2018年高考文科数学分类之平面向量
2018年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略课件：专题七 平面向量 精品
1．如图 7-1，在△ABC 中，BO 为边 AC 上的中线，B→G＝2G→O，设C→D∥A→G， 若A→D＝51A→B＋λA→C(λ∈R)，则 λ 的值为________．
图 7-1
6 5
[因为B→G＝2G→O，所以A→G＝13A→B＋23A→O＝13A→B＋31A→C.
又C→D∥A→G，可设C→D＝mA→G.从而A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋m3 A→B＋m3 A→C＝1＋m3
(3)设 D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若D→E ＝λ1A→B＋λ2A→C(λ1，λ2 为实数)，则 λ1＋λ2 的值为________．
(1)A→D
(2)0
1 (3)2
[(1)设A→B＝a，A→C＝b，则E→B＝－12b＋a，F→C＝－12a＋b，
热 点 题 型 · 探 究
专题七 平面向量
专 题 限 时 集 训
题型一| 平面向量的概念与运算
(1)设 D，E，F 分别为△ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则E→B ＋F→C＝________.
(2)已知向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若(λa＋b)∥b，则 λ＝________.
(1)2 (2)－4 [(1)如图，以 A 为原点，以 AB 所在的直 线为 x 轴，建立直角坐标系，则 A(0,0)，B(2a,0)，C－1a， a3， ∵O 为△ABC 的外心，∴O 在 AB 的中垂线 m：x＝a 上，
又在 AC 的中垂线 n 上，AC 的中点－21a，2a3，AC 的斜率为 tan 120°＝－ 3，
题型三| 数量积的综合应用
(1)已知 O 为△ABC 的外心，AB＝2a，AC＝a2，∠BAC＝120°，若A→O ＝αA→B＋βA→C，则 α＋β 的最小值为________．
2018年高考一轮北师大版数学文科 重点强化课2 平面向量
重点强化课(二) 平面向量[复习导读] 从近五年全国卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件．平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有“形”与“数”两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁．重点1 平面向量的线性运算(1) (2017·深圳二次调研)如图1，正方形ABCD 中，M 是BC的中点，若AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝( )A.43 B ．53 C.158 D ．2图1(2)在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD →＝b,3AN →＝NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b 表示)(1)B (2)－34a －14b [(1)因为AC →＝λAM →＋μBD →＝λ(AB →＋BM →)＋μ(BA →＋AD →)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(－AB →＋AD →)＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，12λ＋μ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53，故选B.(2)如图所示，MN →＝MC →＋CN →＝12AD →＋34CA → ＝12AD →＋34(CB →＋CD →) ＝12AD →＋34(DA →＋BA →) ＝12b －34a －34b ＝－34a －14b .][规律方法] 1.解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．2．用几个基本向量表示某个向量问题的步骤：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或多边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．3．O 在AB 外，A ，B ，C 三点共线，且OA →＝λOB →＋μOC →，则有λ＋μ＝1. [对点训练1] 设O 在△ABC 的内部，D 为AB 的中点，且OA →＋OB →＋2OC →＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积的比值为( )【导学号：66482224】A ．3B ．4C ．5D ．6B [因为D 为AB 的中点， 则OD →＝12(OA →＋OB →)， 又OA →＋OB →＋2OC →＝0，所以OD →＝－OC →，所以O 为CD 的中点． 又因为D 为AB 的中点， 所以S △AOC ＝12S △ADC ＝14S △ABC ， 则S △ABC S AOC＝4.]重点2 平面向量数量积的综合应用(2016·杭州模拟)已知两定点M (4,0)，N (1,0)，动点P 满足|PM →|＝2|PN→|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)若点G (a,0)是轨迹C 内部一点，过点G 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，令f (a )＝GA →·GB →，求f (a )的取值范围．[解] (1)设P 的坐标为(x ，y )，则PM →＝(4－x ，－y )，PN →＝(1－x ，－y )． ∵动点P 满足|PM →|＝2|PN →|， ∴(4－x )2＋y 2＝2(1－x )2＋y 2， 整理得x 2＋y 2＝4. 4分(2)(a)当直线l 的斜率不存在时，直线的方程为x ＝a ，不妨设A 在B 的上方，直线方程与x 2＋y 2＝4联立，可得A (a ，4－a 2)，B (a ，－4－a 2)，∴f (a )＝GA →·GB →＝(0，4－a 2)·(0，－4－a 2)＝a 2－4；6分 (b)当直线l 的斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －a )，代入x 2＋y 2＝4，整理可得(1＋k 2)x 2－2ak 2x ＋(k 2a 2－4)＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2ak 21＋k 2，x 1x 2＝k 2a 2－41＋k 2，∴f (a )＝GA →·GB →＝(x 1－a ，y 1)·(x 2－a ，y 2)＝x 1x 2－a (x 1＋x 2)＋a 2＋k 2(x 1－a )(x 2－a )＝a 2－4.由(a)(b)得f (a )＝a 2－4. 10分∵点G (a,0)是轨迹C 内部一点， ∴－2<a <2，∴0≤a 2<4，∴－4≤a 2－4<0，∴f (a )的取值范围是[－4,0). 12分[规律方法] 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化．2．利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题．[对点训练2] (1)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1 B ． 2 C.2＋1D ．2＋2(2)(2016·四川成都模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠B ＝π3，点P 满足AP＝λAB →，λ∈R ，若BD →·CP →＝－3，则λ的值为( )【导学号：66482225】A.12 B ．－12 C.13D ．－13(1)C (2)A [(1)∵a ，b 是单位向量，且a ·b ＝0， ∴|a |＝|b |＝1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2， ∴|a ＋b |＝ 2.又|c －a －b |＝1， ∴|c |－|a ＋b |≤|c －a －b |＝1.从而|c |≤|a ＋b |＋1＝2＋1，∴|c |的最大值为2＋1. (2)法一：由题意可得BA →·BC →＝2×2cos60°＝2， BD →·CP →＝(BA →＋BC →)·(BP →－BC →) ＝(BA →＋BC →)·[(AP →－AB →)－BC →] ＝(BA →＋BC →)·[(λ－1)·AB →－BC →]＝(1－λ)BA →2－BA →·BC →＋(1－λ)BA →·BC →－BC →2＝(1－λ)·4－2＋2(1－λ)－4＝－6λ＝－3， ∴λ＝12，故选A.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则B (2,0)，C (1，3)，D (－1，3)．令P (x,0)，由BD ·CP →＝(－3，3)·(x －1，－3)＝－3x ＋3－3＝－3x ＝－3，得x ＝1.∵AP →＝λAB →，∴λ＝12.故选A.]重点3 平面向量与三角函数的综合应用(2017·合肥二次质检)已知m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，1，n ＝(cos x,1)．(1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调增区间． [解] (1)由m ∥n 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6－cos x ＝0，3分展开变形可得sin x ＝3cos x ，即tan x ＝ 3. 5分 (2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋34，7分由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得 －π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 10分 又因为x ∈[0，π]，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 12分[规律方法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．[对点训练3] 已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( )【导学号：66482226】A ．－43 B ．－45 C.45D ．34A [由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0，上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，则tan α<0，解得tan α＝－43，故选A.]。
高考文科数学分类汇编：专题五平面向量
《2018年高考文科数学分类汇编》第五篇：平面向量一、选择题1．【2018全国一卷7】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 2．【2018全国二卷4】已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a bA ．4B ．3C ．2D ．03.【2018天津卷8】在如图的平面图形中，已知1=OM ，2=ON ，120=∠MON ，2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 A.15- B.9- C.6- D.04.【2018浙江卷9】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是A ．3−1B ．3+1C ．2D ．2−3二、填空题1．【2018全国三卷13】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．2．【2018北京卷9】设向量a =（1,0），b =（−1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________.3.【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ．4.【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______[参考答案一、选择题1.A2.B3.C4.A二、填空题 1.21 2.1- 3.3 4.3-。
2017-2018-2019年三年高考数学文科真题分类汇编(解析版) 专题05 平面向量
专题五 平面向量（2019·全国Ⅰ文科）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． （2019·全国Ⅱ文科）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=A.B. 2D. 50【答案】A【分析】本题先计算a b -，再根据模的概念求出||-a b ． 【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)-=-=-a b ，所以||-==a b 故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．（2019·全国Ⅲ文科）已知向量(2,2),(8,6)a b ==-，则cos ,a b <>=___________.【答案】10-【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】详解：22826cos ,102a b a b a b⨯-+⨯<>===-+． 【点睛】本题考点为平面向量的夹角，为基础题目，难度偏易．不能正确使用平面向量坐标的运算致误，平面向量的夹角公式是破解问题的关键．（2019·天津文科）在四边形ABCD 中，AD BC ∥，AB =，5AD = ，30A ∠=︒ ，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=__________. 【答案】-1.【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习教师用书：第五章平面向量含解析
第五章错误!平面向量第一节平面向量的概念及线性运算突破点（一）平面向量的有关概念基础联通抓主干知识的“源”与“流”名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±错误!平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0考点贯通抓高考命题的“形"与“神”平面向量的有关概念典例]（1)设a，b()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且｜a|＝｜b|（2）设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a｜·a0；②若a与a0平行,则a＝｜a｜a0；③若a与a0平行且|a｜＝1，则a＝a0.假命题的个数是(）A．0B．1 C．2D．3解析］(1)因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量错误!的方向与向量b相同，且错误!＝错误!,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A，B,D。
当a＝2b时，a|a|＝错误!＝错误!，故a＝2b是错误!＝错误!成立的充分条件．本节主要包括2个知识点：1.平面向量的有关概念；2.平面向量的线性运算.（2)向量是既有大小又有方向的量，a与｜a|a0的模相同,但方向不一定相同，故①是假命题;若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0,故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.答案］(1)C（2)D易错提醒］（1）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；（2）大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；（3）向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．1．给出下列命题：①若｜a｜＝|b｜,则a＝b；②若A，B,C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③若a＝b,b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是｜a|＝｜b｜且a∥b。
(2016-2018)三年高考数学文科真题分类专题12【平面向量】解析卷
三年高考数学文科真题分类专题12【平面向量】解析卷考纲解读明方向考点内容解读要求常考题型预测热度1.平面向量的基本概念与线性运算①了解向量的实际背景；②理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义；③理解向量的几何表示；④掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义掌握选择题填空题★★☆2.向量的共线问题①掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义；②了解向量线性运算的性质及其几何意义掌握选择题填空题★★☆分析解读 1.从“方向”与“大小”两个方面理解平面向量的概念.2.结合图形理解向量的线性运算,熟练掌握平行四边形法则与三角形法则.3.向量共线的条件要结合向量数乘的意义去理解,并能灵活应用.4.向量的概念与运算是必考内容.5.本节在高考中主要考查平面向量的线性运算及其几何意义,分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度1.平面向量基本定理了解平面向量的基本定理及其意义了解选择题填空题★☆☆2.平面向量的坐标运算①掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；②会用坐标表示平面向量的加法、掌握选择题填空题★★☆减法与数乘运算；③理解用坐标表示的平面向量共线的条件分析解读 1.理解平面向量基本定理的实质,理解基底的概念,会用给定的基底表示向量.2.掌握求向量坐标的方法,掌握平面向量的坐标运算.3.能够根据平面向量的坐标运算解决向量的共线、解三角形等有关问题.4.用坐标表示的平面向量共线的条件是高考考查的重点,分值约为5分,属中低档题.考点内容解读要求常考题型预测热度1.数量积的定义(1)平面向量的数量积①理解平面向量数量积的含义及其物理意义；②了解平面向量的数量积与向量投影的关系；③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算；④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(2)向量的应用①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；②会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题理解选择题填空题★★★2.平面向量的长度问题掌握选择题填空题★★★3.平面向量的夹角、两向量垂直及数量积的应用掌握选择题填空题★★★分析解读 1.理解数量积的定义、几何意义及其应用.2.掌握向量数量积的性质及运算律;掌握求向量长度的方法.3.会用向量数量积的运算求向量夹角,判断或证明向量垂直.4.利用数形结合的方法和函数的思想解决最值等综合问题.2018年高考全景展示1．【2018年浙江卷】已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b 满足b2-4e·b+3=0，则|a-b|的最小值是A.-1B.+1C.2D.2-【答案】A【解析】分析:先确定向量所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.点睛：以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关系，是解决这类问题的一般方法.2．【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,则的值为A. B. C. D.0【答案】C【解析】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，连结MN，由可知点分别为线段上靠近点的三等分点，则，由题意可知：，，结合数量积的运算法则可得：.本题选择C选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．【2018年文北京卷】设向量a=（1,0），b=（-1,m）,若，则m=_________.【答案】点睛：此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设，则①；②.4．【2018年江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果.点睛：以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.2017年高考全景展示1.【2017北京，文7】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得m=λn”是“m·n<0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：若，使，即两向量反向，夹角是，那么T，若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分不必要条件，故选 A.【考点】1.向量；2.充分必要条件.【名师点睛】判断充分必要条件的的方法： 1.根据定义，若，那么是的充分不必要，同时是的必要不充分条件，若，那互为充要条件，若，那就是既不充分也不必要条件，2.当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，若,若，那么是的充分必要条件，同时是的必要不充分条件，若，互为充要条件，若没有包含关系，就是既不充分也不必要条件， 3.命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断．2.【2017课标II，文4】设非零向量，满足则A.⊥B.C.∥D.【答案】A【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘：3.【2017浙江，10】如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD 交于点O，记，，，则A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为，所以选C．【考点】平面向量数量积运算【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得，由AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，可求，，进而解得．4.【2017山东，文11】已知向量a=（2,6）,b=,若a||b,则.【答案】【解析】【考点】向量共线与向量的坐标运算【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则a ∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于与共线.5.【2017北京，文12】已知点P在圆上，点A的坐标为(-2,0)，O为原点，则的最大值为_________．【答案】6【解析】试题分析：所以最大值是 6.【考点】1.向量数量积； 2.向量与平面几何【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为是确定的，所以根据向量数量积的几何意义若最大，即向量在方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点在圆与轴的右侧交点处时最大，根据几何意义直接得到运算结果.6.【2017课标3，文13】已知向量，且，则m=.【答案】２【解析】由题意可得：.【考点】向量数量积【名师点睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘：7.【2017浙江，14】已知向量a，b满足则的最小值是________，最大值是_______．【答案】4，【解析】【考点】平面向量模长运算【名师点睛】本题通过设入向量的夹角，结合模长公式，解得，再利用三角有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生的转化能力和最值处理能力有一定的要求．8.【2017天津，文14】在△ABC中，，AB=3，AC=2.若，（），且，则的值为.【答案】【解析】【考点】1.平面向量基本定理； 2.向量数量积.【名师点睛】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点，当出现线性运算问题时，向要选好基底向量，如本题就要灵活使用向量，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题，当涉及到向量数量积时，要记熟向量数量积的公式、坐标公式、几何意义等.9.【2017课标1，文13】已知向量a=（–１，2），b=（m，1）．若向量a+b与a垂直，则m=________．【答案】7【解析】试题分析：由题得，因为，所以，解得【考点】平面向量的坐标运算，垂直向量【名师点睛】如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a b的充要条件是x1x2+y1y2＝0．10.【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为若,则▲.,且tan=7,与的夹角为45°．【答案】3【解析】由可得，，根据向量的分解，易得，即，即，即得，所以.【考点】向量表示【名师点睛】(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数、方程、不等式的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数、方程、不等式问题．(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．(3)向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题．11.【2017江苏，16】已知向量（1）若a∥b,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3；时，取得最小值，为.【考点】向量共线，数量积【名师点睛】(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘：2016年高考全景展示1.[2016高考新课标Ⅲ文数］已知向量,则（）(A)300(B)450(C)600(D)1200【答案】Ａ【解析】考点：向量夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质有，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．2.【2016高考天津文数】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）（A）（B）（C）（D）【答案】Ｂ【解析】试题分析：设，，∴，，，∴，故选 B.考点：向量数量积【名师点睛】研究向量数量积，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简.平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．3.【2016高考四川文科】已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，Ｍ满足，，则的最大值是（)(A)(B)(C)(D)【答案】B【解析】考点：1.向量的数量积运算； 2.向量的夹角； 3.解析几何中与圆有关的最值问题.【名师点睛】本题考查平面向量的数量积与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出坐标，同时动点的轨迹是圆，，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．4.【2016高考新课标2文数】已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________.【答案】【解析】考点：平面向量的坐标运算，平行向量．【名师点睛】如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0.5.【2016高考北京文数】已知向量，则a与b夹角的大小为_________.【答案】【解析】试题分析：两向量夹角为，且两个向量夹角范围是，所以夹角为，故填：.考点：平面向量数量积【名师点睛】由向量数量积的定义(为，的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法.6.【2016高考新课标1文数】设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a b,则x=.【答案】【解析】试题分析：由题意,考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若,则.7.【2016高考浙江文数】已知平面向量a，b，|a|=1，|b|=2，a·b=1．若e为平面单位向量，则|a·e|+|b·e|的最大值是______．【答案】【解析】考点：平面向量的数量积和模.【思路点睛】先设，和的坐标，再将转化为三角函数，进而用辅助角公式将三角函数进行化简，最后用三角函数的性质可得三角函数的最大值，进而可得的最大值．8.【2016高考山东文数】已知向量若，则实数t的值为________．【答案】【解析】试题分析：，解得考点：平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.。
2018年高考文科数学分类汇编专题五平面向量
《2018年高考文科数学分类汇编》、选择题1.【2018全国一卷7】在厶ABC 中，AD 为BC 边上的中线,D .押 4A C2 .【2018全国二卷4】已知向量a , b 满足|a | =1 , a b = -1，则a (2a-b )二n4.【2018浙江卷9】已知a, b, e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为-， 3 向量b 满足b 2- 4e - b +3=0，则|a - b |的最小值是、填空题 1.【2018全国三卷13】已知向量a = 1,2 , b = 2, -2 , c = 1,入.若c // 2a+b ，则■二2. ___________________________________________________________________________ 【2018 北京卷 9】设向量 a = (1,0) , b = (- 1,m )若 a - (m a -b )，贝V m= __________________3. 【2018江苏卷12】在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线I : y = 2x 上在第一象限内的点，T TB(5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB CD = 0，则点A 的横坐标为 _______ .第五篇：平面向量A . 3AB 一1 AC 4 4 E 为AD 的中点，则B . 3C . 2D . 03.【2018天津卷8】在如图的平面图形中，已知 OM =1 , ON =2 , MON=120 , BM = 2MA,CN =2NA,则的值为A. -15B.-9C.-6D.0B . 3+1C . 24. 【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点 A (-1 , 0), B (2, 0), E, F是y轴上的两个动点，且I存i=2，贝y AE• BF的最小值为 ______ [参考答案一、选择题1.A2.B二、填空题11.2 3.C 4.A2. -13.34.一3。
2018全国卷高考复习平面向量(知识总结+题型)
第一部分平面向量的概念及线性运算向量a( a z 0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数入，使得bi a.【基础练习】1. 判断正误（在括号内打或“X”）⑴零向量与任意向量平行.（）（2）若a// b, b// c,贝U a// c.（）⑶向量云B与向量6D是共线向量，贝y A B, C, D四点在一条直线上.（）（4）当两个非零向量a, b共线时，一定有b=入a,反之成立.（）⑸在厶ABC中, D是BC中点，则A D= 2（心A B.（）2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若③向量ABW BA相等.则所有正确命题的序号是（）A.①B.③C.①③D.①②3.(2017•枣庄模拟）设D ABC所在平面内一点，K D= —4A C若目C= X D C X€ R), 则X =()A.2B.3C. —2D. —34.(2015 •全国n卷）设向量a, b不平行，向量入a+ b与a+ 2b平行，则实数X =5.（必修4P92A12改编）已知？ABCD勺对角线AC和BD相交于Q且OA= a,O B= b,则张 _____ BC= ______ (用a, b 表示).1 26.（2017 •嘉兴七校联考）设D, E分别是△ ABC的边AB BC上的点，AD= -AB BE=§BC若DE= 入l AB+ 入2AC 入 1 , 入2为实数）,贝V 入 1 = _____________ , 入2= _______________ .考点一平面向量的概念【例1】下列命题中，不正确的是 _________ （填序号）.①若I a| = |b| ,则a= b；②若A, B, C, D是不共线的四点，贝厂’AB=承”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；③若a= b, b= c,贝V a= c.【训练1】下列命题中，正确的是 _________ （填序号）.①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；a, b都是单位向量，则a= b；考点三共线向量定理及其应用【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若 AB= a + b , BC= 2a + 8b , CD= 3( a — b ).求证：A, B , ⑵ 试确定实数k ,使ka + b 和a + kb 共线.【训练 3】已知向量 AB= a + 3b , BC= 5a + 3b , CD=- 3a + 3b ，则( )A.AB, C 三点共线 B.A, B, D 三点共线 C.A, C D 三点共线D.B, C, D 三点共线第二部分平面向量基本定理与坐标表示1. 平面向量的基本定理如果e 1, e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 对实数入1,入2,使a =入e+入2e 2.其中，不共线的向量 e 1, e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2. 平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解3. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a =(X 1, y” , b = (X 2, y 2)，贝U③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 答案③考点二平面向量的线性运算1【例2】(2017 •潍坊模拟)在厶ABC 中, P , Q 分别是AB BC 的三等分点，且 AP= 3AB BQ= 13BC 若AB= a , AC= b ,则 PQ=( )311 A ・3a +3b 1 1B. — 3a +3b 1 1 C.J a -3b1 1 D. - 3a — 3b【训练2】(1)如图，正方形 ABCDK 点 E 是DC 的中点, 靠近B 点的三等分点，那么 EF 等于(A .^AB ^2D 三点共线;a ,有且只有-点F 是BC 的一个A BC.a+ b= (x i + X2, y土y) , a—b= (x i—X2, y i—y2), X a=(入x i, hy , | a| = ：x1+y?.(2) 向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标②设A(x i，y i)，B(x?，y?)，则AB= (x? —X i，y?—y i)，| AB = : (x?—X i)?+( y? —y i) 24. 平面向量共线的坐标表示设a= (x i, y i) , b= (x?, y?)，贝y a// b? x i y? —x?y i = o.【基础练习】i.(?0i7 •东阳月考)已知向量a= (2 , 4) , b= ( —1 , 1),则2a+ b 等于()A.(5 , 7)B.(5 , 9)C.(3 ,7)D.(3 , 9)2.(20i5 -全国I卷)已知点A(0 , i), B(3 , 2),向量AC= ( —4, —3),则向量BC=( )A.( —7,—4)B.(7 ,4)C.( —1,4)D.(i ,4)3.(20i6 -全国n卷)已知向量a= (m4) , b= (3 , —2)，且a / b,则m=4.(必修4Pi0iA3改编)已知？ABCD勺顶点A—i, —2),耳3 , —i) , C(5 , 6),则顶点D的坐标为考点一平面向量基本定理及其应用【例1】(2014 •全国I卷)设D, E, F分别为△ ABC的三边BC CA AB的中点，贝U EB+ F C= ( )A.ADB.[A DC.1B CD. BC >4【训练1】如图，已知AB= a , AC= b , BD= 3DC用a , b表示AD则AD= __ .a DC"考点二平面向量的坐标运算【例2】(1)已知向量a = (5 , 2) , b= ( —4, —3) , c= (x , y),若3a—2b+ c = 0,则c =( ) A.( —23 , —12) B.(23 , 12)C.(7 , 0)D.( —7 , 0)【训练2】(1)已知点A— 1 , 5)和向量a= (2, 3),若AB= 3a ,则点B的坐标为()A.(7 , 4)B.(7 , 14)C.(5 , 4)D.(5 , 14)⑵(2015 •江苏卷)已知向量a= (2 , 1), b= (1 , —2).若na+ nb= (9 , —8)( m n € R),则m—n的值为_________ .考点三平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知平面向量a= (1 , 2), b= ( — 2 , m,且a / b,贝U 2a+ 3b= ___________(2)(必修4P101练习7改编)已知A (2 , 3) , B (4 , — 3)，点P 在线段AB 的延长线上，且| AFf =|| Bp ，则点P 的坐标为 ____________单位向量是()⑵若三点A (1 , - 5),政a , — 2) , q — 2, - 1)共线，则实数a 的值为 _____________ .第三部分 平面向量的数量积及其应用1. 平面向量数量积的有关概念⑴ 向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ,记O A a , O B- b ,则/ AOB- 0 (0 ° < 0 < 180°)叫做向量a 与b 的夹角.⑵ 数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为 0，则数量| a || b |cos 0叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a • b ,即a • b = | a || b |cos ___ 0,规定零向量与任一向量的数量积为0，即0 • a = 0.⑶数量积几何意义：数量积a • b 等于a 的长度| a |与b 在a 的方向上的投影| b |cos 0的乘积. 2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a = (x i , y i ), b = (X 2, y 2), 0为向量a , b 的夹角.⑴ 数量积：a • b = | a || b |cos 0 = X 1X 2+ y i y 2.(2) 模：| a | = , a • a = , x i + y i . 亠宀 a • bX 1X 2+ y i y 2(3) 夹角：C0S 0= 1 冲=——2222.丨 a ll b | 寸x i + y i •寸X 2 + y 2⑷ 两非零向量 a 丄b 的充要条件：a • b = 0? X 1X 2+ y i y 2= 0.(5)| a • b | <| a || b |(当且仅当 a // b 时等号成立)？ | X 1X 2+ yyl w 寸x ；+ y ： • p x 2+ y 2. 3. 平面向量数量积的运算律：(1) a - b = b • a (交换律).(2)入a • b = X (a • b ) = a •(入b )(结合律).(3)( a + b ) - c = a - c + b - c (分配律). 【基础练习】1. (2015 •全国 n 卷)向量 a = (1 , — 1), b = ( — 1, 2)，则(2a + b ) - a 等于( )A. — 1B.0C.1D.22. (2017 •湖州模拟)已知向量a , b ,其中|a | = 3, | b | = 2，且(a — b )丄a ，则向量a 和b 的 夹角是 ________ .2 n3. (2016 •石家庄模拟)已知平面向量a , b 的夹角为, |a | = 2,|b | = 1，则| a + b | = ________ .【训练3】 (1)(2017 •浙江三市十二校联考)已知点A (1 , 3) , B (4 , — 1)，则与AB 同方向的3-4-- D4 - 53 - 5-3 - 5 -4 -4 - 5-3 - 5A35. (必修4P104例1改编)已知I a| = 5, | b| = 4, a与b的夹角0 = 120°,则向量b在向量a方向上的投影为 _________ .6. _______________________________________ (2017 •瑞安一中检测)已知a , b , c 是同一平面内的三个向量，其中 a = (1 , 2) , |b | = 1, 且a + b 与a — 2b 垂直，则向量 a • b =； a 与b 的夹角0的余弦值为 ________________________________ .【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用(用已知表示未知) 【例1】(1)(2015 •四川卷)设四边形ABCD 为平行四边形, 足B M= 3^C 6N = 2hf c 则 AM ・ NM 等于（ ） A.20B. 15C.9D.6⑵(2016 •天津卷)已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点连接DE 并延长到点F ,使得DE= 2EF,则AF • BC 的值为(【训练1】(1)(2017 •义乌市调研)在Rt △ ABC 中 , / A = 90° , AB= AC= 2,点D 为AC 的中 点，点E 满足1BE= 3B C 则尺E ・E3D= _____⑵(2017 •宁波质检)已有正方形 ABC 啲边长为1,点E 是AB 边上的动点，贝U 0E- CB 勺值为 ________ ； 6E - [5C 的最大值为 ______ . 考点二平面向量的夹角与垂直【例2】(1)(2016 •全国n 卷)已知向量a = (1 , m ) , b = (3 , — 2),且(a + b )丄b ,则 作( )A. — 8B. — 6C.6D.8⑵ 若向量a = (k , 3), b = (1 , 4), c = (2, 1),已知2a — 3b 与c 的夹角为钝角，贝U k 的取值 范围是_______________ .【训练2】(1)(2016 •全国川卷)已知向量BA= 1 ,右3 , BC= , 2 ,则/ ABC=()A.30 °B.45 °C.60°D.120°2 2 2(2)(2016 •全国I 卷)设向量 a = (m 1) , b = (1 , 2),且 |a + b | = | a | + | b | ,贝 Um ^ .考点三平面向量的模及其应用n【例3】(2017 •云南统一检测)已知平面向量a 与b 的夹角等于—,若|a | = 2 , | b | = 3,则 |2a — 3b | =()| AB = 6, |AD | = 4，若点 M N 满D, E 分别是边AB BC 的中点,11A . —8B.81。
2018年高考数学分类汇编：专题五平面向量
《2018年高考数学分类汇编》第五篇：平面向量一、选择题1．【2018全国一卷6】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uu rA ．3144AB AC -uu u r uuu r B ．1344AB AC -uu u r uuu r C ．3144AB AC +uu u r uuu r D ．1344AB AC +uu u r uuu r 2．【2018全国二卷4】已知向量，满足，，则 A ．4 B ．3 C ．2 D ．03.【2018北京卷6】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件4.【2018天津卷8】如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则⋅的最小值为 A. 2116 B. 32 C. 2516D. 3 5.【2018浙江卷9】已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是 A1BC ．2D ．2二、填空题 1．【2018全国三卷13】已知向量，，．若，则________．2．【2018江苏卷12】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=uu u r uu u r ，则点A 的横坐标为 ．3.【2018上海卷8】在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上a b ||1=a 1⋅=-a b (2)⋅-=a a b ()=1,2a ()=2,2-b ()=1,λc ()2∥c a +b λ=的两个动点，且|EF uu v |=2，则AE uu u v ·BF uu v 的最小值为______[参考答案一、选择题1.A2.B3.C4.A5.A二、填空题 1.212.33.3。
2018年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)
二、填空
1．（2018 北京文）设向量 a 1,0 ， b 1, m ，若 a ma b ，则 m _________．
1．【答案】 1
【解析】 Q a 1,0 ， b 1,m ，ma b m,0 1,m m 1, m ， 由 a ma b 得， a ma b 0 ，a ma b m 1 0 ，即 m 1．
21
(A)
16
3
25
(B)
(C)
2
16
(D) 3
3．【答案】A
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
则
A
0,
1 2
，
B
3 2
,
0
，
C
0,
3 2
，
D
3 2
,
0
，
点
E
在
CD
上，则
DE
DC
0
1
，设
E
x,
y
，则：
x
3 2
,
y
3 2
,
3 2
，即
x
3 2
y
3 2
3 2
，
据此可得 E
解则答b 2：设4ee
(1, b3
0)
，b 0
x
(
2
x,
y) y2
，
4x
3
0
(x 2)2
y2
1
如图所示， a
OA， b
OB ，（其中
A 为射线 OA 上动点， B 为圆 C 上动点， AOx
.）
3
∴ a b CD 1 3 1.（其中 CD OA .）
min
2．（2018 天津文）在如图的平面图形中，
2018年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破专题07平面向量及其应用(教学案)-Word版含解析.doc
【2018年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为C 级要求，应特别重视．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题. 【重点、难点剖析】 1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0. (2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a 的单位向量为±a|a |.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l 的斜率为k ，则a ＝(1，k )是直线l 的一个方向向量． (5)|b |cos 〈a ，b 〉叫做b 在向量a 方向上的投影． 2．两非零向量平行、垂直的充要条件 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)若a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)；a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ⊥b ⇔a ·b ＝0；a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |A B →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN →＝ON →－OM →(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．5．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直，反之也成立．6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线． 【题型示例】考点1、平面向量的线性运算【例1】【2017山东，文11】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= . 【答案】-3【解析】由a ||b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【变式探究】【2016高考新课标2文数】已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m =（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D. 【举一反三】(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →【变式探究】(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.答案 12 －16【变式探究】(1)(2014·四川)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(2)(2014·湖北)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________. 【命题意图】(1)本题主要考查向量的运算、向量的夹角公式等基础知识，考查考生的计算能力、分析问题的能力和转化能力．(2)本题主要考查向量的数量积等知识，意在考查考生对基础知识的理解和运用能力． 【答案】(1)D (2)±3【感悟提升】平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等． (1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解． (2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解． (3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程．(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算．【变式探究】(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE →用 AB →，AC →表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．考点2、平面向量的数量积【例2】【2017北京，文12】已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________． 【答案】6 【解析】所以最大值是6.【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，,E F 是,A D 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 ▲ .【答案】78【解析】因为222211436=42244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--==（）（），2211114123234FD BCBF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==-（）（），因此22513,82FD BC ==，2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（） 【举一反三】(2015·山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A ．－32a 2 B ．－34a 2 C.34a 2 D.32a 2解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝ 3a 2×32＝32a 2. 答案 D【变式探究】(2015·安徽，8)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【变式探究】(2015·四川，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( )A ．20 B. 15C ．9D ．6题型三、平面向量基本定理及其应用例3．【2017江苏，16】 已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】（1）5π6x =（2）0x =时， ()f x 取到最大值3； 5π6x =时， ()f x 取到最小值-. 【解析】（1）因为()cos ,sin a x x =， (3,b =，a ∥b ，所以3sin x x =.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan 3x =-. 又[]0,πx ∈，所以5π6x =.（2）()()(πcos ,sin 3,3cos 6f x a b x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅=-=+⎪⎝⎭. 因为[]0,πx ∈，所以ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而π1cos 6x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 于是，当ππ66x +=，即0x =时， ()f x 取到最大值3；当π6x π+=，即5π6x =时， ()f x 取到最小值-【变式探究】【2016年高考四川文数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA =DB =DC ,DA ⋅DB =DB ⋅DC =DC ⋅DA =-2，动点P ，M 满足AP =1，PM =MC ，则2BM 的最大值是( )（A ）434 （B ）494（C ）374+ （D ）374+【答案】B【举一反三】(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2，0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9解析 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆直径，故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B. 答案 B【变式探究】(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A ．1<r <R <3B ．1<r <3≤RC ．r ≤1<R <3D ．1<r <3<R解析 由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.答案 A【举一反三】(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．答案 －3。
2018年全国高考文科数学分类汇编----平面向量
2018年全国高考文科数学分类汇编——平面向量1.（浙江）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4•+3=0，则|﹣|的最小值是（）AA．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣【解答】解：由﹣4•+3=0，得，∴（）⊥（），如图，不妨设，则的终点在以（2，0）为圆心，以1为半径的圆周上，又非零向量与的夹角为，则的终点在不含端点O的两条射线y=（x＞0）上．不妨以y=为例，则|﹣|的最小值是（2，0）到直线的距离减1．即．故选：A．2. （天津）在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，则的值为（）CA．﹣15 B．﹣9 C．﹣6 D．0【解答】解：不妨设四边形OMAN是平行四边形，由OM=1，ON=2，∠MON=120°，=2，=2，知=﹣=3﹣3=﹣3+3，∴=（﹣3+3）•=﹣3+3•=﹣3×12+3×2×1×cos120°=﹣6．故选：C．3. （上海）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣1，0）、B （2，0），E 、F 是y 轴上的两个动点，且||=2，则的最小值为 ﹣3 ． 【解答】解：根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴； ∴a=b +2，或b=a +2； 且； ∴； 当a=b +2时，； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为； ∴的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．4. （全国3卷）已知向量(1,2)=a ，(2,2)=-b ，(1,)λ=c ．若()2+c a b ，则λ=________．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），∴=（4，2）， ∵=（1，λ），∥（2+），∴，解得λ=．故答案为：．5. （全国2卷）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（ ）B A ．4 B ．3 C ．2 D ．0【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B ． 6. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=（ ）AA ．﹣B ．﹣C ．+D ．+【解答】解：在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，=﹣=﹣ =﹣×（+）=﹣，故选：A ．7.（江苏）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．8. （北京）设向量=（1，0），=（﹣1，m）．若⊥（m﹣），则m=﹣1．【解答】解：向量=（1，0），=（﹣1，m）．m﹣=（m+1，﹣m）．∵⊥（m﹣），∴m+1=0，解得m=﹣1．故答案为：﹣1．。
2018年高考文科数学考纲解读与题型示例 (7)平面向量
2018年高考文科数学考纲解读与题型示例 (7)平面向量【2018年高考考纲解读】高考对本内容的考查主要有：平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求，应特别重视．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与三角函数综合考查，构成中档题.【重点、难点剖析】1．向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±a|a|.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)|b|cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．2．两非零向量平行、垂直的充要条件设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，(1)若a∥b⇔a＝λb(λ≠0)；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(2)若a⊥b⇔a²b＝0；a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.3．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a²a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|A B →|＝x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ²b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN →＝ON →－OM →(其中O 为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．5．根据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 互相垂直，反之也成立． 6．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线． 【题型示例】考点1、平面向量的线性运算【例1】【2017山东，文11】已知向量a =（2,6）,b =(1,)λ- ,若a ||b ,则λ= . 【答案】-3【解析】由a ||b 可得162 3.λλ-⨯=⇒=-【变式探究】【2016高考新课标2文数】已知向量，且，则（）（A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D(1,)(3,2)a m a =- ，=()a b b ⊥+m =【解析】向量，由得，解得，故选D.【举一反三】(2015²新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →【变式探究】(2015²北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________．解析 MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →， ∴x ＝12，y ＝－16.答案12 －16【变式探究】(1)(2014²四川)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )a b (4,m 2)+=- (a b)b +⊥43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=m 8=A．－2 B．－1C．1 D．2(2)(2014²湖北)设向量a＝(3,3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________. 【命题意图】(1)本题主要考查向量的运算、向量的夹角公式等基础知识，考查考生的计算能力、分析问题的能力和转化能力．(2)本题主要考查向量的数量积等知识，意在考查考生对基础知识的理解和运用能力．【答案】(1)D(2)±3【感悟提升】平面向量的运算主要包括向量运算的几何意义、向量的坐标运算以及数量积的运算律的应用等．(1)已知条件中涉及向量运算的几何意义应数形结合，利用平行四边形、三角形法则求解．(2)已知条件中涉及向量的坐标运算，需建立坐标系，用坐标运算公式求解．(3)解决平面向量问题要灵活运用向量平行与垂直的充要条件列方程．(4)正确理解并掌握向量的概念及运算；强化“坐标化”的解题意识；注重数形结合思想、方程思想与转化思想的应用．注意：在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中的已知向量进行计算．【变式探究】(2013²江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【规律方法】在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比．本例中的第(1)题就是把向量DE →用 AB →，AC →表示出来，再与题中已知向量关系式进行对比，得出相等关系式，可求相应的系数．考点2、平面向量的数量积【例2】【2017北京，文12】已知点P 在圆22=1x y +上，点A 的坐标为(-2,0)，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为_________．【答案】6 【解析】所以最大值是6.【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是 ▲.ABC ∆D BC ,E F ,A D 4BC CA ⋅= 1BF CF ⋅=- BE CE ⋅【答案】【解析】因为，，因此，【举一反三】(2015²山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →²CD →＝( ) A ．－32a 2B ．－34a2C.34a 2D.32a 2解析 如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ²CD ²cos 120°＝a 2＋a 2－2a ²a ³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →²CD →＝|BD →|²|CD →|cos 30°＝78222211436=42244AD BC FD BCBA CA BC AD BC AD --⋅=-⋅--== （）（）2211114123234FD BC BF CF BC AD BC AD -⋅=-⋅--==- （）（）22513,82FD BC == 2222114167.22448ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED --⋅=-⋅--===（）（）3a2³32＝32a2.答案 D【变式探究】(2015²安徽，8)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB→＝2a，AC→＝2a ＋b，则下列结论正确的是()A．|b|＝1 B．a⊥bC．a²b＝1 D．(4a＋b)⊥BC→【规律方法】求数量积的最值，一般要先利用向量的线性运算，尽可能将所求向量转化为长度和夹角已知的向量，利用向量的数量积运算建立目标函数，利用函数知识求解最值．【变式探究】(2015²四川，7)设四边形ABCD为平行四边形，|AB→|＝6，|AD→|＝4，若点M，N满足BM→＝3MC→，DN→＝2NC→，则AM→²NM→＝()A．20 B. 15 C．9 D．6题型三、平面向量基本定理及其应用例3．【2017江苏，16】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b（1）若a ∥b ,求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【答案】（1）5π6x =（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x 取到最小值-【解析】（1）因为()cos ,sin a x x =，(3,b =，a ∥b ，所以3sin x x =.若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠.于是tan x =. 又[]0,πx ∈，所以5π6x =.（2）()()(πcos ,sin 3,3cos 6f x a b x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅==+ ⎪⎝⎭. 因为[]0,πx ∈，所以ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而π1cos 6x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x π+=，即5π6x =时，()f x取到最小值-. 【变式探究】【2016年高考四川文数】在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足 ==,===-2，动点P ，M 满足 =1，=，则的最大值是( )（A ）（B ）（C（D【答案】BDA DB DC DA ⋅DB DB ⋅DC DC ⋅DA AP PM MC2BM 434494【举一反三】(2015²湖南，8)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，→＋PB→＋PC→|的最大值为()0)，则|PAA．6 B．7 C．8 D．9解析由A，B，C在圆x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC为圆直径，故PA→＋PC→＝2PO→＝(－4，0)，设B(x，y)，则x2＋y2＝1且x∈[－1，1]，PB→＝(x－2，y)，所以PA→＋PB→＋PC→＝(x－6，y)．故|PA→＋PB→＋PC→|＝－12x＋37，∴x＝－1时有最大值49＝7，故选B.答案 B【变式探究】(2014²安徽，10)在平面直角坐标系xOy中，已知向量a，b，|a|＝|b|＝1，a²b＝0，点Q满足OQ→＝2(a＋b)．曲线C＝{P|OP→＝a cosθ＋b cosθ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P|0<r≤|PQ→|≤R，r<R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则()A．1<r<R<3 B．1<r<3≤RC．r≤1<R<3 D．1<r<3<R解析由已知可设OA→＝a＝(1，0)，OB→＝b＝(0，1)，P(x，y)，则OQ→＝(2，2)，曲线C＝{P|OP→＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C：x2＋y2＝1，区域Ω＝{P|0<r≤|PQ→|≤R，r<R}表示圆P1：(x－2)2＋(y－2)2＝r2与圆P2：(x－2)2＋(y－2)2＝R2所形成的圆环，如图所示，要使C∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r<R<3.答案 A【举一反三】(2015²江苏，6)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若m a＋n b＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．答案－3。
2018高考数学文全国大一轮复习课件：第四篇 平面向量
第 1节
平面向量的概念及线性运算
最新考纲
1.了解向量的实际背景. 2.理解平面向量的概念和两个向量 相等的含义. 3.理解向量的几何表示.
4.掌握向量加法、减法的运算,理解 其几何意义. 5.掌握向量数乘的运算及其几何意
义,理解两个向量共线的含义.
6.了解向量线性运算的性质及其几 何意义.
知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
解析:①不正确,a与b方向不一定相同,②正确;③正确;④a与b方向相反 时,命题不成立;⑤当b=0时,命题不成立.
4.如图,在△ABC 中,D 是 BC 上任意一点.若 AD = AB + AC ,则λ +μ = .
解析:因为 D 是 BC 上任意一点,即 D,B,C 三点共线, 又 AD = AB + AC ,则λ+μ=1.
数 乘
4.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ ,使得 b=λ a .
【重要结论】
A,B,C 三点共线,O 为 A,B,C 所在直线外任一点,则 OA = OB + OC 且λ +μ =1.
对点自测
1.如图,已知D,E,F分别是△ABC的边BC,AB,AC的中点,则下列说法正确的 是( A .
3.给出下列命题. ①若|a|=|b|,则 a=b; ②若 A,B,C,D 是不共线的四点,则“ AB = DC ”是“四边形 ABCD 为平行四 边形”的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④“a=b”的充要条件是“|a|=|b|且 a∥b”; ⑤若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中真命题的序号是( A ) (A)②③ (B)①② (C)③④ (D)④⑤
1 3 1 3 所以 AC = AB + AD ,则 m= ,n= , 2 2 2 2 1 3 所以 m-n= - =-2. 2 2 答案: -2
2018版高考一轮数学文科：第23讲-平面向量的概念及其线性运算ppt课件
→ [答案] .AC
课前双基巩固
对点演练
2．[教材改编] 若
1 1 2x－3a－2(b＋c－3x)＋b＝0，
[ 解析 ] 由
1 1 2 x－3a － (b ＋ c － 2
其中 a， b， c 为已知向量， 则 x＝_____＋ c 21 7 7
课前双基巩固
知识梳理
减法
数乘
三角形 法则 ________ |λ||a| (1)|λa|＝______ 实数 λ 与向量 a 的 (1)对向量加法的分配律： (2)当 λ＞0 时，λa 与 a 向量 ， λa＋λb 积是一个______ λ (a＋b)＝_____________ 相同 的方向________；当 λ 这种运算叫作向 (2)对实数加法的分配律： ＜0 时， λa 与 a 的方向 数乘 量的________ ，记 (λ1＋λ2)a＝ 相反 ________； 当 λ＝0 时， λa λ1a＋λ2a 作________ ______________ 0 λa＝________
1．[2015· 全国卷Ⅰ] 已知点 A(0，1)，B(3， → ＝(－4， → ＝( 2)， 向量AC －3)， 则向量BC A．(－7，－4) B．(7，4) C．(－1，4) D．(1，4) )
→ ＝(3， → ＝AC → －AB →＝ [解析] A AB 1)， BC (－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．
大小 →， →， 在平面中， 既有________ 又有 用 a， b， c， …或AB BC … 方向 ________ 的量 表示
大小 向量 a 的________ ， 也就是表
向量的模 零向量
→的 示向量 a 的有向线段AB 长度 ________( 或称模) 0 长度为________ 的向量
最新高三教案-2018年全国各地高考试题分类解析(平面向量)全国 精品
平面向量1.（全国卷Ⅰ）ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(m ++=，则实数m = 12．（全国卷Ⅱ）已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,=等于（ C ） A ．2 B ．21 C ．－3 D ．－31 3．（全国卷Ⅱ）点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为 （ C ）A ．（－2，4）B ．（－30，25）C ．（10，－5）D ．（5，－10）4. （全国卷III ）已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===- ，且A 、B 、C 三点共线，则k=23- 5.（北京卷）若||1,||2,a b c a b ===+ ，且c a ⊥ ，则向量a 与b 的夹角为(C )（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°6.（上海卷）直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是x+2y-4=0 __________。
7.（天津卷）在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC |=2,则OC =⎛ ⎝⎭8.（福建卷）在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是（ D ） A ．5 B ．－5 C ．23 D ．23- 9.（广东卷）已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则x 为____4_________．10.（湖北卷）已知向量||).,5(),2,2(k +=-=若不超过5，则k 的取值范围是[－6，2]11.（江苏卷）在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +∙的最小值是_-2_________。
2018年高考数学(文)考试大纲解读 平面向量
平面向量考纲原文（九）平面向量1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景.（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.（3）理解向量的几何表示.2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义.3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义.（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义.（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.名师解读1．涉及本专题知识的题目，一般以选择题、填空题的形式出现，考查平面向量概念的正误，应用三角形法则或平行四边形法则进行平面向量的线性运算，应用平面向量基本定理表示平面向量，平面向量的数量积运算及向量的坐标化表示与运算，体现了平面向量的几何性与代数性.注意向量在解析几何、三角函数中的应用.2．从考查难度来看，考查本专题内容的题目一般难度不大，需注意运算过程中几何图形的辅助效果. 3．从考查热点来看，向量线性运算及数量积运算是高考命题的热点，要能够利用回路三角形法则表示向量，掌握向量数量积的运算法则，熟练进行数量积运算.样题展示考向一 平面向量的线性运算样题1 设D 为ABC △所在平面内一点，3BC CD =，则A ．1433AD AB AC =-+B ．1433AD AB AC =-C ．4133AD AB AC =+D ．4133AD AB AC =-【答案】A样题2 （2017年高考浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD交于点O ，记1·I OAOB = ，2·I OBOC = ，3·I OC OD =，则A ．123I I I <<B ．132I I I <<C ．312I I I <<D ．213I I I <<【答案】C考向二 平面向量的数量积样题3 （2017年高考新课标Ⅰ卷）已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________．【答案】【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+= a b a a b b ， 所以|2|+==a b方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.考向三 平面向量中的最值问题样题4 （2017年高考新课标Ⅱ卷）已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】B【名师点睛】平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．样题5 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为A ．3B ．C ．D ．2【答案】A所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.考向四 向量与其他知识的综合样题6 （2017江苏）如图，在同一个平面内，向量OA ，OB ，OC 的模分别为1，1OA与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+(,)m n ∈R ，则m n += ．【答案】3。
2018高考文科数学复习平面向量
数 学F 单元 平面向量F1 平面向量的概念及其线性运算 4．A2，F1[2016·北京卷] 设a ，b 是向量，则“|a|＝|b|”是“|a ＋b|＝|a －b|”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．D [解析] 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为边组成的平行四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为边组成的平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，从而不是必要条件．故选D.13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图1-3，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．13.78[解析] 设BD →＝a ，DF →＝b ，则由题意得BA →＝a ＋3b ，CA →＝－a ＋3b ，BF →＝a ＋b ，CF →＝－a ＋b ，BE →＝a ＋2b ，CE →＝－a ＋2b ，所以BA →·CA →＝9b 2－a 2＝4，BF →·CF →＝b 2－a 2＝－1，解得b 2＝58，a 2＝138，于是BE →·CE →＝4b 2－a 2＝78.14．F1，K2[2016·上海卷] 如图1-2所示，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1(1，0)．任取不同的两点A i ，A j ，点P 满足OP →＋OA i →＋OA j →＝0，则点P 落在第一象限的概率是________．图1-214.528 [解析] 共有C 28＝28(个)基本事件，其中使点P 落在第一象限的基本事件共有C 23＋2＝5(个)，故所求概率为528.F2 平面向量基本定理及向量坐标运算 F3 平面向量的数量积及应用 13．F1、F3[2016·江苏卷] 如图1-3，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．13.78[解析] 设BD →＝a ，DF →＝b ，则由题意得BA →＝a ＋3b ，CA →＝－a ＋3b ，BF →＝a ＋b ，CF →＝－a ＋b ，BE →＝a ＋2b ，CE →＝－a ＋2b ，所以BA →·CA →＝9b 2－a 2＝4，BF →·CF →＝b 2－a 2＝－1，解得b 2＝58，a 2＝138，于是BE →·CE →＝4b 2－a 2＝78.13．F3[2016·全国卷Ⅰ] 设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m ＝________． 13．－2 [解析] 由已知条件，得a·b ＝0，即m ＋2＝0，即m ＝－2.3．F3[2016·全国卷Ⅲ] 已知向量BA →＝（12，32），BC →＝（32，12），则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°3．A [解析] cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝12×12＋32×32＝32，又∠ABC ∈[0°，180°]，∴∠ABC ＝30°.3．F3[2016·全国卷Ⅱ] 已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6 C ．6 D ．83．D [解析] a ＋b ＝(4，m －2)，∵(a ＋b )⊥b ，∴(a ＋b )·b ＝12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.8．F3[2016·山东卷] 已知非零向量m ，n 满足4|m|＝3|n|，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4C.94 D ．－948．B [解析] 由4|m |＝3|n |，可设|m |＝3，|n |＝4.又∵n ⊥(t m ＋n )，cos 〈m ，n 〉＝13，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ×4×3×13＋16＝0，解得t ＝－4.15．F3[2016·浙江卷] 已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a·e|＋|b·e|≤6，则a ·b 的最大值是________．15.12 [解析] 由|(a ＋b )·e |≤|a ·e |＋|b ·e |≤6，得|a ＋b |≤6，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ≤6，所以a ·b ≤12，故a·b 的最大值为12.12．C4，F3[2016·上海卷] 在平面直角坐标系中，已知A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则BP →·BA →的取值范围是________．12．[0，1＋2] [解析] 由题意得y ＝1－x 2表示以原点为圆心，1为半径的上半圆，设P (cos α，sin α)，α∈[0，π]，则BA →＝(1，1)，BP →＝(cos α，sin α＋1)，所以BP →·BA →＝cos α＋sin α＋1＝2sin(α＋π4)＋1，因为α∈[0，π]，所以0≤BP →·BA →≤1＋ 2.21．H6，H8，F3[2016·上海卷] 双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．(1)若l 的倾斜角为π2，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；(2)设b ＝3，若l 的斜率存在，且(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，求l 的斜率． 21．解：(1)设A (x A ，y A )，F 2(c ，0)，c ＝1＋b 2，由题意，y 2A＝b 2(c 2－1)＝b 4， 因为△F 1AB 是等边三角形，所以2c ＝3|y A |， 即4(1＋b 2)＝3b 4，解得b 2＝2.故双曲线的渐近线方程为y ＝±2x . (2)由已知，F 1(－2，0)，F 2(2，0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：y ＝k (x －2)，显然k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 23＝1，y ＝k （x －2），得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0.因为l 与双曲线交于两点，所以k 2－3≠0，且Δ＝36(1＋k 2)>0. 设AB 的中点为M (x M ，y M )．由(F 1A →＋F 1B →)·AB →＝0，即F 1M →·AB →＝0，知F 1M ⊥AB ，故kF 1M ·k ＝－1. 又x M ＝x 1＋x 22＝2k 2k 2－3，y M ＝k (x M －2)＝6k k 2－3，所以kF 1M ＝3k 2k 2－3，所以3k 2k 2－3·k ＝－1，得k 2＝35，故l 的斜率为±155.F4 单元综合10．F4[2016·四川卷] 在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( )A.434B.494C.37＋634D.37＋233410．B [解析] 方法一：由题意，因为|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，所以D 到A ，B ，C 三点的距离相等，D是△ABC 的外心．DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2⇒DA →·DB →－DB →·DC →＝DB →·(DA →－DC →)＝DB →·CA →＝0，所以DB ⊥AC .同理可得，DA ⊥BC ，DC ⊥AB ， 从而D 是△ABC 的垂心，所以△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且D 是△ABC 的中心， 所以DA →·DB →＝|DA →||DB →|cos ∠ADB ＝|DA →||DB →|×⎝⎛⎭⎫－12＝－2⇒|DA →|＝2， 所以正三角形ABC 的边长为2 3.以A 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B (3，－3)，C (3，3)，D (2，0)． 由|AP →|＝1，设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)．由PM →＝MC →，可知M 是PC 的中点， 所以M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2， 则|BM →|2＝⎝⎛⎭⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝⎛⎭⎫θ－π64≤37＋124＝494，当θ＝23π时，|BM →|2取得最大值494.方法二：由|DA →|＝|DB →|＝|DC →|可知D 为△ABC 的外心，再根据DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，得∠ADB ＝∠BDC ＝∠CDA ＝120°，于是△ABC 为正三角形，且边长为2 3. 设AC 的中点为T ，则|BT →|＝3，由条件知BM →＝12(BP →＋BC →)＝12(BA →＋AP →＋BC →)＝12(2BT →＋AP →)＝BT →＋12AP →，所以|BM →|2＝BT →＋12AP →2＝|BT →|2＋14|AP →|2＋BT →·AP →＝|BT →|2＋14|AP →|2＋|BT →||AP →|cos 〈BT →，AP →〉≤9＋14＋3×1×1＝494，当且仅当〈BT →，AP →〉＝0°，即BT →与AP →同向时等号成立．7．F4[2016·天津卷] 已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18C.14D.1187．B [解析] BC →＝AC →－AB →，AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，∴BC →·AF →＝(AC →－AB →)·（12AB →＋34AC →）＝12×1×1×12－12＋34－34×1×1×12＝14＋34－12－38＝18.6．[2016·南阳期末] 在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点， AN →＝λAB →＋μAC →，则 λ＋μ的值为( )A. 12B. 13C. 14D ．1 6．A [解析] AM →＝2AN →＝2λAB →＋2μAC →，由于B ，C ，M 三点共线，故2λ＋2μ＝1，所以λ＋μ＝12.4．[2016·济宁期末] 在△ABC 中，G 是△ABC 的重心，边AB ，AC 的长分别为2，1，∠BAC ＝60°，则AG →·BG →＝( )A ．－89B ．－109C.5－39D ．－5－394．A [解析] 由AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，得BC ＝3，∠ACB ＝90°.以C 为坐标原点，CB →，CA →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则A (0，1)，B (3，0)，所以重心G ⎝⎛⎭⎫33，13，所以AG →＝⎝⎛⎭⎫33，－23，BG →＝⎝⎛⎭⎫－233，13，所以AG →·BG →＝⎝⎛⎭⎫33，－23·⎝⎛⎭⎫－233，13＝－89.7．[2016·福州质检] 在△ABC 中，BC ＝2，A ＝45°，B 为锐角，点O 是△ABC 外接圆的圆心，则OA →·BC →的取值范围是( )A. (－2，22]B. (－22，2] C ．[－22，22] D. (－2，2) 7．A [解析] 由题意得AB ＝22sin C ，AC ＝22sin B ，取BC 的中点D ，连接OD ，AD ，则OD ⊥BC ，所以OA →·BC →＝(OD →－AD →)·BC →＝－AD →·BC →＝－12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AB →2－AC →2)＝4sin 2C －4sin 2B ＝2cos 2B －2cos 2C ＝2cos 2B －2cos(270°－2B )＝2cos 2B ＋2sin 2B ＝22sin(2B ＋45°)．又45°<2B ＋45°<225°，所以－22<sin(2B ＋45°)≤1，所以－2<OA →·BC →≤2 2.。