专题探究课二--中学生数学竞赛中三角函数问题的热点题型
三角函数竞赛试题与方法
三角函数竞赛试题与方法二、方法与例题 1．结合图象解题。
例1 求方程s inx =lg |x |的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y =s inx 与y =lg |x |的图象（见图），由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x ∈(0, π), 试比较co s(s inx )与s in (co s x )的大小。
【解】 若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈ππ,2x ，则co s x ≤1且co s x >-1，所以co s ⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈0,2πx ，所以s in (co s x ) ≤0,又0<s inx ≤1, 所以co s(s inx )>0，所以co s(s inx )>s in (co s x ). 若⎥⎦⎤⎝⎛-∈2,0πx ，则因为s inx +co s x =2cos 22sin 222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x (s inxco s 4π+s in 4πco s x )=2s in (x +4π)≤2<2π， 所以0<s inx <2π-co s x <2π， 所以co s(s inx )>co s(2π-co s x )=s in (co s x ).综上，当x ∈(0,π)时，总有co s(s inx )<s in (co s x ).例3 已知α，β为锐角，且x ·（α+β-2π）>0，求证：.2sin cos sin cos <⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛xxαββα【证明】 若α+β>2π，则x >0，由α>2π-β>0得co s α<co s(2π-β)=s in β,所以0<βαsin cos <1，又s in α>s in (2π-β)=co s β, 所以0<αβsin cos <1，所以.2sin cos sin cos sin cos sin cos 0=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛αββααββαxx若α+β<2π，则x <0，由0<α<2π-β<2π得co s α>co s(2π-β)=s in β>0, 所以βαsin cos >1。
全国高中数学竞赛专题-三角函数
全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是数学中的一个重要分支，它与三角学和几何学密切相关，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在全国高中数学竞赛中，三角函数是一个常见的考点，掌握好相关知识对于获得好的成绩至关重要。
首先，我们来介绍一下三角函数的基本概念。
在直角三角形中，定义了三个基本三角函数：正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
这些函数的值与直角三角形的各边长之间的关系密切相关，可以通过三角函数表格或计算器查到具体的数值。
接着，我们来讨论一下三角函数的性质和相关公式。
首先是奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)；正切函数的奇偶性与正弦函数相同，即tan(-x)=-tan(x)。
其次是周期性。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)；正切函数的周期是π，即tan(x+π)=tan(x)。
最后是相关公式。
三角函数之间有一系列的相关公式，如正弦函数和余弦函数之间的勾股定理：sin^2(x) + cos^2(x) = 1；另外还有和差公式、积化和差公式等。
在解题过程中，掌握好三角函数的这些性质和公式，是非常重要的。
很多题目需要在使用相关公式的基础上，灵活运用三角函数的性质，进行合理的转化和变形。
这不仅要求对三角函数的概念有深刻的理解，还需要通过大量的练习和思考，掌握一些解题的技巧和方法。
此外，在解题过程中，还需要掌握一些常见三角函数的特殊值。
例如，sin0=0，sinπ/6=1/2，sinπ/4=√2/2，sinπ/3=√3/2等。
对于这些特殊值的掌握，有助于简化计算和验证答案。
最后，我们来介绍一些常见的三角函数应用题。
在数学竞赛中，三角函数的应用题常常涉及到几何问题、物理问题以及实际生活中的应用问题。
比如，在几何问题中，可以根据角度和边长给出的条件，计算出未知边长或角度的值。
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳三角函数是数学中的一个重要分支，在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。
下面我们来详细归纳一下三角函数的知识点和常见题型。
一、三角函数的基本概念1、角的概念角可以分为正角、负角和零角。
按旋转方向，逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角，没有旋转的角为零角。
2、弧度制把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角。
用弧度作为单位来度量角的制度叫做弧度制。
弧度与角度的换算公式为：180°＝π 弧度。
3、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为(x, y)，它与原点的距离为 r(r ＝√（x²＋ y²) ＞ 0)，则角α的正弦、余弦、正切分别为：sinα ＝ y/r，cosα ＝ x/r，tanα ＝ y/x（x ≠ 0）。
4、三角函数线有正弦线、余弦线、正切线，它们分别是角α的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标、纵坐标与横坐标的比值。
二、同角三角函数的基本关系1、平方关系：sin²α ＋cos²α ＝ 12、商数关系：tanα ＝sinα/cosα三、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
例如：sin(π ＋α) ＝sinα，cos(π α) ＝cosα 等。
四、三角函数的图象和性质1、正弦函数 y ＝ sin x图象：是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ ＋π/2（k∈Z），对称中心为(kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π/2 ＋2kπ, π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递增，在π/2 ＋2kπ, 3π/2 ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
2、余弦函数 y ＝ cos x图象：也是一条波浪形曲线，周期为2π，对称轴为 x ＝kπ（k∈Z），对称中心为(π/2 ＋kπ, 0)（k∈Z）。
性质：在π ＋2kπ, 2kπ（k∈Z）上单调递增，在2kπ, π ＋2kπ（k∈Z）上单调递减。
初中三角函数题型及解题方法
初中三角函数题型及解题方法在初中数学学科中，三角函数的学习与应用非常重要，尤其是在三角函数的解题方法上。
本文就三角函数的解题方法进行讲解，以帮助学生掌握这个重要的数学知识，提升解题能力。
一、三角函数的概念在数学中，三角函数指的是一种特定函数，它以三角形的边和角为参数，并以边长或角度大小为自变量，求出的函数值。
换句话说，它是一种把三角形的一些参数变成函数的一种方式，可以根据不同情况进行几何性的分析。
比如道格拉斯三角函数（如 sinx,cosx,tanx 等），它们的参数是角的值，而三角形应用函数（如sinx，cosx，tanx 等），它们的参数是角的值，可以用来表示三角形的形状或变换。
二、三角函数的特点1、三角函数有其独特的特点，它比普通函数具有更丰富的变化特性，其分析过程也更为复杂，更加充实。
2、三角函数具有不变形特性（无论斜边或角度的变化，它的函数值保持不变），可提高算的精度和方便解题的难度。
3、三角函数还可以帮助我们解答许多实际问题，是数学分析中不可缺少的重要知识之一。
三、三角函数的解题方法（1）解决问题的关键是要理解三角函数的基本函数，比如反三角函数的定义、变换规律以及其应用。
（2）要注意问题中出现的连续性和不变形性，以及需要用到的三角函数和反三角函数的变换规律。
（3）比较全面地分析问题，根据三角函数的变换规律，结合实际情况进行推断，在此基础上解决问题。
（4）实际解题中，要注意把握细节，一定要全面考虑问题的背景条件，把解决问题的方法与实际结合起来，才能得出正确且完整的答案。
四、结语三角函数是初中数学课堂中一个非常重要的知识点，在课堂中学生要掌握三角函数基本概念、特点以及解题方法，才能更好地学习它，并能在解题中发挥作用。
最后，鼓励学生要认真研究三角函数，逐渐掌握其基本知识，熟练掌握解题方法，提升解题技巧，这样才能正确理解三角函数，解决问题，在初中数学学习上取得更大的进步。
三角函数知识点及题型归纳
三角函数知识点及题型归纳一、三角函数的基本概念三角函数是数学中重要的函数类型，它们在几何、物理等领域有着广泛的应用。
首先，角的概念是基础。
我们把平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。
角可以用弧度制或角度制来度量。
弧度制是用弧长与半径之比来度量角的大小，公式为：弧长\（l ＝r\theta\），其中\（r\）为半径，＼（＼theta\）为圆心角的弧度数。
接下来是三角函数的定义。
在平面直角坐标系中，设点\（P(x,y)＼）是角\（＼alpha\）终边上非原点的任意一点，＼（r ＝＼sqrt{x^2 ＋y^2}＼），则有正弦函数\（＼sin\alpha ＝＼frac{y}｛r}＼），余弦函数\（＼cos\alpha ＝＼frac{x}｛r}＼），正切函数\（＼tan\alpha ＝＼frac{y}｛x}（x ＼neq 0)＼）。
二、三角函数的基本性质1、周期性正弦函数和余弦函数的周期都是\（2\pi\），正切函数的周期是\（＼pi\）。
2、奇偶性正弦函数是奇函数，即\（＼sin(＼alpha) ＝＼sin\alpha\）；余弦函数是偶函数，即\（＼cos(＼alpha) ＝＼cos\alpha\）。
3、单调性正弦函数在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增，在\（＼frac{＼pi}｛2} ＋ 2k\pi, ＼frac{3\pi}｛2} ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减；余弦函数在\（2k\pi, ＼pi ＋2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递减，在\（＼pi ＋ 2k\pi, 2\pi ＋ 2k\pi(k ＼in Z)＼）上单调递增；正切函数在\（（＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi, ＼frac{＼pi}｛2} ＋ k\pi)（k ＼in Z)＼）上单调递增。
三角函数基本题型及解题方法
三角函数基本题型及解题方法三角函数基本题型及解题方法对于三角函数的问题，特别是一些创新型问题，对大多数同学来说可能会感到陌生。
这些问题主要考查学生对于重要数学思想和方法的掌握以及在考试时对自己心态的调整。
但是，我们可以使用特殊化方法来解决这些问题。
特殊化方法的解题依据是，题目所叙述的一般情形成立，则对特殊情形也应该成立。
若不成立，则必然选项是错误的。
特殊化方法一般有赋特殊值、特殊函数等。
一、单调性类问题例11）若A、B是锐角三角形ABC的两个内角，则点P(cosB-sinA。
sinB-cosA)在哪个象限？选项为A、B、C、D。
2）设α、β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是？选项为A、B、C、D。
分析：这是依托基本的几何图形三角形，创新型的考查三角函数的单调性等重要性质的题目。
常规解法运算繁杂，用特殊化方法则可出奇制胜。
对于（1），赋A=B=60°，可知选B；对于（2），赋α=β=30°，可知选D。
例2若A、B、C是△XXX的三个内角，且A<B<C(C≠π/2)，则下列结论中正确的是哪个？选项为A、B、C、D。
分析：赋A=30°，B=70°，C=80°，可知B、D错；赋A=30°，B=50°，C=100°，知C错。
故选A。
例3函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数？选项为A、B、C、D。
分析：所给函数的定义域显然是R，又令f(x)=xcosx-sinx，则f(π/2)=f(3π/2)=-1，f(π)=-π，f(π/6)=1，f(2π)=2π。
如对选项A，x从π/3到2π/3，y从-1，-π到1，不符合题意，同理可排除C、D。
例4函数y=2sin(π/6-2x)(x∈[0,π])为增函数的区间是哪个？选项为A、B、C、D。
分析：只需考虑区间端点处的函数值，有①x=0，y=1；②x=π/12，y=√3/2；③x=π/3，y=-2；④x=5π/6，y=1.可知选项B为正确答案。
全国高中数学竞赛专题-三角函数
全国高中数学竞赛专题-三角函数三角函数是高中数学中的重要内容，也是数学竞赛中常考的考点之一、掌握好三角函数相关的知识，在竞赛中起到事半功倍的效果。
本文将从基本概念、常用公式、性质以及解题方法等几个方面全面介绍三角函数在数学竞赛中的应用。
首先，我们来了解一下基本概念。
在直角三角形中，三角函数是指与一个锐角的对边、邻边和斜边之间的关系。
其中，正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）是最常用的三种三角函数。
它们分别表示为sinθ、cosθ和tanθ，其中θ是一个锐角。
在解题时，我们常常需要利用这些基本概念进行推导和计算。
其次，我们要掌握一些常用的三角函数公式。
比如，角的加减关系公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβcos(α±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβtan(α±β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)这些公式可以帮助我们更方便地计算复杂的三角函数式子。
此外，还有一些特殊角的值，如0°、30°、45°、60°和90°等。
熟记这些特殊角的三角函数值对于解题时的计算非常重要。
然后，我们要了解一些三角函数的性质。
三角函数的定义域是实数集R，值域是[-1,1]。
另外，正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，正切函数在一个周期内有无穷多个零点。
最后，我们来谈一谈解题方法。
在解三角函数的题目时，我们首先要根据题目给出的条件建立方程，然后进行简化和变形，最终求解出未知量。
常见的解题方法有两角和差的公式、倍角公式、半角公式和三角恒等式等。
我们在解题时要熟练运用这些公式，灵活选择适合题目情况的公式来求解。
除此之外，我们还可以利用三角函数的图像性质来解题。
通过观察函数图像的变化规律，可以快速找到题目中所求的解。
因此，熟悉和掌握基本的函数图像是十分必要的。
三角函数大题常考题型
三角函数大题常考题型一、引言三角函数是高中数学中非常重要的概念之一，也是数学建模与应用中常用的工具之一。
三角函数大题在高中数学考试中经常出现，对学生的理解与运用能力提出了很高的要求。
本文将从定义、基本性质、常见题型和解题技巧等方面，对三角函数大题进行全面、详细、完整且深入地探讨，帮助读者更好地理解和应对该题型。
二、三角函数的定义三角函数由单位圆上一点的坐标值定义，分为正弦函数(sin)、余弦函数(cos)、正切函数(tan)、余切函数(cot)、正割函数(sec)和余割函数(csc)六个。
其定义如下：1.正弦函数(sin)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值；2.余弦函数(cos)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值；3.正切函数(tan)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值除以x坐标值；4.余切函数(cot)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值除以y坐标值；5.正割函数(sec)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的x坐标值的倒数；6.余割函数(csc)：在单位圆上，点P在终边的位置对应的y坐标值的倒数。
三、基本性质三角函数有许多重要的基本性质，下面我们将简要介绍其中的一些：1. 周期性正弦函数和余弦函数的周期都是2π，即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)和cos(x+2π)=cos(x)成立。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数没有周期。
2. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数都是既不奇也不偶的。
3. 对称性正弦函数的图像关于y轴对称，即sin(-x)=-sin(x)，而余弦函数的图像关于x轴对称，即cos(-x)=cos(x)。
而正切函数、余切函数、正割函数和余割函数都没有对称性。
4. 定义域和值域正弦函数和余弦函数的定义域是全体实数，值域是闭区间[-1,1]；正切函数和余切函数的定义域是全体实数，值域是实数集合；正割函数的定义域是实数集合，值域是(-∞,-1]∪[1,∞)，而余割函数的定义域是实数集合，值域是(-∞,-1]∪[1,∞)。
高考数学(理)专题辅导：热点探究训练2 三角函数与解三角形中的高考热点问题 Word版含解析
热点探究训练(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题1．(·江苏高考)在△ABC 中，AC ＝6，cos B ＝45，C ＝π4. (1)求AB 的长； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6的值．[解] (1)因为cos B ＝45，0<B <π， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. 2分由正弦定理知AC sin B ＝ABsin C ， 所以AB ＝AC ·sin Csin B ＝6×2235＝5 2.5分(2)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C )， 于是cos A ＝－cos(B ＋C )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4. 7分又cos B ＝45，sin B ＝35，故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210. 9分 因为0<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210. 因此，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620.12分 2．(·山东高考)设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6的值．[解] (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，3分由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).6分(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3－1，8分把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋3－1的图像，再把得到的图像向左平移π3个单位， 得到y ＝2sin x ＋3－1的图像， 即g (x )＝2sin x ＋3－1， 所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3.12分3．设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值．[解] (1)由题意知f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.2分由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ； 3分 由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .4分 所以f (x )的递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )，递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π，(k ∈Z ). 5分 (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12，由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32. 7分 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，9分 即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时等号成立． 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.12分 4．(·郑州二次质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2C －cos 2A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋C ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C .(1)求角A 的值；(2)若a ＝3且b ≥a ，求2b －c 的取值范围．【导学号：57962189】[解] (1)由已知得2sin 2A －2sin 2C ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos 2C －14sin 2C ， 3分化简得sin A ＝32，故A ＝π3或A ＝2π3.5分 (2)由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝asin A ＝2，得b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 7分故2b －c ＝4sin B －2sin C ＝4sin B －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B＝3sin B －3cos B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6. 9分因为b ≥a ，所以π3≤B <2π3，π6≤B －π6<π2， 所以2b －c ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6∈[3，23).12分。
专题讲座——三角函数高考常见题型
三角函数高考常见题型三角函数大题难度一般不大，但其战略意义重大，所以稳拿该题12分对学生至关重要。
分析近年高考试卷，可以发现，三角解答题多与平面向量综合在一起，且向量为辅，三角为主，主要有以下三类：一、运用同角三角函数关系、诱导公式、和、差、倍、半、辅助角等公式进行化简求值类。
例1 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin ),[,]22222x x x x x ππ==-∈且a b 。
（1）若||+>a b ，求x 的取值范围；（2）函数()||f x =⋅++a b a b ，若对任意12,[,]2x x ππ∈，恒有12|()()|f x f x t -<,求t 的取值范围。
二、运用三角函数性质解题，通常考查正弦、余弦函数的单调性、周期性、最值、对称轴及对称中心。
例 2 若,0),(cos ,sin ),0x x x ωωωω==->m n ，在函数()()f x t =⋅++m m n 的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为4π，且当[0,]3x π∈时，()f x 的最大值为1。
（1）求函数()f x 的解析式； （2）若()[0,]f x x π=∈，求实数x 的值。
例3 已知向量α(sin =, )21-，1(=, )cos 2α，51=⋅，)2,0(πα∈ （1）求ααsin 2sin 及的值；（2）设函数x x x f 2cos 2)22sin(5)(+++-=απ])2,24[(ππ∈x ，求x 为何值时，)(x f 取得最大值，最大 值是多少，并求)(x f 的单调增区间。
例4 设向量]2,0[),23cos ,23(sin ),2sin ,2(cos π∈==x x x b x x a 向量. （Ⅰ）求||+⋅及； （Ⅱ）若函数||2)(x f ++⋅=，求)(x f 的最小值、最大值.三、解三角形问题，判断三角形形状，正余弦定理的应用。
高中数学三角函数七大热点题型应用及解题方法汇总，精辟，可细学
高中数学三角函数七大热点题型应用及解题方法汇总，精辟，
可细学
在高考中，数学常见常考点的一些题型中，高中数学三角函数的考法非常普遍！而且通常会是中等题型，所以，如果需要学好高中数学，提高数学成绩，这三角函数的知识点就务必要好好学习，清晰的掌握好其中的公式原理！
三角函数最重要的学习就是学生一定要掌握，熟背好公式，及其原理，由易到难，并且要多多总结解题的思路和方法，对于难度比较大的题目，可以准备一个错题本，做一个总结，特别是历年的高考真题。
下面是我们高中数学80个热点难点大全中关于热点题型应用及解题方法汇总，这几种题型都是高中数学三角函数部分的知识点的考查题型，同学们一定要做一个重点把握哦。
其中包括的热点有：
专题21 三角函数值--角未知也要求、专题22 函数的一大要素的解析式的求解、专题23 三角函数公式的正用、逆用与变用，题24 三角函数的图像和性质的“磨合”、专题25 利用正（余）弦定理破解解三角形问题、专题26 三角形中的范围问题你处理好了吗、专题27 实际问题中的解三角形问题
下面以其中一个三角函数求值的几种题型应用为具体例子！。
三角函数的题型及解题方法
三角函数的题型及解题方法
1．转化思想
转化思想贯穿于本章的始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．
2．数形融合思想
本章从概念的引出到公式的推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的`思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．
3．函数思想
锐角的正弦、余弦、正切、余切都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．
4．方程思想
在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．。
全国高中数学竞赛专题-三角函数
三角恒等式与三角不等式一、基础知识定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L ，则其弧度数的绝对值|α|=rL,其中r 是圆的半径。
定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x 轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P ，设它的坐标为（x ,y ），到原点的距离为r,则正弦函数s in α=r y,余弦函数co s α=r x ,正切函数tan α=x y ，余切函数cot α=y x ，正割函数se c α=xr,余割函数c s c α=.y r定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tan α=αcot 1,s in α=αcsc 1，co s α=αsec 1；商数关系：tan α=αααααsin cos cot ,cos sin =； 乘积关系：tan α×co s α=s in α,cot α×s in α=co s α； 平方关系：s in 2α+co s 2α=1, tan 2α+1=se c 2α, cot 2α+1=c s c 2α.定理2 诱导公式（Ⅰ）s in (α+π)=-s in α, co s(π+α)=-co s α, tan (π+α)=tan α, cot (π+α)=cot α;（Ⅱ）s in (-α)=-s in α, co s(-α)=co s α, tan (-α)=-tan α, cot (-α)=cot α;（Ⅲ）s in (π-α)=s in α, co s(π-α)=-co s α, tan =(π-α)=-tan α, cot (π-α)=-cot α;（Ⅳ）s in ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=co s α, co s ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2=s in α, tan ⎪⎭⎫⎝⎛-απ2=cot α（奇变偶不变，符号看象限）。
专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型
专题探究课二 高考中三角函数问题的热点题型1.(2017·昆明调研)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的部分图象如图所示.(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12上最大值和最小值. 解 (1)由题得，f (x )的最小正周期为π，y 0＝3.当y 0＝3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π6＝1， 由题干图象可得2x 0＋π6＝2π＋π2，解得x 0＝7π6.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，－π12， 所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，0. 于是：当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.2.(2017·郑州模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a sin 2B ＝3b sin A .(1)求B ；(2)若cos A ＝13，求sin C 的值.解 (1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B ，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin 2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，又B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos B ＝32，得B ＝π6.(2)由cos A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝223，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )，所以sin C ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6 ＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.3.(2017·西安调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＋2sin 2ωx 2(ω＞0)，已知函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c (其中b ＜c )，且f (A )＝32，△ABC 的面积为S ＝63，a ＝27，求b ，c 的值.解 (1)f (x )＝32sin ωx ＋12cos ωx ＋1－cos ωx＝32sin ωx －12cos ωx ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1. ∵函数f (x )的图象的相邻两对称轴间的距离为π，∴函数f (x )的周期为2π.∴ω＝1.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋1. (2)由f (A )＝32，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12. 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.∵S ＝12bc sin A ＝63，∴12bc sin π3＝63，bc ＝24，由余弦定理，得a 2＝(27)2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝b 2＋c 2－24.∴b 2＋c 2＝52，又∵b ＜c ，解得b ＝4，c ＝6.4.(2016·济南名校联考)已知函数f (x )＝sin ωx ＋23cos 2ωx 2＋1－3(ω＞0)的周期为π.(1)求f (x )的解析式并求其单调递增区间；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位长度，再向左平移φ(φ＞0)个单位长度得到函数h (x )的图象，若h (x )为奇函数，求φ的最小值.解 (1)f (x )＝sin ωx ＋23cos 2ωx 2＋1－3＝sin ωx ＋23×1＋cos ωx 2＋1－ 3 ＝sin ωx ＋3cos ωx ＋1＝2sin(ωx ＋π3)＋1.又函数f (x )的周期为π，因此2πω ＝π，∴ω＝2.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ). (2)由题意可知h (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋φ）＋π3， 又h (x )为奇函数，则2φ＋π3＝k π， ∴φ＝k π2－π6(k ∈Z ).∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π3.5.已知△ABC 中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(2sin B ，－3)，n ＝(cos 2B ，2cos 2B 2－1)，且m ∥n .(1)求锐角B 的大小；(2)如果b ＝2，求S △ABC 的最大值.解 (1)∵m ∥n ，∴2sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2B 2－1＝－3cos 2B ， ∴sin 2B ＝－3cos 2B ，即tan 2B ＝－ 3.又∵B 为锐角，∴2B ∈(0，π)，∴2B ＝2π3，∴B ＝π3.(2)∵B ＝π3，b ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得a 2＋c 2－ac －4＝0.又a 2＋c 2≥2ac ，代入上式，得ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立.故S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，即S △ABC 的最大值为 3.6.(2017·东北四市模拟)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝ (cos x ，1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值.解 (1)f (x )＝2 cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ). (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，又π3＜2A ＋π3＜7π3， ∴2A ＋π3＝π，即A ＝π3.∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.① ∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2.。
专题02 三角函数与解三角形热点问题(文理通用)(解析版)
2019高考数学（理）热点问题解题策略指导系列专题02 三角函数与解三角形热点问题【最新命题动向】三角函数不仅是数学的重要基础知识，同时也是解决其他问题的一种数学工具.高考命题者常在三角函数、解三角形和平面向量、数列等知识的交汇处命题.对三角函数与平面向量的考查，多以解答题的形式出现，难度中等.备考中注意与平面向量的加法、减法的几何意义，平行、垂直的条件以及数量积的定义相结合来寻找解题突破口，三角函数与数列相交汇时，常常用到数列的基本性质。
【热点一】解三角形与数列的综合问题【典例1】（2019年5月金华模拟卷理17）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos 2B ＋cos B ＝1－cos A cos C . (1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值．【审题示例】(1)根据正弦定理将角的问题转化为边的问题，由数列的概念得证； (2)利用均值不等式解决三角形中的面积最值问题．【规范解答】(1)证明：在△ABC 中，cos B ＝－cos(A ＋C )．由已知，得(1－sin 2B )－cos(A ＋C )＝1－cos A cos C ，........................................................................(2分) ∴－sin 2B －(cos A cos C －sin A sin C )＝－cos A cos C ，.......................................................................(3分) 化简，得sin 2B ＝sin A sin C ．由正弦定理，得b 2＝ac ，∴a ，b ，c 成等比数列．.......................................................................................................................(5分) (2)由(1)及题设条件，得ac ＝4.(6分)则cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，..............................................................................(8分)当且仅当a ＝c 时，等号成立． ∵0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ≤1－⎝⎛⎭⎫122＝32.∴S △ABC ＝12ac sin B ≤12×4×32＝ 3...................................................................................................(11分)∴△ABC 的面积的最大值为 3...........................................................................................................(12分)【知识点归类点拔】纵观近年的高考试题，许多新颖别致的三角函数解答题就是以数列为出发点设计的．在这类试题中数列往往只是起到包装的作用，实质是考查考生利用三角函数的性质、三角恒等变换与正、余弦定理来解决问题的能力．解决这类问题的基本思路是脱掉数列的外衣，抓住问题的实质，选择合理的解决方法，灵活地实现问题的转化．【跟踪训练1】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，已知a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a 、b 、c 成等差数列； (2)若B ＝π3，S ＝43，求b .解：(1)证明：由正弦定理，得sin A cos 2C 2＋sin C cos 2A 2＝32sin B ，...............................................................................................(1分)即sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝32sin B ，..................................................................................(2分)∴sin A ＋sin C ＋sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B . ..............................................................................................(4分) ∵sin(A ＋C )＝sin B ，∴sin A ＋sin C ＝2sin B ，即a ＋c ＝2b ，∴a 、b 、c 成等差数列．.................................................................................................................(6分) (2)∵S ＝12ac sin B ＝34ac ＝43，∴ac ＝16.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ， 由(1)得a ＋c ＝2b ，∴b 2＝4b 2－48，∴b 2＝16，即b ＝4. ......................................................................................................................(12分)【热点二】三角函数的图像和性质【典例2】(2016·山东卷)设f (x )＝23sin (π－x )sin x －(sin x －cos x )2.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移π3个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值．【审题示例】(1)将f (x )化为A sin (ωx ＋φ)＋b 的形式后，利用y ＝sin x 的单调递增区间得出关于x 的不等式，不等式的解集即为所求；(2)根据三角函数图像变换的方法，得出y ＝g (x )的图像对应的解析式，再进行计算．【规范解答】解：(1)f (x )＝23sin (π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1…………………………………………………………………………………..(3分) 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．……………………………………………….(6分) (2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图像， 再把得到的图像向左平移π3个单位，得到y ＝2sin x ＋3－1的图像，即g (x )＝2sin x ＋3－1…………………………………………………………………………………..(9分) 所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝3………………………………………………………………………...(12分) 【防失误】化a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)时φ的求法： ①tan φ＝ba；②φ所在象限由(a ，b )点确定．【知识点归类点拔】利用辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin (x ＋φ)，把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k的函数化为一个角的一种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴对称中心等．其一般步骤：第一步：将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式； 第二步：构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝⎛⎭⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2； 第三步：和差公式逆用f (x )＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)(其中φ为辅助角)； 第四步：利用f (x )＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)研究三角函数的性质； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范． ① 化简时公式的准确应用是灵魂；②②研究三角函数性质时注意整体思想的应用．【跟踪训练2】(2019·合肥市模拟)已知函数f (x )＝3sin x cos x －12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3. (1)求函数f (x )图像的对称轴方程；(2)将函数f (x )图像向右平移π4个单位，所得图像对应的函数为g (x )．当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数g (x )的值域． 解：(1)f (x )＝3sin x cos x －12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.................................(4分) 令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z 解得x ＝π3＋k π2................................................................................................(5分)∴函数f (x )图像的对称轴方程为x ＝π3＋k π2，k ∈Z ；...........................................................................(6分)(2)把f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图像向右平移π4个单位， 可得．g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3......................................................................................................................(7分) ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－2π3，π3， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3∈⎣⎡⎦⎤－12，34，..................................................................................................(10分) 即当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，函数g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－12，34热点3 三角变换与解三角形的综合................(12分) 【热点三】三角变换与解三角形的综合【典例3】(2019·浙江模拟)在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求∠B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值．【审题示例】第(1)问条件中有边的平方和边的乘积，显然用余弦定理求解；第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式，再注意角的取值范围，问题得解．【规范解答】解：(1)由余弦定理及题设，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22……………………………………………………………………….(3分)又因为0<∠B <π，所以∠B ＝π4………………………………………………………………………….(5分)(2)由(1)知∠A ＋∠C ＝3π4.(7分) 2cos A ＋cos C ＝2cos A ＋cos ⎝⎛⎭⎫3π4－A ＝2cos A －22cos A ＋22sin A ＝22cos A ＋22sin A ＝cos ⎝⎛⎭⎫A －π4……………………………………………………………………...(10分) 因为0<∠A <3π4，所以当∠A ＝π4时，2cos A ＋cos C 取得最大值1……………………………….(12分)【知识点归类点拔】三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．【跟踪训练3】已知在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且⎝⎛⎭⎫b －c 2sin B ＋⎝⎛⎭⎫c －b2sin C －a sin A ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，求b ＋c 的取值范围．解：(1)因为⎝⎛⎭⎫b －c 2sin B ＋⎝⎛⎭⎫c －b 2sin C －a sin A ＝0，由正弦定理，得⎝⎛⎭⎫b －c 2b ＋⎝⎛⎭⎫c －b2c －a 2＝0， 化简得b 2＋c 2－a 2－bc ＝0，................................................................(4分) 即cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ＝π3.................................................................(6分)(2)由正弦定理，可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝3sin π3＝2，所以b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，.......................(7分)b ＋c ＝2(sin B ＋sin C )＝2⎣⎡⎦⎤sin B ＋sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝2⎝⎛⎭⎫sin B ＋32cos B ＋12sin B ＝3sin B ＋3cos B＝23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6.......................................................................................................................................(10分) 因为0<B <2π3，所以π6<B ＋π6<5π6，即12<sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6≤1，所以b ＋c ∈(]3，23.................................................................(12分) 【热点四】平面几何中的三角函数求值【典例4】(2018·全国Ⅰ卷理17)在平面四边形ABCD 中，∠ADC ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝2，BD ＝5.(1)求cos ∠ADB ； (2)若DC ＝22，求BC .【规范解答】解：如图：(1)在△ABD 中，由正弦定理得：5sin 45°＝2sin ∠ADB， ∴sin ∠ADB ＝25，…………………………………………………………………………………….(3分) ∵∠ADB <90°，∴cos ∠ADB ＝1－sin 2∠ADB ＝235………………………………………………..(5分) (2)∠ADB ＋∠BDC ＝π2，∴cos ∠BDC ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－∠ADB ＝sin ∠ADB ，……………………………………………………….(6分) ∴cos ∠BDC ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－∠ADB ＝sin ∠ADB ，…………………………………………………(8分) ∴cos ∠BDC ＝DC 2＋BD 2－BC 22·BD ·DC ，…………………………………………………………………(10分)∴25＝8＋25－BC22·5·25.∴BC ＝5……………………………………………………………………….(12分) 【知识点归类点拔】平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想．【跟踪训练4】(2019·甘肃模拟)如图，在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC＝53，CD＝5，BD＝2AD.(1)求AD的长；(2)求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，因为BD＝2AD，设AD＝x(x>0)，则BD＝2x.在△BCD中，因为CD⊥BC，CD＝5，BD＝2x，所以cos∠CDB＝CDBD＝52x.............................................................................................................(2分)在△ACD中，因为AD＝x，CD＝5，AC＝53，则cos∠ADC＝AD2＋CD2－AC22AD·CD＝x2＋52－(53)22x·5.因为∠CDB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADC＝－cos∠CDB，.................................................................................................(4分)即x2＋52－(53)22x×5＝－52x，解得x＝5，所以AD的长为5. ....................................................................................................(6分) (2)由(1)求得AB＝3x＝15，BC＝4x2－25＝53，所以cos∠CBD＝BCBD＝32，从而sin∠CBD＝12......................................................................(10分)所以S△ABC＝12AB·BC·sin∠CBA＝12×15×53×12＝7534.................................................................(12分)【热点五】三角函数与平面向量相结合【典例5】(2019·四川模拟)已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cos B，cos C)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的范围．【规范解答】解：(1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ， ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0.即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A ．…………………………………………………………….(4分) ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12.∵0＜B ＜π，∴B ＝2π3…………………………………………………………………………………(6分) (2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号．∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2…………………………………………………………………………….(10分) 又a ＋c >b ＝3，∴a ＋c ∈(3，2]．即a ＋c 的取值范围是(3，2]．……………………………(12分)【知识点归类点拔】(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题． (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响．本例中，易忽略x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2导致错解．【跟踪训练5】(2019·达州市模拟)已知向量a ＝(sin 2x ，cos 2x )，b ＝⎝⎛⎭⎫32，－12，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的周期；(2)在△ABC 中，f (A )＝12，AB ＝23，BC ＝2，求△ABC 的面积S .解：(1)由f (x )＝a ·b ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，................................................................(4分) ∴函数f (x )的周期T ＝2π2＝π；...........................................................................................................(5分) (2)由f (A )＝12，即sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝12， ∵0＜A ＜π，AB ＝c ＝23＞BC ＝a ＝2，∴A＝π6...............................................................................................................................................(8分)由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得sin C＝32，∵0＜C＜π，∴C＝π3或2π3................................................................................................................(10分)当C＝π3，则B＝π2，△ABC的面积S＝12ac sin B＝23，当C＝2π3，则B＝π6，△ABC的面积S＝12ac sin B＝ 3.................................................................(12分)。
初中数学竞赛：三角函数
初中数学竞赛：三角函数直角三角形中有两条直角边和一条斜边，从这三条边中适当取两条边可以得到不同的比，这些比值的大小显然只与直角三角形中锐角的大小有关，这佯便定义了直角三角形中锐角的三角函数(如图3－14)，常用的有：利用比例的变形并且结合勾股定理，可以从三角函数定义中推出同角三角函数间的关系式：(1)倒数关系tgα·ctgα=1；(2)商的关系(3)平方关系sin2α+cos2α=1．这些同角三角函数关系式对任意锐角都成立，它们在求值、化简以及三角式的变形中有着重要的应用．如图3-15所示，在直角三角形ABC中，∠A与∠B互为余角，根据三角函数定义不难得到互为余角的三角函数之间的关系：sinB=sin(90°-A)=cosA，cosB=cos(90°-A)=sinA，tgB=tg(90°-A)=ctgA，ctgB=ctg(90°-A)=tgA．上述四个公式可以概括为：一个锐角的余角的三角函数值，等于该锐角相应的余函数的函数值由图3－16可以看到，在直角三角形ABC中，如果斜边长度不变，当锐角A 增大时，sinA与tgA的值也随之增大，而cosA与ctgA的值随之减小．特别地，当A=0时，sin0=0，tg0=0，cos0=1，ctg0值不存在；当A=90°时，sin90°=1，tg90°值不存在，cos90°=0，ctg90°=0．由于一个角的正弦或余弦值等于直角边与斜边的比，而直角三角形的斜边总是大于直角边，所以，当α为锐角时，总有0＜sinα＜1，0＜cosα＜1．我们利用以上锐角三角函数的定义及性质，可以解决一些求值、化简以及等式证明等问题．例1 不查表，求15°的四种三角函数值．分析 30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，我们可以利用含有这些特殊角的直角三角形的几何性质及勾股定理直接推出．同样，15°角的三角函数值，也可以利用直角三角形的性质将其推出．解如图3－17所示．在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB到D，使BD=BA，则所以所以说明将15°角的三角函数求值问题，通过构造适当的三角形，将它转化为30°角的三角函数问题，这种将新的未知问题通过一定途径转化为旧的已解决了的问题的方法，是我们研究解决新问题的重要方法．根据互余三角函数关系式，我们很容易得到75°角的四种三角函数值．例2 比较下列各组三角函数值的大小：(1)sin19°与cos70°；(2)ctg65°与cos40°；(3)cos1°，tg46°，sin88°和ctg38°．分析 (1)利用互余角的三角函数关系式，将cos70°化为sin20°，再与sin19°比大小．(2)余切函数与余弦函数无法化为同名函数，但是可以利用某些特殊再将ctg65°，cos40°分别与ctg60°，cos45°比大小．(3)tg45°=1，显然cos1°，sin88°均小于1，而tg46°，ctg38°均大于1．再分别比较cos1°与sin88°，以及tg46°与ctg38°的大小即可．解 (1)因为cos70°=cos(90°-20°)=sin20°，而sin19°＜sin20°，所以sin19°＜cos70°．(2)因为所以 ctg60°＜cos45°，所以 ctg65°＜cos40°．(3)因为ctg38°=ctg(90°-52°)=tg52°，所以tg52°＞tg46°＞tg45°=1．因为cos1°=cos(90°-89°)=sin89°，所以sin88°＜sin89°＜1，所以ctg38°＞tg46°＞cos1°＞sin88°．说明比较三角函数值的大小，一般分为三种类型：(1)同名的两个锐角三角函数值，可直接利用三角函数值随角变化的规律，通过比较角的大小来确定三角函数值的大小．(2)互为余函数的两锐角三角函数值，可利用互余角的三角函数关系式化为同名三角函数，比较其大小．(3)不能化为同名的两个三角函数，可通过与某些“标准量”比大小，间接判断它们的大小关系，常选择的标准量有：0，1以及其他一些特殊角如30°，45°，60°的三角函数值．例3 化简求值：(1)tg1°·tg2°·tg3°·…·tg89°；分析 (1)因为tg89°=tg(90°-1°)=ctg1°，而tg1°·ctg1°=1，所以，可将连乘积中的第一个因式与倒数第一个因式相乘，结果为1．同样方法，将第二个因式与倒数第二个因式相乘，其积也是1．依次类推．(3)利用同角三角函数关系将正切函数化为正弦函数与余弦函数，再进一步化简求值．(4)将被开方式化为完全平方的形式，即1-2sin11°·cos11°=sin211°-2sin11°·cos11°+cos211°=(sin11°-cos11°)2．因为sin1l°＜cos11°，所以根式化简后得cos11°-sin11°．(5)根据tgα=3，求出sinα与cosα的值．也可以将所求分式的分子、分母同除以cos2α，将其化为用tgα表示的分式．解 (1)原式=tg1°·tg2°·tg3°·…·tg44°·tg45°·ctg44°·ctg43°·…·ctg3°·ctg2°·ctg1°=(tg1°·ctg1°)·(tg2°·ctg2°)·…·(tg44°·ctg44°)·tg45°=1·1·…·1=1．说明同角三角函数关系式以及互余两角三角函数关系式，在三角式变形、化简、求值及证明中是重要的依据．例4 设α是锐角，若求以tgα，ctgα为两根的一元二次方程．分析根据韦达定理，以tgα，ctgα为两根的一元二次方程是x2-(tgα+ctgα)x+tgα·ctgα=0，因此，解决问题的关键是求出tgα+ctgα的值．解由已知条件可得所以(1)当sinα=cosα时，tgα=ctgα=1，所求方程为x2-2x+1=0，所求方程为即4x2-9x+4=0．说明这是一道一元二次方程与三角函数相结合的综合题，应注意运用分析法、综合法，寻求解题途径．例5 设x2+y2=1，且x≠-1，y≠-2，求证：分析本题如果直接用代数方法，通过代数式的运算证明等式成立，比较复杂．根据已知条件x2+y2=1，联想到sin2α+cos2α=1，因此可设x=sinα，y=cos α，则将代数式转化为三角式，利用三角函数有关公式进行变形，这样会简便一些．证设x=sinα，y=cosα，则说明在一些代数等式的证明中，如果已知条件x2+y2=1或x2+y2=a(a＞0)，则可设从而将代数式转化为三角等式的证明问题，我们称这种转化为三角代换法．由于三角函数的公式较多，因此化为三角式后，运算化简常比较方便．练习十一3．求值：sin6α+cos6α+3sin2α·cos2α+4．4．求证：(1)sin(90°-A)ctg(90°-A)=sinA；(2)sinAcos(90°-A)+cosAsin(90°-A)=1；5．化简下列各式，并求出它们的值：(1)(sinA+cosA)2+(sinA-cosA)2；6．证明：sin2A·tgA+cos2A·ctgA+2sinA·cosA=tgA+ctgA．。
三角函数知识点及题型总结
三角函数知识点及题型总结
三角函数是数学中的一种基本概念，主要用于研究三角形的几何性质和三角函数的性质。
下面是三角函数的知识点和题型总结：
知识点：
1. 三角函数的定义：三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。
它们分别表示三角形中的角度与其对应的边长或高度之间的关系。
2. 三角函数的图像：正弦函数和余弦函数的图像呈周期性变化，余切函数和正切函数的图像呈双曲线形状。
三角函数的图像可以用来确定角度的大小和方向。
3. 三角函数的性质：三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等性质。
这些性质可以用来解决三角函数的相关问题。
题型总结：
1. 三角函数的定义和性质：这类题目主要考察对三角函数定义和性质的理解和掌握程度。
例如，给出一个角度和对应的边长或高度，要求计算该角度的正弦值、余弦值或正切值等。
2. 三角函数的图像：这类题目主要考察对三角函数图像的观察和理解能力。
例如，给定一个角度或一个角度范围，要求画出对应的三角函数图像。
3. 三角函数的应用：这类题目主要考察三角函数在实际问题中的应用能力。
例如，要求解决一个三角形的几何问题，需要利用三角函数的性质和图像来求解。
总之，三角函数是数学中的一个重要概念，需要掌握其定义、性质和图像，并能够在实际问题中灵活运用。
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专题探究课二--中学生数学竞赛中三角函
数问题的热点题型
三角函数是中学数学中的重要内容之一，也是中学生数学竞赛中经常涉及的题型之一。
本文将探讨中学生数学竞赛中三角函数问题的热点题型，以帮助学生更好地应对这类题目。
1. 正弦函数与余弦函数问题
1.1 角度转换
在数学竞赛中，经常出现要求将弧度转换为角度或者将角度转换为弧度的问题。
考生需要熟悉如何使用正弦函数和余弦函数的定义来进行转换，并灵活运用。
1.2 函数图像
理解正弦函数和余弦函数的函数图像是解题的关键。
考生需要熟悉函数图像的特点，如振幅、周期、相位等，并能利用这些特点解决各种类型的问题。
1.3 同角三角函数的关系
正弦函数、余弦函数与其他三角函数之间存在一定的关系，如正切函数、余切函数等。
考生需要了解这些关系，并能够利用它们简化计算、求解方程等。
2. 三角恒等式与方程
2.1 基本恒等式
三角函数的基本恒等式是解题中常用的工具，如正弦函数的和差公式、倍角公式、半角公式等。
考生需要熟悉这些恒等式的推导和应用，并能够利用它们求解各类三角函数方程。
2.2 复杂方程与恒等式的转化
在数学竞赛中，有时会出现较为复杂的三角函数方程或者恒等式，考生需要能够灵活运用恒等式的性质将其转化为较为简单的形式，从而更好地解决问题。
2.3 解三角形
三角函数的性质可以用来解决三角形相关的问题，如求解三角
形的边长、角度等。
考生需要了解三角形的基本概念和性质，并能
够运用三角函数解决各类三角形问题。
3. 应用题型
数学竞赛中的应用题目常常涉及到三角函数的应用，如航空、
导航、建筑等领域。
考生需要能够理解问题背景，灵活运用三角函
数的概念和性质解决实际问题，并能够给出合理的解释和推理过程。
总结
中学生数学竞赛中三角函数问题是较为常见的题型，要解决这
类问题，考生需要熟悉正弦函数和余弦函数的性质，掌握三角函数
的基本恒等式和转化方法，并能够灵活应用于各类题目中。
通过不
断练习和探索，考生将能够在数学竞赛中取得更好的成绩。