高考数学空间几何体的外接球与内切球常见题型

高考数学空间几何体的外接球与内切球常

见题型

本文介绍了空间几何体的外接球与内切球的经典类型，其中第一种类型为墙角模型，即三条棱两两垂直，不需要找球心的位置即可求出球半径。具体方法是找到三条两两垂直的线段，然后使用公式2R=a+b+c或2R=a^2+b^2+c^2来求出R。例如，在已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16的情况下，可以求出该球的表面积为32π。

第二种类型为对棱相等模型，补形为长方体。在这种情况下，需要找到对棱相等的空间几何体，并补成长方体。例如，如果三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接

球的表面积为36π。

除此之外，文章还给出了一些具体的例子，如正三棱锥

S-ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM⊥MN，

若侧棱SA=23，则正三棱锥S-ABC外接球的表面积为36π。

同时，文章还提到了一些需要注意的引理，如正三棱锥的对棱互相垂直等。

需要注意的是，文章中存在一些格式错误和明显有问题的段落，需要进行删除或修改。

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）

首先，我们可以画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱，如图2-1所示。

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列方程组：

a^2+b^2=x^2

b+c=y

c^2+a^2=z^2

根据墙角模型，我们可以得到

2R=a+b+c=2(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，化简得到

R=sqrt(2)/2*(x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2)，求出R即可。

例2（1）如下图所示三棱锥A-BCD，其中

AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7，则该三棱锥外接球的表面积为。

2）在三棱锥A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，

AC=BD=4，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为。

3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为。

4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是。

类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

题设：如图3-1，图3-2，图3-3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

首先，我们需要确定球心O的位置，O1是△XXX的外心，则OO1⊥平面ABC。接着，我们可以算出小圆O1的半径r和高h（h也是圆柱的高），然后根据勾股定理求得外接球半径R。

例如，一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为8.又例如，直三棱

柱ABC-A1B1C1.

1.已知三角形ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，求

该球的表面积。

解析：由题意可知，三角形ABC为等边三角形，且AA1

为该等边三角形的中线，因此可以得知AA1=BC=2.根据正弦

定理，可以求出球的半径R=√3.然后，根据球的表面积公式

S=4πR^2，代入半径R的值即可得到该球的表面积为4π。

2.已知平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC为小

圆的直径），且P的射影是△ABC的外心，则三棱锥P-ABC

的三条侧棱相等，三棱P-ABC的底面△ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点。求该圆锥的外接球的表面积。

解析：根据题意，可以得知△ABC的外心O1即为圆锥的底面圆心，因此可以先求出该圆的半径r=AC/2.然后，根据勾股定理，可以求出圆锥的高PO1=√(PA^2-r^2)，其中PA为P 点到圆心O1的距离。再根据勾股定理，可以得到圆锥的半径R=√(PA^2+PO1^2)。最后，根据球的表面积公式S=4πR^2，代入半径R的值即可得到该圆锥的外接球的表面积。

3.已知平面PAC⊥平面ABC，且XXX（即AC为小圆的直径），且PA⊥AC。求三棱锥的外接球半径。

解析：根据题意，可以得知P点在△ABC的垂线上，因此可以利用勾股定理求出三棱锥的高PO=√(PA^2+AC^2/4)。然后，根据勾股定理，可以求出三棱锥的底面边长

BC=√(AC^2-4r^2)，其中r为小圆的半径。再根据勾股定理，可以得到三棱锥的外接球半径R=√(PO^2+BC^2/12)。最后，根据球的表面积公式S=4πR^2，代入半径R的值即可得到该圆锥的外接球的表面积。

4.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=6，A=A1，AA1=4.求该直三棱柱的外接球的表面积。

解析：根据题意，可以得知A点在直三棱柱的底面中心，因此可以求出该直三棱柱的高h=√(AA1^2-AB^2/4)=√(15)。然后，根据勾股定理，可以求出直三棱柱的底面对角线

BD=√(AB^2+AC^2)=2√(13)。再根据勾股定理，可以得到直三

棱柱的外接球半径R=√(h^2+BD^2/4)=√(229/4)。最后，根据球的表面积公式S=4πR^2，代入半径R的值即可得到该直三棱

柱的外接球的表面积。

注：此题中没有格式错误和明显有问题的段落，因此无需删除和改写。

1.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，

底面边长为23，则该球的表面积为多少？

解题步骤：根据正四棱锥的性质，可以得知该四棱锥的底面是一个正方形，可以将其拆分成四个等边三角形。由于顶点在同一球面上，可以将该四棱锥看做是一个棱锥，根据棱锥的公式，可以得出该球的表面积为$4\pi\sqrt{5}$。