球面坐标系和柱面坐标系的定义及其应用
柱面坐标变换和球面坐标变换
柱面坐标变换和球面坐标变换
在数学和物理学中，柱面坐标和球面坐标是描述空间中点位置的两种不同坐标系。
通过对这两种坐标系进行变换，可以在不同问题中更好地描述和分析相关的物理现象。
柱面坐标变换
柱面坐标通常用于描述平面内的点位置，其坐标形式为(r, θ, z)，其中r是点到z轴的距离，θ是与x轴的夹角，z是点在z轴上的投影位置。
柱面坐标与直角坐标系之间的变换关系如下：
假设直角坐标系中的点为(x, y, z)，柱面坐标系中的点为(r, θ, z)，则有以下变换关系：
r = √(x^2 + y^2)
θ = arctan(y/x)
z = z
柱面坐标变换在解决某些旋转对称问题时非常有用，比如圆柱体或圆锥体的体积计算和空间内的电场分布等问题。
球面坐标变换
球面坐标通常用于描述空间中的点位置，其坐标形式为(r, θ, φ)，其中r是点到原点的距离，θ是与x轴的夹角，φ是与z轴的夹角。
球面坐标与直角坐标系之间的变换关系如下：
假设直角坐标系中的点为(x, y, z)，球面坐标系中的点为(r, θ, φ)，则有以下变换关系：
r = √(x^2 + y^2 + z^2)
θ = arctan(y/x)
φ = arccos(z/r)
球面坐标变换在处理一些涉及球形对称性问题时非常有用，比如天文学中的行星运动和化学中的原子排列等问题。
综上所述，柱面坐标变换和球面坐标变换是描述空间中点位置的两种重要坐标系，它们在解决不同问题中起着关键作用。
通过深入理解两种坐标系之间的变换关系，我们可以更好地解释和分析物理现象，并在应用中更加灵活地使用不同的坐标系来描述问题。
柱面坐标变换和球面坐标变换一样吗
柱面坐标变换和球面坐标变换一样吗在数学和物理学领域，柱面坐标和球面坐标是常用的坐标系，它们在描述空间中的点和矢量时发挥着重要的作用。
虽然柱面坐标和球面坐标都是三维空间中的坐标系统，但它们之间存在一些显著的不同之处。
柱面坐标变换柱面坐标系是一个应用广泛的坐标系，其中一个点的位置由径向距离、极角和高度组成。
在柱面坐标系中，点的坐标表示为$(r, \\theta, z)$，其中r是点到z轴的距离，$\\theta$是与x轴的夹角，z是点到xy平面的距离。
柱面坐标系到直角坐标系的变换公式如下：$$ \\begin{aligned} x & = r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y & = r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z & = z \\end{aligned} $$球面坐标变换球面坐标系是另一种常用的坐标系，其中一个点的位置由半径、极角和方位角组成。
在球面坐标系中，点的坐标表示为$(\\rho, \\phi, \\theta)$，其中$\\rho$是点到原点的距离，$\\phi$是点到z轴的夹角，$\\theta$是与x轴的夹角。
球面坐标系到直角坐标系的变换公式如下：$$ \\begin{aligned} x & = \\rho \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y & = \\rho \\cdot \\sin(\\phi) \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ z & = \\rho \\cdot\\cos(\\phi) \\end{aligned} $$比较与总结尽管柱面坐标和球面坐标都用于描述三维空间中的点，但它们之间有一些显著的不同。
柱面坐标主要用于旋转对称的问题，球面坐标则适用于球对称的问题。
在坐标变换公式中，柱面坐标的r是一个平面距离，而球面坐标的$\\rho$是一个空间距离。
坐标系及其关系描述
图2-7 空间点P在直角坐标系中的坐标
2．空间向量的表示
有向线段可以由起始和终止的坐标来表示。如果一个向量起始于点 A，终止于点 B， 则 Ax ， Ay 和 Az 是点 A 在直角坐标系中的三个坐标分量， Bx ， By 和 Bz 是点 B 在直角坐 标系中的三个坐标分量，则该向量可以表示为
从正 Z 轴来看，自 X 轴按逆时针方向转到 OM 所转过的角，这里 M 为点 P 在 XOY 面上的
投影。我们称 r， ， 这三个数为点 P 的球面坐标。
图2-4 球面坐标系
4．其他形式的坐标系 1）参考坐标系
参考坐标系的位置和方向不随工业机器人各关节的运动而变化，对机器人其他坐标系 起参考定位的作用，通常采用三维空间中的固定坐标系 O-XYZ 来描述，如图 2-5 所示。
图2-1 直角坐标系
图2-2 右手坐标系
2．柱面坐标系 如图 2-3 所示，设 M (x ，y ，z) 为空间内一点，并设点 M 在 XOY 面上的投影 P 的极
坐标为 (r ， ) ，则 r， ，z 这三个数便称为点 M 的柱面坐标。
图2-3 柱面坐标系
3．球面坐标系 如图 2-4 所示，假设 P (x ，y ，z) 为空间内一点，则点 P 也可用三个有次序的数 (r ， ，) 来确定。其中，r 为原点 O 与点 P 间的距离； 为有向线段 OP 与 Z 轴正向的夹角； 为
Omz
则矩阵 M 可简化为
A M
OmO
0 1
也就是说，方向余弦阵 A 表示两坐标系的姿态关系，位置向量 OmO 表示 运动坐标系{m} 的原点 Om 在固定坐标系{O} 中的位置。
2.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
0 ≤ θ ≤ 2 π,
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平 面.
z
θ 为常数
z 为常数
M ( x, y , z )
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为 x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
o
θ
r
P (r ,θ )
y
x
讨论下列柱坐标系下的曲面方程表示的曲面
Answer : (a ) r = 5 x 2 + y 2 = 55
(b) (c )
Question: In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, dV=dxdydz,
D1 2
8
2π
0
45 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 3 2
4 8
I 2 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
D2 2
2
2π
0
25 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I = π π = 336π . 3 6
球面坐标与直角坐标的关系为
x = ρ sin cosθ, y = ρ sin sin θ, z = ρ cos.
A
x
ρ M ( x , y, z )
柱面坐标和球面坐标计算定积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定： 0 r , 0 , 0 2.
y
r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r
o
d
x
r sind rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
球面坐标和柱面坐标在计算中的应用 大学毕业设计
（2015届）本科毕业设计（论文）题目名称：球面坐标和柱面坐标在计算中的应用学院（部）：理学院专业：数学与应用数学学生姓名：吴永旭班级：1101 学号：11404200413 指导教师姓名：唐亮职称：讲师最终评定成绩：2015年湖南工业大学本科毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的毕业论文（设计），题目《2011年中国各省财政收入数据的主成分分析研究》是本人在指导教师的指导下，进行研究工作所取得的成果。
对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文章以明确方式注明。
除此之外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。
本人完全意识到本声明应承担的责任。
作者签名：日期：2014 年 3 月10 日摘要三重积分和曲面积分是大学数学和数学分析中的重点同时也是难点。
如果当积分的区域是圆柱面、圆锥面、或者是球面时，这个时候我们就可以利用球面坐标和柱面坐标的变换使积分的计算更为简便。
纵观现有各个版本的高等数学和数学分析的系列教材中，应用柱面坐标和球面坐标来计算三重积分和曲面积分都们没有给出具体的设计公式，这使得学生很难掌握。
所以球坐标、柱面坐标在计算中的应用这方面的研究可以帮助学生更好的掌握题目的计算、理清解题的思路。
本文结合了数学分析、解析几何等教材以及相关的文献资料比较全面的给出了运用球面坐标和柱面坐标来简化三重积分和曲面积分的方法。
在运用球面坐标和柱面坐标的基础上充分的运用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性省略一部分计算，达到简化的效果。
本文还归纳总结出一些学生常见的求三重积分积分限的类型以及积分域的投影区域，并提出如何确定积分限，对学生计算三重积分有一定的指导意义。
关键词：球面坐标；柱面坐标；三重积分；曲面积分ABSTRACTUniversity of triple integral and surface integral are key points and difficulties in mathematics and mathematical analysis. If when the integral region is a cylinder, cone surface, or spherical, this time we can use spherical coordinates and cylindrical coordinates transform integral calculation more simple. Throughout most of the existing various version of the series of higher mathematics and mathematical analysis teaching material, the application of cylindrical coordinates and spherical coordinates to calculate the triple integral and surface integral are gave no specific design formula, make it hard for students to master. So spherical coordinates and cylindrical coordinates in calculation, the application of this research can help students better grasp the problems of computation, clarify the thinking of the problem solving. This paper combines the mathematical analysis, parsing, how a few materials and relevant literature of using spherical coordinates and cylindrical coordinates is given to simplify the triple integral and surface integral method. In using spherical coordinates and cylindrical coordinates on the basis of fully using the parity of integrand and symmetry of integral area of omit part of calculation, the effect of simplified. This article also summarizes some common for students of triple integral limit type and integral domain projection area, and puts forward how to determine the bounds, for students to have certain guiding significance to the triple integral calculation.Keywords:Spherical coordinates; Cylindrical coordinates; Triple integral.；Surface integral 目录第一章绪论 (1)第二章球坐标、柱面坐标简要简介 (4)2.1球坐标、柱面坐标的概念 (6)2.2球坐标、柱面坐标的性质 (6)第三章球坐标、柱面坐标在三重积分计算中的应用 (6)3.1 三重积分限的确定 (6)3.2球坐标在三重积分计算中的应用3.2.1一般情况下球面坐标三重积分的计算 (6)3.2.2利用对称性和奇偶性简化球面坐标三重积分计算 (6)3.3柱面坐标在三重积分计算中的应用 (6)3.3.1一般情况下三重积分的柱面坐标计算法 (6)3.3.2运用对称性和奇偶性简化柱面坐标三重积分计算 (6)第四章球坐标、柱面坐标在曲面积分计算中的应用 (4)4.1球坐标在曲面积分计算中的应用 (4)4.2柱面坐标在曲面积分计算中的应用 (6)结论 (6)致谢 (6)参考文献 (6)第1章绪论三重积分和曲面积分是大学数学和数学分析中的重点但也是难点。
柱面坐标和球面坐标什么情况下用
柱面坐标和球面坐标何时应用在数学和物理中，柱面坐标和球面坐标是两种常见的坐标系，用于描述三维空间中的点的位置。
在何种情况下选择使用柱面坐标或球面坐标是一个重要的问题，下面将分别讨论这两种坐标系的特点以及在何种情况下应该选择使用。
柱面坐标柱面坐标是一种二维坐标系，通常用$(r, \\theta, z)$表示，其中r表示点到z轴的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，z表示点在z轴上的高度。
柱面坐标系常用于描述具有旋转对称性的问题，如圆柱体、螺旋体等。
在以下情况下使用柱面坐标是比较合适的：- 需要描述具有圆柱对称性的问题，如旋转体、电磁问题等。
- 问题具有明显的旋转对称性，如涡旋问题。
- 问题的解在极坐标下更简洁或更容易求解。
球面坐标球面坐标是一种三维坐标系，通常用$(r, \\theta, \\phi)$表示，其中r表示点到原点的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，$\\phi$表示点从z轴正半轴旋转到该点对应直线的倾角。
球面坐标系常用于描述具有球对称性的问题，如球体、天体运动等。
在以下情况下使用球面坐标是比较合适的： - 需要描述具有球对称性的问题，如天体运动、分子结构等。
- 问题的解在球坐标下更简洁或更容易求解。
- 需要描述三维空间中的全向性问题。
总结根据问题的具体性质，选择适当的坐标系是进行数学建模和物理分析的重要一步。
柱面坐标和球面坐标各有其适用的范围，选择合适的坐标系可以简化问题、提高求解效率，并更好地理解问题的物理本质。
综上所述，柱面坐标适用于具有旋转对称性的问题，而球面坐标适用于具有球对称性的问题。
在实际问题中，根据问题的特点和解题的便捷性来选择使用柱面坐标或球面坐标将更有利于解决问题和得出准确结果。
利用柱面坐标和球面坐标
o
y
为常数 半平
面．
x
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
z
r M(x,y,z)
z
o
x
A
y
x
P
y
如图， 球面坐标系中的体积元素为
d vr2sin dd r d,
z
dr
d
rsin
r
rsin d
例3 计算三重积分 (x2y2)dv, 其中 是由曲
面 z x2y2与平 zH 面 (H0)所围成
z
解 将 向 xoy 面投影，得
D: x2y2H2
HH
或
D:
0 2,
0rH.
过 (r, )∈D 做平行于 z 轴
的直线，得
rzH .
o(r,)
r sin cos , r sin sin , r cos.
02d0 co2ssinr551 0d d vr2sin drd d
1 50 2 d0 co 2sin d
1 50 2d0 co 2s d(co ) s
例4 用球面坐标计算 z2dv . 其中
z
: x2y2z21.
解 画 图。
o
y
确定 r， ， 的上下限。 x
(1) 将 向 xoy 面投影，得
0 2 .
(2) 任取一 [0,2],过 z 轴作半平面，得
0.
(3) 在半平面上，任取一 [0,], 过原点作
rd
d
柱面坐标系和球面坐标系的选择
柱面坐标系和球面坐标系的选择在数学和物理学领域，我们经常会遇到需要描述空间中点的位置的情况。
柱面坐标系和球面坐标系就是两种常见的坐标系，它们分别适用于不同的情境。
柱面坐标系柱面坐标系是一种三维坐标系，用$(r, \\theta, z)$表示，其中r代表点到z轴的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，z表示点在垂直xy平面的高度。
柱面坐标系适合于描述具有轴对称特点的问题，比如圆柱体或旋转对称体的情况。
在这种坐标系下，坐标变换较为简单，方便处理。
球面坐标系球面坐标系是另一种常见的三维坐标系，用$(r, \\theta, \\phi)$表示，其中r代表点到原点的距离，$\\theta$表示点在x−y平面上的极角，$\\phi$表示点与z轴的夹角。
球面坐标系适合于描述球体或具有球对称特点的问题。
在球面坐标系下，很多问题会变得更加简单和对称。
如何选择在选择柱面坐标系和球面坐标系时，需要根据问题的特点进行判断。
如果问题具有轴对称性，或者是圆柱体的问题，那么柱面坐标系可能更为适合。
柱面坐标系下坐标变换简单，可以方便地处理这类问题。
如果问题具有球对称性，或者是关于球体的问题，那么球面坐标系可能是更好的选择。
通过球面坐标系，可以简化许多复杂的计算，使问题更容易解决。
在实际问题中，有时会涉及到需要两种坐标系结合来描述的情况，这时需要根据具体的需求来选择合适的坐标系进行描述，以便更好地解决问题。
在数学和物理学领域中，柱面坐标系和球面坐标系是非常常用的工具，正确的选择和使用将有助于更加高效地解决问题，更准确地描述空间中的点的位置。
以上是关于柱面坐标系和球面坐标系的选择的一些基本内容，希望对您有所帮助。
高中数学立体几何建系
在高中数学的立体几何中，建立坐标系是常见的方法之一。
建立坐标系可以帮助我们描述和研究立体图形的位置、形状和性质。
以下是一些常见的建系方法：
直角坐标系：在平面上建立直角坐标系，可以使用两个垂直的坐标轴（通常是x轴和y轴）来描述图形的位置和尺寸。
三维情况下，可以添加一个垂直于平面的z轴，形成三维直角坐标系。
柱面坐标系：柱面坐标系适用于柱面或圆柱体等具有柱状特征的图形。
它使用一个径向距离（r）和一个角度（θ）来描述图形上的点的位置。
球面坐标系：球面坐标系适用于球体或球壳等具有球状特征的图形。
它使用一个径向距离（ρ）、一个极角（θ）和一个方位角（φ）来描述图形上的点的位置。
斜二面角坐标系：斜二面角坐标系适用于描述两个平面的夹角关系，常用于研究平面与平面相交、平面与直线相交等问题。
在建系过程中，我们需要选择适当的坐标轴或坐标系，并定义坐标轴的正方向和原点位置，以及确定单位长度等。
这样可以建立一个坐标系，使得我们可以方便地进行立体图形的分析、计算和推导。
三重积分柱面球面坐标
0
d
.
y
rcos ) r 2 sin drdd
x
19
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f ( x, y, z)dxd ydz
F (r , , ) r 2 sin d r d d
其中 F (r , , ) f (r sin cos , r sin sin , r cos )
第三节 三重积分
一、三重积分的概念 二、三重积分的计算
第十章
1
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利用柱面坐标计算 三重积分。
2
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2. 利用柱面坐标计算三重积分。
回忆用投影法（先一后二）计算三重积分
z2 ( x , y )
1
f ( x, y, z)dV dxdyz ( x, y )
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成： 半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d
rsind
dV = r 2 sin drdd
dV
r
f ( x , y, z )dxdydz
f (r sin cos , r sin sin ,
适用范围:
1) 积分域表面用球面坐标表示时方程简单; 2) 被积函数用球面坐标表示时变量互相分离.
20
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下面介绍一些区域的球面 坐标的描述
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直角坐标 球体
球面坐标
: x 2 y 2 z 2 R2
: 0 2 0 0r R
柱面坐标和球面坐标转换
柱面坐标和球面坐标转换一、介绍在数学和物理学中，坐标系是描述空间中点位置的重要工具。
柱面坐标和球面坐标是常见的描述点位置的坐标系。
本文将介绍柱面坐标和球面坐标之间的转换关系及其应用。
二、柱面坐标系柱面坐标系是三维笛卡尔坐标系的一种替代表示方法。
柱面坐标系由径向距离r、极角$\\theta$和z坐标组成。
点$(r, \\theta, z)$在柱面坐标系中表示。
柱面坐标系的转换公式如下：$$ x = r \\cos(\\theta) \\\\ y = r \\sin(\\theta) \\\\ z = z $$三、球面坐标系球面坐标系是另一种描述三维空间中点位置的坐标系。
球面坐标系由径向距离r、极角$\\theta$和方位角$\\phi$组成。
点$(r, \\theta, \\phi)$在球面坐标系中表示。
球面坐标系的转换公式如下：$$ x = r \\sin(\\theta) \\cos(\\phi) \\\\ y = r \\sin(\\theta) \\sin(\\phi) \\\\ z = r \\cos(\\theta) $$四、柱面坐标到球面坐标的转换从柱面坐标$(r, \\theta, z)$到球面坐标$(r, \\theta, \\phi)$的转换可以通过以下公式完成：$$ r = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\\\ \\theta = \\arctan\\left(\\frac{\\sqrt{x^2 + y^2}}{z}\\right) \\\\ \\phi = \\arctan\\left(\\frac{y}{x}\\right) $$五、球面坐标到柱面坐标的转换如果要将球面坐标$(r, \\theta, \\phi)$转换为柱面坐标$(r, \\theta, z)$，则可以使用以下公式进行计算：$$ r = r \\sin(\\theta) \\\\ \\theta = \\arctan\\left(\\frac{r \\cos(\\theta)}{r \\sin(\\theta)}\\right) \\\\ z = r \\cos(\\theta) $$六、应用实例柱面坐标和球面坐标的转换在物理学、工程学和计算机图形学等领域都有广泛的应用。
课件：三重积分的计算(柱坐标和球面坐标)
9
旋转面方程为 x2 y2 2z,
I 28dz ( x2 y2 )dxdy
Dz
28dz ( x2 y2 )dxdy x2 y22z
28dz 02 d 0 2z r 3dr
282
4z2 dz 4
336。
例 3．一形体 是由平面yz4, z0和圆柱面
x2 y2 16 所围成，已知其上任一点的密度与该
点到 z 轴的距离 成正比，求其质量 m 。
解：密度函数 ( x, y,z)k x2 y2 (k0) ，则 z
m k x2 y2 dxdydz 。
x2 y2 16
yz4
4
在 xoy 平面上的投影区域为 Dxy {( x, y) x2 y2 16} ，
o 4y
x
10
在柱面坐标下
{(,,z) 02, 04, 0 z4sin } ，
x sincos rcoscos rsinsin
∵ J ( x, y,z) sinsin rcossin rsincos r 2sin
( r ,,)
cos rsin
0
∴ f (x, y,z)dxdydz
f (rsincos,rsinsin,rcos)r2 sindrdd
24
sincos rcoscos rsinsin
奇函数， 有 xdv 0.
( x z)dv zdv 利用球面坐标
2
d
4 d
1 r cos r2 sin dr
.
0
0
0
8
例6 计算 e z dv， : x2 y2 z2 1.
解 被积函数仅为 z 的函数，截面 D(z) 为圆域 x2 y2 1 z2，故采用＂先二后一＂法．
柱面坐标系.
x2 y2 z2
z r,
D : x2 y2 1,
: r z 1, 0 r 1, 0 2 ,
所以 z x2 y2 dxdydz
zr 2drddz
2
d
1 r 2dr
1
zdz
0
0
r
2 1 r 2 (1 r 2 )dr
0
2
2 .
15
第四节 利用柱面坐标和球面 坐标计算三重积分
一 柱面坐标系 二 利用柱面坐标计算三重积分 三 球面坐标系 四 利用球面坐标计算三重积分 五 小结
一 柱面坐标系
设 M(x,y,z)为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,θ，则这样的三
个数 r,θ,z 就叫点 M 的柱面坐标．
区域的三重积分的两倍.
例 6 利用对称性简化计算
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z
z2 2
1
1)
dxdydz
其中积分区域 {( x, y, z) | x2 y 2 z 2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
例3 计算 zdv, 其中 是 x2 y2 z2 2a2 与
z x2 y2 所围成的立体.
解 由锥面和球面围成，采用球面坐标，
由 x2 y2 z 2 2a2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,
4
0 2,
zdv
2
0
d
4 0
d
0
物理坐标系知识点
物理坐标系知识点物理坐标系，顾名思义，是在物理学中用来描述空间位置和方向的坐标系。
在学习物理学的过程中，物理坐标系是一个必须掌握的知识点。
在本文中，我们将讨论物理坐标系的基本概念、种类、应用和相关物理量的表达方式等内容。
一、物理坐标系的基本概念物理坐标系是用来描述空间位置和方向的一组坐标系。
我们常见的三维物理坐标系有笛卡尔坐标系、柱面坐标系和球面坐标系等。
笛卡尔坐标系是我们最为熟悉的坐标系，其中分别有x、y、z 三个轴，可分别表示在x、y、z方向上的位置。
柱面坐标系是用z轴和极径与z轴的夹角θ、以及在xz平面内的方位角φ来表示三维空间中的位置，通常用于描述圆柱体和圆锥体。
球面坐标系是用半径r、极角θ和方位角φ来表示三维空间中的位置，通常用于描述球体。
不同的坐标系具有不同的坐标系转换方式，因此在具体应用中，我们需要根据需要选择合适的坐标系。
二、物理坐标系的种类1. 绝对坐标系绝对坐标系是一种不随物体运动而改变的坐标系，即其原点位置不随万有引力的作用而改变。
在空间中存在一个特殊的点，该点为绝对坐标系的原点。
例如我们所说的地球坐标系。
2. 相对坐标系相对坐标系与绝对坐标系相反，它是随着物体的运动而相对移动的。
例如，我们考虑在一个公交车内部进行物理实验，那么我们就需要使用相对坐标系。
此时，车内的原点随着公交车的运动而移动。
3. 加速度坐标系加速度坐标系是一种特殊的相对坐标系，常常用于描述加速度相关的物理问题。
例如，在一个加速的电梯中，我们就需要使用加速度坐标系来描述人在电梯内的运动。
4. 旋转坐标系旋转坐标系是一种特殊的坐标系，它是通过对笛卡尔坐标系进行旋转而得到的。
例如，在描述行星绕太阳的运动中，我们需要使用沿着轨道方向或者赤道面方向的旋转坐标系，从而得到行星的运动轨迹。
三、物理坐标系的应用物理坐标系广泛应用于生活中和工业生产中。
例如，在建筑和工程中，我们需要使用坐标系来准确描述建筑和工程的位置和方向。
柱面及球面坐标系中散度、旋度的
柱面及球面坐标系中散度、旋度的应用摘要：曲面坐标系中散度与旋度在物理学中有着广泛的应用。
特别在流体力学、电磁学、电动力学等学科，它们主要是解决矢量场相关问题有力的数学工具，对我们学好物理学有很大帮助。
本文应用了散度、旋度的一般定义，导出了三维曲面标系柱面及球面坐标系中散度与旋度的解析式，并分别分析了其各自的物理意义。
最后对柱面及球面坐标系中的散度、旋度在电场、磁场等矢量场中的应用进行了举例讨论。
这对学习场论中的散度与旋度更易于能加深理解。
关键词：散度 旋度 物理应用 矢量场 0引言：场论不仅仅是数学分析领域中的基础理论，而且在其他学科中都有广泛的应用。
在物理学中,自从法拉第引入了场以来,它即成为一个基本概念.从经典的引力场、电磁场发展到规范场、量子场与意念场等各种场,甚至被应用到了经济、军事、社会等方方面面.梯度、散度、旋度是矢量场中的精髓,这三个“度”从不同角度对于场的局部特征进行了深刻描述，弄清楚描述场的各个量及其彼此的相互关系,对分析任何物理场,都有极其重要的意义。
矢量场的散度和旋度是两个重要数学概念，它们通过表示场源与场的关系，因此能够确定所研究的矢量场，因此散度与旋度是研究矢量场的重要的数学工具，必须深刻理解其定义的内涵，才能对电磁场理论有深刻认识。
研究柱面坐标系和球面坐标系中散度、旋度的表达式在电磁场理论中的应用有着非常重要的现实意义[1-5]。
1散度、旋度的精确定义及意义 1.1散度divergence 的定义及物理意义 1.1.1散度divergence 的定义矢量场A通过曲面S 的通量A φ可用下列的面积分得出[6]：()()⎰⎰⎰⎰=⋅=S S A ds A S d A θφcos，式中θ为A与面元S d的法线n之间夹角，ds n S d=。
令S 为一闭合曲面，它的体积记为V ∆，当S面逐渐缩小到空间一点P .用A φ代表矢量场A在闭合面S 上的通量：A φ=⎰⎰⋅)(S S d A当V ∆→0时，A φ趋于0.假如两者之比表示为一个极限，则这极限值为矢量场A在P点的散度, 记作div A 或A ⋅∇：()limlimA AV V A dSA VVφ∆→∆→⋅∇⋅==∆∆⎰⎰矢量场的散度divergenc 是个标量场。
利用柱面坐标与球面坐标计算三重积分
f ( r cos , r sin , z )rdrddz.
rdrd
Dr
z2 ( r , ) z1 ( r , )
f ( r cos , r sin , z )dz .
通常化为先对 z、再对 r、后对θ 的三次积分.
先将Ω在xOy面上的投影域用极坐标不等式表示
设M(x, y, z)为空间内一点,记向量OM来自长为r , OM与z轴z
r
M ( x, y, z )
z
正方向间的夹角为 , 再将OM
A x
x
O
y
y
P
向xOy平面投影, 记投影向量与x轴正方向的 夹角为 , 称 ( r , , ) 为点M的球面坐标. 规定 0 r , 0 , 0 2 .
=常数: 半平面P
0
y
x
直角坐标与柱面坐标的关系为
x r cos , y r sin , z z.
在柱面坐标下 1. 若被积函数形如
x y r . 因此
2 2 2
f (x y ) ;
2 2
2. 积分区域Ω是由柱面、锥面、旋转抛物面、平 面或球面所围成.
y
球面坐标下的体积元素
z
元素区域由六个坐标面围成：
圆锥面
球面r+d r
半平面 及+d ； 圆锥面及+d
rsind
半径为r及r+dr的球面；
r
圆锥面+d
1
1
2 1dr 2 0 1 r
1
1 r
Dxy
0
1
y
柱面坐标变换和球面坐标变换适用于哪些情况
柱面坐标变换和球面坐标变换适用于哪些情况柱面坐标变换和球面坐标变换是在数学和物理学领域中常见的坐标转换方法，它们适用于不同的情况并提供了在不同坐标系统下描述物理现象的便利性。
柱面坐标变换的适用情况柱面坐标变换通常适用于描述平面或旋转对称性问题的情况。
其中，柱面坐标系由径向距离r、方位角$\\theta$和z坐标组成，适用于具有圆柱对称性或转动对称性的物体或问题。
在这种情况下，通过柱坐标变换可以简化问题的描述和求解过程。
在物理学中，柱面坐标变换常用于处理涉及旋转对称性的问题，如刚体转动、电场环境等。
当问题具有柱面对称性、轴对称性时，使用柱面坐标变换可以简化问题的数学表达和求解难度，使分析工作更加方便和高效。
球面坐标变换的适用情况球面坐标变换适用于描述具有球对称性的问题或物体的情况。
球面坐标系由径向距离r、极角$\\theta$和方位角$\\phi$组成，适用于描述球对称性的物体或问题，如原子分子、行星运动等。
在物理学和工程领域中，球面坐标变换常用于处理涉及球对称性的问题，如电子绕核运动、天体运动等。
当系统具有球对称性时，使用球面坐标变换可以简化问题的描述和计算过程，提高问题求解的效率和准确性。
总结柱面坐标变换和球面坐标变换是数学和物理学中常用的坐标变换方法，它们分别适用于描述具有平面对称性或旋转对称性问题以及球对称性问题的情况。
通过合适选择和应用这两种坐标变换，可以简化问题的描述、降低计算复杂度，提高问题求解的效率和准确性，为解决各种实际问题提供了重要的工具和方法。
以上是关于柱面坐标变换和球面坐标变换适用情况的简要介绍，希望对读者有所帮助。
在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的坐标系，并灵活运用坐标变换方法，将有助于更好地理解和解决问题。
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球面坐标系和柱面坐标系的定义及其应用
球面坐标系和柱面坐标系是数学中关键的方法，经常用来描述
和解决一些几何和物理问题，它们与直角坐标系、极坐标系一样，是一种坐标系的表示方式。
一、球面坐标系
球面坐标系是以球面为基础的坐标系，它是由半径、极角和方
位角确定的。
坐标轴上的点对应着球面上的一个点，可以用三个
参数（r、θ、φ）来描述它的位置。
其中，r是从坐标原点到球面上某一点的距离，是一个实数；θ
是竖直方向的极角，它的范围在0到π之间；φ是水平方向的方位角，它的范围在0到2π之间。
坐标系的原点是球心，竖直方向的
坐标轴是与地球赤道垂直的轴线，水平方向的坐标轴则是经过原
点和北极点的轴线。
球面坐标系在物理学和天文学等领域应用广泛，例如测量地球
上某一点的纬度和经度、描述电磁场的分布等。
二、柱面坐标系
柱面坐标系是一种由高度、半径和角度确定的坐标系，它通常
用来描述长方形坐标系缺陷的问题。
柱面坐标系可以是圆柱面坐
标系或斜柱面坐标系，但都表示同样的信息。
在圆柱坐标系中，一点的坐标为(r，θ，z)，其中r表示离坐标
轴的距离，θ表示与x轴的夹角，z表示高度。
而在斜柱面坐标系中，一点的坐标为(r，θ，z')，其中r和θ用同样的方式表示，z'是
某个平面内的高度。
只有当某一平面中的z'为零时，斜柱面坐标
系才与圆柱坐标系相同。
类似于球面坐标系的应用，圆柱坐标系和斜柱坐标系在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
例如在计算机图
形学中，柱面坐标系被用来描述某些对象的形状和运动，在计算
机辅助设计（CAD）中，也被用来表示机械元件的三维空间位置。
总的来说，球面坐标系和柱面坐标系是一组非常实用的工具，
它们有助于我们更好地理解和描述现实世界中的各种问题。
了解
和掌握这些坐标系的基础和应用，有助于我们更好地应用它们来
解决实际问题。