清华大学微积分A(1)期中考试样题

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清华大学《大学物理》期中考试题

清华大学《大学物理》期中考试题班级：_________________姓名：_________________学号：____________________大学物理试卷a2021-2021学年第2学期期中课程名称：大学物理（一）使用课堂：考试时间：100分钟考试形式：闭卷，共5页，共4道题题一二三四总分号（10）（20）（30）（40）（100）得分得分阅卷人签字一、判断题（每小题1分，共10分）1.当速度方向和加速度之间的夹角为钝角时，粒子的运动为加速运动。

（2）当运动方程已知时，采用积分法计算速度和加速度。

（3）当粒子以抛射体的形式运动时，其加速度保持不变。

（4）当粒子以匀速圆周运动时，其加速度始终为零。

（5）当保守力做正功时，其相应的势能将减小。

（6）作用在刚体上的外部力矩等于刚体角动量随时间的变化率。

（7）摩擦总是产生负功。

（8）一对相互作用力所做功的代数和必须为零。

（9）转动惯量是描述刚体转动惯量的物理量。

（10）内力不会改变系统的总动量，但可以改变总动能。

（）得2分。

填空（每空2分，共20分）21.1．已知一质点沿x轴作直线运动，其运动方程为x?2t?3t（si），则质点在5秒时刻的加速度大小为m/s2。

2.当粒子以匀速圆周运动时，加速度始终为零。

（填写“切线”或“法线”）3。

粒子的圆周运动方程是？？2t3？3（RAD），半径为1m，粒子在2秒时的切向加速度为m/S2。

4．物体做斜抛运动，在最位置处的曲率半径最小。

（填“高”或“低”）第1页，共5页班级：_________________姓名：_________________学号：____________________5.刚体的转动惯量取决于三个因素：、和。

16．一质点沿半径为0.1m的圆周运动，其速率随时间变化的关系为v?3?t2(m/s)，2那么在t=2S时，粒子的切向加速度是a=_________M/S2，角加速度=_________;rad/S2。

2011-2012第二学期微积分期中考试试卷参考答案_7481_1628_20120411115551

北京交通大学2011-2012学年第二学期《微积分》期中考试试卷考试方式：闭卷任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数()21,0,0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(),f x y 在()0,0点 B 。

（A ）连续，且可偏导。

（B ）沿任何方向的方向导数都存在。

（C ）可微，且()0,00.df =（D ）(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点连续。

2. 设有三元方程ln 1.xyxy z y e -+=由多元隐函数存在定理，在()0,1,1的某邻域内，该方程 A 。

（A ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =。

（B ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),.z z x y = (C) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =。

（D ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),.z z x y = 3.设函数()f u 具有二阶连续导数，且()()'0,00,f u f>=则函数()()ln z f x f y =在点()0,0处取得极大值的一个充分条件是 D 。

（A ）()()"01,00.f f << （B ）()()"01,00.f f >> （C ）()()"01,00.f f <> （D ）()()"01,00.f f ><4.单位圆域221x y +≤被直线y x =±划分为四个区域()1,2,3,4,k D k =1D 是完全位于y 轴右侧的那个区域，按逆时针依次排列为1234,,,D D D D ，记cos kk D I x ydxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤等于 A 。

清华微积分A期中考试

3.
设数列{an
}
满足条件
lim
n
a2n
a,
lim
n
a2 n 1
b ，求极限 lim a1 a2 n
an n
。
4．用极限的“
”定义直接验证 lim x2
1 x2 1
1 3
。
三．证明题（请写出详细的证明过程！）
1.（8 分）设 0 x 1 ，证明不等式 (1 x)ln 2 (1 x) x2 。
4.
n
设 an
k 1
1 n2 k
，极限
lim
n
an
1
1
n
5.
设 a,b
均为正数， lim
n
an
2b n 31来自6. lim(1 cos x)ln x
。
x0
。。
7. x 0 时， 1 tan x 1 sin x 无穷小的阶为
。
8.
函数
f
(x)
x2 1 x 1
,
x 1 在 x 1处间断点的类型为
2, x 1
9.
设
f
(x)
1 ex x
x 0 ，则 f (0)
。
1 x 0
10.
设
f
可导，函数 y
f
dx (sin x) 存在可导的反函数，则
dy
11.
函数
y
y( x)
由参数方程
x
y
t t
sin t cos t
给出，其微分
dy
。
。。
12. 设 f (x) x(x 1)(x 2)(x 100) ，则 f '(0)

微积分I(第一层次)期中试题参考答案

……………………
1 n 1 n 1
1 1 1 把上述不等式相加，得 1 2 3 n ln n 1 2 1 而 an 1 1 2 3 1 n 1
ln n 1 n 0 ，所以 {an } 下方有界. 故 lim an 存在.
n
1 1 e
x x 1
，试确定 f ( x ) 的间断点及其类型.
解： x 0, x 1 为间断点. 因为 f (1 ) 0, f (1 ) 1 ，所以 1 为跳跃间断点.

又因为 f (0 ) , f (0 ) ，所以 0 为无穷型间断点.
1 1 八、（8 分）（1）对任意正整数 n ，证明： n1 1 ln(1 n ) n ; 1 1 （2）令 an 1 1 2 3 n ln n ，证明： lim an 存在. n
当 0 | x 2 | ，有
n 4
2. 求极限： lim n 4 .
n
解： 4
n
lim 4 =4. 所以由夹逼定理，得原式= 4 . n 4 4 n 4 n 2 ( n 5). 而 lim 4 n 2 =4 ，
n n 2/ x x 0
3. 求极限： lim(1 2 x) 解：原式= exp(lim
f (0) lim
a (sin x x cos x) sin x a lim ( cos x ) 2a. x 0 x 0 x x
由题意，当 a 2 时， f (0) f (0), 所以 f (0) 4. 七、（8 分）设 f ( x )

1
x

1
I lim

微积分上册期中考试样题

哈尔滨理工大学第一学期期中考试试题考试科目高等数学（经济类Ⅰ）考试时间：100分钟试卷总分100分一、填空题（将正确的答案填在横线上）（每小题3分，总计15分） 1．设函数2,1()1,1x f x x x ≤=+>⎪⎩，则[()]f f x = 。

2、极限 sin lim x x x →∞ 的值为 . 3、极限 3lim()1x x x x +→∞+ 的值为 . 4、设()f x 满足()()()0f x f x x α=++，且()0lim 0x x x α→=，那么()0f '= . 5、设211y x =-，则y '= .二、单项选择题（将正确的选项填在横线上）（每小题3分，总计15分）1、设()f x 为奇函数，()()11x x a F x f x a +=-必定为 .(A)奇函数； (B)偶函数； (C)奇偶性与a 有关； (D)非奇非偶函数.2、设13x y =，则当0x →时．(A) y 为无穷小量； (B) y 为无穷大量；(C) y 不为无穷大量，但为无界变量；(D) y 存在极限，但极限不为0．3、设 ()sin ln 1()1cos x x f x x⋅+=- ，则 0=x 是 )(x f 的 . （A ）可去间断点； (B) 跳跃间断点； (C) 第二类间断点； (D) 连续点.4、当0x →时，下列变量与 x 为等价无穷小量。

（A； (B) sin x x ；(D) 1sinx x . 5、下列各式中()y f x =在给定点处的导数都存在，则不正确。

（A ）()()()00lim 0x f x f f x→-'=； (B) ()()()02lim h f a h f a f a h→+-'=； (C) ()()()0000lim x f x f x x f x x∆→--∆'=∆； (D) ()()()0000lim 2x f x x f x x f x x ∆→+∆--∆'=∆. 三、解答下列各题（每小题9分，总计63分）1、计算极限8x →2、计算极限()()2013sin coslim 1cos ln 1x x x x x x →+++.3、计算极限2lim 2xx x x →∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭.4、设 21cos ,02(),0x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪≤⎩，讨论()f x 在点0x =处的连续性和可导性.5、设函数()y y x =由函数1xy y xe =+所确定，求()0y '.6、设sin y x =计算 y '.7、设2156y x x =++，求()100y .四、证明题（7分）证明方程sin x a x b =+()0,0a b >>至少有一个不超过a b +的正根。

清华大学微积分A习题课_6一致连续函数的可积性定积分的性质不定积分

n
“ ”. 用反证法. 假设 f ( x) 在 I 上非一致连续，即 0 0, 0, x, y I ，满足 | x y | ，但
f ( x) f ( y ) 0 ．
取 1, x1 , y1 I ,| x1 y1 | 1, 有 f ( x1 ) f ( y1 ) 0 . 取
n
lim[ f ( xn ) f ( yn )] 0 ,与已知条件矛盾.故函数 f ( x) 在区间 I 上一致连续.
n
二、函数的可积性. 5. 已知 f ( x)) R[a, b] . 证明：因为 f ( x) 在 [a, b] 上可积，所以 f ( x) 在 [a, b] 上有界，设 M sup {| f ( x) |} ．
1 1 , x2 , y2 I ,| x2 y2 | , 有 f ( x2 ) f ( y2 ) 0 . 2 2 1 1 , xn , yn I ,| xn yn | , 有 f ( xn ) f ( yn ) 0 . n n
取
从而在区间 I 上构造出两个数列 { xn } 与 { yn } . 显然 lim( xn yn ) 0 ，但
i 1
n
由于
f ( x) 可积，当划分直径趋向于零时， i xi 0 ，于是
i 1
n
ie
i 1
n
f
xi 0 ，
故函数 exp[ f ( x)] 在 [a, b] 上可积． 6. 证明：当 f ( x) 0 时， w
a x b
对于区间 [a, b] 的任意划分 T {x0 , x1 , x2 ,, xn } ，记

清华大学微积分A习题课_11高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组

2 2x
( y*) ( Ax 2 e 2 x ) ( Ax 2 )e 2 x Ax 2 (e 2 x ) 2 A( x x 2 )e 2 x ( y*) [2 A( x x 2 )e 2 x ] [2 A( x x 2 )]e 2 x 2 A( x x 2 )(e 2 x ) 2 A(1 2 x)e 2 x 4 A( x x 2 )e 2 x 2 A(1 4 x 2 x 2 )e 2 x
特征根为： 1 1， 2， 3 1 i . 所以其实基本解组为：
e t , e t cos t , e t sin t ，
t t
原方程的通解为： y C1e C 2 e （4）求 y' '
cos t C 3 e t sin t .
x 1 y' y 0 的通解。 1 x 1 x
'' ' t 2t
（3）求解方程 x 4 x 4 x e e
2
1
解：特征方程 4 4 0 ， 1, 2 2 ，故有基本解组 e ， te ，对于方程 x 4 x 4 x e ，因为 1 不是特征根，故有形如 x1 (t ) Ae 的特解，
作者：闫浩, 章纪民
2013 年 9 月
微积分 A(1)第十一次习题课参考答案（第十六周）
教学目的:本次习题课练习的是高阶线性微分方程以及一阶线性微分方程组。希望大家掌握的是齐次线性微分方程的特征根法；对特殊的非齐次项需要掌握待定系数法，特殊方程应掌握欧拉方程。对于二阶微分方程，当知道一个特解时，应会变动常数法求通解；线性微分方程组应会基解矩阵的求法。除此之外，应掌握解的结构问题。本次习题课也是本学期最后一次习题课。一、高阶线形微分方程 1.求解下列方程. （1） x 5 x 8 x 4 x 0 解：其特征方程为：

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1）Jensen不等式：设)(x f 为],[b a 上的下凸函数，则1),,,2,1),1,0(],,[1==∈∀∈∀∑=nk k k k n k b a x λλΛ，有2),(11≥≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n x f x f k nk k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得1),,,2,1),1,0(,01==∈∀>∑=nk k k k n k x λλΛ，有∑==≤∏nk k k k nk x x k11λλ当),2,1(1n k nk Λ==λ时，就是AG 不等式。

（3）Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，qyp x y x q p +≤11。

（4）Holder 不等式：设111,1,),,,2,1(0,=+>=≥qp q p n k y x k k Λ，则有 qnk q k pn k p k n k k k y x y x 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===在（3）中，令∑∑======nk qk n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 11,,,即可。

（5） Schwarz 不等式：211221121⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===nk k nk k n k k k y x y x 。

（6）Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有()pnk p k pnk p k pnk p k k y x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑=== 证明：()()()()()∑∑∑∑=-=-=-=+++=+⋅+=+nk p k k k nk p k k k nk p k k k k nk pk ky x y y x x y x y x y x1111111记111,11=+>-=qp p p q ，由Holder 不等式 ()()()qnk p q k k pnk p k qnk p q k k pnk p k nk p k ky x y y x x y x11)1(1111)1(111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+∑∑∑∑∑=-==-==()q n k p k k p n k p k p n k p k y x y x 111111⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∑=== 即：()pnk p k pnk p k pnk p k ky x y x 111111⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑∑===。

清华大学微积分学期中考试试卷

2006级微积分（二）期中考试试卷院系_________ 班级_____________ 姓名____________ 学号__________一、填空题（每小题4分，共24分）1．同时垂直于矢量{}1,2,1和矢量{}1,2,1-的单位矢量为 _____________。

2．用参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x2311表示的直线L 的点向式方程为_________________。

3．曲线:L ⎩⎨⎧=+=012xy z 绕z 轴旋转的旋转曲面在点P )3,1,1(处的切平面方程为（化简为一般方程）。

4．函数32),,(z xy z y x f =在点)1,1,1(P 处的微分P df =________________。

5．设 y xx y e x z xy arctan )2(sin 5-+⋅=π 。

则函数),(y x z 在点)1,2(P 的偏导数=∂∂P x z。

6．逐次积分 ⎰⎰20104x xdy dx 的值 = 。

二、选择题（每小题4分，共16分）7．关于函数),(y x f 在点),(b a P 的性态，下列结论中不对的是（）A ．在点),(b a P 的偏导数),(b a f x '存在推不出沿方向{}0,1的方向导数存在；B ．在点),(b a P 沿方向{}0,1的方向导数存在推不出偏导数),(b a f x '存在；C ．在点),(b a P 的两个偏导数存在推不出在点),(b a P 连续；D ．在点),(b a P 连续推不出在点),(b a P 的两个偏导数存在。

8．在空间直角坐标系中，方程 053=+y x 表示的几何对象为（）A ．通过原点的直线；B ．Oxy 平面上的直线；C ．垂直于Oz 轴的平面；D ．包含Oz 轴的平面。

9．函数3xy z =在原点处的函数值（）A ．是极小值；B ．是极大值；C ．不是极值D ．无法判定是否为极值。

2017-2018第一学期《微积分I》期中试卷解答(2)

n 3 2n3 n
n
3
2
1 n2
32
n 3 2n3 1
n
3
2
1 n3
32
由夹逼极限准则，得 lim( 1 1 1 ) 1 .
n 3 2n3 1 3 2n3 2
3 2n3 n 3 2
3. 写出函数 f (x) lim x etx 的表达式. t 1 xetx

( 1
t2 t
2
)

( 1
t
t
2
)
2t(1 t2 ) t2 2t (1 t2 )2
1 t2 2t2 (1 t2 )2

1
2t t
2
.
t 2时， x 2 ， y 4 .
5
5
切线斜率为 k dy 4 . 故所求切线方程为 y 4 4 (x 2) ，即 y 4 x 4 .
即 1 xn1 0 ，故 1 xn 0 ， n 1, 2, .
于是，
xn1

xn

xn2

xn

xn (xn
1)

0
，即数列{xn
}
单调减少且有界，故
lim
n
xn
存在.
设
lim
n
xn

a
，由
xn1

xn2

2xn 两边求极限，有 a

a2

2a
，得
a

0
或a

2017-2018 学年第一学期《微积分 I-1》期中试卷解答
一、计算下列各题（每小题 5 分，共 30 分）：

清华大学微积分A习题课_9广义积分的敛散性

（7）
∫
1
0
1 ln x ln x ln x 2 dx dx dx = + 1 ∫ ∫ 2 2 0 x (1 − x) x (1 − x) x (1 − x) 2 2
1
x → 1− ，
1 1 ln x ln x ln x 1 dx 发散，故 ∫ dx 发散。 ~− ， ∫1 2 2 0 1− x x (1 − x) x (1 − x) x (1 − x) 2 2
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作者：闫浩, 章纪民
2012 年 9 月
(4)
∫
+∞
0
1 +∞ 1 1 1 1 1 1 ln1 + x − 1 + x dx = ∫0 ln1 + x − 1 + x dx + ∫1 ln1 + x − 1 + x dx
故
∫
0
1 1 ln1 + x − 1 + x dx 收敛。
π dx dx dx 4 =∫ + ∫π2 p p q p q 0 sin x cos x sin x cos x 4 sin x cos q x
(5)
∫
π 2 0
π
dx 1 1 ∽ p ，当 p < 1 时， ∫ 4 收敛； x →0， p p q 0 sin x cos q x sin x cos x x
0
1 sin t
2
dt = ∫ 2
0
π
1 sin x
dx ，收敛.
(3)
+ ∞ arctan x 1 arctan x arctan x dx + ∫ dx = ∫ dx p p 0 1 0 x xp x arctan x 1 与 p −1 等价（ x → 0 ），对第一个积分， p x x

清华大学微积分A习题课_4导数的计算----隐函数、反函数、参数函数

第八周习题课一．导数的计算----隐函数、反函数、参数函数1.求由方程22ln(1)0x y x y ++++=确定的隐函数()y y x =在0x =点的二阶导数。

解：有上式对x 求导得：1+y ′+2x +2yy ′1+x +2yy =0整理得：y ′(x )= −(x +1)2+y 2x 2+(y +1)2继续求导得到y′′(x),然后在上面三个式子中带入x =0,解得y ′′(0)= −4 2.求函数ln(1)y x x =++反函数的二阶导数。

解：由式子对y 求导得：dx dy = (1+x)(2+x)二阶导数为：d dy (dx dy )= dx/dy (x +2)= x +1(x +2)3.求参数函数ln(1)tx t e y t t ⎧=+⎨=++⎩的二阶导数。

解：先求解x ′(t )=1+e t ;y’(t) = (t +2)/(t +1); 则可以求出：dy dx = y′(t)x′(t)由d 2y dx 2= d dx (dydx )= (y ′(t )x ′(t ))′x′(t),带入后解得：d dx (dydx )= −(t 2+3t +3)e t +1(t +1)2(e t +1)3二．高阶导数例.1 )1ln()1()(2x x x f -+=，求)1()(-n f解：2ln 2)1(,0)1(,0)1()0(=-''=-'=-f f f记 )1ln()(,)1()(2x x v x x u -=+=，当2>n 时，()()()()02(2)(2)1(1)()2(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)12(1)nn k n k k n k n n n n nn n n n n n n fC u v C u v C u v C u v C v -=-------=--'=--+--+--=-∑ 而mm m x x v x x v x x v )1()1()(,,)1(1)(,11)(1)(2--=--=''-='- 232)()2()1(2)1(-----=-n n n nn Cf注意这里的结果2>n 时候的结果，我们还需要在说明其余情况，经过计算：f ′(−1)=0 f ′′(−1)=2ln2例.2 求221ax y -=的n 阶导数。