方程的根与函数的零点教案

方程的根和函数的零点（说课稿）

、教材分析：

函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起。

本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，得用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础。因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要。

1. 知识与技能：理解方程的根和函数的零点的关系，函数零点的定义，学会判断零点存在的条件。

2. 过程与方法：通过学习，培养学生自主探究和独立思考的能力。培养学生函数和方程结合思想的能

力。

3. 思想方法：培养学生数形结合的意识与思想。

『重点。难点。关键点』：

1． 重点：理解方程的根和函数零点之间的联系，判断函数零点的存在及其个数的方法。

2． 难点：理解探究发现函数零点的存在性。理解函数的零点就是方程的根及利用函数的图像和性质判

别零点的个数。

3． 关键点：帮助学生寻找方程和函数图象之间的联系。

『教学方法和手段』：

教学方法：探究式教学（“启发—探究—讨论”的教学模式）

教学手段：教学软件PPT 和几何画板辅助教学。

『教学进程构思及说明』：

置前作业：1、求下列方程的根并画出对应的函数的图像。

2(1)230x x --= 2(2)210x x -+= 2(3)230x x -+=

通过观察，你能得到上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？（表格见资料）

课前完成，观察上面三个一元二次方程的根与其相应的二次函数的图象有什么关系吗？激发学生探究问题的兴趣。（反馈课前作业，抽学生回答。）

分析：

1． 方程0322=--x x 的 根为3,121=-=x x ，函数322--=x x y 与x 轴的交点坐标为（－1，0），

（3，0），观察猜想方程0322=--x x 的两实根对应与函数与x 轴的交点坐标的横坐标。

2． 根据函数图象和方程对应的实根，观察可得到：

方程0322=--x x 的 根为3,121=-=x x ，函数322--=x x y 与x 轴的交点坐标为

（－1，0），（3，0）；方程0122=+-x x 的 根为121==x x ，函数122+-=x x y 与x 轴的交点坐标

为（1，0）；方程0322=+-x x 无实根，函数 322+-x x 与x 轴没有交点坐标。继而猜想：一元二次

方程的根就是对应二次函数图象与x 轴的交点坐标的横坐标。

设计意图：问题1的设置，以学生基本掌握了的二次函数和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系。学生很快就容易入手解决，对于猜想，如果学生不能得出，从问题2的 继续观察，学生能够更进一步发现一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x 轴的交点坐标的横坐标，而问题2包括了三种情况，全面地描述了这个过程，也为接下来的推广奠

定了基础。同时引出了 本节课的课题。

一、推广：

思考：对于一般的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根与二次函数)0(2

≠++=a c bx ax y 的图象是否有上述猜想成立呢？

分析：从一元二次方程根的情况有三种来分析：判别式ac b 42-∆＝（采用列表的方法）

（1）当0>∆时，一元二次方程有两个不相等的实根21,x x ，相应的二次函数的图像与x 轴有 两个交点（0,1x ）,(0,2x )；

(2)当0＝∆时，一元二次方程有两个相等的实根21x x ＝，相应的二次函数的图像与x 轴有唯一一个交点（0,1x ）；

（3）当0<∆时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图像与x 轴没有交点。通过学生的探究和老师的辅助讲解，观察可得到

结论一：

一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x 轴的交点坐标的横坐标。

设计意图：推广练习从特殊到一般是对之间的引例的补充，是其更一般化，进而能够得出结论

二、再次推广：

零点的概念：对于函数)(x f y =，我们把使得0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点。

强调注意：函数的零点不是一个点，也不是f(x),不能写成坐标的形式，而是一个实数x. 系。

方程0)(=x f 有实根 ⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点

⇔函数)(x f y =有零点

练习巩固（生作）：

请写出下列函数的零点：

例题1：求下列函数的零点： 2(1)23y x x =-- 22(2)(2)(3y x x x =--

教学估计：

1．正确的写法：函数的零点分别是x=－1，3

2．错误的写法：函数的零点分别为（-1,0）,(3,0),

强调注意：函数的零点不是一个点，也不是f(x),不能写成坐标的形式，而是一个实数x.

设计意图：再次推广，使得问题结论更一般化，更能 突出本节课的教学目的，让学生觉得学习该内容有一 定的用出，对于练习的设计，我想通过让学生出错和练习，理解零点这一个抽象的概念.强化对于函数零点的求法，对于三个等价条件的应用。借助这个练习，既巩固检测了学生对知识点的掌握情况，又引发学生认知冲突，引出本节课的重点，为新内容的教学作好铺垫。

三、探究：

观察二次函数32)(2--=x x x f 的图象，我们发现函数32)(2

--=x x x f 在区间[]1,2-上有零4 -2 1