大学物理第四章《气体动理论》

第四章 气体动理论

一、基本要求

1．理解平衡态的概念。

2．了解气体分子热运动图像和理想气体分子的微观模型，能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。

3．初步掌握气体动理论的研究方法，了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。

4．理解麦克斯韦速率分布律、速率分布函数和速率分布曲线的物理意义，理解气体分子运动的最概然速率、平均速率、方均根速率的意义，了解玻尔兹曼能量分布律。

5．理解能量按自由度均分定理及内能的概念，会用能量均分定理计算理想气体的内能。

6．了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程的意义及其简单的计算。

二、基本内容

1. 平衡态

在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态。 2. 理想气体状态方程

在平衡态下，理想气体各参量之间满足关系式

pV vRT =

或 n k T p =

式中v 为气体摩尔数，R 为摩尔气体常量 118.31R J mol K --=⋅⋅，k 为玻尔兹曼常量 2311.3810k J K --=⨯⋅

3. 理想气体压强的微观公式

212

33

t p nm n ε==v

4. 温度及其微观统计意义

温度是决定一个系统能否与其它系统处于热平衡的宏观性质，在微观统计上

32

t kT ε=

5. 能量均分定理

在平衡态下，分子热运动的每个自由度的平均动能都相等，且等于2

kT 。以

i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总平均动能为

2

t i kT ε=

6. 速率分布函数

()dN

f Nd =

v v

麦克斯韦速率分布函数

23

2/22()4()2m kT m f e kT

ππ-=v v v

7. 三种速率

最概然速率

p =

≈v 平均速率

=

=≈v 方均根速率

=

=≈8. 玻尔兹曼分布律

平衡态下某状态区间（粒子能量为ε）的粒子数正比于kT e /ε-。重力场中粒子数密度按高度的分布（温度均匀）：

kT m gh e n n /0-=

9. 范德瓦尔斯方程

采用相互作用的刚性球分子模型，对于1mol 气体

RT b V V a

p m m

=-+

))((2 10. 气体分子的平均自由程

λ=

=

11. 输运过程 内摩擦

dS dz du df z 0)(

η-=， 11

33

mn ηλρλ==v v 热传导

dSdt dz dT dQ z 0)(

κ-= 1

3

v c κρλ=v 扩散

dSdt dz d D dM z 0)(

ρ-= 1

3

D λ=v

三、习题选解

4-1 一根铜棒的两端分别与冰水混合物和沸水接触，经过足够长的时间后，系统也可以达到一个宏观性质不随时间变化的状态。它是否是一个平衡态？为什么？

答：这不是一个热力学平衡态。

平衡态是指热力学系统在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态。所谓的没有外界影响，指外界对系统既不做功又不传热。

两端分别与冰水混和物和沸水接触的铜棒，在和沸水接触的一端，铜棒不断吸收热量，而在和冰水混合物接触的一端，铜棒不断的释放热量。铜棒和外界以传热的方式进行能量交换，因而它不是一个热力学平衡态。

4-2 在一个容积为310dm 的容器中贮有氢气，当温度为7C 时，压强为

50atm 。由于容器漏气，当温度升为17C ，压强仍为50atm ，求漏掉氢气的质量。

解：设7C 时的参量为111,,T n P ；17C 时的参量为222,,T n P 因21P P =，由理想气体的状态方程nkT P =得

2211kT n kT n =

代入K T K T 290,28021==得

036.11

2

21==T T n n

再由111kT n P =，得 3

2723

511110311.12801038.110013.150--⨯=⨯⨯⨯⨯=m kT P n 同理可得 327210265.1-⨯=m n

将氢分子质量2H m 与n 相乘，可得不同温度下容器内氢气的密度

3272711353.41066.1210311.12

--⋅≈⨯⨯⨯⨯==m kg m n H ρ

3272722200.41066.1210265.12

--⋅≈⨯⨯⨯⨯==m kg m n H ρ

漏掉氢气的质量

()23120.153110 1.5310m V kg ρρ--∆=-=⨯⨯=⨯

4-3 如图所示，两个相同的容器装着氢 气，以一光滑水平玻璃管相连，管中用一滴水 银做活塞，当左边容器的温度为0C ，而右边 容器的温度为20C 时，水银滴刚好在管中央

维持平衡。试问： 题4-3图 （1）当右边容器的温度由0C 升到10C 时，水银是否会移动？怎样移动？ （2）如果左边温度升到10C ，而右边升到30C ，水银滴是否会移动？ （3）如果要使水银滴在温度变化时不移动，则左右两边容器的温度变化应遵从什么规律？

解：（1）可假设水银柱不移动，这样左边容器从C 0升到C 10时，压强会增大，所以水银将向右侧移动。

（2）同样假设水银滴不移动，左右两侧体积不变。以0p 表示左右两侧未升温前的压强，1p 表示升温后左侧压强，2p 表示升温后右侧压强，则

0127310273p p +=

0220

27330

273p p ++= 可以看出 21p p >

水银滴左侧的压强大于右侧的压强，水银滴将向右侧移动。

（3）依条件