复数1(复数概念)
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义 复数的几何意义课件北师大版必修第二册
z1，z2 对应的点之间的距离．
思考2：复数模的几何意义是什么？ 提示：复数z在复平面内对应的点为Z,r表示一个大于0的常数,则满足 条 件 |z| ＝ r 的 点 Z 的 轨 迹 为 以 原 点 为 圆 心 , r 为 半 径 的 圆 , |z|<r 表 示 圆 的 内 部,|z|>r表示圆的外部．
C．(0,0)
D．(－1,－1)
3．向量a＝(－2,1)所对应的复数是
A．z＝1＋2i
B．z＝1－2i
C．Z＝－1＋2i
D．z＝－2＋i
(A ) (D )
4．已知复数 z＝1＋2i(i 是虚数单位)，则 z ＝___1_－__2_i _.
[解析] 因为 z＝1＋2i，所以 z ＝1－2i.
5．已知复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点位于第二象限，则实数 m 的范围为__(_1_，___2_)_.
[分析] 根据复数与点、复数与向量的关系求解．
[解析] (1)两个复数对应的点分别为 A(10,7)，B(－6，1)，则 C(2,4)．故 其对应的复数为 2＋4i.
(2)①由复数的几何意义知： O→A＝(1,0)，O→B＝(2,1)，O→C＝(－1,2)， 所以A→B＝O→B－O→A＝(1,1)，A→C＝O→C－O→A＝(－2,2)，B→C＝O→C－O→B＝ (－3,1)，所以A→B，A→C，B→C对应的复数分别为 1＋i，－2＋2i，－3＋i.
[解析] 因为复数 z＝(m2－2)＋(m－1)i 对应的点(m2－2，m－1)位于 第二象限，所以 m2－2<0，且 m－1>0，所以 1<m< 2.
新教材高中数学第5章复数1复数的概念及其几何意义1-1复数的概念课件北师大版必修第二册
【对点练习】❷ m 取何实数时，复数 z＝m2m－＋m3－6＋(m2－2m－15)i. (1)是实数？ (2)是虚数？ (3)是纯虚数？
[解析] (1)由条件得mm2＋－32≠m0－，15＝0， ∴mm＝ ≠－5或3.m＝－3， ∴当 m＝5 时，z 是实数． (2)由条件得mm2＋－32≠m0－. 15≠0， ∴mm≠ ≠5－且3m. ≠－3， ， ∴当 m≠5 且 m≠－3 时，z 是虚数．
[解析] 由 m2＋5m＋6＝0 得，m＝－2 或 m＝－3，由 m2－2m－15 ＝0 得 m＝5 或 m＝－3.
(1)当 m2－2m－15＝0 时，复数 z 为实数，∴m＝5 或－3. (2)当 m2－2m－15≠0 时，复数 z 为虚数， ∴m≠5 且 m≠－3. (3)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝≠00. ， 时，复数 z 是纯虚数，∴m＝－2. (4)当mm22－ ＋25mm－ ＋165＝＝00. ， 时，复数 z 是 0，∴m＝－3.
基础自测
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．
(×)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．
(√)
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数
的相等．
(√)
[解析] (1)当b＝0时，z＝a＋bi为实数．
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，则这两个复数的
a2－3a－1＝3， ∴a2－5a－6＝0. 解得 a＝－1．
4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，则实数m的值等于__－__3__. m2－9＝0
[解析] ∵z<0，∴m＋1<0 ，∴m＝－3.
5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i
1-1复数的基本概念
§1.1 复数的基本概念授课要点：复数的定义，复数的代数表示，三角式、指数式及它们与复数几何表示（二维向量）之间的关系1、 复数的定义：设有一个有序数对(),a b ，遵从如下的运算法则加法：()()()11221212,,,a b a b a a b b +=++乘法：()(),,(,)a b c d ac bd ad bc =-+则称这一有序数对(),a b 为复数，记为α，即 α=(),a b其中a 为α实部，b 为α的虚部，记为a =Re α，b =Im α纯实数a =(),0a ，纯虚数记为b =()0,b ，所以有α=(),0a +()0,b =a(1,0)+b （0,1）其中(0，1)即为虚数单位，常记为i.2、 复数的相等与大小两个复数相等的充要条件是：实部、虚部分别相等.复数不能比较大小！这一点可用反证法证明：假设认为i ＞0，则在不等式两边同乘以一个大于0的数i ，不等式符号应当不变，即20i >即 -1>0，这显然是错误的！3、 几个特殊的复数：(0，0）：(0,0)(,)(,)(0,0)(,)(0,0)a b a b a b +=⎧⎨=⎩(1,0)：(1,0)(,)(,)a b a b =(0,1)：（0,1）(0,1)=(-1，0)=-1(0,1）是-1的平方根，是虚数单位，记为i =(0,1)4、 共轭复数：(,)a b α=，*(,)a b α=-互为共轭复数性质：**()αα=（共轭的共轭等于自己）*2ααα+=为实数（两个互为共轭的复数相加，结果必为实数） *22a b αα⋅=+，为非负实数（α的模方）5、 复数的减法、除法减法：()()()()a ib c id a c i b d +-+=-+- 除法：2222()()()()a ib a ib c id ac bd bc ad i c id c id c id c d c d++-+-==+++-++ ↑“分母实数化”6、 复数的几何表示：（1） 任何一个复数都可以和复平面上的一点对应，将这一点和原点连起来（原点为起点），形成一个二维矢量，这是一个二维自由向量，即将op 平移后，仍代表同一矢量（如右图所示）（2） 加法的几何表示（平行四边形法则与三角形法则）γαβ=+（3） 减法的几何表示：γαβ=- 复数不等式1212z z z z +≤+，1212z z z z -≤-，这 可以用三角形法则证明7、 复数的极坐标表示极坐标下，复数(cos sin )r i αθθ=+r 称为α的模，θ为辐角，记为：，r α=，Arg θα=辐角不唯一，辐角加上2π的任意整数倍代表同一个复数，将（0，2π）之间的辐角值称为辐角的主值arg αarg 2Arg k ααπ=+⋅.（k=0，±1，±2，……）提示：各种教材上的主值区间规定可能不一样，（0，0）的辐角无意义复共轭：(cos sin )a bi r i αθθ=+=+*(cos sin )a bi r i αθθ=-=-乘法：111(cos sin )r i αθθ=+222(cos sin )r i βθθ=+则 121122(cos sin )(cos sin )r r i i αβθθθθ=++1212121212(cos cos sin sin )(sin cos cos sin )r r i θθθθθθθθ=-++121212[cos()sin()]r r i θθθθ=+++规则是：模相乘，辐角相加 除法：112122[cos()sin()]r i r αθθθθβ=-+-规则是：模相除，辐角相减相比较而言，在极坐标表示下，复数的乘除运算比较容易8、 复数的指数表示欧拉公式：cos sin i e i θθθ=+ (cos sin )i r i re θαθθ=+=称为复数α的指数表示复数表示下，乘法，除法变得更容易1212()1212i i i r e r e r r e θθθθαβ+⋅=⋅= 1212()1122i i i re r er e r θθθθαβ-== 乘方，开方运算: i re θα=n n in r e θα=(2),0,1,21i k n re k n θπ+⋅==-小结:这一小结是对高中阶段所学复数知识的一个简短的总结回顾，没有难点。
北师大版必修第二册5-1-1复数的概念课件(32张)
2x－1＋i＝y－3－yi
①
2x＋ay－4x－y＋bi＝9－8i②
有实数解，则实数 a，b 的值分别为__1_,_2____．
解析：(1)因为 m∈R，z1＝z2，所以(2m＋7)＋(m2－2)i＝(m2－8)＋(4m＋3)i.由复数相 等的充要条件得2mm2－＋27＝＝4mm2－ ＋83， ， 解得 m＝5.
[正解] 设方程一实根为 a，则有 a2＋(k＋2i)a＋2＋ki＝0， 由复数相等的定义可得a22a＋＋kka＝＋02，＝0， 解得 k＝±2 2， 因此当 k＝±2 2时，原方程至少有一个实根. [防范措施] 对于复系数的一元二次方程，方程有实根，不能使用 Δ≥0，而应设出 实根代入，然后利用复数相 等的条件解出，这与实系数一元二次方程的解法是有区别的.
[自主记]
[解析] 因为 a，m∈R，所以由 a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得a22a＋＋amm＝＋02，＝0，
解得am＝＝－2，2 2
或am＝＝－2
2， 2，
所以 a＝± 2.
(2)[解] 设方程的实数根为 x＝m，
则 3m2－a2m－1＝(10－m－2m2)i，
∴3m2－a2m－1＝0， 10－m－2m2＝0，
当 b≠0 时，x0＝－db存在，则 abd＝d2＋b2c. 综上可知，当 b＝d＝0，且 Δ＝a2－4c≥0 或 b≠0，且 abd＝d2＋b2c 时，方程 x2＋(a ＋bi)x＋c＋di＝0(a，b，c，d∈R)有实数根．
m2－m－6＝0， ③当m＋3≠0，
m2－2m－15≠0，
即mm＝≠－－23或，m＝3， m≠5且m≠－3，
即 m＝－2 或 m＝3 时，z 是纯虚数．
研习 2 复数相等的充要条件 [典例 2] (1)已知 a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(m∈R)成立，则实数 a＝___±___2__. (2)关于 x 的方程 3x2－a2x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 a 的值．
复数知识点归纳(一)2024
复数知识点归纳（一）引言概述：复数是数学中的一个重要概念，它有着广泛的应用。
本文将要介绍复数的一些重要知识点，包括复数的定义、复数的表示形式、复数的运算规则、复数的性质以及复数在实际应用中的应用场景。
正文：1. 复数的定义：- 复数是由一个实部和一个虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式。
- 实部和虚部分别由实数a和b来表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。
2. 复数的表示形式：- 矩形形式：复数可以用直角坐标系中的点来表示，实部表示横坐标，虚部表示纵坐标，形成一个复平面。
- 极坐标形式：复数可以用极坐标表示，即用模和幅角来表示。
3. 复数的运算规则：- 加法和减法：复数相加减时，实部和虚部分别进行运算。
- 乘法和除法：复数相乘除时，可以使用矩阵形式进行运算，实部和虚部分别进行运算。
- 幂运算：复数的幂运算可以通过将复数转化为极坐标形式来简化运算。
4. 复数的性质：- 共轭复数：一个复数的共轭复数是将该复数的虚部取负数得到的复数。
- 模和幅角：一个复数的模是其在复平面上到原点的距离，幅角是与x轴正向的夹角。
- 相等和不等式：两个复数相等的条件是实部和虚部分别相等，两个复数的大小可以通过比较它们的模的大小来确定。
5. 复数的应用场景：- 电路分析：复数可以表示交流电压和交流电流，用于描述电路中电压和电流的相位关系。
- 信号处理：复数可以用于描述信号的频谱分析，在数字信号处理中有着重要应用。
- 工程计算：在工程中经常需要处理复杂的计算问题，复数可以简化计算过程。
总结：复数是一个由实部和虚部组成的数，可以用矩形形式和极坐标形式进行表示。
复数的运算包括加减法、乘除法和幂运算，具有一些重要的性质如共轭复数、模和幅角。
复数在实际应用中有广泛的应用场景，包括电路分析、信号处理和工程计算等。
深入理解和掌握复数知识，将对数学和工程领域的学习与应用产生积极的影响。
高中数学复数专题知识点整理和总结人教版61397
【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义：00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =叫做复数z 的模； 【2】复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 【3】复数的化简c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c da b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解【例4】 若复数()312a iz a R i +=∈-（i 为虚数单位），(1)若z 为实数，求a 的值 (2)当z 为纯虚，求a 的值.【变式1】设a 是实数，且112a ii -++是实数，求a 的值.. 【变式2】若()3,1y iz x y R xi+=∈+是实数，则实数xy 的值是 .【例7】复数cos3sin3z i =+对应的点位于第 象限 【变式1】i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( ) A ．i B ．-i C ．1 D ．-1【变式2】已知1iZ＋=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 【变式3】i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是（A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15【例8】（2012年天津）复数73iz i-=+= （ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i --【变式4】（2007年天津）已知i 是虚数单位，32i 1i=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i -- 【变式5】.（2011年天津）已知i 是虚数单位，复数131ii--= （ ） A 2i +B 2i -C 12i -+D 12i --【变式6】（2011年天津） 已知i 是虚数单位，复数1312ii-+=+（ ）(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i【变式7】.（2008年天津）已知i 是虚数单位，则()=-+113i i i （ ）(A)1- (B)1 (C)i - (D)i。
复数的性质-总结
12.复数的运算律
（1）复数的乘方：
（2）对任何 ， 及 有
13.复数的几何意义
，加减法的几何意义：平行四边形法则
注：复数几何意义给数形结合提供了条件.
⑴复平面内的两点间距离公式： .其中 是复平面内的两点 所对应的复数 间的距离.
⑵曲线方程的复数形式：
① 为圆心，r为半径的圆的方程.
② 表示线段 的垂直平分线的方程.
②z是纯虚数 z＋ ＝0（z≠0）; ③z是纯虚数 z2<0
4.复数相等
如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等
5.复数的模
= =
6.较大小
两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
（1）若 为复数，则
①若 ，则 .（×）[ 为复数，而不是实数]
②若 ，则 .（√）
（2）若 ，则 是 的必要不充分条件.
（当 ， 时，上式成立）
8.共轭复数
复数z=a+bi与复数z=a-bi互为共轭复数(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．
9.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴．
10.复数四则运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
复数
1.复数定义
形如 的数叫做复数,a,b分别叫它的实部和虚部．（复数集C—全体复数的集合）
2.复数单位
复数的单位为i，它的平方等于－1，即 .
3.复数分类
（1）复数—形如z=a+bi（其中 ）；
（2）实数— 当b = 0时的复数z=a+bi，即a；
（3）虚数—当 时的复数z=a+bi；
（4）纯虚数—①当a= 0且 时的复数z=a+bi，即bi.
专题2.1复数的概念(七个重难点突破)高考数学
故答案为：④.
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试卷讲评课件
2 + 2i/2i + 2
6.以2 + i的实部为虚部，2i + 1的虚部为实部的复数为_____________.
【分析】依题意分别确定实部与虚部，即可得解.
【详解】因为 + 的实部为2， + 的虚部为2，故所求复数为 + .
及正切型函数的值域，即可求得参数的范围.
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试卷讲评课件
【详解】∵ 是实数， ∈ , ，�� ≠ ，∴ + − = ，
即 =
−
恒成立.
−
又
∴
=
【详解】由
，解得 = −，故 = −.
+≠
故答案为： = −
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试卷讲评课件
8.已知x是实数，则“复数x x − 1 + i是纯虚数”的充分不必要条件是“
x = 0(或x = 1)
_______________”.
【分析】根据复数的概念、复数的代数形式以及复数的分类即可求解.
(完整版)复数知识点归纳
复数【知识梳理】一、复数的根本概念1、虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四那么运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=2、复数的概念〔1〕定义：形如bi a +(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做，b 叫做。
全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(a ，b ∈R )对于复数的定义要注意以下几点：①bi a z +=(a ，b ∈R )被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘②复数的实部和虚部都是实数，否那么不是代数形式〔2〕分类：例题：当实数m 为何值时，复数i m m m m )3()65(-++-是实数？虚数？纯虚数？二、复数相等也就是说，两个复数相等，充要条件是他们的实部和虚局部别相等注意：只有两个复数全是实数，才可以比拟大小，否那么无法比拟大小例题：0)4()3(=-+-+i x y x 求y x ,的值三、共轭复数bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==⇔bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_b a z z +=⋅ 四、复数的几何意义1、复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。
2、复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系〔复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量〕相等的向量表示同一个复数例题：〔1〕当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点①位于第三象限；②位于直线x y =上〔2〕复平面内)6,2(=→AB ，→→AB CD //，求→CD 对应的复数3、复数的模：向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =假设bi a z +=1，di c z +=2，那么21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：i z +=2，求i z +-1的值五、复数的运算〔1〕运算法那么：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=±②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+⋅+=⋅ ③2221)()()()())(()()(dc i ad bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-⋅+-+=++= 〔2〕OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－.六、常用结论〔1〕i ，12-=i ，i i -=3，14=i求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次例题：=675i（2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=-（3）1)2321(3=±-i ，1)2321(3-=±i 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比拟大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.() 【考点自测】1.(2021·安徽)设i是虚数单位，那么复数(1－i)(1＋2i)等于()A.3＋3iB.－1＋3iC.3＋iD.－1＋i2.(2021·课标全国Ⅰ)复数z满足(z－1)i＝1＋i，那么z等于()A.－2－iB.－2＋iC.2－iD.2＋i3.在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.假设C为线段AB的中点，那么点C对应的复数是()A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋ia，b∈R a＋i＝2－b i，那么(a＋b i)2等于()A.3－4iB.3＋4iC.4－3iD.4＋3i5.(1＋2i)＝4＋3i，那么z＝________.【题型分析】题型一复数的概念例1z＝a－(a∈R)是纯虚数，那么a的值为()(2)a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，假设为纯虚数，那么复数的虚部为()A.1B.iC.(3)假设z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，那么“m＝1〞是“z1＝z2〞的()引申探究1.对本例(1)中的复数z，假设|z|＝，求a的值.2.在本例(2)中，假设为实数，那么a＝________.思维升华解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.(2)解题时一定要先看复数是否为a＋b i(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.(1)假设复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，那么实数x的值为()A.－1B.0C.1D.－1或1(2)(2021·浙江)i是虚数单位，a，b∈R，那么“a＝b＝1〞是“(a＋b i)2＝2i〞的()题型二复数的运算命题点1复数的乘法运算例2(1)(2021·湖北)i为虚数单位，i607的共轭复数为()A.iB.－iC.1D.－1(2)(2021·北京)复数i(2－i)等于()A.1＋2iB.1－2iC.－1＋2iD.－1－2i命题点2复数的除法运算例3(1)(2021·湖南)＝1＋i(i为虚数单位)，那么复数z等于()A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i(2)()6＋＝________.命题点3复数的运算与复数概念的综合问题例4(1)(2021·天津)i是虚数单位，假设复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，那么实数a的值为________.(2)(2021·江苏)复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，那么z的实部为________.命题点4复数的综合运算例5(1)(2021·安徽)设i是虚数单位，表示复数zz＝1＋i，那么＋i·等于()(2)假设复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，那么z的虚部为()A.－4B.－C.4D.思维升华复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四那么运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题，先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法那么化简，一般化为a＋b i(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答.(5)复数的综合运算.分别运用复数的乘法、除法法那么进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要先算括号里面的.(1)(2021·山东)假设复数z满足＝i，其中i为虚数单位，那么z等于()A.1－iB.1＋iC.－1－iD.－1＋i(2)2021＝________.(3)＋2021＝________.题型三复数的几何意义例6(1)(2021·重庆)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()(2)△ABC的三个顶点对应的复数分别为z1，z2，z3，假设复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，那么z 对应的点为△ABC的()思维升华因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.(1)如图，在复平面内，点A表示复数z，那么图中表示z的共轭复数的点是()A.AB.BC.CD.D(2)z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【思想与方法】解决复数问题的实数化思想典例x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xy i＝4－6i，求x，y.思维点拨(1)x，y为共轭复数，可用复数的根本形式表示出来；(2)利用复数相等，将复数问题转化为实数问题.温馨提醒(1)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最根本的思想方法. (2)此题求解的关键是先把x、y用复数的根本形式表示出来，再用待定系数法求解.这是常用的数学方法.(3)此题易错原因为想不到利用待定系数法，或不能将复数问题转化为实数方程求解.【方法与技巧】1.复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.z＝a＋b i(a，b∈R z＝a＋b i(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体，又要从实部、虚部的角度分解成两局部去认识.3.在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法那么，其方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合.【失误与防范】1.判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2.两个虚数不能比拟大小.a＋b i(a，b∈R)中的实数b，即虚部是一个实数.【稳固练习】1.(2021·福建)假设(1＋i)＋(2－3i)＝a＋b i(a，b∈R，i是虚数单位)，那么a，b的值分别等于()A.3，－2B.3,2C.3，－3D.－1,4z＝＋i，那么|z|等于()A.B.C.3.(2021·课标全国Ⅱ)假设a为实数，且(2＋a i)(a－2i)＝－4i，那么a等于()4.假设i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数的点是()A.EB.FC.GD.H5.(2021·江西)是z的共轭复数，假设z＋＝2，(z－)i＝2(i为虚数单位)，那么z等于()A.1＋iB.－1－iC.－1＋iD.1－i6.(2021·江苏)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，那么z的模为________.＝a＋b i(a，b为实数，i为虚数单位)，那么a＋b＝________.8.复数(3＋i)m－(2＋i)对应的点在第三象限内，那么实数m的取值范围是________.9.计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，假设1＋z2是实数，求实数a的值.【能力提升】z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cosθ＋(λ＋3sinθ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，那么λ的取值范围是()A.[－1,1]B.C.D.f(n)＝n＋n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()z＝x＋y i，且|z－2|＝，那么的最大值为________.a∈R，假设复数z＝＋在复平面内对应的点在直线x＋y＝0上，那么a的值为____________.15.假设1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，那么b＝________，c＝________. 【稳固练习参考答案】1A.2.B.3.B..5.D.6..7.3.8.m<.9.解(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.10.解1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i＝＋(a2＋2a－15)i.∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3.又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3.11.解析由复数相等的充要条件可得化简得4－4cos2θ＝λ＋3sinθ，由此可得λ＝－4cos2θ－3sinθ＋4＝－4(1－sin2θ)－3sinθ＋4＝4sin2θ－3sinθ＝42－，因为sinθ∈[－1,1]，所以4sin2θ－3sinθ∈.答案C12.解析f(n)＝n＋n＝i n＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…∴集合中共有3个元素.答案 C13.解析∵|z－2|＝＝，∴(x－2)2＋y2max＝＝.14.解析∵z＝＋＝＋i，∴依题意得＋＝0，∴a＝0.15.解析∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根.由根与系数的关系知，∴b＝－2，c＝3.。
第四节 复数的概念及其运算(知识梳理)
第四节复数的概念及其运算复习目标学法指导1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.掌握复数代数形式的四则运算.4.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 理解复数的有关概念是基础,解决复数问题的基本思路是把复数问题实数化.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项,乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化,因此要用类比的思想学习复数的运算问题.一、复数的有关概念1.复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b(i是虚数单位).2.复数的分类复数z=a+bi(a,b∈R)()()()()=0=0baba⎧⎪⎪⎧⎨⎪≠⎨⎪≠⎪⎪⎩⎩实数纯虚数虚数非纯虚数3.复数相等a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).4.共轭复数a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c且b=-d(a,b,c,d∈R).5.复数的模向量OZ u u u r的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=r=22a b+(r≥0,r,a,b∈R).二、复数的几何意义1.复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.2.实轴、虚轴在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.3.复数的几何表示复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)平面向量OZ u u u r.三、复数的运算1.复数的加、减、乘、除运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则(1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(3)乘法:z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(4)除法:12z z =i i a b c d ++=()()()()i i i i a b c d c d c d +-+-=22ac bd c d +++ 22bc adc d-+i(c+di ≠0). 2.复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有z 1+z 2=z 2+z 1,(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3). 四、与复数运算有关的结论 1.(1±i)2=±2i.2.1i 1i +-=i,1i 1i-+=-i. 3.(a+bi)(a-bi)=a 2+b 2. 4.(a ±bi)2=a 2-b 2±2abi. 5.i i a b +=b-ai.概念理解(1)复数的代数形式z=a+bi(a,b ∈R),虚部是b 而不是bi,即实部和虚部都是实数.(2)一个复数若为纯虚数,则既要满足实数a=0,又要满足虚部b ≠0,两个条件缺一不可.(3)两个复数一般不能比较大小,只能说相等或不相等. (4)两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等. (5)虚轴上的点除原点外都表示纯虚数.(6)复平面内表示复数z=a+bi 的点Z 的坐标为(a,b),而不是(a,bi). 五、复数的模 1.复数的模的相关结论设z 1,z 2是任意两个复数, (1)|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|,|12z z |=12z z (|z 2|≠0).(2)|1n z |=|z 1|n (n ∈N *).(3)||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|,等号成立的条件是①当|z 1+z 2|=|z 1|+|z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量同向共线;②当||z 1|-|z 2||=|z 1+z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量反向共线.(4)||z 1|-|z 2||≤|z 1-z 2|≤|z 1|+|z 2|,等号成立的条件是①当|z 1-z 2|=|z 1|+|z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量反向共线;②||z 1|-|z 2||=|z 1-z 2|时,即z 1,z 2所对应的向量同向共线. 2.复数的模的几何意义(1)复数z=a+bi,则|z|表示在复平面所对应的点Z(a,b)到原点的 距离.(2)若复数z=a+bi,z 0=a 0+b 0i,则|z-z 0|表示复平面内两点(a,b)与(a 0,b 0)间的距离,即两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.六、与复数概念有关的结论1.实数集R 与虚数集都是复数集的真子集且互为补集,即R ∪{虚数}=C,R ∩{虚数}= .2.z=a+bi=0⇔a=b=0.3.复数能比较大小的充要条件是复数为实数.4.i 2=-1.5.i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0.6.共轭复数的性质设z=a+bi,z=a-bi(a,b∈R),则(1)z+z=2a,z-z=2bi;(2)z=z;(3)|z|=|z|=22+,z·z=a2+b2=|z|2=|z|2;a b(4)z∈R⇔z=z;(5)z与z在复平面内所对应的点关于实轴对称.1.(2019·全国Ⅱ卷)设z=i(2+i),则z等于( D )(A)1+2i (B)-1+2i(C)1-2i (D)-1-2i解析:z=i(2+i)=2i+i2=-1+2i,所以z=-1-2i,故选D.2.已知i为虚数单位,复数z1=a+i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为( C )(A)2 (B)-2 (C)2或-2 (D)±2或0解析:21a+41+,则a=±2.故选C.3.(2018·杭州高级中学月考)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z的共轭复数为( B )(A)2-2i (B)2+2i(C)-2+2i (D)-2-2i解析:方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)可化为x2+4x+4+i(x+a)=0,由复数相等的意义得2440,0,x x x a ⎧++=⎨+=⎩解得x=-2,a=2,方程x 2+(4+i)x+4+ai=0(a ∈R)有实根b,故b=-2, 所以复数z=2-2i,所以复数z 的共轭复数为2+2i. 故选B.4.(2019·杭州市第二学期高三教学质量检测)已知复数z=1+i(i 是虚数单位),则211z z -+等于( A )(A)i (B)-i (C)1+i(D)1-i解析:211z z -+= 12i 2i -++=(12i)(2i)5-+-=5i5=i.故选A.考点一 复数的概念及分类 [例1] 复数z=(m 2+m-6)i+27123mm m -++为纯虚数,则实数m 的值为( )(A)2 (B)-3 (C)4 (D)3或4解析:由227120,30,60,m m m m m ⎧-+=⎪+≠⎨⎪+-≠⎩得m=3或m=4.故选D.处理有关复数的基本概念问题,关键找准复数的实部和虚部,把复数问题转化为实数问题来解决.1.若复数m(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数,则实数m 的值为( C ) (A)0或2 (B)2 (C)0 (D)1或2 解析:因为m(m-2)+(m 2-3m+2)i 是纯虚数,则()220,320,m m m m ⎧-=⎪⎨-+≠⎪⎩解得m=0.故选C. 2.复数z=(3-2i)i 的共轭复数z 等于( C )(A)-2-3i (B)-2+3i (C)2-3i (D)2+3i 解析:因为z=(3-2i)i=2+3i, 所以z =2-3i.故选C. 考点二 复数的几何意义[例2] (1)(2019·全国Ⅱ卷)设z=-3+2i,则在复平面内z 对应的点位于( )(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (2)若复数z 满足z=()2i2i -- (i 是虚数单位),则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )(A)(425,325) (B)(-425,325) (C)(425,-325) (D)(-425,-325)解析:(1)由z=-3+2i,得z =-3-2i,对应点(-3,-2)位于第三象限.故 选C. 解析: (2)z=()2i2i --=i 44i 1+-=i 34i +=()i 34i 25-=425+325i, 所以在复平面内,z 对应的点的坐标是(425,325).故选A.判断复数所在平面内的点的位置的方法:首先将复数化成a+bi(a,b ∈R)的形式,其次根据实部a 和虚部b 的符号来确定点所在的象限及坐标.1.在复平面中,复数1-3i,(1+i)(2-i)对应的点分别为A,B,则线段AB 的中点C 对应的复数为( D )(A)-4+2i (B)4-2i (C)-2+i (D)2-i解析:(1+i)(2-i)=3+i,所以A,B 的坐标分别为(1,-3)和(3,1),所以线段AB 的中点C 的坐标为(2,-1),所以线段AB 的中点C 对应的复数为2-i,故选D.2.(2019·宁波高三上期末考试题)设i 为虚数单位,给定复数z=2(1i)1i-+,则z 的虚部为 ,模为 .解析:z=2(1i)1i-+=2i 1i -+=2i(1i)2--=-1-i, 故z 的虚部为-1,模为2.答案:-123.若复数z 满足|z-3i|=5,求|z+2|的最大值和最小值.解:由复数模的几何意义可知,|z-3i|=5表示以(0,3)为圆心,以5为半径的圆上的点.则|z+2|表示该圆上点到点(-2,0)的距离,由图可知,|z+2|的最大值为5+13,最小值为5-13.考点三 复数代数形式的运算[例3] (1)i 是虚数单位,复数7i34i ++等于( )(A)1-i (B)-1+i(C)1725+3125i (D)-177+257i (2)若复数z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则z 的虚部为( )(A)-4 (B)-45 (C)4 (D)45解析:(1)复数7i 34i ++=()()()()7i 34i 34i 34i +-+-=2525i 25-=1-i.故选A.解析:(2)z=43i 34i +-=534i- =()()()534i 34i 34i +-+=()534i 25++=35+45i,所以复数z 的虚部是45,故选D.(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算;复数除法运算的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数转化为复数的乘法运算,注意要把i 的幂化成最简形式.(2)将所求复数z 分离出来,利用复数运算法则求解.1.已知z=1i 1i+-,其中i 是虚数单位,则z+z 2+z 3+…+z 2 017的值为( C ) (A)1+i (B)1-i (C)i (D)-i解析:由于z=1i 1i+-=i, 所以z+z 2+z 3+…+z 2 017=504(i+i 2+i 3+i 4)+i=i, 故选C.2.已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数z 2的虚部为2,z 1·z 2是实数,求z 2.解:由(z 1-2)(1+i)=1-i ⇒z 1=2-i, 设z 2=a+2i(a ∈R),则z 1·z 2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i, 因为z 1·z 2是实数,所以a=4⇒z 2=4+2i.。
复数的基本概念及其运算
复数的基本概念及其运算
复数是国际采用的数学基础概念。
它不仅在几何中表达平面或空间的位置，而且在代数中表达一组变量的关系。
作为一种更为通用的数学形式，复数在解决现实数学问题中具有重要意义。
复数由实数和虚数两个部分组成，它们可以表示为z=a+bi的形式，其中的a 为实部，对应着一个实数；b为虚部，对应着一个虚数。
通过合理的运算，复数不仅可以表达一个点在平面或空间中的位置，而且可以表达一组变量之间的关系。
复数最常用的运算是加减乘除，特别是在复数运算中，需要特别注意运算符号的变化。
例如加法运算与实数运算不同，它需要按照实部和虚部的方式分别进行相加运算，最后得到的结果便是一个复数。
如今，复数的理论正被广泛应用于互联网中。
在数据挖掘，机器学习和虚拟社交系统中，都可以看到复数的影子。
特别是在复杂的计算任务下，复数的运算能力更胜一筹。
因此，复数将会起到越来越重要的作用，并成为新一代互联网技能发展的重要助力者。
总之，复数是一种基础性的数学概念，它在不同的数学形式中表达了实数和虚数之间的关系。
它的运算难度相对较大，但它更适用于复杂的计算任务，在互联网领域有着广泛的应用。
新高考数学A版讲义：复数第1节 复数与复平面
第1节 复数与复平面要点一：复数知识点一 复数的有关概念 1.复数(1)定义：我们把形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝－1. (2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部.2.复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C 表示. 知识点二 复数的分类1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0.2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系知识点三 复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，则a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d ，a ＋b i ＝0⇔a ＝b ＝0.一、复数的概念 例1 下列命题：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②若a ，b ∈R ，且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④实数集是复数集的真子集. 其中正确的是( ) A.① B.② C.③ D.④解析 对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时，为纯虚数.对于①，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x ＝－2，则x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2＝0，此时(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正反思感悟 复数a ＋b i(a ，b ∈R )中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪训练1 (多选)对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，下列说法不正确的是( ) A.若a ＝0，则a ＋b i 为纯虚数B.若a ＋(b －1)i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－2C.若b ＝0，则a ＋b i 为实数D.i 的平方等于1 答案 ABD解析 对于A ，当a ＝0时，a ＋b i 也可能为实数；对于B ，若a ＋(b －1)i ＝3－2i ，则a ＝3，b ＝－1；对于D ，i 的平方为－1.所以ABD 均错误. 二、复数的分类例2 当m 为何实数时，复数z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2－2m －15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数.解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15≠0，即m ≠5且m ≠－3时，z 是虚数.(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2－2m －15≠0，即m ＝3或m ＝－2时，z 是纯虚数.延伸探究1.本例中条件不变，当m 为何值时，z 为实数？解 当⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3≠0，m 2－2m －15＝0，即m ＝5时，z 是实数.2.已知z ＝log 2(1＋m )＋i 12log (3－m )(m ∈R )，若z 是虚数，求m 的取值范围.解 ∵z 是虚数，∴12log (3－m )≠0，且1＋m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－m >0，3－m ≠1，1＋m >0，∴－1<m <2或2<m <3.∴m 的取值范围为(－1,2)∪(2,3).反思感悟 解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部. (2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. (3)下结论：设所给复数为z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，①z 为实数⇔b ＝0.②z 为虚数⇔b ≠0.③z 为纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.跟踪训练2 若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1 解析 根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a ＝2. 三、复数相等的充要条件例3 若(x ＋y )＋y i ＝(x ＋1)i ，求实数x ，y 的值.解 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＝x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝12.延伸探究若关于x 的方程3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值.解 设方程的实根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a2m －1＝(10－m －2m 2)i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715.反思感悟 复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现.(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的.跟踪训练3 复数z 1＝(2m ＋7)＋(m 2－2)i ，z 2＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i ，m ∈R ，若z 1＝z 2，则m ＝________.解析 因为m ∈R ，z 1＝z 2，所以(2m ＋7)＋(m 2－2)i ＝(m 2－8)＋(4m ＋3)i.由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋7＝m 2－8，m 2－2＝4m ＋3，解得m ＝5.要点二：复平面知识点一 复平面思考 有些同学说：实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？答案 不正确.实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0，表示的是实数. 知识点二 复数的几何意义 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )复平面内的点Z (a ，b ). 2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )平面向量OZ →.知识点三 复数的模1.定义：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模或绝对值. 2.记法：复数z ＝a ＋b i 的模记为|z |或|a ＋b i|. 3.公式：|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 知识点四 共轭复数1.定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.2.表示：z 的共轭复数用z 表示，即若z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.一、复数与复平面内的点的关系例1 已知复数z ＝(a 2－1)＋(2a －1)i ，其中a ∈R .当复数z 在复平面内对应的点Z 满足下列条件时，求a 的值(或取值范围).(1)在实轴上；(2)在第三象限. 解 (1)若z 对应的点Z 在实轴上，则有2a －1＝0，解得a ＝12.(2)若z 对应的点Z 在第三象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1<0，2a －1<0，解得－1<a <12.故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，12. 反思感悟 利用复数与点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以用复平面内的点Z (a ，b )来表示，是解决此类问题的根据.(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解.跟踪训练1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点在虚轴上和实轴负半轴上，分别求复数z .解 若复数z 的对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，所以m ＝－1或m ＝2，所以z ＝6i 或z＝0.若复数z 的对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2＝0，所以m ＝1，所以z ＝－2.二、复数与复平面内的向量的关系 例2(1)已知M (1,3)，N (4，－1)，P (0,2)，Q (－4,0)，O 为复平面的原点，试写出OM →，ON →，OP →，OQ →所表示的复数；(2)已知复数1，－1＋2i ，－3i,6－7i ，在复平面内画出这些复数对应的向量；(3)在复平面内的长方形ABCD 的四个顶点中，点A ，B ，C 对应的复数分别是2＋3i,3＋2i ，－2－3i ，求点D 对应的复数.解 (1)OM →表示的复数为1＋3i ；ON →表示的复数为4－i ；OP →表示的复数为2i ；OQ →表示的复数为－4.(2)设复数1对应的向量为OA →，其中A (1,0)； 复数－1＋2i 对应的向量为OB →，其中B (－1,2)； 复数－3i 对应的向量为OC →，其中C (0，－3)； 复数6－7i 对应的向量为OD →，其中D (6，－7). 如图所示.(3)记O 为复平面的原点，由题意得OA →＝(2,3)，OB →＝(3,2)，OC →＝(－2，－3). 设OD →＝(x ，y )，则AD →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－5，－5).由题意知，AD →＝BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝－5，y －3＝－5，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故点D 对应的复数为－3－2i.反思感悟 复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量.(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.跟踪训练2 已知平面直角坐标系中O 是原点，向量OA →，OB →对应的复数分别为2－3i ，－3＋2i ，那么向量BA →对应的复数是( ) A.－5＋5i B.5－5i C.5＋5iD.－5－5i解析 向量OA →，OB →对应的复数分别记作z 1＝2－3i ，z 2＝－3＋2i ，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量OA →＝(2，－3)，OB →＝(－3,2).由向量减法的坐标运算可得向量BA →＝OA →－OB →＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)， 根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量BA →对应的复数是5－5i. 三、复数的模及其应用例3 (1)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2解析 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2. (2)已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2， 代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8. ∴z ＝－15＋8i.反思感悟 复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.跟踪训练3 (1)已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，下列选项中正确的是( ) A.z 1>z 2 B.z 1<z 2 C.|z 1|>|z 2|D.|z 1|<|z 2|解析 |z 1|＝|5＋3i|＝52＋32＝34，|z 2|＝|5＋4i|＝52＋42＝41.因为34<41，所以|z 1|<|z 2|. (2)已知0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( ) A.(1，10) B.(1，3) C.(1,3)D.(1,10)解析 0<a <3，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |＝a 2＋1∈(1，10).复数模的几何意义典例设z∈C，且满足下列条件，在复平面内，复数z对应的点Z的集合是什么图形？(1)|z|<3；(2)|z|＝2.解(1)设z＝x＋y i(x，y∈R)，则|z|＝x2＋y2.由题意知x2＋y2<3，x2＋y2<9.所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界.(2)根据模的几何意义，|z|＝2表示复数z对应的点到原点的距离为2.所以满足|z|＝2的点Z的集合为以原点为圆心，2为半径的圆.[素养提升]复数模的几何意义可以延伸为|z|表示复数z对应的点Z与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养.复数1.设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析因为a，b∈R，当“a＝0”时，“复数a＋b i是纯虚数”不一定成立，也可能b＝0，即a＋b i＝0∈R.而当“复数a＋b i是纯虚数”时，“a＝0”一定成立.所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要不充分条件.2.给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析①错误，例如z＝i，则z2＝－1；②错误，因为2i－1虚部是2；③正确，因为2i＝0＋2i.3.在复平面内，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i(a∈R)是纯虚数，则()A.a＝0或a＝2B.a＝0C.a ≠1且a ≠2D.a ≠1或a ≠2答案 B解析 因为复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 是纯虚数， 所以a 2－2a ＝0且a 2－a －2≠0，所以a ＝0.4.若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 019i ＝2－b i ，则a 2＋b i 等于( ) A.2 019＋2i B.2 019＋4i C.2＋2 019i D.4－2 019i答案 D解析 因为a ＋2 019i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 019，即a ＝2，b ＝－2 019， 所以a 2＋b i ＝4－2 019i.5.(多选)下列命题中错误的有( )A.若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1B.纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集C.若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3D.若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应 答案 ABCD解析 取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故A 错；BC 错；对于D ，a ＝0时，a i ＝0，D 错.6.设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0，得m ＝－2.7.如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x ，y 为实数，则x ＝________，y ＝________. 答案 141解析 由复数相等可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.8.如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i>1则实数m 的值为________. 答案 2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1>1，解得m ＝2.9.实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0. 解 由m 2＋5m ＋6＝0得，m ＝－2或m ＝－3， 由m 2－2m －15＝0得m ＝5或m ＝－3. (1)当m 2－2m －15＝0时，复数z 为实数， ∴m ＝5或－3.(2)当m 2－2m －15≠0时，复数z 为虚数， ∴m ≠5且m ≠－3.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －15≠0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是纯虚数，∴m ＝－2.(4)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －15＝0，m 2＋5m ＋6＝0时，复数z 是0，∴m ＝－3.10.分别求满足下列条件的实数x ，y 的值. (1)2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i ； (2)x 2－x －6x ＋1＋(x 2－2x －3)i ＝0.解 (1)∵x ，y ∈R ，∴由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.(2)∵x ∈R ，∴由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3或x ＝－2，且x ≠－1，x ＝3或x ＝－1，∴x ＝3.11.若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( ) A.2k π－π4(k ∈Z )B.2k π＋π4(k ∈Z )C.2k π±π4(k ∈Z )D.k 2π＋π4(k ∈Z ) 答案 B解析 由题意，得⎩⎨⎧sin 2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，解得⎩⎨⎧θ＝k π＋π4，θ≠2k π±3π4，k ∈Z ，∴θ＝2k π＋π4，k ∈Z .12.已知关于x 的方程(x 2＋mx )＋2x i ＝－2－2i(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( ) A.3＋i B.3－i C.－3－i D.－3＋i答案 B解析 由题意知(n 2＋mn )＋2n i ＝－2－2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i. 13.已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______________条件.答案 充分不必要解析 当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件.14.使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________. 答案 {3}解析 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}.15.若复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A.7 B.－17C.－7D.－7或－17答案 C解析 ∵复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数， ∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0， ∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34， 则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7. 16.已知复数z 1＝4－m 2＋(m －2)i ，z 2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ).(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.解 (1)∵z 1为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－m 2＝0，m －2≠0，解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧4－m 2＝λ＋2sin θ，m －2＝cos θ－2， ∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3＝(sin θ－1)2＋2.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2,6].复平面1.已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝－i ，则|z 1||z 2|等于( ) A.55 B.15C. 5D.5 答案 C解析 依题意|z 1|＝22＋12＝5，|z 2|＝(－1)2＝1，所以|z 1||z 2|＝ 5. 2.向量OZ 1→对应的复数是5－4i ，向量OZ 2→对应的复数是－5＋4i ，则OZ 1→＋OZ 2→对应的复数是( )A.－10＋8iB.10－8iC.0D.10＋8i答案 C解析 由复数的几何意义，可得OZ 1→＝(5，－4)，OZ 2→＝(－5,4)， 所以OZ 1→＋OZ 2→＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ 1→＋OZ 2→对应的复数为0.3.在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A.4＋8iB.8＋2iC.2＋4iD.4＋i答案 C解析 因为复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，所以A (6,5)，B (－2,3)，又C 为线段AB 的中点，所以C (2,4)，所以点C 对应的复数是2＋4i.4.已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A.－1＋3iB.1＋3iC.－1＋3i 或1＋3iD.－2＋3i 答案 A解析 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限，所以a <0，由|z |＝2知， a 2＋(3)2＝2，解得a ＝±1， 故a ＝－1，所以z ＝－1＋3i.5.(多选)设z ＝(2m 2＋2m －1)＋(m 2－2m ＋2)i(m ∈R )，则下列结论中错误的是( )A.z 在复平面内对应的点在第一象限B.z 一定不是纯虚数C.z 在复平面内对应的点在实轴上方D.z 一定是实数答案 ABD解析 2m 2＋2m －1＝2⎝⎛⎭⎫m ＋122－32，m 2－2m ＋2＝(m －1)2＋1>0，则z 在复平面内对应的点一定在实轴上方.6.复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数x 的取值范围是________.答案 (3，＋∞)解析 ∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0，解得x >3. 7.若复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，其中m ∈R ，则|z |＝________. 答案 3解析 复数z ＝(m －2)＋(m ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，所以m －2＝0且m ＋1≠0，解得m ＝2，所以z ＝3i ，所以|z |＝3.8.复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，则向量AB →表示的复数是________.答案 －6－8i解析 因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →，所以OA →＝(4,3)，OB →＝(－2，－5)，又AB →＝OB →－OA →＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB →表示的复数是－6－8i.9.在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数为2＋i.(1)如果点A 关于实轴的对称点为点B ，求向量OB →对应的复数；(2)如果(1)中的点B 关于虚轴的对称点为点C ，求点C 对应的复数.解 (1)设向量OB →对应的复数为z 1＝x 1＋y 1i(x 1，y 1∈R )，则点B 的坐标为(x 1，y 1)，由题意可知，点A 的坐标为(2,1).根据对称性可知，x 1＝2，y 1＝－1，故z 1＝2－i.(2)设点C 对应的复数为z 2＝x 2＋y 2i(x 2，y 2∈R )，则点C 的坐标为(x 2，y 2)，由对称性可知，x 2＝－2，y 2＝－1，故z 2＝－2－i.10.设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，若1≤|z |≤2，判断复数w ＝x ＋y ＋(x －y )i 的对应点的集合表示什么图形，并求其面积.解 |w |＝(x ＋y )2＋(x －y )2＝2(x 2＋y 2)＝2|z |，而1≤|z |≤2，故2≤|w |≤2.所以w 对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和2的圆所夹圆环内点的集合(含内外圆周)，其面积S＝π[22－(2)2]＝2π.11.已知a 为实数，若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 为纯虚数，则复数a －a i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 B解析 若复数z ＝(a 2－3a －4)＋(a －4)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a －4＝0，a －4≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ≠4，即a ＝－1， 则复数a －a i ＝－1＋i 对应的点为(－1,1)，位于第二象限.12.在复平面内，把复数3－3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，所得向量对应的复数是( ) A.2 3B.－23iC.3－3iD.3＋3i答案 B解析 复数对应的点为(3，－3)，对应的向量按顺时针方向旋转π3，则对应的点为(0，－23)，所得向量对应的复数为－23i.13.设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －tan A )＋itan B 对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案 B解析 因为A ，B 为锐角三角形的两个内角，所以A ＋B >π2，即A >π2－B ，sin A >cos B ，cos B －tan A ＝cos B －sin A cos A<cos B －sin A <0，又tan B >0，所以点(cos B －tan A ，tan B )在第二象限，故选B.14.若复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________.答案 5解析 由点(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )共线可知a ＝5.15.已知复数z 满足|z |2－3|z |＋2＝0，则复数z 对应点的轨迹是( )A.一个圆B.两个圆C.两点D.线段 答案 B解析 由|z |2－3|z |＋2＝0，得(|z |－1)·(|z |－2)＝0，所以|z |＝1或|z |＝2.由复数模的几何意义知，z 对应点的轨迹是两个圆.16.已知O 为坐标原点，OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i(a ∈R ).若OZ 1→与OZ 2→共线，求a 的值.解 因为OZ 1→对应的复数为－3＋4i ，OZ 2→对应的复数为2a ＋i ，所以OZ 1→＝(－3,4)，OZ 2→＝(2a,1).因为OZ 1→与OZ 2→共线，所以存在实数k 使OZ 2→＝kOZ 1→，即(2a,1)＝k (－3,4)＝(－3k,4k )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝－3k ，1＝4k ，所以⎩⎨⎧ k ＝14，a ＝－38.即a 的值为－38.。
1复数的概念》一等奖创新教学设计
1复数的概念》一等奖创新教学设计复数是一个数词形式，用于表示多于一个的数量或事物。
在英语中，复数形式通常是通过在词尾添加“s”或“es”来表示的，但也有一些特殊的变化规则。
复数有以下几个基本概念：1. 表示多个数量或事物：复数用来表示多于一个的数量或事物。
例如，单数形式的“book”表示一个书籍，而复数形式的“books”表示多个书籍。
2. 可数名词和不可数名词：复数只能用于可数名词。
可数名词是指可以按照数量进行计数的名词，如“book”、“cat”等。
不可数名词是指无法按照数量进行计数的名词，如“water”、“love”等。
3.变化规则：a. 大多数单数形式的名词在词尾加“s”来构成复数形式，如“books”、“cats”。
b. 以s、x、ch、sh等结尾的名词，在词尾加“es”来构成复数形式，如“boxes”、“wishes”。
c. 以辅音字母+y结尾的名词，在y变为i，再加“es”来构成复数形式，如“babies”、“berries”。
d. 以“o”结尾的名词通常在词尾加“es”构成复数，如“tomatoes”、“potatoes”。
但也有一些例外，如“photos”、“pianos”。
以上是复数的基本概念和变化规则。
在教学设计中，为了帮助学生理解复数的概念和掌握变化规则，可以采取以下一等奖创新教学设计：设计主题：复数的概念和变化规则教学目标：1.理解复数的概念，能够正确使用复数形式。
2.掌握复数变化的规则，能够正确拼写复数形式。
教学步骤：1.导入：通过幻灯片或小视频等方式，向学生介绍复数的概念，并引发学生对复数的思考。
2.概念讲解：以图片、实物或故事等方式，向学生展示不同的事物，并引导学生分析其中的单数形式和复数形式的变化规律。
3.规则总结：让学生在小组讨论的过程中总结复数变化的规则，并向全班呈现自己的总结结果。
教师在此过程中及时给予指导和纠错。
4.练习巩固：设计一系列的练习题，让学生在实际操作中巩固对复数的理解和掌握。
复数1的三角形式
复数1的三角形式复数1可以写成1+0i的形式，其中1表示实部，0表示虚部。
在三角形式中，复数1可以表示为模长为1，辐角为0的形式。
具体来说，模长表示复数到原点的距离，辐角表示复数与实轴的夹角。
对于复数1来说，它到原点的距离为1，与实轴的夹角为0，因此可以用模长和辐角的形式表示为1∠0。
在三角形式中，模长和辐角是复数的两个重要属性。
模长表示复数的大小，辐角表示复数的方向。
对于复数1来说，它的模长为1，表示这个复数的大小为1。
而辐角为0，表示这个复数的方向与实轴重合，即为正方向。
因此，复数1的三角形式为1∠0。
复数1的三角形式在数学和物理等领域有着广泛的应用。
在电路分析中，复数常用于描述交流电路中的电流和电压。
复数的三角形式可以直观地表示电流和电压的大小和相位差。
当电流和电压的相位差为0时，它们的三角形式中的辐角为0，表示它们同相。
而当相位差不为0时，辐角的大小就表示它们之间的相位差。
除了在电路分析中的应用，复数的三角形式还可以用于表示向量的旋转和平移。
在平面几何中，复数可以表示一个向量，而复数的三角形式可以表示这个向量的旋转和平移。
模长表示向量的大小，辐角表示向量的方向。
当向量的辐角为0时，表示向量与实轴重合，即向右平移。
而当辐角为π/2时，表示向量与虚轴重合，即向上平移。
通过改变辐角的大小，可以实现向量的旋转和平移。
复数1的三角形式为1∠0。
在三角形式中，模长表示复数的大小，辐角表示复数的方向。
复数1的三角形式在电路分析和平面几何等领域有着广泛的应用。
它可以用于表示电流和电压的相位差，以及向量的旋转和平移。
通过理解和应用复数1的三角形式，我们可以更好地理解和解决与其相关的问题。
1、复数的概念与坐标表示
第一讲——复数的概念与坐标表示知识要点1．复数的概念形如(,)+∈a bi a b R 的数叫做复数，用字母z 表示，即(,)=+∈z a bi a b R 。
其中a 叫做复数z 的实部，记作Re z ，b 叫做复数z 的虚部，记作Im z ，i 叫做虚数单位，规定：21=-i 。
（1）对于复数=+z a bi ，如果没有特殊说明，则有,∈a b R ；（2）=+z a bi 是复数的代数形式，并规定：00,0i bi bi ⋅=+=；（3）复数=+z a bi , 当0=b 时，复数=z a 是实数；当0≠b 时，z 叫做虚数；当0=a 且0≠b 时，z 叫做纯虚数；当且仅当0==a b 时，0=z 。
（4）复数全体所组成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
复数(,) z a bi a b R =+∈00b b =⎧⎨≠⎩（）（）实数虚数 口答：1、下列复数：0，13i -，13i -，3-，6i 中，实数是__________，虚数是__________，纯虚数是___________，实部与虚部都是0的复数是___________。
答：实数：0，3-；虚数：13i -，13i -，6i ；纯虚数：13i -，6i ；实部与虚部都是0的复数：0。
2．两个复数相等如果两个复数1(,)=+∈z a bi a b R 和2(,)=+∈z c di c d R 的实部与虚部分别相等，即=a c 且=b d ，那么这两个复数相等，记作+=+a bi c di 。
两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等，即： +=+a bi c di ()()0⇔-+-=a c b d i 00-=⎧⇔⎨-=⎩a c b d =⎧⇔⎨=⎩a c b d3．复平面建立了直角坐标系用来表示复数的平面叫做复平面（如图所示），在这里x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。
表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0。
复数的概念1
纯虚数．
¨ 小结 ： 1．在理解复数的有关概念时应注意：
（1）明确什么是复数的实部与虚部； （2）弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚 部的要求；
（3）弄清复平面与复数的几何意义； （4）两个复数不全是实数就不能比较大小。
¨ 2．复数集与复平面上的点注意事项：
（1）复数 中的z，书写时小写，复平面 内点Z(a，b)中的Z，书写时大写。
形如 a bi(a,b R) 的数，叫做复数．
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
RQZ N
NZ QRC
¨ 8－.已3)知i，m当∈mR为，何复值数时z=，m(mm12) +(m2+2m
(1)z∈R; (2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=
1 2
+4i.
4.1 复数的概念
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集实际上就是小数集
士一边说着一边念动咒语。这时蘑菇王子和知知爵士变成的巨大幽灵枪心圣也怪吼一声！只见幽灵枪心圣扭动浓绿色领章一样的眼睛，嚎，一道墨灰色 的玉光狂傲地从普通的褐黄色球杆造型的下巴里面滚出！瞬间在巨幽灵枪心圣周身形成一片暗青色的光栅！紧接着巨大的幽灵枪心圣像暗绿色的三肚海 滩虾一样怒笑了一声，突然搞了个倒地狂舞的特技神功，身上瞬间生出了五十只活像扣肉般的乳白色眉毛……最后幽灵枪心圣转动傲慢的青远山色的细 小牛肝一样的羽毛一声怪吼！只见从天边涌来一片一望无际的戈壁巨浪……只见一望无际的沙海轰鸣翻滚着快速来到近前，突然间无数的菜农在一个个 小幽灵枪心圣的指挥下，从轰鸣翻滚的沙海中冒了出来！无比壮观的景象出现了，随着海潮和戈壁的高速碰撞！翻滚狂舞其中的所有物体和碎片都被撞 向十几万米的高空，半空中立刻形成一道杀声震天、高速上升的巨幕，双方的斗士一边快速上升一边猛烈厮杀……战斗结束了，校霸们的队伍全军覆灭 ，垂死挣扎的水牛雁肾怪如同蜡像一样迅速熔化……双方斗士残碎的肢体很快变成金币和各种各样的兵器、珠宝、奇书……纷纷从天落下！这时由妩勃 奥学员和另外四个校霸怪又从地下钻出变成一个巨大的壁灯杖角怪！这个巨大的壁灯杖角怪，身长四百多米，体重一百多万吨。最奇的是这个怪物长着 十分完美的杖角！这巨怪有着暗紫色香蕉一样的身躯和墨紫色细小钢条似的皮毛，头上是淡白色木偶造型的鬃毛，长着紫红色木盒一样的长椅麒灵额头 ，前半身是深紫色圆规一样的怪鳞，后半身是闪光的羽毛。这巨怪长着暗灰色木盒一样的脑袋和纯黑色海马一样的脖子，有着纯灰色木偶般的脸和淡灰 色新月一样的眉毛，配着暗黑色柠檬造型的鼻子。有着暗白色马鞍般的眼睛，和水红色字典一样的耳朵，一张暗白色漏斗一样的嘴唇，怪叫时露出墨黑 色冰灯一样的牙齿，变态的深紫色玉笋似的舌头很是恐怖，墨紫色木头模样的下巴非常离奇。这巨怪有着极似香蕉一样的肩胛和很像闪电造型的翅膀， 这巨怪柔软的亮紫色狮子似的胸脯闪着冷光，仿佛牛肝造型的屁股更让人猜想。这巨怪有着酷似竹节一样的腿和深黑色海星一样的爪子……古怪的淡白 色玉米似的三条尾巴极为怪异，淡红色怪石一样的菱角云舞肚子有种野蛮的霸气。亮紫色叉子造型的脚趾甲更为绝奇。这个巨怪喘息时有种暗黑色兔子 似的气味，乱叫时会发出深灰色井盖般的声音。这个巨怪头上纯黄色天鹅造型的犄角真的十分罕见，脖子上如同手杖造型的铃铛似乎有点顽强却又透着 一丝迷离！蘑菇王子和知知爵士见情况突变，急忙变成了一个巨大的果盘玉喉圣！这个巨
第14讲复数(1)-解析与答案
第14讲 复数（一）模块1 复数的概念1．复数的表示形式（1）代数形式：z a bi ，其中,a b R .这里，a 称为复数z 的实部，用 Re z 表示；b 称为复数z 的虚部，用 Im z 表示. 当0b 时，z 就是实数；当0b 时，称z 为虚数；当0b 且0a 时，复数z 称为纯虚数. （2）几何形式：复数z a bi ,a b R 与复平面内的点 ,Z a b 或由原点发出的向量OZ 一一对应. （3）三角形式： cos sin z r i ，其中0,r R .这里，r 称为复数z 的模，用z 表示； 称为复数z 的幅角，而当02 时，称为复数z 的幅角主值，用 arg z 表示，不难发现tan b r a .（4）指数形式：i z re ，其中0,r R . 这里，cos sin i e i 也就是著名的欧拉公式.（5）共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，就称其互为共轭复数. 一般用z 来表示z 的共轭复数，当z a bi 时，z a bi ；共轭复数在复平面内关于x 轴对称；当 cos sin z r i 时， cos sin z r i ，也就是说共轭复数的模相等而幅角互为相反数； 当i z re 时，i z re .2．复数与一元二次方程（1）对所有的实系数一元二次方程20ax bx c (0)a ， 若240b ac ，则此方程没有实根，但有两个虚根，且两根242b ac b x a 互为共轭复数，故实系数方程的虚根成对出现．3．复数的运算法则：（1）加减法： a bi c di a c b d i ； （2）乘法： a bi c di ca bd ad bc i ，111222121212cos sin cos sin cos sin r i r i r r i ，（3）除法：2222a bi ac bd bc adi c di c d c d，111112122222cos sin cos sin cos sin r i r i r i r（4）棣莫弗定理（乘方）：cos sin cos sin nn r i r n i n复数的运算满足：交换律，结合律，分配律.（5）若 cos sin nk w r i，则22cos sin k k k w i n n， 其中0,1,2,,1k n .4．复数的性质： 共轭复数的性质： （1）1212z z z z ；（2）11121222,z zz z z z z z ， n n z z ；（3）1Re 2z z z，1Im 2z z z ； （4）z 是实数的充要条件是z z ，z 是纯虚数的充要条件是z z 且0z ； （5）z z ； （6）22z z z z .5．复数的模的性质：（1）max Re ,Im Re Im z z z z z ； （2）1212m n z z z z z z ；（3）112220z z z z z ； （4）121212z z z z z z .【经典例题】【例1】 （1）若复数z 满足 325z i （i 为虚数单位），则z 的共轭复数为________. （2）复数21iz i（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点位于第________象限. （3）复数11z i的模为________. （4）复数,z w 满足3z ，74z w z w i ，则 2z w z w ________. 【教师建议】复数计算，共轭，模 【解析与答案】（1）5i ；（2）四；（3； （4）2274i z w z w z w zw zw ， 由于22,,Re 0z w R zw zw ，则227,4z w zw zw i ，而3z ，故22w ，故222242z w z w z w zw zw18i ，故2218z w z w i【例2】 若z C ，且286z i ，求3210016z z z. （2）二次函数 210ax x a R 的两根的模都小于2，求实数a 的取值范围.（3）设R ，若二次方程 2110i x i x i 有两个虚根，求实数 的取值范围.【教师建议】1.复数开方方法；2.实（复）系数二次函数的解.【例3】 （1）31 ________.（2）已知1,mnii m n N ，则mn 的最小值是________.（3）计算102282000i【教师建议】三角形式计算 【解析与答案】（1）-8；（2）72（3）256i .【例4】 设x是模为1的复数，则函数 2211f x xx的最小值为________.（2）设,p q是复数 0q ，若关于x的方程220x px q的两根的模相等，证明：pq是实数. 【教师建议】复函数最值（利用三角形式，三角函数最值）【解析与答案】（1）设ix e，则 22221112cos211i if x x e ex.（2）21212,z z p z z q，2221221222122122iii iz z z zpe e e eq z z z z为非负实数，因此pq是实数.【例5】 已知复数z满足1z ，则1z iz的最小值为________.（2）设复数z满足1z 且152zz，则z ________.（3）（2002联赛）已知复数12,z z满足122,3z z.若它们所对应向量的夹角为060，则1212z zz z________.【解析与答案】（1）1112iz iz i z1.（2）2151122z z z z zz（3）几何意义，余弦定理【例6】 已知复数z 的模大于1，155cos sin 22iz z，则z ________.（2）已知复数12,z z 满足121232,3,322z z z z i ，试求12z z 的值. 【解析与答案】 （1）25551cos sin 12222i zz z z z z，代入得 2cos sin z i （2） 1212216323072131323z z z z i z z【例7】 求证：当1a 或1b ，当a b 时，有11a bab. 【解析与答案】【例8】 若1231z z z ，求223123111z z z z z z 的值【解析与答案】【例9】 若12,,,0z z A C A ，且12120z z Az Az . 求证：12()()z A R z A .【解析与答案】【例10】 （全国高考题）设z C ，解方程313zz iz i . 【解析与答案】模块2 复数的几何意义1．复数及其预算的几何意义复数 ,z x yi x y R 与复平面内的点 ,Z x y 及向量OZ （O 是坐标原点）之间构成一一对应关系，这就使得复数本身以及运算中有着深刻的几何意义. （1）复数加减法的几何意义复数的加法可以按照向量的加法法则来进行. 两个复数的差12z z 与连接两向量终点并指向被减数的向量对应.（2）复数乘除法的几何意义记 11112222cos sin ,cos sin z r i z r i ，两个复数的积12z z 对应的向量就是把向量OZ 按逆时针方向旋转一个角 （若0 ，则应将OZ 按顺时针方向旋转一个角 ），再将它的模变为原来的2r 倍. 复数的除法也有类似的几何意义.2．复平面解析几何（1）复平面上两点间的距离公式复数12,z z 在复平面上对应的点为12,,Z Z d 表示两点12,Z Z 之间的距离，则有12d z z . （2）复平面上的曲线方程如果复数z 对应着复平面上一点 ,Z x y 就可得出一些常用曲线的复数形式的方程： ①方程0z z r 表示以0Z 为圆心，r 为半径的圆； ②方程12z z z z 表示线段12Z Z 的垂直平分线；③方程122z z z z a 表示以12,Z Z 为焦点，a 为长半轴的椭圆； ④方程122z z z z a 表示以12,Z Z 为焦点，实轴长为2a 的双曲线.复数的几何意义构建了代数与几何之间的相互联系，当中的要害之处在于怎样选取恰当坐标系，进而建立几何元素的复数表示，以借助复数的运算来探究平面几何问题的解决方案.【经典例题】【例11】 （1）（2009复旦）复平面上点012z i 关于直线:22l z i z 的对称点的复数表示是________. （2）设复数z 满足1z ，则2221z z z i的最大值为________.【教师建议】复数几何意义 【解析与答案】（1）i ；（21 .（2）22211z z z i z i表示单位圆上与 1,1距离最大值，为1【例12】 任给8个非零实数128,,,a a a ，证明：下面6个数132415261728354637485768,,,,,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 中，至少有一个数是非负的.【解析与答案】令212,1,2,3,4i i i z a a i ， 212,i i i z a a【例13】 （全国高中数学联赛题）给定实数,,a b c 已知复数123,,z z z 满足1233122311.1.z z z z z z zz z求123az bz cz 的值. 【解析与答案】【例14】 设复数cos sin (0180)z i ，复数,(1),2z i z z 在复平面上对应的三个点分别是,,P Q R .当,,P Q R 不共线时，以线段,PQ PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S ，点S 到原点距离的最大值是________. 【解析与答案】模块3 多项式与单位根1．多项式的根一般地，以x 为未知数的一元n 次多项式 f x 可以写成：1110n n n n f x a x a x a x a这里n 为确定的自然数 0n a ，称为 f x 的次数，记作 deg f x .2．多项式相等：两个多项式如果次数相同且同次项系数相等，则此两多项式相等. 竞赛中出现的多项式多为整系数的，称为整系数多项式.如果 1110n n n n f x a x a x a x a 是复系数一元n 次多项式，那么它对应的方程 0f x 就称为复系数一元n 次方程，它的根也称为多项式 f x 的根.类似地，如果 f x 是实系数（或有理系数，整系数等）多项式，则称对应方程为实系数（或有理系数，整系数等）一元n 次方程.3．代数基本定理一元n 次多项式在复数中至少有一个根.根的个数定理：一元n 次多项式有且仅有n 个根（k 重根算作k 个根）推论：若有1n 个不同的x 值使得n 次多项式 f x 与 g x 值相等，那么 f x g x .4．实系数多项式虚根成对定理：若实系数多项式 f x 有一个虚根a bi ，那么a bi 也是它的根，且两根有共同的重数k . 推论1：任何奇次实系数多项式至少有一个实根.推论2：任何次数大于0的实系数多项式均可在实数范围内分解成若干个一次因式与具有共轭虚根的二次因式之积.5．韦达定理的一般形式为：如果一元n 次多项式 1110n n n n f x a x a x a x a 的根是12,,,n x x x ，那么112n n nax x x a ，212131n n n na x x x x x x a， 312312421n n n n na x x x x x x x x x a，12n x x x .6．单位根对于方程10n x （n 是自然数且2n ），由复数开方法则，就得到它的n 个根.利用复数乘方公式，有12222cos sin cos sin kk k k k i i n n n n. 这说明：这n 个n 次单位根可以表示为211111,,,,n ，它们在复平面内对应的点构成一个内接于单位圆的正n 边形.关于n 次单位根，有如下一些性质： （1） 111k k n ；（2） 1,1i j i j i j n ； （3）2111110n ；（4） 设m 是整数，则1211m m mn,当 是 的倍数时；0,当 不是 的倍数时.（5） 1101n n k k k k x x ，特别的，当1x 时， -111n k k n .【经典例题】【例15】 （1）证明：sin x 不是多项式； （2）. 【解析与答案】【例16】 若多项式 3248f x x x x a 有模等于2的虚根，试确定实数a 并解出所有的根.【例17】 若多项式 43262f x x x ax bx 有4个实根，证明：这些根中必有一个小于1【例18】 设,,0,,,a b R b 是三次方程30x ax b 的3个根，求以111111,,为根的三次方程. 【解析与答案】【例19】 （1）设1002200012001x x a a x a x ，求03198a a a 的值.（2）033333nn n nC C C ________. （3）计算：024698100100100100100100100C C C C C C 【解析与答案】（1）令21,,x w w ，其中31w 且1w ，解得99031983a a a（2）21211,3nn n w w 其中22cos sin 33w i . （3）100024*********1001001001001001001001001i C C C C i C C C C利用三角形式可得024********50100100100100100100100C C C C C C 2cos24【说明】类似可求0k kn knkn kn C C C【例20】 若cos 40sin 40i ，则12392π239sin 99等于________. 【解析与答案】设222239s ，其中29i e．23410239s ．2391019s ． 1 ∵，210191s∴．注意到92921091,i i e e，19s ∴．故11111999s s ，．由于1与 是单位圆内接正九边形的相邻顶点，所以1 是单位圆内接正九边形的边长．即π12sin 9，也即12πsin 0999．【例21】 （99联赛）给定实数a b c ，，，已知复数1z ，2z ，3z 满足： 12331223111z z z z z z zz z，求123az bz cz 的值. 利用单位根形式证明1z ，2z ，3z 必有两个相等. 【解析与答案】由题设，有i i i()1e e e ．两边取虚部，有 0sin sin sin 2sincos2sincos22222sincos cos2224sin sin sin 222故2πk 或2πk 或2πk ，k Z ．因而，12z z 或23z z 或31z z ． 如果12z z ，代入原式即 313111z z z z ．故23110z z，31i z z ． 这时，1231i az bz cz z a b c．类似地，如果23z z，则123az bz cz ；如果31z z ，则123az bz cz ．所以，123az bz cz22a b c22b c a22c a b【例22】 是否存在一个凸1990边形，同时具有下列的性质(1)与(2)： （1）所有内角均相等；（2）1990条边的长度是1,2,…,1989,1990的一个排列。
复数1的三角形式
复数1的三角形式复数是数学中的一个重要概念，它由实部和虚部组成。
在复数中，有一种特殊情况，即复数1的三角形式。
复数的三角形式是一种表示复数的方式，它使用极坐标形式来描述复数的大小和方向。
复数1的三角形式表示为 1 = cosθ + i sinθ，其中θ是一个实数，表示复数1与实轴正方向之间的夹角。
复数1的三角形式可以通过欧拉公式推导得到。
欧拉公式是数学中的一个重要公式，它表示e的虚指数函数可以用余弦和正弦函数表示。
欧拉公式的表达式为e^(iθ) = cosθ + i sinθ。
当θ等于0时，欧拉公式就变为了e^(i0) = cos0 + i sin0 = 1 + i0 = 1，即复数1的三角形式。
复数1的三角形式在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在电路分析中，复数的三角形式可以用来描述交流电信号的幅值和相位。
在信号处理中，复数的三角形式可以用来表示频域中的复数信号。
在量子力学中，复数的三角形式可以用来描述波函数的复振幅。
复数1的三角形式还可以用来进行复数运算。
复数的加法和减法可以直接通过实部和虚部相加减来计算。
复数的乘法可以通过将两个复数的模相乘，角相加来计算。
复数的除法可以通过将两个复数的模相除，角相减来计算。
复数的三角形式可以简化复数运算的过程，使计算更加方便和快捷。
在实际应用中，复数1的三角形式可以用来描述旋转和周期性现象。
例如，复数1的三角形式可以用来表示一个物体在单位圆上绕原点旋转的位置。
复数1的三角形式还可以用来表示周期性信号，如正弦信号和余弦信号。
复数1的三角形式是一种重要的数学表示方式，它可以用来描述复数的大小和方向，进行复数运算，以及表示旋转和周期性现象。
在数学和工程领域中，复数1的三角形式有着广泛的应用，为解决实际问题提供了有力的工具和方法。
通过深入理解和掌握复数1的三角形式，我们可以更好地理解和应用复数的概念，推动科学技术的发展和创新。
复数(学生用)
数系的扩充与复数的引入一、复数的有关概念1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 二、复数的几何意义复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ .三、复数的运算1．复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则： (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝(ac ＋bd )＋(bc －ad )ic 2＋d 2(c ＋d i ≠0)．2．复数加法、乘法的运算律对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.[小题能否全取]1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( ) A ．－6 B ．－2 C ．2D ．62．(2011·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－13．(2012·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i 4－i ＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i4．若复数z 满足z1＋i＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋ii ，则|z |＝________.1.复数的几何意义除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.复数的有关概念典题导入[例1] (1)(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2012·郑州质检)如果复数2－b i1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A ．－23B.23C. 2D ．2由题悟法处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．以题试法1．(2012·东北模拟)已知x1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复数为( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i复数的几何意义典题导入[例2] (2012·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－iz (i 为虚部单位)在复平面内对应的点所在的象限为( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限由题悟法复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．以题试法2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i(2)(2012·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．复数的代数运算典题导入[例3] (1)(2012·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5iD ．－3－5i(2)(2011·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i由题悟法1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．2．记住以下结论，可提高运算速度：①(1±i)2＝±2i ；②1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i ＝－i ；④a ＋b i i ＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n∈N )．以题试法3．(1)(2012·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z＋z 2的值为( )A ．－3iB ．－2iC ．iD ．－i(2)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝________.1．(2012·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－22．(2012·北京高考)在复平面内，复数10i 3＋i 对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)3．(2012·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C. 2D ．－ 24．(2013·萍乡模拟)复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于( )A.52 B ．－52C.52iD ．－52i5．(2012·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i，则|z |＋1z ＝( )A ．iB ．1－iC ．1＋iD ．－i6．(2012·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．47．(2013·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，(1＋i )2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB|＝________.10．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1＝________.11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 12.(－1＋i )(2＋i )i 3＝________.13．(2011·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a的虚部为________．1．(2012·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等于( )A ．2＋iB ．－2C ．0D ．22．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >12”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．4．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________. 5．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．6．设z 是虚数，ω＝z ＋1z ，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z1＋z ，求证：u 为纯虚数．1．已知a ＋2ii ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )A ．－1B ．1C ．2D ．32．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z |≥2xD ．|z |≤|x |＋|y |3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 21＋z都为实数，求z .。
复数的概念1
周日聚餐
周日，叶子提议一家人去丰收日吃一顿，她网购了优惠券。岳母是反对的，她觉得没必要乱花钱，周五刚吃了自助餐，周日在家烧就好。我跟天天当然是支持的，天天去年底 在那里吃过，印象不错；而我没什么立场，纯粹是支持叶子和天天。可能是优惠的原因吧，大堂里也基本客满了，我们到的比较早，挑了一个靠角落的位置。服务员全部带着口罩 和手套，她们送来餐具时，我都主动接过来分发。鸡鸭鱼肉一大桌子菜，花了不到两百块，也就是平时一半的价格。我照例坐在天天边上，哄着他吃了四个芋头球和五颗大豆，不 时拿湿巾纸给他擦擦嘴巴和手指头。小家伙如果没人看着，那是只吃肉的。岳母跟叶子坐对面，看我做得好就微笑，看我做得不好就皱眉头，我们家人都一样，心里藏不住事，都 在脸上。吃完了，打包带回家，晚饭都不用烧了。叶子去结账，岳母带天天去卫生间洗手，而我最后在整理打包盒，服务员又过来提醒了一遍：“你们打包盒和一碗米饭是四块钱， 买单别忘了。”我笑着说：“是我家人付的，你去问问，如果没付，我来付就是了。”她快去快回，说：“只付了打包盒的钱，米饭没付。”我说：“没事，我来。”等我走出来， 叶子问我：“怎么才出来，你不是又去付钱了吧？”我说：“没有。”
就是幸福
我是觉得吧，一个人的心愿得到满足，就会觉得幸福。所以，一个有一些可以得到周期性满足的小心愿的人，就有比较多的幸福感。比如我，每周吃一顿饺子，我就觉得幸福， 而这个愿望，我基本上每周都可以满足自己。同样的，每天回家看到天天，跟他一起厮混两个小时，我也觉得幸福。天天的幸福更小一些，除了ห้องสมุดไป่ตู้些吃喝之外，他犯了小错误，叶 子和岳母不批评他，他就觉得幸福。“小狐狸闯红灯了，他爸爸没批评他，还夸他说，闯得好。”我给他讲故事：“他被车撞断了一条腿，爸爸继续夸他，一条腿好，真帅。”天 天虽然小，又不傻，他当然明白我的意思。我没有逼着他承认犯了错误就必须被批评这件事儿，但意思他懂。“天天也不是不能接受批评。”我安慰他说：“是希望妈妈和奶奶批
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复数1（复数概念）
知识点：
1.复数及其概念；
2.复数的周期性；
3.复数的表示方法；
4.复数的模及其几何意义；
教学过程：
1.虚数单位：数学中规定：21i =-，称i 为虚数单位；
说明：（1）21x x i =-⇒=±；
（2）周期性：44142431,,1,,k k k k i i i i i i +++===-=-；
2.复数概念：形如(,)z a bi a b R =+∈的数z 称为复数。
（1）全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示；复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C ≠≠≠≠
⊂⊂⊂⊂； （2）其中a 为复数的实部，记法：Re z a =；b 称为复数的虚部，记法：Im z b =；
（3）当0b =时，复数z 为实数；当0,0b a ≠=时，复数z 为纯虚数；当0,0b a ≠≠时，称复数为虚数；
（4）(,)z a bi a b R =+∈称为复数的代数形式；
（5）复数1111122222(,),(,)z a b i a b R z a b i a b R =+∈=+∈相等的充要条件：1212
a a
b b =⎧⎨=⎩； （6）虚数不能比较大小；
3.复数的几何表示：在直角坐标系内(,)OZ a b =u u u v ，表示复数(,)z a bi a b R =+∈；这个建立了直
角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。
对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是0，
表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
（1）也可以表示成点(,)P a b =；
（2）可以看成是向量表示；
（3）复数的几何意义：
①复数的模：||||||z a bi OZ =+==u u u r (,)Z a b =的距离；
②设(,)z a bi a b R =+∈，则||1z =表示单位元；
③设(,)z a bi a b R =+∈，则||(,)z c di c d R --∈的几何意义是：表示点(,)Z a b 到点(,)P c d 的距离；
④设(,)z a bi a b R =+∈，若||1z =，则||(,)z c di c d R --∈的几何意义是：单位圆上的点到点(,)P c d 的距离；
⑤121212||||||||||||z z z z z z -≤±≤+；指出何时取到等号？
例1. 实数m 取何值时，复数26(215)3
m m z m m i m --=+--+是实数？是虚数？是纯虚数？ 解：（1）z 是实数503015122
=⇒⎩⎨⎧≠+=--⇒m m m m ； （2）21503,530
m m m m m --≠⎧⇒≠-≠⎨+≠⎩； （3）z 为纯虚数
2303060151222-==⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≠+=--≠--⇒m m m m m m m 或； 例2. 若(2)a i i b i -=+，其中i R b a ,,∈是虚数单位，求a b +的值；
解：3
例3. 已知i z z +-=-1,求复数z 。
解：设复数()R b a bi a z ∈+=,,
则01111a a a bi i b b ⎧=⎧⎪=-+=-+⇒⇒⎨⎨==⎩⎪⎩
则z i =。
方法2：11z z i z z i -=-+⇒=-+
|||1|||z z i z ⇒=-+⇒=平方解得||1z =，代入原方程得z i =。
例4. 设复数()R b a bi a z ∈+=,,且满足53=+-i z .
（1）求实数z ；（2）求纯虚数z 。
解：（）10Θz R b ∈∴=
()()Θz i a i a -+=-+=-+=3331522
∴=±=±a z 326326，即
（）为纯虚数，200Θz a b ∴=≠ ()()()()Θz i b i b -+=-++=-++=33131522
∴=-=-b z i i 3535或，即或. 例5.已知|2|3|4z z -=-=，求复数z ；
解：设()R b a bi a z ∈+=,，分别代入求解得3344
a z i
b =⎧⇒=±⎨=±⎩。
例6.指出下列复数对应的几何意义：
（1）|12|||z i z i -+=+；（2）|1||1|2z z -++=；
（3）|34||34|12z i z i -++--=；（4）||34||34||2z i z i -+---=
解：（1）中垂线；（2）线段；（3）椭圆；（4）双曲线；
例7.设复数z 满足|215|10|z z +=+，说明||z 的几何意义；
解：代数法设元得||z =；
例8.（1）已知||3z =，求|1|z -+的取值范围；
（2）已知|34|2z i +-=，求||z 的取值范围；
解：（1）方法1：几何法|1|[1,5]z -+∈
方法2：利用||3z =三角换元求解；
方法3：三角不等式求解；
（2）||[3,7]z ∈；
例9.已知复数i m m z )4(21-+= )(R m ∈ ，i z )sin 3(cos 22θλθ++= （R ∈λ ） 若21z z =，求λ的取值范围。
解：由21z z =，得 22cos 43sin m m θλθ
=⎧⎨-=+⎩， ∴]1,1[sin ,169)83(sin 4sin 3sin 4sin 3cos 44222-∈--=-=--=θθθθθθλ 由二次函数性质]7,16
9[-∈λ
作业：
1.当实数m 分别为何值时，复数221(32)z m m m i =-+++是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）零？
解：（1）m=－1,m=－2；(2)m ≠－1,m ≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．
2.实数m 分别取什么数时，复数z =(1+i)m 2+(5－2i)m +6－15i 是①实数；②虚数；③纯虚数；④对应的点在第三象限；⑤对应的点在直线x +y +4=0上；
解:z =(1+i)m 2+(5－2i)m +6－15i
=(m 2+5m +6)+(m 2－2m －15)i.
∵m ∈R,∴z 的实部为m 2+5m +6,虚部为m 2－2m －15.
①要使z 为实数，必有⎩⎨⎧∈=--R,
m m m ,01522∴m =5或m =－3. ②要使z 为虚数，必有m 2－2m －15≠0,∴m ≠5且m ≠－3.
③要使z 为纯虚数，必有⎪⎩⎪⎨⎧≠--=++,
0152,06522m m m m 即⎩
⎨⎧≠-≠-=-=,53,23m m m m 且或 ∴m =－2.
④要使z 对应的点在第三象限，
必有⎪⎩⎪⎨⎧<--<++0
15206522m m m m ⇒⎩⎨⎧<<--<<-,53,23m m ∴－3<m <－2.
⑤要使z 对应的点在直线x +y +4=0上，必有点(m 2+5m +6,m 2－2m －15)满足方程x +y +4=0，
∴(m 2+5m +6)+(m 2－2m －15)+4=0.
解得m =－25或m =1.
3.若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上对应的点位于第二象限，求实数a 的取值范围；
解：1a >；
4.若z 是复数，且i z 432+-=，求z ；
解：1i ±；
5.设虚数(2)(,)z x yi x y R =-+∈，当此虚数的模为1时，求
y x
的取值范围。
解：[U 6.已知121212,,||3,||5,||6z z C z z z z ∈==+=，求12||z z -； 解：代数法得
12||z z -=
方法2：向量法。
7.已知||24z z i -=-，求复数z ；
解：方法1：代数法设元求解；
方法2：取模求解。
||24||24|||||24|z z i z z i z z i -=-⇒=-+⇒=-+=
解得||534z z i =⇒=+。
8.在复平面上，正方形ABCD 的两个顶点,A B 对应的复数分别为12,35i i +-。
求另外两个顶点,C D 对应的复数。
解：当A 、B 、C 、D 按逆时针方向排列时，AB u u u r 对应的复数为(3－5i )－(1+2i )＝2－7i 。
故AD u u u r 对应的复数为(2－7i )i =7+2i ，AC u u u r 对应的复数为(7+2i )＋(2－7i )＝9－5i 。
于是C 点对应的复数为(9－5i )+(1+2i )＝10－3i ，D 点对应的复数为(7+2i )+(1+2i )＝8+4i 。
同样，当A 、B 、C 、D 按顺时针方向排列时，C 、D 点对应的复数分别为－4－7i ，－6。