复数1(复数概念)

复数1（复数概念）

知识点：

1.复数及其概念；

2.复数的周期性；

3.复数的表示方法；

4.复数的模及其几何意义；

教学过程：

1.虚数单位：数学中规定：21i =-，称i 为虚数单位；

说明：（1）21x x i =-⇒=±；

（2）周期性：44142431,,1,,k k k k i i i i i i +++===-=-；

2.复数概念：形如(,)z a bi a b R =+∈的数z 称为复数。

（1）全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ≠≠≠≠

⊂⊂⊂⊂； （2）其中a 为复数的实部，记法：Re z a =；b 称为复数的虚部，记法：Im z b =；

（3）当0b =时，复数z 为实数；当0,0b a ≠=时，复数z 为纯虚数；当0,0b a ≠≠时，称复数为虚数；

（4）(,)z a bi a b R =+∈称为复数的代数形式；

（5）复数1111122222(,),(,)z a b i a b R z a b i a b R =+∈=+∈相等的充要条件：1212

a a

b b =⎧⎨=⎩； （6）虚数不能比较大小；

3.复数的几何表示：在直角坐标系内(,)OZ a b =u u u v ，表示复数(,)z a bi a b R =+∈；这个建立了直

角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是0，

表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

（1）也可以表示成点(,)P a b =；

（2）可以看成是向量表示；

（3）复数的几何意义：

①复数的模：||||||z a bi OZ =+==u u u r (,)Z a b =的距离；

②设(,)z a bi a b R =+∈，则||1z =表示单位元；

③设(,)z a bi a b R =+∈，则||(,)z c di c d R --∈的几何意义是：表示点(,)Z a b 到点(,)P c d 的距离；

④设(,)z a bi a b R =+∈，若||1z =，则||(,)z c di c d R --∈的几何意义是：单位圆上的点到点(,)P c d 的距离；

⑤121212||||||||||||z z z z z z -≤±≤+；指出何时取到等号？

例1. 实数m 取何值时，复数26(215)3

m m z m m i m --=+--+是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：（1）z 是实数503015122

=⇒⎩⎨⎧≠+=--⇒m m m m ； （2）21503,530

m m m m m --≠⎧⇒≠-≠⎨+≠⎩； （3）z 为纯虚数

2303060151222-==⇒⎪⎩

⎪⎨⎧≠+=--≠--⇒m m m m m m m 或； 例2. 若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，求a b +的值；

解：3

例3. 已知i z z +-=-1,求复数z 。

解：设复数()R b a bi a z ∈+=,,

则01111a a a bi i b b ⎧=⎧⎪=-+=-+⇒⇒⎨⎨==⎩⎪⎩

则z i =。

方法2：11z z i z z i -=-+⇒=-+

|||1|||z z i z ⇒=-+⇒=平方解得||1z =，代入原方程得z i =。

例4. 设复数()R b a bi a z ∈+=,,且满足53=+-i z .

（1）求实数z ；（2）求纯虚数z 。

解：（）10Θz R b ∈∴=

()()Θz i a i a -+=-+=-+=3331522

∴=±=±a z 326326，即

（）为纯虚数，200Θz a b ∴=≠ ()()()()Θz i b i b -+=-++=-++=33131522

∴=-=-b z i i 3535或，即或. 例5.已知|2|3|4z z -=-=，求复数z ；

解：设()R b a bi a z ∈+=,，分别代入求解得3344

a z i

b =⎧⇒=±⎨=±⎩。 例6.指出下列复数对应的几何意义：

（1）|12|||z i z i -+=+；（2）|1||1|2z z -++=；

（3）|34||34|12z i z i -++--=；（4）||34||34||2z i z i -+---=

解：（1）中垂线；（2）线段；（3）椭圆；（4）双曲线；

例7.设复数z 满足|215|10|z z +=+，说明||z 的几何意义；

解：代数法设元得||z =；

例8.（1）已知||3z =，求|1|z -+的取值范围；

（2）已知|34|2z i +-=，求||z 的取值范围；

解：（1）方法1：几何法|1|[1,5]z -+∈

方法2：利用||3z =三角换元求解；

方法3：三角不等式求解；

（2）||[3,7]z ∈；

例9.已知复数i m m z )4(21-+= )(R m ∈ ，i z )sin 3(cos 22θλθ++= （R ∈λ ） 若21z z =，求λ的取值范围。

解：由21z z =，得 22cos 43sin m m θλθ

=⎧⎨-=+⎩， ∴]1,1[sin ,169)83(sin 4sin 3sin 4sin 3cos 44222-∈--=-=--=θθθθθθλ 由二次函数性质]7,16

9[-∈λ