第六章信号流图

U
C（1 0 S
）
UL（2 S） sL2I（2 s） L2i（2 0 ）
I（2 S）
U
L（s S） SLs
i（2 0 ） S
IC（2 s） SC2UC（2 s） C2UC（2 0 ）
U
C（2 s）
1 SC2
IC（2 s）
U
C（2 0 ） S
I1(S)
SL1 _L1i+1(0-) I1(S)
i1(0-)/S
h
x1 a
x3
bc d
g
x4
f
e
p
x2
（9）路径增益：一条有向路中各支路增益的乘积。用p表示。
h
x6
1
x1 a
x3
g
x4 1
f bc d
e
1
x5
x2
p
前向通路的路 径增益说明图
P2＝bd×1
x7
P1＝ace×1
（10）回路增益：有向回路中所有支路的增益乘积。用L表示。
L3＝h h
x1 a
x3
L4＝cd
（5）混合节点：既有输入又有输出的节点。由前面的SFG可知源节 点和汇节点均可通过添加权值为1的输入、输出支路变为混合 节点
只有输出支路的
节点称为源节点。
图中只有x1是源节
点
h
x1 aΒιβλιοθήκη Baidu
x3
bc d
x2
既有输入支路又有输出 支路的节点称为混合节 点。图中除x1外均为混
合节点。
g
x4
f
e
p
输入输出支路说明图
UL1(S)
SL1 UL1(S)
一般电感用并联模型、
Ic1 (S) 1/SC1 uc1(0-_)/S +
C1 uc1(0-)
电容用串联模型
Uc1(S)
1/SC1 UC1(s)
（2）考虑非零状态，画出相应的复频域等效电路，仍用前树
I1（S） +
I2（S） ++
I1
I2
E（s）Uc1 Uc2
E（S） -
+
对单树枝割集斜KCL方程，对 E（S）
单连枝回路作KVL方程
-
IUUI12CC12S1SL1L1SS21CEC1U1（2ICI1S12）S，S1C1LS112L1IU2UCC2，1
-1/SL1
SL1 I2 SL2
1/SC1
+
+
Uc1
Uc2
- 1/SC2 -
I1
I2
E
Uc1
Uc2
-1/SC2
-1/SL2
（6）有向路（通路）：从任一节点出发沿着支路方向连续穿 过各相连支路到达另一节点的路径。节点和支路只通过一 次，所有支路与路的方向一致。
（7）前向路（通路）：从源节点到汇节点的有向路。
h
x6
1
x1 a
x3
g
x4 1
f
x7
b
cd
e
p
x2
1
x5
（8）有向回路：起点与终点相同的有向路，也即所有支路 的方向与回路方向一致的一个回路。 仅有一条支路构成的回路称为自环
1/SC1 +
x0
d
c
n
x3
a
x2
共有8个回路：ab，cd， ef，gh，aehd，bcgf，
b
keh，kbc。
kf
e 共有两个不接触二重
（阶）回路： abgh ，
g
x4
cdef。 显然没有不接触三
重（阶）以上回路。 h
非接触回路说明图2
（12）非接触回路增益：不接触回路中所有支路的增益之积
图1流图的回路（ep）与自环（h）为不接触二重回路, 其增益为：eph。
从简单例子引入信号流图 x2 bx1 cx3 px4 给定代数方程组：x3 hx3 ax1 dx2 fx4 x4 ex2 gx3
如果把每个方程的左边的量看成是在相应右端量（输入）作
用下的输出，则可画出下面的图 h
x6
1
x1 1
x1 a
x3
g
x4 1
f
x7
bc d e
x2
p
1
x5
•优点：形象、直观，对符号形式的传递函数（网络函数）较为方便有效。
U1 R3
R4
对对l1C回2割路集GI11UR（44 U（SI2
U
gU1） U4 R（4 I 3） I1 G（1 U S
2 gU1） U3） G1U
R4I2 R4 S G1U3
gU1，
2
1 C1
gU1
C2
对受控 l2回源支路路G电I22流（的U约S束U关4）系gIU21（G（2gRU1）S I1U4） G2U S G2U4
对l2回路 其中 G3
I3 G1 3 R3
（U , G2
S U1） 1
R2
I3
G（3 US
U1）
G3
G-3GU3S
G3U1
gR4
R4
（3）整理方程：消去受控源 Us
I3 R1 U1
U4 -G2
I2
（4）做出信号流图
1 gR1
G2
处理方法二
R1 R2 gU1
解：（1）选树如图，待求量选 为U4、U3、I1、I2、（gU1）+ （对2）C列1割若方集U程1支：UR路33 选 （为I1 树 g支U1）出U现 3 自R（环 3 I，1 故gU选1）为连R3支I1 。R3U-gUs 1
h
x1 a
x3
g
f
bc d e
p
x2
非接触回路增益说明图1
x4
不接触二重回路增益 为：eph。
（12）非接触回路增益：不接触回路中所有支路的增益之积
如图2流图的回路（ab，gh）, （dc，fe）为不接触二重回
路其增益为：abgh，dcfe
x1
a
x2
m
x0
b
d
c
kf
e
n
g
x4
x3
h 非接触回路增益说明图2
R1 R2 gU1
U1
R3
R4
（2）列方程
对C1割集
U1 R1
（I3
gU1）
U1
R1 1 gR1
I3
2 C2
1 C1 gU1
对C2割集
U4 R4
（I2
gU1） U4
R（4 I2
gU1）
R4 I2
(gR4 )UU1s
3
4
对l1回路
I2 G2
（U S
U 4）
I2
G（2 US
U4） G2US
G2U4
•缺点：对稀疏方程求解不方便；对方程组系数均为数值的并不比其它的求
解方法更优越，甚至更复杂。系数是（系统）函数
1. 基本术语：（P243）
（1）输入、输出支路：离开节点xk的支路称为节点xk的输出支路，
指向xk的支路称为xk的输入支路。 h
x6
1
x1 a
x3
g
x4 1
f
x7
cd
b
e
x2
p
只有输入支路的
1 -1
但是方程改写不唯 一，得到的流图不
Xs1 1 X1 - 1/2 X2 1 X3 一样！
1
例：画出 x2 bx1 cx3 kx2 的信号流图
解： 改写方程为：
x1
x2
b 1 k
x1
c 1 k
x3
x3
b C
x2
k
其对应的信号流图为
x1 b/(1-k) x2
x3 C/(1-k)
可见，方程 信号流图不唯一；同时说明信号流图可变换
再者SFG具有等效异构(等效非同构性) 这正是信号流图变换中消去自环的变换规则。
4. 网络的信号流图(由网络画信号流图)
信号流图与一组线性代数方程组对应，要得到网络对应的 流图，就要先建立相应的线性代数方程组。首先，如何选 变量
（1）分析
• 信号流图与一组线性方程组对应。给定一组线性方程组，其 解唯一，其信号流图不唯一。
其信号流图为 E(s)
1/SL1 I1
1/SC1
1/SL2
1/SC2
UC1
I2
UC2
对非零状态，有： UL（1 S） sL1I（1 s） L1（i1 0 ）
I（1 S）
U
L（1 S） SL1
（i1 0 ） S
IC（1 s） SC1UC（1 s） C1UC（1 0 ）
U
C（1 s）
1 SC1
IC（1 s）
不接触二重回路有两对
其增益分别为：abgh，
dcfe。
2. 信号流图的基本性质：P243
①齐次性：信号流图中的信号只能沿支路箭头方向传输（单
向有效）；支路的作用是处理信号，支路的输出
是该支路的输入与支路增益的乘积Y=TX。
Tjk
Xk X j
X
j
Tjk
X
，
k
②可加性：节点的作用是将输入到节点的信号求和，并通过
第六章 网络函数与稳定性
§6-3 信号流图 (分析和求解线性方程组, 求网络函数的方法）
信号流图 (SFG—Signal Flow Graph)： 定义：表示信号的流动方向，是由(节)点和线（支路）
组成的加权有向图。
作用：用于线性网络的分析、求解，它可以完全对应一个线性 方程组（系统或网络） ；
概述：图中的每个节点对应着线性方程组（或网络）的某一常 量或变量，加权支路对应相应（方程组）的系数；从而把线性 方程组的变量描述为沿支路方向流动的信号（信号流图）；把 线性方程组的代数变换转化为信号流图的变换。因而提供了一 种通过对信号流图的观察和约简求解线性方程组（网络函数） 的方法。
1）选树 ① 独立电压源和受控电压源选为树支，压控源的控 制量选为树支；
② 独立电流源和受控电流源选为连支，流控源的控 制量选为连支；
一般独立电压源和独立电流源往往作为节点变量出现在信号 流图中
③ 如果网络中含动态元件，电容选为树支、电感选 为连支，电阻既可为树支又可为连支。
2）列方程
① 对含未知量的单树支割集，列KCL方程。把未知的树支电 压，用连支电流和其它树支电压表出；（树支电压除以树 支路阻抗成为树支电流）
bc d
L5＝gf
g
x4
f e
p
x2
有向回路增益说明图
L2＝cef L1＝dgp
（11）非接（切）触回路：若干个有向回路之间没有公共节点 的回路。若两个回路不接触时称为不接触二重(阶)回路， n个回路不接触时称为不接触n重（阶）回路。
h
x1 a
x3
bc d
g
x4
f
e
p
x2
非接触回路说明图1
x1
m
• 系统化建立网络方程的方法：支路电流法、回路电流法、节 点法（含MNA）、混合分析法和稀疏列表法。
• 理论上任何一组独立的网络方程均可以用于画信号流图，只 要待求量以输出方程的形式出现在流图中即可。
• 自然希望方程的个数尽量少，为简单方便。下面我们采用与 混合分析法类似（混合变量）的方法处理。
方程的独立性：其系数行列式不等于零（det（A）≠0）； 变量的独立性：对于一个网络同类变量中个数最少的一组变量；
j
x1 cx1 dx2 ax3 x2 fx1 ex2 bx3
(2). 给定线性方程组SFG(不唯一)，但解是唯一的
例6-1 由方程组画出信号流图
xx112xx22x23
x3
xS1 0
x1 x2 x3 0
-1
x1 x2 x3 xS1
x2
1 2
x1
x3
x3 x1 x2
节点的输出支路把信号分配给其它的节点。
Xi Tij X j ， Tij：j i
j
X1 Xn
……
Ti1
Tin
X3 a Xi
b
x1 x2
cx1 f x1
dx2 ex2
ax3 bx3
c 1 X4
X1 fd
X2 e X5
3. 线性代数方程组与SFG的对应关系
唯一的
(1). 给定SFG代数方程组 xi Tijx j
节点称为汇节点
1
（输出节点）
x5
输入输出支路说明图
（2）支路增益（传输）：每条支路都有一个权值，称为支路增益
或支路传输。
x
例如：
k
Tjk
xj
X
j
T
jk
X
，
K
每一条支路相当于一个乘法器。
（3）源节点（发点）：仅有输出支路的节点，又称为输入节点或 发点，对应自变量
（4）汇节点（收点）：仅有输入支路，又称为输出节点或收点， 对应因变量
变量的完备性：对于一个网络，任何一个待求量都可以用这组变 量的组合表出；
• 对一个有b条支路n个节点的网络， 节点电压（或树支电压）（（n－1）个）是一组完备、独立变量； 回路电流（连支电流）（（b－n＋1）个）是一组完备、独立变量
（2）网络方程的建立方法 兼顾方程个数较少并便于系统化处理两方面，我们选树支 电压和连支电流为变量；且每个元件为一条支路。
i1 L1
i2 L2
+
+
+
E0 C1
uc1 C2
uc2
-
-
-
I1 SL1 I2 SL2
+ E(S)
-
1/SC1
+
+
Uc1
Uc2
- 1/SC2 -
解：（1）作出有向图：先假设为零状 态，选黑线为树支、红线为连支，
选I1, I2,Uc1, Uc2(都为象函数),则有
I1
I2
E
Uc1 Uc2
I1
选I1, I2,Uc1, Uc2(都为象函数),则有
3）受控源的处理
① 先处理：按1）、2)直接在列方程时化简，把控制量换成电 路变量，即树支电压，连支电流
② 后处理：先把受控源当做独立源处理画出信号流图，然后 在信号流图中按受控源的VAR改画。
例 做出图示电路的信号流图。 处理方法一
+
解：（1）选黑线为树支、红线为连支
Us
选U1、 U4、 I2、 I3为未知量（变量）。 -
Us
3
4
（3）画出信号流图
U3
-G1
R3 -R3
G1 Us G2
I1 gR1 I2
gU1 消去（gU1）节点
R4 R4 保证通过该节点的所有
-G2
前向通路的增益不变！
U3 -G1 G1
Us G2 -G2
R3
I1 I2
U4
U4
-gR1R3 gR1R4
（3）非零初始条件的电路的信号流图
例如：画出下图非零初始条件时，动态电路的信号流图
② 对含未知量的单连支回路，列KVL方程。把未知的连支电 流，用树支电压和其它连支电流表出；（连支电流乘以连 支阻抗成为连支电压）
③ 如果网路中的输出量既不是树支电压又不是单连支电流， 则把该输出量用树支电压和连支电流表出—输出方程。
未知的树支电压，用连支电流和其它树支电压表出； 未知的连支电流，用树支电压和其它连支电流表出。