲1A EFBC1DG图乙A 第18题图所以1A HG ∠平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的平面角, 图甲中有EF AH ⊥,又GH EF ⊥,则A G H 、、三点共线,设CF 的中点为M ,则1MF =,易证ABG EMF ∆≅∆,所以,1BG MF ==,AG =; (三角形全等1分) 又由ABGAHE ∆∆,得1AB AE A H AH AG ===, 于是,HG AG AH =-=在1Rt AGH ∆中,112cos 3HG AGH A H ∠==,即所求二面角的余弦值为23解法2、如图,在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H ,连接1A H ,由于1A G ⊥平面EBCF ,则1AG EF ⊥, 所以EF ⊥平面1A GH ,则1EF A H ⊥,图甲中有EF AH ⊥,又GH EF ⊥,则A G H 、、三点共线,设CF 的中点为M ,则1MF =,易证ABG EMF ∆≅∆,所以1BG MF ==,则AG =; 又由ABGAHE ∆∆,得1AB AE A H AH AG ===, A BE CDF图甲1A EFC1D图乙GMHHE 图丙于是,HG AG AH =-=在1Rt AGH ∆中,1AG ===作//GT BE 交EF 于点T ,则TG GC ⊥,以点G 为原点,分别以1GC GT GA 、、所在直线为x y z 、、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)G 、(1,1,0)E -、(2,2,0)F、1A ,则1(1,3,0)(EF EA ==-，(坐标系、坐标、向量各1分) 显然,1GA =是平面BEFC 的一个法向量,设(,,)n x y z =是平面11A EFD 的一个法向量,则130,0n EF x y n EA x y ⎧=+=⎪⎨=-+=⎪⎩,即3,x y z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,不妨取1y =-,则(3,1,n =-,设平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角为θ,可以看出,θ为锐角,所以,121|032cos 3||||23(1)GA n GA n θ⨯===+-,所以,平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值为2332．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在图(4)所示的长方形ABCD 中,AD=2AB=2,E 、F 分别为AD 、BC 的中点, M 、N 两点分别在AF 和CE 上运动,且AM=EN=a (0a <<把长方形ABCD 沿EF 折成大小为θ的二面角A-EF-C,如图(5)所示,其中(0,]2πθ∈图（5）图（4）MN FDC B E(1)当045θ=时,求三棱柱BCF-ADE 的体积;G EABCDFNMN 1M 1EA BC DFNMQEABC DFNM(2)求证:不论θ怎么变化,直线MN 总与平面BCF 平行; (3)当090θ=且2a =时,求异面直线MN 与AC 所成角余弦值.【答案】解:(1)依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ,DEA ∠=θ由45θ=得,12sin 4524ADE S DEEA ∆=⋅=, ∴BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=(2)证法一:过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M , 过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ,连结11M N , ∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN 又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF===∴11MM NN = ∴四边形11MNN M 为平行四边形,11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面【法二:过点M 作MG EF ⊥交EF 于G,连结NG,则,CN FM FGNE MA GE == //NG CF ∴,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面,同理可证得//MG BCF 面,又MG NG G =, ∴平面MNG//平面BCF∵MN ⊂平面MNG, //MN BCF ∴面 】 (3)法一:取CF 的中点为Q,连结MQ 、NQ,则MQ//AC, ∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角,∵090θ=且2a =∴12NQ=,2MQ ==,2MN ∴=222cos 23QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅即MN 与AC 所成角的余弦值为3【法二:∵090θ=且a =分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系则111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-得cos ,AC MN ∴<>==所以与AC】 33．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））如图,在边长为4的菱形ABCD中,60DAB ∠=,点E,F 分别在边CD,CB 上,点E 与点C,点D 不重合,EF AC ⊥, EF AC O ⋂= ,沿EF 将CEF ∆折起到PEF ∆的位置,使得平面PEF ⊥ 平面ABFED(1)求证:BD ⊥平面POA (2)设AOBD=H,当O 为CH 中点时,若点Q 满足AQ QP ＝,求直线OQ 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】。
广东省13大市2013届高三二模数学(理)试题分类汇编7立体几何
广东省13大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编7：立体几何姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（广东省珠海市2013年高三4月模拟考试数学（理）试卷及答案 ）下列四个命题中,真命题的个数为(1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合;(2)两条直线可以确定一个平面;(3)若α∈M ,β∈M ,l =⋂βα,则l M ∈; (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. （ ）A ．1B ．2C ．3D ．42 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版）（ ）523 ．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）一空间几何体的三视图如右图所示,该几何体的体积为12π+853,则正视图与侧视图中x 的值为A .5B .4C .3D .24 ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是 （ ）A ．403 B C ．503D5 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图(1)示,则该几何体的体积为（ ）A ．7B ．223C ．476D ．2336 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）下列命题中假命题．．．是 （ ）A ．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行;B ．垂直于同一条直线的两条直线相互垂直;C ．若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;D ．若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行. 7 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））如图是某简单组合体的三视图,则该组合体的体积为（ ）A．π B．2)π+ C．D．2)+8 ．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图2所示.若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分,则截面的面积为 （ ） A ．14π B ．πC．94πD ．4π9 ．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知一个几何体的三视图及其大小如图1,这个几何体的体积=V（ ）图2侧视图正视图A ．π12B ．π16C ．π18D ．π64二、填空题10．（广东省珠海市2013年高三4月模拟考试数学（理）试卷及答案 ）如右图,一个空间几何体的主视图、左视图是周长为4一个内角为060的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的表面积为________.俯视图左视图主视图11．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）图2是一个组合体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积等于(几何体的接触面积可忽略不计)___________12．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））某简单组合体的三视图如图2,其中正视图与侧视图相同(尺寸如图,单位:cm),则该组合体的体积是________3cm (结果保留π)13．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为___14．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知集合A B C 、、，A ={直线},B ={平面},C A B =.若,,a A b B c C ∈∈∈,给出下列四个命题:①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a ba c cb ⎧⇒⊥⎨⊥⎩ ④//a ba c cb ⊥⎧⇒⊥⎨⎩其中所有正确命题的序号是__________. 三、解答题15．（广东省珠海市2013年高三4月模拟考试数学（理）试卷及答案 ）如图,四棱锥ABCD P -中,⊥PA 底面ABCD ,AD AB ⊥,CD AC ⊥,︒=∠60ABC ,BC AB PA ==,E 是PC 的中点. (1)求证:AE CD ⊥; (2)求证:⊥PD 面ABE ;(3)求二面角C PD A --的平面角的正弦值.EDCBAP16．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）如图51-,在直角梯形ABCD 中,已知//AD BC ,1AD AB ==,90,45o o BAD BCD ∠=∠=,AE BD ⊥.将ABD ∆沿对角线BD 折起(图52-),记折起后点A 的位置为P 且使平面PBD ⊥平面BCD .(1)求三棱锥P BCD -的体积;(2)求平面PBC 与平面PCD 所成二面角的平面角的大小.17．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））如图,在长方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2, AD = 3, E 为C D 中点,三棱 锥A 1-A B 1E 的体积是6. (1) 设P 是棱BB 1的中点,证明:CP//平面AEB 1; (2) 求AB 的长;(3)求二面角B —AB 1-E 的余弦值.18．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））如图6,已知四边形ABCD 是矩形,22AB BC ==,三角形PAB 是正三角形,且平面ABCD ⊥平面PCD . (1)若O 是CD 的中点,证明:BO PA ⊥; (2)求二面角B PA D --的余弦值.19．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC(如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点.(1)求证:DC ⊥平面ABC; (2)求BF 与平面ABC 所成角的正弦值; (3)求二面角B-EF-A 的余弦值.甲DCBAF E乙DCBA20．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）如图,在梯形ABCD 中//AB CD ,,60AD CD CB a ABC ===∠=︒,平面ACFE ⊥平面ABCD ,四边形ACFE 是矩形,AE a =,点M 在线段EF 上.(1)求证:BC ⊥平面ACFE ;(2)当EM 为何值时,//AM 平面BDF ?证明你的结论;(3)求二面角E EF D --的余弦值.21．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））如图,在边长为4的菱形ABCD中,60DAB ∠=,点E,F 分别在边CD,CB 上,点E 与点C,点D 不重合,EF AC ⊥, EF AC O ⋂= ,沿EF 将CEF ∆折起到PEF ∆的位置,使得平面PEF ⊥ 平面ABFED(1)求证:BD ⊥平面POA (2)设AOBD=H,当O 为CH 中点时,若点Q 满足AQ QP ＝,求直线OQ 与平面PBD 所成角的正弦值.22．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在图(4)所示的长方形ABCD 中,AD=2AB=2,E 、F 分别为AD 、BC 的中点, M 、N 两点分别在AF 和CE 上运动,且AM=EN=a (0a <<把长方形ABCD 沿EF 折成大小为θ的二面角A-EF-C,如图(5)所示,其中(0,]2πθ∈图（5）图（4）MN FDC B AE(1)当045θ=时,求三棱柱BCF-ADE 的体积;(2)求证:不论θ怎么变化,直线MN 总与平面BCF 平行;(3)当090θ=且a =时,求异面直线MN 与AC 所成角余弦值.23．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）如图甲,设正方形ABCD的边长为3,点E F 、分别在AB CD 、上,并且满足22AE EB CF FD ==，,如图乙,将直角梯形AEFD 沿EF 折到11A EFD 的位置,使点1A 在平面EBCF 上的射影G 恰好在BC 上.(1)证明:1//A E 平面1CD F ;(2)求平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值.24．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））(本小题满分14分)如图, 111ABC A B C -中,侧棱与底面垂直, AB AC ⊥,12AB AC AA ===,点,M N 分别为1A B 和11B C 的中点. (1)证明: 11//MN A ACC 平面; (2)求二面角N MC A --的正弦值.BECD F图甲1A EFBC1D图乙A 第18题图B 125．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））等边三角形ABC 的边长为3,点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点,且满足AD DB =12CE EA =(如图 3).将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置,使二面角1A DE B --成直二面角,连结1A B 、1AC (如图4).(1)求证:1A D ⊥平面BCED ;(2)在线段BC 上是否存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60?若存在,求出PB 的长,若不存在,请说明理由.26．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）如图所示,已知AB 为圆O 的直径,点D 为线段AB 上一点,且13AD DB =,点C 为圆O 上一点,且BC =.点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ,PD DB =.(1)求证:PA CD ⊥;(2)求二面角C PB A --的余弦值.第18题图广东省13大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编7：立体几何参考答案一、选择题 1. A 2. C 3. C 4. A5. 依题意可知该几何体的直观图如右上图,其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=,故选D.6. B7. 【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的.圆椎底面半径为6,椎体底面边长为12,高为.1111361262)3232V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+故选B .8. C 9. B 二、填空题 10. π11. 40π解析:从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的,其表面及为22422222648.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=12. 13π+13.10314. 【解析】由题意知:C 可以是直线,也可以是平面, 当C 表示平面时,①②③都不对,故选④正确.三、解答题15. (1)证明:⊥PA 底面ABCD ,PA CD⊥∴又AC CD ⊥,A AC PA =⋂,故⊥CD 面PAC ⊆AE 面PAC ,故AE CD ⊥(2)证明:BC AB PA ==,︒=∠60ABC ,故AC PA = E 是PC 的中点,故PC AE ⊥由(1)知AE CD ⊥,从而⊥AE 面PCD ,故PD AE ⊥ 易知PD BA ⊥,故⊥PD 面ABE(3)过点A 作PD AF ⊥,垂足为F ,连结EF .由(2)知,⊥AE 面PCD ,故AFE ∠是二面角C PD A --的一个平面角.设a AC =,则a AE 22=,a AD 32=,a PD 37=从而a PD AD PA AF 72=⋅=,故414sin ==∠AF AE AFE 说明:如学生用向量法解题,则建立坐标系给2分,写出相关点的坐标给2分,第(1)问正确给2分,第(2)问正确给4分,第(3)问正确给4分.16.解:(1)∵平面PBD ⊥平面BCD ,PE BD ⊥,PE ⊂平面PBD ,平面PBD 平面BCD BD =,∴PE ⊥平面BCD , 即PE 是三棱锥P BCD -的高,又∵//AD BC ,1AD AB ==,90,45o o BAD BCD ∠=∠=, ∴45,90,o o ABD CBD BDC ∠=∠=∠=CD BD ===∴sin 45o PE AE AB ===, 11122BCD S BD CD ∆=⋅==,∴三棱锥P BCD -的体积11133BCD V S PE ∆=⋅=⨯=. (2)方法一:∵PE ⊥平面BCD ,CD ⊂平面BCD ,∴CD PE ⊥又∵CD BD ⊥,PE PD P =,∴CD ⊥平面PBD , ∵PD ⊂平面PBD ,∴CD ⊥PD∴2223PC CD PD =+=∵090BD CD BDC ==∠=,∴2224BC BD CD =+=∴ 222BC PB PC =+∴090BPC ∠=,即PB PC ⊥ 由已知可知PB PD ⊥,∵PD PC P =,∴PB ⊥平面PBC ∵PB ⊂平面PBC ,∴平面PBC ⊥平面PBC 所以平面PBC 与平面PCD 所成二面角的平面角的大小为90o . 方法二:过E 作直线//EG DC ,交BC 于G,则EG BD ⊥,EG PE ⊥如图建立空间直角坐标系,则,,P B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭222,0,,PB PC⎛⎫⎛=-=-⎪⎝,PD⎛=-⎝设平面PBC的法向量为(,,)xy z=n,则PBPC⎧=⎪⎨=⎪⎩nn,即x zx z=⎪+-=⎪⎩化简得20z xx y z=⎧⎨-+=⎩令1x=,得1,1z y==,所以(1,1,1)=n是平面PBC的一个法向量.同理可得平面PCD的一个法向量为(1,0,1)=-m设向量n 和m所成角为θ,则cos0θ===n mn m∴平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小为90o.17.18.19.证明:在图甲中∵AB BD =且45A ∠=(1) ∴45ADB ∠= ,90ABC ∠= 即AB BD ⊥在图乙中,∵平面ABD ⊥平面BDC , 且平面ABD 平面BDC=BD∴AB⊥底面BDC,∴AB⊥C D 又90DCB ∠=,∴DC⊥BC,且ABBC B =∴DC ⊥平面ABC(2)解法1:∵E、F 分别为AC 、AD 的中点 ∴EF//CD,又由(1)知,DC ⊥平面ABC, ∴EF⊥平面ABC,垂足为点E∴∠FBE 是BF 与平面ABC 所成的角在图甲中,∵105ADC ∠=, ∴60BDC ∠=,30DBC ∠= 设CD a =则2,BD a BC ==,BF ==,1122EF CD a ==∴在Rt △FEB 中,sin EF FBE FB ∠=== 即BF 与平面ABC解法2:如图,以B 为坐标原点,BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示, 设CD a =,则2,BD AB a ==BC =,AD =可得(0,0,0),(2,0,0)B D a ,(0,0,2)A a,3(,0)2C a a ,(,0,)F a a ,∴1(,,0)2CD a =,(,0,)BF a a = 设BF 与平面ABC 所成的角为θ 由(1)知DC ⊥平面ABC∴2cos()2||||CD BF CD BF a πθ⋅-===⋅⋅∴sin θ=(3)由(2)知 FE ⊥平面ABC,又∵BE⊂平面ABC,AE ⊂平面ABC,∴FE⊥BE,FE ⊥AE, ∴∠AEB 为二面角B-EF-A 的平面角 在△AEB 中,12AE BE AC ==== ∴2221cos 27AE BE AB AEB AE BE +-∠==-⋅即所求二面角B-EF-A 的余弦为17-20.证明:(Ⅰ)在梯形ABCD 中,∵,,60AB CD AD DC CB a ABC ===∠=︒,∴四边形ABCD 是等腰梯形, 且30,120,DCA DAC DCB ∠=∠=︒∠=︒∴90ACB DCB DCA ∠=∠-∠=︒,∴.AC BC ⊥又∵平面ACFE ⊥平面ABCD,交线为AC ,∴BC ⊥平面ACFE. (Ⅱ)当EM 时,AM平面BDF.现在证明如下:在梯形ABCD 中,设AC BD N=,连结FN,则:1: NA = ∵EM =而EF AC =,∴:1:2,EM FM =∴MF =AN,∴四边形ANFM 是平行四边形. ∴.AMNF又∵NF ⊂平面BDF,AM ⊄平面BDF. ∴AM平面BDF.(Ⅲ)方法一;(几何法)取EF 中点G,EB 中点H,连结DG 、GH 、DH, ∵容易证得DE=DF ,∴.DG EF ⊥∵BC ⊥平面ACFE ,∴.BC EF ⊥又∵EF FC ⊥,∴.EF FB ⊥yX又∵GH FB ,∴.EF GH ⊥∴DGH ∠是二面角B —EF —D 的平面角.在△BDE中,,.DE DB BE ==∴222BE DE DB =+∴90EDB ∠=︒,∴.DH =又,.DG GH ==∴在△DGH 中,由余弦定理得cos DGH ∠=即二面角B —EF —D 的平面角余弦值为1010方法二;(向量法)以C 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:)0,0,0(C ,)0,,0(a B ,),0,0(a F ,)0,2,23(a a D -,),0,3(a a E所以)0,0,3(a EF -=,),,0(a a BF -=,),2,23(a aa DF -=分别设平面BEF 与平面DEF 的法向量为),,(1111z y x n =,),,(2222z y x n =所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-=⋅00311111az ay BF n ax EF n ,令11=y ,则1,011==z x又⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=-=⋅022*********az y a x a DF n ax EF n 显然02=x ,令21-,122==z y 则 所以)1,1,0(1=n ,)21,1,0(2-=n ,设二面角的平面角为θθ,为锐角 所以1010252)21,1,0()1,1,0(cos 2121=⨯-⋅=⨯∙=n n n n θG EABCDFNMN 1M 1EA BC DFNM21.22.解:(1)依题意得,,EF DE EF AE EF ⊥⊥∴⊥平面ADE ,DEA ∠=θ由45θ=得,12sin 452ADE S DE EA∆=⋅=, ∴BCF ADE ADE V S EF -∆=⋅=(2)证法一:过点M 作1MM BF ⊥交BF 于1M , 过点N 作1NN CF ⊥交BF 于1N ,连结11M N , ∵11//,//MM AB NN EF ∴11//MM NN 又∵11MM NN FM CN AB FA CE EF===∴11MM NN = ∴四边形11MNN M 为平行四边形,11//MN N M ∴,11,,MN BCF N M BCF ⊄⊂又面面//.MN BCF ∴面【法二:过点M 作MG EF ⊥交EF 于G,连结NG,则,CN FM FGNE MA GE == //NG CF ∴QEABC DFNM,,//NG BCF CF BCF NG BCF ⊄⊂∴又面面面,同理可证得//MG BCF 面,又MG NG G =, ∴平面MNG//平面BCF ∵MN ⊂平面MNG, //MN BCF ∴面 】 (3)法一:取CF 的中点为Q,连结MQ 、NQ,则MQ//AC, ∴NMQ ∠或其补角为异面直线MN 与AC 所成的角,∵090θ=且a =∴12NQ =,MQ ==MN ∴=222cos 2QM MN NQ NMQ MN QM +-∴∠==⋅即MN 与AC【法二:∵090θ=且a =分别以FE 、FB 、FC 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系则111111(1,1,0),(0,0,1),(,,0),(,0,),(1,1,1),(0,,),222222A C M N AC MN =--=-得cos ,AC MN ∴<>==所以与AC】 23. ⑴证明:在图甲中,易知//AE DF ,从而在图乙中有11//A E D F ,因为1A E ⊄平面1CD F ,1D F ⊂平面1CD F ,所以1//A E 平面1CD F (条件2分) ⑵解法1、如图,在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H ,连接1A H ,由于1A G ⊥平面EBCF ,则1AG EF ⊥, 所以EF ⊥平面1A GH ,则1EF A H ⊥,所以1A HG ∠平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的平面角, 图甲中有EF AH ⊥,又GH EF ⊥,则A G H 、、三点共线,设CF 的中点为M ,则1MF =,易证ABG EMF ∆≅∆,所以,1BG MF ==,AG =; (三角形全等1分) 又由ABGAHE ∆∆,得1AB AE A H AH AG ===, 于是,HG AG AH =-=在1Rt AGH ∆中,112cos 3HG AGH A H ∠==,即所求二面角的余弦值为23解法2、如图,在图乙中作GH EF ⊥,垂足为H ,连接1A H ,由于1A G ⊥平面EBCF ,则1AG EF ⊥, 所以EF ⊥平面1A GH ,则1EF A H ⊥,图甲中有EF AH ⊥,又GH EF ⊥,则A G H 、、三点共线, 设CF 的中点为M ,则1MF =,易证ABG EMF ∆≅∆,所以1BG MF ==,则AG =; 又由ABGAHE ∆∆,得1AB AE A H AH AG ===, 于是,HG AG AH =-=A BE CDF图甲1A EFC1D图乙GMHH图丙B 1A 1PC 1N CBAM在1Rt AGH ∆中,1AG ===作//GT BE 交EF 于点T ,则TG GC ⊥,以点G 为原点,分别以1GC GT GA 、、所在直线为x y z 、、轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则(0,0,0)G 、(1,1,0)E-、(2,2,0)F、1A ,则1(1,3,0)(EF EA ==-，(坐标系、坐标、向量各1分) 显然,1GA =是平面BEFC 的一个法向量,设(,,)n x y z =是平面11A EFD 的一个法向量,则130,0n EF x y n EA x y ⎧=+=⎪⎨=-++=⎪⎩,即3,x y z =-⎧⎪⎨=-⎪⎩,不妨取1y =-,则(3,1,n =-,设平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角为θ,可以看出,θ为锐角,所以,121|032cos 3||||23(1)GA n GA n θ⨯===+-,所以,平面BEFC 与平面11A EFD 所成二面角的余弦值为2324. (本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 解 : (1)证法一: 连接1,1AB AC 由题意知,点,M N 分别为1AB 和11B C 的中点,1//MN AC ∴又MN ⊂平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC , //MN ∴平面11A ACC证法二:取11A B 中点P ,连,MP NP ,而,M N 分别为1AB 与11B C 的中点,1//MP A A ∴,11MP A ACC ⊄平面,111AA A ACC ⊂平面, 11//MP A ACC ∴平面, 同理可证11//NP A ACC 平面又MP NP P = ∴平面MNP //平面11A ACC MN ⊂平面MNP ,//MN ∴平面11A ACC证法三(向量法): 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz-,如图所示.于是B 1A 1QPHOD 1DC 1NC B A MB 1PQHOMD 1(0,0,0),(2,0,0),A B (1,0,1),(1,1,2)M N 1,AB AC AB AA ⊥⊥,1ACAA A =,11AB A ACC ∴⊥平面∴向量(2,0,0)AB 是平面11A ACC 的一个法向量(0,1,1)MN ,2001010AB MN ⋅=⨯+⨯+⨯=AB MN ∴⊥又11MN A ACC ⊄平面 //MN ∴平面11A ACC(2)解法一: 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,如图所示.于是(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)A B C ,111(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2)A B C ,(1,0,1),(1,1,2)M N 由(1)知1MA 是平面MCA 的一个法向量, 1(1,0,1)MA =-设平面NMC 的法向量为(,,)n x y z =,(0,1,1)MN =,(1,2,1)MC =--,002030n MN y z y z x y z x z n MC ⎧⋅=+==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+-==-⋅=⎩⎩⎪⎩, (3,1,1)n ∴=-设向量1MA 和向量n 的夹角为θ,则11cos (MAn MA nθ⋅===- ∴二面角N MC A --==解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连11DC CD 、交于点O ,连11B A B O 、,显然,11A M C B D O 、、、、、,都在同一平面11ACB D 上 易证1//B O MC ,11C O CD ⊥,11B D ⊥平面11C CDD ,1C O ⊂平面11C CDD , 111C O B D ∴⊥,又1111B D CD D =1C O ∴⊥平面11ACB D . 取1B O 中点H ,连NH ,N H 、分别是111,B O B C 的中点1//NH C O ∴,NH ∴⊥平面11ACB D ,且H 为垂足,即NH ⊥平面AMC ,过点O 作OP MC ⊥于P ,过H 作//HQ OP 交MC 于Q ,连NQ ,则NQH ∠即是所求二面角N MC A --的补角 在Rt MAC ∆中,CM ===,sin AM MCA MC ∠===,sin sin()cos 2OCP MCA MCA π∠=-∠=∠==, 在Rt OPC ∆中,sin OCP ∠=,OP ∴==HQ OP ∴==又112MH C O ==∴在Rt NQH ∆中,NQ ===sin NH NQH NQ ∴∠===∴所求二面角N MC A --25. (本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识,考查空间想象能力和运算求解能力等,本小题满分14分)证明:(1)因为等边△ABC 的边长为3,且AD DB =12CE EA =, 所以1AD =,2AE =. 在△ADE 中,60DAE ∠=,由余弦定理得3DE ==. 因为222AD DE AE +=, 所以AD DE ⊥. 折叠后有1A D DE ⊥因为二面角1A DE B --是直二面角,所以平面1A DE ⊥平面BCED 又平面1A DE平面BCED DE =,1A D ⊂平面1A DE ,1A D DE ⊥,所以1A D ⊥平面BCED(2)解法1:假设在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60. 如图,作PH BD ⊥于点H ,连结1A H 、1A P 由(1)有1A D ⊥平面BCED ,而PH ⊂平面BCED , 所以1A D ⊥PH又1A DBD D =,所以PH ⊥平面1A BD所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角 设PB x =()03x ≤≤,则2xBH =,PH x =在Rt △1PA H 中,160PA H ∠=,所以112A H x = 在Rt △1A DH 中,11A D =,122DH x =- 由22211A D DH A H +=,得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得52x =,满足03x ≤≤,符合题意 所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB =解法2:由(1)的证明,可知ED DB ⊥,1A D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点,以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、系D xyz -如图设2PB a =()023a ≤≤,则BH a =,PH =,2DH a =-所以()10,0,1A,()2,0P a -,()E所以()12,,1PA a =- 因为ED ⊥平面1A BD ,所以平面1A BD的一个法向量为()DE = 因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60, 所以11sin 60PA DE PA DE===, 解得54a =即522PB a ==,满足023a ≤≤,符合题意所以在线段BC 上存在点P ,使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60,此时52PB =26.解析:(Ⅰ)法1:连接CO ,由3AD DB =知,点D 为AO 的中点, 又∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, BC =知,60CAB ∠=, ∴ACO ∆为等边三角形,从而CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥(注:证明CD ⊥平面PAB 时,也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到,酌情给分.)法2:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥,在Rt ABC ∆中设1AD =,由3AD DB =BC =得,3DB =,4AB =,BC =,∴BD BC BC AB ==,则BDC BCA ∆∆∽, ∴BCA BDC ∠=∠,即CD AO ⊥ ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥法3:∵AB 为圆O 的直径,∴AC CB ⊥, 在Rt ABC ∆BC =得,30ABC ∠=, 设1AD =,由3AD DB =得,3DB =,BC =, 由余弦定理得,2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=,∴222CD DB BC +=,即CD AO ⊥. ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D , ∴PD ⊥平面ABC ,又CD ⊂平面ABC , ∴PD CD ⊥, 由PDAO D =得,CD ⊥平面PAB ,又PA ⊂平面PAB ,∴PA CD ⊥(Ⅱ)法1:(综合法)过点D 作DE PB ⊥,垂足为E ,连接CE 由(1)知CD ⊥平面PAB ,又PB ⊂平面PAB , ∴CD PB ⊥,又DE CD D =, ∴PB ⊥平面CDE ,又CE ⊂平面CDE , ∴CE PB ⊥,∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角 由(Ⅰ)可知CD =,3PD DB ==,(注:在第(Ⅰ)问中使用方法1时,此处需要设出线段的长度,酌情给分∴PB =,则PD DB DE PB ⋅===,∴在Rt CDE ∆中,tan CD DEC DE ∠===∴cos DEC ∠=即二面角C PB A --法2:(坐标法)以D 为原点,DC 、DB 和DP 的方向分别为x 轴、y 轴和z 轴的正向,建立如图所示的空间直角坐标系(注:如果第(Ⅰ)问就使用“坐标法”时,建系之前先要证明CD AB ⊥,酌情给分.) 设1AD =,由3AD DB =BC =得,3PD DB ==,CD =,∴(0,0,0)D,C ,(0,3,0)B ,(0,0,3)P , ∴(3,0,3)PC =-,(0,3,3)PB =-,(CD =,由CD ⊥平面PAB ,知平面PAB 的一个法向量为(CD = 设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ,则00PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n,即30330y y z -=-=⎪⎩,令1y=,则x =1z =, ∴=n ,设二面角C PB A --的平面角的大小为θ,则cos ||5CD CD θ⋅===⋅n|n |∴二面角C PB A --。
2013高考全国2卷数学理科试题及答案详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．13 B ．13-C．19 D．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．A ．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．112⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．113⎛⎤⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。
2013揭阳精编模拟试题(理)
dcba FEOD'C'B'A'D C BAFED CBA揭阳市2013年精编模拟试题数学(理科)（本试题仅供我市高三老师参考！因时间仓促，且能力水平有限，错漏之处，请老师们改后上传，不胜感激！----黄开明）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数(1)()n z i n N *=+∈，则使得z 为实数的最小n 值为A.0B.2C.3D.4 2．在等差数列}{n a 中，5,142==a a ,则}{n a 的前5项和5S =A.7B.15C.20D.25 3. 在△ABC 中，“60A >”是“sin 2A >”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4．下列函数在其定义域内，既是奇函数又存在零点的是A ．()1x f x e =-B ．1()f x x x -=+C ．1()f x x x -=-D ．()|sin |f x x =- 5．如图(1)，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，AE 与BD 交于 点F ，则FD DE ⋅= A.13-B. 23-C.13 D 236.如图(2)，记正方体''''ABCD A B C D -的中心为O ，面 图（1）''B BCC 的中心为E ，F 为''B C 的中点，则空间四边形'D OEF 在该正方体的各个面上的正投影可能是图中的A.a 、b 、dB. a 、b 、cC. b 、c 、dD. a 、b 、c 、d7．已知椭圆221169x y+=的左右焦点分别为1F 、2F ，点 P 在椭圆上，若P 、1F 、2F ，是一个直角三角形的顶点，则点P 到x 轴的距离为 图（2）A.94 B.7C.94或7D.948. 设集合{1,2,3,,7}A =L ,{4,5,6,7}B =,则满足,C A C B φ⊆≠I 的集合C 的个数为 A.8 B.56 C. 120 D. 128二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题） 9．函数12y x =的值域为 ．10．已知2sin 2,(0,)3ααπ=-∈, ,则cos sin αα-= .11．若变量x,y 满足约束条件13215x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则3log (2)w x y =+的最大值为 ．12．直线y=ex+b(e 为自然对数的底数)与两个函数(),()ln x f x e g x x ==的图象至多有一个公共点，则实数b 的取值范围是__________. 13. 如图（3）,点121,,(2)m A A A m -≥将区间[0,l]m 等分，记直线0,1,0x x y === 和曲线x y e =所围成的区域为Ω，图中m 个矩形构成的阴影区域为1Ω，在Ω中 图（3） （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线(sin cos )m ρθθ-=（θ为参数）与曲线22(cos 2sin )30ρρθθ--+=相切，则实数m =______,15．(几何证明选讲选做题) 如图（4），PA 与圆O 相切于A ，不过圆心O线PCB 与直径AE 相交于D 点.已知∠BPA =030，2=AD ，1=PC ，则圆O 的半径等于 ． 7 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4． （1）求实数a 的值；（2）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间．17．（本小题满分12分）某地农民种植A 种蔬菜，每亩每年生产成本为7000元，A 种蔬菜每亩产量及价格受天气、市场双重影响，预计明年雨水正常的概率为23，雨水偏少的概率为13，若雨水正常，A 种蔬菜每亩产量为2000公斤，单价为6元/公斤的概率为14，单价为3元/公斤的概率为34,若雨水偏少，A BM E DCBAA 种蔬菜每亩产量为1500公斤，单价为6元/公斤的概率为23，单价为3元/公斤的概率为13。
2013广东高考数学(理科)试题答案(word)完整官方版-推荐下载
或: 3a5 a7 2a3 a8 20
y
x 4y 4
x y 4
4
13. 给定区域 D : x 0
,令点集T {x0, y0 D | x0, y0 Z ,x0, y0
是 z x y 在 D 上取得最大值或最小值的点} ,则T 中的点共确定____1__
()
x2 y2 1 A. 4 5
x2 y2 1 B． 4 5
x2 y2 1 C． 2 5
D．
x2 y2 1 25
【解析】B；依题意 c
e 3,
3 2
,所以 a
2 ,从而
a2
4 ,b2
c2
a2
5
,故选
B．
8．设整数 n 4 ,集合 X 1, 2,3,, n.令集合
A . 若 , m , n ,则 m n B．若 // , m , n ,则 m // n
C．若 m n , m , n ,则 D．若 m , m // n , n // ,则
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对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电通，力1根保过据护管生高线产中0不工资仅艺料可高试以中卷解资配决料置吊试技顶卷术层要是配求指置，机不对组规电在范气进高设行中备继资进电料行保试空护卷载高问与中题带资2负料2，荷试而下卷且高总可中体保资配障料置各试时类卷，管调需路控要习试在题验最到；大位对限。设度在备内管进来路行确敷调保设整机过使组程其高1在中正资，常料要工试加况卷强下安看与全22过，22度并22工且22作尽22下可护都能1关可地于以缩管正小路常故高工障中作高资；中料对资试于料卷继试连电卷接保破管护坏口进范处行围理整，高核或中对者资定对料值某试，些卷审异弯核常扁与高度校中固对资定图料盒纸试位，卷置编工.写况保复进护杂行层设自防备动腐与处跨装理接置，地高尤线中其弯资要曲料避半试免径卷错标调误高试高等方中，案资要，料求编试技5写、卷术重电保交要气护底设设装。备备置管4高调、动线中试电作敷资高气，设料中课并技3试资件且、术卷料中拒管试试调绝路包验卷试动敷含方技作设线案术，技槽以来术、及避管系免架统不等启必多动要项方高方案中式；资，对料为整试解套卷决启突高动然中过停语程机文中。电高因气中此课资，件料电中试力管卷高壁电中薄气资、设料接备试口进卷不行保严调护等试装问工置题作调，并试合且技理进术利行，用过要管关求线运电敷行力设高保技中护术资装。料置线试做缆卷到敷技准设术确原指灵则导活：。。在对对分于于线调差盒试动处过保，程护当中装不高置同中高电资中压料资回试料路卷试交技卷叉术调时问试，题技应，术采作是用为指金调发属试电隔人机板员一进，变行需压隔要器开在组处事在理前发；掌生同握内一图部线纸故槽资障内料时，、，强设需电备要回制进路造行须厂外同家部时出电切具源断高高习中中题资资电料料源试试，卷卷线试切缆验除敷报从设告而完与采毕相用，关高要技中进术资行资料检料试查，卷和并主检且要测了保处解护理现装。场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
广东省揭阳一中2012-2013学年高二上学期第二次段考数学理试题
揭阳一中92届12-13学年度第一学期第二次阶段考试题高二级数学(理)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)1．过点(1，1)只存在3条直线与下面曲线只有1个交点的是( )A ．222212x y y x -==和B ．2221214x y y x -==和 C ．222114x y y x -==和 D ．2221412x y y x -==和 2．若数列{a n }满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，且a 1＝67，则a 2011的值为( ) A ． 57 B ． 67 C ． 17 D ． 373．已知,x y 满足约束条件03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则222x y x ++的最小值是( )A ．25B1 C ．2425 D ．14．若数列{a n }(n ∈N *)的首项为14，前n 项的和为S n ，点(a n ，a n ＋1)在直线x －y －2＝0上，那么下列说法正确的是( )A ．当且仅当n ＝1时，S n 最小B ．当且仅当n ＝8时，S n 最大C ．当且仅当n ＝7或8时，S n 最大D ．S n 有最小值，无最大值5．函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2 6． 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =则C 的实轴长为( ) AB． C ．4 D ．87．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦AB ，满足1()2OP OA OB =+，则这条弦所在的直线方程是( ) AA ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝08．已知x >0，y >0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．“111222a b c a b c ==”是“不等式1110a x b y c ++>与2220a x b y c ++>表示同个平面区域”的 条件．10．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2＝a 2＋bc ，且AC →·AB →＝4，则△ABC 的面积等于________．11．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，N 为1BB 的靠近B 的三等分点，若11A B =a ， 11A D =b ，1A A =c ，则MN 等于 (用a,b,c 表示)．12．已知双曲线C :22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P (2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为 ． 13．已知直线l ：143x y+=，M 是直线l 上的一个动点，过点M 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，点P 是线段AB 的靠近点A 的一个三等分点，点P 的轨迹方程为 ．14 ．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM = ．ks5u三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15．(12分)△ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m ＝(2sinB ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B2－1)且m ∥n ．(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求△ABC 的面积S△ABC 的最大值．16．(12分)如图所示，已知正方形ABCD 和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB =1AF =，M 是线段EF 的中点．求证：(1)AM ∥平面BDE ； (2)AM ⊥平面BDF ．17．(14分)已知抛物线2y x =-与直线(1)y k x =+相交于A 、B 两点 ，(1)求证;OA OB ⊥;(2)当OAB ∆k 的值18．(14分)数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a t =，121n n a S +=+()*n ∈N ．(1)当t 为何值时，数列{}n a 是等比数列；(2)在(1)的条件下，若等差数列{}n b 的前n 项和n T 有最大值，且315T =，又11a b +，22a b +，33a b +成等比数列，求n T ．19．(14分)已知集合⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2,21P ，函数()22log 22+-=x ax y 的定义域为Q ．(1)若φ≠Q P ，求实数a 的取值范围．ks5u(2)若方程()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解，求实数a 的取值范围．20．(14分)已知长方形ABCD ， AB =22，BC =1．以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy ．(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程; (2)过点P (0，2)的直线l 交(1)中椭圆于M ，N 两点，是否存 在直线l ，使得以弦M N 为直径的圆恰好过原点?若存在， 求出直线l 的方程;若不存在，说明理由．揭阳一中92届12-13学年度第一学期第二次阶段考试题高二级数学(理)答案一、选择题：1~8：BBDCA CAD二、填空题：9．既不充分也不必要； 10．23； 11．111223--a b c ； 12．220x -25y =1； 13．3x ＋8y －8＝0； 14．三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15．解析：(1)∵m ∥n ，∴2sinB ⎝⎛⎭⎫2cos 2B2－1＝－3cos 2B ∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3．(2)∵B ＝π3，b ＝2，∴由余弦定理cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac得，ks5ua 2＋c 2－ac －4＝0又∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤4(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)S △ABC ＝12acsinB ＝34ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝2时等号成立)，16．解析：证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC BD N =，连接NE ．则点N ，E的坐标分别为,,022⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,1．所以22NE ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭．又点A，M 的坐标分别是)，⎫⎪⎪⎝⎭，所以,,122AM ⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭．所以NE AM =且NE 与AM 不共线．所以NE AM ∥．又因为NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ．所以AM ∥平面BDE ．(2)由(1)知AM ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，因为)D，)F，所以()DF =．所以0AM DF ⋅=．所以AM DF ⊥． 同理AM BF ⊥．又DFBF F =，所以AM ⊥平面BDF ．17．解析：(1)证明:设 221122(,),(,)A y y B y y --;(1,0)N -221122(1,)(1,)NA y y NB y y =-=-，由A ，N ，B 共线ks5u22112221y y y y y y -=- 211212()()y y y y y y ∴-=-，又12y y ≠ 121y y ∴=-2212121212(1)0OA OB y y y y y y y y OA OB ∴∙=+=+=∴⊥(2)解：21112OABS y y ∆=⋅⋅-， 由2(1)y x y k x ⎧=-⎨=+⎩得20ky y k +-=2111126OAB S y y k ∆∴=⋅⋅-=∴=±ks5u 18．解析：(1)由121n n a S +=+，知121n n a S -=+，当n …2时两式相减得()1122n n n n n a a S S a +--=-=，即13.n n a a +=所以当n …2时，数列{}n a 是公比为3的等比数列． 要想n …1时，数列{}n a 为等比数列，则有213a a =，即11213a a +=，即11a =， 即当1t =时，数列{}n a 为等比数列；当1t ≠时，数列{}n a 不为等比数列.(2)由(1)得知13n n a -=，11a =，23a =，39a =，由315T =，得2315b =，2 5.b =设等差数列{}n b 的公差为d ，则15b d =-，35b d =+，11a b b d +=-，228a b +=，3314a b d +=+，由题意可得()()28614d d =-+，即28200d d +-=，所以2d =或10.d =-又因为数列{}n b 的前n 项和n T 有最大值，故0d <，所以10.d =-21520i nn i T b n n ===-+∑()*.n ∈N19．解析：(1)若φ≠Q P ，0222>+-∴x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有有解x x a 222+->∴令2121122222+⎪⎭⎫⎝⎛--=+-=x x x u 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21x 时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈21,4u所以a >-4，所以a 的取值范围是{}4->a a ks5u(2)方程()222log 22=+-x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解， 则0222=--x ax 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21内有解。
2013届广东13大市区二模分类汇编17：导数与积分(1)(含答案)DOC
分类汇编17：导数与积分（1）一、选择题1 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）)(x f 是定义在),0(+∞上的非负可导函数,且满足()()0xf x f x '-≤,对任意正数b a ,, 若b a <,则必有（ ）A ．)()(a bf b af ≤B ．)()(b af a bf ≤C ．)()(b f a af ≤D ．)()(a f b bf ≤【答案】A 2 ．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-+=)10(1)01(1)(2x xx x x f ,则⎰=-dx x f )(11（ ）A ．12π+B ．124π+ C ．14π+D ．122π+ 【答案】B 二、填空题 3 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）计算()321d x x -=⎰______【答案】64 ．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）dx x ⎰-2024=______________【答案】π5 ．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）dx x x )cos (sin 0⎰+π=________.【答案】26 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）若axdx =1⎰,则实数a 的值是_________. 【答案】27 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）对于三次函数32()(0),:()()f x ax bx cx d a f x y f x '=+++≠=给出定义设是函数的导数,()f x ''函数()f x '的导数,若方程()0f x ''=有实数解000,(,())x x f x 则称点为函数()y f x =的“拐点”,某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-,请你根据上面探究结果,解答以下问题:(1)函数32115()33212f x x x x =-+-的对称中心坐标为_________________; (2)计算1232012()()()()2003201320132013f f f f ++++=__________________. 【答案】对称中心1(,1)2; 20128 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则实数__________.c =【答案】2c =± (答对一个不得分)9 ．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数()x f 的导数()()()()1,f x a x x a f x x a '=+-=若在处取得极大值,则a 的取值范围为__________【答案】10a -<<10．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）曲线2:x y C =、直线2:=x l 与x 轴所围成的图形面积为__________ 【答案】8311．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）函数321()2323f x x x x =-+-在区间[0,2]上最大值为____________ 【答案】解析:23-2()4301,3f x x x x x '=-+=⇒==,24(0)2,(1),(2)33f f f =-=-=- 12．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）设函数()y f x =在(-∞,+∞)内有意义.对于给定的正数K,已知函数(),()(),()k f x f x Kf x K f x K≤⎧=⎨>⎩,取函数()f x =x e x ---3.若对任意的x ∈(-∞,+∞),恒有()k f x =()f x ,则K 的最小值为_____________. 【答案】213．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）若曲线y x =与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a 2.则正实数a=____ 【答案】94=a 14．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）函数y=lnx 在点A(1,0)处的切线方程为_______.【答案】1-=x y 三、解答题15．（广东省汕头市东厦中学2013届高三第三次质量检测数学（理）试题 ）设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ,其中a b ∈R ，.(Ⅰ)当103a =-时,讨论函数()f x 的单调性; (Ⅱ)若函数()f x 仅在0x =处有极值,求a 的取值范围;(Ⅲ)若对于任意的[]22a ∈-，,不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立,求b 的取值范围 【答案】解:(Ⅰ)322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++.当103a =-时,2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--. 令()0f x '=,解得10x =,212x =,32x =.当x 变化时,()f x ',()f x 的变化情况如下表:x(0)-∞， 0102⎛⎫⎪⎝⎭，12122⎛⎫⎪⎝⎭，2(2)+，∞()f x '-+-+()f x↘极小值↗极大值↘极小值↗所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，,(2)+，∞内是增函数,在(0)-∞，,122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是减函数.(Ⅱ)解:2()(434)f x x x ax '=++,显然0x =不是方程24340x ax ++=的根.为使()f x 仅在0x =处有极值,必须24340x ax ++≥恒成立,即有29640a ∆=-≤.解此不等式,得8833a -≤≤.这时,(0)fb =是唯一极值. 因此满足条件的a 的取值范围是8833⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.(Ⅲ)解:由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<,从而24340x ax ++>恒成立. 当0x <时,()0f x '<;当0x >时,()0f x '>.因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者. 为使对任意的[]22a ∈-，,不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立,当且仅当(1)1(1)1f f ⎧⎨-⎩≤，≤， 即22b a b a--⎧⎨-+⎩≤，≤ 在[]22a ∈-，上恒成立.所以4b -≤,因此满足条件的b 的取值范围是 16．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知函数x x ax x g 2231)(23-+=,函数)(x f 是函数)(x g 的导函数. (1)若1=a ,求)(x g 的单调减区间; (2)若对任意R x x ∈21,且21x x ≠,都有2)()()2(2121x f x f x x f +<+,求实数a 的取值范围;(3)在第(2)问求出的实数a 的范围内,若存在一个与a 有关的负数M,使得对任意]0,[M x ∈时4)(≤x f 恒成立,求M 的最小值及相应的a 的值.【答案】解:(1)当1a =时,321()223g x x x x =+-,2'()42g x x x =+- 由'()0g x <,解得2626x --<<-+∴当1a =时,函数()g x 的单调减区间为(26,26)---+(2)易知2()'()42f x g x ax x ==+-. 依题意知1212()()()22x x f x f x f ++-222121211224242()4()2222x x x x ax x ax x a +++-++-=+--212()04ax x =--<因为12x x ≠,所以0a >,即实数a 的取值范围是(0,)+∞ (3)解法一易知2224()42()2f x ax x a x aa =+-=+--,0a >. 显然(0)2f =-,由(2)知抛物线的对称轴20x a=-<①当424a --<-,即02a <<时,2(,0)M a∈-且()4f M =-.令2424ax x +-=-,解得242ax a-±-=,此时M 取较大的根,即2422422a M a a -+--==-+ 02a <<, ∴21422M a -=>--+②当424a --≥-,即2a ≥时,2M a<-且()4f M =. 令2424ax x +-=,解得246ax a-±+=此时M 取较小的根,即2466462a M a a --+-==+- 2a ≥,∴63462M a -=≥-+-,当且仅当2a =时取等号由于31-<-,所以当2a =时,M 取得最小值3- 解法二对任意[,0]x M ∈时,“4f x ≤|()|恒成立”等价于“4f x ≤max ()且4f x ≥-min ()”. 由(2)可知实数a 的取值范围是(0,)+∞,故2()42f x ax x =+-的图象是开口向上,对称轴20x a=-<的抛物线①当20M a-≤<时,()f x 在区间[,0]M 上单调递增, ∴f x =max ()(0)24f =-<, 要使M 最小,只需要2424f x f M aM M ==+-=-min ()()若1680a ∆=-<,即2a >时,无解; 若1680a ∆=-≥,即02a <≤时, 解得2422a M a a ---=<-(舍去) 或2421aM a -+-=≥-,故1M ≥-(当且仅当2a =时取等号)②当2M a <-时,()f x 在区间2[,]M a -上单调递减,在2(,0]a-递增,(0)24,f =-<24()24f a a-=--≥-,则2a ≥要使M 最小,则2424f M aM M =+-=(), 即2460aM M +-=, 解得2462a M a a-++=>-(舍去),或24663462a M a a --+-==≥-+-(当且仅当2a =时取等号)综上所述,当2a =时,M 的最小值为3-17．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知函数2()(0)f x x ax a =-≠,()ln g x x =,()f x 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ,(1)g x -与x 轴的交点N 处的切线为2l , 并且1l 与2l 平行.(1)求(2)f 的值;(2)已知实数t ∈R,求函数[][()+],1,y f xg x t x e =∈的最小值;(3)令()()'()F x g x g x =+,给定1212,(1,),x x x x ∈+∞<,对于两个大于1的正数βα,, 存在实数m 满足:21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,并且使得不等式12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-恒成立,求实数m 的取值范围.【答案】解: ()y f x =图象与x 轴异于原点的交点(,0)M a ,'()2f x x a =-(1)ln(1)y g x x =-=-图象与x 轴的交点(2,0)N ,1'(1)1g x x -=- 由题意可得12l l k k =,即1a =, ∴2(),f x x x =-,2(2)222f =-=2[()+][ln +](ln +)y f xg x t x x t x x t ==-=22(ln )(21)(ln )x x t x x t t +-+-令ln u x x =,在 []1,x e ∈时,'ln 10u x =+>, ∴ln u x x =在[]1,e 单调递增,0,u e ≤≤22(21)y u t u t t =+-+-图象的对称轴122tu -=,抛物线开口向上 ①当1202t u -=≤即12t ≥时,2min 0|u y y t t ===- ②当122t u e -=≥即122et -≤时,22min |(21)u e y y e t e t t ===+-+- ③当1202t e -<<即12122e t -<<时, 22min 12212121|()(21)224tu t t y y t t t -=--==+-+-=- 1(3)()()'()ln F x g x g x x x =+=+,22111'()0x F x x x x-=-=≥1x ≥得 所以()F x 在区间(1,)+∞上单调递增∴1x ≥当时,F F x ≥>（）（1）0 ①当(0,1)m ∈时,有12111(1)(1)mx m x mx m x x α=+->+-=,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-<+-=,得12(,)x x α∈,同理12(,)x x β∈,∴ 由)(x f 的单调性知 0<1()()F x F α<、2()()F F x β< 从而有12|()()||()()|F F F x F x αβ-<-,符合题设 ②当0m ≤时,12222(1)(1)mx m x mx m x x α=+-≥+-=,12111(1)(1)m x mx m x mx x β=-+≤-+=,由)(x f 的单调性知 0<12()()()()F F x F x F βα≤<≤,∴12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符 ③当1m ≥时,同理可得12,x x αβ≤≥,得12|()()||()()|F F F x F x αβ-≥-,与题设不符 ∴综合①、②、③得(0,1)m ∈说明:各题如有其它解法,按照相应的步骤给分. 18．（广东省珠海一中等六校2013届高三第二次联考数学（理）试题）已知三次函数32() ()f x ax bx cx d a b c d R =+++∈、、、为奇函数,且在点(1,(1))f 的切线方程为22y x =-.(1) 求函数()f x 的表达式.(2) 求曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处的切线方程,并求曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处的切线与曲线()y f x =围成封闭图形的面积.(3) 如果过点(2)t ，可作曲线()y f x =的三条切线,求实数t 的取值范围;【答案】(1)解:2()()00f x f x bx d -+=∴+=恒成立30()b d f x ax cx ∴==∴=+ 又2()3f x ax c '=+∴在点(1,(1))f 的切线方程为(3)(1)y a c x a c =+-++,即3321(3)2()221a c a y a c x a f x x x a c +==⎧⎧=+-∴∴∴=-⎨⎨-=-=-⎩⎩(2)解:设切点为00(,())x f x ,2()31f x x '=-则切线方程是:200(31)()y x x x =--300()x x +-,令3x x -=200(31)()x x x --300()x x +-得32300320x x x x -+=200()(2)0x x x x ∴-+=所以曲线与切线的另一公共点的横坐标是02x -00x >时0323422300002213(32)(2)42x x x x S x x x x dx x x x x x --=-+=-+⎰40274x =00x <时0000232332300002(32)(32)x x x x S x x x x dx x x x x dx --=--+=-+⎰⎰40274x =00x =时,切线与曲线恰有一个公共点,402704S x == (此步不扣分)综上:曲线()y f x =在点00(())M x f x ，处的切线与曲线()y f x =围成封闭图形的面积 40274S x =0()x R ∈ (3)解: 令切线过(2,)t ,代入整理得:32002620x x t -++= 关于0x 有三个不同的解;设32()262g x x x t =-++即()g x 有三个不同的零点;又()6(2)(0,2)g x x x x '=-∴∈时()0()g x g x '<∴递减;(,0)(2,)x ∈-∞+∞()0,()g x g x '>在区间(,0)(2,)-∞+∞、上分别递增,故(0)20(2)60g t g t =+>⎧⎨=-<⎩26t ∴-<<19．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数()2ln bf x ax x x=--,(1)0f =. (Ⅰ)若函数()f x 在其定义域内为单调函数,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)若函数()f x 的图象在1x =处的切线的斜率为0,且211()11n n a f n a n +'=-+-+,已知14a =,求证:22n a n ≥+;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试比较1231111...1111n a a a a ++++++++与25的大小,并说明你的理由.【答案】20．（广东省中山市2013届高三上学期期末统一考试数学（理）试题）已知函数()b ax x x f +-=331,其中实数b a ,是常数. (Ⅰ)已知{}2,1,0∈a ,{}2,1,0∈b ,求事件A :“()01≥f ”发生的概率;(Ⅱ)若()x f 是R 上的奇函数,()a g 是()x f 在区间[]1,1-上的最小值,求当1≥a 时()a g 的解析式;(Ⅲ)记()x f y =的导函数为()x f ',则当1=a 时,对任意[]2,01∈x ,总存在[]2,02∈x 使得12()()f x f x '=,求实数b 的取值范围. 【答案】① 当1a ≥时,因为11x -≤≤,所以()0f x '≤,()f x 在区间[]1,1-上单调递减,从而1()(1)3g a f a ==-; ② 当1a ≤-时,因为11x -≤≤,所以()0f x '>,()f x 在区间[]1,1-上单调递增,从而1()(1)3g a f a =-=-+,综上,知1,13().1,13a a g a a a ⎧-≤-⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩21．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知函数2()()x f x ax x e =+,其中e 是自然对数的底数,a R ∈.(1)当0a >时,解不等式()0f x ≤;(2)当0a =时,求整数的所有值,使方程()2f x x =+在[,1]t t +上有解; (3)若()f x 在[1,1]-上是单调增函数,求a 的取值范围.【答案】解:(1)因为e 0x >,所以不等式()0f x ≤即为20ax x +≤,又因为0a >,所以不等式可化为1()0x x a +≤,所以不等式()0f x ≤的解集为1,0a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(4 分)(2)当0a =时, 方程即为e 2x x x =+,由于e 0x >,所以0x =不是方程的解,所以原方程等价于2e 10x x --=,令2()e 1x h x x =--,因为22()e 0x h x x'=+>对于()(),00,x ∈-∞+∞恒成立, 所以()h x 在(),0-∞和()0,+∞内是单调增函数, 又(1)e 30h =-<,2(2)e 20h =->,31(3)e 03h --=-<,2(2)e 0h --=>,所以方程()2f x x =+有且只有两个实数根,且分别在区间[]12，和[]32--，上,所以整数的所有值为{}3,1-. (3)22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++,①当0a =时,()(1)e x f x x '=+,()0f x '≥在[11]-，上恒成立,当且仅当1x =-时取等号,故0a =符合要求; (10 分)②当0a ≠时,令2()(21)1g x ax a x =+++,因为22(21)4410a a a ∆=+-=+>,所以()0g x =有两个不相等的实数根1x ,2x ,不妨设12x x >,因此()f x 有极大值又有极小值.若0a >,因为(1)(0)0g g a -⋅=-<,所以()f x 在(11)-，内有极值点, 故()f x 在[]11-，上不单调. 若0a <,可知120x x >>,因为()g x 的图象开口向下,要使()f x 在[11]-，上单调,因为(0)10g =>,必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨-⎩≥≥即320,0.a a +⎧⎨-⎩≥≥所以203a -<≤. 综上可知,a 的取值范围是2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.22．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且 (1)若()00='x f ,求0x 的值; (2)求函数()f x 的单调区间;(3)已知12axx >对任意(0,1)x ∈成立,求实数a 的取值范围.【答案】23．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）已知函数x e x f =)(,曲线)(x f y =在点),(00y x 处的切线方程为)(x g y =(1)证明:对R x ∈∀,)()(x g x f ≥; (2)当0≥x 时,xaxx f ++≥11)(恒成立,求实数a 的取值范围【答案】解:(1)由xe xf =)(得x e x f =')( 由题意知00)()(0x x e x x e x g +-=令)1()()()()(00000+--=---=-=x x e e e x x e e x g x f x h x xx x x 则0)(x x e e x h -='当0x x <时,0)(<'x h ,故)(x h 在),(0x -∞单调递减 当0x x >时,0)(>'x h ,故)(x h 在),(0+∞x 单调递增所以0)()(0=≥x h x h ,即)()(x g x f ≥(2)ⅰ)当1≤a 时,由(1)知,当00=x 得1+≥x e x故01)1(11111)(≥+-+=+-≥+--=+--x a x x x ax x x ax e x ax x f xⅱ)当1>a 时,令ax x e ax x x f x H x-+-=-+-=)1)(1()1)(1)(()( 则a x e x H x--+='1)2()(令a x e x H x M x --+='=1)2()()(,则0)3()(>+='x e x M x, 故)(x H '在),0[+∞上单调递增,而011)02()0(0<-=--+='a a e H故存在区间),0(0x 使得0)(<'x H ,即存在区间),0(0x 使)(x H 单调递减,所以存在区间),0(0x 使得0)0()(=<H x H ,即x ax x f ++<11)(这与x axx f ++≥11)(在),0[+∞上恒成立矛盾综上可得1≤a24．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥,'()f x 为函数()f x 的导函数. (1)设函数f(x)的图象与x 轴交点为A,曲线y=f(x)在A 点处的切线方程是33y x =-,求,a b 的值;(2)若函数()'()axg x e f x -=⋅,求函数()g x 的单调区间.【答案】②当0a >时,令'()0g x =,得0x =或2x a a=- (ⅰ)当20a a->,即02a <<时,()g x 的单调递增区间为22(0,)a a -,单调递减区间为(,0)-∞,22(,)a a-+∞; (ⅱ)当20a a-=,即2a =时,'()g x =2220x x e -=-≤, 故()g x 在(,)-∞+∞单调递减; (ⅲ)当20a a-<,即2a >时,()g x 在22(,0)a a-上单调递增,在(0,)+∞,22(,)a a --∞上单调递减 综上所述,当0a =时,()g x 的单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞;25．（广东省汕头市2013届高三上学期期末统一质量检测数学（理）试题）集合A={|lg x R y x ∈=},B={2|22(1)(1)0x R x a x a a ∈--+->},D=A∩B. (I)当a=2时,求集合D(用区间表示); (II)当102a <<时,求集合D(用区间表示); (III)在(II)的条件下,求函数32()43(12)6f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 【答案】解:(1) A={}0x x > 当a=2时 B={}210x R x x ∈+->解不等式 210x x +-> 得 152x --<或 152x -+> 1515,22B x x x ⎧⎫---+⎪⎪∴=<>⎨⎬⎪⎪⎩⎭或15,2A B ⎛⎫-+∴=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭(2)不等式 ()()222110x a x a a --+-> 令()()()22211h x x a x a a =--+-()()22142a a a ∆=---⨯⨯-⎡⎤⎣⎦a a )1- =()()24181a a a --- =()()4112a a a ---=()()4113a a -- =()()4131a a -- ① 当1003a <<∆>时 ()0h x =此时方程有两个不同的解 ()()()()()()1214311131142a a a a a a x --------==()()()()()()2214311131142a a a a a a x -+---+--=={}12,B x x x x x ∴=<>或121x x a +=-103a << 1210x x a ∴+=->()()()()()()()()2121311113112104442a a a a a a a a a a x x -------+---⋅====>1200x x ∴>>且()()20,D A B x x ∴==+∞()()()()()()131113110,,22a a a a a a ⎛⎫⎛⎫-----+-- ⎪ ⎪=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭② 当13a =时 ()=00h x ∆=此时方程有唯一解121=3x x = 1111,0,3333B D A B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-∞+∞==+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时，于是，③ 当1132a <<时 0x R ∆<∀∈对 ()0h x > B R ∴= ()0D A B A ∴===+∞，(3)()()2126126f x x a x a '=-++()()()26212621x a x a x x a ⎡⎤=-++⎣⎦=--令121()0,2f x x x a '===得102a <<()0x a f x '∴<>当时 ()(),f x a ∴-∞在上单调递增当1()02a x f x '<<<时 1(),2f x a ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭在上单调递减 当1()02x f x '>>时 1()+2f x ⎛⎫∴∞ ⎪⎝⎭在，上单调递增 ① 当2131<<a 时 ()0D =+∞，当()00x a f x '<<>时 ()()0,f x a ∴在单调递增 当()102a x f x '<<>时 ()1+2f x ⎛⎫∴∞ ⎪⎝⎭在，上单调递增 当()102x f x '>>时 ()1+2f x ⎛⎫∴∞ ⎪⎝⎭在，上单调递增 ()12f x a ∴有极小值点为，极大值点为② 当13a =时 110,33D ⎛⎫⎛⎫=+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，此时()12f x 在D 上有极小值点 ③ 103a <<时 ()()120,,D x x =+∞()()()()211311134122a a a a a a x -------+==()()()222341961622312130a a a a a aa a a a -+--+=-+=--=->()()()211961131113222a a a a a a a x ---+------∴<== 22a a == 当21123a -<<时()()()2131111222a a a a a x -+---+=<=此时()21,2x ∈+∞ ()()()22131119612412222a a a a a a a x a -+---+-+-=>==-又又()12130a a a --=->212x a a ∴>->()2,a x ∴∉+∞,此时()12f x 在D 上有极小值点当2012a <<-时 ()()2131111222a a a a a x -+---+=>= ()f x 此时在D 上没有极值点综上所述:当1132a << 时,()12f x a 有极小值点为，极大值点为; 当13a =时 ,时()12f x 在D 上有极小值点;当2012a <<-时,()f x 在D 上没有极值点; 当21123a -<<时,()12f x 在D 上有极小值点﹒ 26．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知函数||12(),()x a bx f x e f x e -==.(I)若122()()()()f x f x f x bf x =+--,是否存在a,b ∈R,y=f(x)为偶函数.如果存在.请举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由;〔II)若a=2,b=1.求函数12()()()g x f x f x =+在R 上的单调区间;(III )对于给定的实数成立.求a的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)存在1,0-==b a 使)(x f y =为偶函数, 证明如下:此时:x xxe ee xf ++=-)(,R x ∈)()(x f e e ex f x x x=++=-∴--,)(x f y =∴为偶函数.(注:)0,0==b a 也可以) (Ⅱ)xx e ex g +=-2)( =⎪⎩⎪⎨⎧<+≥+--)2()2(22x ee x e e xxx x ,①当2≥x 时x x e ex g +=-2)(,0)(2'>+=∴-x x e e x g)(x g y =∴在[)+∞,2上为增函数.②当2<x 时x xe e x g +=-2)(,则x xe ex g +-=-2')(,令0)('=x g 得到1=x ,(ⅰ)当1<x 时0)('<x g ,)(x g y =∴在()1,∞-上为减函数.(ⅱ) 当21<≤x 时0)('>x g ,)(x g y =∴在()2,1上为增函数.综上所述:)(x g y =的增区间为[)+∞,1,减区间为()1,∞-. (Ⅲ)1)()(021<-x f x f ,1)()(1)(02102+<<-∴x f x f x f[][]1,01,00∈∀∈∃∴x x 对,1)()(1)(02102+<<-x f x f x f 成立.即:⎩⎨⎧>+<-max 1max2min1min 2)(1)()(1)(x f x f x f x f①当0≥b 时,)(2x f 为增函数或常数函数,∴当]1,0[∈x 时b e f x f f x f ====∴)1()(,1)0()(2max 22min 20)(1>=-ax ex f min 12min 2)(01)0(1)(x f f x f <=-=-∴恒成立.时当21≤a a e f x f -==11max 1)1()( a b e e ->+∴11 )1ln(1+->∴be a21ln 2ln )1ln(=>≥+e e b 21)1ln(1<+-∴b e⎥⎦⎤ ⎝⎛+-∈∴21),1ln(1b e a时当21>a a e f x f ==)0()(1max 1 a b e e >+∴1 )1ln(+<∴b e a21ln 2ln )1ln(=>≥+e e b ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈∴)1ln(,21b e a综上所述:())1ln(),1ln(1++-∈∴bb e e a②当0<b 时,)(2x f 在[0,1]上为减函,b e f x f f x f ====∴)1()(,1)0()(2min 22max 2011,0)(01=-<->=-e e ex f b ax min 1min 2)(1)(x f x f <-∴恒成立.时当21≤a a e f x f -==11max 1)1()( a e x f ->=+∴1max 221)( 2ln 1->∴a⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈∴21,2ln 1a时当21>a a e f x f ==)0()(1max 1 a e >∴2 2ln <∴a⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∴2ln ,21a综上所述:()2ln ,2ln 1-∈∴a (13分)由①②得当0≥b 时,())1ln(),1ln(1++-∈bb e e a ; 当0<b 时,()2ln ,2ln 1-∈a .27．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知函数21()()ln ()2f x a x x x R =-+∈.(1)当a=1时,0[1,]x e ∃∈使不等式0()f x m ≤,求实数m 的取值范围;(2)若在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象恒在直线y=2ax 的下方,求实数a 的取值范围.【答案】解：(1)当1=a 时，)0(ln 21)(2>+=x x x x f ，x x x f 1)('+=.由0)('],,1[>∈x f e x ，得函数)(x f 在区间],1[e 为增函数，则当],1[e x ∈时，]211,21[)(2e xf +∈. 故要使],1[0e x ∈∃，使不等式m x f ≤)(0成立，只需21≥m 即可.(2)在区间),1(+∞上，函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=的下方，等价于对),1(+∞∈∀x ，ax x f 2)(<，即02ln )21(2<-+-ax x x a 恒成立.设))1((ln 2)21()(2∞+∈+--=x x ax x a x g ， 则a x a x g 2)12()('--=)112)(1(1xa x x ---=+. 当),1(+∞∈x 时，110,01<<>-xx .①若012≤-a ，即21≤a 时，0)('<x g ，函数)(x g 在区间)1(∞+上为减函数，则当),1(+∞∈∀x 时，a a a g x g --=--=<21221)1()(， 只需021≤--a ，即当2121≤≤-a 时，02ln )21()(2<-+-=ax x x a x g 恒成立. ②若1120<-<a ，即121<<a 时，令0)112)(1()('=---=x a x x g ，得1121>-=a x ， 函数)(x g 在区间)121,1(-a 上为减函数，),121(+∞-a 上为增函数， 则)),121([)(+∞-∈a g x g ，不合题意. ③若112≥-a ，即11210≤-<a 时，当1>x 时，0)('>x g ，函数)(x g 在区间)1(∞+上为增函数，则)),1(()(+∞∈g x g ，不合题意.综上可知当2121≤≤-a 时，02ln )21()(2<-+-=ax x x a x g 在)1(∞+上恒成立， 即当2121≤≤-a 时，在区间),1(+∞上函数)(x f 的图象恒在直线ax y 2=的下方． 28．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知函数f(x)=xe -1,()g x x x =+,其中e 是自然对数的底,e=2.71828.(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;(2)求方程f(x)=g(x)根的个数,并说明理由;(3)若数列{n a }(*n N ∈)满足1(0)(a a a a =>为常数),1()()n n f a g a +=, 证明:存在常数M,使得对于任意*n N ∈,都有n a M ≤ 【答案】解:(1)由h(x)=f(x)-g(x)=xe -1-x x -,得:h(1)=e-3<0,h(2)=e 2-2-2>0,所以函数h(x)在区间(1,2)上有零点. (2)由(1)得:h(x)=xe -1-x x -由()g x x x =+知,[0,)x ∈+∞,而(0)0h =,则0x =为()h x 的一个零点,且()h x 在12（，）内有零点,因此()h x 至少有两个零点.解法1:121'()2xh x e x -=--1,记()x ϕ=1212x e x ---1,则321'()4x x e x ϕ-=+.当(0,)x ∈+∞时,'()0x ϕ>,因此()x ϕ在(0,)+∞上单调递增,则()x ϕ在(0,)+∞内至多只有一个零点.()h x 有且只有两个零点. 所以,方程f(x)=g(x)根的个数为2.(3)记()h x 的正零点为0x ,即0001xe x x -=+.(1)当0a x <时,由1a a =,即10a x <.而321100a a a x x =+<+=01xe -,因此20a x <,由此猜测:0n a x <.下面用数学归纳法证明: ①当1n =时,10a x <显然成立;②假设当(1)n k k =≥时,有0k a x <成立,则当1n k =+时,由3100k k k a a a x x +=+<+=01x e -知,10k a x +<,因此,当1n k =+时,10k a x +<成立.故对任意的*n N ∈,0n a x <成立.(2)当0a x ≥时,由(1)知,()h x 在0(,)x +∞上单调递增.则0()()0h a h x ≥=,即3a a a ≥+.从而33211a a a a a a =+=+≤,即2a a ≤,由此猜测:n a a ≤.下面用数学归纳法证明:①当1n =时,1a a ≤显然成立;②假设当(1)n k k =≥时,有k a a ≤成立,则当1n k =+时,由331k k k a a a a a a +=+≤+≤知,1k a a +≤,因此,当1n k =+时,1k a a +≤成立.故对任意的*n N ∈,n a a ≤成立.综上所述,存在常数0max{,}M x a =,使得对于任意的*n N ∈,都有n a M ≤.29．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知函数321()223g x ax x x =+-,函数()f x 是函数()g x 的导函数.(1)若1a =,求()g x 的单调减区间;(2)若对任意1x ,2x R ∈且12x x ≠,都有1212()()()22x x f x f x f ++<,求实数a 的取值范围; (3)在第(2)问求出的实数a 的范围内,若存在一个与a 有关的负数M ,使得对任意[,0]x M ∈时4f x ≤|()|恒成立,求M 的最小值及相应的a 值.【答案】解:(1)当1a =时,321()223g x x x x =+-,2'()42g x x x =+-由'()0g x <解得2626x --<<-+∴当1a =时函数()g x 的单调减区间为(26,26)---+;(2)易知2()'()42f x g x ax x ==+- 依题意知 1212()()()22x x f x f x f ++- 222121211224242()4()2222x x x x ax x ax x a +++-++-=+--212()04ax x =--<因为12x x ≠,所以0a >,即实数a 的取值范围是(0,)+∞ ; (3)解法一:易知2224()42()2f x ax x a x aa=+-=+--,0a >. 显然(0)2f =-,由(2)知抛物线的对称轴20x a=-< ①当424a --<-即02a <<时,2(,0)M a∈-且()4f M =- 令2424ax x +-=-解得242ax a-±-=此时M 取较大的根,即2422422a M a a -+--==-+ 02a <<, ∴21422M a -=>--+②当424a --≥-即2a ≥时,2M a<-且()4f M = 令2424ax x +-=解得246ax a-±+=此时M取较小的根,即2466462aMa a--+-==+-2a≥, ∴63462Ma-=≥-+-当且仅当2a=时取等号由于31-<-,所以当2a=时,M取得最小值3-解法二:对任意[,0]x M∈时,“4f x≤|()|恒成立”等价于“4f x≤max()且4f x≥-min()”由(2)可知实数a的取值范围是(0,)+∞故2()42f x ax x=+-的图象是开口向上,对称轴2xa=-<的抛物线①当2Ma-≤<时,()f x在区间[,0]M上单调递增,∴f x=max()(0)24f=-<, 要使M最小,只需要2424f x f M aM M==+-=-min()()若1680a∆=-<即2a>时,无解若1680a∆=-≥即02a<≤时,解得2422aMa a---=<-(舍去) 或2421aMa-+-=≥-故1M≥-(当且仅当2a=时取等号)②当2Ma<-时,()f x在区间2[,]Ma-上单调递减,在2(,0]a-递增,(0)24,f=-<24()24fa a-=--≥-则2a≥,要使M最小,则2424f M aM M=+-=()即2460aM M+-=解得2462aMa a-++=>-(舍去)或24663462aMa a--+-==≥-+-(当且仅当2a=时取等号)综上所述,当2a=时,M的最小值为3-。
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5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”2.老人们都笑了，自巨石上起身。
而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。
3.石村不是很大，男女老少加起来能有三百多人，屋子都是巨石砌成的，简朴而自然。
揭阳市2013年高中毕业班高考第二次模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一．选择题：BCDA DACC解析：1．由210x-≥得0x ≥，[0,)A ∴=+∞，故选B ．2．由(12)1ai i bi +=-得1,12a b ⇒=-=-||a bi ⇒+==选C ． 3．设(,)B x y ，由3AB a =得1659x y +=⎧⎨-=⎩，所以选D ．4．由129m a a a a =+++得5(1)93637m d a d m -==⇒=，选A ．5．依题意可知该几何体的直观图如右上图，其体积为.3112322111323-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选D. 6．令()ln(1)g x x x =-+，则1'()111xg x x x =-=++，由'()0,g x >得0,x >即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，由'()0g x <得10x -<<，即函数()g x 在(1,0)-上单调递减，所以当0x =时，函数()g x 有最小值，min ()(0)0g x g ==，于是对任意的(1,0)(0,)x ∈-+∞，有()0g x ≥，故排除B 、D,因函数()g x 在(1,0)-上单调递减，则函数()f x 在(1,0)-上递增，故排除C,所以答案选A.7．四名学生中有两名分在一所学校的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被分在同一所学校的有33A 种，所以不同的安排方法种数是23343330C A A -=．故选C .8. 因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++，故5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”2.老人们都笑了，自巨石上起身。
而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。
3.石村不是很大，男女老少加起来能有三百多人，屋子都是巨石砌成的，简朴而自然。
81i i a =∑128111111()()()()()()34451011a a a f f f f f f =+++=-+-++-111131()()()()31111314f f f f -=-==⨯-，故选C.二．填空题：9.10. 43200x y --=；11.34；12. 1a >（或1(,)2a ∈+∞）；13.2； 14. cos sin 20ρθρθ+-=（或cos()4πρθ-=；15. .解析：9．依题意得3a =，则4tan a π=4tan3π= 10．双曲线221916x y -=的右焦点为(5,0)，渐近线的方程为43y x =±，所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=． 11．两个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为12p =，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：2131(1)4P p =--=12．由“∃)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ”是真命题，得(0)(1)0f f ⋅<⇒ (12)(4||21)0a a a --+<0(21)(21)0a a a ≥⎧⇔⎨+->⎩或0(61)(21)0a a a <⎧⎨--<⎩⇒12a>13．令,x y u y v +==，则点(,)Q u v 满足01,0 2.u v u ≤-≤⎧⎨≤≤⎩，在uov 平面内画出点(,)Q u v 所构成的平面区域如图，易得其面积为2.14．把)4πρθ=-化为直角坐标系的方程为2222x y x y +=+，圆心C 的坐标为（1，1），与直线OC 垂直的直线方程为20,x y +-=化为极坐标系的方程为cos sin20ρθρθ+-=或cos()4πρθ-15.依题意知30DBA ∠=,则AD=2，过点D 作DG AB ⊥于G ，则AG=BE=1，所以BF = 三．解答题： 16．解：（1）函数()f x 要有意义，需满足：cos 0x ≠，解得,2x k k Z ππ≠+∈，------------2分5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”2.老人们都笑了，自巨石上起身。
而那些身材健壮如虎的成年人则是一阵笑骂，数落着自己的孩子，拎着骨棒与阔剑也快步向自家中走去。
3.石村不是很大，男女老少加起来能有三百多人，屋子都是巨石砌成的，简朴而自然。
即()f x 的定义域为{|,}2x x k k Z ππ≠+∈-------------------------------------4分（2）∵1)4()cos x f x xπ-=122)22cos x x x =1cos 2sin 2cos x xx +-=--------6分22cos 2sin cos cos x x xx -= 2(cos sin )x x =--------------------------------------------------8分由4tan 3α=-，得4sin cos 3αα=-, 又22sin cos 1αα+=∴29cos 25α=，∵α是第四象限的角∴3cos 5α=，4sin 5α=----------------------10分∴14()2(cos sin )5f ααα=-=．-----------------------------------------------------------12分17. 解：（1）设A 表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为25，------------------------------2分故2232336()()55125P A C =⨯=. ------------------------------------------5分(2)ξ可能的取值为0，1，2，3．----------------------------------6分P (ξ＝0)＝C 24C 25·C 23C 25＝18100＝950， P (ξ＝1)＝C 14C 25·C 23C 25＋C 24C 25·C 13·C 12C 25＝1225，P (ξ＝2)＝C 14C 25·C 13·C 12C 25＋C 24C 25·C 22C 25＝1550， P (ξ＝3)＝C 14C 25·C 22C 25＝125．-----------------------------10分ξ的分布列为分数学期望为E ξ＝1×1225+2×1550+3×125=1.2．-------------------------------------------------------12分18．解：（1）13a =，23a c =+，333a c =+， --------------------------------1分5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
”6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
”7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。
9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。
1.“噢，居然有土龙肉，给我一块！”2.老人们都笑了，自巨石上起身。