高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型

高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。

具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。

例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。

第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。

在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。

例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积为36π。

除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2根据墙角模型，我们可以得到2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。

例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。

4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是。

类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图3-1，图3-2，图3-3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）首先，我们需要确定球心O的位置，O1是△XXX的外心，则OO1⊥平面ABC。

接着，我们可以算出小圆O1的半径r和高h（h也是圆柱的高），然后根据勾股定理求得外接球半径R。

例如，一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为8.又例如，直三棱柱ABC-A1B1C1.1.已知三角形ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，求该球的表面积。

解析：由题意可知，三角形ABC为等边三角形，且AA1为该等边三角形的中线，因此可以得知AA1=BC=2.根据正弦定理，可以求出球的半径R=√3.然后，根据球的表面积公式S=4πR^2，代入半径R的值即可得到该球的表面积为4π。

2.已知平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是△ABC的外心，则三棱锥P-ABC的三条侧棱相等，三棱P-ABC的底面△ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点。

求该圆锥的外接球的表面积。

解析：根据题意，可以得知△ABC的外心O1即为圆锥的底面圆心，因此可以先求出该圆的半径r=AC/2.然后，根据勾股定理，可以求出圆锥的高PO1=√(PA^2-r^2)，其中PA为P 点到圆心O1的距离。

再根据勾股定理，可以得到圆锥的半径R=√(PA^2+PO1^2)。

最后，根据球的表面积公式S=4πR^2，代入半径R的值即可得到该圆锥的外接球的表面积。

3.已知平面PAC⊥平面ABC，且XXX（即AC为小圆的直径），且PA⊥AC。

求三棱锥的外接球半径。

解析：根据题意，可以得知P点在△ABC的垂线上，因此可以利用勾股定理求出三棱锥的高PO=√(PA^2+AC^2/4)。

然后，根据勾股定理，可以求出三棱锥的底面边长BC=√(AC^2-4r^2)，其中r为小圆的半径。

再根据勾股定理，可以得到三棱锥的外接球半径R=√(PO^2+BC^2/12)。

最后，根据球的表面积公式S=4πR^2，代入半径R的值即可得到该圆锥的外接球的表面积。

4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=6，A=A1，AA1=4.求该直三棱柱的外接球的表面积。

解析：根据题意，可以得知A点在直三棱柱的底面中心，因此可以求出该直三棱柱的高h=√(AA1^2-AB^2/4)=√(15)。

然后，根据勾股定理，可以求出直三棱柱的底面对角线BD=√(AB^2+AC^2)=2√(13)。

再根据勾股定理，可以得到直三棱柱的外接球半径R=√(h^2+BD^2/4)=√(229/4)。

最后，根据球的表面积公式S=4πR^2，代入半径R的值即可得到该直三棱柱的外接球的表面积。

注：此题中没有格式错误和明显有问题的段落，因此无需删除和改写。

1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为多少？解题步骤：根据正四棱锥的性质，可以得知该四棱锥的底面是一个正方形，可以将其拆分成四个等边三角形。

由于顶点在同一球面上，可以将该四棱锥看做是一个棱锥，根据棱锥的公式，可以得出该球的表面积为$4\pi\sqrt{5}$。

2.正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为多少？解题步骤：根据正四棱锥的性质，可以得知该四棱锥的底面是一个正方形，可以将其拆分成四个等边三角形。

由于顶点在同一球面上，可以将该四棱锥看做是一个棱锥，根据棱锥的公式，可以得出该球体积为$\frac{8}{3}\pi$。

3.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是多少？解题步骤：根据正三棱锥的性质，可以得知其底面是一个正三角形，可以将其拆分成三个等边三角形。

由于底面的三个顶点在该球的一个大圆上，可以将其看做是一个棱锥，根据棱锥的公式，可以得出该正三棱锥的体积为$\frac{1}{3}\pi$。

4.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为多少？解题步骤：根据题设，可以得知该三棱锥是等边三角形棱锥，且外接球的球心与等边三角形的外心重合。

根据勾股定理，可以求出外接球的半径为3.因此，该三棱锥外接球的体积为$27\sqrt{3}\pi$。

5.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，三角形ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为多少？解题步骤：根据题设，可以得知该三棱锥是等边三角形棱锥，且其高为$\sqrt{3}$。

根据棱锥的公式，可以求出该三棱锥的体积为$\frac{1}{3}\sqrt{3}$。

例5：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为多少？解析：根据三视图可以确定该几何体为正方体，其外接球为正方体内切球，因此球面积为$6\pi$，选项C。

例6：1）三棱锥P-ABC中，平面PAC垂直平面ABC，△PAC 和△ABC均为边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC外接球的半径为多少？解析：连接P和BC，可得到高为$\sqrt{3}$，根据勾股定理可得到$PC=2\sqrt{2}$，因此球的半径为$\frac{PC}{2}=\sqrt{2}$。

2）在直角梯形ABCD中，XXX，∠A=90，∠C=45，AB=AD=1，沿对角线BD折成四面体A'-BCD，使平面A'BD 垂直平面BCD，若四面体A'-BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为多少？解析：连接AC和BD，可得到AC=BD=√2.由于A'B=BD=√2，且∠A'BD=90°，因此A'B是球的直径。

又因为A'B=√2，所以球的半径为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，球面积为$2\pi$。

3）在四面体S-ABC中，AB垂直BC，AB=BC=2，二面角S-AC-B的余弦值为-3，则四面体S-ABC的外接球表面积为多少？解析：连接AC和BS，可得到$AS=\sqrt{5}$，$CS=\sqrt{3}$。

由于AB=BC，所以AS=CS，因此S在ABCD 平面的垂线中点上。

又因为ABCD为正方体，所以S到ABCD各面的距离相等，即S到ABCD各面的距离均为$\frac{\sqrt{5}}{2}$。

因此，球的半径为$\frac{\sqrt{5}}{2}$，球面积为$5\pi$。

4）在边长为23的菱形ABCD中，∠BAD=60，沿对角线BD折成二面角A-BD-C为120的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为多少？解析：连接AC和BD，可得到$AC=BD=23\sqrt{3}$。

由于A-BD-C为120°，因此A和C在球的直径上。

又因为AC=BD，所以球的直径为AC=BD=23√3，球的半径为$11.5\sqrt{3}$，球面积为$2646\pi$。

5）在四棱锥ABCD中，∠BDA=120°，∠BDC=150°，AD=BD=2，∠A-BD-C的大小为120°，则此四面体的外接球的体积为多少？解析：连接AC和BD，可得到$AC=BD=2\sqrt{3}$。

由于A-BD-C为120°，因此A和C在球的直径上。

又因为AC=BD，所以球的直径为AC=BD=2√3，球的半径为$√3$。

根据四面体的体积公式可得到球的体积为$\frac{4}{3}\pi(\sqrt{3})^3=12\pi$。

1）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD的外接球的体积为（）。

解：首先，根据勾股定理可得AC=5.将四面体ABCD的对角线AC作为直径，可以得到其外接球的半径R=5/2.根据四面体的体积公式V=1/3*S（ABC）*h，其中S（ABC）为三角形ABC的面积，h为点D到三角形ABC所在平面的距离。

由于四面体ABCD是直二面角，所以点D到三角形ABC所在平面的距离等于点B到三角形ABC所在平面的距离，即3/2.因此，V=1/3*6*3/2=3，所以四面体ABCD的外接球的体积为3π。

2）在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为。

解：首先，根据勾股定理可得BD=√13.由于三棱锥A-BCD是正三棱锥，所以其高AH和侧棱BC相等，都为3.根据勾股定理可得AC=√22，所以三棱锥A-BCD的底面面积为S （BCD）=3/2*2*3=9.根据三棱锥的表面积公式S=1/2*P*L，其中P为底面周长，L为侧棱的斜高，可以得到三棱锥A-BCD的表面积为S=1/2*10*3=15.由于三棱锥A-BCD的外接球的球心O在高线AH上，所以OH=R，其中R为外接球的半径。