数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

习题

1．验证下列等式 （1）

C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(

证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.

（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰

+=C x f x df )()(.

2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点

)5,2(.

解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=

⎰⎰22)()(.

于是知曲线为C x y +=2

, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以

有 C +=2

25, 解得1=C , 从而所求曲线为12

+=x y

3．验证x x y sgn 2

2

=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

2

x y -=, x y -='; 当0=x 时, y

的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim

02

0==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩

⎪

⎨⎧=<-=>='||0

000x x x

x x x

y 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数

解 由推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

5．求下列不定积分

⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-

31

423

2

3

32

33421)1

1(

⑵C x x x dx x x x dx x

x ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1

(2

3

32

12

2

⑶

C g

x

C x g

dx x g

gx

dx +=

+⋅=

=

⎰⎰

-

22212122

12

1 ⑷

⎰

⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222 C x x x ++⋅+=9

ln 96ln 624ln 4 ⑸

C x dx x dx x +=-=

-⎰⎰

arcsin 2

3

112344322

⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31

)111(31)1(311)1(32

2222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 2

2 ⑻

C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰

⎰)2sin 2

1

(21)2cos 1(2122cos 1sin 2 ⑼ C x x dx x x dx x

x x x dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰

cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽

C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1

sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt t

t t

t

t

+=+⋅⋅=

⋅=⋅⎰⎰90

ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿

C x dx x dx x x x +==⎰⎰

815

8

715

8

⒀

C x dx x

dx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212

)1111()1111(

222

⒁

C x x xdx dx dx x dx x x +-

=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 2

12sin 1)2sin 1()sin (cos 2

⒂

C x x dx x x xdx x ++=+=

⎰⎰)sin 3sin 3

1(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x x

x x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰333333

13331)33()(

习题

1．应用换元积分法求下列不定积分：

⑴

C x x d x dx x ++=++=

+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰22222

224

1)2(41

⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2

112)12(2112

⑷ C x n x d x dx x n n

n +++=++=++⎰⎰1)1(1

1)1()1()1(

⑸

C

x x x

d x

dx x dx x

x

++=-+

-=-+

-⎰⎰

⎰3arcsin 3

1

3arcsin 3)311

3

1

31

)31131(

2

2

2

2

⑹

C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2

ln 22ln 22)32(2212

2

232323

2

⑺

C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰

23

2

3

21

)38(9

2)38(3231)38()38(3138 ⑻

C x C x x d x x dx

+--=+-⋅-=---=-⎰⎰

-3

2

32313

)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼

C x dx x dx x x +-==⎰⎰

2

222

cos 2

1sin 21sin ⑽ C x x x d x dx

++-=++

=+⎰⎰)4

2cot(21)

4

2(sin )42(21)42(sin 22πππ

π