二次函数与方程(组)-教师版

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4二次函数与一元二次方程——教师版

4.二次函数与一元二次方程难度：易1．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），对称轴是直线x＝1，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（）A．（72，0）B．（3，0）C．（52，0）D．（2，0）【解答】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x1、x2，且x1＜x2，根据两个交点关于对称轴直线x＝1对称可知：x1+x2＝2，即x2﹣1＝2，得x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），故选：B．2．若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x 的方程x2+bx＝5的解为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝5【解答】解：∵对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，∴ b2 2，解得：b＝﹣4，∴关于x的方程为x2﹣4x＝5，解得x1＝﹣1，x2＝5，故选：D．3．下表是一组二次函数y＝x2+3x﹣5的自变量x与函数值y的对应值：x1 1.1 1.2 1.3 1.4y﹣1﹣0.490.040.59 1.16那么方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根是（）A．1B．1.1C．1.2D．1.3【解答】解：观察表格得：方程x2+3x﹣5＝0的一个近似根为1.2，故选：C．4．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（）A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4），∴对称轴为x＝1，而对称轴左侧图象与x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2，∴右侧交点横坐标的取值范围是4＜x＜5．故选：C．5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m 有实数根的条件是（）A．m≥﹣4B．m≥0C．m≥5D．m≥6【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣4），即x＝6时，二次函数有最小值为﹣4，∴当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4．故选：A．6．若函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为．【解答】解：∵函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，当函数为二次函数时，b2﹣4ac＝16﹣4（a﹣1）×2a＝0，解得：a1＝﹣1，a2＝2，当函数为一次函数时，a﹣1＝0，解得：a＝1．故答案为：﹣1或2或1．难度：中7．下表是满足二次函数y＝ax2+bx+c的五组数据，x1是方程ax2+bx+c＝0的一个解，则下列选项中正确的是（）x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4y﹣0.80﹣0.54﹣0.200.220.72A．1.6＜x1＜1.8B．1.8＜x1＜2.0C．2.0＜x1＜2.2D．2.2＜x1＜2.4【解答】解：∵﹣0.20＜0＜0.22，∴2.0＜x1＜2.2．故选：C．8．二次函数y＝﹣x2+mx的图象如图，对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t＞﹣5B．﹣5＜t＜3C．3＜t≤4D．﹣5＜t≤4【解答】解：如图，关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0的解就是抛物线y＝﹣x2+mx 与直线y＝t的交点的横坐标，由题意可知：m＝4，当x＝1时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣5，由图象可知关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y＝t在直线y＝﹣5和直线y＝4之间包括直线y＝4，∴﹣5＜t≤4．故选：D．9．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝3C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝﹣3，x2＝1【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），∴方程ax2﹣2ax+c＝0一定有一个解为：x＝﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x 2a2a 1，∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程ax2﹣2ax+c＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．故选：C．10．若函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是（）A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜1【解答】解：∵函数y＝x2﹣2x+b的图象与坐标轴有三个交点，如果b＝0，那么此二次函数与两坐标轴的其中一个交点重合了，那么就只有2个交点，则于题意不符，∴△ 2 2 4b＞0 b 0，解得b＜1且b≠0．故选：A．11．若二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则1x11x2的值为．【解答】解：设y＝0，则2x2﹣4x﹣1＝0，∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，∴x1+x2 42 2，x1•x212，∴1x11x2x1 x2x1⋅x24，故答案为：﹣4．12．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣a．（1）若抛物线与x轴有两个交点，求a的取值范围；（2）当代数式x2﹣2x﹣1的值为负整数时，求x的值；（3）设抛物线与y轴的交点A与顶点B所在直线与x轴交于点C，抛物线与x轴的右交点为D，是否存在C，D两点关于y轴对称的情况？如果不存在，说明理由；如果存在，求此时a的值．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，∴4+4a＞0，∴a＞﹣1；（2）设y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，顶点为（1，﹣2），∴当y＝﹣2时，x＝1，当y＝﹣1时，即y＝x2﹣2x﹣1＝﹣1，解得x＝0或2，故x的值为1或0或2；∴x的值为﹣1；（3）∵抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣a，∴对称轴为x 22 1，∴顶点坐标为（1，﹣a﹣1），∵x＝0时，y＝﹣a，∴点A坐标为（0，﹣a），设直线AB解析式为y＝kx+b，代入A、B点得：k＝﹣1，b＝﹣a，∴直线AB解析式为y＝﹣x﹣a，∴点C坐标为（﹣a，0），∵C，D两点关于y轴对称，∴点D坐标为（a，0），∵点D在抛物线上，代入点D得：a2﹣2a﹣a＝0，解得：a＝3，∵a＞﹣1，∴a＝3符合题意，∴此时a的值为3．难度：难13．若函数y＝mx2+（m+2）x 12m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（）A．0B．0或2C．2或﹣2D．0，2或﹣2【解答】解：分为两种情况：①当函数是二次函数时，∵函数y＝mx2+（m+2）x 12m+1的图象与x轴只有一个交点，∴△＝（m+2）2﹣4m（12m+1）＝0且m≠0，解得：m＝±2，②当函数是一次函数时，m＝0，此时函数解析式是y＝2x+1，和x轴只有一个交点，故选：D．14．函数y＝ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值y＜0成立的x的取值范围是（）A．x＜﹣4或x＞2B．﹣4＜x＜2C．x＜0或x＞2D．0＜x＜2【解答】解：抛物线y＝ax2+2ax+m的对称轴为直线x 2a2a 1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），∵a＜0，∴抛物线开口向下，∴当x＜﹣4或x＞2时，y＜0．故选：A．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C ．am 23D ．点P 1（t ，y 1），P 2（t +1，y 2）在抛物线上，当实数t ＞13时，y 1＜y 2【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x b2a 1，∴b ＝﹣2a ＜0，∴ab ＜0，所以A 选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点坐标在（0，0）与（﹣1，0）之间，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2，0）与（3，0）之间，∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间，所以B 选项的结论正确；把B （0，﹣2），A （﹣1，m ）代入抛物线得c ＝﹣2，a ﹣b +c ＝m ，而b ＝﹣2a ，∴a +2a ﹣2＝m ，∴am 23，所以C 选项的结论正确；∵点P 1（t ，y 1），P 2（t +1，y 2）在抛物线上，∴当点P 1、P 2都在直线x ＝1的右侧时，y 1＜y 2，此时t ≥1；当点P 1在直线x ＝1的左侧，点P 2在直线x ＝1的右侧时，y 1＜y 2，此时0＜t ＜1且t +1﹣1＞1﹣t ，即12＜t ＜1，∴当12＜t ＜1或t ≥1时，y 1＜y 2，所以D 选项的结论错误．故选：D ．16．已知关于x 的函数y ＝（m ﹣1）x 2+2x +m 图象与坐标轴只有2个交点，则m ＝．【解答】解：（1）当m ﹣1＝0时，m ＝1，函数为一次函数，解析式为y ＝2x +1，与x 轴交点坐标为（ 12，0）；与y 轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m ﹣1≠0时，m ≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m ﹣1）m ＞0，解得，（m 12）2＜54，解得m m将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m故答案为：1或0或1 5 2．17．在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是．【解答】解：如图1中，当m＞0时，∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，图象G是抛物线在直线x＝2m的左侧部分（包括点D），此时最低点P（m，﹣m2+m），当m＝0时，显然不符合题意有两个交点，当m＜0时，如图2中，图象G是抛物线在直线x＝2m的左侧部分（包括点D）与x轴只要一个交点不符合题意，∴当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，当抛物线顶点在x轴上时，△＝4m2﹣4m＝0，∴m＝1或0（舍弃），∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，最低点P（m，﹣m2+m），所以顶点组成抛物线：y＝﹣x2+x＝﹣（m 12）2 14，且过定点（12，14），第11页（共11页）∴观察图象可知，当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是12＜x 1＜1，故答案为12＜x 1＜1．18．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y 轴的直线，若点P （4，0）在该抛物线上，则4a ﹣2b +c 的值为．【解答】解：设抛物线与x 轴的另一个交点是Q ，∵抛物线的对称轴过点（1，0），与x 轴的一个交点是P （4，0），∴与x 轴的另一个交点Q （﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0＝4a ﹣2b +c ，∴4a ﹣2b +c ＝0，故答案为：0．。

【教案】二次函数与一元二次方程、不等式+教学设计高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

二次函数与一元二次方程、不等式教学设计课题名称二次函数与一元二次方程、不等式姓名学校年级教材版本人教版A版一、教学目标1.使学生能够运用一元二次方程以及二次函数图像、性质解决实际问题。

2.渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图像探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法。

3.激发学生学习数学的热情，培养学生勇于探索的精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

二、教学重难点重点：一元二次不等式的应用。

难点：一元二次方程的根的情况与二次函数图像与x轴的位置关系的联系，数形结合的运用。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程一、导入（复习导入）师生活动复习解一元二次不等式步骤：1、a变正，（二次项系数化为正数）2、判别式。

（利用一元二次方程，求出判别式的值）3、求根。

（根据判别式情况求出一元二次方程的根）4、画草图。

（利用二次函数绘制图像）5、求解集。

（根据数形结合的思想求不等式解集）复习上节课所学内容，检测学生学习情况。

二、新指探究利用一元二次不等式求解实际问题。

【例1】一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x（单位：辆）与创造的价值y（单位：元）之间有如下关系：y=−2y2+220y若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用整条流水线生产x辆摩托车，根据题意得：−2y2+220y>6000移项整理，得：y2−110y+3000<0对于方程y2−110y+3000=0，∆=100>0，方程有两个实数根y1=50，y2=60画出二次函数y=y2−110y+3000的图像（图2.3-6），结合图象得不等式y2−110y+3000<0的解集为{y|50<y<60}，从而原不等式的解集为：{y|50<y<60}。

人教版九年级上册数学《二次函数与一元二次方程》二次函数课件教学说课

二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值．
探究新知
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数中因变量的值，
求自变量的值
解一元二次方程
探究新知
素养考点二次函数与一元二次方程的关系
例已知二次函数 y=2x2-3x-4的函数值为1，求自变
量x的值，可以看作解一元二次方程 2x2-3x-4=1 .
球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有
关系h=20t-5t2.考虑以下问题：
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
解：（1）解方程20.5=20t-5t2。t2-4t+4.1=0。
因为（-4）2-4×4.1＜0。所以方程无解。球
的飞行高度达不到20.5m
情境引入
如图所示，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出
x＞1，y随x的增大而减小，正确；④由函数图象知，
当-1＜x＜3时，y＞0，正确。综上，①②③④正确。
小练习
如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的
图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线
与x轴的另一个交点为（4,0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0.
其中正确的结论有（ B ）
个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0
的两实数是（ B ）
A. x1=1，x2=-1
B. x1=1，x2=2
C.x1=1，x2=0
D. x1=1，x2=3

2
解析：二次函数y=x -3x+m的对称轴是x=-
3

二次方程根的分布情况归纳(教师版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳21、一元二次方程ax bx c 0根的分布情况设方程ax bx c 0 a 0的不等两根为X|,X2且X i x?，相应的二次函数为f x ax bx c 0，方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间夕卜，即在区间两侧为2,（图形分别如下）需满足的条件是f n 0 f n 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： (1)两根有且仅有一根在 m, n 有以下特殊情况：1 若f m 0或f n 0,则此时f mg f n 0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m,n ，从而可以求出参数的值。

如方程mx 2 m 2 x 2 0、 2 2 2在区间1,3上有一根，因为f 10，所以mx m 2 x 2 x 1 mx 2，另一根为，由13m m2得 m 2即为所求；3 2方程有且只有一根，且这个根在区间m, n ，即 0,此时由 0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给疋的区间，如右不在，舍去相应的参数。

如方程x 4mx 2m 6 0有且一根在区间 3,0 ,求m 的取值围。

分析：①由f 3gf 0 0 即 14m 15 m3 0得出 3 15 m；②由0即 16m 2 4 2m146 0得出m 31 或 m —,2 当m1时，根x23,0 ,即m31满足题意；当m 时，根x 323,0，故 m-不满足题意； 2综上分析，得出3 m至或14m1根的分布练习题例1、已知二次方程 2m 1 x 2 2mx m 1 0有一正根和一负根，数 m 的取值围。

1解：由 2m 1 gf 0 0即 2m 1 m 1 0，从而得m 1即为所求的围。

第22章《二次函数》讲义第8讲二次函数与方程(有答案)

第3讲二次函数与方程、不等式1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．（1）、a+b+c 的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方，则a+b+c 。

点在x 轴下方，则a+b+c 。

点在x 轴上，则a+b+c 。

（2）、a-b+c 的符号：由x=－1时抛物线上的点的位置确定:点在x 轴上方，则a －b+c 。

点在x 轴下方，则a －b+c 。

点在x 轴上，则a －b+c 。

（3）、2a±b 的符号：由对称轴与X=1或X=-1的位置相比较的情况决定. （4）、b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0； 1个交点，b 2-4ac=0；没有交点，b 2-4ac ＜0．1、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①、当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-. ②、当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③、当0∆<时，图象与x 轴没有交点.（1）当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；（2）当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2、抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3、二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、已知点A（2，3）在函数y=ax2-x+1的图象上，则a等于（）A．－1 B．1 C．2 D．－2例2、若一次函数y=x+m2与y=2x+4的图象交于x轴上同一点，则m的值为（）A．m=2 B．m=±2 C．m=D．m=±例3、已知抛物线顶点为（1，3），且与y轴交点的纵坐标为-1，则此抛物线解析式是．例4、已抛物线过点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C，且BC=，则这条抛物线的解析式为．例5、二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点（2，3），且顶点在直线y=3x-2上，则二次函数的关系式为：．例6、已知二次函数的图象经过点（0，－1）、（1，－3）、（－1，3），求这个二次函数的解析式．并用配方法求出图象的顶点坐标．例7、已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线y=x上，且这个顶点到原点的距离为又知抛物线与x轴两交点横坐标之积等于－1，求此抛物线的解析式．1、已知抛物线的顶点坐标是（2，1），且抛物线的图象经过（3，0）点，则这条抛物线的解析式是（）A．y=-x2-4x-3 B．y=-x2-4x+3 C．y=x2-4x-3 D．y=-x2+4x-32、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的和为-4，积是-5，且抛物线经过点（0，-5），则此抛物线的解析式为（ C ）A．y=x2-4x-5 B．y=-x2+4x-5 C．y=x2+4x-5 D．y=-x2-4x-53、已知二次函数y=x2+bx+c的图象过A（c，0），对称轴为直线x=3，则此二次函数解析式为．4、抛物线y=ax2+bx+c中，已知a：b：c=l：2：3，最小值为6，则此抛物线的解析式为．5、已知y与x2+2成正比例，且当x=1时，y=6．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若点（a，12）在函数图象上，求a的值．6、如图，抛物线y=2+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）若将上述抛物线先向下平移3个单位，再向右平移2个单位，请直接写出平移后的抛物线的解析式．考点2、函数与方程例1、如果抛物线y=x2+（k-1）x+4与x轴有且只有一个交点，那么正数k的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6例2、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则以下关于m的结论正确的是（）A．m的最大值为2 B．m的最小值为－2C．m是负数D．m是非负数例3、设抛物线y=x2+kx+4与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0），则下列结论中，一定成立的是（）A．x12+x22=17 B．x12+x22=8 C．x12+x22＜17 D．x12+x22＞8例4、已知抛物线y=x2-2ax+a+2的顶点在x轴上，则方程的实数根的积为．☆例5、已知关于x的方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0．（1）求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若m为整数，且抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴两交点间的距离为2，求抛物线的解析式；（3）若直线y=x+b与（2）中的抛物线没有交点，求b的取值范围．1、抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个2、如图所示，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE=BE，则下列关系式中不能成立的是（）A．b=0 B．S△ABE=c2 C．ac=-1 D．a+c=03、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（-1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称轴是．4、已知抛物线y=x2+kx+4-k交x轴于整点A、B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为．5、已知关于x的函数y=ax2+x+1（a为常数）（1）若函数的图象与x轴恰有一个交点，求a的值；（2）若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x轴上方，求a的取值范围．考点3、二次函数与不等式（组）例1、如图，是二次函数和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象，写出y1＞y2时x的取值范围是（）A．－2＜x＜1 B．x＜－2或x＞1 C．x＞－2 D．x＜1例2、若函数y=mx2+mx+m-2的值恒为负数，则m取值范围是（）例3、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（1，3）及部分图象（如图所示），其中图象与横轴的正半轴交点为（3，0），由图象可知：①当x 时，函数值随着x的增大而减小；②关于x的一元二次不等式ax2=bx+c＞0的解是．例4、如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于 A（-2，4）、B（8，2）两点，则能使关于x的不等式ax2+（b-k）x+c-m＞0成立的x的取值范围是．例5、如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（2，0），B（5，3）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式ax2+bx+c≤x+m的解集（直接写出答案）；（3）若抛物线与y轴交于C，求△ABC的面积．1、抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）和直线y=mx+n（m≠0）相交于两点P（-1，2），Q（3，5），则不等式-ax2+mx+n＞bx+c的解集是（）A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞32、已知：二次函数y=x2-4x+a，下列说法中错误的个数是（）①当x＜1时，y随x的增大而减小②若图象与x轴有交点，则a≤4③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，－2），则a=－3．A．1 B．2 C．3 D．43、直线y=-3x+2与抛物线y=x24、已知函数y=x2-2x-3的图象，根据图象回答下列问题．（1）当x取何值时y=0．（2）方程x2-2x-3=0的解是什么？（3）当x取何值时，y＜0？当x取何值时，y＞0？（4）不等式x2-2x-3＜0的解集是什么？5、如图，二次函数的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，-3），一次函数y2=mx+n的图象过点A、C．（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；（3）根据图象写出y2＜y1时，x的取值范围．1、一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（－1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y＝－2（x－1）2＋3 B．y＝－（2x＋1）2＋3C．y＝－2（x＋1）2＋3 D．y＝－（2x－1）2＋32、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是1，-1，给出下列结论：①a+b+c=0；②b=0；③a=1．c=-1．其中正确的是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3、已知：二次函数y=x2-4x-a，下列说法中错误的个数是（）①若图象与x轴有交点，则a≤4②若该抛物线的顶点在直线y=2x上，则a的值为-8③当a=3时，不等式x2-4x+a＞0的解集是1＜x＜3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点（1，-2），则a=-1⑤若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为x1、x2，则当x取x1+x2时的函数值与x取0时的函数值相等．A．1 B．2 C．3 D．44、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则这个二次函数的关系式为，5、如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x=1．若抛物线与x轴一个交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c≥0的解集是：．6、若关于x的方程3x2+5x+11m=0的一个根大于2，另一根小于2，则m的取值范围是．7、如图，已知二次函数y1=ax2+bx+c与一次函数y2=kx+m的图象相交于点A（-2，4），B（8，2），则能使y1＜y2成立的x的取值范围是．8、已知点（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两点，则这条抛物线的对称轴是．9、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（－4，0）、B（1，0）、C（0，3）三点，直线y=mx+n经过A（－4，0）、C（0，3）两点．（1）写出方程ax2+bx+c=0的解；（2）若ax2+bx+c＞mx+n，写出x的取值范围．10、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与x轴的交点B及与y轴的交点C．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．11、如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求直线AB的解析式；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）结合（1）（2）及图象，直接写出使一次函数的值大于二次函数的值的x的取值范围．1、若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜bC．x1＜a＜b＜x2 D．a＜x1＜b＜x22、已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是x轴上一点，如果∠ABC=∠ACB，求：（1）点C的坐标；（2）图象经过A、B、C三点的二次函数的解析式．3、在直角坐标平面内，二次函数图象的经过A（-1，0）、B（3，0），且过点C（0，3）．（1）求该二次函数的解析式；（2）若P是该抛物线上一点，且△ABC与△ABP面积相同，求P的坐标．1、抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交点的情况是（）A．无交点B．一个交点C．两个交点D．无法确定2、已知函数y=ax2+bx+z的图象如图所示，那么函数解析式为（）A．y=-x2+2x+3 B．y=x2-2x-3 C．y=-x2-2x+3 D．y=-x2-2x-33、如图，已知直线y=kx+b（k＞0）与抛物线y=x2交于A、B两点（A、B两点分别位于第二和第一象限），且A、B两点的纵坐标分别是1和9，则不等式x2-kx-b＞0的解集为（）A．－1＜x＜3 B．x＜－1或x＞3C．1＜x＜9 D．x＜1或x＞9（2）（3）4、已知二次函数y=2x2-（4k+1）x+2k2-1的图象与x轴交于两个不同的点，则关于x的一元二次方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5、已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）A．E，F B．E，G C．E，H D．F，G6、已知抛物线y=（m-1）x2+x+1与x轴有交点，则m范围是．7、已知二次函数的图象关于直线x=3对称，最大值是0，在y轴上的截距是-1，这个二次函数解析式为．8、如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0④ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1；⑤8a+c＞0．其中正确的命题是．9、如图二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．（1）观察图象，写出A、B、C三点的坐标，并求出抛物线解析式；（2）观察图象，当x取何值时，y＜0？y=0？y＞0？10、已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：（1）求出函数的解析式；（2）写出抛物线的对称轴方程和顶点坐标？（3）当x取何值时y随x的增大而减小？（4）方程ax2+bx+c=0的解是什么？（5）不等式ax2+bx+c＞0的解集是什么？11、如图，抛物线y=-x2+3x-n经过点C（0，4），与x轴交于两点A、B．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值．12、如图，△AOB是边长为2的等边三角形，过点A的直线y=点E．（1）求点E的坐标；（2）求过A、O、E三点的抛物线的解析式．参考答案第8讲二次函数与方程、不等式考点1、待定系数法求二次函数解析式例1、B例2、D例3、例4、例5、例6、例7、1、D2、C3、4、5、6、考点2、函数与方程例1、C例2、A例3、D例4、例5、解：（1）证明：分两种情况讨论．①当m=0时，方程为x-2=0，∴x=2，方程有实数根；②当m≠0，则一元二次方程的根的判别式△=[-（3m-1）]2-4m（2m-2）=9m2-6m+1-8m2+8m=m2+2m+1=（m+1）2∴不论m为何实数，△≥0成立，∴方程恒有实数根；综合①、②，可知m取任何实数，方程mx2-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根．（2）设x1，x2为抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标．令y=0，则mx2-（3m-1）x+2m-2=0∴抛物线y=mx2-（3m-1）x+2m-2不论m为任何不为0的实数时恒过定点（2，0）．∵|x1-x2|=2，∴|2-x2|=2，当m=1时，y=x2-2x，把（2，0）代入，左边=右边，m=1符合题意，∴抛物线解析式为y=x2-2x答：抛物线解析式为y=x2-2x；1、D2、D3、4、5、考点3、二次函数与不等式（组）例1、B例2、C例3、例4、例5、1、C2、A3、4、5、1、C2、A3、B4、5、6、7、8、9、10、11、1、C2、3、1、C2、A3、B4、B5、C6、7、8、9、10、11、12、31。

九年级上册专题03 二次函数与方程、不等式(知识点串讲)(教师版含解析)

专题03 二次函数与方程、不等式知识网络重难突破知识点一二次函数与一元二次方程二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为s，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=s.【典例1】(2019•镇海区一模)若二次函数y＝ax2﹣2ax+c(a≠0)的图象经过点(﹣1，0)，则方程ax2﹣2ax+c ＝0的解为()A．x1＝﹣3，x2＝﹣1 B．x1＝﹣1，x2＝3C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝﹣3，x2＝1【点拨】先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，再根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，从而根据抛物线与x轴的交点问题得到方程ax2﹣2ax+c＝0的解．【解析】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线与x轴的一个交点坐标为(﹣1，0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，所以方程ax2﹣2ax+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．【变式训练】1．(2018秋•江汉区期中)如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的一个近似解x1的范围是()x…﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y…﹣11 ﹣5 ﹣1 1 1 …A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1【点拨】根据函数的增减性：函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，可得答案．【解析】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)的一个近似解在﹣1＜x1＜0，故选：C．【点睛】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．2．(2019•德城区一模)关于x的方程(x﹣3)(x﹣5)＝m(m＞0)有两个实数根α，β(α＜β)，则下列选项正确的是()A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜βC．α＜2＜β＜5 D．α＜3且β＞5【点拨】根据平移可知：将抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m，依此画出函数图象，观察图形即可得出结论．【解析】解：将抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)往下平移m个单位可得出抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m，画出函数图象，如图所示．∵抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)与x轴的交点坐标为(3，0)、(5，0)，抛物线y＝(x﹣3)(x﹣5)﹣m与x轴的交点坐标为(α，0)、(β，0)，∴α＜3＜5＜β．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的图象以及平移的性质，依照题意画出函数图象，利用数形结合解决问题是解题的关键．3．(2019秋•镇海区校级期中)如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，4)，B(1，1)，则关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为﹣3，1．【点拨】根据抛物线与直线的交点坐标的横坐标即可求解．【解析】解：因为抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，4)，B(1，1)，所以关于x的方程ax2＝bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝1，即关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝1．故答案为﹣3、1．【点睛】本题考查了抛物线与直线交点坐标，解决本题的关键是两交点的横坐标就是方程的解．知识点二二次函数与x轴交点情况对于二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：①△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；②△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；③△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.【典例2】下列二次函数的图象与x轴没有交点的是()A．y＝﹣3x2﹣4x B．y＝x2﹣3x﹣4 C．y＝x2﹣6x+9 D．y＝2x2+4x+5【点拨】分别计算四个选项中的判别式的值，然后根据判别式的意义确定抛物线与x轴的交点个数，从而可对各选项进行判断．【解析】解：A、△＝(﹣4)2﹣4×(﹣3)×0＞0，此抛物线与x轴有两个交点，所以A选项错误；B、△＝(﹣3)2﹣4×(﹣4)＞0，此抛物线与x轴有两个交点，所以B选项错误；C、△＝(﹣6)2﹣4×9＝0，此抛物线与x轴有1个交点，所以C选项错误；D、△＝42﹣4×2×5＜0，此抛物线与x轴没有交点，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数(△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点)．【变式训练】1．(2019秋•新昌县校级月考)二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴的交点有()A．1个B．2个C．3个D．4个【点拨】△＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，即可求解．【解析】解：△＝b2﹣4ac＝25﹣4×2×3＝1＞0，故二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴有两个交点，故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查根的判别式，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点代表的意义．2．(2018秋•西湖区期末)一元二次方程x2+bx+c＝0有一个根为x＝﹣3，则二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点()A．(﹣3，0) B．(3，0) C．(﹣3，27) D．(3，27)【点拨】先把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得3b﹣c＝9，利用整体代入的方法计算出自变量为﹣3对应的函数值为27，从而可判断抛物线经过点(﹣3，27)．【解析】解：把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得9﹣3b+c＝0，则3b﹣c＝9，当x＝﹣3时，y＝2x2﹣bx﹣c＝18+3b﹣c＝18+9＝27，所以二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点(﹣3，27)．故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的图象上点的坐标特征．3．(2018秋•瑞安市期末)已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，对称轴是直线x＝﹣1，若点A的坐标为(1，0)，则点B的坐标是()A．(﹣2，0) B．(0，﹣2) C．(0，﹣3) D．(﹣3，0)【点拨】利用点B与点A关于直线x＝﹣1对称确定B点坐标．【解析】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于直线x＝﹣1对称，而对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为(1，0)，∴点B的坐标是(﹣3，0)．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．知识点三二次函数与不等式(组)1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.【典例4】(2019秋•新昌县校级月考)已知函数y1＝x2与函数y2＝x+3的图象大致如图所示，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是()A．＜x＜2 B．x＞2或x＜C．x＜﹣2或x＞D．﹣2＜x＜【点拨】联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，y1＜y2，此时直线在抛物线上方，即可求解．【解析】解：联立y1＝x2、y2＝x+3并解得：x＝﹣2或，∵y1＜y2，即直线在抛物线上方时，确定x的取值范围，此时，﹣2＜x，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式(组)，要求学生通过函数图象交点，比较函数值的大小，从而确定不等式的解值，而不是采取直接解不等式的方法求解．【变式训练】1．(2018秋•苍南县期中)如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于A(0，2)，且经过B(4，2)，则不等式ax2+bx+c＞2的解集为0＜x＜4．【点拨】直接利用二次函数图象利用A，B点坐标得出不等式ax2+bx+c＞2的解集．【解析】解：如图所示：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于A(0，2)，且经过B(4，2)，∴不等式ax2+bx+c＞2的解集为：0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，正确利用数形结合分析是解题关键．2．(2018秋•下城区期末)已知函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过A(4，﹣4)．若y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．【点拨】先A点坐标代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，再求出m，则可判断二次函数图象的开口向上，易得函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点(0，2)，然后根据函数图象，写出直线不在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解析】解：把A(4，﹣4)代入y2＝mx+2得4m+2＝﹣4，解得m＝﹣，∵﹣(m+1)＞0，∴二次函数图象的开口向上，∵函数y1＝﹣(m+1)x2+nx+2与y2＝mx+2的图象都经过点(0，2)，∴y2≤y1，则x的取值范围为x≤0或x≥4．故答案为x≤0或x≥4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．3．(2019秋•秀洲区期中)如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+3都经过点A、点B，且A(1，0)，(1)求m的值及点B的坐标；(2)求不等式x2+bx+3≥x+m的解集．(直接写出答案)【点拨】(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，解得：m＝﹣1，同理解得：b＝﹣4，联立方程组即可求解；(2)从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．【解析】解：(1)将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝1+m，解得：m＝﹣1，故直线的表达式为：y＝x﹣1…①；将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝1+b+3，解得：b＝﹣4，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…②，联立①②并解得：x＝1或4，故点B(4，3)；(2)从图象可以看出：不等式x2+bx+3≥x+m的解集为：x≤1或x≥4．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．巩固训练1．(2019春•西湖区校级月考)函数y＝ax2+bx+c如图所示，若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，则()A．k＞0 B．k＞﹣3 C．k＜﹣3 D．k＝0【点拨】结合函数图象，利用当k＞﹣3时，直线y＝k与抛物线y＝ax2+bx+c＝0有两个交点，从而可对各选项进行判断．【解析】解：抛物线y＝ax2+bx+c的顶点的纵坐标为﹣3，直线y＝﹣3与抛物线y＝ax2+bx+c＝0只有一个交点，当k＞﹣3时，直线y＝k与抛物线y＝ax2+bx+c＝0有两个交点，所以当k＞﹣3时，方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根．故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．2．(2019春•安吉县期中)如图，抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程﹣x2+mx ﹣t＝0(t为实数)在1＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是()A．﹣5＜t≤4 B．3＜t≤4 C．﹣5＜t＜3 D．t＞﹣5【点拨】先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为(2，4)，再计算出当x＝1或3时，y＝3，结合函数图象，利用抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点可确定t的范围．【解析】解：∵抛物线y＝﹣x2+mx的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，解得m＝4，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，抛物线的顶点坐标为(2，4)，当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝3；当x＝3时，y＝﹣x2+4x＝3，∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣t＝0(t为实数)在1＜x＜3的范围内有解，∴抛物线y＝﹣x2+4x与直线y＝t在1＜x＜3的范围内有公共点，∴3＜t≤4．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3．(2019•慈溪市模拟)已知抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，且过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，则b 的值为()A．4 B．2 C．6 D．9【点拨】根据抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，可知△＝0，从而可以得到m与n的关系，再根据抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，可以得到a和m的关系，从而可以求得b的值．【解析】解：∵抛物线y＝x2+mx+n与x轴只有一个公共点，∴△＝m2﹣4×1×n＝m2﹣4n＝0，∴n＝m2，∵抛物线y＝x2+mx+n过点A(a，b)，B(a﹣4，b)，∴b＝a2+ma+n，b＝(a﹣4)2+m(a﹣4)+n，∴a2+ma+n＝(a﹣4)2+m(a﹣4)+n，化简，得a＝，∴b＝a2+ma+n＝()2+m×+m2＝4，故选：A．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，求出b的值．4．(2019•杭州)在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x+a)(x+b)的图象与x轴有M个交点，函数y ＝(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有N个交点，则()A．M＝N﹣1或M＝N+1 B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1 D．M＝N或M＝N﹣1【点拨】先把两个函数化成一般形式，若为二次函数，再计算根的判别式，从而确定图象与x轴的交点个数，若一次函数，则与x轴只有一个交点，据此解答．【解析】解：∵y＝(x+a)(x+b)，a≠b，∴函数y＝(x+a)(x+b)的图象与x轴有2个交点，∵函数y＝(ax+1)(bx+1)＝abx2+(a+b)x+1，∴当ab≠0时，△＝(a+b)2﹣4ab＝(a﹣b)2＞0，函数y＝(ax+1)(bx+1)的图象与x轴有2个交点，即N＝2，此时M＝N；当ab＝0时，不妨令a＝0，∵a≠b，∴b≠0，函数y＝(ax+1)(bx+1)＝bx+1为一次函数，与x轴有一个交点，即N＝1，此时M＝N+1；综上可知，M＝N或M＝N+1．故选：C．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数与x轴的交点问题，关键是根据根的判别式的取值确定抛物线与x轴的交点个数，二次项系数为字母的代数式时，要根据系数是否为0，确定它是什么函数，进而确定与x轴的交点个数．5．(2019春•西湖区校级月考)函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，则不等式x2+(b﹣1)x+c＜0的解集为1＜x＜3．【点拨】根据当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x2+bx+c＜x，继而可求得答案．【解析】解：∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+(b﹣1)x+c＜0．∴不等式x2+(b﹣1)x+c＜0的解集为1＜x＜3，故答案为1＜x＜3．【点睛】主要考查二次函数与不等式(组)，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．6．(2019•拱墅区校级模拟)已知如图二次函数y1＝ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2＝kx+m(k≠0)的图象相交于点A(﹣2，4)，B(8，2)(如图所示)则能使y1＜y2成立的x的取值范围是﹣2＜x＜8．【点拨】根据函数图象，写出抛物线在直线下方部分的x的取值范围即可．【解析】解：由图可知，﹣2＜x＜8时，y1＜y2．故答案为：﹣2＜x＜8．【点睛】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此，同学们要引起重视．7．(2019•柯城区校级一模)如图，已知直线y1＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．过A，B两点的抛物线y2＝ax2+bx+c交x轴于点C(﹣1，0)．(1)求A，B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)求出当y1＞y2时，自变量x的取值范围．【点拨】(1)利用一次函数的解析式确定A、B的坐标；(2)利用待定系数法求抛物线解析式；(3)写出抛物线在直线下方所对应的自变量的范围．【解析】解：(1)当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，则B(0，2)；当y＝0时，﹣x+2＝0，解得x＝4，则A(4，0)；(2)设抛物线解析式为y＝a(x+1)(x﹣4)，把B(0，2)代入得a(0+1)(0﹣4)＝2，解得：a＝﹣，所以抛物线解析式为y＝﹣(x+1)(x﹣4)，即y＝﹣x2+x+2；(3)当y1＞y2时，x的取值范围为x＜0或x＞4．【点睛】本题考查了二次函数与不等式(组)：对于二次函数y＝ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．也考查了抛物线与x轴的交点问题和二次函数的性质．8．(2019春•西湖区校级月考)若二次函数y＝kx2+(3k+2)x+2k+2．(1)若抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，求k的值；(2)求证：抛物线与x轴有交点．(3)经研究发现，无论k为何值，抛物线经过某些特定的点，请求出这些定点．(4)若y1＝2x+2，在﹣2＜x＜﹣1范围内请比较y1，y的大小．【点拨】(1)抛物线的对称轴是直线x＝﹣1＝﹣，即可求解；(2)△＝b2﹣4ac＝(3k+2)2﹣4k(2k+2)＝(k+2)2≥0，即可求解；(3)y＝kx2+(3k+2)x+2k+2＝k(x2+3x+2)+2x+2，当x2+3x+2＝0时，函数过定点，则x＝﹣1或﹣2，即可求解；(4)如图所示，抛物线过定点：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)，由图象可见：当k＞0时，y1＞y；当k＜0时，y1＜y．【解析】解：(1)抛物线的对称轴是直线x＝﹣1＝﹣，解得：k＝﹣2；(2)△＝b2﹣4ac＝(3k+2)2﹣4k(2k+2)＝(k+2)2≥0，故：抛物线与x轴有交点；(3)y＝kx2+(3k+2)x+2k+2＝k(x2+3x+2)+2x+2，当x2+3x+2＝0时，函数过定点，则x＝﹣1或﹣2，则定点为：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)；(4)如图所示，抛物线过定点：(﹣1，0)、(﹣2，﹣2)，由图象可见：当k＞0时，y1＞y；当k＜0时，y1＜y．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．。

二次函数与一元二次方程--教学设计

二次函数与一元二次方程--教学设计教学设计主题：二次函数与一元二次方程教学目标：1.理解二次函数的定义和性质；2.掌握一元二次方程的求解方法；3.能够将实际问题转化为二次函数或一元二次方程进行求解。

教学重点：1.二次函数的定义和性质；2.一元二次方程的求解。

教学难点：1.实际问题的建模；2.一元二次方程的求解。

教学准备：1.教师准备：教师课件、教学演示；2.学生准备：学生课本、笔记本。

教学过程：一、导入（5分钟）1.教师通过课件展示一张图，引导学生思考二次函数的图像特点；2.教师提问：你们在高中学过哪些与二次函数相关的知识？请举例说明。

二、概念讲解（20分钟）1.教师通过课件讲解二次函数的定义，并给出例题让学生进行分析和讨论；2.教师引导学生总结二次函数的性质，并进行讨论交流。

三、习题练习（15分钟）1.教师布置若干练习题，要求学生互相讨论解题方法和结果。

练习题可以涉及二次函数的图像、顶点坐标、对称轴等内容。

四、实际问题建模（15分钟）1.教师通过课件呈现一些实际问题，并提问学生如何将这些问题转化为二次函数或一元二次方程；2.学生进行小组讨论，寻找问题的解决方法和步骤。

五、一元二次方程的求解（20分钟）1.教师通过课件讲解一元二次方程的定义、一般形式和求解方法，引导学生理解方程解的含义；2.教师给出一些例题，引导学生进行求解过程，并解释每个步骤的含义和思路。

六、总结归纳（10分钟）1.教师带领学生总结二次函数与一元二次方程的相关知识点和求解方法；2.学生进行讨论和补充。

七、拓展与应用（15分钟）1.教师设计一些拓展题目，要求学生运用所学知识解决实际问题；2.学生进行小组讨论和解答，教师给予指导和点评。

八、课堂总结（5分钟）教师对本节课的重点内容进行总结，并提醒学生复习和预习下节课的内容。

教学反思：通过本节课的教学，学生可以对二次函数与一元二次方程的定义、性质和求解方法有更深入的理解。

通过实际问题的建模和解答，学生可以将所学知识应用到实际生活中，提高问题解决能力。

二次函数与一元二次方程、不等式-高考复习

基础知识过关核心素养例析课时作业
2．已知集合 A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则 A∩B＝( )
A．(－2，3) B.(1，3)
C.(3，4)
D.(－2，4)
答案 B 解析由题意知 A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－2<x<3}，所以 A∩B＝(1，3).
基础知识过关核心素养例析课时作业
(教师独具内容) 1．会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数．了解一元二次不等式的现实意义，能借助二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 2．掌握一元二次不等式的解法，会解分式不等式、高次不等式，能解决一元二次不等式的实际问题．理解一元二次方程、二次函数与一元二次不等式之间的联系，并能解决相应的问题．
m1<－2ba<m2；
⑤若 x1，x2 有且仅有一个在(m1，m2)内，
则 f(m1)f(m2)<0
Δ>0，
Δ>0，
f（m1）＝0， f（m1）>0，
或f（m2）>0，或f（m2）＝0，
m1<－2ba<m2 m1<－2ba<m2.
基础知识过关核心素养例析课时作业
注：一元二次方程根的问题通常转化为二次函数零点的分布问题，关键在于以下三步：第一步，根据要求画图象，图象要跟题干要求一一对应；第二步，根据图象列式子，注意列式的四点要求：①抛物线开口与 a 的关系， ②判别式 Δ 与 0 的关系，③对称轴与区间的关系，④区间端点函数值的正负情况．
基础知识过关核心素养例析课时作业
2．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的解的对应关系Fra bibliotek判别式 Δ＝b2－

九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程课时教案北师大版(2021学年)

九年级数学下册２.5 二次函数与一元二次方程课时教案（新版)北师大版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程课时教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉,前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅,最后祝您生活愉快业绩进步,以下为九年级数学下册2.5 二次函数与一元二次方程课时教案（新版)北师大版的全部内容。

２.５二次函数与一元二次方程一、教学目标1。

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系。

2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根。

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标。

二、课时安排1课时三、教学重点理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根．四、教学难点理解一元二次方程的根就是二次函数与ｘ轴交点的横坐标.五、教学过程(一）导入新课1。

一元二次方程aｘ2+bx＋c=0 的求根公式是什么？2.解下列一元二次方程:(１)x2+2x=０（2)x2－2x+１=0 （3)x2-2x+2=0.（二)讲授新课活动１:小组合作探究1:我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (ｍ）与运动时间ｔ(s)的关系可以用公式h=-5t 2＋v 0ｔ＋h 0 表示，其中h 0 （ｍ)是抛出点距地面的高度，v ０ (m/ｓ）是抛出时的速度.一个小球从地面被以4０ｍ／s 的速度竖直向上抛起，小球的高度ｈ (m)与运动时间t(s)的关系如图所示，那么(1)ｈ与ｔ的关系式是什么？（2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴交流。

2.3二次函数与一元二次方程、不等式 2.3.1二次函数与一元二次方程、不等式教案

2.3二次函数与一元二次方程、不等式【素养目标】1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)3．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)4．会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式．(数学运算)5．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)6．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)【学法解读】在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的学习中，可以先以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境，使学生发现一元二次函数与一元二次方程的关系，引出一元二次不等式的概念；然后进一步探索一般的一元二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序．2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式一、必备知识·探新知基础知识知识点1：一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________________.一元二次不等式的一般形式是：_________________________或_________________________.知识点2：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系思考2：如何用图解法解一元二次不等式？提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)；(2)求Δ＝b2－4ac；(3)若Δ<0，根据二次函数的图象直接写出解集；(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.()(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x1<x2，则一元二次不等式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}．()(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．()[解析](1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根．则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅.(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)>0的解集为{x|x1<x<x2}．(4)当Δ<0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．2．不等式2x≤x2＋1的解集为()A．∅B．RC．{x|x≠1} D．{x|x>1或x<－1}[解析]将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0，∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B．3．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为_____________________.二、关键能力·攻重难题型探究题型一解一元二次不等式例题1：解下列不等式．(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.[分析]根据三个二次之间的关系求解即可．[归纳提升]解一元二次不等式的步骤(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．【对点练习】❶不等式6x2＋x－2≤0的解集为______________________.题型二三个“二次”的关系例题2：已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1<x<2}，求a，b的值．[分析]给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．【对点练习】❷若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．题型三解含有参数的一元二次不等式例题3：解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.[分析]二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4<a<4时，Δ<0，方程无实根，故原不等式的解集为R.[归纳提升]在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a＝0，a<0；(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)；(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2.【对点练习】❸解关于x的不等式ax2－x>0.。

高中数学教案《二次函数与一元二次方程、不等式》

教学计划：《二次函数与一元二次方程、不等式》一、教学目标1、知识与技能：学生能够理解并掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的概念、性质及其相互关系;能够熟练求解一元二次方程和一元二次不等式，并能根据二次函数的图像判断不等式的解集。

2、过程与方法：通过案例分析、图形辅助、探究学习等方法，培养学生的观察、分析和解决问题的能力;通过小组合作、讨论交流，提升学生的协作学习能力和语言表达能力。

3、情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养探索数学规律的精神和严谨的科学态度;通过解决实际问题，让学生感受到数学在现实生活中的应用价值。

二、教学重点和难点重点：一元二次方程的求解方法(公式法、因式分解法、配方法);一元二次不等式的解法及与二次函数图像的关系;二次函数的性质(开口方向、顶点、对称轴)。

难点：一元二次不等式解法中根据判别式判断解的存在性;将一元二次不等式转化为二次函数图像下的区域问题;灵活运用二次函数的性质解决实际问题。

三、教学过程1. 导入新课（5分钟）生活实例引入：以医院中病人的病情随时间变化的例子(如体温变化、药物浓度变化)，引导学生思考这些变化可能呈现出的二次函数形态，从而引出二次函数的概念。

提出问题：当病情达到某个临界点时(如体温过高或过低)，医生需要采取相应措施。

这实际上涉及到一元二次方程和不等式的求解问题。

明确目标：介绍本节课将要学习的内容，即二次函数与一元二次方程、不等式的相互关系及其求解方法。

2. 讲解新知（20分钟）二次函数概念：回顾一次函数的概念，通过类比引出二次函数的一般形式及其图像特征(开口方向、顶点、对称轴)。

一元二次方程求解：详细介绍一元二次方程的三种求解方法(公式法、因式分解法、配方法)，并通过实例演示每种方法的应用。

一元二次不等式：结合二次函数图像，讲解一元二次不等式的解法及其与函数图像的关系。

强调根据判别式判断不等式的解集情况，并引导学生掌握将不等式转化为图像下区域问题的方法。

二次函数与一元二次方程、不等式(第二课时)示范教学方案

《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（第二课时）》教学设计◆教学目标1．通过从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，体会一元二次不等式的现实意义，提升数学建模的核心素养．2．能利用一元二次不等式解决一些实际问题，提升数学运算素养．◆教学重难点◆教学重点：实际问题中的一元二次不等式解法．教学难点：从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出一元二次不等式．◆课前准备PPT课件◆教学过程一、知识回顾★资源名称：【知识点解析】一元二次不等式的解法★使用说明：本资源为一元二次不等式的解法讲解视频，通过具体例子，引导学生理解并归纳出一元二次不等式求解的一般步骤．注：此图片为微课截图，如需使用资源，请于资源库调用．问题1：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式解集的对应关系是怎样的？请你完成下面的表格。

师生活动：学生默写，完成之后教师展示，学生互相检查纠错．预设的答案：Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅（1）函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集即二次函数图象在x 轴上方部分的自变量的取值范围．（2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根．设计意图：复习旧知识，并通过默写的形式让师生都了解是否掌握了，为本节课的学习扫清知识障碍。

问题2：求解一元二次不等式的步骤是怎样的？师生活动：学生写出步骤，教师用如下的程序框图呈现．预设的答案：设计意图：本节课重点依然是一元二次不等式的解法，学生需要借助三个“二次”的联系，获得一元二次不等式的一般性解法，从整体上把握所学内容，让学生明确不等式解法，有助于学生良好认知结构的建立和完善，并为后面知识的学习提供帮助．二、新知探究利用一元二次不等式解决实际问题例1 一家车辆制造厂引进一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x （单位：辆）与创造的价值y （单位：元）之间有如下的关系：x x y 2200202+-=．若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？问题3：这个实际问题中蕴含的不等关系是什么？求解不等式的步骤是什么？对于实际问题还需要注意什么？师生活动：学生分析题目，得出一元二次不等式，并求解。

九年级数学下册 2.5.2 二次函数与一元二次方程教案北师大版(2021学年)

九年级数学下册２．５.2 二次函数与一元二次方程教案(新版)北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学下册２.5.2 二次函数与一元二次方程教案（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改,如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步,以下为九年级数学下册2.5.2 二次函数与一元二次方程教案（新版）北师大版的全部内容。

课题：2。

5．2二次函数与一元二次方程教学目标:1.复习巩固用函数y＝ax2+bx+c的图象求方程ax2+bx+c＝0的解.2.让学生体验一元二次方程ax2+bx+c＝h的根就是二次函数y=ax2+ｂx＋ｃ与直线y=h （h是实数)图象交点的横坐标的探索过程，掌握用图象交点的方法求一元二次方程ax2+bx+c =h的近似根.３.利用图象法求一元二次方程的近似根，重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想。

教学重点与难点:重点：1。

经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2．经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程。

难点：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根并且估算。

教学过程:一、复习回顾，开辟道路二次函数ｙ=ａx２+ｂx＋ｃ的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程aｘ2+ｂx+c＝0的根有什么关系?1.若方程ax2+bｘ+c＝0的根为ｘ1=-2和x2=3,则二次函数ｙ=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是.2．抛物线ｙ=０。

5ｘ２—x+3与x轴的交点情况是（)A 、两个交点B 、一个交点Ｃ、没有交点 D 、画出图象后才能说明3.不画图象,求抛物线y ＝x ２—x -６与x 轴交点坐标．处理方式:以问题的形式引导学生思考，让学生思考并回答以上问题,在集体交流时，对于学生给出的正确答案给予肯定,不足之处给予纠正.设计意图:这一环节属于课前热身训练准备利用5分钟时间让学生尽快进入到学习新知识的准备中来.问题（1)(2）是对上节课知识内容的复习,考察学生对二次函数与一元二次方程关系的理解是否准确。

二次函数与一元二次方程,不等式教案

必修 2.3 二次函数，一元二次方程与不等式
教学设计
活动四：完成教材52页例1，例2，例3，（利用函数图像）例１求不等式0652
>+-x x 的解集
例2 求不等式01692
>+-x x 的解集
例3 求不等式03-2-2
>+x x 的解集
活动五：总结一元二次不等式的解题步骤。

（三）及时反馈，数学应用活动六、巩固训练 1. 教材53页练习1， 2，教材53页练习2 能力提升： 1.教材55页综合运用3，5
教师组织，学生完成
学生分组讨论交流，教师启发引导
最后学生复述总结
画出函数图像学生独立完成小组讨论，教师巡回指导，学生口述
体会过程，抽象数学
抽象数学，表达数学
锻炼学生作图能力，培养学生数形结合的思想
合作学习，学习方法指导，抽象数学
三、课堂小结
四、课下作业
1.整理笔记
2.完成质量检测A 学生版演，教师
巡回指导，
学生总结
数学运算，计算
能力培养
深化理解
体会数学的整体性
板书设计2.3 二次函数，一元二次方程与不等式
02
2<
+
+
>
+
+c
bx
ax
c
bx
ax或
课后
反思
按照学生认知程度层层递进，在原有知识基础上建立新知。

初中数学中考[函数]第4讲二次函数的应用与方程和不等式(教师版)

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩二次函数与一次函数及反比例函数的综合二次函数的几何变换二次函数应用二次函数与方程二次函数与不等式二次函数的实际应用一．直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为()0c ，. （2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点()2h ah bh c ++，. （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切；【方法技巧】【知识梳理】③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.（4）直线与抛物线的交点，可以联立方程来求交点，交点的个数可以通过判断联立方程的△的正负性，可能有0个交点、1个交点、2个交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，12AB x x =- 二、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；（3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.三、二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，（1）若为一般式2y ax bx c =++，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()()2y a x m b x m c n =±+±+±（2）若为顶点式()2y a x h k =-+，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()2y a x h m k n =-±+±（3）若为双根式()()12y a x x x x =--，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()()12y a x x m x x m n =-±-±±四、二次函数图象的几何变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．五、二次函数与实际应用 1、二次函数求最值的应用依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题．【注意】对二次函数的最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求，结合图像进行理解． 2、利用图像信息解决问题两种常见题型：（1）观察点的特点，验证满足二次函数的解析式及其图像，利用二次函数的性质求解；（2）由图文提供的信息，建立二次函数模型解题．【注意】获取图像信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等． 3、建立二次函数模型解决问题利用二次函数解决抛物线的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题．【注意】构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键。

专题05 二次函数与一元二次方程、不等式(解析版)

目录不等关系与不等式 ................................................................................................. 错误!未定义书签。

考点1：二次函数与一元二次方程、不等式 (2)考点2：一元二次不等式在实际问题中的应用 (9)专题05 二次函数与一元二次方程、不等式考点1：二次函数与一元二次方程、不等式知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数知识点二一元二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．知识点三二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅题型1：解不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x2＋5x－2≥0；(3)x2－4x＋5>0.解(1)不等式可化为x2－5x＋6<0.因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x 2－5x ＋6＝0有两个实数根：x 1＝2，x 2＝3. 由二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x |2<x <3}．(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，所以方程3x 2＋5x －2＝0的两实根为x 1＝－2，x 2＝13.由二次函数y ＝3x 2＋5x －2的图象(图②)，得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－2或x ≥13. (3)方程x 2－4x ＋5＝0无实数解，函数y ＝x 2－4x ＋5的图象是开口向上的抛物线，与x 轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R .变式解下列不等式： (1)4x 2－4x ＋1>0； (2)－x 2＋6x －10>0.解 (1)∵方程4x 2－4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝12.作出函数y ＝4x 2－4x ＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0， ∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x 2－6x ＋10＝0无实根， ∴原不等式的解集为∅.题型2：三个“二次”间的关系及应用例2 已知二次函数y ＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，且y >0的解集为{x |－3<x <2}． (1)求二次函数的解析式；(2)当关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R 时，求c 的取值范围．解 (1)因为y >0的解集为{x |－3<x <2}，所以－3,2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，所以⎩⎨⎧－3＋2＝－b －8a，－3×2＝－a －aba ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，所以y ＝－3x 2－3x ＋18.(2)因为a ＝－3<0，所以二次函数y ＝－3x 2＋5x ＋c 的图象开口向下，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需Δ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512. 所以当c ≤－2512时，－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R .变式已知关于x 的不等式ax 2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13<x <12. (1)求a ，c 的值；(2)解关于x 的不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0.解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两个实数根为13和12，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－5a ＝13＋12，c a ＝12×13，解得a ＝－6，c ＝－1.(2)由a ＝－6，c ＝－1知不等式ax 2＋(ac ＋2)x ＋2c ≥0可化为－6x 2＋8x －2≥0，即3x 2－4x＋1≤0，解得13≤x ≤1，所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤1.题型3：含参数的一元二次不等式的解法例3 设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0.解 (1)当a ＝0时，不等式可化为x －2>0，解得x >2，即原不等式的解集为{x |x >2}． (2)当a ≠0时，方程ax 2＋(1－2a )x －2＝0的两根分别为2和－1a .①当a <－12时，解不等式得－1a<x <2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1a<x <2； ②当a ＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；③当－12<a <0时，解不等式得2<x <－1a，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <－1a ； ④当a >0时，解不等式得x <－1a或x >2，即原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >2.变式 (1)当a ＝12时，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集； (2)若a >0，求关于x 的不等式x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0的解集．解 (1)当a ＝12时，有x 2－52x ＋1≤0，即2x 2－5x ＋2≤0，解得12≤x ≤2，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12≤x ≤2. (2)x 2－⎝⎛⎭⎫a ＋1a x ＋1≤0⇔⎝⎛⎭⎫x －1a (x －a )≤0， ①当0<a <1时，a <1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a ≤x ≤1a ； ②当a ＝1时，a ＝1a＝1，不等式的解集为{1}；③当a >1时，a >1a ，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1a ≤x ≤a . 综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a ≤x ≤1a ；当a ＝1时，不等式的解集为{1}；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a≤x ≤a .考点1：练习题1．已知集合M ＝{x |－4<x <2}，N ＝{x |x 2－x －6<0}，则M ∩N 等于( ) A ．{x |－4<x <3} B ．{x |－4<x <－2} C ．{x |－2<x <2} D ．{x |2<x <3}答案 C解析 ∵N ＝{x |－2<x <3}，M ＝{x |－4<x <2}， ∴M ∩N ＝{x |－2<x <2}，故选C.2．若0<m <1，则不等式(x －m )⎝⎛⎭⎫x －1m <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1m <x <m B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1m 或x <m C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >m 或x <1m D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m 答案 D解析 ∵0<m <1，∴1m>1>m ，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪m <x <1m ，故选D. 3．二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，如果a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( ) A ．{x |x >3或x <－2} B ．{x |x >2或x <－3} C ．{x |－2<x <3} D ．{x |－3<x <2}答案 C解析由题意知－2＋3＝－b a ，－2×3＝ca ，∴b ＝－a ，c ＝－6a ，∴不等式ax 2＋bx ＋c >0可化为ax 2－ax －6a >0，又a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0， ∴－2<x <3，故选C.4．若不等式5x 2－bx ＋c <0的解集为{x |－1<x <3}，则b ＋c 的值是( ) A ．5 B ．－5 C ．－25 D ．10 答案 B解析由题意知－1,3为方程5x 2－bx ＋c ＝0的两根， ∴－1＋3＝b 5，－3＝c5，∴b ＝10，c ＝－15，∴b ＋c ＝－5.故选B.5．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( ) A ．{m |m ≤－2或m ≥2} B ．{m |－2≤m ≤2} C ．{m |m <－2或m >2} D ．{m |－2<m <2}答案 B解析 ∵x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ， ∴Δ＝m 2－4≤0，∴－2≤m ≤2，故选B. 6．不等式x 2－4x ＋4≤0的解集是________．答案 {2}解析原不等式可化为(x －2)2≤0，∴x ＝2. 7．不等式x 2＋3x －4<0的解集为________．答案 {x |－4<x <1}解析易得方程x 2＋3x －4＝0的两根为－4,1，所以不等式x 2＋3x －4<0的解集为{x |－4<x <1}．8．关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2，则m 的取值范围是________．答案 {m |m <0}解析 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1m<x <2， ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2，且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0，∴m 的取值范围是m <0.9．已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集为B . (1)求A ∩B ；(2)若不等式x 2＋ax ＋b <0的解集为A ∩B ，求不等式ax 2＋x ＋b <0的解集．解 (1)由x 2－2x －3<0，得－1<x <3， ∴A ＝{x |－1<x <3}．由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴B ＝{x |－3<x <2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <2}．(2)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ＋b ＝0，4＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2.∴－x 2＋x －2<0，∴x 2－x ＋2>0， ∵Δ＝1－8＝－7<0，∴不等式x 2－x ＋2>0的解集为R .10．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R?解 (1)由题意知1－a <0，且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎨⎧1－a <0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式解集为R ，则Δ＝b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.11．下列四个不等式：①－x 2＋x ＋1≥0；②x 2－25x ＋5>0；③x 2＋6x ＋10>0；④2x 2－3x ＋4<1. 其中解集为R 的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 答案 C解析 ①显然不可能；②中Δ＝(－25)2－4×5>0，解集不为R ； ③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；④中不等式可化为2x 2－3x ＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C. 12．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A ．{x |0<x <2} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |－1<x <2}答案 B解析根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是{x |－2<x <1}．13．若关于x 的方程(a －2)x 2－2(a －2)x ＋1＝0无实数解，则a 的取值范围是________．答案 2≤a <3解析若a －2＝0，即a ＝2时，原方程为1＝0不合题意， ∴a ＝2满足条件，若a －2≠0，则Δ＝4(a －2)2－4(a －2)<0，解得2<a <3，综上有a 的取值范围是2≤a <3.14．已知不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对∀x ∈R 恒成立，则a 的取值范围为________．答案 {a |－1≤a ≤4}解析 x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4≥a 2－3a 恒成立，∴a 2－3a ≤4，即a 2－3a －4≤0， ∴(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4.考点2：等式性质与不等式性质知识点用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．题型1：分式不等式的解法例1 解下列不等式：(1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－4<x <52.(2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0，∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0.此不等式等价于(x －4)⎝⎛⎭⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <32或x ≥4.变式解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12， ∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12. 方法二原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3<x <－12.题型2：一元二次不等式的实际应用例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出降税后税收y (万元)与x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)．依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2.又因为0<x <10，所以0<x ≤2.即x 的取值范围为{x |0<x ≤2}．变式北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x 5万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？解 (1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意得当x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋x 5有解，等价于当x >25时，a ≥150x ＋x 6＋15有解．由于150x ＋x 6≥2150x ·x 6＝10，当且仅当150x ＝x 6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2.故当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．考点2：练习题1．不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x ≤2 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 34≤x <2 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >2或x ≤34 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥34 答案 B解析不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x－1≥0，即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x －34≥0，x －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －34≤0，x －2>0，解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪34≤x <2，故选B.2．与不等式x －32－x≥0同解的不等式是( ) A ．(x －3)(2－x )≥0B ．0<x －2≤1 C.2－x x －3≥0 D ．(x －3)(2－x )>0答案 B解析解不等式x －32－x≥0，得2<x ≤3， A ．不等式(x －3)(2－x )≥0的解是2≤x ≤3，故不正确．B ．不等式0<x －2≤1的解是2<x ≤3，故正确．C ．不等式2－x x －3≥0的解是2≤x <3，故不正确． D ．不等式(x －3)(2－x )>0的解是2<x <3，故不正确．故选B.3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}答案 C解析 x ＝1为ax －b ＝0的根，∴a －b ＝0，即a ＝b ，∵ax －b >0的解集为{x |x >1}，∴a >0，故ax ＋b x －2＝a (x ＋1)x －2>0，等价为(x ＋1)(x －2)>0.∴x >2或x <－1.4．已知不等式－x 2＋4x ≥a 2－3a 在R 上有解，则实数a 的取值范围为( )A ．{a |－1≤a ≤4}B ．{a |－1<a <4}C ．{a |a ≥4或a ≤－1}D ．{a |－4≤a ≤1} 答案 A解析由题意知，原不等式可化为－(x －2)2＋4≥a 2－3a 在R 上有解，∴a 2－3a ≤4，即(a －4)(a ＋1)≤0，∴－1≤a ≤4，故选A.5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x (单位：元)的取值范围是( )A ．{x |10≤x <16}B ．{x |12≤x <18}C ．{x |15<x <20}D ．{x |10≤x <20} 答案 C解析设这批台灯的销售单价为x 元，则[30－(x －15)×2]x >400，即x 2－30x ＋200<0，∴10<x <20，又∵x >15，∴15<x <20.故选C.6．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x ＋c >bx 的解集为________．答案 {x |x <0}解析由题意知，－1,2为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－a ，c ＝－2a 且a <0， ∴不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x－2a >－ax ， ∵a <0，即1x －2<－x ，即(x －1)2x<0， ∴x <0.7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．答案 {x |100<x <400}解析 5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.答案 80解析根据题意，得118x ＋1180x 2≥40. 移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.显然Δ>0，x 2＋10x －7 200＝0有两个实数根，即x 1＝80，x 2＝－90，然后，根据二次函数y ＝x 2＋10x －7 200的图象(图略)，得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}．在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.9．解关于x 的不等式a －x x ＋1>0(a ∈R )．解原不等式可化为x －a x ＋1<0，即(x ＋1)(x －a )<0，①当a ＝－1时，x ∈∅；②当a >－1时，{x |－1<x <a }；③当a <－1时，{x |a <x <－1}．综上，a ＝－1时，不等式的解集为∅，a >－1时，不等式的解集为{x |－1<x <a }，a <－1时，不等式的解集为{x |a <x <－1}．10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ y －(12－10)×10 000>0，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13，所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内． 11．不等式x 2－x －2x －2>0的解集为( ) A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2} 答案 A解析原不等式可化为(x －2)(x ＋1)x －2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －2≠0，∴x >－1且x ≠2.故选A. 12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －1a <x <1b C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1a 或x >1bD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1b <x <0或0<x <1a 答案 A解析原不等式可化为⎩⎨⎧1x >－b ，1x <a ，即⎩⎨⎧ bx ＋1x >0，ax －1x >0，可得⎩⎨⎧ x <－1b 或x >0，x <0或x >1a ，故不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <－1b 或x >1a . 13．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2}B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2} 答案 A解析 ∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．14．在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km/h 之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2.这次事故的主要责任方为________．答案乙车解析由题意列出不等式s 甲＝0.1x ＋0.01x 2>12，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2>10.分别求解，得x 甲<－40或x 甲>30.x 乙<－50或x 乙>40.由于x >0，从而得x 甲>30 km /h ，x 乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．。

第26章专题06二次函数与一元二次方程重难点专练(教师版)

专题06二次函数与一元二次方程重难点专练（教师版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．某同学在利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＝0）的图象时，先取自变量x 的一些值，计算出相应的函数值y ，如下表所示：接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（）A ．03x y =⎧⎨=-⎩B ．21x y =⎧⎨=-⎩C ．30x y =⎧⎨=⎩D ．43x y =⎧⎨=⎩【答案】B 【解析】【分析】除了x =2，y =﹣1，其它四组对应值可能为抛物线的对称点，由于表格中有一组数据计算错误，从而可判断x =2，y =﹣1错误．【详解】由表中数据得x =0和x =4时，y =3；x =1和x =3时，y =0，它们为抛物线上的对称点，而表格中有一组数据计算错误，所以只有x =2时y =﹣1错误，因为x=2为对称轴，则其所对的纵坐标必为最值，题中的-1不符合要求．故选B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 2．若方程x 2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，则m 的取值范围是（） A ．4m <- B ．4m >-C ．4m <D ．4m >【答案】A 【分析】将方程解的条件化为函数的取值，从而求出m 的取值范围．【详解】∵方程x 2+（m+2）x+m+5=0的一个根大于1，另一个根小于1，令f （x ）=x 2+（m+2）x+m+5，则f （1）=1+m+2+m+5＜0，解得，m ＜-4．故选A ．【点睛】本题考查了函数与方程之间的互相转化，属于基础题． 3．抛物线()21+5y x =--与y 轴的交点坐标是（）A ．（0，4）B ．（1，4）C ．（0，5）D ．（4，0）【答案】A 【分析】根据y 轴上点的坐标特征把x ＝0代入y ＝-（x−1）2＋5，然后计算出对应的y 的值，即可确定抛物线与y 轴的交点坐标．【详解】把x ＝0代入得y ＝-（-1）2+5，即y ＝4，∵抛物线()21+5y x =--与y 轴的交点坐标是（0，4）．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）图象上点的坐标满足其解析式．4．如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）经过点()2,0，对称轴为直线1x =-．下列结论：①0abc >；①80a c +=；①对于任意实数m ，总有()()2110a m b m -++≤；①对于a 的每一个确定值，若一元二次方程2ax bx c p ++=（P 为常数，且0P ＞）的根为整数，则P 的值有且只有三个，其中正确的结论是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵抛物线开口向下， a ＜0；∵抛物线的对称轴为直线x 2ba=-=-1＜0， ∵b ＜0；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∵c ＞0，∵abc ＞0，故∵正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝-1， ∵2ba-=-1， ∵b ＝2a ， ∵经过点()2,0∵当x ＝2时，y ＝4a +2b +c ＝0， ∵4a +4a +c ＝0， ∵8a +c ＝0，故∵正确；∵当x ＝-1时，y 最大，即对于任意实数m 有a -b +c ≥am 2+bm +c ， ∵am 2+bm ≤a -b ，∵()()2110a m b m -++≤故∵正确；∵抛物线的对称轴是直线x ＝-1，与x 轴的一个交点是（2，0）， ∵抛物线与x 轴的另个交点是（﹣4，0）， ∵b ＝2a ，8a +c ＝0∵y ＝ax 2+2ax ﹣8a ＝a （x +1）2﹣9a （a ＜0）， ∵顶点坐标为（-1，﹣9a ），由图象得当0＜y ≤﹣9a 时，﹣4＜x ＜2，其中x 为整数时，x ＝-3，-2，-1，0，1，又∵x ＝-3与x ＝1时，关于直线x ＝-1轴对称 ∵存在P 使得根为x ＝-3与x ＝1；又∵x ＝-2与x ＝0时，关于直线x ＝-1轴对称 ∵存在P 使得根为x ＝-2与x ＝0；当x ＝-1时，直线y ＝p 恰好过抛物线顶点．存在P 使得根为x ＝-1所以P 值可以有3个．故∵正确；故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，熟知二次函数的图象与系数的关系、x 轴上点的坐标特点等知识是解答此题的关键． 5．如图，抛物线21(6)22y x =--与x 轴交于点A B 、，把抛物线在x 轴及其下方的部分记作1C ，将1C 向左平移得到22,C C 与x 轴交于点B O 、，若直线12y x m =+与12C C 、共有3个不同的交点，则m 的取值范围是（）A ．32m -≤<-B ．4128m -<<- C ．52m -≤<- D ．2528m -<<- 【答案】D 【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出C 2解析式，分别求出直线12y x m =+与抛物线C 2相切时m 的值以及直线12y x m =+过点B 时m 的值，结合图形即可得到答案．【详解】解：∵抛物线211(6)2(4)(8)22y x x x =--=--与x 轴交于点A 、B ， ∵B （4，0），A （8，0）． ∵抛物线向左平移4个单位长度． ∵平移后解析式21(2)22y x =--．当直线12y x m =+过B 点，有2个交点， ∵1402m ⨯+=．解得m =-2．当直线12y x m =+与抛物线C 2相切时，有2个交点， ∵211(2)222x m x +=--．整理，得x 2-5x -2m =0． ∵∵=25+8m =0． ∵m =258-．如图，∵若直线12y x m =+与C 1、C 2共有3个不同的交点， ∵258-＜m ＜-2．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线与x 轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．6．已知抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >．有下列结论：①0abc >；①关于x 的方程230ax bx c ++-=有两个不等的实数根；①7a b c ++>．其中，正确结论的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可【详解】∵抛物线2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）经过点(1,1),(0,1)--，当2x =-时，与其对应的函数值1y >． ∵c =1＞0，a -b +c = -1,4a -2b +c ＞1， ∵a -b = -2,2a -b ＞0， ∵2a -a -2＞0， ∵a ＞2＞0， ∵b =a +2＞0， ∵abc ＞0，∵230ax bx c ++-=,∵∵=24(3)b a c --=28b a +＞0,∵230ax bx c ++-=有两个不等的实数根； ∵b =a +2，a ＞2，c =1， ∵a +b +c =a +a +2+1=2a +3， ∵a ＞2， ∵2a ＞4， ∵2a +3＞4+3＞7，故选D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．7．将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（）A ．214-或3- B ．134-或3- C ．214或3- D ．134或3- 【答案】A 【分析】由二次函数解析式2y x 2x 3=-++，可求与x 轴的两个交点A 、B ，直线y x b =+表示的图像可看做是直线y x =的图像平移b 个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线y x =经过B 点时，恰与所给图像有三个交点，故将B 点坐标代入即可求解；当平移直线y x =经过C 点时，恰与所给图像有三个交点，即直线y x b =+与函数2y x 2x 3=-++关于x 轴对称的函数223y x x =--图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．【详解】解：由2y x 2x 3=-++知，当0y =时，即2230x x -++=解得：121,3x x =-=()()1,0,3,0A B ∴-作函数y x =的图像并平移至过点B 时，恰与所给图像有三个交点，此时有：03b =+3b ∴=-平移图像至过点C 时，恰与所给图像有三个交点，即当13x -≤≤时，只有一个交点当13x -≤≤的函数图像由2y x 2x 3=-++的图像关于x 轴对称得到∴当13x -≤≤时对应的解析式为223y x x =--即{223y x by x x =+=--，整理得：2330x x b ---=()()234132140b b ∴∆=--⨯⨯--=+= 214b ∴=-综上所述3b =-或214- 故答案是：A ．【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．8．已知二次函数1y ＝a 2x +ax ﹣1，2y ＝2x +bx +1，令h ＝b ﹣a ，（） A ．若h ＝1，a ＜1，则2y ＞1y B ．若h ＝2，a ＜12，则2y ＞1y C ．若h ＝3，a ＜0，则2y ＞1y D ．若h ＝4，a ＜﹣12，则2y ＞1y【答案】B 【分析】先利用2y 减去y 1，整理，然后由二次函数的二次项系数及二次函数图象与x 轴的交点个数与对应的一元二次方程判别式的关系，可得1﹣a ＞0，∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＜0，据此对各个选项计算分析即可．【详解】解：2y ﹣1y ＝（1﹣a ）2x +（b ﹣a ）x +2，由2y ＞y 1得2y ﹣1y ＞0，∵1﹣a ＞5，∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＜0，A 、若h ＝1，a ＜1，则b ﹣a ＝1，1﹣a ＞0∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝1﹣8（1﹣a ）＝﹣7+8a ，无法判断∵与0的大小关系, 故A 错误； B 、若 h ＝2，a ＜12，则b ﹣a ＝2，8a ＜4, ∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝4﹣8（1﹣a ）＝﹣4+8a ＜0，故B 正确；C 、若h ＝3，则b ﹣a ＝3，a ＜0,∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝9﹣8（1﹣a ）＝1+8a ，无法判断∵与0的大小关系, 故C 错误； D 、若h ＝4，a ＜﹣12，则b ﹣a ＝4，1﹣a ＞32, ∵∵＝2()b a -﹣8（1﹣a ）＝16﹣8（1﹣a ）＝8+8a ＜4，无法判断∵与0的大小关系, 故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活运用根的判别式和不等式的性质是解题的关键．9．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y <．则下列结论中，正确的是（）①0abc <；①2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；①203m n +<-． A ．①① B ．①①①C ．①①D ．①①【答案】B 【分析】由表知，当x =0和1时，函数值均为2，从而可得关于a 、b 、c 的方程组，可得a 与b 的关系及c 的值，再当12x =-时，与其对应的函数值0y <，可得关系a 的不等式，可判断a 的符号且可得a 的取值范围，从而可判断b 的符号，因而可对∵作出判断；根据抛物线的对称性，当x =-2和x =3时，其函数值相等，从而可对∵作出判断；根据抛物线的对称性，当x =-1和x =2时，其函数值相等，即n =m ，再根据n 的值及a 的取值范围，即可对∵作出判断．【详解】由表得：22c a b c =⎧⎨++=⎩ ，即2b ac =-⎧⎨=⎩∵22y ax ax =-+当12x =-时，与其对应的函数值0y <即112042a a ++< ∵83a <-∵b >0 ∵abc <0 故∵正确 ∵1222b a a a --=-= 即抛物线的对称轴为直线12x = ∵11(2)322--=- ∵根据抛物线的对称性，当x =-2和x =3时，其函数值相等且为t 表明方程2ax bx c t ++=的两个根分别为x =-2和x =3 故∵正确 ∵11(1)222--=- ∵根据抛物线的对称性，当x =-1和x =2时，其函数值相等，即n =m 当x =-1时，n =a +a +2=2a +2 ∵n +m =2n =4a +4 ∵83a <- ∵n +m 203<-故∵正确故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，难点是∵和∵的判断，关键是抛物线的对称性及a 的取值范围．10．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y <．有以下结论：①0abc <；①2-和3是关于x的方程2ax bx c t ++=的两个根；①83a <-；①203m n +>-．其中，正确结论的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D 【分析】将（0，2），（1，2）代入y ＝ax 2+bx +c 得2b ac =-⎧⎨=⎩，可得二次函数为：y ＝ax 2﹣ax +2，根据当12x =-时，对应的函数值y ＜0，有a 83-＜，b 83＞，即得a ＜0，b ＞0，c ＞0，故∵∵正确；由抛物线过（0，2），（1，2），得抛物线对称轴为x 12=，由抛物线过（-2，t ）而得必经过（3，t ），关于x 的方程ax 2+bx +c ＝t 的实数根为2-和3，故∵正确；由m ＝2a +2，n ＝2a +2，结合a 83-＜，可得m +n 203-＜，故∵不正确；【详解】解：将（0，2），（1，2）代入y ＝ax 2+bx +c 得：22c a b c =⎧⎨=++⎩，解得2b ac =-⎧⎨=⎩， ∵二次函数为：y ＝ax 2﹣ax +2， ∵当12x =-时，对应的函数值y ＜0，∵1412a +a +2＜0，∵a83-＜，∵﹣a83＞，即b83＞，∵a＜0，b＞0，c＞0，∵abc＜0，故∵∵正确；∵抛物线过（0，2），（1，2），∵抛物线对称轴为x12 =，∵抛物线过（-2，t），∵根据对称性：抛物线过经过（3，t），∵关于x的方程ax2+bx+c＝t的实数根为2-和3，故∵正确；∵x＝﹣1时y＝m，x＝2时y＝n，∵m＝a+a+2＝2a+2，n＝4a﹣2a+2＝2a+2，∵m+n＝4a+4，∵a83-＜，∵m+n203-＜，故∵不正确，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，题目综合性较强，解题的关键是熟练掌握二次函数基本性质及图象特征，根据已知列方程或不等式．二、填空题11．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是_______.【答案】（0，2）【分析】令x=0求出y值，即可得答案.【详解】∵当x＝0时，y＝2，∵抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．故答案为：（0，2）【点睛】此题考查了二次函数与x轴、y轴的交点坐标，当x=0时，求得二次函数与y轴的交点，当y=0时，求得二次函数与x 轴的交点.12．二次函数y ＝x 2x y 轴的交点坐标是_____．【答案】（0．【分析】根据图象与y 轴的相交的特点可求出坐标．【详解】由图象与y 轴相交则x ＝0，代入得：y∵与y 轴交点坐标是（0；故答案为（0）．【点睛】考查了图象与坐标轴相交的特点，一元二次方程的解，是基础题． 13．已知抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在坐标轴上，则k ＝______．【答案】3，﹣9，﹣3 【分析】由于抛物线的顶点在坐标轴上，故应分在x 轴上与y 轴上两种情况进行讨论．【详解】解：当抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在x 轴上时，∵＝0，即∵＝[－（k+3）]2﹣4×9＝0，解得k ＝3或k ＝﹣9；当抛物线y ＝x 2﹣（k+3）x+9的顶点在y 轴上时，x ＝3022bk a ，解得k ＝﹣3．故答案为：3，﹣9，﹣3．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 14．如图，一段抛物线：(2)(02)y x x x =--≤≤记为1C ，它与x 轴交于点1,O A ；将1C 绕点1A 旋转180︒得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180︒得3C ，交x 轴于点3A ⋯如此进行下去，则2020C 的顶点坐标是_______．【答案】（4039，-1）【分析】，当n 时偶数时，抛物线C n 顶点纵坐标为：-1；横坐标的表达式为：2n -1，当n=2020时，对应的横坐标为：2×2020-1=4039，即可求解．【详解】解：(2)(02)y x x x =--≤≤，令 y=0，则x=0或2， ∵A 1（2，0），从点O 到点A 2是一个完整周期，OA 1=2，故：OA 2=4，当n 时偶数时，抛物线C n 顶点纵坐标为：-1；抛物线C n 横坐标的表达式为：2n -1，当n=2020时，对应的横坐标为：2×2020-1=4039，故答案为：（4039，-1）．【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到函数与坐标轴交点、图形旋转，关键是通过找规律的方式确定C 2020的位置．15．抛物线22+31y x x =--与x 轴的交点坐标是__________．【答案】（12，0）或（1，0）【分析】根据抛物线与x 轴的交点坐标特点，令y =0求解x 的值，即可求得坐标．【详解】∵x 轴上点的纵坐标为0， ∵−2x 2+3x −1=0，解得：x 1=12，x 2=1， ∵抛物线y =−2x 2+3x −1与x 轴的交点坐标是（12，0）或（1，0），故答案为：（12，0）或（1，0）．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点问题，熟知x 轴上点的坐标特点是解答此题的关键． 16．己知抛物线()229y x a x =-++的顶点在x 轴上，则a =__________．【答案】4或－8 【分析】接利用二次函数的性质，得出∵＝b 2−4ac ＝0，进而得出答案．【详解】∵抛物线y ＝x 2−（a ＋2）x ＋9的顶点在x 轴上， ∵∵＝b 2−4ac ＝[−（a ＋2）]2−36＝（a ＋2）2−36＝0，解得：a ＝4或−8．故答案为：4或−8．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确得出判别式的符号是解题关键． 17．在平面直角坐标系中，已知抛物线2222y x tx t t =-+-++．（1）若该抛物线过原点，则t 的值为________．（2）已知点(4,2)A --与点(2,2)B -，若该抛物线与线段AB 只有一个交点，则t 的范围是__．【答案】1-或2 43,05t t -≤<-<≤ 【分析】(1)把（0，0）代入抛物线解析式即可；(2) 把点(4,2)A --与点(2,2)B -分别代入解析式，求出t 的值,再根据抛物线开口确定t 的范围．【详解】解：(1) 把（0，0）代入抛物线2222y x tx t t =-+-++得，202t t =-++，解得，11t =-，22t =；故答案为：1-或2(2) 由解析式可知抛物线的对称轴是直线x t =；把点(4,2)A --代入解析式得，221682t t t -=---++，解得，13t =-，24t =-；当13t =-时，抛物线与线段刚好有两个交点(4,2)--和(2,2)--，当24t =-时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是43t -≤<-；把点(2,2)B -代入解析式得，22442t t t -=-+-++，解得，10t =，25t =；当10t =时，抛物线与线段刚好有两个交点(2,2)--和(2,2)-，当25t =时，抛物线与线段只有一个交点，故t 的范围是05t <≤；故答案为：43,05t t -≤<-<≤ 【点睛】本题考查了二次函数的性质和它与一元二次方程的联系，解题关键是熟练运用二次函数和一元二次方程的知识，准确进行计算和正确进行推理．18．已知二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(3,0)与(1,0)-，关于x 的方程20(0)ax bx c m m +++=>有两个根，其中一个根是5，若关于x 的方程20(0)ax bx c n n m +++=<<有两个整数根，则这两个整数根分别是______．【答案】4或-2 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x 的方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）的两个整数根，从而可以解答本题．【详解】∵二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(3,0)与(1,0)-，∵ax 2+bx +c =0的两个根为3和-1，函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =1， ∵关于x 的方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）有两个根，∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）的两个根为函数y =ax 2+bx +c 与直线y =-m 的两个交点的横坐标，∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）一个根是5，函数y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =1， ∵方程ax 2+bx +c +m =0（m ＞0）的另一个根为-3，函数y =ax 2+bx +c 的图象开口向下， ∵方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）两个根是函数y =ax 2+bx +c 与直线y =-n 的两个交点的横坐标，∵方程ax 2+bx +c +n =0 （0＜n ＜m ）两个根，一个在在5和3之间，另一个在-3和-1之间， ∵关于x 的方程20(0)ax bx c n n m +++=<<的两个整数根是4或-2，故答案为： 4或-2．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．19．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如表：且当12x =-时，与其对应的函数值0y >，有下列结论：①0abc <；①2-和3是关于x的方程2ax bx c q ++=的两个根；①当0x >时，y 随x 的增大而增大；①43m n +>．其中所有正确结论的序号是_____．【答案】∵∵ 【分析】根据表格信息和二次函数性质逐条判断即可．【详解】解：∵由表格可知函数的对称轴为：x ＝12（-1+2）＝12，即122b a -=，=-b a ， ∵ab ＜0， ∵c ＝﹣2＜0， ∵abc ＞0，故∵错误； ∵∵函数的对称轴为：x ＝12，点（﹣2，q ）关于对称轴的对称点为（3，q ）， ∵﹣2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c ＝q 的两个根，故∵正确； ∵由∵得，b ＝﹣a ，当x ＝﹣12时，y ＝14a ﹣12b ﹣2＞0，解得：3a ﹣8＞0，∵a ＞83，抛物线的对称轴为直线12x =，当12x >时，y 随x 的增大而增大；当102x <<时，y 随x 的增大而减小；故∵错误；∵当1x =-时，m ＝a ﹣b ﹣2，当1x =时，n ＝a +b ﹣2， ∵m +n ＝2a ﹣4 ∵a ＞83， ∵m +n ＞43，故∵正确；故答案为∵∵．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．20．关于抛物线221(0)y ax x a =-+≠，给出下列结论：①当0a <时，抛物线与直线22y x =+没有交点；①若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间；①若抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），则1a ．其中正确结论的序号是________．【答案】∵∵ 【分析】先联立方程组，得到2410ax x --=，根据判别式即可得到结论；∵先求出a ＜1，分两种情况：当0＜a ＜1时，当a ＜0时，进行讨论即可；∵求出抛物线221(0)y ax x a =-+≠的顶点坐标为：11a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，，进而即可求解．【详解】解：联立22122y ax x y x ⎧=-+⎨=+⎩，得2410ax x --=，∵∆=()()2441164a a --⨯-⨯=+，当0a <时，∆有可能≥0， ∵抛物线与直线22y x =+有可能有交点，故∵错误；抛物线221(0)y ax x a =-+≠的对称轴为：直线x =1a，若抛物线与x 轴有两个交点，则∆=()2240a -->，解得：a ＜1， ∵当0＜a ＜1时，则1a ＞1，此时，x ＜1a，y 随x 的增大而减小，又∵x =0时，y =1＞0，x =1时，y =a -1＜0，∵抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间， ∵当a ＜0时，则1a ＜0，此时，x ＞1a，y 随x 的增大而减小，又∵x =0时，y =1＞0，x =1时，y =a -1＜0，∵抛物线有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，综上所述：若抛物线与x 轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0，0）与（1，0）之间，故∵正确；抛物线221(0)y ax x a =-+≠的顶点坐标为：11a a a -⎛⎫⎪⎝⎭，，∵111a a a-=+， ∵抛物线的顶点所在直线解析式为：x +y =1，即：y =-x +1，∵抛物线的顶点在点（0，0），（2，0），（0，2）所围成的三角形区域内（包括边界），∵1010a a a⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，解得：1a ，故∵正确．故答案是：∵∵．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数与二次方程的联系，熟练应用判别式判断一元二次方程根的情况，是解题的关键．21．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ＞0）的对称轴是直线x ＝1，图象与x 轴交于点（－1，0）．下列四个结论： ①方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为121,3x x =-=； ①3a ＋c ＝0；①对于任意实数t ，总有2at bt a b ++；①不等式2()0ax b k x c k +-+-（k 为常数）的解集为1x <-或3kx a>+．其中正确的结论是_________（填写序号）．【答案】∵∵∵ 【分析】由抛物线与x 轴的交点坐标和对称轴对称即可判断∵；根据图象与x 轴交点的坐标和对称轴即可判断∵；先根据题意确定抛物线的最小值为a +b +c ，再由抛物线的性质可得at 2+bt +c ≥a +b +c 恒成立，即可判断∵；由∵得c =-3a ，b =-2a ，即y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k ，再由图象与x 轴交于点（－1，0）和对称轴x =1，可得y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 与x 轴的另一交点，再分情况讨论即可判断∵．【详解】解：∵抛钱与x 轴交于点（-1，0），且抛物线的对称轴：x =1， ∵抛物线与x 轴的另一交点为（3，0），∵方程ax 2+bx +c =0的解即就是抛物线与x 轴交点的横坐标：x 1=-1，x 2=3，则∵正确；将（-1，0）代入抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 得：a -b +c =0 又∵抛物线的对称轴x =2ba-=1，即：2a +b =0， ∵3a +c =0，则∵正确； ∵抛物线的对称轴x =1且a >0， ∵抛物线开口向上， ∵物物线的最小值为a +b +c ，∵对任意t ，at 2+bt +c ≥a +b +c ，即at 2+b ≥a +b ，则故∵正确；由∵可得：c =-3a ，b =-2a ，∵y =ax 2+（b -k ）x +c -k =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 对称轴(2)122a k kx a a-+=-=+当x =-1时，y =0，设y =ax 2-（2a +k ）x -3a -k 与x 轴另一交点横坐标为t ，则1122t k a -=+得：3k t a=+ 当3k a +<-1，即k <-4a 时， ax 2-（2a +k ）x -3a -k ≥0的解集为：x ≤3ka+或x ≥-1，当k ≥-4a 时，ax 2-（2a +k ）x -3a -k ≥0的解集为：x ≥3ka+或x ≤-1，则∵错误．故填：∵∵∵．【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的应用，正确理解题意、掌握二次函数与一元二次方程和不等式的关系成为解答本题的关键．22．若关于x 的函数()()22454y a x a x a =---+的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为_________．【答案】25208，，【分析】根据函数这一条件分两种情况讨论：一次函数和二次函数，又因为与纵轴必有一个交点，再根据与坐标轴有两个交点分情况讨论，即可得出结论．【详解】解：∵当a=2时，原函数解析式为 y=-3x+8 此时b=8≠0故一次函数图象不过原点，则该函数与坐标轴有两个交点∵当a≠2时，原函数为二次函数故该函数一定与y 轴有一个交点，且仅有一个交点，其坐标为(0，4a) 当该交点是原点时，a=0，此时函数解析式为225=-+y x x方程2250x x -+=的判别式∵=25＞0故此时函数图象与x 轴有两个交点，其中一个点是原点，即与坐标轴有两个交点当该交点不是原点时，a≠0因为该函数图象与坐标轴有两个交点所以该函数与x 轴有且仅有一个交点则方程()()224540a x a x a ---+=有两个相等的实数根，可得∵=()()2454?2?40a a a ---= 整理，得 8a -25=0 解，得 a=258综上可知a=2，0，258．故答案为：2,0，258．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的性质，分类讨论的思想解决本题，需要注意两个词：∵函数，∵与坐标轴的交点．23．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数），0a b c ++=，下列四个结论： ①若抛物线经过点()3,0-，则2b a =；①若b c =，则方程20cx bx a ++=一定有根2x =-； ①抛物线与x 轴一定有两个不同的公共点；①点()11,A x y ，()22,B x y 在抛物线上，若0a c <<，则当121x x <<时，12y y >．其中正确的是__________（填写序号）．【答案】∵∵∵【分析】∵将()3,0-代入解析式即可判定；∵由b =c ，可得a =-2c ，cx 2+bx +a =0可得cx 2+cx -2c =0，则原方程可化为x 2+x -2=0，则一定有根x =-2；∵当b 2-4ac ≤0时，图像与x 轴少于两个公共点，只有一个关于a ，b ，c 的方程，故存在a 、b 、c 使b 2-4ac ≤0≤0，故∵错误；∵若0<a <c ，则有b <0且|b |>|c |>|a |，|b |>2|a |，所以对称轴12ba->，因为a >0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x 1<x 2<1时，y 1>y 2，故∵正确．【详解】解：∵抛物线经过点()3,0-∵()2033a b c =--+，即9a -3b +c =0 ∵0a b c ++= ∵b =2a 故∵正确；∵b =c ，0a b c ++= ∵a =-2c ， ∵cx 2+bx +a =0∵cx 2+cx -2c =0，即x 2+x -2=0 ∵一定有根x =-2 故∵正确；当b 2-4ac ≤0时，图像与x 轴少于两个公共点，只有一个关于a 、b 、c 的方程，故存在a 、b 、c 使b 2-4ac ≤0，故∵错误；若0<a <c ，则有b <0且|b |>|c |>|a |，|b |>2|a |，所以对称轴12ba->，因为a >0在对称轴左侧，函数单调递减，所以当x 1<x 2<1时，y 1>y 2，故∵正确．故填：∵∵∵．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二元一次方程，灵活运用二次函数的图像与性质成为解答本题的关键．三、解答题24．已知:如图，反比例函数的图象经过点A 、P ，点A(6,43)，点P 的横坐标是2．抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)经过坐标原点，且与x 轴交于点B ，顶点为P ．求:（1）反比例函数的解析式；（2）抛物线的表达式及B 点坐标．【答案】(1) 反比例函数的解析式为：y=8x；(2) y=﹣（x﹣2）2+4，B点的坐标为：（4，0）．【解析】【分析】（1）设反比例函数的解析式为：y=kx ，把点A（6，43）代入，得到关于k的一元一次方程，解之得到k的值，即可得到答案；（2）把x=2代入（1）的解析式，得到点P的坐标，根据抛物线过坐标原点，利用待定系数法，求得抛物线的表达式，把y=0代入抛物线的表达式，解之即可得到答案．【详解】（1）设反比例函数的解析式为：y=kx ，把点A（6，43）代入得：43=k6，解得：k=8，即反比例函数的解析式为：y=8x；（2）把x=2代入y=8x 得：y=82=4，即点P的坐标为：（2，4），设抛物线的表达式为：y=a（x﹣2）2+4，把点O（0，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，即抛物线的表达式为：y=﹣（x﹣2）2+4，把y=0代入得：﹣（x﹣2）2+4=0，解得：x1=0，x2=4，即B点的坐标为：（4，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x 轴的交点．解题的关键：（1）正确掌握待定系数法求反比例函数解析式；（2）正确掌握待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线解析式，求抛物线与x轴的交点．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣23x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，求tan①CEB 的值．【答案】（1）y ＝﹣23x 2﹣43x +2，顶点D 的坐标为（﹣1，83）；（2）tan∵CEB 的值是23．【详解】（1）∵抛物线y ＝﹣23x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣3，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，2），∵()()2233032b c c ⎧-⨯-+⨯-+=⎪⎨⎪=⎩，得432b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∵y ＝﹣23x 2﹣43x+2＝()228133x -++， ∵抛物线顶点D 的坐标为（﹣1，83），即该抛物线的解析式为y ＝﹣23x 2﹣43x+2，顶点D 的坐标为（﹣1，83）；（2）∵y ＝()228133x -++，∵该抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，∵点E 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点C （0，2）， ∵点E 的坐标为（﹣2，2），当y ＝0时，0＝()228133x -++，得x 1＝﹣3，x 2＝1， ∵点B 的坐标为（1，0），设直线BE 的函数解析式为y ＝kx +n ，022k n k n +=⎧⎨-+=⎩，得2323k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∵直线BE 的函数解析式为y ＝﹣23x +23，当x ＝0时，y ＝23，设直线BE 与y 轴交于点F ，则点F 的坐标为（0，23）， ∵OF ＝23， ∵点C （0，2），点E （﹣2，2）， ∵OC ＝2，CE ＝2，∵CF ＝2﹣23＝43， ∵tan∵CEF ＝42323CE CF ==，即tan∵CEB 的值是23．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 26．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点()4,5A 与点()0,3B -，且与x 轴交于点C 、D ．（1）求该二次函数的表达式，以及与x 轴的交点坐标．（2）若点(),Q m n 在该二次函数图象上， ①求n 的最小值；①若点Q 到x 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m 的取值范围．【答案】（1）223y x x =--，()1,0-C ，()3,0D ；（2）∵-4，∵10m <<或21m <<【分析】（1）用待定系数法求函数的表达式，进而求解；（2）∵由2223(1)44y x x x =--=---，即可求解；∵令2|||23|3y x x =--=，解得2x =或1 【详解】（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得51643b cc =++⎧⎨=-⎩，解得23b c =-⎧⎨=-⎩，故抛物线的表达式为223y x x =--，令2230y x x =--=，解得3x =或1-，故抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)、(1,0)-；（2）∵2223(1)44y x x x =--=---，故n 的最小值为4-；∵令2|||23|3y x x =--=，解得x =0、2x =或1故m 的取值范围的10m <<或21m <<．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．27．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数248(0)y mx mx m =-+-≠．（1）若0m >，当14x -≤≤时，函数图象的最低点M 的纵坐标为-18，求m 的值；（2）若该函数图象上有两点()()1122,,A x y B x y ，设12n x n ≤≤+，当26x ≥时，总有12y y ≤，求n 的取值范围；（3）已知(4,0)A -和(6,0)B ，若抛物线与线段AB 只有一个公共点，求m 的取值范围．【答案】（1）m =2;（2）2≤n ≤ 4;（3）当m =2或2134m --≤≤时抛物线与线段AB 有一个交点．【分析】（1）根据m ＞0，判断函数图像的开口向下，再根据对称轴：4222b m x a m=-=-=-，那么依据题意可知当x =-1时，y =-18，则1848m m -=---，解之即可得到答案；（2）因为当26x ≥时，总有12y y ≤，那么根据函数的增减性可得当x ＞2时y 随x 的增大而增大，根据题意判断A 、B 两点的位置得到n ≥-2或n +2≤6，解得:-2≤n ≤ 4; （3）物线与线段有一个交点，且对称轴x = 2,-mx 2+ 4mx -8=0，当∵=0时，抛物线顶点在线段上，解得: m = 2;又因为抛物线过点(0,-8)，且对称轴x =2，那么点B (6，0)关于x =2的对称点为M (-2,0)，抛物线仅在线段AM 上有一个交点，根据当x =-4时，y ≥0，当x =-2时，y <0，即可解得:2134m --≤≤ ，即可得到答案．【详解】解：（1）∵m ＞0 ∵-m ＜0，∵抛物线开口向下，∵14x -≤≤，且对称轴4222b m x a m=-=-=- ∵当x =-1时，y =-18，则1848m m -=---解得:m =2; （2）∵当26x ≥时，总有12y y ≤， ∵当x ＞2时y 随x 的增大而增大，如图，x =6,关于x =2的对称的直线为x =-2,过交点P 作x 轴的平行线， ∵26x ≥∵点B 在x=6右侧，∵当26x ≥时，总有12y y ≤， ∵点()11,A x y 在x =-2与x =6之间， n ≥-2或n +2≤6 解得:-2≤n ≤ 4;（3）∵抛物线与线段有一个交点，且对称轴x = 2,令-mx 2+ 4mx -8=0，当∵=0时，抛物线顶点在线段上，解得: m = 2；又∵抛物线过点(0,-8)，且对称轴x =2，如图，点B (6，0)关于x =2的对称点为M (-2,0)，抛物线仅在线段AM 上有一个交点，当x =―4时，y ≥0，当x =-2时，y <0，解得:2134m --≤≤ 综上所述:当m =2或2134m --≤≤时抛物线与线段AB 有一个交点．【点睛】本题考查了二次函数的性质，函数的最值、交点问题等知识，注意分类讨论思想和方程思想的运用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．28．已知二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，且经过点30,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求b 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若二次函数2y ax bx c =++在13x ≤≤时，y 的最大值为1，求a 的值；（3）将线段AB 向右平移2个单位得到线段A B ''．若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）21(0)b a a =-->；（2）56；（3）1344a ≤≤ 【分析】（1）利用待定系数法将点A 、B 的坐标代入即可（2）根据抛物线图像分析得在13x ≤≤范围内，y 的最大值只可能在1x =或3x =处取得，进行分类讨论∵若12y y <时，∵若12y y =，∵12y y >，计算即可（3）先利用待定系数法写出直线AB 的解析式，再写出平移后的解析式，若线段A B ''与抛物线241y ax bx c a =+++-仅有一个交点，即方程。

二次函数与方程(组)或不等式知识讲解

二次函数与方程（组）或不等式知识讲
解
知识讲解
（1）最大值或最小值的求法
第一步确定a的符号：a>0有最小值，a<0有最大值；第二步求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值。

（2）y轴与抛物线y=ax^2+bx+c的交点为（0，c）。

（3）与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax^2+bx+c有且只有一个交点（h，ah^2+bh+c）。

（4）抛物线与x轴的交点。

二次函数y=ax^2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个实数根．抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点△>0抛物线与x轴相交。

②有一个交点（顶点在x轴上）△=0抛物线与x轴相切；
③没有交点△<0抛物线与x轴相离。

（5）平行于x轴的直线与抛物线的交点。

同（4）一样可能有0个交点，1个交点，2个交点．当
有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax^2+bx+c=k的两个实数根。

（6）一次函数y=kx+n（k≠0）的图像L与二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像G的交点，由方程组y=kx+n和y=ax^2+bx+c的解的数目确定：①当方程组有两组不同的解时L与G有两个交点；②方程组只有一组解时L与G只有一个交点；③方程组无解时L与G没有交点．
（7）利用函数图像求不等式的解集，先观察图像，找出抛物线与x轴的交点，•再根据交点坐标写出不等式的解集．注意：观察图像时不要看漏了其中的部分。

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二次函数与方程（组）
1．如图，已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点．点P 在抛物线上且在x 轴上方，15PBC S =△，求P 点坐标．
【答案】解：作//PD y 轴交BC 延长线于D ，如图，
当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，则(3,0)B ，当0x =时，2233y x x =--=-，则(0,3)C -，设直线BC 的解析式为y kx b =+，把(3,0)B ，(0,3)C -代入得30
3k b b +=⎧⎨=-⎩，
解得1
3k b =⎧⎨=-⎩
，
∴直线BC 的解析式为3y x =-；
设2(,23)P x x x --，则(,3)D x x -，
2223(3)3PD x x x x x ∴=----=-，
21
3(3)2
PBC PBD PCD S S S x x ∆∆∆=-=⨯⨯-，
∴21
3(3)152
x x ⨯⨯-=，解得12x =-，25x =，
P ∴点坐标为(2,5)-或(5,12)．
2．已知抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，点P 在抛物线上，且在第四象限，若3PBC S =△，求P 点坐标．
【答案】易得()30B ，
，()03C -，，直线BC ：3y x =- 设()223P x x x --，，作PH x ⊥轴交BC 于D 则()223233PD x x x x x =----=-+
∵()
21
3332
PBC S x x =⨯⨯-+=△
∴2320x x -+= ∴()14P -，
或()23-， 3．如图，抛物线257
266
y x x =-++与x 轴负半轴交于A 点，与y 轴交于B 点，点H 在抛物
线上，BH 交x 轴于M 点，若MBA BAM ∠=∠，求H 点的坐标．
【答案】令257
2066
x x -++=，可得257120x x --=，()()51210x x -+=
∴()10A -，
，()02B ，作MH AB ⊥于H
则:MH
13
24y x =-+
所以302M ⎛⎫
⎪⎝⎭，所以:BH 4
23
y x =-+
联立242357266y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩
解得10x =，23x = 所以()32H -，
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，直线()0x m m =＞，直线()0x n n =＞（m n ＜）分别交线段BC 于N 点、H 点，交抛物线于M 点，Q 点，当NH MQ ∥时，求m n +的值．
【答案】解：在223y x x =--中，令0x =，则3y =-，即C 的坐标是(0,3)-，3OC =，在223y x x =--中，令0y =，则2230x x --=，解得：1x =-或3，则A 的坐标是(1,0)-，B 的坐标是(3,0)，3OB =，则OB OC =．作QL MN ⊥于点L ．
由题意得2(,23)M m m m --，2(,23)Q n n n --． //MQ BC ，OB OC =， 45OCB OBC ∴∠=∠=︒，
45NMQ CNM OCB ∴∠=∠=∠=︒， QL ML ∴=，
2223(23)n m n n m m ∴-=-----， ()()2()n m n m n m n m -=+---， 0n m -≠， 12m n ∴=+-，
则3m n +=．
5．如图，已知直线AB ：132y x =-+与抛物线21
2
y x =交于A 、B 两点，在直线AB 下方的
抛物线上求点P ，使ABP △的面积等于5．
【答案】联立2
132
12
y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得932A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，()22B ，
设212P x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，过P 点作PC x ⊥轴交AB 于点D
则221111
332222PD x x x x =-+-=--+
∵5ABP S =△
∴2111535222x x ⎛⎫
⨯⨯--+= ⎪⎝⎭ ∴()()210x x +-=
∴()122P -，
或2112P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，。