二次函数系数abc的应用和解析式

二次函数系数与解析式

1、

二次函数定义：

一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数表达式的二次项次数、一次项系数和常数项.

定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式

2、二次函数的解析式有三种形式：

（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，

已知抛物线上三点或三对x ，y 的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，

已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：)0)(()(21≠--=a a x x x x a y 常数，。

已知抛物线与x 轴交点的横坐标x 1、x 2，通常选用交点式。

3、二次函数c bx ax y ++=2中a ，b ，c 的作用：

（1） a 决定_________。

①当________时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x <-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x <-a

b

2时，y 随x 的增大而________.②当_________时，图象

开口向下，当x =_________时，函数有最___值________； x >-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x <-a

b

2时，y 随x 的增大而________. ③当|a |越大，图象开口越_____.

（2）a 和b 共同决定________.

①b=0时，对称轴为______；

②a 和b 同号时对称轴在y 轴___侧；

③a 和b 异号时对称轴在y 轴___侧.简记为 。

（3）c 的大小决定抛物线与_____的交点的位置.

①当_______时，图象与y 轴正半轴相交； ②当______时，图象与y 轴负半轴相交； ③当______时，图象过原点.

例题1【★★】下列函数中，哪些是二次函数？ （1）2

x y = （2）21x

y -

= （3）122

--=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y （6）)1)(1()1(2-+--=x x x y

例题2【★★】若函数m

m x m y --=2

)1(2为二次函数，则m 的值为 。

例题3【★★】已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2），求函数的解

析式。

例题4【★★】已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1），求函数的解析式。

例题5【★★】已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3），

求函数的解析式。

考点3 【二次函数c bx ax y ++=2中a ，b ，c 】

考点2 【用待定系数法求二次函数的解析式】

考点1 【二次函数的定义】

例题6【★★★】已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）．

A. 2个

B. 3个

C. 4个

D. 5个

例题7【★★★】如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴 有下列7个结论：①a ＞0； ②b ＞0；③c ＞0； ④a+b+c=0；⑤abc ＜0；⑥2a+b ＞0；⑦a+c=1．其中正确的结论的序号是 ．

1、【★★】已知二次函数

c bx

ax

y

++=2

的图象如图所示，则在①a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0

中，正确的判断是（ ）

A 、①②③④

B 、④

C 、①②③

D 、①④

2、【★★】如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭

，下列结论：

①ac ＜0；②a +b =0；③4ac －b 2=4a ；④a +b +c ＜0.其中正确的个数是（ ）

A. 1

B. 2

C. 3

D.

3、 【★★】由右边图象写出二次函数的解析式．

当堂训练

4、【★★★】已知二次函数的图像以A(-1,4)为顶点，且过点B （2，-5） （1）求函数的关系式；

（2）求该函数图像与x 轴的交点坐标。

1．【★★】当____m =时，函数()2

221

m m y m m x --=+是关于x 的二次函数。

2. 【★★】 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是 ( )

A ．a >0

B ．b <0

C ．c<0

D ．a ＋b ＋c>0

3、【★★】已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确

结论的

课后作业