常数项级数

n1 2n =1.
aqn
a
( q 1),
n0
1q
n1
5 n(n
1)
1 2n
5
1
6.
性质4 若级数 un 收敛,则 un (k 1)也收敛
n1
n k 1
且其逆亦真.
证明
un uk1 uk2 ukn ,
n k 1
n uk1 uk2 ukn skn sk .
n 1
2 p
21 1 x p dx
1
y
1 xp
(p
1)
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
2p
x
0 1 234 n
1 +
21 1 x p dx
+
31 2 x p dx +
+
n n1
1 xp
dx
1
n1 1 x p dx
n1
sn 1 1 x p dx
1
1
1
p
1
p
(1 1
n p1
)
1
p1
注意
如果 un收敛， vn发散， 则 (un vn )一定发散.
n1
n1
n1
如果 un发散， vn发散，则 (un vn )不一定发散.
n1
n1
n1
例如,
un (1)2n
n1
n1
vn (1)2n1
n1
n1
(un vn ) 0 0.
n1
n1
例1
求级数
5
n1 n(n 1)
判断级数敛散的步骤
1 求出sn并化简
2
求
lim
n
sn
4.1.2 收敛级数的性质
性质1（级数收敛的必要条件）
若级数 un
n1
收敛，则
lim
n
un
0.
即收敛级数的一般项 un趋于零.
证明 设 s un , 而 un sn sn1, n1
lim
n
un
lim
n
sn
lim
n
sn1
s s 0.
故级数发散.
因此
aq
n
当
q
1时,收敛,和为 a ; 1q
n0 当 q 1时,发散.
例2 判别级数
的敛散性:
解
2 sn ln 1
ln 3 ln 4 23
ln n 1 n
(ln 2 ln1) (ln 3 ln 2)
ln(n 1) ln n
ln(n 1) ( n ）
利用等比数列求和公式
0.05 [1 ( 3)n ]
sn
4 1 3
0.2 [1 ( 3)n ] 4
0.2
4
lim
n
sn
lim 0.2 [1 ( 3)n ]
n
4
0.2
0.05 + 0.05*3/4 + 0.05*(3/4)2+… +0.05*(3/4)n-1 + … 0.2
由数列 u1, u2 , , un , 构成的表达式
又 un vn ,则 n sn ， n不是有界数列，
所以 vn发散. 定理证毕.
n1
推论 若 vn 收敛 (发散)， n1
且 un kvn(n N ,k 0),
(vn kun )
则 un 收敛(发散).
n1
去掉级数前面部分的有限项 不会影响级数的收敛性
例1 证明级数
1
是发散的.
1 2n
的和.
解
sn
n k 1
5 k(k
1)
5(1
1 n
) 1
5
n1
5 n(n
收敛， 1)
n1
1 也收敛. 2n
由线性性质,
n1
5 n(n
1)
1 2n
收敛.
n1
5 n(n
1)
1 2n
5 n1 n(n 1)
n1
1 2n
5 =5，
n1 n(n 1)
1
所以级Байду номын сангаас发散 .
例3 判别无穷级数
1 1
1
13 35
(2n 1) (2n 1)
的收敛性.
解
un
(2n
1 1)(2n
1)
1( 1 2 2n
1
1 2n
), 1
sn
1 1 3
1 35
1 (2n 1) (2n 1)
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
• 级数的部分和 n
sn u1 u2 un ui
i 1
• 部分和数列 {sn }
s1 u1 , s2 u1 u2 ,
sn u1 u2 un ,
当 n 时 sn
？
级数的收敛与发散
定义 如果 un 的部分和数列 sn有极限 s,
即
lim
n
sn
n1s， 则称无穷级数
n1 n(n 1)
证明
1
1 ,
n(n 1) n 1
而级数
1 发散,
n1 n 1
由比较审敛法,
级数
1
发散.
n1 n(n 1)
例2 讨论p级数 的收敛性 ( p
1 0).
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
解
设 p 1,
1 np
1, n
则p级数发散.
设 p 1, 由图:
而
1 发散,
n1 y
假设调和级数收敛, 其和为s.
于是lim( s2n sn ) s s 0
n
s2n 便有
sn n 1
0
1 1 (n
1 n2
)
1 2n
n 2n
=
这是不可能的.
1 2
2
调和级数发散 .
级数收敛的必要条件的应用
lim
n
un
0
级数 un 发散
n1
（判定级数发散的方法）
线性性质
性质2 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
注意
必要条件的逆否命题
1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;
例如 1 + 2 3 + n
23 4
n1
n un n 1
n
lim
n
un
lim
n
n1
1
0,
故级数发散.
2.一般项趋于零,则级数不一定收敛. 逆命题
例如 1 1 1 1 调和级数
23
n
有
lim
n
un
0,
级数是否收敛?
判断
n1
1 3n3
的敛散性. 2
1
3n3
2
1 3n3
1 n3
,
而
n1
1 n3
收敛,
由比较审敛法，
n1
1 3n3
收敛. 2
1 的敛散性？
n1 3n3 2
1
1
3n3 2 3n3
比较审敛法的不便: 不能判定收敛
须有合适的参考级数.
定理3 （比较审敛法的极限形式）
设 un和vn均为正项级数，
lim
n
n
lim
n
snk
lim
n
sk
s sk .
类似地可以证明在级数前面加上有限项 不影响级数的敛散性.
性质5 若级数 un 收敛,则对该级数的项
n1
任意加括号后所成的级数
(u1 un1 ) (un11 un2 )
仍收敛，且其和不变.
(unk11
unk )
n
证：令 sn ui，加括号后所成的级数的部分和为 tn， i 1 则 t1 u1 un1 sn1
4
4
4
sn
0.05
0.05
3 4
0.05
( 3)2 4
0.05 ( 3)n1 4
lim
n
sn
0.2,
故
0.05 ( 3 )n1
n1
4
收敛,和为0.2.
例1 讨论等比级数(几何级数)
aqn1 a aq aq2 aqn1
n1
的收敛性.
(a 0)
解 如果q 1时,
sn a aq aq2
第十章 无穷级数
4.1 常数项级数 4.2 幂级数 4.3 傅里叶级数
4.1 常数项级数
4.1.1 常数项级数的概念 4.1.2 收敛级数的性质 4.1.3 正项级数及其审敛法 4.1.4 交错级数及其审敛法 4.1.5 绝对收敛与条件收敛
4.1.1 常数项级数的概念
引例
一个慢性病人，按医嘱每天服用0.05mg药 物．假设药物在体内每天有25%通过各种 渠道代谢掉．那么长期服药后体内药量维 持在怎样的水平呢?
t2 (u1 un1 ) (un11 un2 ) sn2
tk (u1 un1 ) (un11 un2 ) (unk11 unk ) snk
数列{tk }是数列{sn }的一个子数列， 由数列{sn }的收敛性以及收敛数列与其子数列的关系可知，
数列{tk }必定收敛，且有
12 23
(n 1) n
1 (1 1) (1 1 )+ ( 1 1 )
2 23
n1 n
2 1
n
2
所以级数
n1
1 n2
是收敛的.
1.定义 如果级数 un中各项均有 un 0， n1 则级数称为正项级数.
正项级数的部分和数列{ sn } 满足
s1 s2 sn
即部分和数列为单调增加数列.
u1 u2 un
称为(常数项)无穷级数，简称(常数项)级数,
记为 un , 即 un u1 u2 un ，
n1
n1
其中第n项un称为一般项或通项.
例如 0.05 0.05 3 0.05 ( 3)2
4
4
0.05 ( 3)n1
n1
4
0.05 ( 3)n1 4
第1天 第2天
s1 = 0.05 s2 = 0.05 + 0.05*3/4
第3天
...
s3 = 0.05 + 0.05*3/4 + 0.05*(3/4)2
第n天
sn = 0.05 + 0.05*3/4 + 0.05*(3/4)2 +… + 0.05*(3/4)n-1
第n天
sn = 0.05 + 0.05*3/4 + 0.05*(3/4)2 +… + 0.05*(3/4)n-1
n1 n
n
n
证：令 sn ui， n vi， n (ui vi )，
i 1
i 1
i 1
则 n
n
n
n
(ui vi ) ui vi
sn n ,
i 1
i 1
i 1
于是
lim
n
n
lim(
n
sn
n
)
s.
这说明级数
(un vn )
也收敛, 其和为 s .
n1
收敛级数可以逐项相加与逐项相减.
aqn1 a(1 qn ) a 1q
lim
n
sn
a(1 qn ) lim
n 1 q
1q
| q | 1
| q | 1
当q 1时, sn na , 级数发散.
当q 1时, 级数变为a a a a
a(asn(aa)a0,,an(n)a为为奇 偶(aa数数)时时a)，，sn0极限a 不存在,
2.正项级数收敛的充要条件
定理1
正项级数收敛 部分和数列 {sn }有界.
注意：正项级数发散,那么部分和 sn为无穷大.
3. 正项级数的基本审敛法
定理2 （比较审敛法）
设 un和vn均为正项级数，
n1
n1
且un vn (n 1, 2, ).
大收小收 小发大发
若 vn 收敛,则 un 收敛；
, p1
即sn有界, 则p级数收敛.
p级数
n1
1 np
当p 当p
1时, 1时,
收敛; 发散.
重要参考级数:
几何级数
aq
n
当
q
1时,收敛,和为 a ; 1q
n0 当 q 1时,发散.
1
调和级数 ( p 1)
发散.
n1 n
p级数
1 当p 1时, 收敛;
n1 n p 当p 1时, 发散.
n1
如果 lim
unn1
l,
则
n vn
(1)当 0 l 时, 两级数有相同的敛散性;
(2)当 l 0 时，若 vn收敛, 则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn发散, 则 un 发散.
n1
n1
lim un l v n
n
证明 根据极限定义，对 0，存在正整数N，当n N时，
n1
n1
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn, 证 vn收敛 un收敛.
n1
n1
n1
un vn , 且 sn u1 u2 un
v1 v2 vn ,
即部分和数列有界，所以 un收敛.
n1
(2) un发散， sn (n ),
n1
n n1
n1
n
证：令 sn ui， n kui，则 n ksn .
i 1
i 1
lim
n
n
lim
n
ksn
k
lim
n
sn
ks.
这说明 kun 收敛 , 其和为 ks.
n1
级数的每一项同乘一个不为零的常数,
敛散性不变.
性质3 如果级数 un与 vn 分别收敛于s与，
n1
n1
则级数 (un vn ) 收敛,其和为 s .
lim
k
tk
lim
n
sn
s.
注意
收敛级数去括弧后所成的级数 不一定收敛.
例如 (1 1) (1 1)
1111
收敛 发散
如果加括弧后所成的级数发散，原级数发散.
4.1.3 正项级数及其审敛法
判断级数
1
n2
n1
的敛散性. 单调有界数列必有极限
1
1
sn 1 22 n2
1 1 1 + 1
un
n1
收敛,
这时极限 s 叫做级数的和.并写成
s u1 u2 un .
如果 sn 没有极限,则称无穷级数 un发散.
n1
常数项级数收敛(发散)
lim n
sn存在(不存在)
当级数收敛时, 称差值
rn s sn un1 un2
为级数的余项. 显然
lim
n
rn
0.
引例中
0.05 0.05 3 0.05 ( 3)2 0.05 ( 3)n1
2 2n 1 2n 1
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
1 lim (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
对于无穷级数我们关心的是级数是否 收敛,即:和是否存在(sn的极限是否存在)?