传热学3-2

e
2
x d erf ( ) erf 2 a
式中:
x 2 a
无量纲坐标
erf 称为误差函数,查附录15。
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2.热流量
t w t0 t w t0 x 2 4 a t qw qx e a x a t w t0 Q A q w d A d 2 A c t w t 0 0 0 a
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四、求解非稳态导热问题的一般步骤
（1）先校核Bi数是否满足集中参数法条件，若 满足，则优先考虑集中参数法 （2）如不能用集中参数法，则尝试用近似拟合公 式或诺谟图
（3）若上述方法都不行则采用数值解
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3.4 半无限大物体非稳态导热
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当Fo>0.2后
平板： 圆柱：
2 sin( 1 ) Q ( 1 ) 2 Fo 1 e Q0 1 sin( 1 ) cos( 1 ) Q 2 J 1 ( 1 ) 2 J 1 ( 1 ) ( 1 ) 2 Fo 1e 2 2 Q0 1 J 0 ( 1 ) J 1 ( 1 )
问题引出：
考虑地下埋管深度的一个重要因素：考虑 在当地气候变化条件下，埋管处的土壤温度 不致于导致管内流体冻结
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一、半无限大物体定义
半无限大物体是非稳态导热 的特有概念。所谓半无限大物 体，几何上是指如图所示的那 样的物体，其特点是从 x=0 的 界面开始可以向 x 正的方向及 其它两个坐标 (y,z) 方向无限延 伸。
经过 秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热量：
Q c (t0 t )dx c ( 0 )dx
2 2 sin 2 n n Fo 2 c 0 1 e 2 n 1 n n sin n cos n 2 J m
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3.5 多维非稳态导热的求解
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一、可以用乘积解法求解的几个典型问题
在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及
短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
1 2
统一表达式：
( x, ) A exp 12 Fo f 1 0
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Q 定义无量纲热量 Q0 其中：Q为0时间内传导的热量（内热能的改变量）
Q0为初始时刻至与周围介质处于热平衡这一过 程中传导的热量, 是非稳态导热中传递的最大热量。 Q 0 cV （ t0 - t ） cV 0
3 sin( 1 ) 1 cos( 1 ) 2 sin( 1 ) 1 cos( 1 ) ( 1 )2 Fo Q e 球： 1 3 Q0 1 1 sin( 1 ) cos( 1 )
统一表达式：
Q 1 A exp 12 Fo B Q0
二、非稳态导热的正规状况阶段
当Fo>0.2后，对于上式，只取级数的第一项计算
和完整级数计算误差很小(<1%)。并且平板中任一点
的过余温度与平板中心的过余温度之比只与几何位 臵和边界条件有关，而与时间无关。这表明，初始 条件的影响已消失，通常将这一阶段定义为非稳态 导热过程的正规状况阶段 (工程技术关心的非稳态导
3.解的结果 ( ( x, ) 2 e 0 n 1
a , , , , h, x
2 n)
a

2
x sin( n ) cos[( n ) ] n sin( n ) cos( n )
n 为 tan n
Bi
特征根
n
, n 1, 2,...
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二、物理问题和数学描述
一个半无限大物体, 初始温度均匀为t0 ，在 =0
时刻，在x=0的一侧表面温度突然升高到tw ，并保
持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。
t 2t a x 2 0 t ( x,0) t0 x 0 t (0, ) tw x t ( x, ) t0
Q Q＝ Q 0
Q0
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5. 适用范围
（1）Fo>0.2, 即要求正规状况阶段级数解只需取 第一项 （2）边界条件为第三类或者第一类 (Bi ∞)
（3）边界条件一侧绝热，另一侧为第三类 （4）初始温度均匀
（5）加热或冷却均可
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4. 如何利用诺谟图？
（1）已知时间（τ）求温度（ ）： 0
Fo m 2 主图 0 1 Bi
1 Bi 辅图 x m
a

m 0 m 0
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为了求解上的方便，引入过余温度
t ( x , ) t — 过余温度
a 2 x
2
0 , t 0 -t 0
x 0, x 0
x , - x h
x
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（2）已知温度（ ）求时间（τ）： 0
1 Bi 辅图 m x
0

m 0
1 Bi
主图 Fo

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（3）平板吸收（或放出）的热量： 在计算Q0和Bi数、Fo数之后，从图3-9中Q/Q0 查找，再计算出
0
x
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理解
当物体表面上发生的热扰动的影响，尚未波及到 物体内部中去，就可以把该表面以下直到未受影响 的部分的物体看成是广袤无边的，即相当于一个半 无限大的物体。之所以称为“半”，所讨论的区域 仅限于x>0。 在研究物体中非稳态导热的初始阶段，则有可能 把实际物体当无限大物体来处理。
( x , ) x f (Fo, Bi, ) 0
Fo a 2 Bi h
傅里叶数—表示过程进行的深度 毕渥数—表示内部导热热阻与表面对流换 热热阻相对大小
Fo , , t x, t 0
x =
无量纲距离
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无限长方柱
短圆柱
短方柱
矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁 垂直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个 无限大平壁垂直相交而成；短方柱体（或称垂直六 面体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
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3.吸热系数
c
表示物体向与其接触的高温物体吸热的能力 冬天用手摸触同温度金属与摸触木头感觉不同
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讨论
令 x 4a 当 2 erf (2) 0.9953 即 0 0.9953 可认为该处温度没有变化
erf ( )
erf ( ) 0
m ( ) f (Bi, Fo) 0
主图
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( x , ) x f (Bi, ) m ( )
辅图
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Q f (Fo, Bi); Q0 2 c 0 — 每 m 2 平壁 t0 Q0

x 4 a
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传热学 Heat Transfer 两个重要结论: ① 几何位置 若 2
x 4 a
对一原为2δ 的平板，若 4 a 即可作为半无限大物体来处理
② 时间 若 2
x2 16a 对于有限大的实际物体，半无限大物体的概
念只适用于物体的非稳态导热的初始阶段。
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采用分离变量法求解：取
只为 的函数
X ( x ) ( )
2
1 d 1 d X a d X dx 2
2
只为 x 的函数
只能为常数：
1 d 1 d X const 2 a d X dx
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3.3
一维非稳态导热的分析解
当所遇到的非稳态导热问题 Bi>0.1 ，或者研究 目的就是要确定物体内部温度的差异，此时，就不 能将问题简化为集中体来处理了。
本节主要介绍一维非稳态导热分析解的结果， 及工程实际计算方法。
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一、无限大平壁的分析解
对于无限大平板按如下公式和图3-7、3-8和3-9 计算。 ( x, ) ( x, ) m ( ) 0 m ( ) 0
m
) f ( Bi, Fo) x 平板中心的过余温度 0
f (Bi,
x
m tm t
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2 a x 2
t tw
0, 0
x 0, 0, 0
x , 0, 0
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三、解的结果
1.温度分布
t tw 2 0 t0 t w

x 2 a 0
2δ
h, t∞
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2、数学描述
由于平板对称，因此只取平板的一半进行研究， 以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
t t a 2 x
2
0, t t 0
x 0, t x 0
x , - t x h (t t )
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三、正规状况阶段的实际计算方法
1.采用近似拟合公式法 Q ( x, ) 2 2 1 A exp A exp 1 Fo f 1 1 Fo B Q0 0 见教材表3-1 、 3-2、3-3
2.采用诺谟图等计算图线
无限大平壁的两层含义：
(1)平板的长度和宽度远大于其厚度
(2)几何尺度相当，但厚度四周绝热良好
1. 物理问题描述
厚度 2 的无限大平壁，、a为
已知常数， =0 时温度为 t0 ，突然 h, t∞ 将其放臵于侧介质温度为 t并保持 不变的流体中，两侧表面与介质之 间的表面传热系数为h。
来自百度文库2/33
热常处于正规状况)。
Fo<0.2 则是瞬态温度变化的初始阶段或非正规 状况阶段。
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正规状况阶段三个分析解的简化表达式
平板： 圆柱： 球：
sin( 1 ) ( x, ) x ( 1 ) 2 Fo 2 e cos[( 1 ) ] 0 1 sin( 1 ) cos( 1 ) J1 ( 1 ) ( x, ) 2 x ( 1 ) 2 Fo e J 0 [( 1 ) ] 2 2 0 1 J 0 ( 1 ) J1 ( 1 ) x sin( 1 ) ( x, ) 2 sin( 1 ) 1 cos( 1 ) ( ) Fo e x 0 1 sin( 1 ) 1