01_02(第3讲)第1章离散时间信号傅里叶变换

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时域离散信号和离散傅里叶变换

区别
DFT是针对有限长离散信号的变换，而CFT是针对无限长连续信号的变换；DFT的输出也是离散的频域信号，而CFT的输出是连续的频域信号。
DFT的物理意义
频谱分析
DFT可以用于分析信号的频率成分，揭示信号在不同频率下的表
现。
信号重构
通过DFT反变换，可以将频域信号还原为时域信号，实现信号的重构。
时域离散信号和离散傅里叶变换
• 引言 • 时域离散信号 • 离散傅里叶变换（DFT） • DFT的应用 • 快速傅里叶变换（FFT） • 时域离散信号与DFT的实验演示
01
引言
背景介绍
时域离散信号是数字信号处理中的基本概念，主要应用于数字通信、音频处理等领域。
离散傅里叶变换（DFT）是分析时域离散信号频域特性的重要工具，通过将时域信号转换为频域信号，可以更好地理解信号的频率成分和特性。
压缩算法
压缩感知算法通常包括稀疏基变换（例如DFT）、测量矩阵设计和重建算法等步骤。
05
快速傅里叶变换（FFT）
FFT的原理
快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换的算法。它利用了信号的周期性和对称性，将计算DFT的复杂度从$O(N^2)$降低到了$O(Nlog N)$，大大提高了计算效率。
03
离散傅里叶变换（DFT）
定义与性质
定义
离散傅里叶变换（DFT）是将时域离散信号转换为频域离散信号的线性变换。
性质
DFT具有周期性、对称性、可分离性等性质，这些性质有助于简化计算和信号处理。
DFT与连续傅里叶变换（CFT）的关系
联系
DFT是CFT在时域和频域都离散化情况下的特例，两者在数学表达式上具有相似性。

离散傅里叶变换ppt

频域信号周期的离散的
*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
§ 3-1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入导出周期序列DFS的传统方法是从连
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
~x (t) X~ ( jk0 )e jk0t k
对上式进行抽样，得：
n0
x(n)
IDFT X (k)
1 N
N 1
X (k )WNn,k
k 0
0nN-1
或者： X (k) X~(k)RN (k) x(n) ~x (n)RN (n)
练习题
参考答案
TP 1/ f 0.1(s) T 1/ 2 fh 1/ 8kHz 0.125(ms) N 2 fh / f 800
证明：
DFS[WNmn~x (n)]
N
1
WNmn
~x (n)WNkn
n0
N 1 ~x (n)WN(km)n n0
X~(k m)
WNmn
j 2 mn
eN
j 2 nm
eN
(e
j
2
N
n
)
m
时域乘以虚指数(
j 2
eN
n
)的m次幂，频域搬移m,调制特性。
四.周期卷积和
1.如果 Y~(k) X~1(k)X~2(k)
所以
DFS[~x (n
m)]
N 1m~x (i)WNik
W mk N
im
W mk N
N
1
~x (i)WNik
W mk N
~x (k

离散时间傅里叶变换

离散时间傅⾥叶变换1. 离散时间傅⾥叶变换的导出针对离散时间⾮周期序列，为了建⽴它的傅⾥叶变换表⽰，我们将采⽤与连续情况下完全类似的步骤进⾏。

考虑某⼀序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N1和N2，在 −N1⩽以外，x[n]=0。

下图给出了这种类型的⼀个信号。

由这个⾮周期信号可以构成⼀个周期序列\tilde x[n]，使x[n]就是\tilde x[n]的⼀个周期。

随着N的增⼤，x[n]就在⼀个更长的时间间隔内与\tilde x[n]相⼀致。

⽽当N\to \infty，对任意有限时间值n⽽⾔，有\tilde x[n]=x[n]。

现在我们来考虑⼀下\tilde x[n]的傅⾥叶级数表⽰式\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}因为在-N_1 \leqslant N \leqslant N_2区间的⼀个周期上\tilde x[n]=x[n]，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}现定义函数\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}可见这些系数a_k正⽐于X(e^{j\omega})的各样本值，即\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})式中，\omega_0=2\pi/N⽤来记作在频域中的样本间隔。

傅里叶变换的基础知识

傅里叶变换的基础知识傅里叶变换是一项基础的数学工具，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、信号处理等领域。

本文将介绍傅里叶变换的基本概念，其中包括连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。

1. 连续傅里叶变换在介绍傅里叶变换之前，我们需要先了解两个概念：周期函数和Fourier 级数。

周期函数是指在一定区间内具有重复特征的函数，而 Fourier 级数是将一个周期函数表示为正弦和余弦函数的和。

傅里叶变换是将一个函数表示为一系列不同频率的正弦和余弦函数的和，可以理解为是将 Fourier 级数推广到了一般的非周期函数上。

具体来说，若一个函数 f(x) 满足某些条件，那么它可以被表示为如下形式：F(ω) = ∫ f(x) e^(-iωx) dx其中，F(ω) 是函数 f(x) 的傅里叶变换，ω 表示角频率，即单位时间内变化的弧度数。

从公式可以看出，傅里叶变换将函数 f(x) 转化成一个复数F(ω)，表示了该函数在不同频率下的振幅和相位信息。

特别地，若函数f(x) 是实函数且满足对称性条件，那么它的傅里叶变换F(ω) 是一个实函数。

2. 离散傅里叶变换连续傅里叶变换适用于连续信号的处理，但在实际应用中，我们往往处理的是数字信号，即离散信号。

为了将连续傅里叶变换推广到离散信号上，人们发明了离散傅里叶变换。

离散傅里叶变换的定义如下：F_k = ∑_{n=0}^{N-1} f_n e^{(-i2πkn)/N}其中，f_n 表示离散信号在第 n 个采样点处的取值，N 表示采样点数量，k 表示在 K 点处的频率。

离散傅里叶变换是计算机领域中常用的算法，广泛应用于音频、图像等信号处理领域。

它可以将复杂的信号分解成一组频率，从而实现信号的压缩、降噪等处理操作。

需要注意的是，离散傅里叶变换对于周期信号是有局限性的，因为在离散信号中，我们无法表示无穷长的周期函数，因此在处理周期信号时，我们需要采用其他方法。

3. 傅里叶变换的应用傅里叶变换广泛应用于多个领域，下面简要介绍几个应用场景：(1) 信号处理：傅里叶变换可以将一个信号分解成它的频率成分，从而实现信号降噪、信号压缩等处理操作。

离散时间傅立叶变换(DTFT)

| X (e j ) | sin(N / 2) sin( / 2)
arg[ X (e j )] (N 1) arg[sin(N / 2)]
2
sin( / 2)
当N＝4时，序列x(n)及其幅度谱与相位谱如下图示。
程序清单
clc; clear; y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3]; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); for n=0:3
xe (n) xe (n)
xo (n) xo(n)
xe (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
xo (n)
1 2
[x(n)
x(n)]
（4）对序列x(n)旳X(ejω)
X(ejω)=Xe(ejω)+Xo(ejω)
Xe(ejω)=X*e(e-jω) Xo(ejω)=-X*o(e-jω)
X e (e j
)
对比上面两公式，左边相等，所以得到 xer(n)=xer(-n) xei(n)=-xei(-n)
（2）共轭反对称序列：若满足下式： xO(n)=-x*O(-n) 则称xO(n)为共轭反对称序列。
共轭反对称序列旳性质：实部是奇函数，虚部是偶函数。
例：共轭对称序列共轭反对称序列
5－j －5＋j
d
5、时域卷积定理
设
y(n)=x(n)*h(n),
则 Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)
时域卷积，频域乘法
证明：
令k=n-m
y(n) x(m)h(n m)
m
Y (e j ) FT[ y(n)]

数字信号处理之离散傅里叶变换

共轭对称性
对于实数输入信号，DFT 的结果X[k]满足共轭对称性，即X[-k] = X[k]*。
离散傅里叶变换的矩阵表示
DFT可以表示为一个矩阵运算，即X = W * x，其中X是DFT的输出，x是输入信号，W是DFT的
权重矩阵。
权重矩阵W是一个复数矩阵，具有特殊的结构，可以通过快速傅里叶变换（FFT）算法进行高效
03
其他信号处理方法还包括短时傅里叶变换、Wigner-Ville分布等，可根据具体应用场景选择合适的信号处理方法。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 06
结论
离散傅里叶变换的重要性和应用价值
离散傅里叶变换（DFT）是数字信号处理领域中的重要工具，它能够将信号从时域转换到频域，从而揭示信号的频率成分和特征。
DFT在通信、雷达、声呐、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用，是实现信号分析和处理的关键技术之一。
图像压缩
通过对图像进行DFT变换，将图像从空间域变换到频域，可以提取出图像的主要频率成分，从而实现图像压缩。常见的图像压缩算法有JPEG和JPEG2000等。
05
离散傅里叶变换的局限性和改进方法
离散傅里叶变换的局限性
计算量大
离散傅里叶变换需要进行大量复杂的复数运算，对于大数据量信号处理效率较低。
方式。
离散傅里叶变换的编程实现
01
编程语言如Python、C等提供了离散傅里叶变换的库函数，可以直接调用进行计算。
02
编程实现时需要注意数据的输入输出、内存管理、异常处理等
问题，以保证程序的正确性和稳定性。
编程实现离散傅里叶变换时，可以根据实际需求选择不同的库
03
函数和算法，以达到最优的计算效果。

离散傅里叶变换公式

离散傅里叶变换公式离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，简称DFT）是一种重要的数学工具，在生活中有广泛的应用。

它的发明者是法国数学家傅里叶，现在也被称为“傅里叶变换”。

本文的目的是提供有关离散傅里叶变换的概述，以及它的重要应用。

一、离散傅里叶变换的概念简单来说，离散傅里叶变换（DFT）是通过求解微积分方程来计算信号函数的值的一种数学工具。

它可以用来表示信号函数在时间域上的内容，也可以用来表示信号函数在频率域上的内容。

离散傅里叶变换对正交函数求值有很大的优势，因为它把正交函数分解为一个和平方和的形式。

DFT的计算公式如下：$$ X_k=sum_{n=0}^{N-1} x_ncdot e^{-frac{2{pi}ink}{N}} $$ 其中，$x_n$是信号函数的采样值，$X_k$是信号函数时域上和频率域上的系数，$N$是信号函数的采样频率，$k$是离散傅里叶变换后的频率系数，$n$是信号函数在时域上每个采样点的标号。

二、离散傅里叶变换的重要应用1.频处理离散傅里叶变换的强大的数学特性使它成为音频处理的理想工具。

它可以用来将音频信号从时域转换成频域。

换句话说，它可以用来把声音转换成不同的频率的峰值。

因此，离散傅里叶变换可以用来调节、增强或者减弱各个频率的信号，从而获得更好音质的音频信号。

2.像处理离散傅里叶变换也可以用来处理图像，比如，将图像从时域转换成频域。

它可以把图像拆分成不同的频率部分，从而将图像模糊处理、滤除噪声或增强图像。

三、结论离散傅里叶变换是一种强大的数学工具，它可以用来处理音频信号和图像信号，从而获得更好的效果。

它的应用范围可能会扩展到其他领域，例如信号处理，它将会成为更多的工程应用中的绝佳选择。

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换

离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。

同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。

1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。

时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。

)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。

上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。

离散傅里叶变换基础知识

离散傅里叶变换基础知识离散傅里叶变换基础知识傅里叶是一位法国数学家，他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数做为基函数来表示，也就是我们数学上面学到的傅里叶级数，设一个周期函数f(t)，其周期为T，则其角频率为w0=2πT，则该函数可以展开为一系列三角函数的累加：f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+?=a02+∑a n cosnw0t+b n sinnw0t ∞n=1其中，上式中的各个系数：a0=2T∫f(t)dtT2T2a n=2T∫f(t)cosnw0tdt T2T2b n=2T∫f(t)sinnw0tdt T2T2但这个形式不太好用，因为正弦和余弦项是分开的，我们要考虑把他们两个整合起来，这样对每一个频率nw0我们就可以得到一个系数项（比如上式的a n或者b n），这其实就是该频率对应的幅值。

然后我们以频率为X轴，以其对应的幅值为Y轴，就可以得到该函数在频域里面的图像了。

对于周期函数，其频域里面的图像是不连续的，只在w=0,±w0,±2w0…才有图像。

那么我们该如何将上面的正弦项和余弦项整合到一块呢？答案是欧拉公式。

下面就是鼎鼎大名的欧拉公式：e iwt=coswt+isinwt换个表达方式：coswt=12(e iwt+e?iwt)sinwt=12i(e iwt?e?iwt)将上面的公式代入傅里叶级数中：f(t)=a0+a1cosw0t+b1sinw0t+a2cos2w0t+b2sinw2t+?=a02+∑a n cosnw0t+b n sinnw0t ∞n=1=a02+∑{a ne inw0t+e?inw0t+b ne inw0t?e?inw0t2i}∞n=1=a02+∑{a n?b n i2e inw0t+a n+b n i2e?inw0t}∞n=1=a02+∑{c n e inw0t+c?n e?inw0t}∞n=1我们将上面的a n和b n的计算式代入，可以发现：c n=1T∫f(t)(cosnw0t?isinnw0t)dt=1T∫f(t)e?inw0t dtT2T2T2T2c?n=1T∫f(t)(cosnw0t+isinnw0t)dt=1T∫f(t)e inw0t dtT2T2T2T2所以我们可以将级数中的累计范围变为-∞到∞，这样就可以将c n 和c?n给统一起来，即：f(t)=∑c n e inw0t∞∞其中c n=1T∫f(t)e?inw0t dt T2T2上式的c n就是我们在频域所需要的，它是关于频率w的函数，其函数值为频率w对应的幅值。

《离散傅里叶变换》课件

离散傅里叶级数
探索离散傅里叶级数的定义、性质和计算方法以及在数字信号处理中的应用。
离散傅里叶变换
仔细研究离散傅里叶变换的离散性质和变换公式，揭示其在信号分析中的独特优势。
离散傅里叶变换的性质
探索离散傅里叶变换的对称性、线性性以及快速计算算法，解开其工程应用的奥秘。
离散傅里叶变换实践1海明窗函数图像处理
探索离散傅里叶变换在图像滤波、增强和压缩中的重要作用。
视频编码
揭示离散傅里叶变换在视频编码和压缩领域的关键应用和优化策略。
总结
离散傅里叶变换的优点与缺点
离散傅里叶变换未来的发展趋势
2
深入了解海明窗函数的定义和特性，以
及在信号处理中的应用场景。
3
快速傅里叶变换算法
介绍快速傅里叶变换算法的基本原理和实现方法，让你轻松掌握高效算法的使用。
离散傅里叶变换与信号处理实例
通过实际案例演示离散傅里叶变换在语音信号和图像信号处理中的应用与效果。
离散傅里叶变换应用
语音信号处理
深入研究离散傅里叶变换在语音信号分析、压缩和合成中的广泛应用。
《离散傅里叶变换》PPT 课件
本课件介绍离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），让你轻松理解该概念及其应用。从基本理论到实践应用，一网打尽。
简介
什么是离散傅里叶变换
深入探索离散傅里叶变换的定义、原理和作用，为你打开全新的数学世界。
应用领域
探索离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、视频编码等领域的广泛应用。
傅里叶理论基础
1 傅里叶级数
揭秘傅里叶级数的概念和原理，了解它在周期信号分析中的作用。
2 傅里叶变换

离散时间傅里叶变换

ω
2011-4-30
电气信息工程学院
高丙坤
2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
Ak = 1 Ts
FT e jk Ω s t 2πδ (Ω − k Ω s ) →
∞
S a ( jΩ) = Ω S
k =−∞
∑ δ (Ω − k Ω )
s
2011-4-30
电气信息工程学院
Digital Signal Processing
δ (Ω − k Ω s − θ ) =
1 0
2.2 离散时间傅里叶变换卷积是一个具有DTFT 设 x(n) 是一个具有的序列， X (e ) 的序列，请用 X (e ) 表示
jω jω
x(n) ∗ x (−n) 的DTFT
*
2011-4-30
电气信息工程学院
Digital Signal Processing
2.2 离散时间傅里叶变换能量守恒定理
连续信号FT FT与 2.3 连续信号FT与DTFT 例题证明
s a (t ) =
n = −∞
∑ δ (t − nT )
s
∞
的傅里叶变换为
S a ( jΩ) = Ω S
2011-4-30
k =−∞
∑ δ (Ω − k Ω )
s
∞
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Digital Signal Processing
连续信号FT FT与 2.3 连续信号FT与DTFT
2011-4-30
电气信息工程学院
Digital Signal Processing
2.4 采样定理
Xa ( jΩ)
π Ts
−6000π 6000π
π Ts

离散傅里叶变换(DFT)PPT课件

其中：RN(n)为矩形序列。符号 ((n))N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。即 n mod N： n M n 1 ,N 0 n 1 N 1
x(n)与 ~x(n) x(n)
…
…
0
n
例： ~x(n)是周期为 N=4 的序列，求 n=6 和 n=-1 对 N的余数。
对于周期序列 ~x(n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为
~x(n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x(n)与 ~x(n) 的关系可描述为：
~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
~ x(n)x(n ()N ) x(n)~ x(n)RN(n)x(n ()N )RN(n)
x(n) 1
0.5
0 0 10 20 30 40
IDFS|X(k)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 10 20 30 40
|X(k)|
arg|X(k)|
12
2
10
8
1
6
0
4
2
-1
-
14
0 10 20 30 40
0 10 20 30 40
序列周期重复次数对序列频谱的影响：
理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理，然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向离散谱过渡的过程。
101510510151015105101563物理频率分辨率越高就越能真实刻划信号的频率构成成分或者说越能体现细节即在频域中描述得比较精确对离散时间信号x比如你的信号中有个5hz10hz102hz20hz25hz等正弦成分他们相邻的最小频率间隔是1021002hz也就是说你需要把10和102hz这两个成分分开即可如果分辨率太高则数据量太长浪费计算时间如果分辨率太低则无法把这两个频率分开所以你可以选择截取的最小时长为t1102105秒

离散傅里叶变换公式

离散傅里叶变换公式傅里叶变换（Fouriertransform）是一种重要的数学变换工具，它可以将复杂的函数从时域变换到频域，从而帮助分析问题。

离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）是一种可以分析时域信号的频谱分布的非常有用的数学工具。

它是傅里叶变换的数字化形式，可以将一个有限的时域信号，变换成一个有限的频域信号。

本文对离散傅里叶变换的原理和公式做一个深入的介绍，同时提供一些常用离散傅里叶变换的应用实例。

#### 二、原理离散傅里叶变换是一种从时域到频域的变换，它可以将一个有限定义的信号从时域变换到频域，从而可以更清楚地理解信号在一段时间内的变化规律。

对于一个序列X(t)，定义其基础离散傅里叶变换（DFT）为：$$ X_k = sum_{n=0}^{N-1}x_n e^-j 2 pi n frac{k}{N}, quad text{for} quad k=0, 1, dots , N-1$$其中：$x_n$ 为时域信号的采样值，$N$ 为采样点的个数；$X_k$ 为频域信号的采样值，$k$ 为采样点的个数；$e$ 为自然对数的底数；$pi$ 为圆周率=3.1415926……可以看出，DFT是一种由时域信号到频域信号的双边离散变换，它可以表示一个定义区间上函数的离散变换，在信号处理方面有重要的应用。

#### 三、应用DFT有各种实际应用，包括数字图像处理中的图像增强、数字信号处理中的频谱分析和滤波等。

其中，最重要也是最常用的就是语音识别、信号提取、频率域平滑、声音去噪等。

1、语音识别技术语音识别技术的核心就是识别不同的语音，DFT是实现这个功能的重要工具。

此技术可以把一段音频信号在频率域（frequency domain）转换为另一段音频，进而实现对声音特征分析，进而分析出不同的声音（例如不同语音）。

2、信号提取信号提取技术是利用傅里叶变换（Fourier transform）从信号的频率域中提取信号的一项重要技术，它可以有效检测出一个信号中的特征频率，并将其进行分析，从而获取有用的信息。

杭电研一课件3、离散时间信号的傅立叶变换

所以
X e (e j )

X e (e j )

1 [ X (e j ) 2

X
(e j )]
X o (e
j
)

X o (e j
)

1 [X (e 2
j
)

X
(e j
)]
复序列的对称性质：
Re( x[n]) X e (e j )
序列实部的DTFT是共轭对称分量
2.1 概述离散时间序列傅立叶变换DTFT是将离散时间序列变换成频域
信号的变换，而离散傅立叶变换DFT是傅立叶变换在数值计算中采用的算法。利用DFT可以进行：
1、频谱估计 2、卷积的高效计算 3、信号压缩
本章学习内容：
1、离散时间傅立叶变换DTFT 2、离散傅立叶变换DFT的定义及应用 3、快速傅立叶变换FFT
DTFT

X (e j ) x[n] e j n 连续周期频谱 n
DFT
N 1
j 2 k n
X [k] x[n] e N
n0
离散周期频谱
k 0,, N 1
注意上面两式的连加中n的取值范围，当x[n]为有限长序列时，n的取值范围一致！
DTFT的收敛条件
xo [n]

1 2
(x[n]

x[n])
对于实序列：
x[n] x[n]
任何离散序列都可以分解为共轭对称分量和共轭反对称分量，
则它的傅立叶变换DTFT也可以分解成共轭对称分量和共轭反对称之和。
x[n] X (e j )
X (e j ) X e (e j ) X o (e j )

离散傅里叶变换

3.2 离散傅里叶变换的性质
DFT隐含着周期性，因此在讨论DFT的性质时，常与DFS的概念联系起来，并把有限长序列看作周期序列的一个周期来处理。设x1(n)和x2(n)的长度都为N，且它们对应的DFT分别为X1(k)和X2(k)。 1．线性设x3(n)=ax1(n)+bx2(n)，a和b都为常数，则
证明：
N 1
N 1
Y
k
DFT
y n
xn
m N
RN
n WNkn
xn
m N
WNkn
n0
n0
令n+m=n’，则有：
N 1m
N 1m
Y k DFT yn
x
n'
W kn'm
NN
WNkm
x
n'
W kn'
NN
n 'm
n 'm
即可因，为取主x值n'区N W间Nkn'为以求N和为区周间期，，得上证式。中的求和区间任取一个周期20
X (n)WNkn ,
k=0, 1, &, N-1
(3.1.2)
式中，WN
j 2
eN
，
N称为DFT变换区间长度,
N≥M，
通常称
(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。
Note:有限长序列x(n)的DFT即X(k)仍是有限长序列。
5
例 3.1.1 x(n)=R4(n) ，求x(n)的8点和16点DFT.
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3. 3 频率域采样
这意味着，对于时间有限信号，可以像频带有限信号进行时域采样而不丢失任何信息一样，可以在频域上进行采样而不丢失任何信息。这正是傅里叶变换中时域和频域对偶关系的反映，这有着十分重要的意义。DFT实现了频域离散化，开辟了在频域采用数字技术处理的新领域。

信号与系统离散时间傅立叶变换(PPT62页)

4. x(n) (n)
X (e j ) x(n)e jn 1 n
(n)
1 n
0
三. DTFT的收敛问题
如图所示:
X (e j )
1
0
当x(n是) 无限长序列时，由于 X（的e j表 ) 达式是无
穷项级数，当然会存在收敛问题。
收敛条件有两组：
2
1. x(n)则级数, 以均方误差最小的准则
当N 时，x(n) x(n), k0 , 0 d, ,
当 k在一个周期范围内变化时， k在0 范2围变化，
所以积分区间是。 2
x(n) 1 X (e j )e jnd
2 2
表明:离散时间序列可以分解为频率在2π区间上
分布的、幅度为合。
1 X 的(e j复 )d指数分量的线性组 2
DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅立叶级数
CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅立叶变换
DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅立叶变换
两点比较:
1.与对应的周期信号比较
X
(e
j
)
sin(2N1
1)
2
sin
2
ak
1 N
sin
N
k (2 N1
sin k
1) ,
N
ak
1 N
X (e j ) 2 k N
显然有关系成立
2.与对应的连续时间信号比较
x(t)
1, 0,
如图所示:
t T1 t T1

离散时间信号的傅立叶变换

连续时间傅立叶级数离散连续周期非周期连续非周期续非周期连续时间傅立叶变换非周期续周期cfsjt散周期散周期57对偶性duality时域的连续性可以看出
第5章章
离散时间信号的傅立叶变换
The Discrete-Time Fourier Transform
注释: 注释:
CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 连续时间傅立叶级数 DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅立叶级数 CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅立叶变换 DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅立叶变换
当 k 在一个周期范围内变化时， ω0 在 2π 范围在一个周期范围内变化时， k 变化，变化，所以积分区间是 2π 。
1 jω ak = X (e ) 2π ω= k N N
1 ∴ x(n) = 2π
2
∫π
X (e
jω
)e
jω n
dω
表明:离散时间序列可以分解为频率在区间上表明:离散时间序列可以分解为频率在2π区间上 1 分布的、分布的、幅度为的复指数分量的 X (e jω )dω 2π 线性组合。线性组合。结论：结论：
X e jω）（
X e ）（ =
jω
n = −∞
∑
∞
x (n )e
− jω n
DTFT
将其与 ak 表达式比较有
1 2π jk ω0 jk ω0 n 于是: x ( n ) = 于是: % ∑ > X ( e ) ⋅ e , ω0 = N N k =< N 1 jk ω0 jk ω0 n = ∑ > X ( e ) ⋅ e ⋅ ω0 2π k =< N 当 N →∞时，x(n) → x(n), kω0 →ω, ω0 →dω, ∑→ ∫ , %