平面几何五种模型

平面几何五种模型

等积,鸟头,蝶形,相似,共边

1、等积模型

等底等高的2个三角形面积相等

2个三角形高相等,面积比=底之比

2个三角形底相等,面积比=高之比

夹在一组平行线之间的等积变形(方方模型)

等积模型就是基本应用应就是烂熟于心的

都就是利用面积公式得到的推定比例

如下:

1等底等高的2个平行四边形面积相等

2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半

3 2个平行四边形高相等,面积比=底之比;2个平行四边形底相等,面积比=高之比

2、鸟头模型(共角定理)

鸟头定理:2个三角形中,有一个角相等或互补,这2个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的

乘积之比(夹角2边)

鸟头定理的使用要火眼金睛,经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。

A

B

C

D

E

如图,浅紫色的三角形ADE 跟大三角形ABC 就是公

用A 角的,等于浅紫色三角形就是“嵌入”在大三角形ABC 里面,注意,鸟头定理用的就是乘积比！不就是单独的线段比~ 记忆上用夹角2边

最好记,这里等于

对顶角

A

C

E

D

A

E

D

互补角A

B C

D

E

A

B

E

D

鸟头定理的证明,写出来就是因为很多题目的解题过程,都需要补这么一条辅助线来过度连接2个瞧起来无关的图形。证明的途径其实跟我们日常解题途径重合,所以写出来,仔细瞧。

A

等高，面积比=底之比

S△ABE：S△ABC=AE:AC

等高，面积比=底之比

S△ADE:S△ABE=AD:AB

A

B C

A

B

E

B C

D

E

D

E

经由媒介的∆ABE,联系了∆ADE与大三角形∆ABC

BE辅助线很重要！鸟头定理就是用等高(等于就是用等积推算而得) 第二种的证明方式将对顶角压回来∆ABC内,对顶角性质就是相等的,所以压回来的新∆跟∆ADE就是全等∆,再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理

互补角的鸟头定理证明

S△ADE=S△AD'E,因为同底等高

AD=AD',高相等，所以面积相等

D'

A

B

D

E

写了这几个证明,其实说的目的只有一个:连接小三角形与大三角形过度的那条辅助线,特别重

要！

3蝴蝶模型

任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)任蝴蝶

①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯ ②()()1

2

4

3

::AO OC S S S S =++

【上下比】 = = = 【上上比】

= ==

由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则:如 面积交叉相乘的乘积相等 =

= 1324S S S S ⨯=⨯

梯形蝴蝶定理(梯蝴蝶)

①22

13::S S a b =→上:下=22:a b

②22

1324::::::S S S S a b ab ab =→上:下:左:右=2

2:::a

b ab ab

③S 的对应份数为()2

a b +→a 2+2ab+b 2=a 2+b 2+ab+ab 有木有↑

4 相似三角形

形状相同,大小不同的三角形,只要形状不变,无论大小怎么改变,她们都相似。

1 相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且=它们的相似比

2 相似三角形的面积比=相似比的平方

3 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形中位线定理:三角形的中位线长=它所对应的底边长的一半 就就是三角形任2边中点连出来的中位线就就是第三边长的一半！ 出题几率:多产生于2条平行线造成的相似三角形 金字塔模型

沙漏模型

F A

B C

D

E

A

B

C

E

D

F

S ∆ADE:S ∆ABC=AF 2:AG 2

特别注意！相似三角形的面积比就是等于相似比的平方

5 共边定理

燕尾模型、风筝模型、塞瓦定理

共边定理说明

图一

Q

P

A

B

E

D

图二

Q

P

A

B

如图一想知道∆PAB 与∆QAB 的面积比？我们就如图二做个高,因为

同底(就就是共用一个边)所以面积比=髙之比,再想办法偷懒,延长PQ 、AB 的线相交于M,那么刚学的相似三角形可以派上用场,因为

∆PDM ∆QEM 如图三

E

D

图三

Q

P

A

B

M

所以

=

共边定理:若直线AB 与PQ 相交于点M (4种情况)则有

=

图一

M

P

Q

A

B

图二

Q

M

P

A B

图三

燕尾定理

（共边定理图3）

M

Q

P

A B

图四

M

Q

P

A B

最常应用到的其实就是图一,无论在三角形或四边形上我们喜欢用共边2方的不同三角形面积比来比出线段比。(图形不重叠)

图二的比例图形有重叠,所以线段长度也就是重叠比~

图三就就是“燕尾定理”图形不重叠,所以线段比不重叠。

图四就是四边形,做比的三角形有重叠,而比值就是四边形的顶:延长线段QM(切记,唯一对比线段不在图形内的哈)

共边定理的证明

=