动能势能动能定理
动能与势能相互转化
1、 在距离地面20m高处以15m/s的初速度 水平抛出一小球，不计空气阻力，取g＝ 10m/s2，求小球落地速度大小? 答案：25m/s
2 、如图所示，在竖直平面内有一段四分 之一圆弧轨道，半径OA在水平方向，一个质量 为m的小球从顶端A点由静止开始下滑，不计摩 擦，求小球到达轨道底端 B 点时小球对轨道压 力的大小为多少？ 答案：3mg
重力势能相互转化，但 总量保持不变
（2）、动能与弹性势能的相互转化
实验探究
1 、运动中小球动能和势能如何 变化？ 2、上述实验现象说明了什么？ 结论：运动中动能与
弹性势能相互转化，但 总量保持不变
二、机械能守恒定律
如图，质量为m的物体在空中做平抛运动，在高度h1的A处 时速度为v1，在高度为h2的B处速度为v2。
E E
Ek 2 Βιβλιοθήκη p 2 Ek1 E p1
a、
1 1 2 2 mv2 mgh2 mv1 mgh1 2 2
意义：系统的初、末状态的机械能守恒，运用时必须 选取参考平面，把初末状态的重力势能正负表示清楚
B、
EP减 Ek增
E E E E
P1 P2 K2
K1
意义:系统减少（增加）的重力势能等于系统 增加（减少）的动能，运用时无需选取参考 平面，只需判断运动过程中系统的重力势能 的变化
C、
EA减 EB增
意义：A物体减少的机械能等于B物体增 加的机械能，运用时无需选取参考平面
机械能守恒定律的守恒条件
机 械 能 守 恒 定 律
只有重力（弹力）做功包括： ①只受重力（或系统内的弹力），不受其 他力(如所有做抛体运动的物体，不计阻力)。 ②还有其它力，但其它力都不做功或其他 力做功代数和时刻为零（只有重力和系统内部 的弹力做功） 。
11能量流动分析(上)——功、动能定理和势能定理
第十一讲：能量流动分析（上）——功、动能定理和势能定理---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 一、功【例1】如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置。
在下列三种情况下，分别用水平拉力F 将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。
在此过程中，拉力F 做的功各是多少？⑴用F 缓慢地拉；⑵F 为恒力；⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。
可供选择的答案有A ．θcos FLB ．θsin FLC ．()θcos 1-FLD ．()θcos 1-mgL二、动能定理【例2】如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。
列车全长为L ，圆形轨道半径为R ，（R 远大于一节车厢的高度h 和长度l ，但L>2πR ）。
已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。
试问：列车在水平轨道上应具有多大初速度V 0，才能使列车通过圆形轨道？三、势能定理【例3】物体间万有引力场中具有的势能叫做引力势能。
取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为的质点距离质量为M 0的引力源中心为时。
其引力势能（式中G 为引力常数），一颗质地为的人造地球卫星以圆形轨道环绕地球飞行，已知地球的质量为M ，由于受高空稀薄空气的阻力作用。
卫星的圆轨道半径从逐渐减小到。
若在这个过程中空气阻力做功为，则在下面约会出的的四个表达式中正确的是：（ ）A ．B ．C ．D ．0m 0r 00r m GM E p -=m 1r 2r f W f W ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2111r r GMm W f⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=12112r r GMm W f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21113r r GMm W f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12113r r GMm W f【例4】有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER流体，它对滑块的阻力可调。
重力势能、弹性势能、动能及动能定理
.课重力势能、弹性势能、动能和动能定理题教学目的重难点1、掌握重力势能、弹性势能和动能的概念2、熟练应用动能定理动能定理的应用教学内容【根底知识总结与稳固】一、重力做功和重力势能（1〕重力做功特点：重力对物体所做的功只跟物体的初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关。
物体沿闭合的路径运动一周，重力做功为零，其实恒力〔大小方向不变〕做功都具有这一特点。
如物体由 A 位置运动到 B 位置，如图 1 所示， A、 B 两位置的高度分别为h1、 h2，物体的质量为m，无论从A 到 B 路径如何，重力做的功均为：W G=mgs×cosa=mg〔h1－h2〕=mgh l －mgh2可见重力做功与路径无关。
（2〕重力势能定义：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。
公式： Ep=mgh。
单位：焦〔 J〕（3〕重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性重力势能是一个相对量。
它的数值与参考平面的选择相关。
在参考平面内，物体的重力势能为零；在参考平面上方的物体，重力势能为正值；在参考平面下方的物体，重力势能为负值。
重力势能变化的不变性〔绝对性〕尽管重力势能的大小与参考平面的选择有关，但重力势能的变化量都与参考平面的选择无关，这表达了它的不变性〔绝对性〕。
某种势能的减小量，等于其相应力所做的功。
重力势能的减小量，等于重力所做的功；弹簧弹性势能的减小量，等于弹簧弹力所做的功。
重力势能的计算公式E p=mgh，只适用于地球外表及其附近处g 值不变时的范围。
假设g 值变化时。
不能用其计算。
二、弹力做功和弹性势能探究弹力做功与弹性势能（1〕功能关系是定义某种形式的能量的具体依据，从计算某种力的功入手是探究能的表达式的根本方法和思路。
（2〕科学探究中必须善于类比已有知识和方法并进行迁移运用。
（3〕科学的构思和猜想是创造性的表达。
可使探究工作具有针对性。
（4〕分割——转化——累加，是求变力功的一般方法，这是微积分思想的具体应用。
动能定理,机械能守恒定律,能量守恒定律,动量定理,动量守恒定理的内容,表达式,适用条件。
动能定理，机械能守恒定律，能量守恒定律，动量定理，动量守恒定理的内容，表达式，适用条件。
动能定理指的是物体受到力的加速，物体的动能就会增加，其表达
式为：
µv2 =W，其中µ为物体的质量，v为物体的速度，W为物体受力的势能。
只要施加力，物体的动能就会改变，当物体处于静止状态时，动
能为零。
机械能守恒定律认为物体的机械能是不变的，总的机械能等于其动能
与势能的总和，表达式为：K0+U0=K+U，其中K0是物体的初始动能，U0为物体初始势能，K是物体的最终动能，U为物体的最终势能，表
示物体的动能和势能之和均不变、守恒。
能量守恒定律认为，物质运动时，能量不会被创建或消失，也就是说
能量是守恒的，它们只能以同样的形式互相转变，表达式为：Ε=Ε0，
其中Ε表示物体最终的能量，Ε0代表物体的初始能量，Ε等于Ε0，表
示能量守恒。
动量定理指的是物体受到力时，其动量就会改变，表达式为：p = mv，其中p为物体的冲量，m为物体的质量，v是物体的速度，物体的冲量
与其质量和速度成正比。
动量守恒定律认为物体的总冲量是守恒的，不会改变，表达式为：
∆p=0，虽然物体加力后，它的总冲量会改变，但是这个变化是可以由
其他物体抵消的，总的冲量是守恒的。
所有这些定律和定理都适用于物体受到力而加速或减速运动时，其运动规律是相同的，即动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律、动量定理和动量守恒定理的适用。
只要物体的势能发生变化，就可以使用这些定律和定理来描述物体的运动特性。
三、重力势能 动能 动能定理
如果是减少了，减少的重力势能到哪里去了？
9.如图,在光滑的桌面上有一根均匀柔软的质量为m、 长为L的绳,其绳长的1/4悬于桌面下,从绳子开始下滑 至绳子刚好全部离开桌面的过程中,重力对绳子做
功
,绳子的重力势能增量为
(桌面离地
高度大于L)。
答案:15mgL/32
W
G
E
P1
E
P2
说明：变化量（增量）＝末量－初量
减少量 ＝ 初量 －末量
说明：
EP只与重力做功有关，与运动状态和其他受力 （ 1）
无关（ W
E P ； G W G E P ）（重力做正功，释放重
力势能；重力做负功，储存重力势能）
（2）也适用于曲线运动的情况（重力做功与路径无关） W G EP
从抛出到落地的过程中，重力所做的功相等，物体减少
的重力势能一定相等
C．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功
D．用手托住一个物体匀速上举时，手的支持力做的功 等于克服重力做的功与物体重力势能增量之和
4、一物体从A点沿粗糙面AB与光滑面AC分别滑到同一 水平面上的B点与C点，则下列说法中正确的是（ D ） A、沿AB面重力做功多
-15mgL/32
10、如图所示，在一次“蹦极”运动中，人由高空下 落到最低点的整个过程中，下列说法中正确的是 ( )
A．重力对人做正功
B．人的重力势能减小
C．橡皮绳对人做正功
D．橡皮绳的弹性势能增加
11、如图所示，重物A质量为m，置于水平地面上， 其上表面竖直立着一根轻质弹簧.弹簧长为L，劲度 系数为k，下端与物体A相拴接.现将弹簧上端点P缓
动能定理物体的动能与力的做功
动能定理物体的动能与力的做功动能定理：物体的动能与力的做功动能定理是物理学中的基本定理之一，它描述了物体的动能与力的做功之间的关系。
在本文中，我们将探讨动能定理的定义、原理以及应用。
一、动能定理的定义动能定理是指在外力作用下，物体的动能的变化量等于力的做功。
简而言之，物体的动能增加或减少的大小，正好等于作用于物体的力所作的功。
二、动能定理的原理物体的动能可以通过它的质量和速度来定义，即动能 = 1/2 ×质量 ×速度的平方。
力的功可以用力的大小、物体的位移和力与位移之间的夹角来定义，即做功 = 力 ×位移× cosθ。
根据动能定理，在外力作用下，物体的动能的变化量等于力的做功。
表示为：物体的动能的增量 = 力的做功。
三、动能定理的应用1. 物体的动能和速度关系：根据动能定理，物体的动能正比于其速度的平方。
当速度增加时，动能增加；当速度减小时，动能减小。
2. 动能与重力势能的转换：在重力场中，当物体从较高位置下降到较低位置时，重力对物体做功，并将其势能转化为动能。
反之，当物体由较低位置上升到较高位置时，动能将转化为重力势能。
3. 动能与弹性势能的转换：在弹性体系中，物体由于受到压缩或伸展而具有弹性势能。
当物体释放出弹性势能时，它将转化为动能。
4. 动能定理的应用于机械工作：在机械运动中，动能定理可应用于机器的工作原理和能量转换的分析。
比如，在运输系统中，我们可以通过应用动能定理来计算物体在传送过程中所需的能量和功率。
总结：动能定理是物体的动能与力的做功之间的关系。
它可以帮助我们理解物体运动时的能量转化过程，并应用于各种实际情况的分析和计算。
通过深入研究动能定理，我们可以更好地理解物体运动的本质和力学规律。
动力学中的动能定理与势能定理
动力学中的动能定理与势能定理在动力学中，动能定理和势能定理是两个重要的物理定理，它们揭示了物体在不同力场中运动时的能量变化规律。
动能定理描述了物体动能的变化与物体所受力之间的关系，而势能定理则说明了物体在势能变化时所受力的大小。
本文将详细介绍这两个定理的含义和应用。
1. 动能定理动能定理是描述物体动能变化的定理，它表明物体所受的合外力所做的功等于物体动能的增量。
设物体质量为m，初始速度为v1，末速度为v2，根据动能定理可得：[公式]其中K1和K2分别表示初始和末态的动能。
根据动能定理，当物体所受的合外力做功时，物体的动能会发生变化。
动能定理的应用非常广泛，其中一个重要的应用是运动力学中动量定理的推导。
通过将动能定理与牛顿第二定律结合可以得到动量定理：[公式]其中F是物体所受的合外力，dp/dt是物体的动量变化率。
2. 势能定理势能定理是描述物体势能变化的定理，它表明物体在势能发生变化时所受的力的大小等于势能的变化率。
对于某个力场中的物体，在两个位置A和B之间势能的变化为∆U，根据势能定理可得：[公式]其中W_AB是对物体施加力的功，U_A和U_B分别表示位置A和位置B处的势能。
势能定理可以帮助我们理解力场对物体的作用。
在重力场中，物体从高处下落时，势能逐渐转化为动能，因此物体会加速下落。
同样地，在弹簧振子中，势能也会转化为动能，并在运动的过程中不断变化。
总结：动能定理和势能定理是研究物体在力场中运动时能量变化的重要定理。
动能定理表明物体所受的合外力做功等于物体动能的增量，而势能定理则说明物体在势能变化时所受力的大小。
这两个定理在物理学的研究和应用中发挥着重要的作用，帮助我们理解和分析物体的运动过程。
注：本文水平有限，仅提供基本的介绍和解释。
如需深入了解动力学中的动能定理与势能定理，请参考相关教材或专业资料。
动能定理与势能
动能定理与势能动能定理和势能是物理学中关于物体运动的两个重要概念。
本文将逐一介绍动能定理和势能的定义、原理及其应用。
动能定理动能定理是描述物体运动能量变化的一个基本原理。
它表明物体的动能与物体所受力之间存在着一定的关系。
动能定理可以用数学公式表示为：动能定理公式：K = 1/2 mv²其中，K代表物体的动能，m代表物体的质量，v代表物体的速度。
动能定理的基本原理是，当一个物体在运动过程中受到合力F作用，物体的速度将会发生改变，从而导致动能的变化。
如果合力F与物体的速度方向一致，物体的速度将增加，动能也将增加；如果合力F与物体的速度方向相反，物体的速度将减小，动能也将减小。
动能定理的应用非常广泛。
在机械领域中，它可以用来计算物体的机械能，从而分析物体的运动状态。
在运动学中，动能定理可以用来计算物体在不同速度下的动能变化情况。
在动力学中，动能定理可以用来分析物体在受力作用下的加速度和速度变化情况。
势能势能是物体由于其位置或状态而具有的能量。
势能可以分为多种类型，如重力势能、弹性势能、化学势能等。
本文将以重力势能为例进行介绍。
重力势能是物体在地球表面上的高度位置所具有的势能。
它可以用数学公式表示为：重力势能公式：E = mgh其中，E代表物体的重力势能，m代表物体的质量，g代表重力加速度，h代表物体的高度。
重力势能的基本原理是物体在高处具有较大的势能，当物体下落时，其重力势能将会转化为动能。
这个过程通常被称为势能转化为动能。
同样地，当物体上升时，动能将会转化为势能。
重力势能的应用广泛。
在日常生活中，我们可以根据物体的质量、高度和重力加速度来计算物体的重力势能，进而分析物体的动能和势能的转化情况。
在工程领域中，重力势能的概念与应用也是不可或缺的。
结论动能定理和势能是描述物体运动能量变化的两个重要概念。
动能定理通过描述物体的动能与所受力之间的关系，揭示了物体在运动中能量转化的规律。
而势能则描述了物体由于其位置或状态而具有的能量。
动能势能动能定理
图5-2-5
热点三 用动能定理求变力的功
【例3】用汽车从井下提重物，重物质量为m，定滑轮高为H，如图5-2-6所示，已知 汽车由A点静止开始运动至B点时的速度为v，此时轻绳与竖直方向夹角为θ。 这一过程中轻绳的拉力做功多大？
【答案】 mgH1 cocsos1 2mv2sin2
【解析】绳对重物的拉力为变力，应用动能定理列方程。 以 绳重 方物 向由h为 的=图研 分H5/究 速-c2o对 度-6s象 相θ所-： 同示H③，W，则T重-mv物mg的=hv末=s1i速n/θ2度②mvmvm与2汽①车在B点的速度v沿图5-2-6
η=1.8×108 kW·h/(2.4×108 kW·h)×100%=75%，故C正确；该
图5-2-2
水电站能用于发电的水的重力势能为水库中的水的重力mg与其“重心”(即在水面下d/2处)下降高度的
乘积即Ep=mg(H-d/2)=ρVg(H-d/2)，故A错，B对；由于年发电量为1.8×108 kW·h，故每天发电量 为1.8×108 kＷ·h/365=4.93×105 kW·h，可见能供约5 h，故D错。
要点二 动能定理的应用
1.用动能定理解题的步骤 (1)选取研究对象，明确分析运动过程。 (2)分析受力及各力做功的情况，求出总功；也可由动能的变化求总功。 (3)明确过程始、末状态的动能Ek1及Ek2。 (4)列方程W=Ek2-Ek1，必要时注意分析题目潜在的条件，列辅助方程进行求解。 2.应用动能定理要注意的几个问题 (1)正确分析物体受力，要考虑物体受到的所有力，包括重力。 (2)要弄清各力做功情况，计算时应把已知功的正、负代入动能定理表达式。 (3)有些力在物体运动全过程中不是始终存在，导致物体的运动包括几个物理过程， 物体运动状态、受力情况均发生变化，因而在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别 对待。 3.应用动能定理解题的优越性 应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无需深究物体运动过程中状态变化的 细节，只需考虑整个过程的功及过程始末的动能。若过程包含了几个运动性质不同的分 过程，既可分段考虑，也可对整个过程考虑。但求功时，有些力不是全过程都作用的， 必须根据不同的情况分别对待求出总功，计算时要把各力的功连同符号(正负)一同代入 公式。
功、功率、动能、势能、动能定理
机械能知识网络：单元切块：按照考纲的要求，本章内容可以分成四个单元，即：功和功率；动能、势能、动能定理；机械能守恒定律及其应用；功能关系动量能量综合。
其中重点是对动能定理、机械能守恒定律的理解，能够熟练运用动能定理、机械能守恒定律分析解决力学问题。
难点是动量能量综合应用问题。
§1 功和功率教学目标：理解功和功率的概念，会计算有关功和功率的问题培养学生分析问题的基本方法和基本技能教学重点：功和功率的概念教学难点：功和功率的计算教学方法：讲练结合，计算机辅助教学教学过程：一、功1．功功是力的空间积累效应。
它和位移相对应（也和时间相对应）。
计算功的方法有两种：（1）按照定义求功。
即：W =Fs cos θ。
在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。
当20πθ<≤时F 做正功，当2πθ=时F 不做功，当πθπ≤<2时F 做负功。
这种方法也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。
（2）用动能定理W =ΔE k 或功能关系求功。
当F 为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。
这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功（或者说是合外力做的功）。
这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。
如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。
【例1】如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置。
在下列三种情况下，分别用水平拉力F 将小球拉到细线与竖直方向成θ角的位置。
在此过程中，拉力F 做的功各是多少？⑴用F 缓慢地拉；⑵F 为恒力；⑶若F 为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。
可供选择的答案有 A.θcos FL B.θsin FL C.()θcos 1-FL D.()θcos 1-mgL解析：⑴若用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，只能用动能定理求解。
F 做的功等于该过程克服重力做的功。
选D⑵若F 为恒力，则可以直接按定义求功。
动能动能定理机械能守恒定律
动能动能定理机械能守恒定律1. 动能、动能定理2. 机械能守恒定律【要点扫描】动能动能定理－、动能如果－个物体能对外做功，我们就说这个物体具有能量．物体由于运动而具有的能．Ek=mv2，其大小与参照系的选取有关．动能是描述物体运动状态的物理量．是相对量。
二、动能定理做功可以改变物体的能量．所有外力对物体做的总功等于物体动能的增量．W1＋W2＋W3＋……＝?mvt2－?mv021、反映了物体动能的变化与引起变化的原因——力对物体所做功之间的因果关系．可以理解为外力对物体做功等于物体动能增加，物体克服外力做功等于物体动能的减小．所以正功是加号，负功是减号。
2、“增量”是末动能减初动能．ΔEK＞0表示动能增加，ΔEK＜0表示动能减小．3、动能定理适用于单个物体，对于物体系统尤其是具有相对运动的物体系统不能盲目的应用动能定理．由于此时内力的功也可引起物体动能向其他形式能（比如内能）的转化．在动能定理中．总功指各外力对物体做功的代数和．这里我们所说的外力包括重力、弹力、摩擦力、电场力等．4、各力位移相同时，可求合外力做的功，各力位移不同时，分别求各力做的功，然后求代数和．5、力的独立作用原理使我们有了牛顿第二定律、动量定理、动量守恒定律的分量表达式．但动能定理是标量式．功和动能都是标量，不能利用矢量法则分解．故动能定理无分量式．在处理－些问题时，可在某－方向应用动能定理．6、动能定理的表达式是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的．但它也适用于外力为变力及物体作曲线运动的情况．即动能定理对恒力、变力做功都适用；直线运动与曲线运动也均适用．7、对动能定理中的位移与速度必须相对同－参照物．三、由牛顿第二定律与运动学公式推出动能定理设物体的质量为m，在恒力F作用下，通过位移为s，其速度由v0变为vt，则：根据牛顿第二定律F=ma……①根据运动学公式2as=vt2―v02……②由①②得：Fs=mvt2－mv02四、应用动能定理可解决的问题恒力作用下的匀变速直线运动，凡不涉及加速度和时间的问题，利用动能定理求解－般比用牛顿定律及运动学公式求解要简单得多．用动能定理还能解决－些在中学应用牛顿定律难以解决的变力做功的问题、曲线运动的问题等．机械能守恒定律－、机械能1、由物体间的相互作用和物体间的相对位置决定的能叫做势能．如重力势能、弹性势能、分子势能、电势能等．（1）物体由于受到重力作用而具有重力势能，表达式为EP=mgh．式中h是物体到零重力势能面的高度．（2）重力势能是物体与地球系统共有的．只有在零势能参考面确定之后，物体的重力势能才有确定的值，若物体在零势能参考面上方高h处其重力势能为EP=mgh，若物体在零势能参考面下方低h处其重力势能为EP=－mgh，“－”不表示方向，表示比零势能参考面的势能小，显然零势能参考面选择的不同，同－物体在同－位置的重力势能的多少也就不同，所以重力势能是相对的．通常在不明确指出的情况下，都是以地面为零势面的．但应特别注意的是，当物体的位置改变时，其重力势能的变化量与零势面如何选取无关．在实际问题中我们更会关心的是重力势能的变化量．（3）弹性势能，发生弹性形变的物体而具有的势能．高中阶段不要求具体利用公式计算弹性势能，但往往要根据功能关系利用其他形式能量的变化来求得弹性势能的变化或某位置的弹性势能．2、重力做功与重力势能的关系：重力做功等于重力势能的减少量WG=ΔEP减=EP初－EP末，克服重力做功等于重力势能的增加量W克=ΔEP增=EP末—EP初应特别注意：重力做功只能使重力势能与动能相互转化，不能引起物体机械能的变化．3、动能和势能（重力势能与弹性势能）统称为机械能．二、机械能守恒定律1、内容：在只有重力（和弹簧的弹力）做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变．2、机械能守恒的条件（1）对某－物体，若只有重力（或弹簧弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体机械能守恒．（2）对某－系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒．3、表达形式：EK1＋Epl=Ek2＋EP2（1）我们解题时往往选择的是与题目所述条件或所求结果相关的某两个状态或某几个状态建立方程式．此表达式中EP 是相对的．建立方程时必须选择合适的零势能参考面．且每－状态的EP都应是对同－参考面而言的．（2）其他表达方式，ΔEP=－ΔEK，系统重力势能的增量等于系统动能的减少量．（3）ΔEa=－ΔEb，将系统分为a、b两部分，a部分机械能的增量等于另－部分b的机械能的减少量，三、判断机械能是否守恒首先应特别提醒注意的是，机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．（1）用做功来判断：分析物体或物体受力情况（包括内力和外力），明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒；（2）用能量转化来判定：若物体系中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系机械能守恒．（3）对－些绳子突然绷紧，物体间非弹性碰撞等除非题目的特别说明，机械能必定不守恒，完全非弹性碰撞过程机械能不守恒【规律方法】动能动能定理【例1】如图所示，质量为m的物体与转台之间的摩擦系数为μ，物体与转轴间距离为R，物体随转台由静止开始转动，当转速增加到某值时，物体开始在转台上滑动，此时转台已开始匀速转动，这过程中摩擦力对物体做功为多少？解析：物体开始滑动时，物体与转台间已达到最大静摩擦力，这里认为就是滑动摩擦力μmg．根据牛顿第二定律μmg=mv2/R……①由动能定理得：W=?mv2 ……②由①②得：W=?μmgR，所以在这－过程摩擦力做功为?μmgR点评：（1）－些变力做功，不能用W＝Fscos求，应当善于用动能定理．（2）应用动能定理解题时，在分析过程的基础上无须深究物体的运动状态过程中变化的细节，只须考虑整个过程的功量及过程始末的动能．若过程包含了几个运动性质不同的分过程．既可分段考虑，也可整个过程考虑．但求功时，有些力不是全过程都作用的，必须根据不同情况分别对待求出总功．计算时要把各力的功连同符号（正负）－同代入公式．【例2】－质量为m的物体．从h高处由静止落下，然后陷入泥土中深度为Δh后静止，求阻力做功为多少？提示：整个过程动能增量为零，则根据动能定理mg（h ＋Δh）－Wf＝0所以Wf＝mg（h＋Δh）答案：mg（h＋Δh）（一）动能定理应用的基本步骤应用动能定理涉及－个过程，两个状态．所谓－个过程是指做功过程，应明确该过程各外力所做的总功；两个状态是指初末两个状态的动能．动能定理应用的基本步骤是：①选取研究对象，明确并分析运动过程．②分析受力及各力做功的情况，受哪些力？每个力是否做功？在哪段位移过程中做功？正功？负功？做多少功？求出代数和．③明确过程始末状态的动能Ek1及EK2④列方程W=－，必要时注意分析题目的潜在条件，补充方程进行求解．【例3】总质量为M的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶了L 的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力，设阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？解析：此题用动能定理求解比用运动学结合牛顿第二定律求解简单．先画出草图如图所示，标明各部分运动位移（要重视画草图）；对车头，脱钩前后的全过程，根据动能定理便可解得.FL－μ（M－m）gs1=－?（M－m）v02对末节车厢，根据动能定理有－μmgs2＝－mv02而Δs=s1－s2由于原来列车匀速运动，所以F=μMg．以上方程联立解得Δs=ML/（M－m）．说明：对有关两个或两个以上的有相互作用、有相对运动的物体的动力学问题，应用动能定理求解会很方便．最基本方法是对每个物体分别应用动能定理列方程，再寻找两物体在受力、运动上的联系，列出方程解方程组．（二）应用动能定理的优越性（1）由于动能定理反映的是物体两个状态的动能变化与其合力所做功的量值关系，所以对由初始状态到终止状态这－过程中物体运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多问题不必加以追究，就是说应用动能定理不受这些问题的限制．（2）－般来说，用牛顿第二定律和运动学知识求解的问题，用动能定理也可以求解，而且往往用动能定理求解简捷．可是，有些用动能定理能够求解的问题，应用牛顿第二定律和运动学知识却无法求解．可以说，熟练地应用动能定理求解问题，是－种高层次的思维和方法，应该增强用动能定理解题的主动意识．（3）用动能定理可求变力所做的功．在某些问题中，由于力F的大小、方向的变化，不能直接用W=Fscosα求出变力做功的值，但可由动能定理求解．【例4】如图所示，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑水平面上做匀速圆周运动，拉力为某个值F时，转动半径为R，当拉力逐渐减小到F/4时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，则外力对物体所做的功的大小是：A. B.C. D. 零解析：设当绳的拉力为F时，小球做匀速圆周运动的线速度为v1，则有F=mv12/R……①当绳的拉力减为F/4时，小球做匀速圆周运动的线速度为v2，则有F/4=mv22/2R……②在绳的拉力由F减为F/4的过程中，绳的拉力所做的功为W=?mv22－?mv12=－?FR所以，绳的拉力所做的功的大小为FR/4，A选项正确．说明：用动能定理求变力功是非常有效且普遍适用的方法．【例5】质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含重力）.今测得当飞机在水平方向的位移为L时，它的上升高度为h，求（1）飞机受到的升力大小?（2）从起飞到上升至h 高度的过程中升力所做的功及在高度h处飞机的动能?解析：（1）飞机水平速度不变，L= v0t，竖直方向的加速度恒定，h=?at2，消去t即得由牛顿第二定律得：F=mg＋ma=（2）升力做功W=Fh=在h处，vt=at=，（三）应用动能定理要注意的问题注意1：由于动能的大小与参照物的选择有关，而动能定理是从牛顿运动定律和运动学规律的基础上推导出来，因此应用动能定理解题时，动能的大小应选取地球或相对地球做匀速直线运动的物体作参照物来确定．【例6】如图所示质量为1kg的小物块以5m/s的初速度滑上－块原来静止在水平面上的木板，木板质量为4kg，木板与水平面间动摩擦因数是0.02，经过2s以后，木块从木板另－端以1m/s相对于地面的速度滑出，g取10m／s，求这－过程中木板的位移．解析：设木块与木板间摩擦力大小为f1，木板与地面间摩擦力大小为f2．对木块：－f1t=mvt－mv0，得f1=2 N对木板：（fl－f2）t＝Mv，f2＝μ（m＋M）g得v＝0.5m/s对木板：（fl－f2）s=?Mv2，得s=0.5 m答案：0.5 m注意2：用动能定理求变力做功，在某些问题中由于力F的大小的变化或方向变化，所以不能直接由W=Fscosα求出变力做功的值．此时可由其做功的结果——动能的变化来求变力F所做的功．【例7】质量为m的小球被系在轻绳－端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用．设某－时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为（）A、mgR/4B、mgR/3C、mgR/2D、mgR解析：小球在圆周运动最低点时，设速度为v1，则7mg－mg=mv12/R……①设小球恰能过最高点的速度为v2，则mg=mv22/R……②设过半个圆周的过程中小球克服空气阻力所做的功为W，由动能定理得：－mg2R－W=?mv22－?mv12……③由以上三式解得W=mgR/2. 答案：C说明：该题中空气阻力－般是变化的，又不知其大小关系，故只能根据动能定理求功，而应用动能定理时初、末两个状态的动能又要根据圆周运动求得不能直接套用，这往往是该类题目的特点．机械能守恒定律（一）单个物体在变速运动中的机械能守恒问题【例1】如图所示，桌面与地面距离为H，小球自离桌面高h处由静止落下，不计空气阻力，则小球触地的瞬间机械能为（设桌面为零势面）（）A、mgh；B、mgH；C、mg（H ＋h）；D、mg（H－h）解析：这－过程机械能守恒，以桌面为零势面，E初=mgh，所以着地时也为mgh，有的学生对此接受不了，可以这样想，E初=mgh ，末为E末=?mv2－mgH，而?mv2=mg（H＋h）由此两式可得：E末=mgh答案：A【例2】如图所示，－个光滑的水平轨道AB与光滑的圆轨道BCD连接，其中圆轨道在竖直平面内，半径为R，B为最低点，D为最高点．－个质量为m的小球以初速度v0沿AB 运动，刚好能通过最高点D，则（）A、小球质量越大，所需初速度v0越大B、圆轨道半径越大，所需初速度v0越大C、初速度v0与小球质量m、轨道半径R无关D、小球质量m和轨道半径R同时增大，有可能不用增大初速度v0解析：球通过最高点的最小速度为v，有mg=mv2/R，v=这是刚好通过最高点的条件，根据机械能守恒，在最低点的速度v0应满足?m v02=mg2R＋?mv2，v0= 答案：B（二）系统机械能守恒问题【例3】如图，斜面与半径R=2.5m的竖直半圆组成光滑轨道，－个小球从A点斜向上抛，并在半圆最高点D水平进入轨道，然后沿斜面向上，最大高度达到h=10m，求小球抛出的速度和位置．解析：小球从A到D的逆运动为平抛运动，由机械能守恒，平抛初速度vD为mgh—mg2R=?mvD2；所以A到D的水平距离为由机械能守恒得A点的速度v0为mgh=?mv02；由于平抛运动的水平速度不变，则vD=v0cosθ，所以，仰角为【例4】如图所示，总长为L的光滑匀质的铁链，跨过－光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时，某－端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度多大？解析：铁链的－端上升，－端下落是变质量问题，利用牛顿定律求解比较麻烦，也超出了中学物理大纲的要求．但由题目的叙述可知铁链的重心位置变化过程只有重力做功，或“光滑”提示我们无机械能与其他形式的能转化，则机械能守恒，这个题目我们用机械能守恒定律的总量不变表达式E2=El，和增量表达式ΔEP=－ΔEK分别给出解答，以利于同学分析比较掌握其各自的特点．（1）设铁链单位长度的质量为P，且选铁链的初态的重心位置所在水平面为参考面，则初态E1=0滑离滑轮时为终态，重心离参考面距离L/4，EP=－PLgL/4 Ek2=Lv2即终态E2=－PLgL/4＋PLv2由机械能守恒定律得E2= E1有－PLgL/4＋PLv2=0，所以v= （2）利用ΔEP=－ΔEK，求解：初态至终态重力势能减少，重心下降L/4，重力势能减少－ΔEP= PLgL/4，动能增量ΔEK=PLv2，所以v=点评：（1）对绳索、链条这类的物体，由于在考查过程中常发生形变，其重心位置对物体来说，不是固定不变的，能否确定其重心的位置则是解决这类问题的关键，顺便指出的是均匀质量分布的规则物体常以重心的位置来确定物体的重力势能．此题初态的重心位置不在滑轮的顶点，由于滑轮很小，可视作对折来求重心，也可分段考虑求出各部分的重力势能后求出代数和作为总的重力势能．至于零势能参考面可任意选取，但以系统初末态重力势能便于表示为宜．（2）此题也可以用等效法求解，铁链脱离滑轮时重力势能减少，等效为－半铁链至另－半下端时重力势能的减少，然后利用ΔEP=－ΔEK求解，留给同学们思考．【模拟试题】1、某地强风的风速约为v=20m/s，设空气密度ρ=1.3kg/m3，如果把通过横截面积=20m2风的动能全部转化为电能，则利用上述已知量计算电功率的公式应为P=_________，大小约为_____W（取－位有效数字）2、两个人要将质量M＝1000 kg的小车沿－小型铁轨推上长L＝5 m，高h＝1 m的斜坡顶端．已知车在任何情况下所受的摩擦阻力恒为车重的0.12倍，两人能发挥的最大推力各为800 N。
动能、势能、动能定理
动能、势能、动能定理目标认知学习目标1.理解动能、势能的概念，会计算物体的动能和势能。
2.理解重力势能变化和重力做功的关系，知道重力做功与路径无关是重力做功的特点。
3.了解弹性势能并探究弹性势能与哪些因素有关。
4.理解动能定理，知道动能定理的适用条件，会用动能定理进行计算。
5.会推导动能定理。
学习重点、难点1.理解动能定理，会使用动能定理进行计算。
2.探究功与物体速度变化的关系。
知识要点梳理知识点一：重力势能要点诠释：1.重力做功及特点物体运动时，重力对它做的功只跟它起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关；物体被举高时，重力做负功，物体下降时，重力做正功。
2.重力势能（1）物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积（2）重力势能的表达式：，国际单位是焦耳（J）（3）重力势能是状态量，它描述了物体所处的一定状态，与物体所处的位置或时刻对应（4）重力势能具有相对性、系统性。
重力势能为物体与地球这个系统所共有的。
中的是相对参考平面的高度，物体在参考平面的上方，重力势能为正，反之为负，重力势能的大小与参考平面的选择有关，同一物体选择不同的参考平面会有不同的重力势能值。
3.重力做功跟重力势能变化的关系重力势能的变化过程，也是重力做功的过程，二者的关系为，表示在初位置的重力势能，表示在末位置的重力势能（1）当物体由高处运动到低处时，，表明重力做正功时，重力势能减少，减少的重力势能等于重力所做的功。
（2）当物体由低处运动到高处时，，表明重力做负功时（即物体克服重力做功），重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功。
知识点二：探究弹性势能的表达要点诠释：1.弹性势能发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。
2.弹性势能的大小跟形变的大小有关，形变量越大，弹性势能越大。
对于弹簧来说，弹性势能还与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大。
人教版高一物理必修2第七章重力势能、弹性势能、动能定理知识点总结复习
第四节重力势能1.重力做的功(1)表达式W G＝mgh＝mg(h1－h2)，其中h表示物体起点和终点的高度差，h1、h2分别表示物体起点和终点的高度。
(2)正负物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功，也可以说成物体克服重力做功。
(3)特点物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
2．重力势能(1)定义：物体由于位于高处而具有的能量。
(2)大小：等于物体所受重力与所处高度的乘积，表达式为E p＝mgh，其中h 表示物体所在位置的高度。
(3)单位：焦耳，与功的单位相同。
重力势能是标量，正负表示大小。
(4)重力做功与重力势能变化的关系①表达式：W G＝E p1－E p2。
②重力做正功，重力势能减小；重力做负功，重力势能增大。
3．重力势能的相对性和系统性(1)相对性①参考平面：物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫做参考平面，在参考平面，物体的重力势能取作0。
②重力势能的相对性选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的。
对选定的参考平面，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值，负值的重力势能，表示物体在这个位置具有的重力势能要比在参考平面上具有的重力势能小。
(2)系统性重力势能是地球与物体所组成的系统共有的。
判一判(1)重力势能E p1＝2 J，E p2＝－3 J，则E p1与E p2方向相反。
()(2)同一物体的重力势能E p1＝2 J，E p2＝－3 J，则E p1>E p2。
()(3)在同一高度的质量不同的两个物体，它们的重力势能一定不同。
()提示：(1)×重力势能是标量，没有方向。
(2)√重力势能为正值，表示物体处于参考平面的上方，为负值表示物体处于参考平面的下方，而同一物体在越高的地方重力势能越大。
(3)×若选定两物体所处的水平面为参考平面，则两物体的重力势能均为0。
说明：(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
动能定理和势能定理
动能定理和势能定理1. 引言在物理学中，描述物体运动状态和相互作用的规律称为动力学。
动力学中最基本的定理之一就是动能定理和势能定理。
动能定理和势能定理是物理学中描述物体运动状态和相互作用的两个重要定律，它们分别描述了物体动能和势能的变化规律。
本文将详细介绍动能定理和势能定理的定义、表达式以及应用。
2. 动能定理2.1 定义动能定理指出：物体由于运动而具有的能量叫做动能，且物体的动能与其质量和速度的平方成正比。
2.2 表达式动能定理的表达式为：[ E_k = mv^2 ]其中，( E_k ) 表示动能，( m ) 表示物体的质量，( v ) 表示物体的速度。
2.3 应用动能定理在实际问题中的应用非常广泛，例如：•在直线运动中，物体受到的合外力做功等于物体动能的增加量。
•在曲线运动中，物体受到的合外力做功等于物体动能和势能的总量变化。
3. 势能定理3.1 定义势能定理指出：物体由于位置或状态的改变而具有的能量叫做势能，且物体的势能与其质量和位置的高度成正比。
3.2 表达式势能定理的表达式为：[ E_p = mgh ]其中，( E_p ) 表示势能，( m ) 表示物体的质量，( g ) 表示重力加速度，( h ) 表示物体相对于某一参考点的高度。
3.3 应用势能定理在实际问题中的应用也非常广泛，例如：•在重力场中，物体从一点移动到另一点，其势能的变化等于物体受到的重力做的功。
•在弹性势能中，物体由于形变而具有的能量，当物体恢复原状时，这部分能量会转化为物体的动能。
4. 动能定理与势能定理的关系动能定理和势能定理虽然描述的是不同的能量形式，但它们之间存在着密切的关系。
在物体运动的过程中，动能和势能可以相互转化。
例如，在竖直上抛运动中，物体上升过程中势能增加，动能减小；下降过程中势能减小，动能增加。
5. 结论动能定理和势能定理是物理学中描述物体运动状态和相互作用的两个重要定律。
本文详细介绍了动能定理和势能定理的定义、表达式以及应用。
§2-动能--势能--动能定理
§2-动能--势能--动能定理D上有重力势能．平时说物体具有多少重力势能，是一种习惯上的简称．重力势能是相对的，它随参考点的选择不同而不同，要说明物体具有多少重力势能，首先要指明参考点(即零点)．（2）重力势能是标量，它没有方向．但是重力势能有正、负．此处正、负不是表示方向，而是表示比零点的能量状态高还是低．势能大于零表示比零点的能量状态高，势能小于零表示比零点的能量状态低．零点的选择不同虽对势能值表述不同，但对物理过程没有影响．即势能是相对的，势能的变化是绝对的，势能的变化与零点的选择无关．（3）重力做功与重力势能重力做正功，物体高度下降，重力势能降低；重力做负功，物体高度上升，重力势能升高．可以证明，重力做功与路径无关，由物体所受的重力和物体初、末位置所在水平面的高度差决定，即：W G=mg△h．所以重力做的功等于重力势能增量的负值，即W G= -△E p= -（mgh2-mgh1）．三、动能定理1．动能定理的表述合外力做的功等于物体动能的变化。
（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。
表达式为W =ΔE K动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。
实际应用时，后一种表述比较好操作。
不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。
和动量定理一样，动能定理也建立起过程量（功）和状态量（动能）间的联系。
这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。
和动量定理不同的是：功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。
【例1】 一个质量为m 的物体静止放在光滑水平面上，在互成60°角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v ，在力的方向上获得的速度分别为v 1、v 2，那么在这段时间内，其中一个力做的功为A ．261mvB ．241mvC ．231mvD ．221mv 错解：在分力F 1的方向上，由动动能定理得2221161)30cos 2(2121mv v m mv W =︒==，故A 正确。
动能定理-保守力、机械能守恒
一、动能定理 （theorem of kinetic energy） 二、保守力和势能 （conservative force; potential energy） 三、机械能守恒定律 （Conservation of Mechanical Energy ）
力的空间累积效应
F 对 r 积累
2
设抛地体球相绕对太于阳太轨阳道的近速似度为一v圆3 ，由(2于Gmv'S3 与RSv)1E2同
向, 则抛体与太阳的距离 RS 即为地球轨道半径.
则
mE
vE2 RS
G
mE mS RS2
v' v'3 vE v' (
vE
(G
mS )1 2 RS
2 1)( GmS )1 2
RS
取地球为参照系
1 2
mv32
当
W ex
W in nc
0
时，有 E E0
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，
质点系的机械能保持不变 .
Ek Ek0 (Ep Ep0 ) Ek Ep
守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是各 个守恒定律的特点和优点 .
讨论 如图的系统，物体 A，B 置于光滑的桌面上，
x
xA dx xB
F kxi
W xB Fdx xB kxdx
xA
xA
W
(
1 2
kxB2
1 2
kxA2
)
W kxdx 0
二 保守力和非保守力
➢ 保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
引力功
W
(G
m'm) (G rB
第2讲动能和动能定理
第2讲 动能和动能定理1.动能(1)定义：物体由于运动而具有的能．(2)公式：E k ＝12m v 2.(3)单位：焦耳，1 J ＝1 N·m ＝1 kg·m 2/s 2. (4)矢标性：动能是标量，只有正值． (5)动能是状态量，因为v 是瞬时速度．1．(2012·苏州模拟)一个小球从高处自由落下，则球在下落过程中的动能( )． ①与它下落的距离成正比 ②与它下落距离的平方成正比 ③与它运动的时间成正比 ④与它运动时间的平方成正比A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③ 答案 C2．(2012·中山模拟)质量为m 的物体在水平力F 的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v ，再前进一段距离使物体的速度增大为2v ，则( )．A ．第二过程的速度增量大于第一过程的速度增量B ．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍C ．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功D ．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍解析 由题意知，两个过程中速度增量均为v ，A 错误；由动能定理知：W 1＝12m v 2，W 2＝12m (2v )2－12m v 2＝32m v 2，故B 正确，C 、D 错误．答案 B3．一个25 kg 的小孩从高度为3.0 m 的滑梯顶端由静止开始滑下，滑到底端时的速度为2.0 m/s.取g ＝10 m/s 2，关于力对小孩做的功，以下结果正确的是( )．A ．合外力做功50 JB ．阻力做功500 JC ．重力做功500 JD ．支持力做功50 J解析 合外力做的功W 合＝E k －0，即W 合＝12m v 2＝12×25×22 J ＝50 J ，A 项正确；W G －W 阻＝E k －0，故W 阻＝mgh －12m v 2＝750 J －50 J ＝700 J ，B 项错误；重力做功W G ＝mgh ＝25×10×3 J ＝750 J ，C错；小孩所受支持力方向上的位移为零，故支持力做的功为零，D 错．答案 A4．如图4－2－1所示，一半径为R 的半圆形轨道BC 与一水平面相连，C 为轨道的最高点，一质量为m 的小球以初速度v 0从圆形轨道B 点进入，沿着圆形轨道运动并恰好通过最高点C ，然后做平抛运动．求：图4－2－1(1)小球平抛后落回水平面D 点的位置距B 点的距离．(2)小球由B 点沿着半圆轨道到达C 点的过程中，克服轨道摩擦阻力做的功．解析 (1)小球刚好通过C 点，由牛顿第二定律mg ＝m v C 2R小球做平抛运动，有2R ＝12gt 2 s ＝v C t解得小球平抛后落回水平面D 点的位置距B 点的距离 s ＝2R(2)小球由B 点沿着半圆轨道到达C 点，由动能定理 －mg ·2R －W f ＝12m v C 2－12m v 02解得小球克服摩擦阻力做功 W f ＝12m v 02－52mgR . 答案 (1)2R (2)12m v 02－52mgR考点一 对动能定理的理解 1．动能定理公式中等号的意义等号表明合力做功与物体动能的变化间的三个关系： (1)数量关系：即合外力所做的功与物体动能的变化具有等量代换关系．可以通过计算物体动能的变化，求合力的功，进而求得某一力的功．(2)单位相同：国际单位都是焦耳．(3)因果关系：合外力的功是引起物体动能变化的原因． 2．准确理解动能定理动能定理⎝⎛⎭⎫W ＝ΔE k ＝12m v t 2－12m v 02适用于任何力作用下，以任何形式运动的物体(或系统)，是一标量式，不存在方向问题，它把过程量(做功)与状态量(动能)联系在一起，常用于求变力做功、分析复杂运动过程、判断能量间的转化关系等．【典例1】如图4－2－2所示，图4－2－2电梯质量为M ，在它的水平地板上放置一质量为m 的物体．电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动，当上升高度为H 时，电梯的速度达到v ，则在这个过程中，以下说法中正确的是( )．A ．电梯地板对物体的支持力所做的功等于m v 22B ．电梯地板对物体的支持力所做的功小于m v 22C ．钢索的拉力所做的功等于m v 22＋MgHD ．钢索的拉力所做的功大于m v 22＋MgH解析 以物体为研究对象，由动能定理W N －mgH ＝12m v 2，即W N ＝mgH ＋12m v 2，选项A 、B 错误．以系统为研究对象，由动能定理得：W T －(m ＋M )gH ＝12(M ＋m )v 2，即W T ＝12(M ＋m )v 2＋(M ＋m )gH >m v 22＋MgH ，选项D 正确，选项C 错误． 案 D【变式1】 (2012·山东东营)图4－2－3人通过滑轮将质量为m 的物体，沿粗糙的斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面，物体上升的高度为h ，到达斜面顶端的速度为v ，如图4－2－3所示，则在此过程中( )．A ．物体所受的合外力做功为mgh ＋12m v 2B ．物体所受的合外力做功为12m v 2C ．人对物体做的功为mghD ．以上说法都不对解析 物体沿斜面做匀加速运动，根据动能定理：W 合＝W F －W f －mgh ＝12m v 2，其中W f 为物体克服摩擦力做的功．人对物体做的功即是人对物体的拉力做的功，所以W 人＝W F ＝W f ＋mgh ＋12m v 2，A 、C 错误，B 正确． 答案 B考点二 动能定理在多过程中的应用 优先考虑应用动能定理的问题 (1)不涉及加速度、时间的问题．(2)有多个物理过程且不需要研究整个过程中的中间状态的问题． (3)变力做功的问题．(4)含有F 、s 、m 、v 、W 、E k 等物理量的力学问题． 【典例2】如图4－2－4所示，用特定材料制作的细钢轨竖直放置，半圆形轨道光滑，半径分别为R 、2R 、3R 和4R ，R ＝0.5 m ，水平部分长度L ＝2 m ，轨道最低点离水平地面高h ＝1 m ．中心有孔的钢球(孔径略大于细钢轨直径)，套在钢轨端点P 处，质量为m ＝0.5 kg ，与钢轨水平部分的动摩擦因数为μ＝0.4.给钢球一初速度v 0＝13 m/s.取g ＝10 m/s 2.求：图4－2－4(1)钢球运动至第一个半圆形轨道最低点A 时对轨道的压力． (2)钢球落地点到抛出点的水平距离．解析 (1)球从P 运动到A 点过程 由动能定理得： mg ·2R －μmg ·L ＝12m v 12－12m v 02由牛顿第二定律：N －mg ＝m v 12R 由牛顿第三定律：N ＝－N ′解得：N ′＝－178 N ．故对轨道压力为178 N 方向竖直向下(2)设球到达轨道末端点速度为v 2，对全程由动能定理得：－μmg ·5L －4mgR ＝12m v 22－12m v 02解得v 2＝7 m/s 由平抛运动h ＋8R ＝12gt 2 s ＝v 2t 解得：s ＝7 m. 答案 (1)178 N 竖直向下(2)7 m——应用动能定理的解题步骤【变式2】如图4－2－5所示，物体在有动物毛皮的斜面上运动，由于毛皮的特殊性，引起物体的运动有如下特点：①顺着毛的生长方向运动时，毛皮产生的阻力可以忽略，②逆着毛的生长方向运动时，会受到来自毛皮的滑动摩擦力，且动摩擦因数μ恒定．斜面顶端距水平面高度为h ＝0.8 m ，质量为m ＝2 kg 的小物块M 从斜面顶端A 由静止滑下，从O 点进入光滑水平滑道时无机械能损失，为使M 制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线B 处的墙上，另一端恰位于水平轨道的中点C .已知斜面的倾角θ＝53°，动摩擦因数均为μ＝0.5，其余各处的摩擦不计，重力加速度g ＝10 m/s 2，下滑时逆着毛的生长方向．求：图4－2－5(1)弹簧压缩到最短时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)． (2)若物块M 能够被弹回到斜面上，则它能够上升的最大高度是多少？(3)物块M 在斜面上下滑过程中的总路程．解析 (1)物块M 从斜面顶端A 运动到弹簧压缩到最短，由动能定理得mgh －μmg cos θh sin θ－E p ＝0 则弹性势能E p ＝mgh －μmg cos θhsin θ＝10 J.(2)设物块M 第一次被弹回，上升的最大高度为H ，由动能定理得mg (h －H )－μmg cos θh sin θ＝0 则H ＝h －μcos θhsin θ＝0.5 m.(3)物块M 最终停止在水平面上，对于运动的全过程，由动能定理有mgh －μmg cos θ·s ＝0物块M 在斜面上下滑过程中的总路程s ＝hμcos θ＝2.67 m.答案 (1)10 J (2)0.5 m (3)2.67 m考点三 用动能定理求变力的功(小专题) 一、状态分析法动能定理不涉及做功过程的细节，故求变力功时只分析做功前后状态即可． 【典例3】如图4－2－6所示，图4－2－6质量为m 的物体被线牵引着在光滑的水平面上做匀速圆周运动，拉力为F 时，转动半径为r .当拉力增至8F 时，物体仍做匀速圆周运动，其转动半径为r2，求拉力对物体做的功．解析 对物体运用牛顿第二定律得拉力为F 时，F ＝m v 12r ，①拉力为8F 时，8F ＝m v 22r 2.②联立①②及动能定理得：拉力做功W ＝12m v 22－12m v 12＝2Fr －12Fr ＝32Fr .答案 32Fr二、过程分割法有些问题中，作用在物体上的某个力在整个过程中是变力，但若把整个过程分为许多小段，在每一小段上此力就可看做是恒力．分别算出此力在各小段上的功，然后求功的代数和．即可求得整个过程变力所做的功．【典例4】如图4－2－7所示，质量为m 的物体静图4－2－7止于光滑圆弧轨道的最低点A ，现以始终沿切线方向、大小不变的外力F 作用于物体上使其沿圆周转过π2到达B 点，随即撤去外力F ，要使物体能在竖直圆轨道内维持圆周运动，外力F 至少为多大？ 解析 物体从A 点到B 点的运动过程中，由动能定理可得 W F －mgR ＝12m v B 2①如何求变力F 做的功呢？过程分割，将AB 划分成许多小段，则当各小段弧长Δs 足够小时，在每一小段上，力F 可看做恒力，且其方向与该小段上物体位移方向一致，有W F ＝F Δs 1＋F Δs 2＋…＋F Δs 1＋…＝F (Δs 1＋Δs 2＋…＋Δs 1＋…)＝F ·π2R ②从B 点起撤去外力F ，物体的运动遵循机械能守恒定律，由于在最高点维持圆周运动的条件是mg ≤m v 2R ，即在圆轨道最高点处速度至少为Rg .故由此机械能守恒定律得： 12m v B 2＝mgR ＋m (Rg )22③联立①②③式得：F ＝5mg π. 答案 5mgπ三、对象转换法在有些求功的问题中，作用在物体上的力可能为变力，但转换对象后，就可变为求恒力功． 【典例5】如图4－2－8所示，质量为2 kg 的木块套在光滑的竖直杆上，图4－2－8用60 N 的恒力F 通过轻绳拉木块，木块在A 点的速度v A ＝3 m/s 则木块运动到B 点的速度v B 是多少？(木块可视为质点，g 取10 m/s 2)解析 先取木块作为研究对象，则由动能定理得： W G ＋W T ＝12m v B 2－12m v A 2①其中W G ＝－mg ·AB ，W T 是轻绳上张力对木块做的功， 由于力的方向不断变化，这显然是一个变力做的功，对象转换： 研究恒力F 的作用点，在木块由A 运动到B 的过程中，恒力F 的功W F ＝F (AC －BC )，它在数值上等于W T .故①式可变形为：－mgAB ＋F (AC －BC )＝12m v B 2－12m v A 2，代入数据解得v B ＝7 m/s.答案 7 m/s【典例】 (2011·浙江卷，24)(20分)节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存电能作为动力来源的汽车．有一质量m ＝1 000 kg 的混合动力轿车，在平直公路上以v 1＝90 km/h 匀速行驶，发动机的输出功率为P ＝50 kW.当驾驶员看到前方有80 km/h 的限速标志时，保持发动机功率不变，立即启动利用电磁阻尼带动的发电机工作给电池充电，使轿车做减速运动，运动L ＝72 m 后，速度变为v 2＝72 km/h.此过程中发动机功率的15用于轿车的牵引，45用于供给发电机工作，发动机输送给发电机的能量最后有50%转化为电池的电能．假设轿车在上述运动过程中所受阻力保持不变．求：(1)轿车以90 km/h 在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F 阻的大小； (2)轿车从90 km/h 减速到72 km/h 过程中，获得的电能E 电；(3)轿车仅用其在上述减速过程中获得的电能E 电维持72 km/h 匀速运动的距离L ′. 解 (1)轿车牵引力与输出功率的关系P ＝F 牵v将P ＝50 kW ，v 1＝90 km/h ＝25 m/s 代入得 F 牵＝Pv 1＝2×103 N ．(4分)当轿车匀速行驶时，牵引力与阻力大小相等，有F 阻＝2×103 N ．(2分)(2)在减速过程中，注意到发动机只有15P 用于汽车的牵引．根据动能定理有15Pt －F 阻L ＝12m v 22－12m v 12(5分) 代入数据得Pt ＝1.575×105 J(3分)电源获得的电能为E 电＝50%×45Pt ＝6.3×104 J ．(2分)(3)根据题设，轿车在平直公路上匀速行驶时受到的阻力仍为F 阻＝2×103 N ．在此过程中，由能量守恒定律可知，仅有电能用于克服阻力做功，则E 电＝F 阻L ′(2分)代入数据得L ′＝31.5 m ．(2分)答案 (1)2×103N (2)6.3×104J (3)1.5 m 一、动能及动能定理的单独考查(低频考查) 1．(2009·上海单科，5)小球由地面竖直上抛，上升的最大高度为H ，设所受阻力大小恒定，地面为零势能面．在上升至离地高度h 处，小球的动能是势能的2倍，到达最高点后再下落至离地高度h 处，小球的势能是动能的2倍，则h 等于( )．A.H 9B.2H 9C.3H 9D.4H 9 解析 设小球的初动能为E k0，阻力为F ，根据动能定理，上升到最高点有，E k0＝(mg ＋F )H ，上升到离地面h 处有，E k0－2mgh ＝(mg ＋F )h ，从最高点到离地面h 处，有(mg －F )(H －h )＝12mgh ，解以上三式得h ＝49H . 答案 D2．(2011·课标全国卷，15改编)一质点开始时做匀速直线运动，从某时刻起受到一恒力作用．此后，该质点的动能不可能( )．A ．一直增大B ．先逐渐减小至零，再逐渐增大C ．先逐渐增大至某一最大值，再逐渐减小D ．先逐渐减小至某一非零的最小值，再逐渐增大解析 若力F 的方向与初速度v 0的方向一致，则质点一直加速，动能一直增大，选项A 正确．若力F 的方向与v 0的方向相反，则质点先减速至速度为零后反向加速，动能先减小至零后增大，选项B 正确．若力F 的方向与v 0的方向成一钝角，如斜上抛运动，物体先减速，减到某一值，再加速，则其动能先减小至某一非零的最小值，再增大，选项D 正确． 答案 C二、动能定理的应用且综合其他考点出现(高频考查) 3．(2009·上海单科，20)质量为5×103 kg 的汽车在t ＝0时刻速度v 0＝10 m/s ，随后以P ＝6×104 W 的额定功率沿平直公路继续前进，经72 s 达到最大速度，该汽车受恒定阻力，其大小为2.5×103 N ．求：(1)汽车的最大速度v m ；(2)汽车在72 s 内经过的路程s .解析 (1)达到最大速度时，牵引力等于阻力P ＝f v m v m ＝P f ＝6×1042.5×103m/s ＝24 m/s(2)由动能定理可得Pt －fs ＝12m v m 2－12m v 02所以s ＝2Pt －m (v m 2－v 02)2f ＝2×6×104×72－5×103×(242－102)2×2.5×103m ＝1 252 m 答案 (1)24 m/s(2)1 252 m图4－2－94．(2011·江苏卷，14)如图4－2－9所示，长为L 、内壁光滑的直管与水平地面成30°角固定放置．将一质量为m 的小球固定在管底，用一轻质光滑细线将小球与质量为M ＝km 的小物块相连，小物块悬挂于管口．现将小球释放，一段时间后，小物块落地静止不动，小球继续向上运动，通过管口的转向装置后做平抛运动，小球在转向过程中速率不变．(重力加速度为g )．(1)求小物块下落过程中的加速度大小； (2)求小球从管口抛出时的速度大小；(3)试证明小球平抛运动的水平位移总小于22L .解析 (1)设细线中的张力为T ，根据牛顿第二定律得Mg －T ＝Ma T －mg sin 30°＝ma 且M ＝km 解得a ＝2k －12(k ＋1)g .(2)设M 落地时速度大小为v ，m 射出管口时速度大小为v 0.M 落地前由动能定理得Mg ·L sin 30°－mg ·L sin 30°·sin 30°＝12(M ＋m )v 2，对m ，M 落地后由动能定理得－mg (L －L sin 30°)sin 30°＝12m v 02－12m v 2 联立解得v 0＝k －22(k ＋1)gL (k >2)．(3)小球做平抛运动，则s ＝v 0t L sin 30°＝12gt 2 解得s ＝Lk －22(k ＋1)由k －22(k ＋1)<12得s ＝Lk －22(k ＋1)<22L .答案 (1)2k －12(k ＋1)g (2)k －22(k ＋1)gL (k >2) (3)见解析。
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§2 动能 势能 动能定理教学目标：理解功和能的概念，掌握动能定理，会熟练地运用动能定理解答有关问题 教学重点：动能定理 教学难点：动能定理的应用教学方法：讲练结合，计算机辅助教学 教学过程：一、动能1．动能：物体由于运动而具有的能，叫动能。
其表达式为：221mv E k =。
2．对动能的理解（1）动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应．动能是标量．它只有大小，没有方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值．（2）动能是相对的，它与参照物的选取密切相关．如行驶中的汽车上的物品，对汽车上的乘客，物品动能是零；但对路边的行人，物品的动能就不为零。
3．动能与动量的比较（1）动能和动量都是由质量和速度共同决定的物理量，221mv E k =＝m p 22或 k mE p 2= （2）动能和动量都是用于描述物体机械运动的状态量。
（3）动能是标量，动量是矢量。
物体的动能变化，则其动量一定变化；物体的动量变化，则其动量不一定变化。
（4）动能决定了物体克服一定的阻力能运动多么远；动量则决定着物体克服一定的阻力能运动多长时间。
动能的变化决定于合外力对物体做多少功，动量的变化决定于合外力对物体施加的冲量。
（5）动能是从能量观点出发描述机械运动的，动量是从机械运动本身出发描述机械运动状态的。
二、重力势能1．重力势能：物体和地球由相对位置决定的能叫重力势能，是物体和地球共有的。
表达式：mgh E p =，与零势能面的选取有关。
2．对重力势能的理解（1）重力势能是物体和地球这一系统共同所有，单独一个物体谈不上具有势能．即：如果没有地球，物体谈不上有重力势能．平时说物体具有多少重力势能，是一种习惯上的简称．重力势能是相对的，它随参考点的选择不同而不同，要说明物体具有多少重力势能，首先要指明参考点(即零点)．（2）重力势能是标量，它没有方向．但是重力势能有正、负．此处正、负不是表示方向，而是表示比零点的能量状态高还是低．势能大于零表示比零点的能量状态高，势能小于零表示比零点的能量状态低．零点的选择不同虽对势能值表述不同，但对物理过程没有影响．即势能是相对的，势能的变化是绝对的，势能的变化与零点的选择无关．（3）重力做功与重力势能重力做正功，物体高度下降，重力势能降低；重力做负功，物体高度上升，重力势能升高．可以证明，重力做功与路径无关，由物体所受的重力和物体初、末位置所在水平面的高度差决定，即：W G =mg △h ．所以重力做的功等于重力势能增量的负值，即W G = -△E p = -（mgh 2-mgh 1）．三、动能定理 1．动能定理的表述合外力做的功等于物体动能的变化。
（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。
表达式为W =ΔE K动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。
实际应用时，后一种表述比较好操作。
不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。
和动量定理一样，动能定理也建立起过程量（功）和状态量（动能）间的联系。
这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。
和动量定理不同的是：功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。
【例1】 一个质量为m 的物体静止放在光滑水平面上，在互成60°角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v ，在力的方向上获得的速度分别为v 1、v 2，那么在这段时间内，其中一个力做的功为A ．261mv B ．241mv C ．231mv D ．221mv 错解：在分力F 1的方向上，由动动能定理得2221161)30cos 2(2121mv v m mv W =︒==，故A 正确。
正解：在合力F 的方向上，由动动能定理得，221mv Fs W ==，某个分力的功为211412130cos 30cos 230cos mv Fs s F s F W ==︒︒=︒=，故B 正确。
2．对外力做功与动能变化关系的理解：外力对物体做正功，物体的动能增加，这一外力有助于物体的运动，是动力；外力对物体做负功，物体的动能减少，这一外力是阻碍物体的运动，是阻力，外力对物体做负功往往又称物体克服阻力做功． 功是能量转化的量度，外力对物体做了多少功；就有多少动能与其它形式的能发生了转化．所以外力对物体所做的功就等于物体动能的变化量．即．3．应用动能定理解题的步骤（1）确定研究对象和研究过程。
和动量定理不同，动能定理的研究对象只能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。
（原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）。
（2）对研究对象进行受力分析。
（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力）。
（3）写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。
如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。
（4）写出物体的初、末动能。
（5）按照动能定理列式求解。
【例2】 如图所示，斜面倾角为α，长为L ，AB 段光滑，BC 段粗糙，且BC =2 AB 。
质量为m 的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C 端时速度刚好减小到零。
求物体和斜面BC 段间的动摩擦因数μ。
解：以木块为对象，在下滑全过程中用动能定理：重力做的功为mgL sinα，摩擦力做的功为αμcos 32mgL -，支持力不做功。
初、末动能均为零。
mgL sin ααμcos 32mgL -=0，αμtan 23= 点评：从本例题可以看出，由于用动能定理列方程时不牵扯过程中不同阶段的加速度，所以比用牛顿定律和运动学方程解题简洁得多。
【例3】 将小球以初速度v 0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。
由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。
设空气阻力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v 。
解：有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：2021mv mgH =和()20218.0mv Hf mg =+，可得H=v 02/2g ，mg f 41= 再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。
全过程重力做的功为零，所以有：22021218.02mv mv H f -=⨯⋅，解得053v v = αCBvv /f GGfh点评：从本题可以看出：根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单。
有时取全过程简单；有时则取某一阶段简单。
原则是尽量使做功的力减少，各个力的功计算方便；或使初、末动能等于零。
【例4】如图所示，质量为m 的钢珠从高出地面h 处由静止自由下落，落到地面进入沙坑h /10停止，则 （1）钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？（2）若让钢珠进入沙坑h /8，则钢珠在h 处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变。
解析：（1）取钢珠为研究对象，对它的整个运动过程，由动能定理得W =W F +W G =△E K =0。
取钢珠停止处所在水平面为重力势能的零参考平面，则重力的功W G =1011mgh ，阻力的功W F =101- F f h ， 代入得1011mgh 101-F f h =0，故有F f /mg =11。
即所求倍数为11。
（2）设钢珠在h 处的动能为E K ，则对钢珠的整个运动过程，由动能定理得W =W F +W G =△E K =0，进一步展开为9mgh /8—F f h /8= —E K ，得E K =mgh /4。
点评：对第（2）问，有的学生这样做，h /8—h /10= h /40，在h /40中阻力所做的功为 F f h /40=11mgh /40，因而钢珠在h 处的动能E K =11mgh /40。
这样做对吗？请思考。
【例5】 质量为M 的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h =0.20m ，木块离台的右端L =1.7m 。
质量为m =0.10M 的子弹以v 0=180m/s 的速度水平射向木块，并以v =90m/s 的速度水平射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s =1.6m ，求木块与台面间的动摩擦因数为μ。
解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。
所以本题必须分三个阶段列方程：子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为v 1，mv 0= mv +Mv 1……①木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v 2，有：22212121Mv Mv MgL -=μ……②木块离开台面后的平抛阶段，g hv s 22=……③由①、②、③可得μ=0.50点评：从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理。
从本题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理。
在子弹穿过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功。
如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉。
四、动能定理的综合应用动能定理可以由牛顿定律推导出来，原则上讲用动能定律能解决物理问题都可以利用牛顿定律解决，但在处理动力学问题中，若用牛顿第二定律和运动学公式来解，则要分阶段考虑，且必须分别求每个阶段中的加速度和末速度，计算较繁琐。
但是，我们用动能定理来解就比较简捷。
我们通过下面的例子再来体会一下用动能定理解决某些动力学问题的优越性。
1．应用动能定理巧求变力的功如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
【例6】 如图所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为R =0.8m ，BC 是水平轨道，长S =3m ，BC 处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m =1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。
求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。
解析：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、BC 段的摩擦力共三个力做功，W G =mgR ，f BC =μmg ，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。
根据动能定理可知：W 外=0，所以mgR -μmgS -W AB =0即W AB =mgR -μmgS =1×10×0.8-1×10×3/15=6 J【例7】一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图所示．绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上．设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计．开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H ．提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经过B 驶向C ．设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B ．求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功．解析：设绳的P 端到达B 处时，左边绳与水平地面所成夹角为θ，物体从井底上升的高度为h ，速度为v ，所求的功为W ，则据动能定理可得：221mv mgh W =- 因绳总长不变，所以： H Hh -=θsin根据绳联物体的速度关系得：v =v B cosθ 由几何关系得：4πθ=由以上四式求得： H mg mv W B )12(412-+=2．应用动能定理简解多过程问题。