2611二次函数

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二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容，也是高中数学的基础。

它在数学和实际生活中都有广泛的应用。

下面就来对二次函数的知识点进行一个全面的总结。

一、二次函数的定义一般地，形如$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a$、＄b$、＄c$是常数，＄a ≠ 0$）的函数，叫做二次函数。

其中，＄x$是自变量，＄a$叫做二次项系数，＄b$叫做一次项系数，＄c$叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的二次项系数$a$不能为$0$，否则就变成了一次函数。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。

当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是直线$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。

抛物线的顶点坐标为$＼left(＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}＼right)＄。

三、二次函数的表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ≠ 0$）2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（＄a ≠ 0$，顶点坐标为$（h, k)＄）3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄（＄a ≠ 0$，＄x_1$、＄x_2$是抛物线与$x$轴交点的横坐标）四、二次函数的性质1、当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。

当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。

2、二次函数的最值：当$a ＞ 0$时，函数有最小值，＄y_{min} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。

当$a ＜ 0$时，函数有最大值，＄y_{max} ＝＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。

五、二次函数与一元二次方程的关系抛物线$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$与$x$轴的交点的横坐标就是一元二次方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根。

二次函数图象和性质总结表格

二次函数图象和性质总结表格二次函数知识点总结一、二次函数的图像和性质二次函数的图像开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值与函数的参数有关。

当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。

参数a越大，开口越小。

当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。

参数a越小，开口越小。

当二次函数带有平移时，对称轴的位置会发生变化，顶点坐标变为(h,k)。

当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。

当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。

二、二次函数的解析式二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数且a≠0.当二次函数带有平移时，解析式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为实数且a≠0.三、二次函数的应用二次函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。

例如，二次函数可以用来描述物体的运动轨迹、建筑物的结构、金融市场的波动等等。

在应用中，我们需要根据实际情况确定二次函数的参数，并利用二次函数的性质进行分析和计算。

总之，二次函数是数学中非常重要的一个概念，掌握二次函数的图像、解析式和应用是我们研究数学的基础。

当x＞h时，随着x的增大，y会减小。

函数a的符号决定了开口的方向，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。

对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。

c-b^2/4a)。

当a的绝对值越大时，开口越小；b的符号决定了对称轴在y轴的位置，当b＞0时，对称轴在y轴左侧，当b＜0时，对称轴在y轴右侧；c的符号决定了抛物线与y轴的交点在哪个象限，当c＞0时，抛物线与y轴正半轴相交，当c＜0时，抛物线与y轴负半轴相交。

二次函数详解(附习题、答案)

（或）
⑵ 沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
四、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
五、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：（，，为常数，）；
2.顶点式：（，，为常数，）；
3.两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
4. 的性质：
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
X=h
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．
向下
X=h
时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值．
三、二次函数图象的平移
二、二次函数的基本形式
1.二次函数基本形式：的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
向上
轴
时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值．

数学二次函数高一知识点

数学二次函数高一知识点一、二次函数的定义与性质二次函数是函数中最常见也最重要的一类函数，其定义形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。

二次函数的图像是抛物线。

1. 定义：二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

- a决定抛物线开口的方向和抛物线的开口程度（正数为开口向上，负数为开口向下）。

- b决定抛物线的位置，也称为抛物线的对称轴。

- c决定抛物线与y轴交点的纵坐标。

2. 零点：二次函数的零点是指使得函数值为0的x值。

如果二次函数有两个不同的零点，那么抛物线与x轴有两个交点。

- 零点可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来获得。

3. 对称轴：二次函数的图像关于一条垂直于x轴的直线对称。

这条直线称为对称轴，可通过利用二次函数的特点可知对称轴的横坐标为-x坐标的一半。

4. 领域：二次函数的定义域为全体实数。

即二次函数对任意实数x都有定义。

5. 单调性：二次函数的单调性取决于a的正负，当a > 0时，二次函数单调递增；当a < 0时，二次函数单调递减。

6. 极值点：若二次函数的开口向上，则二次函数的最小值为极值点；若开口向下，则二次函数的最大值为极值点。

二、二次函数的图像及其性质1. 垂直方向的平移：通过改变常数c的值，可以实现二次函数整体上下平移。

当c > 0时，抛物线上移；当c < 0时，抛物线下移。

2. 水平方向的平移：通过改变常数b的值，可以实现二次函数整体左右平移。

对于函数y = ax^2 + bx + c，当b > 0时，抛物线右移；当b < 0时，抛物线左移。

3. 拉伸与压缩：通过改变常数a的值，可以实现二次函数整体的拉伸或压缩。

当|a| > 1时，抛物线沿x轴方向压缩；当|a| < 1时，抛物线沿x轴方向拉伸。

4. 顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过计算得到，顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》教学设计3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》是学生在初中阶段学习二次函数的起始章节，它是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次方程的基础上进行的。

本节课的主要内容是介绍二次函数的定义、性质和图像，以及二次函数的顶点公式。

教材通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识，为学生进一步学习高中数学打下坚实的基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对函数概念、一次函数和二次方程有一定的了解。

但二次函数相对于一次函数来说，其图像和性质更加复杂，需要学生通过实例和练习来进一步理解和掌握。

此外，学生的学习兴趣和动机对他们的学习效果有很大影响，因此教师需要设计有趣的教学活动来激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像，能够运用二次函数的知识解决实际问题。

2.过程与方法：通过实例和练习，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。

2.难点：理解二次函数的顶点公式，并能运用其解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的知识；通过小组合作，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和练习题。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪和黑板。

3.准备教案和教学笔记。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生思考和探索二次函数的概念。

例如：“什么是二次函数？它与一次函数有什么区别？”2.呈现（10分钟）通过分析具体案例，使学生理解和掌握二次函数的定义、性质和图像。

例如，展示一个二次函数的图像，引导学生观察其特点。

二次函数知识点总结

二次函数知识点总结二次函数是初中数学的重要内容之一，也是中考数学的重点和难点。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，在物理、经济等其他学科中也经常出现。

下面我们来详细总结一下二次函数的相关知识点。

一、二次函数的定义一般地，形如\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a ≠ 0\））的函数，叫做二次函数。

其中\（x\）是自变量，＼（a\）叫做二次项系数，＼（b\）叫做一次项系数，＼（c\）叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的最高次必须是二次，并且二次项系数\（a\）不能为\（0\）。

如果\（a ＝ 0\），那么函数就变成了一次函数。

二、二次函数的图象二次函数的图象是一条抛物线。

抛物线的形状由二次项系数\（a\）决定：1、当\（a ＞ 0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。

2、＼（｜a|＼）越大，抛物线的开口越窄；＼（｜a|＼）越小，抛物线的开口越宽。

抛物线是轴对称图形，对称轴为直线\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼）。

二次函数的顶点式为\（y ＝ a(x h)＾2 ＋ k\），其中\（（h, k)＼）是抛物线的顶点坐标。

当抛物线的顶点坐标已知时，通常使用顶点式来表示二次函数，这样可以更方便地求出函数的最值等性质。

四、二次函数的一般式与顶点式的转化由一般式\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）通过配方法可以转化为顶点式：＼＼begin{align}y&＝ax^2 ＋ bx ＋ c\＼＆＝a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x) ＋ c\＼＆＝a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼frac{b^2}｛4a^2} ＼frac{b^2}｛4a^2}）＋ c\＼＆＝a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{b^2}｛4a} ＋ c\＼＆＝a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＋＼frac{4ac b^2}｛4a}＼end{align}＼所以顶点坐标为\（（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＼）。

二次函数相关概念难点及答案解析

二次函数1.二次函数的相关概念1.1二次函数的定义一般地，形如：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数，叫做.其中，a叫做，b叫做，c叫做.【答案】二次函数；二次项系数，一次项系数，常数项.2.二次函数的图象与性质2.1二次函数的顶点式的图象与性质y轴;抛物线的顶点的.一般地，二次项系数a决定了抛物线的，|a|，抛物线的开口越小.【答案】（1）向上；y轴；增大而减小；增大而增大（2）向下；y轴；增大而增大；增大而减小（3）开口方向和开口大小；越大【答案】完全相同；不同；向上；向下2.1.4二次函数y=ax2+k的图象和性质：【答案】向上；（0,k）；向下；（0,k）2.1.5比较二次函数y=x 2，y=(x+1)2和y=(x−1)2的图象：从形状上看，二次函数y=（x+1）2和y=（x−1）2的图象与二次函数y=x 2的图象是的，但它们的位置.可以知道，二次函数y=a(x−h)2的图象可以由y=ax2的图象作如下平移得到：当h>0时，平移h个单位长度；当h<0时，平移|hl个单位长度.【答案】完全相同；不同；向右；向左2.1.6二次函数y=a（x−h）2的图象与性质：【答案】向上；（h,0）；向下；（h,0）【答案】完全相同;不同向左；向上；向右；向上；向右；向下；向左；向下【答案】向上；（h,k）；向下；（h,k）2.1.9平移规律【答案】h；k；左加右减，上加下减2.2二次函数的一般式的图象与性质（2）描点：在直角坐标系中描出相应的点（3）连线：用平滑曲线顺次连接各点，得到二次函数y=x²+2x+3的图象2.2.2二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质函数y=ax²+bx+c（a＞0）y=ax²+bx+c（a＜0）开口方向向上向下对称轴直线顶点坐标（ b2a ，4ac b^24a )增减性当x＜ b 2a 时，y 随x 的增大而减小;当x＞ b2a 时，y 随x 的增大而增大当x＜ b2a 时，y 随x 的增大而增大;当x＞ b2a 时，y 随x 的增大而减小最值当x= b2a 时，y 最小值=当x= b 2a 时，y 最大值=【答案】【答案】【答案】【答案】1.顶点；2. b 2a ；4ac b^24a ；(1)ax22+bx2+c；ax12+bx1+c；(2)ax12+bx1+c；ax22+bx2+c【答案】开口向上；开口向下；对称轴为y 轴；对称轴在y 轴左侧；对称轴在y 轴右侧；图象过原点；与y 轴正半轴相交；与y 轴负半轴相交第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中.【答案】【答案】ax²+bx+c=0；y=ax²+bx+c3.2.2由一元二次方程的根的情况，可以确定相应的二次函数的图象与x轴的位置关系：【答案】【答案】横坐标3.2.5二次函数与x轴的交点【答案】（1）上方;（2）下方；(3)x＜a或x＞b；x≠a；全体实数；a＜x＜b；无解；无解3.2.6二次函数与直线的交点二次函数y1=ax²+bx+c的与一次函数y2=kx+b的函数值y1>y2，y1<y2时函数图象的特征：【答案】(1)上方；(2)下方；(3)x<a 或x>c；a<x<c.。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容，主要介绍了二次函数的定义、性质和图像。

二次函数是中学数学中的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的知识对于理解高中阶段的函数学习和解决实际问题具有重要意义。

本节内容首先介绍了二次函数的定义，包括函数的表达式、自变量和函数值的限制条件等。

接着，通过实例讲解，让学生理解二次函数的图像特征，包括开口方向、顶点坐标、对称轴等。

然后，引导学生学习二次函数的性质，包括单调性、极值等。

最后，通过练习题，让学生巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本知识，对于一次函数和二次函数的概念有一定的了解。

但是，对于二次函数的性质和图像的深入理解还需要加强。

此外，学生对于实际问题的解决能力也有待提高。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握二次函数的定义、性质和图像，能够解决简单的实际问题。

2.过程与方法目标：通过实例讲解和练习，培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，使学生感受到数学在生活中的应用。

四. 说教学重难点1.重点：二次函数的定义、性质和图像。

2.难点：二次函数的图像特征的理解和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用讲授法、案例教学法和练习法。

2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，展示二次函数的图像和实例。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次函数的概念，激发学生的兴趣。

2.讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，通过实例进行解释和展示。

3.练习：让学生进行练习，巩固所学知识，并能应用于解决实际问题。

4.总结：对本节内容进行总结，强调二次函数的重要性和应用价值。

七. 说板书设计板书设计包括二次函数的定义、性质和图像的主要内容，以及相关的重要概念和公式。

二次函数公式

二次函数公式二次函数是一种常见的数学函数，在数学和物理学等领域有广泛的应用。

它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数，a不等于0。

在这篇文章中，我们将介绍二次函数的基本概念和性质，以及如何使用二次函数公式来解决相关问题。

首先，让我们来看看二次函数的图像。

当a大于0时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线；当a小于0时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线。

如果a的绝对值越大，抛物线越陡峭；如果a的绝对值越小，抛物线越平缓。

b的正负号决定了抛物线的对称轴位置，c则决定了抛物线的纵向位移。

在解析几何中，二次函数的图像的顶点就是抛物线的顶点，它的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

顶点坐标可以告诉我们抛物线的对称轴位置和最值。

当a大于0时，抛物线的顶点为最小值点；当a小于0时，抛物线的顶点为最大值点。

对于一元二次方程f(x) = ax^2 + bx + c，其最值为f(-b/2a)。

接下来，我们来看看如何使用二次函数公式来解决一些实际问题。

首先，考虑一个典型的问题：已知一个二次函数的顶点坐标为(2,5)，过点(1,3)，求该二次函数的公式。

根据顶点坐标的特点，我们可以将公式写成f(x)=a(x-2)^2+5、然后，将点(1,3)带入公式，得到3=a(1-2)^2+5，解方程得到a=-2、因此，该二次函数的公式为f(x)=-2(x-2)^2+5另一个常见的问题是求二次函数与x轴的交点。

由于二次函数的图像是一条抛物线，与x轴的交点即为方程f(x)=0的解。

解这个方程的一种方法是使用二次函数公式。

假设一个二次函数的公式为f(x) = ax^2 + bx + c，我们需要求解f(x) = 0。

将公式带入方程得到ax^2 + bx + c = 0，然后使用求根公式：x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)。

根的个数和类型取决于判别式的值(b^2-4ac)：如果判别式大于0，则有两个不相等的实根；如果判别式等于0，则有两个相等的实根；如果判别式小于0，则没有实根，但有两个共轭复根。

二次函数数学知识点高一

二次函数数学知识点高一二次函数是高中数学中的一个重要知识点，它是一种常见的函数类型，在现实生活和各个学科中都有广泛的应用。

本文将从二次函数的定义、特点、图像、性质等多个方面进行论述，帮助读者更好地理解和掌握二次函数的相关知识。

一、二次函数的定义与特点二次函数是形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a, b, c$都是实数且$a\neq 0$。

其中，$a$决定了二次函数的开口方向（正负号），$b$决定了二次函数的对称轴位置，$c$决定了二次函数与纵轴的交点。

二次函数的图像通常为抛物线，它有以下几个特点：1. 开口方向：若$a > 0$，则抛物线开口向上；若$a < 0$，则抛物线开口向下。

2. 对称轴：对称轴是一条垂直于横轴的直线，其方程为$x = \frac{-b}{2a}$。

3. 最值：当$a > 0$时，二次函数的最小值为$c - \frac{b^2}{4a}$；当$a < 0$时，二次函数的最大值为$c - \frac{b^2}{4a}$。

4. 零点：二次函数与$x$轴的交点称为零点。

二次函数有可能有1个、2个或0个零点，这取决于判别式$D = b^2 - 4ac$的值。

二、二次函数的图像与性质1. 完整图像：为了绘制二次函数的图像，我们可以找到对称轴上的一个点，然后根据对称性质绘制其他部分。

还可以根据开口方向、最值等信息来确定图像的大致形状。

2. 平移与伸缩：对于一般的二次函数，平移与伸缩可以通过改变对称轴和系数来完成。

平移可以通过将对称轴上的点坐标改变相应量来实现，而伸缩可以通过改变系数$a$来实现。

3. 零点与轨迹：对于二次函数中的零点，可以通过求解方程$f(x) = 0$来求得。

如果将二次函数平移或伸缩，零点的位置会相应地改变。

当二次函数开口向上时，轨迹低于抛物线；当二次函数开口向下时，轨迹高于抛物线。

三、二次函数的应用二次函数是应用数学中的一个重要工具，被广泛运用于各个领域。

二次函数的解析式与图像性质

二次函数的解析式与图像性质二次函数是高中数学中的重要内容，它的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

本文将探讨二次函数的解析式及其相关的图像性质，帮助读者更好地理解和运用二次函数。

1. 二次函数的解析式二次函数的一般形式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于零。

a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下。

b和c则分别表示二次函数在x轴和y轴上的截距。

解析式中的a、b、c的值可以通过二次函数的特点来确定。

首先，二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

其次，二次函数的对称轴为x = -b/2a。

最后，二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次函数的解的情况。

当Δ大于零时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ等于零时，二次函数有两个相等的实根；当Δ小于零时，二次函数无实根。

2. 二次函数的图像性质二次函数的图像是一条平滑的曲线，其形状由a的正负值决定。

当a大于零时，曲线开口向上；当a小于零时，曲线开口向下。

二次函数的顶点是曲线的最低点或最高点，也是对称轴的交点。

顶点的横坐标为-x = -b/2a，纵坐标为f(-b/2a)。

通过顶点的坐标，我们可以得到曲线的最值。

当a 大于零时，曲线的最小值为f(-b/2a)；当a小于零时，曲线的最大值为f(-b/2a)。

除了顶点和对称轴，二次函数的图像还与x轴和y轴有关。

当二次函数与x轴相交时，即为二次函数的实根。

根据判别式Δ的值，我们可以判断二次函数与x轴的交点情况。

当Δ大于零时，曲线与x轴有两个不相等的交点；当Δ等于零时，曲线与x轴有两个相等的交点；当Δ小于零时，曲线与x轴没有交点。

二次函数与y轴的交点为常数项c，即函数在x=0时的值。

这个交点可以用来确定曲线与y轴的位置。

3. 二次函数的应用二次函数的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹。

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿3

华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》说课稿3一. 教材分析华师大版数学九年级下册《26.1 二次函数》这一节的内容是在学生已经掌握了函数概念、一次函数和二次函数的性质的基础上进行教学的。

本节课的主要内容是二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。

教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生深入理解二次函数的图象和性质，提高学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对一次函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于二次函数的图象和性质，以及如何运用二次函数解决实际问题，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要通过生动的实例和丰富的练习，帮助学生理解和掌握二次函数的知识。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握二次函数的图象和性质，能够运用二次函数解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生解决函数问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和探究精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数的图象和性质，以及二次函数的应用。

2.教学难点：二次函数的性质，如何运用二次函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动法、案例分析法、合作学习法等教学方法。

同时，利用多媒体课件和数学软件，帮助学生直观地理解二次函数的图象和性质。

六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入二次函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：引导学生观察二次函数的图象，分析二次函数的性质，总结规律。

3.巩固新知：通过一系列的练习题，帮助学生巩固二次函数的知识。

4.应用拓展：布置一些实际问题，让学生运用二次函数的知识解决，提高学生的应用能力。

5.课堂小结：对本节课的内容进行总结，引导学生反思学习过程，提高学生的思维能力。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出二次函数的图象和性质。

新华东师大版九年级数学下册《26章二次函数 26.1 二次函数》教案_10

22．1.1 二次函数01 教学目标1．结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．02 预习反馈阅读教材P 28～29，理解二次函数的意义及有关概念，完成下列内容．1．一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a ，b ，c ．(1)下列函数中，不是二次函数的是(D )A ．y ＝1－2x 2B ．y ＝(x －1)2－1C ．y ＝12(x ＋1)(x －1) D ．y ＝(x －2)2－x 2 (2)二次函数y ＝x 2＋4x 中，二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．【点拨】判断二次函数要紧扣定义．2．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，它们的表达式分别是y ＝ax ＋b(a ，b 是常数，a ≠0)、y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)．如：一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与半径r 之间的关系式．解：S 表＝4πr 2.03 名校讲坛例1 (教材P28问题1)n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式．【解答】每个球队要与其他(n －1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是m ＝12n (n －1)＝12n 2－12n .【跟踪训练1】 (《名校课堂》22.1.1习题)某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式y ＝12x 2－12x ，它是(填“是”或“不是”)二次函数．例2 (教材P28问题2)某种产品现在的年产量是20 t ，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？【解答】这种产品的原产量是20 t ，一年后的产量是20(1＋x )t ，再经过一年后的产量是20(1＋x )(1＋x )t ，即两年后的产量y ＝20(1＋x )2．【跟踪训练2】 (《名校课堂》22.1.1习题)国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x ，该药品原价为18元，降价后的价格为y 元，则y 与x 的函数关系式为(C)A ．y ＝36(1－x )B ．y ＝36(1＋x )C ．y ＝18(1－x )2D ．y ＝18(1＋x 2)例3 (教材P29练习T2的变式)一个正方形的边长是12 cm ，若从中挖去一个长为2x cm ，宽为(x ＋1)cm 的小矩形，剩余部分的面积为y cm 2.(1)写出y 与x 之间的关系式，并指出y 是x 的什么函数？(2)当小矩形中x 的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？【解答】 (1)y ＝122－2x (x ＋1)，即y ＝－2x 2－2x ＋144.∴y 是x 的二次函数．(2)当x ＝2和4时，相应的y 的值分别为132和104.【点拨】几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x 的代数式表示出来．【跟踪训练3】用总长为60 m 的篱笆围成矩形场地，写出场地面积S(m 2)与矩形一边长a(m )之间的关系式．解：S ＝a •（60－2a ）2＝－a 2＋30a.04 巩固训练1．下列方程是一元二次方程的是(A )A ．(5－a)2＝2B ．3x 2＋x －y 2＝0C ．y 2＝5－(2y －y 3)D ．x －1x 2＋1＝0 2．若y ＝(b －1)x 2＋3是二次函数，则b ≠1．3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y 人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x 人，则y 与x 之间的函数关系式为y ＝x 2＋2x ＋1．4．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x m ，则菜园的面积y(m 2)与x(m )的函数解析式为y ＝－12x 2＋15x(不要求写出自变量x 的取值范围)．5．已知函数y ＝(m ＋1)xm 2－3m －2＋(m －1)x(m 是常数)．m 为何值时，它是二次函数？解：m ＝4.【点拨】不要忽视m ＋1≠0.05 课堂小结1．二次函数的定义．2．熟记二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ≠0，a ，b ，c 为常数．3．如何表示简单变量之间的二次函数关系？。

二次函数的基础知识

二次函数的基础知识二次函数是高中数学中的重要内容，也是数学中常见的一类函数。

它的一般形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

在这篇文章中，我们将介绍二次函数的基础知识，包括定义、图像特点、顶点坐标、对称轴、开口方向等内容。

一、定义二次函数是一种多项式函数，其中最高次项是二次项的函数。

它可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，b决定了二次函数的位置，c决定了二次函数与y轴的交点。

二、图像特点二次函数的图像通常是一个开口向上或向下的抛物线。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

抛物线的开口程度由a的绝对值大小决定，绝对值越大，开口越宽；绝对值越小，开口越窄。

三、顶点坐标对于二次函数y=ax^2+bx+c，其抛物线的顶点坐标可以通过计算得到。

顶点的横坐标x坐标为-x轴的系数b除以2a，纵坐标y坐标为直接带入顶点的横坐标得到的函数值。

四、对称轴对于二次函数y=ax^2+bx+c，其抛物线的对称轴是抛物线的中轴线，也可以称为轴线。

对称轴的方程为x=-b/2a，即直线与x轴垂直，横坐标为顶点的横坐标的相反数。

五、开口方向二次函数的开口方向由二次项的系数a决定。

当a大于0时，抛物线开口向上；当a小于0时，抛物线开口向下。

当a等于0时，二次函数退化为一次函数。

六、性质1. 当a大于0时，二次函数的值域为y≥c，即抛物线上方的所有实数；2. 当a小于0时，二次函数的值域为y≤c，即抛物线下方的所有实数；3. 当二次函数的a的绝对值越大时，抛物线越陡峭；4. 二次函数的零点是指函数与x轴相交的点，即满足y=0的x值；5. 二次函数的平移是指将抛物线沿x轴或y轴移动的操作，平移不会改变抛物线的开口方向和形状，只会改变抛物线的位置。

七、应用二次函数在数学中有广泛的应用。

例如，在物理学中，二次函数可以用于描述抛体的运动轨迹；在经济学中，二次函数可以用于描述成本、利润等与产量之间的关系；在工程学中，二次函数可以用于描述曲线的形状等。

二次函数的知识总结

二次函数的知识总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它是一种形如y=ax^2+bx+c的函数。

在二次函数的学习中，我们需要掌握其基本定义和性质，了解二次函数的图像特征以及掌握二次函数的应用。

二次函数的定义和性质是我们学习的基础。

二次函数的定义是y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a不等于零。

二次函数的图像是一条抛物线，其开口方向和a的正负有关。

当a大于零时，抛物线开口向上；当a小于零时，抛物线开口向下。

二次函数的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)为二次函数。

接下来，我们需要了解二次函数的图像特征。

通过分析二次函数的一阶导数和二阶导数，我们可以得到二次函数的凸性和拐点。

当a 大于零时，抛物线在顶点处具有最小值，是凹向上的；当a小于零时，抛物线在顶点处具有最大值，是凹向下的。

拐点是指抛物线上凹性发生变化的点，当a大于零时，拐点在顶点的左侧；当a小于零时，拐点在顶点的右侧。

在实际应用中，二次函数有着广泛的应用。

其中，最常见的就是运动学问题。

例如，一个物体在空中抛体运动的轨迹就可以用二次函数来描述。

通过分析抛物线的顶点坐标和凸性，我们可以得到物体的最高点和飞行的时间等信息。

此外，二次函数还可以用来解决最值问题。

通过求解二次函数的最值，我们可以得到函数的最大值或最小值，这在实际问题中有着重要的应用。

除了运动学问题和最值问题，二次函数还可以用来解决其他一些实际问题。

例如，二次函数可以用来建模一些自然现象，如弹簧的伸长长度和质量的关系、温度和时间的关系等。

二次函数还可以用来解决经济学中的一些问题，如成本和产量的关系、利润最大化问题等。

总结起来，二次函数是高中数学中的重要内容。

通过学习二次函数的定义和性质，我们可以了解二次函数的基本特征。

通过分析二次函数的图像特征，我们可以掌握其凸性和拐点的信息。

在实际应用中，二次函数可以用来解决运动学问题、最值问题以及建模一些自然现象和经济学问题。

辽宁省大连市一二一中学九年级数学《261二次函数1》学案

课题:26.1二次函数(1) 课型:新授执笔:徐洪国审核: 使用时间:2011—11--14 教务主任签字: 学习目标: 1.能识别二次函数.2.会列简单的二次函数关系式.3.会画形如()20y ax a =≠的二次函数的图象,并能总结它的性质.4.能根据()20y axa =≠的图象及性质解决问题.重点:形如()20y ax a =≠的二次函数的图象和性质. 难点:根据()20y axa =≠的二次函数的图象和性质解决问题.学法指导:同伴互助,小组合作. 一.知识盘点:1.二次函数的定义及一般式:()20y ax bx c a =++≠.2.形如()20y axa =≠的二次函数的图象和性质.例题:在同一坐标系中画2y x =和2y x =-的图象. 解:列表:描点:连线:3.在同一坐标系中画22y x =和22y x =-的图象. 4.在同一坐标系中画212y x =和212y x =-的图象. 5.形如()20y axa =≠的二次函数的性质:a ＞开口向上,⑴.开口方向:⑵.顶点为原点或(0,0) ⑶.对称轴为y 轴或x =0 a ＜.0时,有最小值0,⑷.最值(在顶点取得 0时,有最大值0. 0时,y 随x 而 , a ＞ 0时,y 随x 而 , ⑸.增减性:x ＞0时,y 随x 而 , a ＜0x ＜0时,y 随x 而 .二.跟踪训练:1.不用画图,直接说出下列二次函数的开口方向、顶点坐标及对称轴: 23y x = 213y x =-214y x = 24y x =- 2.已知二次函数22y x =-,当x ＞0时,y 随x 而 ;当x ＜0时,y 随x 而 ;当x = 时,y 有最值,是 . 3.已知二次函数212y x =,当x ＞0时,y 随x 而 ;当x ＜0时,y 随x 而 ;当x = 时,y 有最值,是 .4.下列函数中,是二次函数的是( ).A.21y x =+ B.1y x =- C.8y x =D.28y x= 5.已知二次函数2y ax =,当x =2时,y =-1,则a = . 6.抛物线2y x =-不具有的性质是( ).A.开口向下B.对称轴是y 轴C.与y 轴不相交D.最高点是原点 7.二次函数的图象是( ).A.直线 B.双曲线 C.抛物线 D.任意曲线2. 8.抛物线2y x =与2y x =-的图象在同一坐标系中关于对称. 9.设正三角形的边长为x (x ＞0),面积为y ,则y 与x 的函数关系式为( ).A.212y x =B.214y x = C.2y x =D.2y = 10.二次函数214y x =-,当12x x ＜＜0时,12y y 与的大小关系为 . 三.变式训练:11.抛物线22y x =、22y x =-和212y x =共有的性质( ).A.开口向上B.对称轴是y 轴C.都有最低点D.y 随x 增大而减小 12.函数2-y mx =开口向上,则m 满足 .13.二次函数()21y k x =+的图象如图1所示,则k 的取值范围是 .14.已知二次函数2y ax =,当x =3时,y =-5;当x =-3时,y = . 15.若函数()273m y m x-=-是二次函数,则m 的值是 .16.对于任意实数m ,下列函数一定是二次函数的是( ).A.()221y m x =- B.()221y m x =+ C.()221y m x =+ D.()221y m x =-17.已知抛物线2y ax =经过点(1,3),则当y =9时,x = .18.已知二次函数2y ax =,当x =1m 时,y =n ;当x =2m 时,y =n (且1m ≠2m );当x =1m +2m 时,y = 19.已知原点是抛物线()21y m x =+的最高点,则m 的取值范围是( ).A.m ＜-1B.m ＜1C.m ＞-1D.m ＞120.直线2y x =+与2y x =的交点坐标是 . 四.能力拓展:21.如图2,A 、B 分别为抛物线2y x =上两点,且线段AB ⊥y 轴,若AB=6,则直线AB 的解析式为( ).A.y =3 B.y =6 C.y =9 D.y =3622.已知a ＜-1,点(a -1,1y )、(a ,2y )、(a +1,3y )都在函数2y x =-的图象上,则( ).3.A. 1y ＜2y ＜3yB.1y ＜3y ＜2yC.3y ＜2y ＜1yD.2y ＜1y ＜3y 23.已知函数()2221k k y k k x --=+是二次函数,它的图象开口 ,当x = 时,y 有最值,是 .24.如图3,⊙O 的半径是2,1C 是二次函数212y x =的图象,2C 是抛物线212y x =-的图象,则阴影部分的面积为 .25.一个函数的图象是以y 轴为对称轴,以原点为顶点的抛物线,且经过点A(-2,8).求这个函数解析式.26.已知y 与2x 成正比例,并且当x =-1时,y =-3.求:⑴.y 与x 的函数关系式; ⑵.当x =4时,y 的值; ⑶.当y =13-时,x 的值.27.已知()2262k k y k x+-=+是二次函数,且当x ＞0时,y 随x 的增大而增大.⑴.求k 的值;⑵.直接说出该函数的开口方向、顶点坐标和对称轴.。

辽宁省大连市一二一中学九年级数学《261二次函数3》学案

课题:26.1二次函数(3)()()20y a x h a =-≠的二次函数的图象,并能总结它的性质.()()20y a x h a =-≠的图象及性质解决问题.()20y ax a =≠与()()20y a x h a =-≠之间的关系.重点:形如()()20y a x h a =-≠的二次函数的图象和性质及平移法则. 难点:根据()()20y a x h a =-≠的二次函数的图象和性质解决问题.学法指导:同伴互助,小组合作. 一.知识盘点:()()20y a x h a =-≠的二次函数的图象和性质.例题:在同一坐标系中画2y x =-、()21y x =--和()22y x =-+的图象.解:列表:描点:连线:1.212y x =、()2112y x =+和()2122y x =-的图象. ()()20y a x h a =-≠的二次函数的性质:a ＞0 开口向上,⑴.开口方向: (h ,0) ⑶.对称轴为x =ha ＜0 开口向下.a ＞0时,有最小值0,⑷.最值(在顶点取得):a ＜0时,有最大值0.x ＞h 时,y 随x 而 , a ＞0x ＜h 时,y 随x 而 .⑸.增减性:x ＞h 时,y 随x 而 , a ＜0x ＜h 时,y 随x 而 .4.平移法则:左加右减二.跟踪训练:1.不用画图,直接说出下列二次函数的开口方向、顶点坐标及对称轴,并用平移解释彼此之间的关系:213y x =()2133y x =-()2143y x =+ / 24y x =-()242y x =-+()241y x =--()221y x =-+,当x ＞时,y 随x 而;当x ＜时,y 随x 而;当x =时,y 有最值,是.()2122y x =+,当x ＞时,y 随x 而;当x ＜时,y 随x 而;当x =时,y 有最值,是. ()22y x =+的顶点坐标是( ).A.(2,0) B.(-2,0) C.(1,9) D.(0,4) ()231y x =--与y 轴交点坐标是.()2143y x =-+与x 轴交点坐标是.2.212y x =的图象向左平移2个单位,得到的新的二次函数关系式是;将其向右平移3个单位,得到的新的二次函数关系式是.()21y x =--的图象的是( ).A.(1,1) B.(0,0) C.(0,1) D.(-1,-4)22y x =、()225y x =-+和()221y x =-共有的性质是( ).y x 轴上()2114y x =--,当12x x ＜＜1时,12y y 与的大小关系为. 三.变式训练:()221y x =-向右平移2个单位得到的抛物线的解析式为. 21-2y m x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的顶点坐标是.13.写出一个顶点坐标为(3, 0),开口方向与形状和抛物线221y x =-完全相同的二次函数解析式 .()22y a x =+的图象经过点(0,-12), 则a =.()()2731m y m x m -=-+-是关于x 的二次函数,则它的顶点坐标是.()2y a x c =+与y 轴相交于原点,则下列判断正确的是( ).A.c ＞0B.c =0C.c c 的取值()2y a x h =-,当x 取1m 、2m (且1m ≠2m )时函数值相等,则当x =122m m +时,函数值为. ()221y x =+的图象一定( ).y y y21122y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的值与0的关系是( ).0 C2y x =+与()22y x =+的交点坐标是.3.四.能力拓展:()()22y m x m =-+的图象的顶点在x 轴的负半轴上,且开口向下,则m 的取值X 围是.22.在同一坐标系中,()2y a x b =+与(0,0y ax b a b =+≠≠的图象大致位置是( ).A. B. C. D()2y x b =+与()22y a x =-的形状相同,位置不同,则a b 、的值分别是( ).A.1,2a b =≠-B.1,2a b =-≠-C.1,2a b =±≠-D.1,2a b =±=-()2y a x c =+的顶点是(2, 0),且形状及开口方向与二次函数2112y x =-+相同.⑴.确定a 、c 的值; ⑵.画出这个函数的图象.25.如图所示,直线2y x =--交x 轴于点A,交y 轴于点B,二次函数2y ax bx c =++的图顶点为A, 且经过点B.⑴.求二次函数的解析式; ⑵.若点C 9,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在该二次函数的图象上,求m 的值.y Ox y x O yx O x y。

2611二次函数

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