延迟退休问题的数学模型
(推荐)基于延迟退休的数学模型
2014年第十一届五一数学建模联赛承诺书我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
我们授权五一数学建模联赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）： C 我们的参赛报名号为：参赛组别（研究生或本科或专科）：参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.日期： 2014 年 5 月 4 日获奖证书邮寄地址：邮政编码201编号专用页竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）：1121201题目关于延迟我国退休年龄问题的探析和前瞻摘要本文根据我国国情参照发达国家的退休年龄，对不同群体实施延迟退休政策，并且研究其对我国的社会问题的影响，尽快做出“延迟退休”的科学可行的制度设计。
问题一：我们针对我国国情指标，构造得到国民人均预期寿命，人口老龄化程度，劳动力供求状况，国民受教育情况的计算公式，拟合得到变化趋势图，定性分析这四个指标对延迟退休的影响。
其影响分别为随退休年龄增加，国民受教育时长，人口老龄化程度,国民人均预期寿命呈呈增长趋势，劳动力状况呈下降趋势。
问题二：我们针对不同群体，研究其具体工作状况，进而得到评价指标，再利用层次分析法构建评价模型，得到对不同群体较为合理的不同延迟退休年限。
数学建模竞赛问题分析例子
延迟退休问题
延迟退休即延迟退休年龄，指国家综合考虑中国人口结构变化的情况、
就业的情况而逐步提高退休年龄来延迟退休的制度。
2013 年 11 月 12 日中
国共产党第十八届中央委员会第三次全体会议通过《中共中央关于全面深
化改革若干重大问题的决定》指出：研究制定渐进式延迟退休年龄政策。
这需要综合考虑包括合理的赡养比、人口结构、人力资源供求（就业影响）、劳动者受教育年限、人口预期寿命以及社会保障制度进展情况等多
种因素。
目前，有关部门正在对这些因素进行综合分析和考虑。
2019 年中国的人均寿命已达到 77 岁，养老保险的赡养比也下降到了 3：1。
“延迟退休”是应对养老金收不抵支风险、维持政策代际公平的有效选择。
如：一位女性的寿命为 85 岁，55 岁退休，后面就要领 30 年养老金。
如果
不改革，在很大程度上必然要“啃小”，增加整个社会后代人的负担，这从代际公平上说是不合理的。
1. 基于某种因素(或多种因素)建立数学模型说明采用延迟退休的合理性，
以及男女退休的年龄；
2. 为了不使得政策产生的波动过大，拟采用渐进式延迟退休年龄政策，通
过数学模型说明这种渐进政策的合理性以及渐进的方式；
3. 从退休人员的个体考虑，由于单位效益等问题，有些人在岗时的收入和
退休时差距不大，因此，他们希望越早退休越好；而有些人在岗时收入比
退休明显多的，就希望晚退休，基于这种情况，建立数学模型，确定合理
的退休年龄以及制定相关的政策；
4. 针对国家目前已经实施全面放开二孩的计划生育政策，考虑新的人口政
策对以上问题的影响。
数学建模延迟退休
数学建模延迟退休随着人类寿命的延长和社会老龄化的加剧，延迟退休在现代社会中成为了一种备受关注的话题。
延迟退休可以为国家和个人带来一系列的经济和社会效益，尤其在数学建模的角度下，其影响因素和效果可以更加清晰地呈现出来。
本文将从数学建模的角度，探讨延迟退休对经济、人口结构和社会保障的影响，并分析其利弊以及可行性。
一、数学建模延迟退休对经济的影响1.经济负担减轻：随着延迟退休的普及，劳动力市场将迎来一波新的人才输入，这些有经验、有能力的老年人将进一步提升劳动力市场的效率和竞争力。
他们不仅可以为企业提供技术支持和经验传承，也能够缓解人口老龄化带来的劳动力短缺问题，从而促进经济的可持续发展。
2.消费能力增强：延迟退休可以延长老年人的工作生涯，相应地也延长了他们的收入来源。
老年人的消费需求在延长工作期限后将持续存在，他们将继续为经济增长做出贡献。
此外，随着老年人的消费需求增加，相关产业也将得到进一步发展，从而推动经济的繁荣。
3.养老金平衡：随着延迟退休的普及，个人退休金缴存期限延长，退休后的养老金领取时间也相应推迟，这有助于降低养老金支付的负担。
同时，也能够使退休金与实际退休年龄更加匹配，有助于提高养老金的可持续性，减少养老金运作风险。
二、数学建模延迟退休对人口结构的影响1.缓解人口老龄化：延迟退休可以使劳动年龄人口持续增加，从而一定程度上缓解人口老龄化问题。
在人口老龄化背景下，延迟退休可以有效减缓劳动力的供需矛盾，为社会经济发展提供更为稳定的人口结构。
2.平衡就业机会：延迟退休使得老年人继续参与劳动力市场，减少了年轻人的就业竞争压力。
由于延迟退休的老年人并不会减少，年轻人将有更多的就业机会，并且时间上也有更充裕的准备来迎接自己的退休。
3.促进人力资源高效流动：延迟退休推动了人力资源的优化配置。
老年人的长期工作经验和专业技术将得以更好地传承和利用，提升了整体的人力资源素质和经济发展水平。
同时，延迟退休也为年轻人提供了更多学习和成长的机会，让他们能够更好地适应未来社会的发展需求。
关于企业退休职工养老金制度改革的数学模型
三、模型应用与政策建议
5、推广个人储蓄型养老金模式。通过推广个人储蓄型养老金模式，可以增加 企业退休职工对于自身养老问题的责任感和主动性。在这种模式下，政府可以给 予一定的税收优惠或者其他政策支持，鼓励企业退休职工自愿储蓄部分收入作为 未来的养老保障。
三、模型应用与政策建议
6、建立信息共享平台。通过建立信息共享平台，可以实现企业退休职工、政 府机构和社会保险经办机构之间的信息共享和沟通。这样可以提高养老金管理的 效率和准确性避免出现重复发放或者漏发等问题。同时也可以方便企业退休职工 进行查询和办理相关业务. 7.加强相关法律法规的制定与实施。
三、模型应用与政策建议
建立信息共享平台加强相关法律法规的制定与实施建立科学合理的养老金评 估体系加强社会宣传引导等等这些措施有助于进一步完善我国企业退休职工的养 老保障体系提高他们的生活水平和福利待遇促进社会和谐稳定发展具有重要的现 实意义和深远的历史意义.
参考内容
内容摘要
对于延迟退休是否会影响养老金待遇的问题，李忠表示，养老金待遇包括基 础养老金和个人账户养老金，总的计发办法是长缴长得、多缴多得。其中，基础 养老金的确定有两个主要因素：一是缴费基数；二是缴费时间长短。从缴费基数 来说，延迟退休后，工资上涨的概率大；从缴费时间来说，延迟退休后缴费时间 延长，基础养老金数额自然是增加的。
2、养老金调整机制模型
2、养老金调整机制模型
为了确保企业退休职工的养老金能够随着社会经济的发展而相应地调整，我 们需要建立一个动态的养老金调整机制。这种机制可以通过建立一个数学模型来 实现，例如采用基于消费物价指数（CPI）或人均GDP的自动调整机制。假设我们 采用基于CPI的调整机制，我们可以建立如下的数学模型：ΔP = P × (CPICPI_target) × α
延长退休年龄的数学模型
延长退休年龄的数学模型摘要本文通过分析我国现阶段人口老龄化问题，通过查阅相关的资料，从人口结构转变引起的养老金支付压力，我国已具备延长退休年龄的必要条件，人口寿命延长加大养老金支付压力，人口红利进入收割期这四个方面分析，提出了有必要延长退休年龄的观点。
随之建立了Leslie离散模型，通过编写程序，运用matlab软件计算预测出了2001年至2100年我国各个年龄段的人口数量，通过画图，来说明未来一百年老龄化的严重程度。
在Leslie离散模型预测出的数据的基础之上，以养老金保险基金为切入点，建立了养老保险基金财务平衡模型，以五年为一个间隔，当退休年龄分别为60岁和65岁时，计算出从2010年到2100的赡养率和基本养老金的平均替代率，通过对数据的分析和多方面的比较，提出了我国应该将退休年龄延长到65岁的建议。
在退休年龄为65的基础上，针对如何公平公正确定退休金的发放和何时开始延长退休年龄这些问题，我们提出了分步骤，分阶段实行退休年龄延长的建议，应该实行弹性退休政策，应该根据不同地区和不同的人群制定合适的退休年龄，而不是实行一刀切的退休政策。
最后我们对建立模型的过程中没有考虑到的问题进行了优化，写出了优化方案，补充完善了模型，最后，我们对模型的优缺点进行评价。
关键词老龄化 Leslie离散模型 matlab软件养老保险基金财务平衡模型一、 问题重述：随着我国计划生育实施30年，以及老龄化社会的来临，社会中所需的劳动力短缺和养老保险资金储备的压力，我国自二十一世纪初以来，社会人口结构进入老龄化阶段的表征日益显现，人均寿命延长和劳动年龄人口数量的增长速度不断递减。
进入“十二五”期间后，我国更将是进入人口的快速老龄化阶段，劳动年龄人口的抚养比逐年上升，从而对我国经济发展方式的转变和产业结构升级带来巨大的压力，也对现行的社会养老保险基金的可持续运作提出了严峻的挑战。
针对这种现状，我们面临以下几个问题：1、根据现在面临的形式，通过查阅相关资料，确定是否有必要延长退休年龄。
渐进式退休年龄 应用题
渐进式退休年龄应用题
渐进式延迟法定退休年龄政策的核心点，在于通过采取渐进式的方式，逐步增加男性和女性职工的退休年龄。
具体来说，这一政策要求男性职工的退休年龄每年延长2个月，女性职工则每年延长3个月。
经过几年的实施后，最终将男性和女性的退休年龄都延长至65岁。
以男性职工为例，假设其当前退休年龄为60岁，按照渐进式延迟法定退休年龄政策，其退休年龄将在5年内逐步延长至65岁。
具体地，第1年退休年龄延长2个月，变为60岁2个月；第2年再延长2个月，变为60岁4个月；第3年延长2个月，变为60岁6个月；第4年延长2个月，变为60岁8个月；第5年延长2个月，最终变为65岁。
对于女性职工，假设其当前退休年龄为55岁，按照渐进式延迟法定退休年龄政策，其退休年龄也将在5年内逐步延长至60岁。
具体地，第1年退休年龄延长3个月，变为55岁3个月；第2年再延长3个月，变为55岁6个月；第3年延长3个月，变为55岁9个月；第4年延长3个月，变为56岁1个月；第5年延长3个月，最终变为60岁。
需要注意的是，渐进式延迟法定退休年龄政策是一个复杂的问题，需要综合考虑多方面的因素。
在实施这一政策时，应该充分考虑不同行业、地区、群体的实际情况和利益诉求，采取有针对性的措施，确保政策的公平性和可持续性。
同时，
还需要建立健全的配套机制和保障措施，如加强就业扶持、完善社会保障体系等，以保障政策的顺利实施和社会的稳定发展。
基于延迟退休年龄问题的数学模型研究与分析
基于延迟退休年龄问题的数学模型研究与分析作者：叶万红耿娟娟来源：《科学与财富》2018年第30期摘要：随着我国经济的不断发展，社会服务的水平不断提高，人们的平均寿命比往年大幅度延长了，这样就出现了老龄化的问题，由于此问题日益突出，延迟退休年龄问题便成为了热点话题，因此本文就延迟退休年龄话题展开了探讨。
首先利用层次分析法选取了影响延迟退休年龄的指标，其次建立了不同群体下的不同延迟退休年龄的评价模型，进而为相关部门制定延迟退休年龄的策略提供参考价值。
关键词：延迟退休；层次分析法；综合评价模型一、研究的背景根据国际的经验规定可知，如果一个国家六十五岁以上的比例达到百分之七或者六十岁以上的比例达到百分之十的时候，那就意味着这个国家已经步入了老龄化的社会。
从我国的人口普查数据来分析，我国已经步入了老龄化的行列了，而且老龄化问题日益突出。
此问题的出现最终将会阻碍我国经济的发展，造成社会保障出现不稳定的现象，延迟退休年龄问题便成为了当今世界的热点话题。
因此，怎样才能给出合理的延迟退休年龄的年限将是一个很重要的问题，所以，对延迟退休年龄问题的探讨是一件非常有意义的事情。
二、影响延迟退休年龄的指标选取与分析通过查阅相关文献的方法，给出了关于下面的四个指标的计算公式，利用层次分析的方法对建立的数学模型进行预测，利用MATLAB编程软件得出模型的结果。
2.1人均预期寿命的计算式生存人年数：年龄组死亡概率：尚存人数与死亡人数：综上可以得出，人均预期寿命的计算式：2.2人口老龄化的计算式平均年龄：平均寿命：老龄化指数计算式：2.3劳动力供求关系的计算式劳动力供求关系计算式：2.4 国民受教育程度的计算式采用MATLAB软件对数据进行拟合，得出了受教育程度的图像和计算式，具体公式和图像如下所示：计算公式：图像：通过以上四个指标对延迟退休年龄的影响分析可知，首先人均寿命不断提高，这就意味着延迟退休年龄是必要的，其次劳动力的供不应求，不能满足我国经济快速的发展。
延迟退休问题的数学模型
人口老龄化影响：养老负担加重，劳动力短缺，经济增长压力加大
延迟退休政策：应对人口老龄化的措施之一，旨在通过延长退休年 龄来缓解养老负担和劳动力短缺问题
养老保障压力
人口老龄化趋势加剧
养老保障体系负担沉重
养老金缺口逐渐扩大
延迟退休成为缓解养老保障压 力的重要措施
养老金缺口分析
养老金缺口的定 义：指当前养老 金收入与支出之 间的差额。
缺口产生的原因： 人口老龄化、养 老金制度不完善 等。
缺口对经济的影 响：增加财政负 担、影响经济增 长等。
应对措施：提高 养老保险费率、 延迟退休年龄等。
人口结构变化对延迟退休的影响
人口老龄化：随着人口老龄化的加剧，劳动力市场供不应求，需要延 迟退休来弥补劳动力不足。
延迟退休对经济增长的影响
延迟退休可以增 加劳动力供给， 促进经济增长
延迟退休可以缓 解养老压力，减 少财政负担
延迟退休可能会 降低消费需求， 对经济产生负面 影响
延迟退休对经济 增长的影响需要 综合考虑多种因 素
04
延迟退休问题的数学模型应用
政策制定建议
延迟退休年龄与人口老龄化趋势相适应 建立弹性退休制度，允许个人自愿选择退休年龄 完善社会保障制度，确保延迟退休后的生活质量 制定相关政策，鼓励企业支持延迟退休
确定研究问题： 延迟退休年龄对 养老保险系统的 影响。
数据收集：收集 相关数据，包括 人口老龄化、养 老保险系统财务 状况等。
建立数学模型： 根据收集的数据， 建立延迟退休问 题的数学模型， 包括人口老龄化 模型、养老保险 系统财务模型等。
模型验证：通过 历史数据对模型 进行验证，确保 模型的准确性和 可靠性。
基于数据包络模型的我国延迟退休方案研究.doc
基于数据包络模型的我国延迟退休方案研究- 关键词：延迟退休;DEA-CCR模型;实施方案一、引言本文在已有研究的基础上，对我国延迟退休年限的确定进行了研究。
本文首先确定影响延迟退休的指标，并将其分成不同的两类，一类与延迟退休正相关，一类与延迟退休呈负相关，进而通过数据包络分析法来计算出相应的延迟退休效率，并用延迟退休效率来代表是否应该延迟退休以及延迟退休的年限长度，进而制定相应的延迟退休政策执行的时间表。
二、指标数据的选择及假设（一）指标的选择1.国民人均预期寿命Y国民平均预期寿命，俗称“人均寿命”。
它一般指全体国民的人均寿命，其计算方式为对同时出生的一批人进行追踪调查，分别记下他们各年龄段死亡人数，直至最后一人寿命结束，然后根据这一批人活到各种不同年龄的人数来计算人口平均寿命;计算公式是：Y=∑ni=1xifi∑ni=1fi（1）其中n是指分为n个年龄段，fi是指第i个年龄段的死亡人数，xi是第i个年龄段的组中值。
2.人口老龄化程度P人口老龄化是指总人口中因年轻人口数量减少、年长人口数量增加而导致的老年人口比例相应增长的动态。
国际上通常把60岁以上的人口占总人口比例达到10%，或65岁以上人口占总人口的比重达到7%作为国家或地区进入老龄化社会的标准。
我们定义人口老龄化程度的公式为：P=P60PN（2）式中，P为人口老龄化程度指数，P60表示年龄大于60岁的人口，PN为总人口数。
3.劳动力供求状况Ns和Nd劳动力供给Ns是指在一个国家，在某一段时间内，在一定的经济条件和工资水平上，劳动力供给的决策主体愿意并且能够提供的劳动时间。
劳动力需求Nd是企业在某一特定时期内，在某种工资率下愿意并且能够雇佣的劳动量，计算公式是：Nd=Ed・wp，Ns=Es・wp（3）其中Ed代表劳动力需求弹性，Es代表劳动力供给弹性，w为货币工资，p 为价格，wp代表实际工资。
Ed=ΔDDΔWW，Es=ΔSSΔWW（4）其中ΔDD为劳动力需求变动率，ΔSS为劳动力供给变动率，ΔWW为工资率变动率。
基于延迟退休年龄政策的国民寿命预测数学模型设计
为延迟退休 献计制度设计献策。
【 关键词 】 延迟退休 ； 数 学模 型； 设计
延 迟退休 年龄 ， 指 国家结 合国外有些国家在讨论 或者 已经决定要 提高退 休的年龄来 综合考虑 中国人 口结构变化 的情况 、 就业的情况而 逐步提高退休 年龄或延迟退休的制度。 因为 目 前 我国已经进人人 口老龄化快速发展期 ， “ 延迟退休” 已成 为人 们关注 的热点话题 ，不同 的群体 对延迟退休 有不 同的看法与诉 求． 因此 ． 科学的做出延迟退休的制度设计尤其 重要 ， 本文就建立数学 模 型预测国民寿命 进行探讨 。
大学毕业后一直在做土建工程认资料员加工长一职
Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｖｉ ｓ ｉ ｏ ｎ
科 技 视 界
科技・ 探索・ 争鸣
基 于延 迟 退 休年 龄 政 策的 国民 寿 命预 测数 学 模 型 设计
刘泽 华 （ 安徽财 经 大学 ， 安徽 蚌埠 ２ ３ ３ ０ ３ ０ ）
寿命延长和计划生育政策效应凸显的双重作用 下 ． 我 国 的 人 口老 龄 化 进 程 不 断 加 剧
按照 国际标准 ． 我国 已经处 于人 口老龄化 社会 ． 且我 国的人 口老 龄化程度较高 。 在 ２ ０ ０ ０年我 国 ６ ０ 岁 以上人 口占社会总人 口的比重 己
达 １ ０ ． ３ ％． ２ ０ １ １年我 国 ６ Ｏ岁 以上 老年 人 口所 占 比重 达 １ ３ ． ８ ％． ６ ５岁 及
１ 模 型 的假 设
Ｉ ） 人的一生分成工作期和退休期 ， 消费者 在每个时期 内都是 同质 的． 且职工从工作起会一直工作到退休 。 ２ ） 假设 个体的效用函数仅仅取决于消费水平 ， 不存在闲暇和劳动 力供给之间 的选 择 ， 劳动 力供给在 工作期完全 无弹性 ， 在 到达退休年 龄时退 出劳动市场 ， 劳动力供给为零 。 ３ ） 假设三大产业不同时期 的就业弹性指数为定值 。 ４ ） 假设个人健康状况 、 个人和家庭收入及其储 蓄和积累资产 的多 少等因素对劳动参与率的影响忽略不计 。 ５ ） 所给 出的数据具有代 表性 ， 能反 映普遍情况 。 ６ ） 假设文 中所有数据可靠 。 ７ ） 假设职工健康状况 良好 ， 不会 出现突然死亡 。 ８ ） 假设 国家经济发展稳定 ， 不会 出现金融 危机等导致工资发生急 剧变化 的情况 ９ ） 假设人 口总量 的变化不考虑是 由特殊情 况而引起的 ． 符合 自 然
延迟退休问题分析
对于最优延迟退休年龄的预测12091029 代志雄延迟退休问题分析对于延迟退休最优年龄的预测：1. 建立模型假设个人只处于两种状态:(1) 完全工作状态。
在此种状态下, 个人收入只包括工资收入, 同时个人效用只由消费得到。
(2) 完全退休状态。
在此种状态下, 个人收入只包括退休金收入, 同时个人效用由消费和休闲得到。
除以上两种状态外, 个人不再存在其他状态, 即不存在既有工资收入, 又有养老金收入的中间状态; 或既有工资收入带来的个人效用, 又有休闲带来的个人效用的中间状态。
设个人在完全工作、完全退休状态下的效用函数分别为21,u u , 且均满Inada 条件: 0,0,0,0u 2211<><>u u u 。
[ 由上文对完全工作状态与完全退休状态的定义, 可知1u 为消费1c 的函数,2u 为消费2c 与休闲变量l 的函数, 且休闲变量l 为外生变量。
则效用函数可设为: )ln()(111c c u =,)ln()ln(),(u 222l c l c +=设个人在完全工作状态的工资收入为 w, 在完全退休状态的养老金收入为 v 。
同时设个人在完全工作状态和完全退休状态保持不变的边际消费倾向, 则可知消费函数为:v c w ==21,c .则效用函数可以表示为：)ln()ln(),ln(21l v u w u +== 设个人0t 岁时开始工作, R 岁时退休, T 岁时死亡。
同时, 设个人在退休前死亡的概率为 p, 在退休后死亡的概率为 1- p, 即 T < R 的概率为P, T > R 的概率为 1- p 。
由以上对个人的条件假设, 可得个人的期望效用为: )]ln()ln())[ln(1()ln())(1()(21211l v w p w p u u p pu u E ++-+=+-+= 其中, 1w 为 R T <情况下个人的工资收入,2w 为R T >情况下个人的工资收入。
数学建模退休年龄延迟问题
数学建模退休年龄延迟问题退休年龄的延迟问题1．假设条件(1)假设不存在提前退休，并且男女职工采用统一的法定退休年龄。
(2)在考察期内养老金缴费率为一个定值，不随时间及平均工资水平的变动而变动。
(3)养老金的替代率在考察期内也为一个定值，职工以替代率与平均工资的乘积来领取养老金。
(4)由于在我国农村养老保险的参保率很低，故本文所建模型中讨论引用的数据均是城镇就业人口的相关数据。
(5)在养老金收支的模型构建中不考虑政府财政对养老金的补贴。
（6）最佳退休年龄在60-65岁之间。
2.符号说明t o---职工参加工作的年龄。
t---法定的退休年龄。
T---职工的平均预期寿命。
m---职工的工作年数。
n---退休后依然据规定可以享受养老金的年数。
w to---职工刚参加工作时的平均工资。
g o---职工平均工资的年增长率。
y---考察期内养老基金的年收益率。
q---年缴费率。
p---年养老金替代率。
L t---工作的第m年末在岗职工的人数。
A i---工作的第m年末退休人数。
C m---将养老基金投资运营实现增值，收缴积累的养老金总额。
P m---积累的养老金的给付总额现值。
3．模型构建我国现行的是社会统筹和个人账户相结合的部分积累制，其特点是综合考虑了“横向平衡”和“纵向平衡”，即保证短期内对已退休人员支付退休金的平衡和保证对未来退休者支付退休金的平衡。
部分积累制的设定是为了缓解国家的负担，适合我国目前的国情但是完全积累制将是我国养老保险制度发展的方向。
张金峰(2007)构建了在平均余命提高的个人账户缴费率水平的模型，现将该模型进行扩展，综合考虑在人El老龄化情况下，引用2001—2007年的数据，测算在完全基金积累制下不同退休年龄对养老金的收支平衡的影响。
4．参数说明上述模型中设定的各项参数在不同时期不同省市存在一定的差异性。
并且随着社会经济的变化也在不断地变化着，为了能够从一个更具有普遍性的角度来说明本文的问题，这里对上述参数进行一些说明：(1)参加工作的年龄和平均预期寿命这里假定职工参加工作的年龄为2O岁。
渐进式延迟退休的数学模型研究
渐进式延迟退休的数学模型研究近年来，许多国家都在考虑通过延迟退休的方式来应对人口老龄化带来的挑战。
由于在一定时期内老年人与就业人口的比例会有所变化，从而导致社会保障体系的变动，因此，开发有效的渐进式延迟退休（PTR）模型成为为人们感兴趣的研究内容。
本文以渐进式延迟退休的数学模型研究为核心，讨论研究该领域的最新动态，总结渐进式延迟退休（PTR）模型的优缺点，以期为未来延迟退休政策的制定提供参考。
首先，本文将介绍渐进式延迟退休（PTR）模型的理论构想和实现过程。
渐进式延迟退休（PTR）模型是指通过渐进式提高退休年龄，以期延迟老龄化带来的负面影响，增加劳动力供给，提高基础设施建设的投资能力，促进投资的发展，促进经济的发展。
渐进式延迟退休（PTR）模型可以采用传统的数学模型来完成，主要分为三个步骤：建立退休年龄的模型，建立包含人口老龄化的模型，建立含有经济不确定性的模型。
建立退休年龄的模型旨在探究人口老龄化带来的影响，即研究渐进式延迟退休（PTR）模型对老年人和就业人口的比例变化，以及这种变化对社会保障体系的影响。
建立包含人口老龄化的模型主要是探究不同的变化速率（例如人口出生率、死亡率、移民率等）如何影响经济发展情况，以及如何通过渐进式延迟退休（PTR）模型来改善老龄化带来的负面影响。
建立含有经济不确定性的模型旨在探究由于政策、技术、资源和财政等外部因素而引起的经济不确定性如何影响渐进式延迟退休（PTR）模型，以及如何有效应对这种影响。
其次，本文将综述渐进式延迟退休（PTR）模型的优缺点。
首先，渐进式延迟退休（PTR）模型的最大优势在于有效地增加了劳动力供给，从而减轻了老龄化对社会保障体系的负面影响，减轻了经济不稳定性的影响。
此外，渐进式延迟退休（PTR）模型还能通过更加精确的退休年龄来提高社会保障的可靠性，提高投资市场的灵活性，缓解人口老龄化对经济发展带来的冲击。
然而，渐进式延迟退休（PTR）模型也存在一些缺点。
渐进式延迟退休问题的数学模型研究
渐进式延迟退休问题的数学模型研究摘要：目前中国进入老龄化社会，延长退休年龄问题已成为关注热点。
因人口寿命不断提高，按照现在的退休年龄，国家对养老金的投入将大大增加，为了解决此类问题，就此推出了渐进式延迟退休的方案。
此方案可以有效缓解我国当前乃至以后由人口老龄化带来的压力，调节市场劳动力供给与需求达到均衡。
根据人口老龄化程度、养老金收支平衡、市场劳动力的供求状况等主要因素建立退休年龄的数学模型。
对模型进行求解，得到不同年限间男女的最优的退休年龄。
关键词：延迟退休；渐进式；退休年龄一、引言（一）研究背景1.我国的人口老龄化和养老金收支平衡压力大随着我国人口老龄化进程不断加深以及社会经济的改革升级，中国的养老保险制度所面临的问题也日益严重。
我国目前的法定退休年龄是在新中国成立初期确定的，当时的人均寿命只有40岁左右（基于当时的社会背景统计）。
60多年来，我国经济社会发展，人口数量，结构和预期寿命都发生着巨大的变化，有必要对退休年龄做出一定的调整。
2.劳动力供给总量逐步减少随着人受教育程度不断提高，平均受教育年限增加，将使得工作年限不断缩短，在目前劳动力人口减少且老龄化的情况下，限制劳动年龄将抑制老年劳动力的工作意愿，并损害继续工作的老年人的劳动权益。
中国退休年龄偏低，因为在这个年龄段中，大多數劳动者依然身体比较健康，精力比较充沛，这种年龄退休造成了中国人力资源的浪费，退休年龄推迟可以延迟劳动力供给的下降。
（二）研究目的通过研究人均寿命，人口老龄化程度，劳动力供求状况和国民受教育情况，这四个指标对延迟退休的影响，研究几种群体较合理的延迟退休年龄，定量分析渐进式延迟退休政策实施可能带来的影响。
（三）研究意义人口老龄化问题愈来愈严重，通过研究渐进式延迟退休问题，综合分析我国劳动力供给和老龄化程度等经济社会发展因素，既能确保政策调整前后平稳过渡，也不会对就业状况造成太大的影响。
从养老基金方面来看，渐进式延迟退休可以使中国养老统筹基金增加，减少支出，降低国家养老金支出压力。
延迟退休年龄应对人口红利消失——基于空间面板回归模型的分析
三 、实 证 分析
柴兰 蒂【 ３ ］ 认 为 从 老 年 人 口抚 养 比角 度 看 ， 延
衡 ， 劳 动 力 资 源 的 分 配 上 存 在 空 间 上 的 较 大 差 异 。Ａ ｎ ｓ ｅ ｌ ｉ ｎ ［ ２ 】 等 指 出 这 种 空 间上 的 离 散 型 异 质 性
人 均 寿 命 的延 长 会 导 致 老 年 人 陷 人 晚 年 收 入 贫 困， 而且老 年人拥有 丰 富的工作经验 、 社会 资本 ，
～ Ｎ（ Ｏ ， Ｏ － ）
其中： 是 Ⅳ × １ 的 向量 ， 是 Ⅳ ×Ｐ的 矩
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
阵， Ⅳ 表 示 观 测 值 的个 数 ， 表 示 每 个 观 测 值 被 观
模， 模 型 如下 ：
对 我 国 失 业 率 与 老 年 人 口抚 养 比 、 人均Ｇ Ｄ Ｐ和 养 １ ． 我 国 的 失 业 率 存 在 空 间 相 依 性 和 空 间 异 质 性 。空 间相 关 性 是 由劳 动 力 人 口在 各 省 市 流 动 所 引起 的 ， 即 表 现 为 空 间滞 后 自相 关 和 空 间误 差 自
纯计钢 每 亥践 霹
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可见 ， 延 迟 退 休 年 龄 问 题 的研 究 有 非 常 重 要 的 理
论和现实意义。
Ｓ Ａ Ｒ Ａ Ｒ ： ＜ ｕ＝ Ａ Ｗｕ＋￡
ｆ Ｙ — ｐ Ｗ ｙ ＋
【
（ ３ ）
杨 志超 【 １ ］ 认为 延迟 退休 符合 生命周 期 理论 ，
失业 率 的影 响 。 二 、模 型 的 建 立
《 中国统计年 鉴》 的面板数据 ， 由 于 西 藏 自治 区 的
关于延迟我国退休年龄问题的探析和前瞻-数学建模
0
1
2
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4 x轴
5
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接下来通过相关数据的查阅， 分别对四个指标对推迟退休的影响程度进行估 测评价。 首先对国民人均寿命进行评价，通过查询相关资料，得到下表： 表 1：三次全国人口普查国民人均预期寿命
四、符号说明
为了便于问题的求解，我们给出以下符号说明： E Y W M Z 国民人均预期寿命 人口受教育年限 老龄化程度 劳动力需求状况 延迟退休必要性指数
五、问题一的解答
经过以上的分析和准备， 我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的 实际建立过程。 5.1 问题—的模型建立与求解 通过查阅文献资料，建立国民人均预期寿命、人口老龄化程度、劳动力供求 状况和国民受教育情况四个指标的计算公式。获取多组数据后，利用层次分析法 简化方法，对模型进行分析预测，然后构造矩阵，运用 Matalb 进行分析。最后， 建立四个指标的函数权重，通过无量钢化处理得到目标函数。 5.1.1 国民人均预期寿命的计算公式： 总人总年数：
问题四中要求分析我国“延迟退休”政策实施对社会养老保险金收支变化的 影响，通过建立模型。计算出推迟后的养老保险金与推迟前进行比较，得出延迟 退休会对降低隐性债务的效果和对国家债务产生影响。 关键词 层次分析法 延迟退休 拟合精算模型 AHP 综合评价模型 数据拟合
一、问题重述
1.1 背景分析 延迟退休， 是指国家结合国外有些国家在讨论或者已经决定要提高退休的年 龄来综合考虑中国人口结构变化、就业的情况，而逐步提高退休年龄或延迟退休 的制度。中国当前城市人口总体的平均退休年龄为 56.1 岁，其中男性平均退休 年龄为 58.3 岁，女性为 52.4 岁。研究报告认为，中国退休年龄偏低。因为在这 个年龄段中，大多数劳动者依然身体比较健康，精力比较充沛，这种退休年龄造 成了中国人力资源的浪费，从而产生了对延迟退休问题的探究。一般而言，任何 人通常都会涉及到退休的问题。目前我国已经进入人口老龄化快速发展期， “延 迟退休”已成为人们关注的热点话题，不同的群体对“延迟退休”也有不同的看 法。延迟退休一定会造成许多社会问题，因此，如何尽快作出“延迟退休”科学 可行的制度设计，是人们关心的问题。所以，对于延迟退休问题的研究，是非常 有意义的。 1.2 问题重述 目前我国已经进入人口老龄化快速发展期， “延迟退休”已成为人们关注的 热点话题， 不同的群体对 “延迟退休” 也有不同的看法。 如企业中高层管理人员、 部分专业技术人员(如医生、教师、科技工作者等)被认为愿意延长退休年龄， 但 大多数一线工人尤其是体力劳动者，则希望早点退休。因此，如何尽快作出“延 迟退休”科学可行的制度设计，是人们关心的问题。 请针对“延迟退休”问题，查阅资料并解决以下问题： 1、 查阅文献资料，给出如下四个指标的计算公式：国民人均预期寿命、人口老 龄化程度、劳动力供求状况和国民受教育情况，并研究这四个指标对延迟退 休的影响。 2、 由于各行业工作环境、要求差别很大，延迟退休年龄一刀切的做法显然需要 商榷。请就某一地区选择教师、内科医生、公司职员、客车司机、重体力劳 动者（含特殊行业工人）5 类群体，研究其工作状况，寻找影响这 5 类群体 延迟退休年限的评价指标（例如工作环境、工作经验、体质的要求等）。如 果延迟退休年限为 1 到 5 年，请根据你寻找的评价指标研究这 5 类群体较合 理的延迟退休年限。 3、目前世界各国的退休年龄各不相同，有的国家退休年龄超过 60 岁，有的不超 过 60 岁。选取 5 个延迟退休年龄超过 60 岁的国家，如美国、日本、德国、 澳大利亚、意大利，通过研究这些国家的国民人均预期寿命、劳动力供求状 况、国民受教育年限和人口老龄化程度等影响延迟退休年龄的相关因素，根 据你的研究结果，预测我国出台延迟退休政策执行的时间表。
关于延迟退休年龄问题的数学建模
关于延迟退休年龄问题的数学建模关于延迟退休问题的研究摘要目前中国进入老龄化社会，延长退休年龄问题已成为关注热点。
因人口寿命不断提高，按照现在的退休年龄，国家对养老金的投入将大大增加。
本文通过建立国家养老金收支模型（模型I ）来预测未来50年养老金会不会存在缺口。
即用50年内养老金的发放支出与缴费收入作差，若二者之差大于零，则存在缺口。
具体模型如式： ∑∑∑=--=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=nj j n b a i j ij w b i j ij r w x c Q y M 111)1( 。
数据方面，本文采用灰色预测和线性拟合的方法对从统计年鉴上获得的数据进行处理，预测得到未来50年的各项数值，代入模型求解。
得到结论：未来50年养老金会存在缺口。
同时反解年份n ，可知2015年养老金即存在缺口。
为了确定延迟退休的具体年限，本文建立了个人养老金收支模型（模型II ）。
因为职工退休十年后，个人账户的缴费数与领取数相互抵消，所以暂不考虑个人账户养老金的收支，仅用统筹账户的缴费累计作为个人养老金的缴费数：m r mcW M )1(0+=缴 。
用个人领取的基础养老金作为个人养老金的领取数∑=+=Ni i r dW M 11)1(领 。
令 10--=N M M Q 缴领 ，求得政府每年对退休年龄超过十年的职工给予数值为 Q 的补贴 。
当男性退休年龄为63岁，女性退休年龄为58岁时，0>Q ，当男性退休年龄为65岁，女性退休年龄为60岁时， 0<Q ，所以应延迟退休年龄至男性65岁，女性60岁。
最后，本文参考其他国家的退休年龄及改革方案，并综合考虑国内年龄结构，给出了较为合理的退休方式：2020-2030年女性职工的退休年龄每年延长6个月, 10年延长5岁。
使女性退休年龄延长至60岁, 男女退休年龄一致。
2030-2045年将劳动人口的工作时间延长至65岁。
用15年的时间完成, 每3年延长1岁。
基于延迟退休的数学模型
2014年第十一届五一数学建模联赛承诺书我们仔细阅读了五一数学建模联赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
我们授权五一数学建模联赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号为（从A/B/C中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为：参赛组别（研究生或本科或专科）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.日期：2014 年 5 月 4 日获奖证书邮寄地址：邮政编码2014年第十一届五一数学建模联赛编号专用页竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：裁剪线裁剪线裁剪线竞赛评阅编号（由竞赛评委会评阅前进行编号）：参赛队伍的参赛号码：（请各参赛队提前填写好）：11212014年第十一届五一数学建模联赛题目关于延迟我国退休年龄问题的探析和前瞻摘要本文根据我国国情参照发达国家的退休年龄，对不同群体实施延迟退休政策，并且研究其对我国的社会问题的影响，尽快做出“延迟退休”的科学可行的制度设计。
问题一：我们针对我国国情指标，构造得到国民人均预期寿命，人口老龄化程度，劳动力供求状况，国民受教育情况的计算公式，拟合得到变化趋势图，定性分析这四个指标对延迟退休的影响。
其影响分别为随退休年龄增加，国民受教育时长，人口老龄化程度,国民人均预期寿命呈呈增长趋势，劳动力状况呈下降趋势。
问题二：我们针对不同群体，研究其具体工作状况，进而得到评价指标，再利用层次分析法构建评价模型，得到对不同群体较为合理的不同延迟退休年限。
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延迟退休问题的数学模型
引言
随着人口结构的变化和老龄化趋势的加剧，很多国家纷纷提出延
迟退休的政策，以缓解养老金压力，同时也是为了更好地利用老年人
的社会资源和知识经验。
但是，延迟退休政策对于不同的人、不同的
行业、不同的区域都会产生各种各样的影响和挑战，需要科学的分析
和研究，建立数学模型来优化政策。
本文将从数学模型的角度出发，
探讨延迟退休问题及其数学建模。
一、延迟退休的现状及影响
目前全球范围内，许多国家都在考虑或实施延迟退休政策，其中China、Germany、Japan、Korea、Singapore 等是常见的例子。
随着
人口老龄化速度的提高，社会保险体系和养老金体制面临压力，延迟
退休成为解决养老问题的有效途径之一，然而该政策同样会对国家、
企业、个人等产生影响。
下面从不同角度对其影响进行探讨。
1. 对国家影响
延迟退休的首要目的是为了缓解养老金压力，降低政府的财政压力，增加国家经济发展的可持续性。
但不可避免地也会带来其他影响，如就业岗位减少、劳动力市场与青年人才竞争加剧、老年人口死亡率
增加等。
这一方面需要政府通过其他方式来解决，另一方面也需要国
家大力推进老年人的就业，鼓励老年人发挥其余的作用。
2. 对企业影响
延迟退休政策虽然在一定程度上可以缓解企业的用工压力，但也
会使得部分老年劳动力仍然留在企业里面，导致企业不能招入新的劳
动力，并影响企业的发展、创新和竞争。
同时，企业也需要积极推进
老年工人的技能创新和培训，保持劳动力的可持续性。
3. 对个人影响
延迟退休使得个人工作年限增长，但养老金领取时间也会延长。
这一方面需要个人进行有效的规划，保证养老金安全，另一方面也需
要政府制定更加公平和有效的养老保障制度。
总之，延迟退休在一定程度上可以缓解养老问题和财政压力，但同时也会带来一系列新的挑战和问题。
二、延迟退休问题的数学建模
基于上述分析，延迟退休问题涉及到诸多因素，如政策设计、金融保障、社会福利、人口结构等。
这些变量之间存在着复杂的相互作用关系，需要建立一个科学的数学模型来进行优化。
1. 模型建立
在数学模型中，延迟退休政策的设计、金融保障、社会福利和人口结构可视为一组输入变量，各个变量之间存在着多种关系。
在政策制定过程中，可以通过统计历史数据和建立模拟实验来得到模型的数值解。
设 X1、X2、X3、X4 为延迟退休政策的设计、金融保障、社会福利和人口结构这四个输入变量，分别表示为：
X1 = a1X11 + a2X12 + … +apX1p
X2 = b1X21 + b2X22 + … +bqX2q
X3 = c1X31 + c2X32 + … +crX3r
X4 = d1X41 + d2X42 + … +dsX4s
其中，a1、a2、…ap、b1、b2、…、bq、c1、c2、…、cr、d1、d2、…、ds 为每个因素的权重系数。
假设设 Y 为政策效果，表示为：
Y = f(X1,X2,X3,X4)
其中，f( ) 是政策效果函数。
2. 模型求解
建立好数学模型后，就可以通过模型求解来确定最优政策和产生的效果。
在实际模拟过程中，需要对输入变量和权重系数进行灵活调整，以达到最优化的效果。
3. 统计实验
统计实验是验证数学模型有效性和可行性的一种方法，它通过历史数据的分析、实验的设计和模拟结果的比较来检验模型的正确性和可靠性。
三、结论
随着人口老龄化问题日益突出，延迟退休政策已成为全球关注的问题。
从政策设计、金融保障、社会福利、人口结构等方面入手，建立科学的数学模型来优化政策是当前的建议。
但是，需要注意到延迟退休产生的新挑战和问题，从多个层面共同解决。
在养老保障制度的完善和老年人社会保障体系的建立方面，仍然需要继续探讨和改进。