实数学习的的学习的知识结构图.doc

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(完整word版)《实数》单元教学设计

初中数学单元教学设计课题：第六章“实数”单元教学设计教材版本：人教版数学教科书教学年级：七年级（下册）一．教材分析本章内容包括算术平方根、平方根和立方根，并通过开平方和开立方运算认识一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数,使数的范围由有理数扩充到实数。

随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展。

在实数范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算,而且对0和任意正数能进行开平方运算,对任意实数能进行开立方运算.在平方根、立方根、算术平方根、实数的概念的基础上，建立了完整的实数体系。

本章教材在初中数学中具有重要的地位，是进行其他内容学习的理论基础和运算基础（如一元二次方程、解直角三角形、函数、二次根式等）.同时,在理论的运算中也常用开方运算，故务必要学好。

二．学情分析本章包括平方根、算术平方根、立方根、用计算器求算术平方根、无理数、实数等内容。

在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算，学习了有理数的概念，具备了学习数的开方和学习无理数的条件,大部分学生对后继知识的学习有较强的欲望,但也有个别学生由于对有理数的概念理解不透，对无理数的学习信心不足,产生畏难和厌学情绪，教学中要注意及时引导。

三．教学目标（一)知识与技能1.理解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根；2。

了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求算术平方根和立方根；3。

了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化，并会进行简单的实数运算。

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。

(二）过程与方法通过学习算术平方根、平方根、立方根,建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。

用类比的方法探寻出平方根与立方根的运算及表示方法,并能自己总结出算术平方根与平方根,平方根与立方根的异同。

实数教材分析

第六章《实数》教材分析一、本章主要内容及地位、作用：本章的主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．本章内容不仅是后面学习二次根式、一元二次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中不等式、函数以及解析几何等的大部分知识作好准备．二、本章知识结构框图：1．本章知识的内在结构如下图所示：2．本章知识的展开顺序如下图所示：“本章知识结构图”展示了本章知识的内在结构：由于乘方与开方互为逆运算，所以开平方和开立方运算是以平方和立方运算为基础的，因此平方根和立方根的概念离不开平方和立方的概念．无理数的引入使得数的范围由有理数扩大到了实数．三、本章课程学习目标：1．了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；2．了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；3．了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大到实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；4.能用有理数估计一个无理数的大致范围．四、本章重点、难点：重点：算术平方根、平方根、立方根的概念和运算；实数的认识。

难点：算术平方根与平方根联系与区别；有理数与无理数的区别。

学情分析绝大部分同学都能跟上现有的进度，上课发言尚积极，个别同学表现的还比较出色，但也有部分同学的理解能力和接受能力不尽人意，从课堂上看，他们的注意力不能长时间集中，很容易分心，作业错误比较多，对于老师的问题一问三不知，在今后的教学过程中对这些孩子要特别注意。

部分学生有主动学习的行为，比较喜欢上数学课，学习热情也很高，并喜欢与老师友好相处，同学之间、师生之间常在一起交流学习体会。

但仍有少部分学生学习懒散、学习习惯差，如：粗心大意、书写不认真，不愿思考问题，上课开小差，依赖老师讲解，依赖同学的帮助，学困生抄作业现象比较严重。

(完整版)七年级数学《实数》单元教学设计

初中七年级数学“实数”单元教学设计课题：第六章“实数”单元教学设计教材版本：人教版数学教科书教学年级：七年级（下册）一．教材分析本章内容包括算术平方根、平方根和立方根，并通过开平方和开立方运算认识一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实数。

随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展。

在实数范围内，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算。

在平方根、立方根、算术平方根、实数的概念的基础上，建立了完整的实数体系。

本章教材在初中数学中具有重要的地位，是进行其他内容学习的理论基础和运算基础（如一元二次方程、解直角三角形、函数、二次根式等）。

同时，在理论的运算中也常用开方运算，故务必要学好。

二．学情分析本章包括平方根、算术平方根、立方根、用计算器求算术平方根、无理数、实数等内容。

在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算，学习了有理数的概念，具备了学习数的开方和学习无理数的条件，大部分学生对后继知识的学习有较强的欲望，但也有个别学生由于对有理数的概念理解不透，对无理数的学习信心不足，产生畏难和厌学情绪，教学中要注意及时引导。

三．教学目标（一）知识与技能1.理解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根；2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求算术平方根和立方根；3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，了解数的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化，并会进行简单的实数运算。

4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。

（二）过程与方法通过学习算术平方根、平方根、立方根，建立初步的数感和符号感，发展抽象思维。

用类比的方法探寻出平方根与立方根的运算及表示方法，并能自己总结出算术平方根与平方根，平方根与立方根的异同。

初中数学知识点及结构图

七年级数学（上）知识点人教版七年级数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容.第一章有理数一．知识框架二．知识概念1.有理数：(1)凡能写成)0p q ,p (pq ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；(2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；(2)相反数的和为0 ⇔ a+b=0 ⇔ a 、b 互为相反数.4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；(2) 绝对值可表示为：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0a (a )0a (0)0a (a a 或⎩⎨⎧<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5.有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0.6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是a 1；若ab=1⇔ a 、b 互为倒数；若ab=-1⇔ a 、b 互为负倒数.7. 有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数.8．有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.9．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10 有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.11 有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac .12．有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a . 13．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a -b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n .14．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；15．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法.16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减.本章内容要求学生正确认识有理数的概念，在实际生活和学习数轴的基础上，理解正负数、相反数、绝对值的意义所在。

北师大版《实数》教学设计word版

教学资源一般是指教师在上课过程中用到的素材内容，一般包括教案、课件、引用内容等，有了教学材料的支持，课堂内容会更加丰富，更具趣味性，让学生在相对有趣的环境下掌握学习内容。

教案是老师们经常需要准备的材料，好的教案能够把知识点融入到具体场景中，让学生更容易理解。

学习参考一些优秀的教学教案，能够提升教学材料的设计水平，让学生更容易掌握各个章节的知识点。

为大家整理了优质教学教案等资源案例，方便大家参考学习。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。

有理数可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。

下面是为大家整理的北师大版《实数》教学设计5篇，希望大家能有所收获。

北师大版《实数》教学设计1教学目标：知识与能力1、了解无理数和实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、了解实数和数轴上的点一一对应，会用数轴上的点表示实数。

3、了解有理数范围内的运算法则、运算律、运算公式和运算顺序在实数范围内同样适用。

4、会进行实数的大小比较，会进行实数的简单运算。

过程与方法1、通过计算器与计算机的应用，形成自觉应用的意识，从而能应用与实数有关的运算。

2、经历作图和观察的过程，掌握实数与数轴一一对应的关系。

情感与态度1、感受数系的扩充，通过自主探究，感受实数与数轴上点的一一对应的关系，体验数形结合的优越性，发展学生的类比与归纳能力。

2、学生经历数系扩展的过程，体会到数系的扩展源于社会实际，又为社会实际服务的辩证关系。

教学重难点及突破重点1、了解实数的意义，能对实数进行分类;2、了解数轴上的点与实数一一对应，并能用数轴上的点来表示无理数。

难点1、用数轴上的点来表示无理数;2、能准确无误地进行实数运算。

教学突破通过让学生对比有理数和无理数的特点，总结无理数的概念，以加深对无理数的概念的记忆。

同时，让学生动手作图，直观展现实数和数轴的一一对应关系。

教学中通过回忆有理数的运算规则过渡到实数的运算，学生容易接受和掌握。

人教版数学七年级下册第六章实数基础知识点讲解+典型例题讲解.doc

【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a a a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a a a 0，a ≥0. 2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ≥a 是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a aa =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题．举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（）（2）164=±．（）（3）21()10-的平方根是110±．（）（4）25--是425的算术平方根．（）【答案】√ ；×； √； ×，提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、填空：（1）4-是的负平方根．（2116表示的算术平方根，116= ．（3181的算术平方根为．（43x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________．【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y ﹣1）2=0，求5x+y 2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y ﹣1）2=0， ∴，解得，，∴5x+y 2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y 2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】立方根【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.x a要点诠释：一个数a3a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质33a a -=-33a a =()33a a =要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 【典型例题】类型一、立方根的概念1、（2016春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（） A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B ．一个数的立方根不是正数就是负数 C ．负数没有立方根D ．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0 【思路点拨】根据立方根的定义判断即可. 【答案】D ；【解析】A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；B ．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；C ．负数有立方根，故错误；D ．正确.【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义. 举一反三：【变式】下列结论正确的是（）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-【答案】D.类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4）23327(3)1-+--- （5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）310227-- （2）3321145⨯+ （3）331864⋅-3642743==33=116425=729=9⨯+ 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）23327(3)1-+---=331=1-++（5）310031(2)2(1)4--÷+-3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1）30.008-=______；（2）=364611______；（3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、（2015春•北京校级期中）（x ﹣2）3=﹣125．【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可．【答案与解析】解：（x ﹣2）3=﹣125，可得：x ﹣2=﹣5，解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体．举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______；（3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3．类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗) 333a b +.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】实数（基础）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5.要点二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数： 332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (7)3π-【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有3222,9,8,0,,73--无理数有32,,9,12,55,0.1010010001π-……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如55，39，2，12-.举一反三：【变式】（2015春•聊城校级月考）在下列语句中： ①无理数的相反数是无理数； ②一个数的绝对值一定是非负数； ③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数．其中正确的是（）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．②④ 【答案】C ；解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数不可能式有理数，故本选项正确； ②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的； ④无限循环小数是有理数，故本选项正确．类型二、实数大小的比较2、比较520.5的大小．【答案与解析】解：作商，得5250.5=51>，即5210.5>50.5>．【总结升华】根据若a ，b 均为正数，则由“1a b >，1a b =，1ab<”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π-- 7___54__2323___32 32 9___0－ 3___10-- |43|___(7)--- 【答案】＜；＞；＜；＜；＜；＞；＜.3、（2015•枣庄）实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（）A ．ac ＞bcB ．|a ﹣b|=a ﹣bC ．﹣a ＜﹣b ＜cD ．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c【答案】D ；【解析】解：∵由图可知，a ＜b ＜0＜c ， ∴A 、ac ＜bc ，故A 选项错误； B 、∵a ＜b ， ∴a ﹣b ＜0，∴|a ﹣b|=b ﹣a ，故B 选项错误； C 、∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ，故C 选项错误； D 、∵﹣a ＞﹣b ，c ＞0，∴﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c ，故D 选项正确．故选：D ．【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．类型三、实数的运算4、化简：(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－【答案与解析】解：|2 1.4|－2 1.4=-|7|74||－－ =|74+7|－ =274-|12|+|23|+|32|－－－2132231=-+-+-=.【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若2|2|3(4)0a b c ---=，则a b c -+=________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 . 举一反三：【变式】已知2(16)|3|30x y z ++++-=，求xyz 的值．【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴xyz ＝(16)(3)312-⨯-⨯=.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】实数全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】【要点梳理】类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2532等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

(完整版)初中代数知识结构图与技能.docx

代数部分第一章有理数与无理数一、有理数：（一）知识结构：实际背景（如右图）分类有理数（二）核心知识：概念数轴、相反数、绝对值1、有理数的实际意义；2、数轴、相反数与绝对值的意义；加减3、有理数运算的法则与运算律。

乘除（三）重点技能：运算乘方1、能结合实际背景理解或解释相关有理数的意义；混合运算2、会判断一个有理数的相反数、倒数与绝对值；3、能进行有理数的简单混合运算。

运算法则、运算律（四）考试方向：解决实际问题有理数的概念单独命题近年来都以选择第 1 小题和填空第 1 小题为主，属于最容易的问题。

其次有理数的运算贯穿于所有计算题中，其难度多以10 以内的加减乘除为主。

二、实数：有理数无理数（一）知识结构：数轴（如右图）实际背景分类相反数（二）核心知识：倒数实数相关概念1、无理数的几何意义；2、算术平方根的意义；实数基本概念绝对值3、近似数和有效数字的概念；实数大小比较算术平方根实数的分类4、科学记数法的含义；5、无理数运算的法则与运算律。

加减乘除乘方开方近似数和有效数字实数的运算科学记数法（三）重点技能：运算法则与运算律1、能判断一个数是否为无理数；实数的应用2、会用科学记数法表示较大或较小的数（注意近似要求或有效数字的要求）；3、会通过数轴或计算估计无理数的大小；4、会比较两个实数的大小；5、能进行简单的实数混合运算。

（四）考试方向：实数概念单独命题以填空和选择为主，重点考察知识理解的程度和准确性，属于容易题；实数的运算一是第 16 题单独考察“实数的运算”能力；其次在有关图形计算中多与勾股定理应用和一元二次方程求解相结合，仍属容易问题。

第二章整式与分式一、用字母表示数：（一）知识结构：（如右图）（二）核心知识：现实背景1、代数式的实际意义与几何意义；2、代数式的值。

字母表示意义（三）重点技能：代数式求值1、能结合生活或图形说出代数式的意义；列代数式2、会根据实际问题列代数式；应用3、能求出代数式的值。

数学七年级下册6.3.1 实数无理数概念教案-【经典教育教学资料】

6.3.1 实数无理数概念【教学目标】知识与技能：① 了解无理数和实数的概念； ② 会对实数按照一定的标准进行分类；③ 知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。

过程与方法：在按不同标准给实数分类的过程中，培养学生的分类的能力；知道实数与数轴上的点是一一对应的关系，进一步掌握“数形结合”的思想方法。

情感态度与价值观：① 通过了解数系扩充体会数系扩充的意义与作用；② 敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。

教学重点：① 了解无理数和实数的概念；② 知道实数与数轴上的点是一一对应的关系； ③ 对实数进行分类。

教学难点：对无理数的认识。

【教学过程】复习引入：问题：请给下列各数分类,并说明分类标准：（设计意图：自然引入有理数，让学生回忆有理数的分类，为引入实数的分类做好铺垫，从而建立新旧知识的联系。

）探究新知：问题1：有理数包括整数和分数，如果将下列分数119,911,427,53,25-写成小数的形式，你有什么发现？发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式即：18.01192.191175.64276.0535.225. ===-=-=，，，，归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。

（设计意图：让学生从探究活动开始，体会有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式。

）问题2：你认为小数除了上述类型外，还会有什么类型？通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，它们不同于有限小数或者无限循环小数，是一类不同于有理数的数。

于是，把无限不循环小数叫做无理数。

比如。

， 7099759.15442249.13,7320508.13,414213.1233==-=-=等都是无理数。

14159265.3=π…也是无理数。

实数的概念：有理数和无理数统称为实数。

(人教版初中数学)第10章-实数教案

教案教师：__________ 学生：__________ 上课时间：__________实数本章知识结构图一．平方根相关知识点：有理数、无理数、实数、非负数、相反数、倒数、数的绝对值教学目的：1．使学生复习巩固有理数、实数的有关概念．2．了解有理数、无理数以及实数的有关概念；理解数轴、相反数、绝对值等概念,了解数的绝对值的几何意义.3．会求一个数的相反数和绝对值,会比较实数的大小4．画数轴,了解实数与数轴上的点一一对应,能用数轴上的点表示实数,会利用数轴比较大小. 实数的有关概念{}⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数有尽小数或无尽循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无尽不循环小数负无理数开立方负的平方根算术平方根1.你能求出下列各数的平方吗?0, -1, 5, 2.3, -15, -3, 3, 1,152.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值说出来吗?25, 0, 4, 425,1144, -14, 1.69一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根,a,读作“根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0.例1 求下列各数的算术平方根:(1)900 (2)1 (3) 4964(4)196 (5)0 (6)10-6练一练：1.求下列各式的值:; ;2.若(a-1)2+│b-9│=0,则ba的算术平方根是下列哪一个( )A.13B.±3C.3D.-3有意义吗?为什么?思考：(1)当a为负数时,a2有没有算术平方根?其算术平方根与a有什么关系?当a 为正数时,a2的算术平方根如何表示?a为0呢?举例说明你的结论.(2)x2-x+14是否有算术平方根?如有请写出其算术平方根,如没有说明为什么?例:(1)求下列各数的算术平方根.0.000001, 0.0001, 0.01, 1, 100, 10000, 1000000(2)利用计算器计算下列各式的值: 7.9057 ）你能找到其中的规律吗?把你的发现用自己的语言叙述出来,并利用你的发现说的近似值(≈1.732),你能根据的值确定的值吗?探究活动(1)用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片,你会怎样剪?(2)若用上述正方形纸片剪出面积为300cm2的长方形纸片,且其长宽之比为3:2,•你又怎样剪?根据你的剪法回答:只要利用面积大的纸片一定能剪出面积小的纸片吗?归纳总结并不是所有的正数的算术平方根都是有理数,”的形式表示,,•于是可用计算器算出这个数,但实际上.若一个数的平方等于16,这个数是多少,又怎样表示呢?由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的数有两个:4和-4,把4和-4叫做16的平方根,记为则把4和-4称为16的平方根.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根,•即若x2=a,则x为a的平方根,记为x=如3和-3是9的平方根,记为±3是9的平方根,•表示为±3=把求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,•而平方运算与开平方运算互为逆运算.根据这种运算关系,可以求一个数的平方根,例如当x2=1时,x=±1;当x2=16时,则x=±4,当x2=36时,x=±6;当x2=49时,x=±7;当x2=425,则±25为425的平方根,,,它们的对应关系如图所示.练习:求下列各数的平方根.(1)0.49 (2)4936(3)81 (4)0 (5)-100归纳:正数的平方根有两个,它们是一对互为相反数.0的平方根是0负数没有平方根例1:求下列各式的值,并根据这些值写出各被开方数的平方根.1.44819 100例2:某矩形的面积为1200平方米,若其长是宽的3倍,试求出此矩形的长与宽分别是多少米?探究活动对于正数x和y,有下列命题:(1)若x+y=2,xy 1 (2)x+y=3,xy 32(3)若x+y=6,xy62根据以上三个命题所提供的规律猜想:(1)若x+y=9,xy_______.(2)若对于任意正数a、b,ab≤_____.归纳总结本节课针对平方根与算术平方根的意义具体地分析何种情形用平方根,•何种情形用其算术平方根,得根据实际情况选择答案.二．立方根1、在学习平方根的运算时,首先是找出一些数的平方值,然后才根据其逆运算过程确定某数的平方根,同样,我们先来算一算一些数的立方.23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______;(23)3=_____;-(23)3•=_____ ; 03=______.(1)经计算发现正数,0,负数的立方值与平方值有何不同之处?(2)开平方与平方运算互为逆运算,同样开立方与立方运算也互逆,•故请根据上述等式,写出这些互为相反数的立方根.归纳总结,其值也不同,若a>0时表示a无意义;若a<0,则无意义.例:求下列各数的立方根.①-27; ②2764; ③-0.216.练习:(1) 求下列各数的立方根:① 0 ② 8 ③ -64 ④(2) 比较-4、-5、.2.探究活动①若正方体的棱长为1,则其体积为1;若正方体的棱长为2,则其体积为8;若正方体的棱长为4,则其体积为64;若其棱长为8,则其体积为512……当棱长为2n时,•其体积为多少?②某正方体的体积为1时,其棱长为1;体积为2时,;体积为3时,•棱长为……;若体积扩大到原来的n倍,则棱长扩大多少倍?练习1(一)基础练习1.某数的算术平方根等于它本身,则这个数为_______;•若某数的算术平方根为其相反数,则这个数为______.2. 求下列各式的值:3. 3x-4为25的算术平方根,求x的值.4. 已知9的算术平方根为a,b的绝对值为4,求a-b的值.(二)创新提升5.已知2a-1的算术平方根是3,3a+b-1的算术平方根是4,求a、b的值.(三)探究拓展6.,求xy的算术平方根.练习2(一) 基础练习1.用计算器求出下列各式的值.2.(与12的大小.3.在物理学中,用电器中的电阻R与电流I,功率P•之间有如下的一个关系式:•P=I2R,,现有一用电器,电阻为18欧,该用电器功率为2400瓦,求通过用电器的电流I.4.用边长为5cm的正方形纸片两张重新剪开并拼接成一个较大的正方形,其边长约为多少?(精确到0.01cm) (二)创新提升5.某地开辟了一块长方形的荒地,新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2.5倍,它的面积为60000米2. (1)试估算这块荒地的宽约为多少米?(误差小于1米)(2)若在公园中建一个圆环喷水池,其面积为80米2,该水池的半径是多少?(•精确到0.01)(三)探究拓展6.(1)任意找一个很大正数,利用计算器将该数除以3,将所得结果再除以3…….随着运算资料的增加,你发现了什么?换一个数试试,是否仍有类似的规律? (2)任意找一个非常大的正数,利用计算器不断地对它进行开算术平方根,•你发现了什么? 练习3(一) 基础练习?16的平方根为多少? 的平方根呢? 2. 如果一个正数的一个平方根为4,则另一个平方根为多少? 3. 有一长方形花坛,长是宽的4倍,其面积为25m 2,求长和宽.4. 若(a-1a )2= 21a+a 2-2,现老师布置了一道化简题: 1a (a=15) .甲、•乙两同学很快地写出其解答过程:甲:1a =1a 1a +1a -a=2a-a,当a=15时,2a -a=10-15=945乙:1a =1a 1a +a-1a =a=15谁的答案是对的?为什么? (二)创新提升5.已知-2,试比较a 、b 、c 的大小.(不用计算器)(三)探究拓展6.a,小数部分为b,求a、b的值.练习41.某数的立方根等于它本身,这个数是多少?2.求下列各数的立方根:(1)-1+61126; (2)640003.某金属冶炼厂将27个大小相同的立方体钢铁在炉火中熔化后浇铸成一个长方体钢铁,此长方体的长,宽,高分别为160cm,80cm和40cm,求原来立方体钢铁的边长.4.有一边长为6cm的正方体的容器中盛满水,将这些水倒入另一正方体容器时,•还需再加水127c m3才满,求另一正方体容器的棱长.1.观察下列各式是否成立,你能从中找到什么结论,并证明你的结论.2.设1995x3=1996y3=1997z3,xyz>0,且求111x y z++的值.参考答案1.7=8-1=23-1 26=27-1=33-1 63=64-1=43-1 124=125-1=53-1 ∴ 猜测331n n n +-=n 31nn -(n=1,2,3,……) ∵331n n n +-=4331n n n n -+-=3331n n n -=3331n n n -=n ·331n n - 2. 令1995x 3=1996y 3=1997z 3=k,k ≠0, 则：1995=3k x ,1996=3k y ,1997=3kz, 故3k k k x y z ++=33k x +33k y+33kz , 即 3111x y z ++=111x y z++.而x>0,y>0,z>0,所以111x y z ++=(111x y z ++)3,解得: 111x y z++=1.实数作业一、填空：1.若无理数a 满足：1<a<4,请写出两个你熟悉的无理数：•_____,•______.2.的点表示的数是_________.的相反数是________.| =________,|3-π|=________.5.比较大小16)36.大于的所有整数的和_______.7.设a 是最小的自然数数,b 是最大负整数,c 是绝对值最小的实数,则a+b+c=______.二、选择：8.(2003年上海市)下列命题中正确的是( )A.有限小数不是有理数B.无限小数是无理数C.数轴上的点与有理数一一对应D.数轴上的点与实数一一对应 9.(2004年安徽省)下列四个实数中是无理数的是( ) A.2.5 B.103C.πD.1.414 10.(2004年杭州市)有下列说法:①带根号的数是无理数;•②不带根号的数一定是有理数;③负数没有立方根;④是17的平方根,其中正确的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个11.-53、、、-2π四个数中,最大的数是( )A.53 D.-2π12.在实数范围内,下列各式一定不成立的有( )12a -=0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个三、解答：13.把下列各数分别填在相应的集合中:-11124π,..0.23,3.14面积为8面积为2有理数集合无理数集合14.根据右图拼图的启示:(1) (2) (3)15.已知坐标平面内一点A(-2,3),将点A 个单位,个单位,得到A ′,则A ′的坐标为________.16.阅读下面的文字,解答问题.大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,的小数部分我们不可能全部地写出来,-1,你同意小明的表示方法吗?事实上,小明的表示方法是有道理的,1,•将这个数减去其整数部分,差就是小数部分.请解答:已知=x+y,其中x 是整数,且0<y<1,求x-y 的相反数.。

初中数学《实数》单元教学设计以及思维导图

实数适用年级七年级所需时间课内5课时，课外3课时主题单元学习概述本章主要包括算术平方根、平方根、立方根，以及实数的有关概念，运算和实数在数轴上的表示登内容。

本章的重点是算数平方根、平方根的概念和方法以及实数的概念，难点是平方根和实数的概念。

本章在整个知识结构中起着承上启下的作用，本单元从典型的实际例题出发，首先介绍算术平方根，引出算术平方根的概念和符号，接着设置一个探究栏目，通过探究栏目，使学生意识到平方根的概念，并能探讨平方根的特征，对于立方根，教科书采用了类比平方根的方法进行讨论，本章采用与有理数对照的方法引入无理数，并给出了实数的概念和分类。

本章我主要采用的教学方法有类比归纳法，合作探究法，讨论式、启发式，情境引入法等。

这样的教学方法使得教学效果良好。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：熟练掌握平方根立方根的概念和求法，并掌握实数的概念和分类。

过程与方法：培养学生的类比归纳的能力，创新思维以及合作探究的能力。

情感态度与价值观：激发学生学数学爱数学的热情，同时让学生体验获得成功的乐趣。

对应课标与以往课标相比，本章对开平方，开立方运算的要求有所降低，课标规定会用运算求百以内整数的平方根立方根。

主题单元问题设计1、会区分平方根与立方根吗？2、实数有哪些分类？专题划分专题一：平方根（3课时）专题二：立方根（2 课时）专题三：实数（1课时）.......专题一平方根所需课3课时时专题学习目标【知识目标】掌握平方根与算术平方根的概念与性质，能及时通过开方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开平方互为逆运算。

【能力目标】通过对平方根概念及性质的探究，渗透分类讨论和数形结合的数学思想方法，提高数学探究能力和归纳表达能力。

【情感目标】鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣专题问负数有平方根吗？题设计所需教学环境和教学资多媒体、ppt学习活动设计一）创设情景感悟新知首先，呈现三个问题（与书上问题1相似）（1）一个正方形桌面的边长是3m，求这个桌面的面积是多少平方米？（2）已知一个正方形的面积是9cm2，求它的边长。

数与代数的内容包括数与式(实数、整式、分式)方程与不等式.

复习的策略与方法
1. 宏观把握，整体规划
对课程内容的宏观把握上，要依纲（数学课程标准）靠
本（教材），熟悉课程理念，明确课程目标及内容要求.
对中考考试的宏观把握上，要认真研究中考说明，明确
考试的范围、侧重点、每一个考点的具体要求，做到：
① 以中考考试说明为指导，以近年来中考命题的稳定性风格为导向； ② 以课标为大纲，抓住根本应万变，以教材为依据，又不拘泥于教材； ③ 以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年中考试题为基本素材.
例1. 如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B 两点，A点坐标为（2，1）, 分别以A、B 为圆心的圆与x轴相切，则图中两个阴影部分面积的和是多少？（两个阴影部分面积和看作一个圆的面积12×π＝π. ）
思想方法:中心对称变换的思想、整体思想、数形结合.
复习的策略与方法
4. 创设情境，概括建模思想
同学应该选择包车还是乘公共汽车去景点？
教师引导学生：
（1）用函数模型解决问题1；
（2）对解决问题的过程进行总结和解释；
（3）归纳利用函数模型解决实际问题的基本模式.
用代数式表示两种
乘车方式的车费总开支
实际问题
函数问题
实际问题的解
解释函数问题解的实际意义
函数问题的解
问题2：出发那天，小明数了数人数，发现有24人要去旅游，由于小客车不能超载，小明准备与3个同学一起乘公共汽车去景点. 由于临时叫车，在其他同学乘小客车出发后，小明等了15分钟，并与乘小客车出发的同学约定同时到达景点，如果公共汽车的平均速度是小客车速度的1.5倍，问公共汽车的平均速度是多少？
例4. 起点题：某水果批发市场的香蕉价格如下表：

初中数学知识点及结构图(新人教版)

实数.实数

实数单元复习与检测一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：● 了解平方根、立方根的概念，会用符号表示一个数的平方根或立方根；● 了解无理数和实数的概念，知道实数和数轴上的点一一对应，能估算无理数的大小； ● 了解实数的运算法则及运算律，会进行实数的运算，会用计算器进行实数的运算。

重点难点：● 重点：算术平方根和平方根的概念及其求法； ● 难点：平方根和实数的概念.学习策略：● 通过实际背景理解平方根、立方根及实数的概念，并借助一定量的练习加深理解，掌握解题技巧，提高计算能力和解题能力。

二、学习与应用（一）正数有个平方根，它们互为；0的平方根是；没有平方根。

（二）平方根等于本身的数是；算术平方根等于本身的数是或。

（三） 7=，则_____x =，x 的平方根是_____;7=，则_____x =，x 的立方根是_____。

（四）正数有个立方根，0的立方根是；负数有个立方根；任何数都有个立方根。

（五）实数的分类：(1)按属性分类：“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾---复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？(2)按符号分类：（六）有理数包括和，如果把整数看作分母是1的分数，那么有理数实质就是。

从这个意义上说，判断一个数是不是有理数，就是看它能不能写成的形式，能写成的就是，不能写成的就是。

注：（1）正数的平方根有个，它们互为，其中正的那个叫它的；零的平方根和算术平方根都是；负数没有平方根。

（2）求一个数的平方根，就是把所有之后等于这个数的数都求出来，而判断一个数是不是另一个数的平方根，是检查把这个数_ _ __ _ _之后等不等于另一个数；二者的含意不同，要求不同，切勿混淆。

例如“2是4的平方根”这种说法是_ _ __ _ _，但反过来，如果说“4的平方根是2”就是_ _ __ _ _ 。

人教版七年级数学下册6.3.1《实数的概念》教学设计

人教版七年级数学下册6.3.1《实数的概念》教学设计一. 教材分析人教版七年级数学下册6.3.1《实数的概念》是学生在掌握了有理数的基础上，进一步对实数进行学习。

本节内容主要介绍实数的概念，包括实数的定义、实数的性质等。

教材通过实例和问题，引导学生理解实数的意义，并能够运用实数进行简单的运算和解决问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的概念和运算方法，具备一定的数学基础。

但实数概念相对抽象，学生可能存在一定的理解难度。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，通过实例和问题，引导学生理解和掌握实数的概念。

三. 教学目标1.理解实数的定义，掌握实数的性质。

2.能够运用实数进行简单的运算和解决问题。

3.培养学生的抽象思维能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.实数的定义和性质。

2.实数的运算方法。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。

通过问题引导学生思考，实例帮助学生理解，小组合作促进学生交流和讨论。

六. 教学准备1.教材、PPT等相关教学资料。

2.实例和问题。

3.小组合作学习分组。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

例如：“同学们，我们已经学习了有理数，那么有理数能表示所有的数吗？还有哪些数是有理数无法表示的？”2. 呈现（15分钟）利用PPT展示实数的定义和性质，结合实例进行讲解。

例如，通过数轴展示实数，解释实数包括有理数和无理数，以及实数的性质如大小关系、加减乘除等。

3. 操练（15分钟）让学生进行实数的运算练习，巩固所学知识。

例如，给出一些实数的运算题目，让学生独立完成，然后集体讲解答案。

4. 巩固（10分钟）通过问题和小测验的形式，巩固学生对实数的理解和掌握。

例如，提出一些关于实数的问题，让学生回答，或者让学生解决一些实际问题，运用实数进行计算。

5. 拓展（10分钟）引导学生思考实数在实际生活中的应用，拓展学生的思维。

第二章：实数知识结构图

第二章：实数知识结构图一、实数的概念及分类1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等。

二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

1和-1的倒数等于本身。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

实数与数轴的点是一一对应的。

三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a 的平方根记做“a ”，读作“正、负根号a ”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方。

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实数知识结构图实数的概念及分类
1、实数的分类
实数有理数
正有理数
零
负有理数
正无理数
有限小数和无限循环小数
无理数无限不循环小数
负无理数
2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类：
（ 1）开方开不尽的数，如7, 3 2 等；
π
（ 2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8 等；
3
（3）有特定结构的数，如 0.1010010001 等；
（4）某些三角函数值，如 sin60o等。

实
数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有a+b=0， a=-b，反之亦成立。

2、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

可看成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若 |a|=-a，则 a≤0。

（ |a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也
3、倒数
如果 a 与 b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

1 和 -1 的倒数等于本身。

零没有倒数。

4、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）
实数与数轴的点是一一对应的。

平方根、算数平方根和立方根。

1、算术平方根：一般地，如果一个正数
方根。

特别地，0 的算术平方根是0。

x 的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平表示方法：记作“ a ”，读作根号a。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数 a 的平方根记做“ a ”，读作“正、负根号a”。