二次函数系数abc的应用和解析式
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学的领域中，二次函数是一个非常重要的概念。
它的一般形式为＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中＄a$、＄b$、＄c$ 是常数，且＄a ＼neq 0$）。
这三个系数＄a$、＄b$、＄c$ 对于二次函数的性质和图像有着至关重要的影响。
接下来，让我们深入探讨一下二次函数与＄a$、＄b$、＄c$ 之间的关系。
首先，系数＄a$ 决定了二次函数图像的开口方向和开口大小。
当＄a ＞ 0$ 时，二次函数的图像开口向上；当＄a ＜ 0$ 时，图像开口向下。
而且，＄｜a|＄的值越大，图像的开口就越狭窄；＄｜a|＄的值越小，图像的开口就越宽阔。
比如说，函数＄y ＝ 2x^2$ 的图像开口向上，并且比函数＄y ＝＼frac{1}｛2}x^2$ 的开口要狭窄。
这是因为＄2 ＞＼frac{1}｛2}＄，所以＄y ＝ 2x^2$ 的图像开口更窄。
其次，系数＄b$ 与二次函数图像的对称轴位置有关。
二次函数的对称轴公式为＄x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
当＄b ＝ 0$ 时，对称轴为＄y$ 轴，即＄x ＝ 0$ 。
当＄b ＞ 0$ 时，对称轴在＄y$ 轴左侧；当＄b ＜ 0$ 时，对称轴在＄y$ 轴右侧。
例如，对于函数＄y ＝ x^2 2x ＋ 1$，其中＄a ＝ 1$，＄b ＝－2$，则对称轴为＄x ＝＼frac{－2}｛2\times 1} ＝ 1$。
再来看看系数＄c$，它表示二次函数图像与＄y$ 轴的交点纵坐标。
当＄x ＝ 0$ 时，＄y ＝ c$。
例如，函数＄y ＝ 2x^2 ＋ 3x 1$ 与＄y$ 轴的交点为＄（0, －1)＄，这里的＄－1$ 就是＄c$ 的值。
除了上述的基本关系，＄a$、＄b$、＄c$ 之间的组合还能反映出二次函数的一些特殊性质。
当＄a$ 和＄b$ 同号时，对称轴在＄y$ 轴左侧；当＄a$ 和＄b$ 异号时，对称轴在＄y$ 轴右侧。
如果＄b^2 4ac ＞ 0$，二次函数有两个不同的实数根；如果＄b^24ac ＝ 0$，二次函数有一个实数根（或者说两个相同的实数根）；如果＄b^2 4ac ＜ 0$，二次函数没有实数根。
二次函数中各项系数abc与图像的关系
二次函数中各项系数a ，b ，c 与图像的关系一、首先就y=ax 2+bx+c （a≠0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下：1 a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下；决定张口的大小：∣a ∣越大，抛物线的张口越小．2 b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关．b 与a 同号，说明02<-a b ，则对称轴在y 轴的左边； b 与a 异号，说明−b 2a >0，则对称轴在y 轴的右边；特别的，b = 0，对称轴为y 轴．3 c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标．抛物线与y 轴的交点（0，c ）c > 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0 抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴；特别的，c = 0，抛物线过原点．4 a,b,c 共同决定判别式?=b 2−4ac 的符号进而决定图象与x 轴的交点b 2−4ac >0 与x 轴两个交点b 2−4ac =0 与x 轴一个交点b 2−4ac <0 与x 轴没有交点5 几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ；x= -1时，y=a - b + c ．当x = 1时，① 若y > 0，则a + b + c >0；② 若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，① 若y > 0，则a - b + c >0；② 若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
一．选择题（共8小题）1．已知二次函数y=ax 2+bx +c 的图象大致如图所示，则下列关系式中成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．c ＜0D ．b +2a ＞02．如果二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＜0C ．ac ＜0D ．bc ＜0．3．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc ＞0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④b 2﹣4ac ＞0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b ＜0；③c ＞0；④2a +b=0；⑤a ﹣b +c ＜0，其中正确的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个第3题图 第4题图 第5题图 第6题图5．二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a ＜0；②b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a +b +c ＜0；其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c 的顶点为（﹣1，3），以下结论：①b 2﹣4ac ＜0；②4a ﹣2b +c ＜0；③2c﹣b=3；④a+3=c，其中正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．47．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，下列给出四个结论中，正确结论的个数是（）个①c＞0；②若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2；③2a﹣b=0；④＜0；⑤4a﹣2b+c＞0．A．2 B．3 C．4 D．58．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二．填空题（共4小题）9．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．10．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为．11．抛物线y=ax2+12x﹣19顶点横坐标是3，则a=．12．将二次函数y=x2+6x+5化为y=a（x﹣h）2+k的形式为．三．解答题（共7小题）13．已知：抛物线y=﹣x2+bx+c经过点B（﹣1，0）和点C（2，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线沿y轴平移一次后过点（﹣2，1），试确定这次平移的方向和距离．14．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．15．已知二次函数的图象经过（0，0）（﹣1，﹣1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．16．已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．17．已知二次函数y=x2﹣4x+5．（1）将y=x2﹣4x+5化成y=a （x﹣h）2+k的形式；（2）指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（3）当x取何值时，y随x的增大而增大？18．如图，二次函数的图象的顶点坐标为（1，），现将等腰直角三角板直角顶点放在原点O，一个锐角顶点A在此二次函数的图象上，而另一个锐角顶点B在第二象限，且点A的坐标为（2，1）．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断点B是否在此二次函数的图象上，并说明理由．19．已知二次函数y=a（x﹣h）2，当x=4时有最大值，且此函数的图象经过点（1，﹣3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）当x为何值时，y随x的增大而增大？。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学中，二次函数是一个具有以下形式的函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$。
其中，$a$、$b$和$c$是常数。
二次函数在数学分析、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数与$a$、$b$和$c$之间的关系。
关系一：二次函数的图像开口方向与$a$的正负有关。
当$a>0$时，二次函数的图像开口向上；当$a<0$时，二次函数的图像开口向下。
这是因为当$a>0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向上；当$a<0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向下。
关系二：二次函数的图像是否与$x$轴相交与$c$的正负有关。
当$c>0$时，二次函数的图像与$x$轴有两个交点；当$c=0$时，二次函数的图像与$x$轴有一个交点（相切）；当$c<0$时，二次函数的图像与$x$轴没有交点。
关系三：二次函数的顶点坐标与$a$和$b$有关。
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，它的顶点的$x$坐标为$x =\frac{-b}{2a}$，$y$坐标为$y = f(\frac{-b}{2a})$。
根据$a$和$b$的不同取值，顶点可以位于$y$轴的上方或下方，并且根据$a$的正负可以确定顶点的凹凸性质。
当$a>0$时，顶点位于图像的下方（凹）；当$a<0$时，顶点位于图像的上方（凸）。
综上所述，二次函数与$a$、$b$和$c$之间存在着紧密的关系。
通过对$a$、$b$和$c$的取值进行分析，可以推断出二次函数的图像特征、对称性以及与$x$轴的交点情况等。
这种关系在数学中具有重要的意义，对于解题和应用中的问题分析都起到了重要的作用。
了解和掌握这些关系，有助于提高对二次函数性质的理解和应用能力。
在实际应用中，二次函数与$a$、$b$和$c$的关系也有着重要的应用。
二次函数解析式中各字母系数的几何意义及其应用
④a+b>m(am+b)（m≠1的实数）
从图象看：当x=1时，函数有最大值a+b+c；当x=m 时，函数值为：am2+bm+c。因为m ≠ 1，所以
y
a+b+c ● am2+bm+c ●
am2+bm+c ＜a+b+c，所以am2+bm ＜ a+b ，即 a+b>m(am+b)，故④正确。
︳
-1
o
1
y
︳
-1
o
x=1
x
y = ax2+bx+c
● a-b+c
③2c<3b
从图象看抛物线的对称轴x= ② 得a-b+c＜0，所以 -
b b 1 ,所以a= - ， 由 2a 2
y
b 3b -b＜c，所以 - + c＜0， 2 2
3b 所以c ＜ ，所以2c<3b，故③正确； 2
︳
-1
o
x=1
x
y = ax2+bx+c
形式上跟已知 解析式相似的 式子比较大小， 如：am2+bm和 a+b ，可用图 像法来比较其 值的大小。
2018
谢谢您的聆听 再见
【数学是最宝贵的研究精神之一】
D.4个
︳
-1
o
x=1
x
y = ax2+bx+c
①
②
③
④
形如：abc的 式子可采取逐 项判号法来确 定其值的范围；
对于类似a+b+c 的式子可以用 自变量取某值 时对应的函数 值来判断，如： 4a-2b+c是x=-2 时的函数值。
二次函数的解析式和根的判别式
二次函数的解析式和根的判别式二次函数是一种常见的数学函数形式，具有解析式和根的判别式。
在本文中，我们将探讨二次函数的解析式以及根的判别式，并通过例子来说明它们的应用。
一、二次函数的解析式二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
这里的x和y分别代表函数的自变量和因变量。
解析式是二次函数的数学表示方式，它们可以帮助我们准确地描绘二次函数的图像。
解析式中的系数a、b、c决定了二次函数的特征，如开口方向、顶点坐标等。
通过解析式，我们可以推导出二次函数的重要参数：1. 开口方向：若a > 0，则二次函数开口向上；若a < 0，则二次函数开口向下。
2. 顶点坐标：对于开口向上的二次函数，顶点坐标为(-b/2a, -Δ/4a)，其中Δ为判别式；对于开口向下的二次函数，顶点坐标为(-b/2a, Δ/4a)。
3. 对称轴：二次函数的对称轴为x = -b/2a。
4. y轴截距：二次函数与y轴交点的纵坐标为常数项c。
5. x轴截距：二次函数与x轴交点的横坐标可通过令y = 0解方程获得。
通过解析式，我们可以更好地理解和分析二次函数的性质。
二、二次函数的根的判别式根的判别式是用来判断二次函数的根的性质和情况的一种公式，它由解析式中的系数a、b、c推导得出。
根的判别式Δ的计算公式为：Δ = b² - 4ac。
根的判别式Δ可以有以下三种情况：1. 当Δ > 0时，二次函数有两个不相等的实根。
这意味着二次函数与x轴有两个交点，此时二次函数图像与x轴相交于两处。
2. 当Δ = 0时，二次函数有两个相等的实根，也称为重根。
这意味着二次函数与x轴有一个交点，此时二次函数图像与x轴相切于一处。
3. 当Δ < 0时，二次函数没有实根，而是有两个共轭的虚根。
这意味着二次函数图像与x轴没有交点，完全位于x轴的上方或下方。
通过根的判别式，我们可以判断二次函数的根的情况，进而推断二次函数的图像特征。
二次函数中的abc的含义
二次函数中的abc的含义在二次函数中，abc分别代表着三个不同的参数，即二次项系数（a）、一次项系数（b）和常数项（c）。
这些参数用来描述函数图像的特征，并决定了二次函数的形状，位置和方向。
接下来，我们将详细解释每个参数的含义，并讨论它们对函数图像的影响。
1.二次项系数（a）：二次项系数（a）表示二次函数中二次项的系数。
当a>0时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个U形；当a<0时，二次函数的图像开口向下，形状类似于一个倒U形。
系数a的绝对值越大，图像的开口越窄，曲线越陡峭，而绝对值小的a则代表着开口较宽的曲线。
2.一次项系数（b）：一次项系数（b）表示二次函数中一次项的系数。
一次项决定了二次函数的图像与y轴的交点位置。
当b>0时，二次函数与y轴的交点在y轴上方；当b<0时，二次函数与y轴的交点在y轴下方。
系数b的绝对值越大，图像与y轴之间的距离越远，而绝对值小的b则代表着图像与y轴之间的距离越近。
3.常数项（c）：常数项（c）表示二次函数中的常数。
常数项决定了二次函数与y 轴的截距，即图像与y轴的交点位置。
常数项c的值决定了图像在y 轴上的上下平移。
当c>0时，图像向上平移；当c<0时，图像向下平移。
增加常数项的绝对值将把图像向下移动，而减小常数项的绝对值将使图像向上移动。
综上所述，二次函数中的abcd分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
a决定了图像的形状，b决定了图像与y轴之间的距离和交点的位置，c决定了图像在y轴上的上下平移。
这些参数共同作用，决定了二次函数的图像特征，帮助我们分析和理解二次函数在数学和实际问题中的应用。
二次函数中各项系数a,b,c与图像的关系
二次函数中各项系数 a ，b, c 与图像的关系 一、首先就y=ax 2 +bx+c （a 工0）中的a ，b ，c 对图像的作用归纳如下: a 的作用：决定开口方向：a > 0开口向上；a < 0开口向下; 决定张口的大小：l a I 越大，抛物线的张口越小. b 的作用：b 和a 与抛物线图像的对称轴、顶点横坐标有关. b 与a 同号，说明 _L .. o ，则对称轴在y 轴的左边; 2a b 与a 异号，说明 b -> 0 '口 ，则对称轴在y 轴的右边; 特别的，b = 0,对称轴为y 轴.c 的作用：c 决定了抛物线与y 轴的交点纵坐标.抛物线与y 轴的交点（0，c ） c > 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴；c < 0抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 特别的，c = 0 ,抛物线过原点. ■ . 2 a,b,c 共同决定判别式 b 2 - 4ac > 0 b 2 - 4ac = 0 b 2 - 4ac < 0 * = b ~4ac 的符号进而决定图象与X 轴的交点 与X 轴两个交点 与X 轴一个交点 与X 轴没有交点 x=1 时，y=a + b + c ； x= -1 时，y=a - b + c .当 x = 1 时，①若 y > 0，贝U a + b + c >0 ； ® 若 y < 时 0，贝Ua +b +c < 0 当 x = -1 时，①若 y > 0，贝U a - b + c >0 ;②若 y < 0，贝U a - b + 扩：x=2, y=4a + 2b + c ; x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c 一.选择题（共8小题） 1 .已知二次函数y=ax +bx+c 的图象大致如图所示，贝U 下列关系式中成立的是 A. a >0 B . b v 0 C. c v 0D . b+2a >0 2.如果二次函数y=a£+bx+c （a ^ 0）的图象如图所示，那么下列不等式成立 几种特殊情况: c < 0 . ;x= -3, y=9a -3b + c 。
二次函数的解析式表示与应用
二次函数的一般形式
二次函数解析式的一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为 常数且a≠0。
b和c决定了抛物线的位置，b和c的 值越大，抛物线越往y轴方向移动。
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a的符号决定了抛物线的开口方向， 当a>0时，抛物线开口向上；当 a<0时，抛物线开口向下。
二次函数的单调性
二次函数的开口方向：向上或向下 二次函数的对称轴：x=-b/2a 二次函数的顶点坐标：(-b/2a, f(-b/2a)) 二次函数的单调区间：根据开口方向和对称轴确定
二次函数的极值
二次函数的极值点是函数图像的顶 点
二次函数的对称轴是极值点的横坐 标
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Part Five
二次函数的解析式 与图像的关系
解析式与图像的对应关系
二次函数的解析 式表示为
y=ax^2+bx+c， 其中a、b、c为 常数，且a≠0。
二次函数的图像 是一个抛物线， 其开口方向由a 决定，当a>0时，
开口向上；当 a<0时，开口向
下。
二次函数的对称 轴为x=-b/2a，
顶点坐标为(b/2a, c-
二次函数的开口方向决定了极值的 正负
二次函数的极值可以通过公式计算 得出
Part Four
二次函数的应用
二次函数在生活中的实际应用
抛物线形拱桥计算： 利用二次函数解析式 计算桥梁的拱高和跨 度，确保安全性和稳 定性。
利润最大化问题：在 商业活动中，通过二 次函数找到利润最大 化的点，实现经济利 益最大化。
图像是二次函数解析式的可视化表示，可以直观地观察函数的形态和变化 规律。
二次函数中的abc的含义
二次函数中的abc的含义
二次函数是数学中的一种函数形式，其一般表达式为：y=ax^2 +bx+c。
在这个表达式中，a、b、c分别表示二次函数的系数，它们分别代表不同的含义。
首先，a代表二次函数的开口方向和开口大小。
当a大于零时，二次函数的开口向上，形状呈现一个U形；当a小于零时，二次函数的开口向下，形状呈现一个倒置的U形。
而a的绝对值越大，开口越大，曲线越陡。
其次，b代表二次函数的平移与图像的水平位置相关。
当b大于零时，二次函数图像向左平移；当b小于零时，二次函数图像向右平移。
b的绝对值越大，平移的距离越远。
最后，c表示二次函数的图像与y轴的交点，也称为二次函数的截距。
当c大于零时，二次函数图像在y轴上方与其交点；当c小于零时，二次函数图像在y轴下方与其交点。
c的绝对值越大，交点与y轴的距离越远。
综上所述，a、b、c分别代表二次函数的开口方向和大小、平移水平位置以及图像与y轴的交点。
通过调整这三个系数，我们可以改变二次函数的形状、位置和截距，从而满足不同的需求和条件。
二次函数在数学和物理学中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，二次函数可以描述自由落体运动的高度、抛物线的轨迹等；在经济学中，二次函数可以用于建模成本、收益和利润等；在工程学中，二次函数可以描述抛物线的弧线、光学等。
总的来说，二次函数中的a、b、c分别代表开口方向和大小、平移位置以及图像与y轴的交点。
通过调整这些系数，我们可以灵活地控制二次函数的形状、位置和截距，以适应不同的数学和实际问题。
二次函数abc的关系总结
二次函数abc的关系总结二次函数abc的关系总结二次函数是高中数学中非常重要的一种函数，其表达式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
在研究二次函数时，我们需要深入了解a、b、c之间的关系。
一、a的作用1. a>0时，二次函数开口向上；a<0时，二次函数开口向下。
2. a的绝对值越大，二次函数开口越窄。
3. a与x轴交点为（-c/√a,0）。
4. 当a=0时，二次函数退化成一条直线y=bx+c。
5. a与y轴正半轴夹角为α=arctanb/|a|。
6. 当a>0时，图像在y轴上方；当a<0时，图像在y轴下方。
7. a表示抛物线开口大小和方向的因素。
二、b的作用1. b>0时，抛物线向左平移；b<0时，抛物线向右平移。
2. b的绝对值越大，抛物线平移越远。
3. 抛物线对称轴方程为x=-b/2a。
4. 当b=0时，抛物线过原点且对称于y轴。
5. b表示抛物线横向位置的因素。
三、c的作用1. c>0时，抛物线上移；c<0时，抛物线下移。
2. c的绝对值越大，抛物线上下平移越远。
3. 抛物线在y轴上的截距为c。
4. 当c=0时，抛物线过原点且对称于x轴。
5. c表示抛物线纵向位置的因素。
四、a、b、c之间的关系1. 当a>0时，若b>0，则对称轴在y轴左侧；若b<0，则对称轴在y 轴右侧。
当a<0时，若b>0，则对称轴在y轴右侧；若b<0，则对称轴在y轴左侧。
2. 对于开口向上的二次函数，当a和c同号时，图像上有一个最低点；当a和c异号时，图像无最低点。
对于开口向下的二次函数同理。
3. 对于开口向上的二次函数，在顶点处导数为零；对于开口向下的二次函数，在底部处导数为零。
因此可以通过求导数来确定最值点位置。
总结：二次函数abc之间存在着紧密的联系，分别代表了抛物线开口大小和方向、横向位置以及纵向位置的因素。
二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式求法解题技巧
求二次函数的解析式及二次函数的应用
二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式：y=a（xh)2+k（a，h，k是常数，a≠0）
（3）交点式：y=a(xx1)(xx2)当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。
如果没有交点，则不能这样表示。
求二次函数解析式的方法
最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：
(1)已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式;
(2)已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值，一般选用顶点式;
(3)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式;
(4)已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二次函数应用解题技巧
(1)应用二次函数解决实际问题的一般思路：
理解题意;
建立数学模型;
解决题目提出的问题。
(2)应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
二次函数的解析式
二次函数的解析式二次函数是指形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
它是数学中的重要内容，在代数学、几何学和物理学中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的解析式的含义、性质及应用。
一、解析式的含义二次函数的解析式是指其函数表达式，即y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c是常数，而x是自变量。
二次函数的解析式可以帮助我们确定函数的图像、求解方程、计算函数的性质等。
二、二次函数的性质1. 函数图像二次函数的图像通常为抛物线。
当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
b、c的值会影响函数图像的位置和形状，b 决定了抛物线的对称轴位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
2. 零点二次函数的解析式中，y=0对应的x的值即为二次函数的零点。
我们可以通过解二次方程ax^2 + bx + c = 0来求解零点。
当Δ(判别式)=b^2 - 4ac > 0时，二次方程有两个不同的实根；当Δ = 0时，二次方程有两个相同的实根；当Δ < 0时，二次方程没有实根。
3. 极值点当a > 0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a < 0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
这个点也被称为函数的顶点。
通过求解二次函数的极值点，我们可以进一步确定函数图像的形状。
4. 对称性二次函数的图像具有轴对称性，其对称轴为x = -b/2a。
这意味着函数图像关于对称轴对称。
这个性质在讨论二次函数的图像时非常重要。
三、二次函数的应用二次函数在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 物体运动的抛物线轨迹在物理学中，抛体运动的轨迹是一个抛物线。
通过分析抛体运动的初速度、角度和位移等参数，可以建立物体运动的二次函数模型，从而求出对象的运动轨迹。
2. 经济学中的成本函数在经济学中，成本函数用来描述企业的生产成本。
二次函数可以用来建立成本函数模型，分析生产成本与产量之间的关系，从而帮助企业进行经济决策。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、物理学等领域中有广泛的应用。
通过研究二次函数的一般形式，我们可以发现与系数a、b、c之间存在一些有趣的关系。
本文将对二次函数的一般形式以及与系数abc的关系进行总结和探讨。
1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
下面我们将分别分析a、b、c在二次函数中的作用。
- 系数a：二次函数的开口方向与a的正负有关。
当a>0时，二次函数开口向上，形如一条“U”；当a<0时，二次函数开口向下，形如一个倒置的“U”。
另外，|a|的值越大，二次函数的开口越窄。
- 系数b：系数b决定了二次函数图像的平移。
当b>0时，图像向左平移；当b<0时，图像向右平移。
同时，|b|的值越大，平移的幅度越大。
- 系数c：系数c表示二次函数的y轴截距，即二次函数与y轴的交点。
当c>0时，交点在y轴上方；当c<0时，交点在y轴下方。
综上所述，a决定了开口方向和开口的大小，b决定了图像的平移方向和幅度，c决定了图像与y轴的交点的位置。
2. a、b、c之间的关系在二次函数的一般形式中，a、b、c三个系数之间存在一定的联系。
- a与二次函数的对称轴有关。
对称轴的公式为x = -b / (2a)，即与a 和b有关。
当二次函数的对称轴与y轴平行时，b=0。
当b≠0时，对称轴与y轴有倾斜关系。
- 二次函数的顶点坐标为(-b / (2a), f(-b / (2a)))，即与a和b有关。
顶点是二次函数图像的最高点或最低点，其横坐标将会影响图像的对称中心。
- 二次函数的判别式D = b^2 - 4ac可以反映二次函数的图像与x轴的交点情况。
当D>0时，二次函数与x轴有两个交点；当D=0时，二次函数与x轴有一个交点；当D<0时，二次函数与x轴没有交点。
- 二次函数的平均值（或称顶点的纵坐标）可以通过c - (b^2 / (4a))来计算。
二次函数abc
二次函数abca：表示开口方向及大小，a是正数，则开口向上，a是负数，则开口向下。
b：用处可多了，可以表示一个抛物线的对称轴，用公式-b/2a可求出其对称轴，若b与a 符号相反，对称轴则在x轴右侧，若a与b符号相同，对称轴则在左侧，简称左同右异。
c：抛物线与y轴的交点，若在交y轴正半轴，则c是个正数，若交在负半轴，则c是个负数。
二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。
如果令y值等于零，则可得一个二次方程。
该方程的解称为方程的根或函数的零点。
（a、b、c是常数）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
x 为自变量，y为因变量。
等号右边自变量的最高次数是2。
y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k) ，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大（小）值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k 的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k 的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=ax向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。
二次函数系数abc的关系
因此，系数b影响了二次函数 的增减性，特别是在对称轴 两侧的单调性。
04
系数c对二次函数影响
c决定与y轴交点位置
01 当c > 0时，二次函数的图像与y轴的交点在y轴的 正半轴上。
02
当c = 0时，二次函数的图像经过原点。
03 当c < 0时，二次函数的图像与y轴的交点在y轴的 负半轴上。
c与函数最值关系
不足之处与改进方
向
在解题过程中，我有时会对某些 细节处理不够严谨，导致答案出 现偏差。未来我将更加注重细节 ，提高解题的准确性。
下一步学习计划和目标
深入学习二次函数的性质和应用
我计划在下一步学习中，更加深入地探讨二次函数的性质和应用，如最值问题、不等式 问题等。
拓展相关数学知识
为了更好地理解和应用二次函数，我计划学习与之相关的数学知识，如一元二次不等式 、二次方程根与系数的关系等。
系数a、b、c意义
$a$决定抛物线的开口方向和宽度
当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。同时，$|a|$的大小决 定了抛物线的宽度。
$b$和$a$共同决定抛物线的对称轴
对称轴的方程为$x = -frac{b}{2a}$。
$c$决定抛物线与y轴的交点
当$x = 0$时，$y = c$，即抛物线与y轴的交点为$(0, c)$。
对于开口向上的二次函数（a > 0），c决定了函数的 最小值。当x = -b/2a时，函数取得最小值f(-b/2a) = c - b^2/4a。
对于开口向下的二次函数（a < 0），c决定了函数的 最大值。当x = -b/2a时，函数取得最大值f(-b/2a) = c - b^2/4a。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，它的一般表达式为：y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b、c分别代表了二次函数的系数。
本文将对二次函数与这三个系数之间的关系进行总结和探讨。
1. 系数a的影响：系数a决定了二次函数的开口方向和形状。
当a > 0时，二次函数的抛物线开口向上，形状较为窄长；当a < 0时，抛物线开口向下，形状较为宽扁。
此外，a的绝对值越大，抛物线的开口越窄，形状越尖锐。
2. 系数b的影响：系数b决定了二次函数的对称轴和平移。
对称轴的表达式为x = -b/2a，也可以理解为抛物线的中轴线。
当b > 0时，抛物线向右平移；当b < 0时，抛物线向左平移。
同时，b的绝对值越大，抛物线在水平方向上的平移距离越远。
3. 系数c的影响：系数c决定了二次函数与y轴的交点或抛物线的纵坐标平移。
当c > 0时，抛物线在y轴上方与y轴相交；当c < 0时，抛物线在y轴下方与y轴相交。
c的绝对值越大，抛物线与y轴的交点越远。
4. 二次函数与顶点的关系：二次函数的顶点坐标可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))求得，其中f(x)为二次函数的表达式。
顶点是抛物线的最高点或最低点，也是抛物线的对称中心。
通过观察可知，系数b的值决定了顶点在平面坐标系中的横坐标位置，系数c的值决定了顶点在纵坐标上的位置。
总而言之，二次函数的系数a、b和c分别决定了抛物线的形状、平移和顶点位置。
在解题和分析二次函数的过程中，我们可以通过观察这些系数的取值来推断抛物线的性质及与坐标轴的关系。
以上是对二次函数与系数a、b、c之间关系的简要总结。
了解和理解这些关系可以帮助我们更好地掌握二次函数的性质和特点，为解决相关问题提供有力的数学工具。
希望本文能为读者对二次函数的理解提供一定的帮助。
二次函数的性质解析式的几种求法讲义
二次函数讲义一、二、二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象与系数a,b,c 的关系。
（1）a ⇔开口大小和开口方向。
（2）一次项系数b在系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴（x=ab2-) a,b 同号 ：x= a b2-0，对称轴在y 轴左边（即x 轴负半轴） a,b 异号：x= ab2- 0，对称轴在y 轴右边（即x 轴正半轴）（左同 ， ）还可以判断与a b 2-的1大小，可得不等式 a b 2->1 或ab2-<1当a >0时，-b>2a 得2a+b <0 或 当aab2-与-1的大小，可得不等式 （3）常数项c确定抛物线与y 轴的交点，c >0 c<0 c=0 (4)b 2-4ac 决定了与横坐标的交点数Δ>0 Δ=0 Δ<0 （5）x 1,x 2决定了a,b 关系，a,c 的关系，X 1+x 2=ab -可用来比较与1，2，3，4…的大小，与-1的大小a b ->1⇒ ab-<4⇒ … X 1x 2=a c也可用来比较与1，-1…的大小，从而得到a,c 的不等式。
①、abc >0 ② 2a+b=0 ③ c-3a=0 ④ a+c>0⑤ 4a+b>0 ⑥ a+b+c<0⑦ a-b+c=0 ⑧ a+b<0；（一）已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A 、abc <0; B 、当x>1时，y 随x 的增大而减小； C 、b-2a=0 D 、x=3是关于x 的方程ax 2+bx+c=0的一个根。
E 、 a+c>0 ；F 、 4a+b>0 G 、a+b+c<0 ；H 、 a-b+c=0 ；I 、 a+b<0三、函数图象的平移： 1、左加右减，变x 为（x-h)2、上加下减，x 不变，y 变，直接在解析式后加（或减），例：将二次函数y=x 2+bx+c 的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到函数解析式为y=x 2-2x+1,求b,c 的值？四、二次函数的几个特殊点：1、坐标轴的交点：x轴Δ>0,(x1,0),(x2,0)y轴：(0,c)(1,a+b+c), (-1,a-b+c) x1+x2五、几种情况巧设二次函数解析式形式：1，三个点坐标知道，设一般式；2，告知顶点坐标和另一点坐标，设顶点式3，有x轴交点和另一点坐标，设两根式（1）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A（2，3）；B（-1，15），且交y轴于7，求该函数解析式（2）（3）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为（2，-2）且过原点，求该函数解析式（3）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于-1 和3两点，与y轴交于6，求该函数解析式六、函数问题是：①找点的坐标；②求出点的坐标；③设出点的坐标。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学中，二次函数是一种特殊的函数形式，其表达式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c分别为常数，且a不为0。
二次函数在解析几何、物理学以及经济学等领域中都具有重要的应用，研究二次函数与其系数a、b、c之间的关系对于我们深入理解函数的性质具有重要意义。
本文将对二次函数与abc的关系进行总结。
一、二次函数的开口方向与a的关系二次函数的图像可以是开口向上或开口向下的抛物线。
在二次函数的一般式中，系数a的值对于抛物线的开口方向起着决定性作用。
具体而言：1. 当a>0时，二次函数的图像开口向上。
此时，函数的最低点即顶点位于图像的最下方。
例如，当a=1时，函数f(x) = x^2的图像开口向上，顶点为(0,0)。
2. 当a<0时，二次函数的图像开口向下。
此时，函数的最高点即顶点位于图像的最上方。
例如，当a=-1时，函数f(x) = -x^2的图像开口向下，顶点为(0,0)。
因此，可以得出结论：二次函数的开口方向取决于系数a的正负号。
二、二次函数的对称轴与b的关系对称轴是指二次函数图像上的一条直线，对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
对称轴的方程可以通过函数表达式中的系数b来确定。
具体而言：1. 对称轴的方程为x = -b/(2a)。
对称轴与y轴平行，且与顶点的横坐标相等。
例如，对于函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，其对称轴的方程为x= -3/4。
2. 由对称轴的性质可知，对称轴切割抛物线的两个部分面积相等。
因此，可以得出结论：二次函数的对称轴方程与系数b有关。
三、二次函数的顶点与c的关系二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，也是对称轴与抛物线的交点。
通过函数表达式中的系数c来确定顶点的坐标。
具体而言：1. 顶点的x坐标为-x/(2a)。
例如，对于函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，其顶点的x坐标为-1/6。
2. 顶点的y坐标为f(-b/(2a))。
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二次函数系数与解析式
1、
二次函数定义：
一般地，形如c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a 的函数，叫做二次函数，其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数表达式的二次项次数、一次项系数和常数项.
定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
2、二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，
已知抛物线上三点或三对x ，y 的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，
已知抛物线的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：)0)(()(21≠--=a a x x x x a y 常数，。
已知抛物线与x 轴交点的横坐标x 1、x 2，通常选用交点式。
3、二次函数c bx ax y ++=2中a ，b ，c 的作用：
（1） a 决定_________。
①当________时，图象开口向上，当x=_________时，函数有最___值________；当x <-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x <-a
b
2时，y 随x 的增大而________.②当_________时，图象
开口向下，当x =_________时，函数有最___值________； x >-a b 2时，y 随x 的增大而________；当x <-a
b
2时，y 随x 的增大而________. ③当|a |越大，图象开口越_____.
（2）a 和b 共同决定________.
①b=0时，对称轴为______；
②a 和b 同号时对称轴在y 轴___侧；
③a 和b 异号时对称轴在y 轴___侧.简记为 。
（3）c 的大小决定抛物线与_____的交点的位置.
①当_______时，图象与y 轴正半轴相交； ②当______时，图象与y 轴负半轴相交； ③当______时，图象过原点.
例题1【★★】下列函数中，哪些是二次函数？ （1）2
x y = （2）21x
y -
= （3）122
--=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y （6）)1)(1()1(2-+--=x x x y
例题2【★★】若函数m
m x m y --=2
)1(2为二次函数，则m 的值为 。
例题3【★★】已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2），求函数的解
析式。
例题4【★★】已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1），求函数的解析式。
例题5【★★】已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3），
求函数的解析式。
考点3 【二次函数c bx ax y ++=2中a ，b ，c 】
考点2 【用待定系数法求二次函数的解析式】
考点1 【二次函数的定义】
例题6【★★★】已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（ ）．
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
例题7【★★★】如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴 有下列7个结论：①a ＞0； ②b ＞0；③c ＞0； ④a+b+c=0；⑤abc ＜0；⑥2a+b ＞0；⑦a+c=1．其中正确的结论的序号是 ．
1、【★★】已知二次函数
c bx
ax
y
++=2
的图象如图所示，则在①a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0
中，正确的判断是（ ）
A 、①②③④
B 、④
C 、①②③
D 、①④
2、【★★】如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
，下列结论：
①ac ＜0；②a +b =0；③4ac －b 2=4a ；④a +b +c ＜0.其中正确的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D.
3、 【★★】由右边图象写出二次函数的解析式．
当堂训练
4、【★★★】已知二次函数的图像以A(-1,4)为顶点，且过点B （2，-5） （1）求函数的关系式；
（2）求该函数图像与x 轴的交点坐标。
1．【★★】当____m =时，函数()2
221
m m y m m x --=+是关于x 的二次函数。
2. 【★★】 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是 ( )
A ．a >0
B ．b <0
C ．c<0
D ．a ＋b ＋c>0
3、【★★】已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->；②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确
结论的
课后作业
个数是（）
A . 1
B . 2
C . 3 D. 4
4、【★★】已知二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图所示，下列结论：①a+b+c>0；②a-b+c>0；③abc<0；
④2a-b=0，其中正确结论的个数是( )
5、【★★★】如图，已知二次函数24
y ax x c
=-+的图像经过点A和点B．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；。