点线面平行投影知识点

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第一章投影法和点线平面的投影

侧平线
(//W面，对V，H面倾斜）
水平线
(//H面，对V，W面倾斜）
V
V
V
2）在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴。
（三）投影面的垂直线(倾角 = 900)
正垂线铅垂线
(|H面，//V面，//W面）
侧垂线
(|W面，//V面，//H面）
表1－2列出了三种投影面的垂直线的投影和投影特性。 1）与直线垂直投影面上的投影，积聚成一点。 2）在另外两个投影面上的投影平行于投影轴，反映真实长度。
⒊ 两直线交叉
c a
X
′
′
b′ d
′
V
b′ d′ B
O
a
d
c
c′ a′ A a
C
c
D d b H
b
两直线相交吗？不相交！为什么？交点不符合一个点的投影规律！
例1－4：作水平线MN与AB、CD、 EF分别交于点M、S、T，N点在 V面之前6mm（图1－16）
四、换面法以及直线在换面法上的基本情况
根据几何形体作平行与投影面的镜面投影，能直接反映真长和投影面的倾斜角的启示，使几何形体在新的投影面体系上处于便利解题的特殊位置，可在新的投影面体系中作图求解，这种方法称为：变换投影面法，简称：换面法。
CAD的输入格式： @△X ,△Y, △Z
（四）重影点
从下图可知，点C在点A之后，两点无左右、上下距离差，这两点的正面投影互相重合，点A和点C称为对正投影面的重影点。同理，也有对水平投影面和测投影面的重影点。表示重影点时，看不见点的投影，其代号用圆括号括起来,例如上面所述的C点的正投影看不见，可表示为a’(c’)。
a 点称为：投影（图象）

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影基本要求：建立投影的概念，掌握正投影的基本性质；掌握点线面的投影特性；根据投影能判断出点、线、面的关系。

主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。

2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。

二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。

2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。

形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。

(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。

1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。

投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。

光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。

2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。

平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。

(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。

(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。

用正投影法得到的投影叫正投影。

三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。

透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。

图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。

点线面平行投影知识点

点线面平行投影知识点下面是关于点线面平行投影的一些重要知识点：1.投影的基本概念：投影是将三维物体的所有点映射到一个二维平面上的过程。

在点线面平行投影中，物体与投影平面之间的投影关系是平行的，也就是说，物体上的平行线在投影后仍然保持平行。

2.投影平面：在点线面平行投影中，通常选择一个平行于物体的平面作为投影平面。

这个平面可以是一个垂直于地面的垂直面，也可以是平行于地面的水平面，或者是任意其他平行于物体表面的平面。

3.正交投影和斜投影：根据投影平面与物体之间的夹角，点线面平行投影可以分为正交投影和斜投影两种。

正交投影是指投影平面与物体之间的夹角为90度的情况。

在正交投影中，物体的投影与物体的外形一致，不发生形变。

这种投影方法常用于工程制图和建筑绘图中。

斜投影是指投影平面与物体之间的夹角不为90度的情况。

在斜投影中，物体的投影可能发生畸变，但仍能够反映出物体的形状和结构。

这种投影方法常用于艺术设计和插图绘制中。

4.投影方向：投影方向指的是物体在投影平面上的投影方式。

根据物体与投影平面之间的位置关系，投影方向可以分为正投影和倒投影。

正投影是指当物体向投影平面靠近时，投影呈现出与物体一致的方向。

这种投影方法常用于工程制图中。

倒投影是指当物体向投影平面远离时，投影呈现出相反的方向。

这种投影方法常用于艺术设计和插图绘制中。

5.投影比例：在点线面平行投影中，为了准确地表示物体的大小和形状，通常需要指定一个投影比例。

投影比例是指在投影平面上，物体的尺寸与实际尺寸之间的比例关系。

投影比例可以根据实际需要选择，通常为1：1、1：2或其他比例。

在绘制投影时，根据投影比例进行比例转换，可以准确地反映物体的尺寸和形状。

点线面平行投影是绘图学中的重要内容，掌握相关知识点可以帮助我们更好地理解和描述物体的形状和结构，为工程设计和艺术创作提供支持。

同时，熟练运用投影比例和投影方向，可以使投影更加准确、直观地呈现出物体的特征和属性。

投影投影知识及点线面

1. 点的两个投影能唯一确定该点的空间位置
V
a A
X
O
a
H
2.两投影面体系的建立 V
正立投影面
X
O H
投影轴
水平投影面
两投影面体系由V面和H面二个投影面构成。V面和H面将空间分成四个分角。处在前、上侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。
3.点的两面投影图
V
点A的正面投影
投影面垂直线
侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）
垂直于某一投影面
一般位置直线
a b O
a
A
X b a B O
YW
b Y a
YH
两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的。 X 坐标值大的点在左； Y 坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。
2. 重影点 a b A B c(d)
C
D
a(b)
c
d
若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。
1. 优点
具有良好的立体感；
2. 缺点
比轴测图更为复杂，且很难度量。
透视图
1.3.4
标高投影图
在一个水平投影面上标有高度数字的正投影图称为标高投影图，表示同一高度的不规则曲面。作用：为施工中计算土方量、确定施工界限提供依据。
标高投影图
1. 三投影面体系的建立
V
Z
X
O
W
H
Y
三投影面体系由V、H、W三个投影面构成。 H、V、W 面将空间分成八个分角，处在前、上、左侧的那个分角称为第一分角。我们通常把物体放在第一分角中来研究。

点线面的位置关系与平行关系-讲义

点、线、面位置关系以及线面平行关系【知识点梳理】 1、公理及推论公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内．用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂．公理1作用：判断直线是否在平面内．公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a ．符号语言：,P AB A B l P l ∈⇒=∈．公理2作用：①它是判定两个平面相交的方法．②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点． ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据．公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一面．公理3及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据；②它是证明平面重合的依据．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2、空间直线与直线之间的位置关系（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线．（2）异面直线性质：既不平行，又不相交．（3）异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线．（4）异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角．两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直．（5）求异面直线所成角步骤：A 、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．B 、证明作出的角即为所求角．C 、利用三角形来求角．（6）异面直线的距离：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离．（7）两条异面直线的公垂线有且只有一条．（8）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补． 3、空间直线与平面之间的位置关系直线在平面内——有无数个公共点．三种位置关系的符号表示：a ⊂α；a ∩α＝A ；a ∥α．直线与平面平行、直线与平面相交称为直线在平面外．4、平面与平面之间的位置关系：平行—没有公共点：α∥β；相交—有一条公共直线：α∩β＝l ．5、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．（记忆口诀：线线平行线面平行）符号表示为：,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．图形如右图所示．6、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：,,////,//a b a b P a b βββααα⊂⊂=⎫⇒⎬⎭．图形如右图所示．7、直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过该直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（记忆口诀：线面平行线线平行）用符号表示为：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭．图形如右图所示．8、面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号语言表示为：//,,//a b a b αβγαγβ==⇒.其它性质：①//,//l l αβαβ⊂⇒； ②//,l l αβαβ⊥⇒⊥；③夹在平行平面间的平行线段相等．图形如右图所示．β aαbPabαβ【典型例题】题型一、证明点或线共面、三点共线或三线共点问题例题1：如图，已知空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AD 、BC 、CD 上的点，且EF 交GH 于P ．求证：P 在直线BD 上．．变式1：如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，则（）（A ）EF 与GH 互相平行（B ）EF 与GH 异面（C ）EF 与GH 的交点M 可能在直线AC 上，也可能不在直线AC 上（D ）EF 与GH 的交点M 一定在直线AC 上变式2：如图所示，设E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且λ==AD AH AB AE ，μ==CDCGCB CF ，求证：（1）E ，F ，G ，H 四点共面；（2）当μλ=时，四边形EFGH 是平行四边形；（3）当μλ≠时，四边形EFGH 是梯形．题型二、异面直线的判定或求异面直线所成的角例题2： A 是△BCD 平面外的一点，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，（1）求证：直线EF 与BD 是异面直线；（2）若AC ⊥BD ，AC =BD ，求EF 与BD 所成的角．变式3：给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题：①若,l m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ； ②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ； ③若,,,//l m n l αββγγαγ===，则//m n ，其中真命题的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0题型三、直线与平面、平面与平面平行的判定例题3：如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E=C 1F ．求证：EF ∥平面ABCD ．变式4：一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点．当FG=GD时，在棱AD上确定一点P，使得GP//平面FMC，并给出证明．题型四、证明线面平行与线面平行性质的运用例题4：如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE．．QPNMFEDCBANMGFEDCBA变式5：如下图，设a 、b 是异面直线，AB 是a 、b 的公垂线，过AB 的中点O 作平面α与a 、b 分别平行，M 、N 分别是a 、b 上的任意两点，MN 与α交于点P ，求证：P 是MN 的中点．变式6：如图所示，PA 是圆柱的母线，ABCD 为矩形，,,E F G 分别是线段,,PA PD CD 的中点，求证：//PB 面EFG ．baPQO N BM A变式7：如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE D C 的中点，求证：//MN 面11ADD A ．题型五：证明面面平行与面面平行性质的运用例题5：如图，在四棱锥P – ABCD 中，M,N 分别是侧棱PA 和底面BC 边的中点，O 是底面平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点．求证：过O 、M 、N 三点的平面与侧面PCD 平行．变式8：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．（1）求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；（2）若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面FBD ．【方法与技巧总结】 1．位置关系：（1）两条异面直线相互垂直证明方法：①证明两条异面直线所成角为90º；②证明线面垂直，得到线线垂直；（2）直线和平面相互平行证明方法：①证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；②利用平行四边形．③利用三角形中位线．（3）面与面平行证明方法：主要证明线线平行即可．（4）掌握线性平行，线面平行，面面平行三者之间的相互转化． 2．求角：（1）两条异面直线所成的角求法：①先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；②通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2,0(；（2）直线和平面所成的角：先找射影，构造成直角三角形．A1【巩固练习】1．A 、B 、C 表示不同的点，a 、l 表示不同的直线，α、β表示不同的平面，下列推理不正确的是（） A ．ααα⊂⇒∈∈∈∈l B l B A l A ,,, B ．βα∈∈A A ,，AB B B =⇒∈∈βαβα ,直线 C ．αα∉⇒∈⊄A l A l , D ．α∈C B A ,,，β∈C B A ,,且C B A ,,不共线α⇒与β重合 2．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是（）A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m // 3．有以下命题，正确命题的序号是．①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任何一条直线都不相交，则直线与平面平行； ③直线上有两点，它们到平面的距离相等，则直线与平面平行； ④直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行．4．在三棱锥P ABC -中，,O D 分别是,AB PB 的中点．求证：//OD 平面PAC ．5．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，,E F 分别是,PB PC 的中点，证明：//EF 平面PAD ．6．如图所示，在三棱柱111ABC A B C-中，D点为棱AB的中点，求证：1//AC平面1CDB．7．如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，O为AC中点，M为PD中点．证明：//PB 平面ACM．8．如图，已知DE∥AB，2AB=DE，且F是CD的中点，求证：AF∥平面BCE．9．在棱长为a的正方体1111ABCD A B C D-中,E是线段11A C的中点，底面ABCD的中心是F，求证：CE∥平面1A BD．CAPMO【课后作业】1．已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2，l 1∥α，则ｌ2与α的位置关系是（）A l 2∥αB l 2⊂αC l 2∥α或l 2⊂αD l 2与α相交2．设平面α与平面β交于直线l ，直线α⊂a ，直线β⊂b ，M b a = ，则M_______l ．3．直线AB 、AD α⊂，直线CB 、CD β⊂，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE 直线FG=M ，则点M 必在直线___________上．4．如图，在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中， M 、N 分别为AA 1、C 1D 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与直线A 1B 1交于点P ，则线段PB 1的长为． 5．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线BD 1与过A 1、D 、C 1的平面交于点M ，则BM ：MD 1= ． (5题) (6题) 6．直线a 、b 不在平面α，a 、b 在平面α内的射影是两条平行直线，则a 、b 的位置关系是． 7．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别为AA 1、CC 1、C 1D 1、D 1A 1的中点，则四边形EFGH 的形状是．8．空间四边形ABCD 中, AD=1 , BC=3, BD=213, AC=23, 且BC AD ⊥, 则异面直线AC 和BD 所成的角为．9．在四棱锥P ABCD -中，1//,2AB CD AB DC =，E 为PD 中点，F 为PC 中点．求证：//AE 平面PBC ．10．如图，矩形ABCD ，AB 为圆O 的直径，点F 在圆O 上，设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ．DMBFC NDAEDEMABCNPBHC D AF EG11．M 、N 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、B 1C 1的中点，（1）求MN 与AD 所成的角；（2）求MN 与CD 1所成的角．12．如图，已知空间四边形ABCD 的对角线AC=14cm ，BD=14cm ，M 、N 分别是AB ，CD 的中点，MN=37cm ，求异面直线AC 与BD 所成的角．13．已知四面体ABCD 中，M ，N 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心，求证：（1）BD//平面CMN ；（2）MN//平面ABD ．14．如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形，（1）求证：CD//平面EFGH ；（2）求异面直线AB ，CD 所成的角．15．M ，N ，P 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD 上的点，且AM ：MB=CN ：NB=CP ：PD ．求证：（1）AC//平面MNP ，BD//平面MNP ；（2）平面MNP 与平面ACD 的交线//AC ．【拓展训练】1．（四川卷）l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒ l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒ l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒ l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒ l 1，l 2，l 3共面 2．（浙江卷）若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则（）A ．α内的所有直线与l 异面B ．α内不存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交 3．（四川卷）下列命题正确的是（）A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 5．（四川卷）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是CD 、1CC 的中点，则异面直线1A M 与DN 所成角的大小是____________．6．如图，111111ABCDEF A B C D E F -是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过FB 作圆柱的截面交下底面于11C E ，已知113FC =，证明：四边形11FBE C 是平行四边形．7．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是平行四边形，,E F 分别在棱11,BB DD 上，且1//EC AF ．求证：1//FC AE ．N MB 1A 1C 1D 1BD C A【参考答案】 1、巩固练习答案1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】①② 4．【答案】因为，,O D 分别为,AB PB 的中点所以，//OD PA又因为，PA ⊂平面PAC ，OD ⊄平面PAC所以，//OD 平面PAC5．【答案】因为，,E F 分别是,PB PC 的中点所有，//EF BC由题可得，//AD BC ，即//AD EF又因为，AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD所以，//EF 平面PAD6．【答案】连接1C B 交1CB 于点E ，连接ED 在平行四边形11BB CC 中，E 为1C B 中点又因为D 为AB 中点所以，1//ED C A又因为，ED ⊂平面1CDB ，1C A ⊄平面1CDB所以，1//C A 平面1CDB7．【答案】证明：连接,BD MO在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以//PB MO 因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM 所以//PB 平面ACM ．8．【答案】取CE 中点P ，连结,FP BP ，∵F 为CD 的中点，∴1//,2PF ED PF ED = 又1//,2AB ED AB DE =∴//,AB PF AB PF =∴ABFP 为平行四边形，∴//AF BP ．又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ∴//AF 平面BCE9．【答案】连接1A F因为111111////AA BB CC AA BB CC ==，，所以11ACC A 为平行四边形，因此1111//,AC A C AC A C = 在正方形ABCD 中，F 为中心，即F 为AC 中点由于E 是线段11A C 的中点，所以11//,FC A E FC A E =，所以1A EFC 为平行四边形，即1//FA CE 因为1FA ⊂面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，所以CE ∥平面1A BD2、课后作业答案1．【答案】C 2．∈ 3．BD 4．43a5．2:1 6．平行或异面 7．等腰梯形 8．900 9．【答案】证明：连接EF ，中点为PD E . F 为PC 中点，则1//,2EF CD EF CD =因为1//,2AB CD AB CD =，所以//,EF AB EF AB =，则四边形ABEF 是平行四边形．所以//AE BF因为AE 不在平面PBC ，BF 在平面PBC , 所以//AE 平面PBC ．10．【答案】设DF 的中点为N ，则MN //12CD ，又AO //12CD ，则MN//AO ，四边形MNAO 为平行四边形，∴//OM AN又AN ⊂平面DAF ，OM ⊄平面DAF ， ∴//OM 平面DAF ．11．解：（1）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AD//B 1C 1⇒B 1C 1与MN 所成的锐角（或直角）是AB 、CD 所成的角．∠⇒B 1NM=450 ⇒MN 与AD 所成的角为450．（2）连接A 1B ，过M 在面A 1B 中作A 1B 的平行线交A 1B 1于点L ，连接LN ，LM//D 1C ∠⇒LMN （或其补角）即为MN 与CD 1所成的角．∠⇒LMN=600 ⇒ MN 与CD 1所成的角为600．12．解：取BC 的中点P ，连接PM ，PN ，可证∠MPN （或其补角）是异面直线AC 与BD 所成的角，在∆PMN 中，由MP=NP=7，MN=37，可得cos ∠MPN =21-，∠MPN =1200．则异面直线AC 与BD 所成的角为600．13．连接AM ，AN ，并延长分别交BC ，CD 于点E ，F ，连接EF ，由M ，N 分别是ABC ∆和ACD ∆的重心，得E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则EF//BD ，易证得BD//平面CMN ；由，得MN//EF ，可证MN//平面ABD ．14．（1）由四边形EFGH 是矩形可得，EF//GH ，可证得EF//平面BCD ，又因CD 是过EF 的平面ACD 与平面BCD 的交线，则EF//CD ，所以CD//平面EFGH ．（2）由CD//平面EFGH ，可证得CD//GH ；同理可证AB//GF ；∠FGH 就是异面直线AB ，CD 所成的角（或补角），因为EFGH 是矩形，所以∠FGH=900，则异面直线AB ，CD 所成的角为900．15．证明：（1）AC//平面MNP ，BD//平面MNP .（2），即平面MNP 与平面ACD 的交线//AC ．3、拓展训练答案1．B ，【解析】对于A ，直线l 1与l 3可能异面；对于C ，直线l 1、l 2、l 3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D ，直线l 1、l 2、l 3相交于同一个点时不一定共面，所以选B ．2．B ，【解析】在α内存在直线与l 相交，所以A 不正确；若α内存在直线与l 平行，又∵l ⊄α，则有l ∥α，与题设相矛盾，∴B 正确，C 不正确；在α内不过l 与α交点的直线与l 异面，D 不正确．3．C ，【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A 错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B 错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D 错；故选项C 正确． 4．B 5．90º6．【答案】证明：因为圆柱的上下底面平行，且11,FB C E 是截面与圆柱上、下底面的交线，所以11//FB C E依题意得，正六边形ABCDEF 是圆内接正六边形，所以，正六边形的边长等于圆的半径，即1AB AF == 在ABF ∆中，由正六边形的性质可知，120BAF ∠=，所以，2222cos1203BF AB AF AB AF =+-⋅=，即3BF =同理可得113C E =，所以11FB C E =，故四边形11BFC E 是平行四边形．7．【答案】证明：由题可知，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11//AA BB 平面11CC DD 因为1//AF EC ，所以，1,,,A F E C 共面1AFECAE ⊂平面1AFEC ，且平面1AFEC 平面111CC DD FC =．所以，1//AE FC ．。

第三章点、直线及平面的投影详解

第三章点、直线及平面投影
§3－1 点的投影 §3－2 直线的投影 §3－3 平面的投影
点线面的投影规律
通过上一节的学习及画图实践，可以体会到画一个物体的三视图，实质上是画出组成物体的各个面的投影，而各个面是由棱线围成的，各棱线是由两个端点决定的。
因此，为了迅速而正确地画出物体的视图，还需研究构成物体的基本几何元素点、线、面的投影。
Y
H
向下翻
●a
O
W
ay
Y
a ●
X ax
a●
点的投影规律
Z az
a
●
Z
V a
●
az
O
Y
ay
A
X ax
●
●a
O
W
ay
Y
a●
ay
H
Y
① aa⊥OX轴
aa⊥OZ轴
连影垂轴
② aax= aaz= y = A 到 V 面的距离 aax= aay= z = A 到 H 面的距离 aay= aaz= x = A 到 W 面的距离
Z
X
V a′ A
a″ W
a b
a
Z a
b
O
YW
b′
B b″
b
判断方法：
YH
x
ab
H
Y
x 坐标大的在左 y 坐标大的在前
z 坐标大的在上
例2.已知B点在A下10，A后5，A左10 mm处，求B点的三投影。作图步骤：（1）根据B的相对位置求其V.H面的投影 b’,b;
（2）根据点的投影规律,求其第三投影 b”。
§3－1 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P

投影知识点归纳总结

投影知识点归纳总结一、投影的基本概念1. 投影的定义：投影是指将一个点或一条线或一个物体的表面在另一个平面上投影的过程。

投影是一种几何学的基本概念，它被广泛应用于几何学、工程学、电影制作等领域。

2. 投影的种类：根据投影对象的性质，投影可以分为点投影、直线投影和面投影。

3. 投影的原理：投影的基本原理是利用光线传播的特性，将一个物体的形状和位置投射到另一个平面上，从而实现几何形状的表达和分析。

二、点投影的相关知识点1. 点投影的定义：点投影是指将一个点在另一个平面上的投影。

2. 点投影的性质：点投影的性质包括：平行投影、中心投影和透视投影。

3. 点投影的应用：点投影在工程图、几何学模型和摄影技术等领域有着广泛的应用。

三、直线投影的相关知识点1. 直线投影的定义：直线投影是指将一条直线在另一个平面上的投影。

2. 直线投影的性质：直线投影的性质包括：平行投影、交叉投影和平面投影。

3. 直线投影的应用：直线投影在建筑设计、机械制图和地图制作等领域有着广泛的应用。

四、面投影的相关知识点1. 面投影的定义：面投影是指将一个物体的表面在另一个平面上的投影。

2. 面投影的性质：面投影的性质包括：平行投影、交叉投影和透视投影。

3. 面投影的应用：面投影在工程制图、建筑设计和影视特效等领域有着广泛的应用。

五、投影的应用领域1. 工程制图：在建筑设计、机械制图和电路设计等领域，投影是绘制平面图和立体图的基础。

2. 地图制作：地图制作是利用地球表面的地理信息在平面上进行投影，以便观看和测量地理位置。

3. 影视特效：在电影和电视节目中，投影技术被广泛应用于特效制作和虚拟场景的构建。

4. 摄影技术：摄影是通过相机将三维物体投影到二维胶片或数码传感器上，从而产生真实的影像。

六、投影的发展趋势1. 投影技术的智能化发展：随着人工智能和计算机视觉技术的不断发展，投影技术将实现更高级别的智能化处理和应用。

2. 投影技术的虚拟化发展：随着虚拟现实和增强现实技术的快速发展，投影技术将融入更多的虚拟化应用场景中。

投影定理知识点总结

投影定理知识点总结一、投影的定义在三维空间中，当一个点P在一个平面上投影到另一个平面上时，它在投影平面上的投影点P'就是点P在投影平面上的垂线与该平面的交点。

投影的过程可以理解为点P向某个方向投射到另一个平面上的过程。

二、投影的性质1. 平行投影性质：如果被投影体与投影平面之间的边的方向相同，那么它们的投影将是相似的。

2. 零投影性质：如果被投影体与投影平面之间的边互相垂直，那么它们的投影将是共线的。

3. 线段投影性质：被投影体上的线段在投影平面上的投影是被投影线段的两个端点对应的投影点组成的线段。

4. 面投影性质：被投影体的面在投影平面上的投影是这个面在投影平面上的正射影。

三、投影的应用1. 工程测量中的投影：在建筑工程、地理测量和制图等领域中，投影定理常常用来确定物体在平面上的投影，从而进行测量和绘图。

2. 三维图形的展示：在计算机图形学中，投影定理被广泛应用于三维图形的投影和展示，例如计算机辅助设计、虚拟现实等领域。

3. 高等数学中的应用：在高等数学的几何向量、线性代数等课程中，投影定理常常用于分析向量的投影、直线和平面的相交等问题。

四、投影定理的例题讲解1. 例题一：已知直线l经过点A(1,2,3)且与平面2x+3y+z=4垂直，求l在平面上的投影。

解：由于直线l与平面2x+3y+z=4垂直，所以直线l在平面上的投影是l在该平面上的垂线与该平面的交点。

2. 例题二：已知空间中有一个正方体，其底面上的对角线AB的中点为O(1,1,1)，求AB的中点在正方体上的投影。

解：由于正方体的底面为一个正方形，在平面上投影时，正方体的底面上的对角线AB的中点在平面上的投影即为该对角线中点在平面上的投影。

5. 例题三：已知三维空间中有一个直线l，其方程为x=2t,y=3t,z=4t，求直线l在平面x+y+z=1上的投影。

解：直线l在平面x+y+z=1上的投影即为直线l在该平面上的垂线与该平面的交点。

第三章点、线和平面的投影详解

投影中心【组织教学】清点人数，填写教学日志【复习导入】1、平面图形的尺寸及形状分析的步骤。

2、平面图形的画图方法及作图步骤。

【讲授新课】§2．1 投影法的基本知识一、投影法物体在日光或灯光线的照射下，就会在墙面或地面上出现影子，这种现象就称为投影。

人们将这一现象加以科学的抽象和总结而形成了投影法。

投影线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法，称为投影法。

投影所在的平面称为投影面。

如左图所示。

常用的投影法分中心投影法和平行投影法。

1、中心投影法假设投射线从一点出发，将空间形体投射到投影面上的方法称为中心投影法。

如下图所示，光源S 称为投射中心，光源S 出发的一系列光线称为投射线。

2、平行投影法用相互平行的投射线对物体进行投影的方法称为平行投影法。

平行投影法又分为正投影法和斜投影法。

正投影法是指投射线垂直于投影面的平行投影法；斜投影法是指投射线倾斜于投影面的平行投影法；如上图所示。

机械图样中的图绝大多数都是用正投影法绘制的。

二、正投影的基本特性1、类似性（又称为收缩性）当直线、曲线或平面倾斜于投影面时，直线或曲线的投影仍为直线或曲线，但小于实长，平面的投影仍为平面，与真实图形类似，但小于真实图形的大小。

2、真实性当直线、曲线或平面平行于投影面时，其投影反映原线段的实长或平面图形的真实形状。

3、积聚性当直线、平面或曲面垂直于投影面时，直线的投影积聚成点，平面的投影积聚成直线，曲面的投影积聚成曲线。

§2．2三视图一、三视图的形成1、三面投影体系的建立根据物体的一个投影图是不能全面地表达出其空间形状和大小的。

因此我们建立一个由三个互相垂直的平面组成的投影体系来表达物体的形状，这个投影体系称三面投影体系，如下图所示，其中水平放置的平面称为水平投影面用H 表示，简称为H 面；正对着观察者的平面称为正立投影面用V 示，简称为V 面；在观察者右侧的平面称为侧立投影面用W 表示，简称为W 面。

点直线平面投影知识点

点直线平面投影知识点投影是几何学中的一个重要概念，它描述了一个物体在某个平面上的阴影或映像。

在几何学中，我们经常需要计算点、直线或平面在一个给定平面上的投影，以便更好地研究物体的形状和位置。

本文将介绍点、直线和平面在投影过程中的一些基本知识点。

1.点的投影点的投影是指一个点在一个给定平面上的映像。

当我们将一个点垂直投影到一个平面上时，投影点与原点和投影平面上的点构成的直线相垂直。

我们可以使用垂直投影的概念来计算点的投影坐标。

2.直线的投影直线的投影是指一个直线在一个给定平面上的映像。

当直线与投影平面垂直时，其投影为一条线段，两者之间的关系是平行的。

当直线与投影平面不垂直时，其投影为一个线段或线段的集合，我们可以使用投影法来计算直线的投影。

3.平面的投影平面的投影是指一个平面在一个给定平面上的映像。

我们可以使用平行投影或透视投影来计算平面的投影。

平行投影时，平面的投影与原平面平行，透视投影时，平面的投影会根据视点的位置而有所变化。

4.投影的性质投影的性质是指投影过程中的一些重要特点。

首先，投影不改变物体之间的相对位置关系，即在投影平面上两个点的距离与它们在原物体上的距离相等。

其次，正交投影保持直线的直线性质，即投影线段仍然是直线。

最后，平行投影保持平面的平面性质，即投影平面上的点仍然在同一个平面上。

综上所述，点、直线和平面的投影是几何学中的基本概念。

了解投影的计算方法和性质可以帮助我们更好地理解物体的形状和位置。

通过使用适当的数学方法和工具，我们可以计算出物体在给定平面上的投影，从而更好地分析和描述几何问题。

这些投影知识不仅在几何学中有重要应用，还在计算机图形学、建筑设计、工程制图等领域中发挥着重要作用。

第二章投影的基本知识和点、直线、平面的投影

15
第二章投影的基本知识
2、视图与形体的方位关系、
正面图反映形体的上正面图反映形体的上、下和左、右，不反映前、后；反映形体的不反映前平面图反映形体的前平面图反映形体的前、后和左、右，不反映上、下；反映形体的不反映上侧面图反映形体的上侧面图反映形体的上、下和前、后，不反映左、右。反映形体的不反映左 16
O ---原点原点
H Y
12
第二章投影的基本知识
2、形体在三投影面体系中的投影
—— 将形体放置在三投
影面体系中，影面体系中，按正投影法向各投影面投影，各投影面投影，则形成了形体的三面投影图。体的三面投影图。
三视图）：三面投影图（三视图）：正立面投影图（正面图）正立面投影图（正面图）——主视图主视图水平面投影图（平面图）水平面投影图（平面图）——俯视图俯视图侧立面投影图（侧面图）侧立面投影图（侧面图）——左视图左视图
Z
b′
a″b″
a″b″ A X O a a b Y b YH B X O YW
投影特性：1) a″b″ 积聚成一点 2) ab ⊥ OYH ; a′b′⊥ OZ 3) ab = a′b′ =AB
34
第二章投影的基本知识
Z b′
3、一般位置直线
b′ b″ X
Z
a″
B a′ X A a
β γ
O
a′ O b
•分析：分析：分析 a′az = aay = x a′ax = a″ay = z a″az = aax = y
第二章投影的基本知识
V
Z a′ az a″
W
A x O ay
a″ W
X

建筑识图与构造第2章点、线、面的投影原理

如图2-1所示，△ABC在点光源S照射下，在平面P上投影面上的投影为△abc。该影像称为投影，光源S称为投射中心，光线SAa、SBb、SCc称为投射线，投影所在的平面P称为投影面。
图2-1 投影的形成
2．投影的分类
投影法分为中心投影法和平行投影法。（1）中心投影法。由点光源产生放射状的光线，使形体产生的投影，叫做中心投影。中心投影直观性强，符合视觉习惯，但作图较难，如图2-2所示。
（4）平行两直线AC和BD，如图2-25（d）所示。（5）平面图形△ABC，如图2-25（e）所示。
图2-25 几何元素表示平面
2.4.2 各种位置平面的投影
平面按其与投影的相对位置不同，分为特殊位置平面和一般位置平面，特殊位置平面又分为投影面平行面和投影面垂直面。
1．一般位置平面 2．投影面平行面 3．投影面垂直面
图2-6 斜投影
2.1.2 正投影的投影特征
1．显实性（全等性）
这种性质称为正投影的显实性，如图2-7（a）、图2-7（d）所示。
2．积聚性
直线或平面与投影面垂直时，其投影积聚成点或直线，这种性质称为正投影的积聚性，如图2-7（b）、图2-7（c）所示。
3．类似性
直线或平面与投影面倾斜时，直线的投影仍为直线，但短于直线的实长；平面的投影，形状和大小都发生变化，如图2-7 （c）、图2-7（f）所示。
（a）轴测图
（b）投影图
图2-26 一般位置的平面
【例2-4】试判别图2-27中立体表面□ABGF、 □ABCDE、△MNP的空间位置。
图2-27 立体面上平面的空间位置
2.4.3
平面上的直线和点的投影
1．平面上的直线 2．平面上的点

2.2立体表面上的点、直线、平面的投影

第二节
3.一般位置平面
立体表面上点、直线、平面的投影
对V，H，W面都倾斜，不在同一直线上的三点构成的平面。投影特性一般位置平面的投影特性：三面投影仍为平面图形，且面积缩小。其投影为和原来形状类似的图形。（类似性）
a′ c′
b′ A
a″ B b b″ c″
C a c
第二节
Z
b●
bx X
12
bz
b
●
作图步骤： 1）在a′左方12 mm ，上方8 mm 处确定b′；
a
8
az O
a
by YW ay
ax
a
2）作b′b⊥OX 轴，且在a 前 10 mm 处确定b ；
10
ay by
YH
b
●
3）按投影关系求得b″。
第二节
立体表面上点、直线、平面的投影
当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。
W
V
●
a
●
az
O
W a
YW
X
ax
A
●
O
X
ax a
H
●
ay
a●
H
ay
Y
ay
YH
向下翻
第二节
立体表面上点、直线、平面的投影
1）、V、H两投影都反映横标，且投影连线垂直X轴；aa⊥OX轴。 2）、V、W两投影都反映高标，且投影连线垂直Z轴；aa⊥OZ轴。 3）、H、W两投影都反映纵标，投影连线是一条折线。
注意: 点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。
第二节

点、直线、平面的投影.

点、直线、平面的投影点、直线和平面是构成形体的基本几何元素，其中点是最基本的几何元素，因此首先学习点的投影。

若仅有点的一面投影是不能确定点在空间位置的，因此表达空间一个点的位置，就需建立三投影面体系来确定。

一、点的三面投影1.点的三面投影形成空间一点在一个平面上的投影仍为一个点，将点A置于三投影面体系之中，过A点分别向三个投影面作垂线(即投射线)，相交得到3个垂足，A点的H面投影为a、V面投影为a ˊ、W面投影为a〞，如图1a所示。

在机械制图中规定：空间点用大写字母A、B、C表示；空间点在H面上的投影用其相应的小写字母a、b、c表示；在V面上的投影用aˊ、bˊ、cˊ表示；在W面上的投影用a〞、b〞、c〞表示。

移出空间点A，将投影面展开如图1b所示，便得到如图1c所示的点的三面投影图。

(a) (b) （c）图1点的三面投影图2．点的投影规律由于投影面相互垂直，所以点的三条投影线也相互垂直，8个顶点构成正六面体，根据正六面体的性质，可以得出点在三投影面体系中的投影规律：(1) 点的水平投影与正面投影的连线垂直于OX轴,即aaˊ⊥OX。

(2) 点的正面投影与侧面投影的连线垂直于OZ轴，即aˊa〞⊥OZ。

（3）点的水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离，即aa x= a〞a z。

3. 点的投影与空间直角坐标的关系点的空间位置也可由直角坐标来确定。

把三投影面体系看成空间直角坐标系，把投影面当做坐标面，投影轴当作坐标轴，O即为坐标原点。

如图2所示，空间点A（x，y，z)到三个投影面的距离可以用直角坐标来表示，即：点A到W面的距离=Oa X=x坐标；点A到V面的距离=aa x=y坐标；点A到H面的距离=a′a x=z坐标。

由此可见，若已知点的直角坐标，可作出点的三面投影。

而点的任何一面投影都反映了点的两个坐标，点的两面投影即可反映点的三个坐标，也就是确定了点的空间位置。

因而，若已知点的任意两个投影，就可作出点的第三面投影。

第2章点、直线、平面的投影

在V面的投影用a'，在W面的投影用a"表示。
第2章点、直线、平面的投影
点的三面投影规律：
（1）点的投影连线垂直于投影轴。即：a'a⊥ox，a'a"⊥oz
（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点的坐标，也就是该点到相应投影面的距离。
三、点的三面投影与直角坐标的关系：
将投影面体系当作空间直角坐标系，把V、H、W当作坐标面，投影轴ox、oy、oz当作坐标轴，o作为原点。
E F
α
H
f
e
3.平面的投影
第2章点、直线、平面的投影
平面的投影一般仍是相类似的平面图形，在特殊情况下积聚为直线。
1）平面平行于投影面
B
A
C
投影△abc反映空间平面△ABC的真实形状。
b
a
c
H
2）平面垂直于投影面
E
D
F
d ef
H
第2章点、直线、平面的投影
在投影面上的投影积聚为直线。
3）平面倾斜于投影面
二、投影法的种类 1.中心投影法：
全部投影线都从一点投射出。
第2章点、直线、平面的投影
距物特
离体性
有和：
S
关投投
。影影
面大
之小
间与
H
第2章点、直线、平面的投影
2.平行投影法:所有投影线都相互平行。
特性：投影大小与物体和投影面之间距离无关。
第2章点、直线、平面的投影
2.平行投影法
所有投影线都相互平行。 1）正投影法：（主要学习此种投影方法）
投影图
a'
Z
正面投影a'b'∥OX，侧面

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影

主要内容：1、投影的基本知识；2、点的投影；3、直线的投影；4、平面的投影。

2.1 投影的基本知识一、内容：1、投影的基本概念；2、投影的类型；3、工程中常用的投影图。

二、要求及重点：要求掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

三、教学方式：通过实物及日常生活中的现象，使学生掌握投影的基本概念；了解投影的类型、用途。

2.1 投影的基本知识一、投影的概念1、在日常生活中，经常看到空间一个物体在光线照射下在某一平面产生影子的现象，抽象后的“影子”称为投影。

2、产生投影的光源称为投影中心S，接受投影的面称为投影面，连接投影中心和形体上的点的直线称为投影线。

形成投影线的方法称为投影法（图2-1）。

(a) (b)图2-1 中心投影法图2-2 平行投影法二、投影的类型投影法分为中心投影法和平行投影法两大类。

1、中心投影法光线由光源点发出，投射线成束线状。

投影的影子（图形）随光源的方向和距形体的距离而变化。

光源距形体越近，形体投影越大，它不反映形体的真实大小。

2、平行投影法光源在无限远处，投射线相互平行，投影大小与形体到光源的距离无关，如图2-2所示。

平行投影法又可根据投射线（方向）与投影面的方向（角度）分为斜投影（a）和正投影（b）两种。

(1)斜投影法：投射线相互平行，但与投影面倾斜，如图2-2(a)所示。

(2)正投影法：投射线相互平行且与投影面垂直，如图2-2(b)所示。

用正投影法得到的投影叫正投影。

三、工程上常用的投影图1、透视图用中心投影法将空间形体投射到单一投影面上得到的图形称为透视图，如图2-3。

透视图与人的视觉习惯相符，能体现近大远小的效果，所以形象逼真，具有丰富的立体感，但作图比较麻烦，且度量性差，常用于绘制建筑效果图。

图2-3 透视图图2-4 轴测图2、轴测图将空间形体正放用斜投影法画出的图或将空间形体斜放用正投影法画出的图称为轴测图。

机械制图之第二章-点线面基础知识和投影

s'
3' 2'
1'
a'
b'
c'
c
1
3
a
s
2
b
s" 3" 2"
1" c" a" b"
ⅠA是正平线 ⅡB是侧平线 ⅢC是任意线。
44
二、两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉（异面）。
⒈ 两直线平行
V d
c a
A
X
C a
b
B D
O
c
b
d
H
d b
c a
X
O
a
c
b d
空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。
a c●
●
c b
O YW
不在
b
b
b
YH
42
例：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一：（应用从属性）
解法二：（应用定比性）
Z
a
a
k ●
k●
a
●
k ●
●
b
b
b
X
O
b
X
YW
b
k● a
YH
k● a
43
例：已知Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三点分别在三棱锥的SA、AB、SC棱线上，求此三点的水平投影和侧面投影，然后将它们的同面投影用直线连接起来，并判别ⅠA、ⅡB、ⅢC直线的空间位置。
64
§2.7 直线与平面及两平面的交
一、直线与平面相交
直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。

点线面平行投影知识点

第一章 投影法和点线平面的投影

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影

点线面平行投影知识点

投影投影知识及点线面

点线面的位置关系与平行关系-讲义

第三章点、直线及平面的投影详解

投影知识点归纳总结

投影定理知识点总结

第三章点、线和平面的投影详解

点直线平面投影知识点

第二章 投影的基本知识和点、直线、平面的投影

建筑识图与构造第2章 点、线、面的投影原理

2.2立体表面上的点、直线、平面的投影

点、直线、平面的投影.

第2章点、直线、平面的投影

第二章投影的基本知识和点、线、面的投影

机械制图之第二章-点线面基础知识和投影

第一章投影法和点线平面的投影

第二章投影的基本知识和点、直线、平面的投影

建筑识图与构造第2章点、线、面的投影原理