勾股定理总统证法过程

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勾股定理的证明方法

勾股定理的证明方法勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史,两千多年来,人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓,上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明。

一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的.右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、,斜边为的直角三角形拼成的。

因为这两个正方形的面积相等（边长都是),所以可以列出等式，化简得。

在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的,但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂.二、赵爽弦图的证法(图2）第一种方法:边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形围在外面形成的。

因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。

第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为的角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为的正方形“小洞”.因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得.这种证明方法很简明，很直观,它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神,是我们中华民族的骄傲。

三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得.这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳话。

古希腊数学的伟大成就:1、使数学成为抽象性的一门科学；2、建立了演绎证明体系，希腊成为论证数学发祥地;3、创立了几何学、三角学，奠定了数论基础等；4、萌芽了一些高等数学，如数论、极限等;5、希腊人发现定理及证明，逻辑结构严密,论证认真细致，为后世树立了样板等；不足：如，重几何轻代数,认为几何方法是数学证明唯一方法，畏于无理数的存在，而不将算术应用于几何；几何作图严格限制规尺.古希腊的数学方法论泰勒斯最先提出数学方法论,数学命题要加以演绎证明，在数学中要建立一般的原理好人规则，数学命题的证明就是要借助一些公理或真实性已经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程.演绎证明的方法即演绎推理的方法，指从一般到特殊的推理方法,其核心是三段论法，即有两个已知判断,推出第三个判断，例如，平行四边形的对角线互相平分(第一个已知一般判断成为大前提），矩形是平行四边形（另一个已知较特殊的判断，成为小前提）,则矩形的对角线互相平分(推出新判断，即结论).用演绎法证明命题使几何由实验阶段,过渡到一门抽象的理论科学，使人类对自然的认识由感性(或经验)认识上升到理性认识，因此这是一个划时代的贡献。

总统法证明勾股定理的过程

总统法证明勾股定理的过程你可能想说的是“总统证法”证明勾股定理吧。

嘿，你知道吗？有一种特别有意思的方法来证明勾股定理，那就是总统证法呀！这名字听起来是不是就挺特别的呢？咱们先来看勾股定理，说的就是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这可太重要啦，在数学里那可是响当当的存在呢！那总统证法到底是咋回事呢？咱先画一个直角三角形，然后以这个直角三角形的三条边为边分别向外作正方形。

接着呢，把大正方形分成几个小部分。

你看哈，通过巧妙的分割和组合，我们能发现一些很神奇的关系哦！就好像变魔术一样，原本看起来没啥关联的图形，一下子就有了联系。

这就好比我们生活中的一些事情，有时候看似毫无头绪，但是只要我们用心去观察、去思考，就能找到其中的规律和联系。

你想想，这么一个看似简单的直角三角形，居然隐藏着这么深刻的定理，而总统证法又能如此巧妙地把它证明出来，是不是特别神奇？通过总统证法，我们能更深刻地理解勾股定理的本质呀。

就好像我们了解一个人，不能只看表面，要深入去挖掘他内在的东西。

它就像一把钥匙，打开了我们对数学世界更深入理解的大门。

让我们看到了数学的美妙和神奇之处。

而且哦，这种证明方法还能让我们感受到数学的魅力不仅仅在于得出一个正确的结果，更在于探索和发现的过程呀。

我们在这个过程中，不断地思考、尝试、犯错，最后找到正确的方法，这种成就感可真是无与伦比呢！哎呀，数学的世界真是丰富多彩，总统证法就是其中一颗璀璨的明珠啊！它让我们对勾股定理有了更直观、更深刻的认识。

让我们在数学的海洋中尽情遨游，去发现更多的奇妙之处吧！你说是不是呢？难道你不想深入了解一下这个神奇的总统证法吗？。

勾股定理的总统证法过程

勾股定理的总统证法过程嘿，咱今儿来聊聊那神奇的勾股定理的总统证法过程呀！你说这勾股定理，那可真是数学世界里的一颗璀璨明珠啊！想象一下，直角三角形那三条边，就像是三个小伙伴，它们之间有着特殊的关系，而这个关系就是勾股定理要告诉我们的秘密呢！那总统证法又是咋回事呢？美国总统加菲尔德就对这勾股定理特别感兴趣，还想出了一种特别巧妙的证明方法。

咱就一起来看看这神奇的过程。

先画一个直角三角形，这就好比是我们故事的主角。

然后呢，以这个直角三角形的三条边为边，分别向外作三个正方形。

你看啊，这三个正方形就像是三个不同的小王国。

那大正方形的面积不就是直角三角形斜边的平方嘛。

再看看那两个小正方形，它们的面积不就是两条直角边的平方嘛。

接下来，神奇的事情发生啦！我们把这几个图形巧妙地组合一下，就能发现一些有趣的关系。

通过一些巧妙的推导和计算，嘿，就能得出那著名的勾股定理啦！你说这是不是很神奇？就像变魔术一样，通过一些看似简单的步骤，却能揭示出如此深刻的数学真理。

这勾股定理的总统证法过程，不就像是一场奇妙的冒险嘛！我们跟着加菲尔德总统的思路，一步步地解开这个数学谜团。

而且啊，这勾股定理可不仅仅是在数学课本里有用哦！它在我们的生活中也到处都有它的影子呢。

比如建筑师在设计房子的时候，工程师在建造桥梁的时候，都得用到勾股定理呀。

咱再想想，要是没有勾股定理，那这个世界得变得多么混乱呀！建筑可能会歪歪扭扭，桥梁可能会摇摇欲坠。

所以说呀，这勾股定理的总统证法过程，真的是太重要啦！它让我们看到了数学的魅力和力量。

咱普通人虽然可能不会像数学家那样深入地研究勾股定理，但了解一下这个有趣的过程，不也挺有意思的嘛！你说，这勾股定理的总统证法过程，是不是特别值得我们好好琢磨琢磨呢？它就像是一把打开数学宝藏的钥匙，让我们能窥探到数学世界的奇妙之处。

总之啊，勾股定理的总统证法过程，那绝对是数学领域的一颗耀眼明星，它的光芒照亮了我们对数学的认知和理解呀！你难道不想更深入地了解一下吗？。

总统证法勾股定理

总统证法勾股定理1.于任意正三角形，其有三条边，分别被称为直角边、长边和短边，分别表示为a、b、c；2.于直角边的平方等于长边和短边的平方之和，故有：a^2 + b^2 = c^2；3.此，当a、b、c都大于0时，总统证法勾股定理成立。

总统证法勾股定理是古希腊数学家勾股（Pythagoras）第一个提出的有关三角形的几何定理，被称为勾股定理。

它的定义是：在直角三角形中，直角的边的平方的和等于斜边的平方，即a^2 + b^2 = c^2。

总统证法勾股定理是相当重要的几何定理。

它可以被用于计算三角形的某个边的长度，当另外两边的长度已知时。

在工程、建筑和设计领域中，也经常采用勾股定理来计算几何形状的大小和角度。

此外，总统证法勾股定理也经常被用来求解向量，以及描述物体运动的物理关系。

总统证法勾股定理可以说是数学史上最重要的几何定理之一，它在古希腊科学家希及克罗（Hicetas）的定义之前就已存在。

勾股（Pythagoras）本人没有提出总统证法勾股定理，而是由其学生依西修斯（Euryphaeus）利用它来证明一个问题。

此外，勾股定理也曾被希腊哲学家苏格拉底（Socrates）提出，但是他并没有证明此定理。

历史上，总统证法勾股定理的证明也有很多种。

林肯（Franklin）在1840年提出了一个基于抽象几何定理的证明。

他指出，如果一个三角形的底边是平移而不是旋转的，那么这个三角形依然满足总统证法勾股定理。

因为他的抽象几何证明简单明了，林肯的总统证法勾股定理也就成为了今天最流行的证明版本。

另外，总统证法勾股定理在一个不同的角度来看也有很多奇妙的应用。

它可以用来计算曲线的面积，计算二维图形的形状，甚至可以用来求解三维图形或立体几何图形。

此外，还有用总统证法勾股定理计算椭圆的周长、圆的面积以及三角型面积的应用，也不可忽视。

总而言之，总统证法勾股定理是数学史上一项重要的几何定理，它至今仍然是一个学术界及工程界最重要的几何工具之一。

勾股定理的证明方法总统证明法

勾股定理的证明方法总统证明法说到勾股定理，大家肯定不陌生吧？想当年，咱们的祖先可是为了这个定理煞费苦心，折腾了好久。

勾股定理挺简单的，就是说如果你有一个直角三角形，那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

通俗一点儿说，想象你有一个直角三角形，两个短边分别是3和4，斜边就是5。

这个数字组合在小伙伴们之间也是脍炙人口了。

今天呢，我们来聊聊勾股定理的一个证明方法——总统证明法。

别被这个名字吓着了，听起来很严肃，其实超级简单，跟咱们老百姓的生活息息相关。

嗯，你可得准备好，坐稳了，接下来就带你去感受一下这个有点“总统味儿”的神奇证明法。

首先啊，所谓的“总统证明法”就是一种很简单、又让人眼前一亮的证明方式。

它不是那种“拿着公式，照着念”那种死板的方式，而是通过一个有趣的图形和一点巧妙的构造，让你脑袋瞬间清晰。

假如你能看到这个图形，保证你会对勾股定理的证明拍手叫好。

那怎么证明呢？我们先来这么个小设定：想象一个大正方形，里面有四个相同的直角三角形，剩下的地方就空出一个小正方形。

大正方形的边长是直角三角形的斜边长度，也就是说大正方形的每条边长都等于斜边。

是不是有点意思了？这时候，你会发现，四个三角形的面积加上小正方形的面积，刚好等于大正方形的面积。

要知道，大正方形的面积就是斜边的平方，而小正方形的面积就是两条直角边的平方和。

哇，这样一来，勾股定理就有了“实物”的支撑，不再是纸上谈兵了。

看看这个证明过程到底是怎么神奇地展开的。

假设大正方形的边长是c，这时候大正方形的面积就是c²。

里面有四个直角三角形，每个直角三角形的面积是(frac{1{2ab)，其中a和b分别是直角三角形的两条直角边。

于是，四个三角形的面积加上那个小正方形的面积，正好是大正方形的面积。

小正方形的边长就是两条直角边的差，边长是ab，所以小正方形的面积就是(ab)²。

按照面积相等的原则，咱们就得出一个结论：c² = a² + b²，这不就是勾股定理了吗？简简单单，不需要什么复杂的公式，靠的是一个巧妙的构图和一点点几何的思维。

勾股定理总统证法

勾股定理总统证法在数学界，勾股定理一直是最有名的定理之一。

它的证明方式也有多种，其中最为著名的就是总统证法。

总统证法又称为李氏定理，距今已有2000多年的历史。

它的原作者不可考，但它的精神活跃在我们的数学世界中，给大家带来很多视角。

勾股定理指：任意一个直角三角形，它的斜边的平方等于它的两条直边的平方和。

具体地说，即：a^2 + b^2 = c^2总统证法是古代古希腊数学家著名的定理，他们用它来证明勾股定理。

他们使用一个四边形的概念，把它划分成四个直角三角形，并令其斜边的平方等于这些三角形的两条直边的平方和。

以下是证明勾股定理的总统证法的具体步骤：（1）把四边形划分成四个直角三角形，四边形中心两边的内角均为90°，其余各内角均为45°。

（2）给四边形赋予正方形形式，此时四边形被划为四个直角三角形，即：A-B-C-DA-C-B-DA-D-C-BA-B-D-C（3）把四边形的边赋予任意数值，如a, b, c, d，则每三角形的斜边长度分别为a, b, c, d。

（4）因为（AC）＋（CB）＝（AD）；（BC）＋（AD）＝（CB）；（AB）＋（CD）＝（BD）；（BD）＋（CD）＝（AB）；所以有：(a^2+b^2) = (c^2+d^2) = (a^2+d^2) = (b^2+c^2)。

因此，证明了勾股定理：任意一个直角三角形，它的斜边的平方等于它的两条直边的平方和。

总统证法是一种非常有效的勾股定理证明方式，它也证明了数学的美妙之处，源自古希腊数学家的智慧。

总统证法的理论支持，使得勾股定理的证明更加准确，令数学变得更加完美。

它也激发了人类对数学的持续探索，使得数学日益进步。

最后，总统证法也使我们更加深刻地理解勾股定理，并知晓学习数学之美。

勾股定理是一个奥秘又伟大的定理，它丰富而深刻，只有经过不懈努力才可以得以理解。

学习这个定理，不仅可以提高我们数学的能力，还可以激发我们对数学的热爱，提高我们的求知欲望。

勾股定理证法

勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方,即在以a、b为直角边，c为斜边的三角形中有a^2+b^2=c^2。

方法•1/16证法一（邹元治证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使A、E、B三点共线，B、F、C 三点共线，C、G、D三点共线。

∵Rt△HAE≌Rt△EB F∴∠AHE=∠BEF∵∠AHE+∠AEH=90°∴∠BEF+∠AEH=90°∵A、E、B共线∴∠HEF=90°，四边形EFGH为正方形由于上图中的四个直角三角形全等，易得四边形ABCD为正方形∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴(a+b)^2=4•（1/2）•ab+c^2，整理得a^2+b^2=c^2•2/16证法二（课本的证明）：如上图所示两个边长为a+b的正方形面积相等，所以a^2+b^2+4•（1/2）•ab=c^2+4•（1/2）•ab，故a^2+b^2=c^2。

•3/16证法三（赵爽弦图证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼。

易得四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形∴正方形ABCD的面积=四个直角三角形的面积+正方形EFGH的面积∴c^2=4•（1/2）•ab+(b-a)^2 ，整理得a^2+b^2=c^2•4/16证法四（总统证明）：如下图所示。

易得△CDE为等腰直角三角形∴梯形ABCD的面积=两个直角三角形的面积+一个等腰三角形的面积∴1/2•（a+b）•（a+b）=2•（1/2）•ab+（1/2）•c^2，整理得a^2+b^2=c^2•5/16证法五（梅文鼎证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的三角形，按下图所示相拼，使DEF在同一直线上，过C点作CI垂直于DF,交DF于I点。

易得四边形ABEG、四边形CBDI、四边形FGHI都为正方形。

∴多边形EGHCB的面积=正方形ABEG的面积-两个直角三角形的面积且多边形EGHCB的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积-两个直角三角形的面积∴正方形ABEG的面积=正方形CBDI的面积+正方形FGHI的面积∴c²=a²+b²•6/16证法六（项明达证明）：以a、b为直角边，以c为斜边做两个全等的三角形，做一个边长为c的正方形，按下图所示相拼，使E、A、C在同一条直线上。

勾股定理的总统证法及其他证法

勾股定理的总统证法及其他证法TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】总统巧证勾股定理学过几何的人都知道勾股定理。

它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛。

迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种。

其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话。

总统为什么会想到去证明勾股定理呢难道他是数学家或数学爱好者答案是否定的。

事情的经过是这样的；在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。

他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。

由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。

只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。

于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀。

”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。

”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。

他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

他是这样分析的，如图所示：1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。

1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。

”证法。

勾股定理的证明罗洪信（2002年4月25日参加桂林市创新教育课堂教学大比武用）【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即abc ab b a 214214222⨯+=⨯++，整理得 222c b a =+. 【证法2】（邹元治证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上，B 、F 、C 三点在一条直线上，C 、G 、D 三点在一条直线上.∵ Rt ΔHAE ≌ Rt ΔEBF ,∴ ∠AHE = ∠BEF .∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o , ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o . ∴ ∠HEF = 180o ―90o= 90o .∴ 四边形EFGH 是一个边长为c 的正方形. 它的面积等于c 2. ∵ Rt ΔGDH ≌ Rt ΔHAE ,∴ ∠HGD = ∠EHA .∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o , ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o . 又∵ ∠GHE = 90o ,∴ ∠DHA = 90o+ 90o= 180o .D G C B a b ca bca bc a b c∴ ABCD 是一个边长为a + b 的正方形，它的面积等于()2b a +.∴ ()22214c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法3】（赵爽证明）以a 、b 为直角边（b>a ），以c 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab 21. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵ Rt ΔDAH ≌ Rt ΔABE, ∴ ∠HDA = ∠EAB .∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o ，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o ，∴ ABCD 是一个边长为c 的正方形，它的面积等于c 2. ∵ EF = FG =GH =HE = b ―a , ∠HEF = 90o .∴ EFGH 是一个边长为b ―a 的正方形，它的面积等于()2a b -.∴ ()22214c a b ab =-+⨯.∴ 222c b a =+.【证法4】（1876年美国总统Garfield 证明）以a 、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21. 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上.∵ Rt ΔEAD ≌ Rt ΔCBE ,∴ ∠ADE = ∠BEC .∵ ∠AED + ∠ADE = 90o , ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o . ∴ ∠D EC = 180o ―90o= 90o .∴ ΔDEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于221c . 又∵ ∠DAE = 90o , ∠EBC = 90o ,∴ AD ∥BC .∴ ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于()221b a +.∴ ()222121221c ab b a +⨯=+. ∴ 222c b a =+.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c . 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D 、E 、F 在一条直线上. 过C 作AC 的延长线交DF 于点P .∵ D 、E 、F 在一条直线上, 且Rt ΔGEF ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠EGF = ∠BED ，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180o ―90o= 90o . 又∵ AB = BE = EG = GA = c ，∴ ABEG 是一个边长为c 的正方形.∴ ∠ABC + ∠CBE = 90o .∵ Rt ΔABC ≌ Rt ΔEBD , ∴ ∠ABC = ∠EBD . ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o . 即 ∠CBD= 90o . 又∵ ∠BDE = 90o ，∠BCP = 90o ， BC = BD = a .∴ BDPC 是一个边长为a 的正方形. 同理，HPFG 是一个边长为b 的正方形. 设多边形GHCBE 的面积为S ，则abS c 2122⨯+=,∴ 222c b a =+.【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E 、A 、C 三点在一条直线上. 过点Q 作QP ∥BC ，交AC 于点P .过点B 作BM ⊥PQ ，垂足为M ；再过点F 作FN ⊥PQ ，垂足为N . ∵ ∠BCA = 90o ，QP ∥BC ，∴ ∠MPC = 90o ，∵ BM ⊥PQ ， ∴ ∠BMP = 90o ，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90o . ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90o ， ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o ， ∴ ∠QBM = ∠ABC ，又∵ ∠BMP = 90o ，∠BCA = 90o ，BQ = BA = c ， ∴ Rt ΔBMQ ≌ Rt ΔBCA .同理可证Rt ΔQNF ≌ Rt ΔAEF .从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、C 、B 三点在一条直线上，连结 BF 、CD . 过C 作CL ⊥DE ，交AB 于点M ，交DE 于点L . ∵ AF = AC ，AB = AD ，∠FAB = ∠GAD ， ∴ ΔFAB ≌ ΔGAD ， ∵ ΔFAB 的面积等于221a， ΔGAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， ∴ 矩形ADLM 的面积 =2a .同理可证，矩形MLEB 的面积 =2b .∵ 正方形ADEB 的面积= 矩形ADLM 的面积 + 矩形MLEB 的面积∴ 222b a c += ，即 222c b a =+.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o ， ∠CAD = ∠BAC ， ∴ ΔADC ∽ ΔACB .AD ∶AC = AC ∶AB ，即 AB AD AC •=2.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB ，从而有 AB BD BC •=2.∴ ()222AB AB DB AD BC AC =•+=+，即 222c b a =+. 【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b （b>a ），斜边长为c . 再做一个边长为c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A 作AF ⊥AC ，AF 交GT 于F ，AF 交DT 于R . 过B 作BP ⊥AF ，垂足为P . 过D 作DE 与CB 的延长线垂直，垂足为E ，DE 交AF 于H .∵ ∠BAD = 90o ，∠P AC = 90o ， ∴ ∠DAH = ∠BAC . 又∵ ∠DHA = 90o ，∠BCA = 90o ，AD = AB = c ，∴ Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ DH = BC = a ，AH = AC = b . 由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 Rt ΔAPB ≌ Rt ΔBCA . 即PB = CA = b ，AP= a ，从而PH = b ―a .K∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA . ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90o ，∠DHF = 90o ，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90o ， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . T F ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a .∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为543212S S S S S c ++++= ①∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得= 922S S b ++ = 22a b +.∴ 222c b a =+.【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A 、E 、G 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE = ∠ABH = 90o ， ∴ ∠TBH = ∠ABE .又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o ，BT = BE = b ，∴ Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE .∴ HT = AE = a .∴ GH = GT ―HT = b ―a . 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o ， ∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC . ∵ DB = EB ―ED = b ―a ， ∠HGF = ∠BDC = 90o ，∴ Rt ΔHGF ≌ Rt ΔBDC . 即 27S S =.过Q 作QM ⊥AG ，垂足是M . 由∠BAQ = ∠BEA = 90o ，可知 ∠ABE = ∠QAM ，而AB = AQ = c ，所以Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM . 又Rt ΔHBT ≌ Rt ΔABE . 所以Rt ΔHBT ≌ Rt ΔQAM . 即 58S S =.由Rt ΔABE ≌ Rt ΔQAM ，又得QM = AE = a ，∠AQM = ∠BAE .∵ ∠AQM + ∠FQM = 90o ，∠BAE + ∠CAR = 90o ，∠AQM = ∠BAE ，∴ ∠FQM = ∠CAR .又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90o ，QM = AR = a ， ∴ Rt ΔQMF ≌ Rt ΔARC . 即64S S =.∵ 543212S S S S S c ++++=，612S S a +=，8732S S S b ++=，又∵ 27S S =，58S S =，64S S =，∴8736122S S S S S b a ++++=+ =52341S S S S S ++++=2c ，即 222c b a =+.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 如图，以B 为圆心a 为半径作圆，交AB 及AB 的延长线分别于D 、E ，则BD = BE = BC = a . 因为∠BCA = 90o ，点C 在⊙B 上，所以AC 是⊙B 的切线. 由切割线定理，得=()()BD AB BE AB -+=()()a c a c -+ = 22a c -，即222a c b -=，∴ 222c b a =+.【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c （如图）. 过点A 作AD ∥CB ，过点B 作BD ∥CA ，则ACBD 为矩形，矩形ACBD 内接于一个圆. 根据多列米BD AC BC AD DC AB •+•=•， ∵ AB = DC = c ，AD = BC = a ， AC = BD = b ，∴ 222AC BC AB +=，即 222b ac +=，∴ 222c b a =+.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ΔABC 中，设直角边BC = a ，AC = b ，斜边AB = c . 作Rt ΔABC 的内切圆⊙O ，切点分别为D 、E 、F （如图），设⊙O 的半径为r . ∵ AE = AF ，BF = BD ，CD = CE ，∴ ()()()BF AF CD BD CE AE AB BC AC +-+++=-+ = CD CE += r + r = 2r, 即 r c b a 2=-+，∴ c r b a +=+2. ∴ ()()222c r b a +=+，即 ()222242c rc r ab b a ++=++，∵ab S ABC 21=∆，∴ ABC S ab ∆=42，又∵ AOC BOCAOB ABC S S S S ∆∆∆∆++= = br ar cr 212121++ = ()r c b a ++21= ()r c c r ++221= rc r +2，∴()ABC S rc r ∆=+442， ∴ ()ab rc r242=+，∴ 22222c ab ab b a +=++，∴ 222c b a =+.【证法14】（利用反证法证明）如图，在Rt ΔABC 中，设直角边AC 、BC 的长度分别为a 、b ，斜边AB 的长为c ，过点C 作CD ⊥AB ，垂足是D .假设222c b a ≠+，即假设 222AB BC AC ≠+，则由AB AB AB •=2=()BD AD AB +=BD AB AD AB •+•可知 AD AB AC •≠2，或者 BD AB BC •≠2. 即 AD ：AC ≠AC ：AB ，或者 BD ：BC ≠BC ：AB .在ΔADC 和ΔACB 中， ∵ ∠A = ∠A ， ∴ 若 AD ：AC ≠AC ：AB ，则 ∠ADC ≠∠ACB . 在ΔCDB 和ΔACB 中， ∵ ∠B = ∠B ，∴ 若BD ：BC ≠BC ：AB ，则 ∠CDB ≠∠ACB . 又∵ ∠ACB = 90o ，∴ ∠ADC ≠90o ，∠CDB ≠90o .这与作法CD ⊥AB 矛盾. 所以，222AB BC AC ≠+的假设不能成立.∴ 222c b a =+.【证法15】（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c . 作边长是a+b 的正方形ABCD . 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++, ∴ 222c b a =+.【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c . 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c . ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ，∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b .又∵ ∠CMD = 90o ，CM = a ，∠AED = 90o ， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC .∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c . ∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o ，∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o ， ∴ ∠ADC = 90o .∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o ， ∴ ∠BAF=∠DAE .连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE .∴ ∠AFB = ∠AED = 90o ，BF = DE = a . ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG .∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=，76451S S S S S +===，∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.。

勾股定理的总统证法

勾股定理的总统证法第一篇：勾股定理的总统证法勾股定理的总统证法勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味．于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题．他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法．1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法．亲爱的同学们，从上面的故事我们可以看出发明创造并非科学家、学者的专利，只要我们用心观察发现问题，认真思考钻研问题，照样可以取得成就。

第二篇：勾股定理证法证法1作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。

勾股定理16种证明方法

【证法1】（课本的证明）ab勾股定理的证明abbab设它们的两条直角边长分别为做8个全等的直角三角形，三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 b 24 ab c 24 ab222 2，整理得 a 2 b 2【证法2】（邹元治证明）a 、b ,斜边长为c ,再做 a + b ，所以面积相等.即以a 、b 为直角边，以c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2ab.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A 、E 、B 三点在一条直线上， C 三点在一条直线上，C G D 三点在一条直线上.v Rt △ HAE 坐 Rt △ EBF,••• / AHE = / BEFv / AEH + / AHE = 90o,• / AEH + / BEF = 90o.• / HEF = 180o — 90o= 90o. •四边形EFGH 是一个边长为正方形.它的面积等于c 2.v Rt △ GDH 坐 Rt △ HAE,• / HGD = / EHAv / HGD + / GHD = 98,• / EHA + / GHD = 98.又v / GHE = 90o,• / DHA = 90o+ 90o= 180o. • ABCD 是一个边长为a + ba b 24 】ab c 2• 2 .CDa bHFC 的b a BA的正方形，它的面积等于 a ba 2b 2GB 、F 、以C 为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角_ab三角形的面积等于2 .把这四个直角三角形拼成如图所示形状•v Rt △DAH坐Rt △ABE,••• / HDA = / EABv / HAD + / HAD = 90o,•/ EAB + / HAD = 900,•ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.v EF = FG =GH =HE = b —a ,/ HEF = 900.2•EFGH是一个边长为b—a的正方形，它的面积等于 b a./ 1 2 24 -ab b a c• 2 .• a2 b2 c2.【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、v Rt △EAD 坐Rt △CBE,•/ ADE = / BECv / AED + / ADE = 90o,•/ AED + / BEC = 90o.•/ DEC = 180o—90o= 90o.•△ DEC是一个等腰直角三角形,1 2c它的面积等于2 .又v / DAE = 90o, / EBC = 90o,•AD// BC•ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1 a b2 2 1 ab 1 c2—ab 2 — ab _ c• 2 2 2 .a2b2c2B三点在一条直线上a a【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为们拼成如图那样的一个多边形，使 D E、F在一条直线上. 点P 八、、■・v D、E、F在一条直线上,且Rt △ GEF坐Rt △ EBD,a、b，斜边长为c.把它过C作AC的延长线交DF于••• / EGF = / BEDv / EGF + / GEF = 90°,• / BED + / GEF = 90°, • / BEG =18(0—90o= 90o. / AB = BE = EG = GA = c ,• ABEG 是个边长为c 的正方形G• / ABC + / CBE = 90o. / Rt △ ABC 坐 Rt △ EBD, • / ABC = / EBD • / EBD + / CBE = 90o. 即 / CBD= 90).又 v / BDE = 90o ,Z BCP = 90o , BC= BD = a .• BDPC 是 P b cDcBa b Ha 同理，HPFG 是一个边长为设多边形GHCB 的面积为 1S 2 ab,21 2 -ab2, b 2 c 2个边长为a 的正方形.b 的正方形. S ,则 b 2a 2【证法做两个全等的直角三角形， c.再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形, 直线上. 过点Q 作QP// BC 交AC 于点P. 过点B 作BML PQ 垂足为M ；再过点 F 作FNL PQ 垂足为Nv / BCA = 90o , QP// BC• / MPC = 98 , v BM 丄 PQ• / BMP = 90o ,• BCPM 是一个矩形，即/ MBC = 9堪v / QBM + / MBA = / QBA = 90o , / ABC + / MBA = / MBC =98 ,• / QBM = / ABC又 v / BMP = 90o , / BCA = 90o , BQ = BA = c , • Rt △ BMQ 坐 Rt △ BCA6】（项明达证明）设它们的两条直角边长分别为F <\Ac a 、 b(b>a ) 使 E 、A 、，斜边长为 C 三点在一条同理可证Rt △ QNF 坐Rt △ AEF 从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）. 【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a 、b 、在一条直线上，连结 BF CD 过 C 作 CL 1DE 交AB 于点M 交DE 于点 L. v AF = AC , AB = AD ,/FAB = / GAD••• △ FAB 坐 △ GAD1 av △ FAB 的面积等于2△ GAD 的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，•矩形ADLM 勺面积二a 同理可证，矩形MLEE 的面积v 正方形ADEB 勺面积 =矩形ADLM 勺面积+ • c 2 a 2 b 2，即 a 2 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H C B 三点 c 矩形MLE B 勺面积b 2c 2 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt △ABC 中，设直角边点C 作CDL AB 垂足是D 在厶 ADCFM ACB 中, v / ADC = / ACB = 90o , / CAD = / BAC •△ ADC s A ACBAD ： AC = AC : AB, 即 AC 2 AD?AB\ 同理可证，△ CDB s △ ACB • AC 2 BC 2 AD DB ? AB 【证法9］（杨作玫证明）AC BC 的长度分别为 Ka 、b ,斜边AB 的长为c ,过从而有 BC 2 BD?ABAB 2，即 a 2 b 2 c 2.a 、b （b>a ）,斜边长为c. .过A 作AF 丄AC AF 交GT做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为再做一个边长为c 的正方形.把它们拼成如图所示的多边形于F , AF 交DT 于R.过B 作BP 丄AF,垂足为P.过D 作DE 与CB的延长线垂直，垂足为E , DE 交 AF 于 H \ / v / BAD = 90o ,Z PAC = 90o ,又T / DHA = 90o ,/ BCA = 90o , AD= AB = c ,••• Rt △ DHA 坐 Rt △ BCA ••• DH = BC = a , AH = AC = b.由作法可知，PBCA 是一个矩形, 所以 Rt △ APB 坐 Rt △ BCA 即 PB = CA= b , AP= a ,从而 PH = b — a.v Rt △ DGT 坐 Rt △ BCA , Rt △ DHA 坐 Rt △ BCA• Rt △ DGT 坐 Rt △ DHA.• DH = DG = a ，/ GDT = / HDA. 又 v / DGT = 90o ,Z DHF = 90o ,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o , • DGFH 是一个边长为a 的正方形.• GF = FH = a . TF 丄AF, TF = GT — GF = b — a .• TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=b-a ,下底BP= b ,高FP=a + (b — a ) 用数字表示面积的编号(如图)，则以c 为边长的正方形的面积为c 2S ,S 2 S 3 S 4 S 5①v S 8S 3S 4-b b a ? a b ab 2 」ab22S 5 S 8 S 9\ S 3S 4 b 21 ab 2S8= b 2S 1 S 8②把②代入①， ,得c 2 S ,S2 b 2S 1 S 8 S 8 S 9=圧 S2S 9= b 2 a 22 . 2 2a b c .【证法10】(李锐证明)设直角三角形两直角边的长分别为 a 、b(b>a )，斜边的长为c.做三个边长分别为a 、 b 、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A E 、G 三点在一条直线上.用数字表示c1 R H P 4 3cQ79c 2面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 90o,•/ TBH = / ABE又v / BTH = / BEA = 90o,BT = BE = b ,• Rt △ HBT 坐Rt △ ABE • HT = AE = a .bT8 D613HME42 CG F5cQ••• GH = GT—HT = b —a.又T / GHF + / BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH + / BHT = 900, /GHF = / DBCv DB = EB —ED = b —a,/ HGF = / BDC = 900,• Rt △ HGF坐Rt △ BDC 即S7 S2.过Q作QM L AG 垂足是M 由/BAQ = / BEA = 900,可知 / ABE =/ QAM 而AB = AQ = c，所以Rt △ ABE 幻Rt △ QAM.又Rt △ HBT 幻Rt △ ABE 所以Rt △ HBT 幻Rt △ QAM.即S8 S5.由Rt △ ABE 坐Rt △ QAM 又得QM = AE = a，/ AQM = / BAE/ AQM + / FQM = 90o,Z BAE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE / FQM = / CAR又v / QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a,2・・ c 3 S2 S3 2S4 S5 a S1又v S7 S2 S8 S5 S4 S6... a2b2S1 S6 S3 S7 S8=S1 S4 S3 S2 S5=c2即a2b2c2.• Rt △ QMF坐Rt △ ARC 即S4& . S6 b2S3 S7 S8【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt △ ABC中，设直角边BC = a , AC = b，斜边AB = c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于 D E,贝S BD = BE = BC = a .因为/ BCA = 90o, 点C 在。

勾股定理的九种证明方法(附图)

勾股定理的九种证明方法(附图)勾股定理的证明方法一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1）左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。

右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。

因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。

二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3）这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。

因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。

三、相似三角形的证法：4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三角形相似。

CAD∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°.∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =90 °，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，∴∠QBM = ∠ABC，又∵∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2六、欧几里德射影定理证法：如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。

由公式（2）+（3）得：（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，即（AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2七、杨作玫证法：做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P. 过D 作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H.∵∠BAD = 90º，∠PAC = 90º，∴∠DAH = ∠BAC.又∵∠DHA = 90º，∠BCA = 90º，AD = AB = c，∴RtΔDHA ≌RtΔBCA.∴DH = BC = a，AH = AC = b.由作法可知，PBCA 是一个矩形，所以RtΔAPB ≌RtΔBCA. 即PB = CA = b，AP= a，从而PH = b―a.987654321PQR HG Dabcaccc∵ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔBCA , Rt ΔDHA ≌ Rt ΔBCA. ∴ Rt ΔDGT ≌ Rt ΔDHA .∴ DH = DG = a ，∠GDT = ∠HDA . 又∵ ∠DGT = 90º，∠DHF = 90º，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90º， ∴ DGFH 是一个边长为a 的正方形.∴ GF = FH = a . TF ⊥AF ，TF = GT ―GF = b ―a . ∴ TFPB 是一个直角梯形，上底TF=b ―a ，下底BP= b ，高FP=a +（b ―a ）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c 为边长的正方形的面积为 543212S S S S S c ++++= ① ∵()[]()[]a b a a b b S S S -+•-+=++21438 =ab b 212-， 985S S S +=，∴ 824321S ab b S S --=+=812SS b -- . ② 把②代入①，得98812212S S S S b S S c ++--++== 922S S b ++ = 22a b +. ∴ 222c b a =+.八、陈杰证法：设直角三角形两直角边的长分别为a 、b （b>a ），斜边的长为c. 做两个边长分别为a 、b 的正方形（b>a ），把它们拼成如图所示形状，使E 、H 、M 三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b 上截取ED = a ，连结DA 、DC ，则 AD = c. ∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a ， ∴ DM = EM ―ED = ()a b +―a = b. 又∵ ∠CMD = 90º，CM = a ， ∠AED = 90º， AE = b ， ∴ Rt ΔAED ≌ Rt ΔDMC. ∴ ∠EAD = ∠MDC ，DC = AD = c.∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180º， ∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90º， ∴ ∠ADC = 90º.∴ 作AB ∥DC ，CB ∥DA ，则ABCD 是一个边长为c 的正方形. ∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90º， ∴ ∠BAF=∠DAE.连结FB ，在ΔABF 和ΔADE 中，∵ AB =AD = c ，AE = AF = b ，∠BAF=∠DAE ， ∴ ΔABF ≌ ΔADE.BD F Gab ca b cac a b c 1234567∴ ∠AFB = ∠AED = 90º，BF = DE = a. ∴ 点B 、F 、G 、H 在一条直线上. 在Rt ΔABF 和Rt ΔBCG 中， ∵ AB = BC = c ，BF = CG = a ， ∴ Rt ΔABF ≌ Rt ΔBCG.∵ 54322S S S S c +++=， 6212S S S b ++=， 732S S a +=， 76451S S S S S +===， ∴6217322S S S S S b a ++++=+ =()76132S S S S S ++++=5432S S S S +++=2c ∴ 222c b a =+.九、辛卜松证法：设直角三角形两直角边的长分别为a 、b ，斜边的长为c. 作边长是a+b 的正方形ABCD. 把正方形ABCD 划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()ab b a b a 2222++=+；把正方形ABCD 划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为 ()22214c ab b a +⨯=+ =22c ab +.∴ 22222c ab ab b a +=++,∴ 222c b a =+.ab 21ab 21ab 21ab 212c 2b 2aAD B Bab aba bb a ccccb a ab ab ba b a。

勾股定理的证明方法总统证法

勾股定理的证明方法总统证法勾股定理是数学中的一条重要定理，也是几何中常见的一个概念。

它描述了直角三角形中三条边的关系，被广泛地应用于各个领域。

勾股定理的证明方法有很多种，其中一种被称为总统证法。

总统证法是一种简洁而又巧妙的证明方法，它的核心思想是将直角三角形的三条边平方之和转化为一个完全平方数。

我们可以通过一个具体的例子来说明总统证法的原理和过程。

假设我们有一个直角三角形，其中两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

根据勾股定理，我们知道a² + b² = c²。

现在，我们将a和b分别表示为两个整数m和n的差和和，即a = m - n，b = m + n，其中m和n都是正整数。

将这两个式子带入勾股定理中，我们可以得到：(m - n)² + (m + n)² = c²化简上述表达式，我们可以得到：m² - 2mn + n² + m² + 2mn + n² = c²2m² + 2n² = c²这个式子告诉我们，如果我们能找到两个正整数m和n，使得2m² + 2n²能够成为一个完全平方数，那么这个完全平方数就是斜边c的平方。

这样，我们就证明了勾股定理。

为了更好地理解总统证法，我们可以通过一个例子进行具体的计算。

假设我们要证明一个直角三角形，其两条直角边的长度分别为3和4，斜边的长度为5。

我们可以令m = 2，n = 1，那么：2m² + 2n² = 2(2²) + 2(1²) = 8我们知道8不是一个完全平方数，因此这个例子并不能证明勾股定理。

但是，这个例子展示了总统证法的具体计算过程。

总统证法的优点在于它的简洁性和直观性。

通过将直角三角形的三条边平方之和转化为一个完全平方数，我们能够更加清晰地理解勾股定理的几何意义。